Tóm tắt: Sự tồn tại và ổn định của nghiệm tuần hoàn của một số lớp phương trình động lực học thủy khí

Sự tồn tại và ổn định của nghiệm tuần hoàn của một số lớp phương trình động lực học thủy khíSự tồn tại và ổn định của nghiệm tuần hoàn của một số lớp phương trình động lực học thủy khíSự tồn tại và ổn định của nghiệm tuần hoàn của một số lớp phương trình động lực học thủy khíSự tồn tại và ổn định của nghiệm tuần hoàn của một số lớp phương trình động lực học thủy khíSự tồn tại và ổn định của nghiệm tuần hoàn của một số lớp phương trình động lực học thủy khíSự tồn tại và ổn định của nghiệm tuần hoàn của một số lớp phương trình động lực học thủy khíSự tồn tại và ổn định của nghiệm tuần hoàn của một số lớp phương trình động lực học thủy khíSự tồn tại và ổn định của nghiệm tuần hoàn của một số lớp phương trình động lực học thủy khíSự tồn tại và ổn định của nghiệm tuần hoàn của một số lớp phương trình động lực học thủy khíSự tồn tại và ổn định của nghiệm tuần hoàn của một số lớp phương trình động lực học thủy khíSự tồn tại và ổn định của nghiệm tuần hoàn của một số lớp phương trình động lực học thủy khíSự tồn tại và ổn định của nghiệm tuần hoàn của một số lớp phương trình động lực học thủy khíSự tồn tại và ổn định của nghiệm tuần hoàn của một số lớp phương trình động lực học thủy khíSự tồn tại và ổn định của nghiệm tuần hoàn của một số lớp phương trình động lực học thủy khíSự tồn tại và ổn định của nghiệm tuần hoàn của một số lớp phương trình động lực học thủy khíSự tồn tại và ổn định của nghiệm tuần hoàn của một số lớp phương trình động lực học thủy khíSự tồn tại và ổn định của nghiệm tuần hoàn của một số lớp phương trình động lực học thủy khíSự tồn tại và ổn định của nghiệm tuần hoàn của một số lớp phương trình động lực học thủy khíSự tồn tại và ổn định của nghiệm tuần hoàn của một số lớp phương trình động lực học thủy khíSự tồn tại và ổn định của nghiệm tuần hoàn của một số lớp phương trình động lực học thủy khíSự tồn tại và ổn định của nghiệm tuần hoàn của một số lớp phương trình động lực học thủy khíSự tồn tại và ổn định của nghiệm tuần hoàn của một số lớp phương trình động lực học thủy khíSự tồn tại và ổn định của nghiệm tuần hoàn của một số lớp phương trình động lực học thủy khíSự tồn tại và ổn định của nghiệm tuần hoàn của một số lớp phương trình động lực học thủy khíSự tồn tại và ổn định của nghiệm tuần hoàn của một số lớp phương trình động lực học thủy khíSự tồn tại và ổn định của nghiệm tuần hoàn của một số lớp phương trình động lực học thủy khíSự tồn tại và ổn định của nghiệm tuần hoàn của một số lớp phương trình động lực học thủy khíSự tồn tại và ổn định của nghiệm tuần hoàn của một số lớp phương trình động lực học thủy khíSự tồn tại và ổn định của nghiệm tuần hoàn của một số lớp phương trình động lực học thủy khíSự tồn tại và ổn định của nghiệm tuần hoàn của một số lớp phương trình động lực học thủy khíSự tồn tại và ổn định của nghiệm tuần hoàn của một số lớp phương trình động lực học thủy khíSự tồn tại và ổn định của nghiệm tuần hoàn của một số lớp phương trình động lực học thủy khíSự tồn tại và ổn định của nghiệm tuần hoàn của một số lớp phương trình động lực học thủy khíSự tồn tại và ổn định của nghiệm tuần hoàn của một số lớp phương trình động lực học thủy khíSự tồn tại và ổn định của nghiệm tuần hoàn của một số lớp phương trình động lực học thủy khíSự tồn tại và ổn định của nghiệm tuần hoàn của một số lớp phương trình động lực học thủy khíSự tồn tại và ổn định của nghiệm tuần hoàn của một số lớp phương trình động lực học thủy khíSự tồn tại và ổn định của nghiệm tuần hoàn của một số lớp phương trình động lực học thủy khíSự tồn tại và ổn định của nghiệm tuần hoàn của một số lớp phương trình động lực học thủy khíSự tồn tại và ổn định của nghiệm tuần hoàn của một số lớp phương trình động lực học thủy khí

MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Tổng quan hướng nghiên cứu lý chọn đề tài Mục đích, đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Kết luận án Cấu trúc luận án Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 1.2 Nửa nhóm họ tiến hóa tốn tử tuyến tính 1.1.1 Nửa nhóm liên tục mạnh, tốn tử sinh 1.1.2 Nửa nhóm liên hợp 1.1.3 Nửa nhóm giải tích 1.1.4 Nửa nhóm hyperbolic 1.1.5 Họ tiến hóa Không gian hàm, không gian nội suy 1.2.1 Không gian nội suy thực 1.2.2 Không gian Lorentz 1.2.3 Phép chiếu Helmholtz Chương PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA TUYẾN TÍNH 2.1 2.2 Nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa tuyến tính 2.1.1 Nghiệm bị chặn phương trình tuyến tính không 2.1.2 Nghiệm tuần hoàn 10 Ứng dụng 10 2.2.1 10 Phương trình Stokes khơng gian hàm bị chặn i 2.2.2 Nửa nhóm thỏa mãn ước lượng Gauss 11 Chương NỬA NHÓM (X, Y, ϕ) ỔN ĐỊNH VÀ NGHIỆM TUẦN HỒN CỦA PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA 12 3.1 Tính ổn định tính tuần hồn 12 3.1.1 Phương trình tiến hóa tuyến tính: Ổn định kéo theo tuần hồn 12 3.1.2 Nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa nửa tuyến tính 13 Ứng dụng 13 3.2.1 Phương trình Navier-Stokes miền bị chặn 13 3.2.2 Phương trình Navier-Stokes miền ngoại vi 14 3.2 3.2.3 Phương trình truyền sóng Chương PHƯƠNG TRÌNH OSEEN-NAVIER-STOKES KHƠNG Ơ-TƠ-NƠM 4.1 4.2 Phương trình tuyến tính khơng ơ-tơ-nơm 15 18 19 4.1.1 Họ tiến hóa 20 4.1.2 Nghiệm bị chặn phương trình tuyến tính không 20 4.1.3 Nghiệm tuần hoàn 21 Phương trình phi tuyến 22 4.2.1 Nghiệm tuần hoàn 22 4.2.2 Tính ổn định nghiệm bị chặn nghiệm tuần hoàn 22 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 23 Những kết đạt 23 Đề xuất số hướng nghiên cứu 23 TÀI LIỆU THAM KHẢO 25 ii MỞ ĐẦU Tổng quan hướng nghiên cứu lý chọn đề tài Năm 2000, Yamazaki [13] sử dụng không gian nội suy không gian Lp yếu phương pháp lặp [14], [15] tồn nghiệm đủ tốt tuần hoàn miền ngoại vi Một số kết mở rộng miền ngoại vi, nhắc tới Taniuchi [16], van Baalen Wittwer [17], Galdi Silvestre [18] Gần đây, phương pháp Yamazaki tiếp tục mở rộng Nguyễn Thiệu Huy cộng [19, 20, 21, 22] đưa số kết tồn nghiệm bị chặn, tồn nghiệm đủ tốt tuần hồn tính ổn định chúng cho lớp phương trình tiến hóa phi tuyến, sau áp dụng vào số phương trình động lực học thủy khí cụ thể phương trình Oseen-Navier-Stokes miền ngoại vi, phương trình Ornstein-Uhlenbeck, phương trình Boussinesq miền khơng bị chặn, phương trình Oldroyd-B, Chúng tơi tiếp tục hồn thiện mở rộng kết tính bị chặn, tính ổn định, tồn nghiệm tuần hoàn phương trình tiến hóa áp dụng vào phương trình động lực học thủy khí cụ thể Từ lịch sử trình nghiên cứu lý dẫn đến việc lựa chọn đề tài: Sự tồn ổn định nghiệm tuần hoàn số lớp phương trình động lực học thủy khí Đề tài nghiên cứu tồn nghiệm đủ tốt tuần hồn phương trình tiến hóa, áp dụng vào phương trình động lực học thủy khí Cụ thể, chúng tơi nghiên cứu dạng phương trình sau: • Dạng Xét phương trình tiến hóa tuyến tính:   u0 (t) − Au(t) = f (t), t > ,  u(0) = u0 ∈ X, (1) A tốn tử sinh C0 -nửa nhóm giải tích bị chặn (T (t))t≥0 thỏa mãn giả thiết ổn định đa thức • Dạng Xét phương trình tiến hóa nửa tuyến tính: u0 (t) − Au(t) = Bg(u)(t), t > 0, (2) tốn tử đạo hàm riêng A sinh nửa nhóm liên tục mạnh (hoặc giải tích) (T (t))t≥0 , tốn tử phi tuyến g ánh xạ từ không gian hàm tuần hồn chu kì T tới khơng gian hàm tuần hồn chu kì T tốn tử tuyến tính B tốn tử liên kết khơng gian liên quan • Dạng Xét phương trình Oseen-Navier-Stokes miền ngoại vi   ut +(u · ∇)u − ∆u + ∇p      = (η(t) + ω(t) × x) · ∇u − ω × u + divF Ω × (0, ∞),       ∇·u =0 Ω × (0, ∞),  u = η(t) + ω(t) × x      u|t=0 = u0       lim u = ∂Ω × (0, ∞), (3) Ω, |x|→∞ Mục đích, đối tượng phạm vi nghiên cứu • Mục đích nghiên cứu luận án: Nghiên cứu tồn tại, tính ổn định nghiệm đủ tốt tuần hồn phương trình tiến hóa (1), (2) (3) • Đối tượng nghiên cứu luận án: Một số lớp nghiệm phương trình tiến hóa tuyến tính (1), phương trình tiến hóa nửa tuyến tính (2) phương trình Oseen-NavierStokes (3) trường hợp khơng ô-tô-nôm, miền ngoại vi • Phạm vi nghiên cứu luận án: Trong luận án này, nghiên cứu tồn tại, tính ổn định nghiệm đủ tốt tuần hồn phương trình: - Phương trình tiến hóa tuyến tính (1) với điều kiện nửa nhóm liên kết ổn định cấp đa thức Sau áp dụng vào phương trình Stokes nửa nhóm thỏa mãn ước lượng Gaussian - Phương trình tiến hóa nửa tuyến tính (2) với điều kiện nửa nhóm liên kết thỏa mãn (X, Y, ϕ)-ổn định Sau áp dụng vào phương trình Navier-Stokes miền bị chặn miền ngoại vi, phương trình truyền sóng tắt dần - Phương trình Oseen- Navier- Stokes (3) miền ngoại vi với điểm kiện ban đầu ngoại lực thuộc khơng gian Lorentz Phương pháp nghiên cứu • Trong Chương Chương 3, sử dụng nguyên lí Serrin, sử dụng tính ổn định tính bị chặn nghiệm để xây dựng dãy Cauchy hội tụ tới điểm ban đầu nghiệm đủ tốt tuần hồn phương trình tiến hóa tuyến tính Trong Chương 3, chúng tơi sử dụng nguyến lí điểm bất động để chứng minh tồn nghiệm đủ tốt tuần hoàn cho phương trình nửa tiến hóa tuyến tính • Trong Chương sử dụng phương pháp theo nguyên lí Massera, sử dụng nghiệm bị chặn tính compact để suy tồn nghiệm đủ tốt tuần hồn phương trình tuyến tính, sau sử dụng nguyên lí điểm bất động ánh xạ co để chứng minh tồn tại, nghiệm đủ tốt tuần hồn tính ổn định nghiệm phương trình phi tuyến Kết luận án • Trong Chương 2, chúng tơi tồn nghiệm đủ tốt bị chặn, tồn nghiệm đủ tốt tuần hồn phương trình tuyến tính với tốn tử A sinh nửa nhóm giải tích thỏa mãn số điều kiện ổn định • Trong Chương 3, tiếp tục mở rộng Chương cho lớp phương trình tiến hóa nửa tuyến tính tốn tử A sinh nửa nhóm thỏa mãn điều kiện (X, Y, ϕ)-ổn định Chương tồn nghiệm đủ tốt tuần hoàn phương trình tuyến tính phương trình phi tuyến Sau đó, áp dụng vào lớp phương trình dạng hyperbolic dạng parabolic • Chúng tơi tồn nghiệm đủ tốt bị chặn tồn tại, tính ổn định nghiệm đủ tốt tuần hồn phương trình Oseen-Navier-Stokes khơng ơ-tơ-nơm miền ngoại vi Các kết nghiên cứu luận án viết thành 03 báo liệt kê Danh mục cơng trình cơng bố luận án Cấu trúc luận án Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Phương trình tiến hóa tuyến tính Chương Nửa nhóm (X, Y, ϕ) ổn định nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa Chương Phương trình Oseen-Navier-Stokes khơng ơ-tơ-nơm Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 1.1.1 Nửa nhóm họ tiến hóa tốn tử tuyến tính Nửa nhóm liên tục mạnh, toán tử sinh Định nghĩa 1.1.1 Họ toán tử tuyến tính (T (t))t≥0 bị chặn X gọi nửa nhóm i) T (0) = I toán tử đồng X; ii) T (t + s) = T (t)T (s), ∀t, s ≥ Nửa nhóm (T (t))t≥0 gọi nửa nhóm liên tục mạnh (hay C0 -nửa nhóm) lim T (t)x = x, ∀x ∈ X t→0+ Mệnh đề 1.1.2 Cho (T (t))t≥0 C0 -nửa nhóm khơng gian Banach X Khi tồn số M ≥ ω ∈ R thỏa mãn kT (t)kL(X) ≤ M eωt , ∀t ≥ Định nghĩa 1.1.3 Cho (T (t))t≥0 C0 -nửa nhóm khơng gian Banach X Ta định nghĩa cận tăng trưởng ω(T ) nửa nhóm (T (t))t≥0 sau:  ω(T ) := inf ω ∈ R : tồn Mω ≥ cho kT (t)kL(X) ≤ Mω eωt , ∀t ≥ • Nửa nhóm (T (t))t≥0 gọi bị chặn tồn số C > thỏa mãn sup kT (t)kL(X) ≤ C t≥0 • Nửa nhóm (T (t))t≥0 gọi co sup kT (t)kL(X) ≤ t≥0 • Nửa nhóm (T (t))t≥0 gọi ổn định mũ cận tăng trưởng ω(T ) < Định nghĩa 1.1.4 Cho (T (t))t≥0 C0 -nửa nhóm khơng gian Banach X Tốn tử sinh A nửa nhóm xác định sau:   T (t)x − x D(A) := x ∈ X : lim tồn X t t→0+ Ax := lim t→0+ T (t)x − x , ∀x ∈ D(A) t Định lí 1.1.5 Tốn tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh tốn tử tuyến tính đóng, có miền xác định trù mật Hơn nữa, tốn tử sinh A nửa nhóm liên tục mạnh xác định nửa nhóm liên tục mạnh, kí hiệu (etA )t≥0 1.1.2 Nửa nhóm liên hợp Định nghĩa 1.1.6 Nửa nhóm liên hợp (T (t)0 )t≥0 tập hợp tất toán tử liên hợp T (t)0 không gian đối ngẫu X 1.1.3 Nửa nhóm giải tích Với < δ ≤ π , ta định nghĩa quạt sau: Σδ := {λ ∈ C : | arg λ| < δ} \ {0} Định nghĩa 1.1.7 Cho δ ∈ (0, π/2] Một nửa nhóm (T (t))t≥0 gọi nửa nhóm giải tích góc δ có mở rộng giải tích tới quạt Σδ bị chặn Σδ0 ∩ {z ∈ C : | arg z| ≤ 1} với δ ∈ (0, δ) Mở rộng (T (t))t≥0 tới Σδ kí hiệu (T (z))z∈Σδ Định nghĩa 1.1.8 Cho δ ∈ (0, π/2] Một nửa nhóm (T (t))t≥0 gọi nửa nhóm giải tích bị chặn kT (z)k bị chặn Σδ0 với < δ < δ 1.1.4 Nửa nhóm hyperbolic Định nghĩa 1.1.9 Nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 không gian Banach X gọi hyperbolic (hoặc có nhị phân mũ) tồn phép chiếu (tuyến tính, bị chặn) P X số M, ν > cho với T (t) giao hoán với P , thỏa mãn T (t)kerP = kerP , kT (t)xk ≤ M e−νt kxk với t ≥ x ∈ ImP := P X, eνt kT (t)xk ≥ kxk với t ≥ x ∈ kerP := (I − P )X M 1.1.5 (1.1) Họ tiến hóa Định nghĩa 1.1.10 Một họ hai biến toán tử tuyến tính bị chặn {U (t, s)}t≥s≥0 khơng gian Banach X gọi họ tiến hoá (liên tục mạnh, bị chặn mũ) • U (t, t) = Id U (t, r)U (r, s) = U (t, s) ∀t ≥ r ≥ s; • ánh xạ (t, s) 7→ U (t, s)x liên tục với x ∈ X; • ∃K, c ≥ cho kU (t, s)xk ≤ Kec(t−s) kxk ∀t ≥ s x ∈ X Chú ý 1.1.11 Nếu (T (t))t≥0 C0 nửa nhóm X U (t, s) = T (t − s) với t ≥ s ≥ họ tiến hóa X 1.2 Khơng gian hàm, không gian nội suy 1.2.1 Không gian nội suy thực Cho cặp nội suy (X0 , X1 ) Với x ∈ X0 + X1 t ≥ 0, ta đặt K(t, x) := inf {kx0 kX0 + tkx1 kX1 , x = x0 + x1 , x0 ∈ X0 , x1 ∈ X1 } Định nghĩa 1.2.1 Cho θ ∈ (0, 1) q ∈ [1, ∞] Ta định nghĩa số không gian nội suy thực sau: n o i) (X0 , X1 )θ,q := x ∈ X0 + X1 : kxk(X0 ,X1 )θ,q < ∞ , kxk(X0 ,X1 )θ,q ∞ 1 q Z −θ q dt   := [t K(t, x)] với q < ∞ t kxk(X0 ,X1 )θ,∞ := sup t−θ K(t, x) t∈(0,∞)  ii) (X0 , X1 )θ := x ∈ (X0 , X1 )θ,∞ : lim t −θ K(t, x) = lim t t→∞ t→0+ −θ  K(t, x) = Mệnh đề 1.2.2 Với < θ < ≤ p1 ≤ p2 ≤ ∞, ta có khẳng định sau: i) X0 ∩ X1 ⊂ (X0 , X1 )θ,p1 ⊂ (X0 , X1 )θ,p2 ⊂ (X0 , X1 )θ ⊂ (X0 , X1 )θ,∞ ⊂ X0 + X1 ii) (X0 , X1 )θ,∞ ⊂ X0 ∩ X1 , với X0 , X1 bao đóng X0 , X1 X0 + X1 Mệnh đề 1.2.3 Với θ ∈ (0, 1) p ∈ [1, ∞] (X0 , X1 )θ,p không gian Banach Với θ ∈ (0, 1) (X0 , X1 )θ không gian Banach với chuẩn (X0 , X1 )θ,∞ Mệnh đề 1.2.4 Cho cặp nội suy (X0 , X1 ) Với θ0 , θ1 , θ ∈ (0, 1) q0 , q1 , q, p ∈ [1, ∞], khẳng định sau đúng: i) ((X0 , X1 )θ0 ,q0 , (X0 , X1 )θ1 ,q1 )θ,p = (X0 , X1 )(1−θ)θ0 +θθ1 ,p ii) ((X0 , X1 )θ0 , (X0 , X1 )θ1 ,q )θ,p = (X0 , X1 )(1−θ)θ0 +θθ1 ,p iii) (X0 , (X0 , X1 )θ1 ,q )θ,p = (X0 , X1 )θθ1 ,p Định lí 1.2.5 (Định lí nội suy) Cho (X0 , X1 ) (Y0 , Y1 ) cặp nội suy Giả sử θ ∈ (0, 1), q ∈ [1, ∞] T ∈ L(X0 , Y0 ) ∩ L(X1 , Y1 ) Khi đó, T ∈ L((X0 , X1 )θ,q , (Y0 , Y1 )θ,q ) kT kL((X0 ,X1 ) θ,q ,(Y0 ,Y1 )θ,q 1−θ θ ) ≤ kT kL(X0 ,Y0 ) kT kL(X1 ,Y1 ) Mệnh đề 1.2.6 Cho cặp nội suy (X0 , X1 ) cho X0 ∩ X1 trù mật X0 X1 Với θ ∈ (0, 1) q ∈ [1, ∞], ta có khẳng định sau: i) ((X0 , X1 )θ,q )0 = (X00 , X10 )θ,q0 với 1 + = q q ii) ((X0 , X1 )θ,∞ )0 = (X00 , X10 )θ,1 Bổ đề 1.2.7 Cho cặp nội suy (X0 , X1 ) cho X0 ∩ X1 trù mật X0 X1 Giả sử với θ, θ˜ ∈ (0, 1) thỏa mãn (xn )n∈N ⊂ (X00 , X10 )θ,∞ ∩ (X00 , X10 )θ,∞ ˜ xn → x tôpô chuẩn (X00 , X10 )θ,∞ xn → y tôpô yếu (X00 , X10 )θ,∞ ˜ Khi đó, ta có x = y Định nghĩa 1.2.8 Cho hai khơng gian véc tơ tựa chuẩn X Y Toán tử T : X → Y gọi toán tử tuyến tính thỏa mãn tính chất sau: i) kT (λx)kY = |λ|kT (x)kY , với x ∈ X λ ∈ R ; ii) kT (x0 + x1 )kY ≤ M (kT (x0 )kY + kT (x1 )kY ), với x0 , x1 ∈ X, M ≥ độc lập với x0 x1 Hằng số M gọi tựa chuẩn T Định lí 1.2.9 (Định lí nội suy tổng quát) Cho (X0 , X1 ) (Y0 , Y1 ) cặp nội suy không gian véc tơ tựa chuẩn Cho T xác định X0 + X1 cho T : X0 → Y0 T : X1 → Y1 tuyến tính với tựa chuẩn M0 M1 Khi đó, với θ ∈ (0, 1) q ∈ [1, ∞] ta có T : (X0 , X1 )θ,q → (Y0 , Y1 )θ,q tuyến tính với tựa chuẩn M thỏa mãn M ≤ M01−θ M1θ 1.2.2 Không gian Lorentz Định nghĩa 1.2.10 Với < p < ∞ ≤ q ≤ ∞, khơng gian Lorentz định nghĩa sau: kukp,q  Lp,q (Ω) = u ∈ L1loc (Ω) : kukp,q < ∞ , ∞ 1/q Z  q ds  , với ≤ q < ∞ = sµ({x ∈ Ω : |u(x)| > s})1/p s kukp,∞ = sup sµ({x ∈ Ω : |u(x)| > s})1/p s>0 Ta gọi Lp,∞ (Ω) := Lpw (Ω) không gian Lp yếu Mệnh đề 1.2.11 Cho < p < ∞, ≤ q ≤ ∞ i) Ta có Lp,q (Ω) = (L1 (Ω), L∞ (Ω))θ,q với = − θ r ii) Nếu < p0 < p < p1 < ∞, ≤ q ≤ ∞ < θ < thỏa mãn θ 1−θ + = p p0 p1 Lp,q (Ω) = (Lp0 (Ω), Lp1 (Ω))θ,q iii) Ta có 0 (Lr,q (Ω))0 = Lr ,q (Ω), với r0 = r q , q0 = q = ∞ q = r−1 q−1 Bổ đề 1.2.12 ( [28, Bổ đề 2.1]) Cho < p ≤ ∞, < q < ∞ < r < ∞ thỏa mãn 1 + = Nếu f ∈ Lpw (Ω), g ∈ Lqw (Ω) f g ∈ Lrw (Ω) p q r kf gkr,w ≤ Ckf kp,w · kgkq,w , ∞ với C số phụ thuộc vào p, q Ở đây, ta hiểu L∞ w (Ω) = L (Ω) 1.2.3 Phép chiếu Helmholtz ¯ Lr (Ω) = Lrσ (Ω) ⊕ {∇p ∈ Lr (Ω) : p ∈ Lrloc (Ω)}, ∞ (Ω) Lrσ (Ω) := C0,σ k·kLr ∞ với C0,σ (Ω) := {v ∈ C0∞ (Ω) : divv = Ω} Phép chiếu P = Pr : Lr (Ω) → Lpσ (Ω) phép chiếu Helmholtz Lr (Ω) Không gian Lorentz xác định r0 r1 Lr,q σ (Ω) := (Lσ (Ω), Lσ (Ω))θ,q , với < r0 ≤ r ≤ r1 < ∞, ≤ q ≤ ∞ 1−θ θ = + Khi q = ∞, ta kí hiệu r r0 r1 Lrσ,w (Ω) := Lr,∞ σ (Ω) r,q ¯ r,q Lr,q (Ω) = Lr,q σ (Ω) ⊕ {∇p ∈ L (Ω) : p ∈ Lloc (Ω)} Khi đó, phép chiếu P = Pr,q : Lr,q (Ω) → Lr,q σ (Ω) phép chiếu Helmholtz không gian Lorentz Lr,q (Ω) Xét toán tử Stokes A Lrσ (Ω) định nghĩa A = −P∆ với miền xác định D(A) := Lrσ (Ω) ∩ W01,r (Ω) ∩ W 2,r (Ω) Bổ đề 3.2.1 Cho Ω miền bị chặn thuộc lớp C Rn , cho < p ≤ r < ∞ Khi đó, tồn số δ := δ(p, Ω) > 0, C := C(p, r, Ω) > để (i) ke−tA xkr , ke−tA xkr ≤ M e−δt t ( − r1 ) −n p kxkp (3.8) với x ∈ Lpσ (Ω) t > (ii) ( − r1 ) − 12 − n p k∇e−tA xkr , k∇e−tA xkr ≤ M e−δt t kxkp (3.9) với x ∈ Lpσ (Ω) t > Dùng phép chiếu Pr vào hai vế phương trình đầu phương trình (N-S), ta có   u + Au = Pdivg(u)(t) t (3.10)  u|t=0 = u0 ∈ Lr (Ω), σ g(u)(t) = −u(t) ⊗ u(t) + F (t), A := −P∆ toán tử Stokes Ta xét hàm v(t) định nghĩa công thức Z v(t) = t e−(t−τ )A PdivF (τ )dτ (3.11) Bổ đề 3.2.2 Cho Ω Bổ đề 3.2.1 Giả sử F ∈ Cb (R+ , Lpσ (Ω)n×n ) hàm v định nghĩa (3.11) thỏa mãn v ∈ Cb (R+ , Lqσ (Ω)) ˜ kF k∞,p kvk∞,q ≤ M với q thỏa mãn < p − q (3.12) < n1 Định lí 3.2.3 Cho Ω Bổ đề 3.2.1 Giả sử F thỏa mãn F ∈ Cb (R+ , Lpσ (Ω)n×n ) F hàm tuần hồn chu kì T theo biến thời gian t Nếu chuẩn kF k∞,p đủ nhỏ hệ phương trình (3.10) có nghiệm đủ tốt zˆ tuần hồn chu kì T hình cầu nhỏ Cb (R+ , L2p σ (Ω)) 3.2.2 Phương trình Navier-Stokes miền ngoại vi Tốn tử Stokes A Lr,q σ định nghĩa A = −P∆ với miền xác định D(A) := 1,r 2,r (Ω) Ta thấy −A sinh nửa nhóm giải tích bị chặn (e−tA ) Lr,q σ (Ω) ∩ W0 (Ω) ∩ W t≥0 Lr,q σ (Ω) Bổ đề 3.2.4 Cho Ω miền ngoại vi Rn với biên ∂Ω trơn cho < p ≤ r < ∞ Khi đó, tồn số C := C(p, r, Ω) > thỏa mãn 14 (i) Với < p ≤ r < ∞, ta có ke−tA xkr,q , ke−tA xkr,q ≤ M t −n ( − r1 ) p kxkp,q (3.13) với x ∈ Lp,q σ (Ω) t > (ii) Với < p ≤ r ≤ n, ta có k∇e−tA xkr,q , k∇e−tA xkr,q ≤ M t − 12 − 32 ( p1 − r1 ) kxkp,q (3.14) với x ∈ Lp,q σ (Ω) t > (iii) Với < p < r < ∞, ta có ke−tA xkr,1 , ke−tA xkr,1 ≤ M t ( − r1 ) −n p kxkp,∞ (3.15) với x ∈ Lp,∞ σ (Ω) t > (iv) Với < p ≤ r ≤ n, ta có k∇e−tA xkr,1 , k∇e−tA xkr,1 ≤ M t − 12 − n ( − r1 ) p kxkp,∞ (3.16) với x ∈ Lp,∞ σ (Ω) t > n/2 Bổ đề 3.2.5 Cho Ω Bổ đề 3.2.4 F ∈ Cb (R+ , Lσ,w (Ω)n×n ) hàm v định nghĩa (3.11) thỏa mãn v ∈ Cb (R+ , Lrσ,w (Ω)) ˜ kF k kvkCb (R+ ,Lrσ,w (Ω)) ≤ M C n/2 n×n ) b (R+ ,Lσ,w (Ω) (3.17) với r ≥ n2 n/2 Định lí 3.2.6 Cho miền Ω Bổ đề 3.2.4 Giả sử F thỏa mãn F ∈ Cb (R+ , Lσ,w (Ω)n×n ), F tuần hồn với chu kì T theo thời gian t Nếu chuẩn kF k∞, n2 ,w đủ nhỏ hệ phương trình (3.10) có nghiệm đủ tốt zˆ tuần hồn với chu kì T hình cầu Cb (R+ , Lnσ,w (Ω)) 3.2.3 Phương trình truyền sóng Giả sử A tốn tử xác định dương tự liên hợp với giải thức compact không gian Hilbert H r : D(A ) → H thuộc lớp C với r(0) = 0, r0 (0) = Ta xét phương trình truyền súng tt dn sau: u ă + u + Au + ωu = r(u) + f (t), t > 0;   u(0) = u0 ; u(0) ˙ = u1 ; u0 , u1 ∈ H, 15 (3.18) α > 0, ω ∈ R số dương f ∈ Cb (R+ , H) ngoại  lực Để đổi phương u trình phương trình cấp 1, ta đặt v = u˙ đổi biến U =   thuộc không gian v Y = D(A ) × H Khi đó, ta có hệ phương trình sau    ∂t U = AU + g(U )(t), t > 0;      u0    U (0) =   ∈ Y,    u1  ma trận A xác định sau A =   D(A) × H, g(U )(t) =  B = Id sau: (3.19) I −A − ω −α   với miền xác định  r(u) + f (t)  Ta viết lại phương trình (3.5) trường hợp    u0 (t) = Au(t) + g(u)(t); (3.20)   u(0) = u0 Một nghiệm đủ tốt phương trình (3.20) hàm u thỏa mãn phương trình sau: t Z u(t) = T (t)u0 + T (t − s)g(u)(s)ds với t ≥ (3.21) Chú ý 3.2.7 Nếu nửa nhóm (T (t))t≥0 khơng gian Banach Y nửa nhóm hyperbolic suy nửa nhóm (T (t))t≥0 thỏa mãn (X, Y, ϕ)-ổn định với X = P Y ϕ(t) = M e−νt với t ≥ 0, P phép chiếu nhị phân mũ M , ν số nhị phân mũ Bổ đề 3.2.8 Cho nửa nhóm (T (t))t≥0 nửa nhóm hyperbolic với phép chiếu mũ P số M, ν > Cho f ∈ Cb (R+ , Y ) cho g : Cb (R+ , Y ) → Cb (R+ , Y ) thỏa mãn điều kiện (3.6) Khi đó, ta có mệnh đề sau: (a) Cho v ∈ Cb (R+ , Y ) nghiệm phương trình (3.2) (tức nghiệm đủ tốt phương trình (3.1)) Khi đó, v biểu diễn dạng Z ∞ v(t) = T (t)ξ0 + G(t − τ )f (τ )dτ với ξ0 ∈ P Y, (3.22) G(t) hàm Green (b) Cho u ∈ Cb (R+ , Y ) nghiệm phương trình (3.7) thỏa mãn supt≥0 ku(t)kY ≤ ρ cho số cố định ρ > Khi đó, với t ≥ hàm u viết dạng Z u(t) = T (t)v0 + ∞ G(t − τ )g(u)(τ )dτ với v0 ∈ P Y, cho G Phần (a) 16 (3.23) Định lí 3.2.9 Xét phương trình (3.2) (3.7) Cho nửa nhóm (T (t))t≥s≥0 nửa nhóm hyperbolic với phép chiếu nhị phân mũ P số M, ν Cho f ∈ Cb (R+ , Y ) hàm tuần hồn với chu kì T g : Cb (R+ , Y ) → Cb (R+ , Y ) thỏa mãn điều kiện (3.6) với số ρ, L, γ Khi đó, ta có mệnh đề sau (a) Phương trình (3.2) có nghiệm tuần hồn với chu kì T (b) Khi số L, γ đủ nhỏ, phương trình (3.7) có nghiệm tuần hồn với chu kì T Định lí 3.2.10 Cho giả thuyết Định lí 3.2.9 đưa Giả sử u ˆ nghiệm tuần hồn chu kì T (3.7) có từ kết luận (b) Định lí 3.2.9 Cho Bρ (0) hình cầu chứa u ˆ kết luận (b) Định lí 3.2.9 Giả thiết thêm tồn số dương L1 thỏa mãn kg(v1 ) − g(v2 )kCb ≤ L1 kv1 − v2 kCb với v1 , v2 ∈ B2ρ (0) Nếu L1 đủ nhỏ, với v0 ∈ B ρ 2M (P u ˆ(0)) ∩ P X có u(t) phương trình (3.7) R+ thỏa mãn điều kiện P u = v0 u ∈ Bρ (ˆ u) Hơn nữa, ta có ku(t) − u ˆ(t)k ≤ Ce−µt kP u(0) − P u ˆ(0)k for t ≥ 0, (3.24) với số dương C µ khơng phụ thuộc vào u u ˆ Hệ 3.2.11 Cho giả thuyết Định lí 3.2.9 đưa cho u ˆ nghiệm tuần hồn phương trình (3.7) có từ phần kết luận [b] Định lí 3.2.9 Giả sử nửa nhóm (T (t))t≥0 ổn định mũ Khi đó, nghiệm tuần hoàn u ˆ ổn định mũ theo nghĩa với nghiệm u ∈ Cb (R+ , Y ) (3.7) thỏa mãn ku(0) − u ˆ(0)k đủ nhỏ, ta có ku(t) − u ˆ(t)k ≤ Ce−µt ku(0) − u ˆ(0)k với t ≥ (3.25) với số dương C µ khơng phụ thuộc u u ˆ Định lí 3.2.12 Cho A toán tử xác định dương, tự liên hợp với giải thức compact không gian Hilbert H, α > 0, ω ∈ R thỏa mãn −ω ∈ / σ(A) Giả sử r : D(A ) → H thuộc lớp C với r(0) = r0 (0) = Cho f ∈ Cb (R+ , H) tuần hồn với chu kì T Nếu kf kCb (R+ ,H) đủ nhỏ phương trình (3.18) có nghiệm đủ tốt u ˆ tuần hồn với chu kì T lân cận Kết chương dựa vào báo [3] Danh mục cơng trình cơng bố luận án 17 Chương PHƯƠNG TRÌNH OSEEN-NAVIER-STOKES KHƠNG Ơ-TƠ-NƠM Trong chương chúng tơi nghiên cứu phương trình Navier-Stokes miền ngoại vi vật cản xoay dịch chuyển với vận tốc phụ thuộc thời gian, vận tốc góc phụ thuộc vào thời gian Phương trình mơ tả hệ động lực gọi phương trình Oseen-NavierStokes miền ngoại vi phụ thuộc thời gian Hệ phương trình mơ tả miền ngoại vi cố định Ω ⊂ R3    ut + (u · ∇)u −∆u + ∇p     = (η(t) + ω(t) × x) · ∇u − ω(t) × u + divF       ∇·u =0             u = η(t) + ω(t) × x Ω × (0, ∞), Ω × (0, ∞), ∂Ω × (0, ∞), u|t=0 = u0 (4.1) Ω, lim u = 0, |x|→∞ u = (u1 (x, t), u2 (x, t), u3 (x, t))T vận tốc chất lỏng; p = p(x, t) áp suất; divF ngoại lực η = (0, 0, a(t))T ω = (0, 0, k(t))T tương ứng vận tốc góc vận tốc dịch chuyển vật cản Miền Ω = R3 \D(0) D(0) vị trí miền D ⊂ R3 t = Chọn R0 > thỏa mãn R3 \Ω ⊂ BR0 := {x ∈ R3 : |x| < R0 } (4.2) Ta xét hàm cắt bỏ φ ∈ C0∞ (B3R0 ) thỏa mãn φ = B2R0 đặt b(x, t) = rot{φ(x)(η(t) × x − |x|2 ω(t))} b(x, t) thỏa mãn divb = 0, b|∂Ω = η(T ) + ω(t) × x, b(t) ∈ C0∞ (B3R0 ) Hơn nữa, ta có −(a(t))2 |x|2 φ(x)   ω × b = div      −(a(t))2 |x|2 φ(x) 18 a(t)k(t)x2 φ(x)    −a(t)k(t)x1 φ(x)   = div(−F1 ),  (4.3) −k (t)x1 φ(x) −k (t)x2 φ(x) −a0 (t)|x|2 φ(x)   a (t)|x|2 φ(x) bt = div    k (t)x1 φ(x) k (t)x2 φ(x)     = div(−F2 )   (4.4) Nếu ta đặt z(x, t) = u(x, t) − b(x, t) u thỏa mãn phương trình (4.1) tương đương với z thỏa mãn   zt − ∆z               ∇·z    z       z|t=0       lim z |x|→∞ −(η + ω × x) · ∇z + ω × z + ∇p = divG − (z · ∇)z − (b · ∇)z − (z · ∇)b − (b · ∇)b Ω × (0, ∞), =0 Ω × (0, ∞), =0 ∂Ω × (0, ∞), = z0 (4.5) Ω, = 0, z0 (x) := u0 (x) − b(x, 0) G := F + F1 + F2 + ∇b + b ⊗ (η + ω × x) 4.1 (4.6) Phương trình tuyến tính khơng ơ-tơ-nơm Ta xét hệ phương trình tuyến tính sau   zt − ∆z − (η + ω × x) · ∇z + ω × z + ∇p = divG      Ω × (0, ∞),       ∇·z =0 Ω × (0, ∞), z =0             z|t=0 = z0 ∂Ω × (0, ∞), (4.7) Ω, lim z = |x|→∞ Ta đưa kí hiệu sau: |(η, ω)|0 := sup (|η(t)| + |ω(t)|), T ≥t≥0 0 |(η, ω)|1 := sup (|η (t)| + |ω (t)|), T ≥t≥0 |(η, ω)|θ := (4.8) |η(t) − η(s)| + |ω(t) − ω(s)| (t − s)θ T ≥t>s≥0 sup Giả thiết 4.1.1 Trong phần này, đưa điều kiện cho hệ số η, ω sau: i) η, ω ∈ C θ ([0, ∞), R3 ) ∩ C ([0, ∞), R3 ) ∩ L∞ (0, ∞, R3 ) với θ ∈ (0, 1); 19 ii) Tồn số m ∈ (0, ∞) thỏa mãn |(η, ω)|0 + |(η, ω)|1 + |(η, ω)|θ ≤ m 4.1.1 (4.9) Họ tiến hóa Ta xét họ tốn tử tuyến tính {L(t)}t≥0 Lr (Ω) định nghĩa sau n o D(L(t)) := u ∈ Lrσ ∩ W01,r ∩ W 2,r : (ω(t) × x) · ∇u ∈ Lr (Ω) (4.10) L(t)u := −P [∆u + (η(t) + ω(t) × x) · ∇u − ω(t) × u] với u ∈ D(L(t)) Ta biết họ toán tử {L(t)}t≥0 sinh họ tiến hóa bị chặn {U (t, s)}t≥s≥0 Lrσ (Ω) với θ ([0, ∞); R3 ) với θ ∈ (0, 1) Hơn nữa, với < r < < r < ∞ điều kiện η, ω ∈ Cloc ∞, ≤ q ≤ ∞ {U (t, s)}t≥s≥0 mở rộng tiến hóa liên tục mạnh, bị chặn Lr,q σ (Ω) Mệnh đề 4.1.2 Giả sử η(t) ω(t) thỏa mãn Giả thiết 4.1.1 Kí hiệu k · kr,q chuẩn Lr,q (Ω) (với < r < ∞, ≤ q ≤ ∞), ta có khẳng định sau: (i) − 23 ( p1 − r1 ) kU (t, s)xkr,q , kU (t, s)∗ xkr,q ≤ M (t − s) kxkp,q , (4.11) với t > s ≥ (và < p ≤ r < ∞) (ii) Với < p ≤ r < 3, ta có k∇U (t, s)xkr,q , k∇U (t, s)∗ xkr,q ≤ M (t − s) − 21 − 32 ( p1 − r1 ) kxkp,q , (4.12) với t > s ≥ (iii) Với < p ≤ r ≤ ≤ q < ∞, ta có − 21 − 32 ( p1 − r1 ) k∇U (t, s)∗ xkr,q ≤ M (t − s) Trong trường hợp p Z − t r = kxkp,q với t > s ≥ (4.13) với < p ≤ r ≤ 3, ta có k∇U (t, s)∗ xkr,1 ds ≤ M kxkp,1 với t > s ≥ (4.14) 4.1.2 Nghiệm bị chặn phương trình tuyến tính khơng Áp dụng phép chiếu Helmholtz P vào hệ (4.7), ta viết phương trình phương trình Cauchy tuyến tính khơng ơ-tơ-nơm   z + L(t)z = PdivG, t > , t  z|t=0 = z0 ∈ L3σ,w (Ω), 20 (4.15) Ta định nghĩa nghiệm đủ tốt phương trình (4.15) hàm z(t) thỏa mãn phương trình tích phân Z t U (t, τ )PdivG(τ )dτ z(t) = U (t, 0)z(0) + (4.16) Xét không gian hàm bị chặn liên tục yếu ( Cw∗,b (R+ , Lsσ,w ) := v : R+ → Lsσ,w ) : v liên tục yếu * sup kv(t)ks,w < ∞ (4.17) t∈R+ với chuẩn kvk∞,s,w := sup kv(t)ks,w t∈R+ Chú ý 4.1.3 Cho η(t) ω(t) thỏa mãn Giả thiết 4.1.1 Nếu ngoại lực F thỏa mãn F thuộc vào 3/2 3/2 không gian Cw∗,b (R+ , Lσ,w (Ω)3×3 ) G thuộc vào khơng gian Cw∗,b (R+ , Lσ,w (Ω)3×3 ), kGk∞, ,w ≤ kF k∞, ,w + C(m) (4.18) Định lí 4.1.4 Cho Ω miền ngoại vi R3 với biên thuộc lớp C 1,1 z0 ∈ L3σ,w (Ω) Giả sử η(t) ω(t) thỏa mãn Giả thiết 4.1.1 3/2 F ∈ Cw∗,b (R+ , Lσ,w (Ω)3×3 ) Khi phương trình (4.15) có nghiệm đủ tốt z ∈ Cw∗,b (R+ , L3σ,w (Ω)) biểu diễn công thức (4.16) với z(0) = z0 Hơn nữa, ta có ˜ kGk , kzk∞,3,w ≤ M kz0 k3,w + M ∞, ,w (4.19) ˜ số dương không phụ thuộc vào z0 , z, F M M 4.1.3 Nghiệm tuần hoàn Chú ý 4.1.5 Giả sử η(t) ω(t) hàm tuần hoàn với chu kì T họ tốn tử L(t) tuần hồn với chu kì T theo nghĩa L(t + T ) = L(t) với t ∈ R+ Vì họ tốn tử L(t) sinh họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 tuần hồn chu kì T theo nghĩa U (t + T, s + T ) = U (t, s) với t ≥ s ≥ (4.20) Định lí 4.1.6 Cho Ω ⊂ R3 miền ngoại vi với biên thuộc lớp C 1,1 Giả sử η(t) ω(t) 3/2 thỏa mãn Giả thiết 4.1.1 hàm tuần hồn với chu kì T Nếu F ∈ Cw∗,b (R+ , Lσ,w (Ω)3×3 ) tuần hồn với chu kì T phương trình (4.15) có nghiệm đủ tốt zˆ ∈ Cw∗,b (R+ , L3σ,w (Ω)) tuần hồn với chu kì T Hơn nữa, nghiệm tuần hồn cịn thỏa mãn ˜ (M + 1)kGk kˆ z k∞,3,w ≤ M ∞, ,w 21 (4.21) 4.2 Phương trình phi tuyến Áp dụng phép chiếu Helmholtz P vào hệ (4.5), ta viết phương trình phương trình Cauchy không ô-tô-nôm   z + L(t)z = Pdiv (G − z ⊗ z − b ⊗ z − z ⊗ b − b ⊗ b) , t  z|t=0 = z0 ∈ L3 (Ω) t > 0, (4.22) σ,w Tương tự trường hợp phương trình tuyến tính, ta định nghĩa nghiệm đủ tốt phương trình (4.22) hàm z(t) thỏa mãn phương trình tích phân sau t Z U (t, τ )Pdiv(−z ⊗ z − b ⊗ z − z ⊗ b − b ⊗ b + G(τ ))dτ z(t) = U (t, 0)z(0) + (4.23) 4.2.1 Nghiệm tuần hồn Định lí 4.2.1 Cho Ω ⊂ R3 miền ngoại vi với biên thuộc lớp C 1,1 Giả sử η(t) ω(t) thỏa 3/2 mãn Giả thiết 4.1.1 hàm tuần hoàn với chu kì T Nếu F ∈ Cw∗,b (R+ , Lσ,w (Ω)3×3 ) tuần hồn với chu kì T ; kF k∞, ,w m đủ nhỏ phương trình (4.22) có nghiệm đủ tốt zˆ tuần hồn với chu kì T cầu nhỏ thuộc không gian Cw∗,b (R+ , L3σ,w (Ω)) 4.2.2 Tính ổn định nghiệm bị chặn nghiệm tuần hồn Định lí 4.2.2 Cho Ω ⊂ R3 miền ngoại vi với biên thuộc lớp C 1,1 Giả sử điều kiện Định lí 4.2.1 đưa nghiệm đủ tốt tuần hồn chu kì T phương trình (4.22) Định lí 4.2.1 ổn định tiệm cận nghĩa với nghiệm u ∈ Cw∗,b (R+ , L3σ,w ) phương trình (4.22) thỏa mãn ku(0) − zˆ(0)k3,w , ku(0) − zˆ(0)kr,w đủ nhỏ ku(t) − zˆ(t)kr,w ≤ C t − 2r với t > (4.24) với r số thực thuộc (3, ∞) Kết chương dựa vào báo [2] Danh mục cơng trình tác giả liên quan đến luận án 22 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Những kết đạt Nội dung luận án gồm chương Chương kiến thức chuẩn bị, lại chương luận án Chương Chương sử dụng phương pháp theo nguyên lí Serrin đưa kết tồn nghiệm đủ tốt tuần hồn phương trình tiến hóa trường hợp ơ-tơ-nơm Chương nghiên cứu tốn Oseen-Navier-Stokes dạng khơng ơ-tơ-nơm sử dụng nguyên lí Massera để tồn ổn định nghiệm đủ tốt tuần hoàn Những kết luận án đạt được: • Chỉ tồn tại, nghiệm đủ tốt tuần hồn phương trình tiến hóa tuyến tính với nửa nhóm liên kết thỏa mãn đánh giá ổn định Áp dụng kết tồn tại, nghiệm đủ tốt tuần hồn phương trình tuyến tính để tồn nghiệm tuần hồn phương trình Stokes khơng gian hàm bị chặn, tồn nghiệm đủ tốt tuần hoàn phương trình tuyến tính có nửa nhóm thỏa mãn ước lượng Gauss • Chỉ tồn tại, nghiệm đủ tốt tuần hồn phương trình tiến hóa nửa tuyến tính với nửa nhóm liên kết thỏa mãn (X, Y, ϕ)-ổn định Dùng kết phương trình tiến hóa nửa tuyến tính tổng qt tồn nghiệm đủ tốt tuần hồn phương trình Navier-Stokes miền bị chặn miền ngoại vi, tồn tại, nghiệm đủ tốt tuần hồn phương trình sóng tắt dần • Chỉ tồn tại, tính ổn định cấp đa thức nghiệm đủ tốt tuần hoàn phương trình Oseen-Navier-Stokes khơng ơ-tơ-nơm (vận tốc vận cản quay dịch chuyển phụ thuộc thời gian) miền ngoại vi không gian Lorentz Đề xuất số hướng nghiên cứu Trên cở sở luận án, đề xuất số vấn đề mở sau: • Nghiên cứu tồn nghiệm đủ tốt tuần hồn phương trình tiến hóa khơng ô-tô-nôm 23 • Nghiên cứu tồn tại, tính ổn định cấp đa thức nghiệm đủ tốt tuần hồn phương trình Oseen-Navier-Stokes khơng ơ-tơ-nơm miền ngoại vi không gian nội suy khác khơng gian Lorentz có trọng Muckenhoupt,vv, • Nghiên cứu tồn nghiệm hầu tuần hồn, hầu tự đồng hình, tiệm cận hầu tuần hồn, phương trình Oseen-Navier-Stokes khơng ơ-tơ-nơm miền ngoại vi 24 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] J Massera (1950), “The existence of periodic solutions of systems of differential equations”, Duke Math J., 17, 457-475 [2] O Zubelevich (2006), “A note on theorem of Massera”, Regul Chao Dyn., 11, 475-481 [3] J Pră uss (1979), Periodic solutions of semilinear evolution equations”, Nonlinear Anal., 3, 601-612 [4] T.Yoshizawa (1975), “Stability theory and the existence of periodic solutions and almost periodic solutions”, Applied Mathematical Sciences, Springer-Verlag New YorkHeidelberg, 14 [5] J.H Liu, G.M N’Guérékata, N.V Minh (2008), “Topics on Stability and Periodicity in Abstract Differential Equations”, Series on Concrete and Applicable Mathematics, World Scientific Publishing, Singapore, [6] J Pră uss (1986), “Periodic solutions of the thermostat problem Differential equations in Banach spaces” (Book’s Chapter), Lecture Notes in Math., Springer, Berlin, 1223, 216-226 [7] J Serrin (1959), “A note on the existence of periodic solutions of the Navier-Stokes equations”, Arch Ration Mech Anal., 3, 120-122 [8] T Miyakawa, Y Teramoto (1982), “Existence and periodicity of weak solutions to the Navier-Stokes equations in a time dependent domain”, Hiroshima Math J., 12, 513-528 [9] S Kaniel, M Shinbrot (1967), “A reproductive property of the Navier-Stokes equations”, Arch Rational Mech Anal., 24, 363-369 [10] H Kozono and M Nakao (1996), “Periodic solution of the Navier-Stokes equations in unbounded domains”, Tohoku Math J., 48, 33-50 [11] P Maremonti, M Padula (1999), “Existence, uniqueness, and attainability of periodic solutions of the Navier-Stokes equations in exterior domains” , J Math Sci (New York), 93, 719-746 [12] G.P Galdi and H Sohr (2004), “Existence and uniqueness of time-periodic physically reasonable Navier Stokes flows past a body”, Arch Ration Mech Anal., 172, 363-406 25 [13] M Yamazaki (2000), “The Navier-Stokes equations in the weak−Ln space with timedependent external force”, Math Ann., 317, 635-675 [14] T Kato (1984), “Strong Lp -solutions of Navier-Stokes equations in Rn with applications to weak solutions” , Math Z., 187, 471-480 [15] Y Giga (1986), “Solutions for semilinear parabolic equations in Lp and regularity of weak solutions of the Navier-Stokes system”, J Differential Equations, 61, 186-212 [16] Y Taniuchi (2009), “On the uniqueness of time-periodic solutions to the Navier-Stokes equations in unbounded domains”, Math Z., 261, 597-615 [17] G Van Baalen and P Wittwer (2011), “Time periodic solutions of the Navier-Stokes equations with nonzero constant boundary conditions at infinity”, SIAM J Math Anal., 43, 1787-1809 [18] G.P Galdi and A.L Silvestre (2006), “Existence of time-periodic solutions to the NavierStokes equations around a moving body”, Pac J Math., 223, 251-267 [19] M Geissert, M Hieber, T.H.Nguyen (2016), “A general approach to time periodic incompressible viscous fluid flow problems”, Arch Rational Mech Anal., 220, 1095-1118 [20] N.T Huy (2014), “Periodic motions of Stokes and Navier-Stokes flows around a rotating obstacle”, Arch Ration Mech Anal., 213, 689-703 [21] M Hieber, N.T Huy and A Seyfert (2017), “On periodic and almost periodic solutions to incompressible vicous fluid flow problems on the whole line”, Mathematics for Nonlinear Phenomena: Analysis and Computation, 215, 51-81 [22] T.N.H.Vu, T.H.Nguyen and T.M.Vu (2020) “Parabolic evolution equations in interpolation spaces: boundedness, stability, and applications”, Z Angew Math Phys., 71(39), 1-17 [23] K.J.Engel, R.Nagel (2000), “One-parameter Semigroups for Linear Evolution Equations”, Graduate Text Math., Springer, Berlin, 194 [24] M.L Hein, J Pră uss (2016), The Hartman-Grobman theorem for semilinear hyperbolic evolution equations”, J Differential Equations 261, 4709-4727 [25] J Bergh, J Lă ofstră om (1976), Interpolation Spaces, Springer, Berlin [26] H Triebel (1978), “Interpolation Theory, Function Spaces, Differential Operators”, NorthHolland, Amsterdam [27] H.Komatsu (1981), “A general interpolation theorem of Marcinkiewicz type”, Tohoku Math J., 33(2), 383-393 26 [28] W Borchers and T Miyakawa (1995), “On stability of exterior stationary Navier-Stokes flows”, Acta Math., 174, 311-382 [29] T Burton ( 1985), “Stability and Periodic Solutions of Ordinary and Functional Differential Equations”, Academic Press, Orlando, Florida [30] K Abe, Y Giga, H Hieber (2012), “Stokes resolvent estimates in spaces of bounded functions”, Hokkaido University Preprint Series in Mathematics, no 1022 [31] P Maremonti (2011), “A remark on the Stokes problem with initial data in L1 ”, J Math Fluid Mech, 13, 469-480 [32] W Arendt (1994), “ Gaussian estimates and interpolation of the spectrum in Lp ”, Differential and Integral Equations, 7, 1153-1168 [33] M Hieber (1996), “ Gaussian estimates and holomorphy of semigroups on Lp spaces”, J Lond Math Soc, (2) 54 148–160 Communications on Pure and Applied Mathematics, Vol XL, 611-621 [34] T.H Nguyen, T.N.H Vu, T.M Vu (2021), “Conditional Stability of Semigroups and Periodic Solutions to Evolution Equations”, Springer INdAM Series, 43 ,331-346 [35] T.H Nguyen, T.N.H Vu (2021), “Conditional stability and periodicity of solutions to evolution equations”, Journal of Evolution Equations, 21, 3797-3812 [36] Y.Giga, H.Sohr (1989), “On the Stokes operator in exterior domains”, J Fac Sci Univ Tokyo Sect IA Math., 36, 103–130 [37] P Maremonti (1991), “Existence and stability of time periodic solutions to the NavierStokes equations in the whole space”, Nonlinearity, 4, 503-529 [38] J L Daleckii and M G Krein (1974), “Stability of Solutions of Differential Equations in Banach Spaces”, Transl Amer Math Soc Provindence RI [39] J Pră uss (1993), “Evolutionary Integral Equations and Applications”, Monogr Math., 87 [40] Y Taniuchi (1999), “On stability solutions of periodic solutions in unbounded domains”, Hokkaido Math J., 28, 147-173 [41] Y Taniuchi (2009), “On the uniqueness of time-periodic solutions to the Navier-Stokes equations in unbounded domains”, Math Z., 261, 597-615 [42] G P Galdi, A L Silvestre (2006), “ Existence of time-periodic solutions to the NavierStokes equations around a moving body”, Pacific J Math., 223, 251-267 [43] G P Galdi (2013), “Existence and uniqueness of time-periodic solutions to the NavierStokes equations in the whole plane”, Discrete Contin Dyn Syst., 6, 1237-1257 27 [44] G P Galdi (2013), “On the time-periodic flow of a viscous liquid past a moving cylinder”, Arch Ration Mech Anal., 210, 451-498 [45] T.H.Nguyen, T.X Pham, T.N.H Vu and T.M Vu (2021), ‘Periodic solutions to NavierStokes equations on non-compact Einstein manifolds with negative curvature‘”, Analysis and Mathematical Physics, 1-17 [46] T.H.Nguyen, T.N.H Vu (2022), “Navier-Stokes equations on non-compact Einstein manifolds: Stability implies periodicity”, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 505(2), 125544 [47] T Hansel and A Rhandi (2014), “The Oseen-Navier-Stokes flow in the exterior of a rotating obstacle: the non-autonomous case”, J Reine Angew Math., 694, 1-26 [48] T Hishida (2020), “Decay estimates of gradient of a generalized Oseen evolution operator arising from time-dependent rigid motions in exterior domains”, Arch Rational Mech Analy., 238, 215-254 28