Tóm tắt: Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ

Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

Luận án được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

Cán bộ hướng dẫn: PGS TS Nguyễn Như Thắng

Phản biện 1: GS.TSKH Đoàn Thái Sơn

Viện Toán học

Phản biện 2: PGS.TS Lê Văn Hiện

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

Phản biện 3: PGS.TS Đỗ Đức Thuận

Đại học Bách khoa Hà Nội

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Trường

họp tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

Có thể tìm hiểu luận án tại Thư viện Quốc gia, Hà Nội,hoặc Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

MỞ ĐẦU

1 Tổng quan vấn đề nghiên cứu

Trong những năm gần đây, các nhà toán học trên thế giới dành sự quan tâm đến các phương trình đạohàm riêng loại elliptic và parabolic không địa phương, mà một số phương trình tiêu biểu chứa toán tửLaplace phân thứ, hay p-Laplace phân thứ, nhờ những ứng dụng trong vật lí, sinh học, tài chính Tính không địa phương của phương trình có thể tới từ số hạng không gian như toán tử Laplace phânthứ, hoặc đạo hàm không địa phương theo biến thời gian (đạo hàm phân thứ, đạo hàm không địaphương, đối với phương trình kiểu parabolic)

Ta biết rằng toán tử Laplace phân thứ được định nghĩa như một toán tử không địa phương trênkhông gian các hàm giảm nhanh bởi

Ngoài ra, nếu u ∈ C2σ(RN) ∩ Ls(RN) với σ > s, thì (−∆)su(x) xác định tại mọi x ∈ RN

Cho đến nay, đã có nhiều kết quả về tính chất định tính cho nghiệm của các phương trình đạohàm riêng chứa toán tử Laplace như sự tồn tại duy nhất nghiệm, tính chính qui, tính ổn định Tuynhiên, các kết quả tương tự cho các phương trình không địa phương chứa toán tử Laplace phân thứ,p-Laplace phân thứ vẫn còn rất hạn chế bởi các khó khăn khi phải làm việc với toán tử không địaphương Khó khăn này đòi hỏi cách tiếp cận mới cho các bài toán không địa phương và các phươngtrình chứa toán tử Laplace phân thứ trở thành một trong những chủ đề quan trọng trong chuyênngành

Chủ đề thứ nhất được nghiên cứu trong luận án là phương trình Lichnerowicz phân thứ

vt+ (−∆)sv = v−p−2− vp trong RN × R (1)

và phương trình elliptic tương ứng

ở đó p > 0 và 0 < s < 1

Trong Ma và Xu (2009), Ma (2010), người ta chứng minh rằng nếu p > 1 thì phương trình (4) chỉ

có nghiệm dương tầm thường u = 1 Kết quả này sau đó được chứng minh lại bởi Brezis (2011) bằngcách sử dụng một kiểu nguyên lí cực trị và lí thuyết Keller-Osserman Hơn nữa, trong Brezis (2011)người ta còn chỉ ra rằng nếu 0 < p ≤ 1 thì (4) có nghiệm dương không tầm thường Dựa vào kết quảtrong Brezis (2011) cho (4), chúng tôi đặt câu hỏi tương tự cho trường hợp phương trình chứa toán

và còn bỏ ngỏ với số chiều N ≥ 5

Đối với lớp nghiệm trên dương của (8), định lí kiểu Liouville tối ưu cũng đã được chứng minh hoàntoàn, xem Amstrong và Sirakov (2011) Kết quả dưới đây đã được chỉ ra trong Amstrong và Sirakov(2011)

Định lí A Hệ phương trình (8) không có nghiệm trên dương nếu và chỉ nếu (p, q) thỏa mãn một trongcác điều kiện sau

(i) p ≤ 0 hoặc q ≤ 0

(ii) p, q > 0 và pq ≤ 1.

(iii) p, q > 0, pq > 1 và max

n

2(p+1) pq−1 ,2(q+1)pq−1

o

≥ N − 2

Thêm vào đó, khi p, q > 0, pq > 1 và maxn2(p+1)pq−1 ,2(q+1)pq−1 o< N − 2, hệ phương trình (6) với s = 1

có nghiệm trên dương dạng





u(x) = k1(1 + |x|2−

p+1 pq−1

v(x) = k2(1 + |x|2−

q+1 pq−1

, ở đó k1, k2 là các hằng số dương nhỏ

Bây giờ, chúng ta xét trường hợp phương trình Lane-Emden và hệ phương trình Lane-Emdenphân thứ, tức là, 0 < s < 1 Kết quả về sự tồn tại và không tồn tại nghiệm dương của phươngtrình Lane-Emden đã được mở rộng cho phương trình phân thứ, trong đó số mũ tới hạn được chobởi pc(s) = N +2sN −2s Sự tồn tại và không tồn tại nghiệm trên dương của (5) đã được nghiên cứu trongFelmer-Quaas (2011) Cụ thể, các tác giả đã thu được kết quả sau đây về sự tồn tại và không tồn tạinghiệm trên dương

Định lí C Giả sử rằng 0 < s < 1, N > 2s và p, q > 0, pq > 1 Khi đó, hệ (6) không có nghiệm trêndương nếu và chỉ nếu

Gần đây, Biswas đã chứng minh rằng, hệ (6) không có nghiệm trên dương trong trường hợp p, q > 0

và pq ≤ 1 bằng cách sử dụng kĩ thuật xác suất Tuy nhiên, theo hiểu biết của chúng tôi, cho đến nayvẫn chưa có kết quả nào về sự tồn tại và không tồn tại nghiệm trên dương của (6) khi p ≤ 0 hoặc

q ≤ 0 Do đó, dựa vào kết quả cho toán tử Laplace (Định lí A), chúng tôi sẽ chứng minh rằng hệ(6) không có nghiệm trên dương khi p ≤ 0 hoặc q ≤ 0 Ngoài ra, chúng tôi cũng đưa ra một chứngminh đơn giản về sự không tồn tại nghiệm trên dương của hệ (6) khi p > 0, q > 0 và pq ≤ 1 hoặc

p > 0, q > 0, pq > 1 và max

n

2s(p+1) pq−1 ,2s(q+1)pq−1

o

> N − 2s

Chủ đề thứ ba trong luận án là một nghiên cứu tiếp theo của chủ đề thứ hai Xét phương trình

trong đó các số mũ p và q là các số thực, (−∆)s là toán tử Laplace phân thứ với 0 < s < 1, N > 2s

và b là trường vectơ khả vi liên tục thỏa mãn điều kiện tăng trưởng ở vô cùng

|b(x)| ≤ C

Khi s = 1 và b = 0, phương trình (10) và hệ (11) lần lượt trở thành phương trình Lane-Emden và

hệ Lane-Emden Các kết quả liên quan đến phương trình và hệ phương trình này đã được nói đến ởtrên Tiếp theo chúng ta xét trường hợp 0 < s < 1 và b = 0, phương trình (10) và hệ (11) lần lượt trởthành phương trình Lane-Emden phân thứ và hệ Lane-Emden phân thứ Một số kết quả đã có chophương trình và hệ phương trình này cũng đã được đề cập ở trên

Bây giờ chúng ta chuyển sang trường hợp khi b ̸= 0 Đầu tiên, nếu s = 1, phương trình (10) và hệ(6) trở thành

Trong trường hợp tổng quát, các bài toán chứa toán tử Laplace phân thứ và số hạng gradient đãthu hút nhiều sự chú ý trong những năm gần đây Trong Petrosyan-Pop (2015), tác giả đã nghiên cứu

sự tồn tại, tính duy nhất và tính chính qui tối ưu của nghiệm của bài toán chứa toán tử

Lu = (−∆)s+ b · ∇u + cu

Ước lượng nhân nhiệt cho toán tử (−∆)s+ b · ∇ đã được đưa ra trong Chen et al (2012) Trong Barrios

- Del Pezzo (2020), sự tồn tại nghiệm trên bị chặn của phương trình

(−∆)su + |∇u|q= λf (u)

đã được chứng minh trong một số điều kiện của tham số

Theo hiểu biết của chúng tôi, cho đến nay chưa có kết quả nào về sự tồn tại và không tồn tạinghiệm trên dương của (10) và (11) Trong luận án này, chúng tôi thiết lập được điều kiện cho sựkhông tồn tại nghiệm trên dương của phương trình và hệ phương trình chứa số hạng gradient

2 Mục đích nghiên cứu

Luận án tập trung nghiên cứu tính chất định tính của nghiệm dương của phương trình Lichnerowiczphân thứ, sự tồn tại và không tồn tại nghiệm trên dương của phương trình và hệ phương trình Lane-Emden phân thứ Ngoài ra, luận án cũng tập trung chứng minh sự không tồn tại nghiệm trên dươngcủa lớp phương trình và hệ phương trình elliptic phân thứ chứa số hạng gradient

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Đối tượng nghiên cứu: Chúng tôi nghiên cứu trong luận án này một số phương trình và hệ phươngtrình elliptic phi tuyến chứa toán tử Laplace phân thứ

• Phạm vi nghiên cứu: Phạm vi nghiên cứu chính trong luận án bao gồm:

Nội dung 1: Nghiên cứu cận dưới đều, sự tồn tại và không tồn tại nghiệm dương của phương trìnhLichnerowicz parabolic chứa toán tử Laplace phân thứ

và b là trường vectơ khả vi liên tục thỏa mãn một số điều kiện tăng trưởng ở vô cùng

4 Phương pháp nghiên cứu

Các phương pháp nghiên cứu được sử dụng trong luận án như sau:

• Phương pháp hàm thử

• Xây dựng hàm phụ và sử dụng nguyên lí cực trị

• Phương pháp đổi biến để đưa hệ bất đẳng thức về một bất đẳng thức

• Đánh giá bất đẳng thức và ước lượng tích phân phi tuyến

5 Cấu trúc và các kết quả của luận án

Ngoài phần mở đầu, kết luận, kiến nghị, danh mục các công trình công bố và danh mục tài liệu thamkhảo, luận án gồm 4 chương như sau:

• Chương 1 trình bày một số kiến thức cần dùng cho các chương sau như: các bất đẳng thức sơcấp, toán tử Laplace phân thứ và một số tính chất cơ bản, một số bất đẳng thức liên quan đến toán

• Chương 4 trình bày một số kết quả về sự không tồn tại nghiệm trên dương của phương trình và

hệ phương trình elliptic chứa toán tử Laplace phân thứ và số hạng gradient

Chương 2

Tính chất nghiệm của phương trình Lichnerowicz phân thứ

Trong chương này, chúng tôi thiết lập cận dưới đều cho nghiệm dương của phương trình Lichnerowiczphân thứ Hơn nữa, với một số giả thiết về tăng trưởng của hàm phi tuyến, chúng tôi chỉ ra rằngphương trình Lichnerowicz phân thứ chỉ có nghiệm dương tầm thường Kết quả của chương này đượcviết dựa trên công trình [P1] trong Danh mục các công trình liên quan đến luận án

2.1 Phát biểu bài toán và các kết quả chính

Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu phương trình Lichnerowicz phân thứ kiểu parabolic

vt+ (−∆)sv = v−p−2− vp trong RN × R (2.1)

và phương trình elliptic tương ứng

ở đó p > 0, 0 < s < 1 và (−∆)s là toán tử Laplace phân thứ

Một nghiệm dương u của (2.2) là hàm dương u ∈ C2σ(RN) ∩ Ls(RN), σ > s, thỏa mãn (2.2) trong

RN Tương tự như vậy, một nghiệm dương v của (2.1) là hàm dương v ∈ C2σ,1(RN×R)∩L1

Kết quả chính của chương này là định lí sau đây

Định lí 2.1 Nếu p > 0 và v là nghiệm dương của (2.1) trong RN× R, thì v ≥ 1 Hơn nữa, khi p > 1,phương trình (2.1) chỉ có nghiệm dương tầm thường v = 1

Chú ý rằng một nghiệm dương u của (2.2) cũng là một nghiệm của (2.1) Do đó chúng tôi có hệquả sau đây, nó được xem như mở rộng của kết quả trong Brezis (2011) cho toán tử Laplace phânthứ

Hệ quả 2.1 Nếu p > 0 và u là một nghiệm dương của (2.2) trong RN, thì u ≥ 1 Hơn nữa, nếu p > 1,thì phương trình (2.2) chỉ có nghiệm dương tầm thường u = 1.

Dựa trên kết quả trong Brezis (2011), một câu hỏi mở được đặt ra như sau

Câu hỏi mở Khi 0 < p ≤ 1, phương trình (2.2) và (2.1) có nghiệm dương không tầm thường haykhông?

2.2 Chứng minh về cận dưới đều và sự không tồn tại nghiệm dương

Bổ đề 2.2 Cho trước hai số thực p > 1 và c > 0 Giả sử v ∈ LplocLs(RN× R), thỏa mãn (−∆)sv(·, t) ∈

L1loc(RN), là một nghiệm không âm của bất đẳng thức

theo nghĩa phân phối, tức là

−Z

với mọi hàm không âm ϕ ∈ Cc∞(RN × R) Khi đó, ta có v ≡ 0

Giả sử rằng v là một nghiệm dương của (2.1) Trước tiên ta chỉ ra tính bị chặn dưới đều như sau.Với p > 0, đặt f (t) = t−p−2− tp, t > 0 Khi đó

g(t) = (t + 1)−p−2− (t + 1)p+ tp, t ≥ 0

Khi đó,

g′(t) = −(p + 2)(t + 1)−p−3− p(t + 1)p−1+ ptp−1≤ 0

Từ đó suy ra g là giảm trên [0, ∞) và g(t) ≤ g(0) = 0 với mọi t ≥ 0 Vậy, ta có (w + 1)−p−2− (w +1)p ≤

−wp Do đó, w là một nghiệm không âm của

wt+ (−∆)sw ≤ −wp.Theo Bổ đề 2.2, ta có w ≡ 0 Do vậy, v ≡ 1

Chương 3

Sự không tồn tại nghiệm trên dương của phương trình và hệ

phương trình Lane-Emden phân thứ

ch3

Trong chương này, chúng tôi chứng minh sự không tồn tại nghiệm trên dương của phương trìnhLane-Emden phân thứ với số mũ âm Sau đó, bằng kĩ thuật chuyển hệ về phương trình, chúng tôi cũngchỉ ra được sự không tồn tại nghiệm trên dương của hệ Lane-Emden phân thứ Kết quả của chươngnày được viết dựa trên công trình [P2] trong Danh mục các công trình liên quan đến luận án

3.1 Phát biểu bài toán và các kết quả chính

Trong chương này, chúng ta xét phương trình Lane-Emden phân thứ

Trong chương này, dựa trên một số kết quả đã có cho phương trình và hệ phương trình Lane-Emdenphân thứ, chúng tôi nghiên cứu sự không tồn tại nghiệm trên dương của phương trình Lane-Emdenphân thứ (3.1) và hệ phương trình Lane-Emden phân thứ (3.2)

phương trình

Kết quả chính đầu tiên của chương này được cho trong định lí dưới đây

Định lí 3.1 Giả sử rằng 0 < s < 1 Khi đó, phương trình (3.1) không có nghiệm trên dương khi p ≤ 1

Chú ý rằng, khi s → 1+, kết quả của chúng tôi trùng với kết quả đã có trước đó cho toán tửLaplace Mặt khác, nguyên lí cực đại trong Duong (2019) không sử dụng được trong bài toán phânthứ do phép đổi biến v = 1u (u ∈ Ls(RN) không đảm bảo rằng 1u ∈ Ls(RN)).

Định lí 3.1 và Định lí B đã đưa ra câu trả lời đầy đủ cho bài toán tồn tại và không tồn tại nghiệmtrên dương của phương trình (3.1) với mọi p ∈ R Câu trả lời này được phát biểu trong hệ quả dướiđây

Hệ quả 3.1 Giả sử rằng 0 < s < 1 Khi đó, phương trình (3.1) không có nghiệm trên dương nếu vàchỉ nếu p ≤ N −2sN

Một trong những hệ quả quan trọng của Định lí 3.1 là kết quả chính trong Yang-Zou (2019) vẫnđúng với số mũ âm Cụ thể, trong Yang-Zou (2019), các tác giả đã nghiên cứu tính đối xứng của cácthành phần trong hệ

Kết quả chính thứ hai về sự không tồn tại nghiệm trên dương của hệ (3.2) được cho trong định lídưới đây

Định lí 3.2 Giả sử rằng 0 < s < 1 Khi đó, hệ (3.2) không có nghiệm trên dương nếu (p, q) thỏa mãnmột trong các điều kiện sau

Hệ quả 3.2 Cho 0 < s < 1 Khi đó, hệ (3.2) không có nghiệm trên dương nếu và chỉ nếu (p, q) thỏamãn một trong các điều kiện sau

Giả sử phản chứng rằng u là một nghiệm trên dương của (3.1) với p ≤ 1 Kí hiệu U là một mở rộngcủa u theo nghĩa Caffarelli-Silvestre

Điều này mâu thuẫn với tính dương của u.

Xét trường hợp p = 0 hoặc q = 0 Khi đó, phương trình thứ nhất hoặc phương trình thứ hai của hệ(3.2) trở thành

(−∆)su = 1hoặc

(−∆)sv = 1

Do đó, theo Định lí 3.1, các phương trình này không có nghiệm trên dương Vậy hệ đã cho cũng không

có nghiệm trên dương

Tiếp theo, ta chỉ cần xét trường hợp p ̸= 0 và q ̸= 0 Không mất tính tổng quát, giả sử p ≥ q.Trường hợp 1: p < 0 và q < 0

Đặt w = u + v Ta có

(−∆)sw ≥ Cw−k, k > 0

Điều này mâu thuẫn với Định lí 3.1

Trường hợp 2: Ta xét một trong các điều kiện sau của số mũ p, q

• q < 0 < p,

• p, q > 0 và pq ≤ 1,

• p > 0, q > 0, pq > 1 và maxn2s(p+1)pq−1 ,2s(q+1)pq−1 o> N − 2s

ở vế phải của (3.6) nhỏ hơn N −2sN Từ đó ta có mâu thuẫn.

4.1 Phát biểu bài toán và các kết quả chính

Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu phương trình

trong đó các số mũ p và q là các số thực, (−∆)s là toán tử Laplace phân thứ với 0 < s < 1, N > 2s

và b là trường vectơ khả vi liên tục thỏa mãn điều kiện tăng trưởng ở vô cùng

u, v ∈ C2σ(RN) ∩ Ls(RN) khi σ > s ≥ 1/2, u > 0, v > 0, sao cho







(−∆)su + b · ∇u ≥ vp trong RN(−∆)sv + b · ∇v ≥ uq trong RN Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu sự không tồn tại nghiệm trên dương của phương trình (4.1)

và hệ phương trình (4.2)

4.1.2 Kết quả về sự không tồn tại nghiệm trên dương của phương trình

Kết quả thứ nhất là cho phương trình (4.1) khi p < 1

Định lí 4.1 Cho p < 1 và b là trường vectơ khả vi liên tục thỏa mãn (4.3) Khi đó, phương trình (4.1)không có nghiệm trên dương

Chú ý rằng trong kết quả này, chúng tôi không yêu cầu điều kiện divb = 0

Trong trường hợp trên tuyến tính p > 1, kết quả thứ hai của chúng tôi được cho trong định lí sau.Định lí 4.2 Giả sử b là một trường vectơ khả vi liên tục thỏa mãn (4.3) và divb = 0 Khi đó, phươngtrình (4.1) không có nghiệm trên dương với điều kiện

1 < p ≤ N

N − min(2s, θ + 1).Chú ý rằng khi s = 1 và θ ≥ 1, số mũ tới hạn N −min(2s,θ+1)N trở thành số mũ trong trường hợptoán tử Laplace N −2N Khi 0 < s < 1 và θ ≥ 1, số mũ tới hạn trở thành N −2sN

Về tính tối ưu của số mũ trong Định lí 4.2, chúng ta có nhận xét sau

Nhận xét 4.1 Trong trường hợp đặc biệt khi b = 0, số mũ tới hạn trong Định lí 4.2 được chứng minh

là tối ưu Trong trường hợp tổng quát của b, số mũ tới hạn trong Định lí 4.2 vẫn là một câu hỏi mở,ngay cả trong trường hợp của toán tử Laplace

Kết quả tiếp theo cho hệ (4.2) được đưa ra trong định lí sau

Định lí 4.3 Giả sử rằng b là một trường vectơ khả vi liên tục thỏa mãn (4.3) Khi đó, hệ (4.2) không

có nghiệm trên dương nếu (p, q) thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

i) p ≤ 0 hoặc q ≤ 0;

ii) p, q > 0 và pq < 1

Như trong Định lí 4.1, ta không cần điều kiện divb = 0 trong định lí này

Tiếp theo, chúng ta trình bày kết quả cho hệ (4.2) khi p > 0, q > 0, pq > 1

Định lí 4.4 Giả sử rằng b là trường vectơ khả vi liên tục thỏa mãn (4.3) và divb = 0 Khi đó, hệ (4.2)không có nghiệm trên dương với điều kiện

Chú ý rằng nếu θ ≥ 1, thì N −min(2s,θ+1)min(2s,θ+1) = N −2s2s Trường hợp này được chứng minh là tối ưu.Ngoài ra, xét p > 1 và q > 1, ta sẽ chứng minh được kết quả về sự không tồn tại nghiệm trongtrường hợp tới hạn

Định lí 4.5 Giả sử rằng b là trường vectơ khả vi liên tục thỏa mãn (4.3) và divb = 0 Khi đó, bài toán(4.2) không có nghiệm trên dương với điều kiện