Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ QUỲNH TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH NGHIỆM CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VÀ PARABOLIC PHÂN THỨ Chuyên ngành: Mã số: Phương trình vi phân tích phân 9.46.01.03 TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Hà Nội - 2024 Luận án hoàn thành Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Cán hướng dẫn: PGS TS Nguyễn Như Thắng Phản biện 1: GS.TSKH Đồn Thái Sơn Viện Tốn học Phản biện 2: PGS.TS Lê Văn Hiện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Phản biện 3: PGS.TS Đỗ Đức Thuận Đại học Bách khoa Hà Nội Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Trường họp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội vào hồi ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận án Thư viện Quốc gia, Hà Nội, Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội MỞ ĐẦU Tổng quan vấn đề nghiên cứu Trong năm gần đây, nhà toán học giới dành quan tâm đến phương trình đạo hàm riêng loại elliptic parabolic khơng địa phương, mà số phương trình tiêu biểu chứa toán tử Laplace phân thứ, hay p-Laplace phân thứ, nhờ ứng dụng vật lí, sinh học, tài Tính khơng địa phương phương trình tới từ số hạng khơng gian tốn tử Laplace phân thứ, đạo hàm khơng địa phương theo biến thời gian (đạo hàm phân thứ, đạo hàm khơng địa phương, phương trình kiểu parabolic) Ta biết toán tử Laplace phân thứ định nghĩa tốn tử khơng địa phương không gian hàm giảm nhanh Z u(x) − u(ξ) (−∆)s u(x) = cN,s P.V dξ N +2s N R |x − ξ| Z u(x) − u(ξ) dξ, = cN,s lim ε→0 RN \Bε (x) |x − ξ|N +2s cN,s số chuẩn hoá P.V giá trị Cauchy Mặt khác, tốn tử Laplace phân thứ cịn định nghĩa thơng qua biến đổi Fourier F ((−∆)s u) (ξ) = |ξ|s Fu(ξ), với Fu biến đổi Fourier hàm u Hơn nữa, ta mở rộng định nghĩa tốn tử Laplace phân thứ theo nghĩa phân phối không gian Z |u(x)| N N Ls (R ) = u ∈ Lloc (R ); dx < ∞ N +2s RN (|x| + 1) Ngoài ra, u ∈ C 2σ (RN ) ∩ Ls (RN ) với σ > s, (−∆)s u(x) xác định x ∈ RN Cho đến nay, có nhiều kết tính chất định tính cho nghiệm phương trình đạo hàm riêng chứa tốn tử Laplace tồn nghiệm, tính qui, tính ổn định Tuy nhiên, kết tương tự cho phương trình khơng địa phương chứa tốn tử Laplace phân thứ, p-Laplace phân thứ hạn chế khó khăn phải làm việc với tốn tử khơng địa phương Khó khăn địi hỏi cách tiếp cận cho tốn khơng địa phương phương trình chứa tốn tử Laplace phân thứ trở thành chủ đề quan trọng chuyên ngành Chủ đề thứ nghiên cứu luận án phương trình Lichnerowicz phân thứ vt + (−∆)s v = v −p−2 − v p RN × R (1) phương trình elliptic tương ứng (−∆)s u = u−p−2 − up RN , p > < s < 1 (2) Nhắc lại rằng, trường hợp s = 1, (1) (2) trở thành vt − ∆v = v −p−2 − v p RN × R (3) phương trình elliptic tương ứng −∆u = u−p−2 − up RN (4) Các phương trình biết đến với tên gọi phương trình Lichnerowicz Gần đây, phương trình kiểu Lichnerowicz nhận nhiều quan tâm nhà khoa học nước Trong Ma Xu (2009), Ma (2010), người ta chứng minh p > phương trình (4) có nghiệm dương tầm thường u = Kết sau chứng minh lại Brezis (2011) cách sử dụng kiểu nguyên lí cực trị lí thuyết Keller-Osserman Hơn nữa, Brezis (2011) người ta < p ≤ (4) có nghiệm dương khơng tầm thường Dựa vào kết Brezis (2011) cho (4), đặt câu hỏi tương tự cho trường hợp phương trình chứa tốn tử Laplace phân thứ Chủ đề thứ hai luận án nghiên cứu phương trình Lane-Emden phân thứ (−∆)s u = up RN (5) hệ Lane-Emden phân thứ (−∆)s u = v p RN (−∆)s v = uq RN , (6) p, q ∈ R < s < Xét phương trình (5) với s = 1, tức phương trình Lane-Emden −∆u = up RN (7) Trong trường hợp này, tồn không tồn nghiệm dương (7) chứng minh báo tiếng Gidas Spruck (1981) Đối với lớp nghiệm dương phương trình (7), định lí kiểu Liouville tối ưu chứng minh hoàn toàn, xem Amstrong Sirakov (2011) Xét hệ (6) với s = 1, tức hệ Lane-Emden −∆u = v p RN , (8) −∆v = uq RN Giả thuyết Lane-Emden phát biểu hệ (8) có nghiệm dương p, q > 1 + ≤1− p+1 q+1 N Giả thuyết chứng minh cho lớp nghiệm radial với số chiều tùy ý Trong trường hợp nghiệm không radial, giả thuyết Lane-Emden chứng minh với số chiều N ≤ 4, xem Souplet (2009) bỏ ngỏ với số chiều N ≥ Đối với lớp nghiệm dương (8), định lí kiểu Liouville tối ưu chứng minh hoàn toàn, xem Amstrong Sirakov (2011) Kết Amstrong Sirakov (2011) Định lí A Hệ phương trình (8) khơng có nghiệm dương (p, q) thỏa mãn điều kiện sau (i) p ≤ q ≤ (ii) p, q > pq ≤ (iii) p, q > 0, pq > max n 2(p+1) 2(q+1) pq−1 , pq−1 o Thêm vào đó, p, q > 0, pq > max có nghiệm dương dạng − p+1 u(x) = k1 (1 + |x|2 pq−1 − q+1 v(x) = k (1 + |x|2 pq−1 ≥ N − n 2(p+1) 2(q+1) pq−1 , pq−1 o < N − 2, hệ phương trình (6) với s = , k1 , k2 số dương nhỏ Bây giờ, xét trường hợp phương trình Lane-Emden hệ phương trình Lane-Emden phân thứ, tức là, < s < Kết tồn không tồn nghiệm dương phương trình Lane-Emden mở rộng cho phương trình phân thứ, số mũ tới hạn cho N +2s pc (s) = N −2s Sự tồn không tồn nghiệm dương (5) nghiên cứu Felmer-Quaas (2011) Cụ thể, tác giả thu kết sau tồn không tồn nghiệm dương Định lí B Giả sử < s < N > 2s (9) Khi đó, phương trình (5) khơng có nghiệm dương với điều kiện số mũ 1 N N −2s , N N − 2s phương trình (5) có nghiệm dương dạng u(x) = ε (1 + |x|)2sk −2s với k số thỏa mãn p−1 < k < N 2s ε > nhỏ Tương tự trường hợp toán tử Laplace, câu hỏi tự nhiên phương trình (5) có nghiệm dương hay khơng −∞ < p ≤ Luận án đưa câu trả lời cho câu hỏi Nhắc lại rằng, nghiệm dương (6) cặp hàm dương (u, v), u, v ∈ C 2σ (RN ) ∩ Ls (RN ), thỏa mãn (−∆)s u ≥ v p RN (−∆)s v ≥ uq RN Bằng cách mở rộng kĩ thuật Amstrong-Sirakov (2011), tác giả Leite-Montenegro (2017) thu kết sau Định lí C Giả sử < s < 1, N > 2s p, q > 0, pq > Khi đó, hệ (6) khơng có nghiệm dương 2s(p + 1) 2s(q + 1) max , ≥ N − 2s pq − pq − Gần đây, Biswas chứng minh rằng, hệ (6) khơng có nghiệm dương trường hợp p, q > pq ≤ cách sử dụng kĩ thuật xác suất Tuy nhiên, theo hiểu biết chúng tôi, chưa có kết tồn khơng tồn nghiệm dương (6) p ≤ q ≤ Do đó, dựa vào kết cho tốn tử Laplace (Định lí A), chúng tơi chứng minh hệ (6) khơng có nghiệm dương p ≤ q ≤ Ngoài ra, đưa chứng minh đơn giản khôngntồn nghiệmotrên dương hệ (6) p > 0, q > pq ≤ 2s(q+1) p > 0, q > 0, pq > max 2s(p+1) > N − 2s pq−1 , pq−1 Chủ đề thứ ba luận án nghiên cứu chủ đề thứ hai Xét phương trình (−∆)s u + b · ∇u = up RN (10) hệ (−∆)s u + b · ∇u = v p RN (−∆)s v + b · ∇v = uq RN , (11) số mũ p q số thực, (−∆)s toán tử Laplace phân thứ với < s < 1, N > 2s b trường vectơ khả vi liên tục thỏa mãn điều kiện tăng trưởng vô |b(x)| ≤ C , với θ ≥ |x|θ (12) Khi s = b = 0, phương trình (10) hệ (11) trở thành phương trình Lane-Emden hệ Lane-Emden Các kết liên quan đến phương trình hệ phương trình nói đến Tiếp theo xét trường hợp < s < b = 0, phương trình (10) hệ (11) trở thành phương trình Lane-Emden phân thứ hệ Lane-Emden phân thứ Một số kết có cho phương trình hệ phương trình đề cập Bây chuyển sang trường hợp b ̸= Đầu tiên, s = 1, phương trình (10) hệ (6) trở thành −∆u + b · ∇u = up (13) −∆u + b · ∇u = v p −∆v + b · ∇v = uq (14) Phương trình hệ phương trình nghiên cứu nhiều năm gần Sự không tồn nghiệm dương (13) miền thiết lập Hara (2017), Duong (2019) Miền không tồn nghiệm dương trường hợp < p ≤ NN−2 Trong trường hợp tuyến tính, tức p = 1, khơng tồn nghiệm dương (13) nghiên cứu Aghajani- Cowan (2021) Sự không tồn nghiệm dương (14) tồn khơng gian nghiên cứu Duong (2019), p q không thiết phải lớn Với lớp nghiệm ổn định, số định lí kiểu Liouville cho (14) thiết lập Duong (2017), Hu (2019) Trong trường hợp tổng quát, toán chứa toán tử Laplace phân thứ số hạng gradient thu hút nhiều ý năm gần Trong Petrosyan-Pop (2015), tác giả nghiên cứu tồn tại, tính tính qui tối ưu nghiệm toán chứa toán tử Lu = (−∆)s + b · ∇u + cu Ước lượng nhân nhiệt cho toán tử (−∆)s + b · ∇ đưa Chen et al (2012) Trong Barrios - Del Pezzo (2020), tồn nghiệm bị chặn phương trình (−∆)s u + |∇u|q = λf (u) chứng minh số điều kiện tham số Theo hiểu biết chúng tôi, chưa có kết tồn không tồn nghiệm dương (10) (11) Trong luận án này, thiết lập điều kiện cho không tồn nghiệm dương phương trình hệ phương trình chứa số hạng gradient Mục đích nghiên cứu Luận án tập trung nghiên cứu tính chất định tính nghiệm dương phương trình Lichnerowicz phân thứ, tồn khơng tồn nghiệm dương phương trình hệ phương trình LaneEmden phân thứ Ngồi ra, luận án tập trung chứng minh không tồn nghiệm dương lớp phương trình hệ phương trình elliptic phân thứ chứa số hạng gradient Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Chúng nghiên cứu luận án số phương trình hệ phương trình elliptic phi tuyến chứa tốn tử Laplace phân thứ • Phạm vi nghiên cứu: Phạm vi nghiên cứu luận án bao gồm: Nội dung 1: Nghiên cứu cận đều, tồn không tồn nghiệm dương phương trình Lichnerowicz parabolic chứa tốn tử Laplace phân thứ vt + (−∆)s v = v −p−2 − v p RN × R phương trình elliptic tương ứng (−∆)s u = u−p−2 − up RN , p > < s < Nội dung 2: Nghiên cứu không tồn nghiệm dương phương trình Lane-Emden phân thứ (−∆)s u = up RN hệ Lane-Emden phân thứ (−∆)s u = v p RN (−∆)s v = uq RN , p, q ∈ R < s < Nội dung 3: Nghiên cứu không tồn nghiệm dương phương trình elliptic phân thứ (−∆)s u + b · ∇u = up RN hệ phương trình elliptic phân thứ (−∆)s u + b · ∇u = v p RN (−∆)s v + b · ∇v = uq RN , số mũ p q số thực, (−∆)s toán tử Laplace phân thứ với < s < 1, N > 2s b trường vectơ khả vi liên tục thỏa mãn số điều kiện tăng trưởng vô Phương pháp nghiên cứu Các phương pháp nghiên cứu sử dụng luận án sau: • Phương pháp hàm thử • Xây dựng hàm phụ sử dụng ngun lí cực trị • Phương pháp đổi biến để đưa hệ bất đẳng thức bất đẳng thức • Đánh giá bất đẳng thức ước lượng tích phân phi tuyến 5 Cấu trúc kết luận án Ngoài phần mở đầu, kết luận, kiến nghị, danh mục cơng trình công bố danh mục tài liệu tham khảo, luận án gồm chương sau: • Chương trình bày số kiến thức cần dùng cho chương sau như: bất đẳng thức sơ cấp, toán tử Laplace phân thứ số tính chất bản, số bất đẳng thức liên quan đến toán tử Laplace phân thứ • Chương trình bày kết cận cho nghiệm phương trình Lichnerowicz phân thứ không tồn nghiệm dương không tầm thường phương trình • Chương trình bày không tồn nghiệm dương phương trình hệ phương trình Lane-Emden phân thứ số trường hợp số mũ p, q • Chương trình bày số kết khơng tồn nghiệm dương phương trình hệ phương trình elliptic chứa tốn tử Laplace phân thứ số hạng gradient Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức chuẩn bị gồm: số bất đẳng thức thường dùng, tốn tử Laplace phân thứ số tính chất 1.1 Một số bất đẳng thức 1.2 Toán tử Laplace phân thứ 1.3 Một số tính chất 1.4 Nghiệm hệ Lane-Emden phân thứ Chương Tính chất nghiệm phương trình Lichnerowicz phân thứ Trong chương này, thiết lập cận cho nghiệm dương phương trình Lichnerowicz phân thứ Hơn nữa, với số giả thiết tăng trưởng hàm phi tuyến, chúng tơi phương trình Lichnerowicz phân thứ có nghiệm dương tầm thường Kết chương viết dựa cơng trình [P1] Danh mục cơng trình liên quan đến luận án 2.1 2.1.1 Phát biểu toán kết Phát biểu tốn Trong chương này, chúng tơi nghiên cứu phương trình Lichnerowicz phân thứ kiểu parabolic vt + (−∆)s v = v −p−2 − v p RN × R (2.1) phương trình elliptic tương ứng (−∆)s u = u−p−2 − up RN , (2.2) p > 0, < s < (−∆)s toán tử Laplace phân thứ Một nghiệm dương u (2.2) hàm dương u ∈ C 2σ (RN ) ∩ Ls (RN ), σ > s, thỏa mãn (2.2) N R Tương tự vậy, nghiệm dương v (2.1) hàm dương v ∈ C 2σ,1 (RN ×R)∩L1loc Ls (RN ×R), σ > s, thỏa mãn (2.1) RN × R Ở đây, với q ≥ 1, ta định nghĩa không gian Lqloc Ls (RN × R) khơng gian hàm v ∈ Lqloc (RN × R) cho Z aZ |v(x, t)| dxdt < ∞ với a > N +2s −a RN + |x| Dựa vào kết Brezis (2011) cho (2.2) với s = 1, chúng tơi mở rộng kết cho trường hợp phương trình chứa tốn tử Laplace phân thứ 2.1.2 Kết cận không tồn nghiệm dương khơng tầm thường Kết chương định lí sau Định lí 2.1 Nếu p > v nghiệm dương (2.1) RN × R, v ≥ Hơn nữa, p > 1, phương trình (2.1) có nghiệm dương tầm thường v = Chú ý nghiệm dương u (2.2) nghiệm (2.1) Do chúng tơi có hệ sau đây, xem mở rộng kết Brezis (2011) cho toán tử Laplace phân thứ Hệ 2.1 Nếu p > u nghiệm dương (2.2) RN , u ≥ Hơn nữa, p > 1, phương trình (2.2) có nghiệm dương tầm thường u = Dựa kết Brezis (2011), câu hỏi mở đặt sau Câu hỏi mở Khi < p ≤ 1, phương trình (2.2) (2.1) có nghiệm dương khơng tầm thường hay khơng? 2.2 Chứng minh cận không tồn nghiệm dương không tầm thường Bổ đề 2.1 Cho f : (0, ∞) → R hàm liên tục, giảm ngặt f (a) = với a > Nếu v ∈ C 2σ,1 (RN × R) ∩ L1loc Ls (RN × R) v > thỏa mãn vt + (−∆)s v ≥ f (v) RN × R (2.3) v ≥ a Tiếp theo chứng minh kết kiểu Keller-Osserman cho bất đẳng thức parabolic chứa toán tử Laplace phân thứ Bổ đề 2.2 Cho trước hai số thực p > c > Giả sử v ∈ Lploc Ls (RN × R), thỏa mãn (−∆)s v(·, t) ∈ L1loc (RN ), nghiệm không âm bất đẳng thức vt + (−∆)s v ≤ −cv p RN × R theo nghĩa phân phối, tức Z Z − vϕt dxdt + RN ×R s Z v(−∆) ϕdxdt ≤ −c RN ×R (2.4) v p ϕdxdt, (2.5) RN ×R với hàm không âm ϕ ∈ Cc∞ (RN × R) Khi đó, ta có v ≡ Giả sử v nghiệm dương (2.1) Trước tiên ta tính bị chặn sau Với p > 0, đặt f (t) = t−p−2 − , t > Khi f ′ (t) = −(p + 2)t−p−3 − ptp−1 < Do vậy, f giảm ngặt (0, ∞) f (1) = Theo Bổ đề 2.1, ta nhận v ≥ Khi p > 1, ta chứng minh v = Thật vậy, đặt w = v − ≥ Khi w thỏa mãn wt + (−∆)s w = (w + 1)−p−2 − (w + 1)p Xét hàm số g(t) = (t + 1)−p−2 − (t + 1)p + , t ≥ Khi đó, g ′ (t) = −(p + 2)(t + 1)−p−3 − p(t + 1)p−1 + ptp−1 ≤ Từ suy g giảm [0, ∞) g(t) ≤ g(0) = với t ≥ Vậy, ta có (w +1)−p−2 −(w +1)p ≤ −wp Do đó, w nghiệm khơng âm wt + (−∆)s w ≤ −wp Theo Bổ đề 2.2, ta có w ≡ Do vậy, v ≡ Chương Sự không tồn nghiệm dương phương trình hệ phương trình Lane-Emden phân thứ ch3 Trong chương này, chứng minh khơng tồn nghiệm dương phương trình Lane-Emden phân thứ với số mũ âm Sau đó, kĩ thuật chuyển hệ phương trình, chúng tơi không tồn nghiệm dương hệ Lane-Emden phân thứ Kết chương viết dựa cơng trình [P2] Danh mục cơng trình liên quan đến luận án 3.1 3.1.1 Phát biểu tốn kết Phát biểu tốn Trong chương này, xét phương trình Lane-Emden phân thứ (−∆)s u = up RN (3.1) hệ Lane-Emden phân thứ (−∆)s u = v p RN (−∆)s v = uq RN , (3.2) p, q ∈ R, < s < N > 2s Một nghiệm dương (3.1) hàm dương u ∈ C 2σ (RN ) ∩ Ls (RN ), σ > s, thỏa mãn (−∆)s u ≥ up RN Tương tự, nghiệm dương (u, v) hệ cặp hàm dương u, v ∈ C 2σ (RN ) ∩ Ls (RN ), σ > s, thỏa mãn (−∆)s u ≥ v p RN (−∆)s v ≥ uq RN Trong chương này, dựa số kết có cho phương trình hệ phương trình Lane-Emden phân thứ, chúng tơi nghiên cứu khơng tồn nghiệm dương phương trình Lane-Emden phân thứ (3.1) hệ phương trình Lane-Emden phân thứ (3.2) 3.1.2 Kết không tồn nghiệm dương phương trình hệ phương trình Kết chương cho định lí Định lí 3.1 Giả sử < s < Khi đó, phương trình (3.1) khơng có nghiệm dương p ≤ 10 Chú ý rằng, s → 1+ , kết chúng tơi trùng với kết có trước cho tốn tử Laplace Mặt khác, ngun lí cực đại Duong (2019) không sử dụng toán phân thứ phép đổi biến v = u1 (u ∈ Ls (RN ) không đảm bảo u1 ∈ Ls (RN )) Định lí 3.1 Định lí B đưa câu trả lời đầy đủ cho tốn tồn khơng tồn nghiệm dương phương trình (3.1) với p ∈ R Câu trả lời phát biểu hệ Hệ 3.1 Giả sử < s < Khi đó, phương trình (3.1) khơng có nghiệm dương p ≤ N N −2s Một hệ quan trọng Định lí 3.1 kết Yang-Zou (2019) với số mũ âm Cụ thể, Yang-Zou (2019), tác giả nghiên cứu tính đối xứng thành phần hệ (−∆)s u = ur v p RN (3.3) (−∆)s v = uq v t RN Kết Yang-Zou (2019) cần đến giả thiết r, t > với vài giả thiết khác để đảm bảo tính đối xứng thành phần Hạn chế xuất phát từ việc chứng minh Yang-Zou (2019) phụ thuộc vào kết không tồn nghiệm dương (3.1) Felmer-Quaas (2011) (xem Định lí B) Tuy nhiên, với Định lí 3.1, ta thấy điều kiện r, t > bỏ, tức là, Định lí 1.1 Yang-Zou (2019) r ≤ t ≤ Kết thứ hai khơng tồn nghiệm dương hệ (3.2) cho định lí Định lí 3.2 Giả sử < s < Khi đó, hệ (3.2) khơng có nghiệm dương (p, q) thỏa mãn điều kiện sau (i) p ≤ q ≤ (ii) p, q > pq ≤ (iii) p, q > 0, pq > max n 2s(p+1) 2s(q+1) pq−1 , pq−1 o > N − 2s Định lí 3.2 với kết trước đưa câu trả lời hoàn chỉnh cho tồn không tồn nghiệm dương hệ (3.2) với p q Câu trả lời trình bày hệ Hệ 3.2 Cho < s < Khi đó, hệ (3.2) khơng có nghiệm dương (p, q) thỏa mãn điều kiện sau (i) p ≤ q ≤ (ii) p, q > pq ≤ (iii) p, q > 0, pq > max n 2s(p+1) 2s(q+1) pq−1 , pq−1 o ≥ N − 2s 3.2 Chứng minh không tồn nghiệm dương phương trình hệ phương trình 3.2.1 Sự khơng tồn nghiệm dương phương trình với số mũ p ≤ Giả sử phản chứng u nghiệm dương (3.1) với p ≤ Kí hiệu U mở rộng u theo nghĩa Caffarelli-Silvestre 11 Trường hợp 1: p = Ta có u nghiệm dương phương trình Lane-Emden phân thứ (−∆)s u = u (3.4) U (r) ≤ −Cr2s−1 (3.5) Ta ′ Lấy tích phân (3.5), ta suy U (r) − U (0) ≤ −Cr2s hay U (r) + Cr2s ≤ U (0) Khi r đủ lớn, bất đẳng thức không Vậy, ta có điều phải chứng minh Trường hợp 2: p = Áp dụng tương tự lập luận (??) ta đến mâu thuẫn Trường hợp 3: < p < Đặt w = u1−p Ta thu (−∆)s w ≥ (1 − p) > Tương tự Trường hợp 2, ta có điều mâu thuẫn Trường hợp 4: p < Chứng minh trường hợp dựa nguyên lí cực đại Lấy a ∈ RN ε tham số dương đủ nhỏ Đặt s w(x) = u(x) + ε(1 + |x − a|2 ) Ta u(a)p ≤ Điều mâu thuẫn với tính dương u 3.2.2 Sự không tồn nghiệm dương hệ phương trình Xét trường hợp p = q = Khi đó, phương trình thứ phương trình thứ hai hệ (3.2) trở thành (−∆)s u = (−∆)s v = Do đó, theo Định lí 3.1, phương trình khơng có nghiệm dương Vậy hệ cho khơng có nghiệm dương Tiếp theo, ta cần xét trường hợp p ̸= q ̸= Không tính tổng quát, giả sử p ≥ q Trường hợp 1: p < q < Đặt w = u + v Ta có (−∆)s w ≥ Cw−k , k > Điều mâu thuẫn với Định lí 3.1 Trường hợp 2: Ta xét điều kiện sau số mũ p, q • q < < p, • p, q > pq ≤ 1, n o 2s(q+1) • p > 0, q > 0, pq > max 2s(p+1) , > N − 2s pq−1 pq−1 12 Xét hàm phụ sau w = uα v β , α, β > α + β = Ta nhận bất đẳng thức (−∆)s w ≥ Cw pq−1 1+ α(p+1)+β(q+1) (3.6) Với giả thiết p q trên, ta tồn số α, β thích hợp cho số mũ vế phải (3.6) nhỏ N N −2s Từ ta có mâu thuẫn 13 Chương Sự không tồn nghiệm dương phương trình hệ phương trình chứa tốn tử Laplace phân thứ số hạng gradient Tiếp nối Chương 3, chương này, tiếp tục nghiên cứu khơng tồn nghiệm dương phương trình hệ phương trình chứa tốn tử Laplace phân thứ số hạng gradient Kết chương viết dựa cơng trình [P3] Danh mục cơng trình liên quan đến luận án 4.1 4.1.1 Phát biểu tốn kết Phát biểu tốn Trong chương này, chúng tơi nghiên cứu phương trình (−∆)s u + b · ∇u = up RN (4.1) hệ (−∆)s u + b · ∇u = v p RN (−∆)s v + b · ∇v = uq RN , (4.2) số mũ p q số thực, (−∆)s toán tử Laplace phân thứ với < s < 1, N > 2s b trường vectơ khả vi liên tục thỏa mãn điều kiện tăng trưởng vô |b(x)| ≤ C , với θ ≥ |x|θ (4.3) Ta định nghĩa nghiệm dương u (4.1) hàm dương u ∈ C (RN ) ∩ Ls (RN ) s < 1/2 u ∈ C 2σ (RN ) ∩ Ls (RN ) σ > s ≥ 1/2 thỏa mãn (−∆)s u + b · ∇u ≥ up RN Tương tự (u, v) nghiệm dương (4.2) u, v ∈ C (RN ) ∩ Ls (RN ) s < 1/2 u, v ∈ C 2σ (RN ) ∩ Ls (RN ) σ > s ≥ 1/2, u > 0, v > 0, cho (−∆)s u + b · ∇u ≥ v p RN (−∆)s v + b · ∇v ≥ uq RN Trong chương này, nghiên cứu không tồn nghiệm dương phương trình (4.1) hệ phương trình (4.2) 14 4.1.2 Kết không tồn nghiệm dương phương trình Kết thứ cho phương trình (4.1) p < Định lí 4.1 Cho p < b trường vectơ khả vi liên tục thỏa mãn (4.3) Khi đó, phương trình (4.1) khơng có nghiệm dương Chú ý kết này, không yêu cầu điều kiện divb = Trong trường hợp tuyến tính p > 1, kết thứ hai cho định lí sau Định lí 4.2 Giả sử b trường vectơ khả vi liên tục thỏa mãn (4.3) divb = Khi đó, phương trình (4.1) khơng có nghiệm dương với điều kiện 1 pq < Như Định lí 4.1, ta không cần điều kiện divb = định lí Tiếp theo, trình bày kết cho hệ (4.2) p > 0, q > 0, pq > Định lí 4.4 Giả sử b trường vectơ khả vi liên tục thỏa mãn (4.3) divb = Khi đó, hệ (4.2) khơng có nghiệm dương với điều kiện N − min(2s, θ + 1) p+1 q+1 p, q > 0, pq > max , > pq − pq − min(2s, θ + 1) −min(2s,θ+1) −2s Chú ý θ ≥ 1, N min(2s,θ+1) = N 2s Trường hợp chứng minh tối ưu Ngoài ra, xét p > q > 1, ta chứng minh kết không tồn nghiệm trường hợp tới hạn Định lí 4.5 Giả sử b trường vectơ khả vi liên tục thỏa mãn (4.3) divb = Khi đó, tốn (4.2) khơng có nghiệm dương với điều kiện p+1 q+1 N − min(2s, θ + 1) p > 1, q > max , = pq − pq − min(2s, θ + 1) 15 Sau số câu hỏi mở liên quan đến (4.1) (4.2) Câu hỏi 1: Có tồn nghiệm dương (4.1) với p = không? Câu hỏi 2: Liệu có tồn nghiệm dương (4.2) p+1 q+1 N − min(2s, θ + 1) p > 0, q > 0, pq > max , = ? pq − pq − min(2s, θ + 1) Nhắc lại rằng, khẳng định kết khơng tồn Câu hỏi p, q > 1, xem Định lí 4.5 4.2 4.2.1 Chứng minh khơng tồn nghiệm dương phương trình hệ phương trình Sự khơng tồn nghiệm dương phương trình trường hợp tuyến tính Trường hợp p < Giả sử phản chứng u nghiệm dương (4.1) Cố định x∗ ∈ RN Xét ε > uε (x) := u(x) + εη(x), s η(x) = (1 + |x − x∗ |2 ) Ta (u(x∗ ) + ε)p ≤ Cε Cho ε → 0, ta nhận mâu thuẫn u > Trường hợp ≤ p < Giả sử phản chứng u nghiệm dương (4.1) Gọi k số thực dương thỏa p < k < 1−p Khi đó, mãn 1−p < kp − k + < Đặt w = ukp−k+1 w thỏa mãn (−∆)s w + b · ∇w ≥ (kp − k + 1)w Kết hợp Trường hợp 4.2.2 (k+1)p−k kp−k+1 (k+1)p−k kp−k+1 , (4.4) < 0, ta suy mâu thuẫn Sự khơng tồn nghiệm dương phương trình trường hợp tới hạn tới hạn N Trường hợp 1: < p < N −min(2s,θ+1) Giả sử phản chứng u nghiệm dương (4.1) Ta nhận Z up dx ≤ RN Ta suy mâu thuẫn u > N Trường hợp 2: p = N −min(2s,θ+1) Giả sử phản chứng u nghiệm dương (4.1) Ta Z p up dx ≤ Cδ p−1 RN Chọn δ đủ nhỏ bất đẳng thức trên, ta có mâu thuẫn u > 16 4.2.3 Sự không tồn nghiệm dương hệ phương trình trường hợp tới hạn Đầu tiên, p = q = 0, hệ (4.2) khơng có nghiệm dương nhờ vào Định lí 4.1 Tiếp theo ta xét p ≥ q, p ̸= and q ̸= Khi đó, ta có max p+1 q+1 , pq − pq − = p+1 pq − Sự không tồn nghiệm dương trường hợp số mũ âm bổ đề Bổ đề 4.1 Nếu p < q < hệ phương trình (4.2) khơng có nghiệm dương Tiếp theo, ta chứng minh bổ đề sau Bổ đề 4.2 Hệ (4.2) khơng có nghiệm dương điều kiện sau q < < p; p > 0, q > and pq < 1; p, q > 0, pq > and max 4.2.4 p+1 q+1 pq−1 , pq−1 > N −min(2s,1+θ) min(2s,1+θ) Sự khơng tồn nghiệm dương hệ phương trình trường hợp tới hạn Giả sử (u, v) nghiệm dương (4.2) Ta chứng minh Z v p dx ≤ C RN Tương tự, ta thu u, tức Z uq dx ≤ C RN Cuối cùng, sử dụng lập luận tương tự chứng minh Trường hợp Định lí 4.2, ta thu mâu thuẫn 17 KẾT LUẬN CỦA LUẬN ÁN Trong luận án này, chứng minh số tính chất nghiệm phương trình Lichnerowicz phân thứ không tồn nghiệm phương trình, hệ phương trình elliptic chứa tốn tử Laplace phân thứ Cụ thể: • Chứng minh nghiệm dương phương trình Lichnerowicz (2.1), với p > 0, lớn Hơn nữa, p > 1, chúng tơi chứng minh phương trình Lichnerowicz phân thứ có nghiệm dương tầm thường • Chứng tỏ phương trình Lane-Emden phân thứ khơng có nghiệm dương trường hợp số mũ nhỏ Đối với hệ, chứng minh số kết không tồn nghiệm dương hệ Lane-Emden phân thứ • Thiết lập số kết không tồn nghiệm dương phương trình hệ phương trình elliptic chứa tốn tử phân thứ số hạng gradient Ngồi ra, chúng tơi tính tốn số mũ tới hạn phụ thuộc vào dáng điệu số hạng gradient vô 18