Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ

Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .

Hà N i, 2024 ội, 2024

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

NGUYỄN THỊ QUỲNH

TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH NGHIỆM CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VÀ PARABOLIC PHÂN THỨ

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

NGUYỄN THỊ QUỲNH

TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH NGHIỆM CỦA

MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH

ELIPTIC VÀ PARABOLIC PHÂN THỨ

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Mã số: 9 46 01 03

Người hướng dẫn khoa học

PGS TS Nguyễn Như Thắng

L I CAM ĐOAN ỜI CAM ĐOAN

Lu n án này là công trình nghiên c u c a tôi dứu của tôi dưới sự hướng dẫn của ủa tôi dưới sự hướng dẫn của ưới sự hướng dẫn của ự hướng dẫn của ưới sự hướng dẫn củai s h ng d n c aẫn của ủa tôi dưới sự hướng dẫn củaPGS TS Nguy n Nh Th ng Nh ng k t qu đễn Như Thắng Những kết quả được đưa vào luận án đều đã ư ắng Những kết quả được đưa vào luận án đều đã ững kết quả được đưa vào luận án đều đã ết quả được đưa vào luận án đều đã ả được đưa vào luận án đều đã ược đưa vào luận án đều đãc đ a vào lu n án đ u đãư ều đã

được đưa vào luận án đều đãc các đ ng tác gi đ ng ồng tác giả đồng ả được đưa vào luận án đều đã ồng tác giả đồng ý Các k t qu trong lu n án là m i và ch a t ngết quả được đưa vào luận án đều đã ả được đưa vào luận án đều đã ới sự hướng dẫn của ư ừng

được đưa vào luận án đều đãc công b trong công trình c a ai khác ố trong công trình của ai khác ủa tôi dưới sự hướng dẫn của Tôi xin hoàn toàn ch u trách nhi mịu trách nhiệm ệm

n uết quả được đưa vào luận án đều đã có sự hướng dẫn của không trung th cự hướng dẫn của trong công trình nghiên c uứu của tôi dưới sự hướng dẫn của này

Nghiên c u sinh ứu sinh

Nguy n Th Quỳnh ễn Thị Quỳnh ị Quỳnh

L I C M N ỜI CAM ĐOAN ẢM ƠN ƠN

Lu n án được đưa vào luận án đều đãc th c hi n t i B môn Gi i tích, Khoa ự hướng dẫn của ệm ại Bộ môn Giải tích, Khoa ộ môn Giải tích, Khoa ả được đưa vào luận án đều đã Toán - Tin, Trường ng Đ iại Bộ môn Giải tích, Khoa

h c S ph m Hà N i, dư ại Bộ môn Giải tích, Khoa ộ môn Giải tích, Khoa ưới sự hướng dẫn của ự hướng dẫn của ưới sự hướng dẫn củai s h ng d n c a PGS TS Nguy n Nh Th ng ẫn của ủa tôi dưới sự hướng dẫn của ễn Như Thắng Những kết quả được đưa vào luận án đều đã ư ắng Những kết quả được đưa vào luận án đều đã Tácgiả được đưa vào luận án đều đã xin bày tỏ lòng kính tr ng và bi tết quả được đưa vào luận án đều đã nơn sâu s cắng Những kết quả được đưa vào luận án đều đã đ nết quả được đưa vào luận án đều đã Th y.ầy

Tác gi xin trân tr ng c m n các th y trong Ban Giám hi u, Phòng Sau ả được đưa vào luận án đều đã ả được đưa vào luận án đều đã ơn ầy ệm Đ iại Bộ môn Giải tích, Khoa

h c và Ban Ch nhi m Khoa ủa tôi dưới sự hướng dẫn của ệm Toán-Tin, Trường ng Đ i h c S ph m Hà N i ại Bộ môn Giải tích, Khoa ư ại Bộ môn Giải tích, Khoa ộ môn Giải tích, Khoa Tác

gi xin c m n các th y cô trong B môn Gi i tích đã luôn giúp đ và đ ng viênả được đưa vào luận án đều đã ả được đưa vào luận án đều đã ơn ầy ộ môn Giải tích, Khoa ả được đưa vào luận án đều đã ỡ và động viên ộ môn Giải tích, Khoa trong trong su tố trong công trình của ai khác quá trình h c t p

Tác gi xin đả được đưa vào luận án đều đã ược đưa vào luận án đều đãc bày t s c m n đ n Ban Giám hi u trỏ ự hướng dẫn của ả được đưa vào luận án đều đã ơn ết quả được đưa vào luận án đều đã ệm ường ng Đ i h c ại Bộ môn Giải tích, Khoa Côngnghi p Hà N i, các đ ng nghi p công tác t i Khoa Khoa h c c b n đã luônệm ộ môn Giải tích, Khoa ồng tác giả đồng ệm ại Bộ môn Giải tích, Khoa ơn ả được đưa vào luận án đều đã

ng h , đ ng viên và t o đi u ki n thu n l i cho tác gi trong su t th i

ủa tôi dưới sự hướng dẫn của ộ môn Giải tích, Khoa ộ môn Giải tích, Khoa ại Bộ môn Giải tích, Khoa ều đã ệm ợc đưa vào luận án đều đã ả được đưa vào luận án đều đã ố trong công trình của ai khác ờng gian

h c t p và nghiên c u.ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của

Tác gi xin trân tr ng c m n Quỹ Đ i m i sáng t o Vingroup (VinIF) đã tàiả được đưa vào luận án đều đã ả được đưa vào luận án đều đã ơn ổi mới sáng tạo Vingroup (VinIF) đã tài ới sự hướng dẫn của ại Bộ môn Giải tích, Khoa

tr đ tác gi có th t p trung h c t p, nghiên c u và hoàn thành lu n án m tợc đưa vào luận án đều đã ả được đưa vào luận án đều đã ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của ộ môn Giải tích, Khoa cách t t nh t.ố trong công trình của ai khác ất

Tác gi xin trân tr ng c m n nh ng ngả được đưa vào luận án đều đã ả được đưa vào luận án đều đã ơn ững kết quả được đưa vào luận án đều đã ường i b n nghiên c u sinh c a Bại Bộ môn Giải tích, Khoa ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của ủa tôi dưới sự hướng dẫn của ộ môn Giải tích, Khoa môn Gi i tích đã đ ng hành, chia s và giúp đ tác gi , đ c bi t là ch Chi, emả được đưa vào luận án đều đã ồng tác giả đồng ẻ và giúp đỡ tác giả, đặc biệt là chị Chi, em ỡ và động viên ả được đưa vào luận án đều đã ặc biệt là chị Chi, em ệm ịu trách nhiệm

Hi n Anh, anh Th ng ều đã ắng Những kết quả được đưa vào luận án đều đã

L i c m n sau cùng, tác gi xin dành cho gia đình, nh ng ngờng ả được đưa vào luận án đều đã ơn ả được đưa vào luận án đều đã ững kết quả được đưa vào luận án đều đã ường i đã luônyêu thươnng, chia s , đ ng viên tác gi vẻ và giúp đỡ tác giả, đặc biệt là chị Chi, em ộ môn Giải tích, Khoa ả được đưa vào luận án đều đã ược đưa vào luận án đều đãt qua khó khăn đ hoàn thành lu nán

M c l c ục lục ục lục

L I ỜI CAM ĐOAN CAM ĐOAN 1

L I ỜI CAM ĐOAN C M ẢM ƠN N ƠN 2

M C ỤC L C ỤC 3

M T ỘT SỐ KÍ HI U ỆU TH ƯỜI CAM ĐOAN NG DÙNG TRONG LU N ẬN ÁN 6

MỞ Đ U ẦU 7

1 T ng ổi mới sáng tạo Vingroup (VinIF) đã tài quan v n đất ều đã nghiên c uứu của tôi dưới sự hướng dẫn của 7

2 M c đíchục đích nghiên c uứu của tôi dưới sự hướng dẫn của 14

3 Đ i tố trong công trình của ai khác ược đưa vào luận án đều đãng và ph m vi ại Bộ môn Giải tích, Khoa nghiên c uứu của tôi dưới sự hướng dẫn của 14

4 Phươnng pháp nghiên c uứu của tôi dưới sự hướng dẫn của 15

5 C uất trúc và các k tết quả được đưa vào luận án đều đã quả được đưa vào luận án đều đã c aủa tôi dưới sự hướng dẫn của lu n án 15

Ch ương 1 Ki n th c ng ến thức ức chu n ẩn bị Quỳnh 17

1.1 M t s b tộ môn Giải tích, Khoa ố trong công trình của ai khác ất đ ngẳng th cứu của tôi dưới sự hướng dẫn của 17

1.2 Toán t Laplace phânử Laplace phân thứu của tôi dưới sự hướng dẫn của 18

1.3 M t sộ môn Giải tích, Khoa ố trong công trình của ai khác tính ch tất 19

1.4 Nghi m trên c a h Lane-Emden ệm ủa tôi dưới sự hướng dẫn của ệm phân thứu của tôi dưới sự hướng dẫn của 22

Ch ương 2 Tính ch t nghi m c a ph ng ất nghiệm của phương trình Lichnerowicz ệm của phương trình Lichnerowicz ủa phương trình Lichnerowicz ương ng trình Lichnerowicz phân thức 25 2.1 Phát bi u bài toán và các k tết quả được đưa vào luận án đều đã quả được đưa vào luận án đều đã chính 25

2.1.1 Phát bi u bài toán 25 2.1.2 K t qu v c n dết quả được đưa vào luận án đều đã ả được đưa vào luận án đều đã ều đã ưới sự hướng dẫn củai đ u và s không t n t i nghi m dều đã ự hướng dẫn của ồng tác giả đồng ại Bộ môn Giải tích, Khoa ệm ươnng không t mầy thường .26ng

2.2 Ch ng minh v c n dứu của tôi dưới sự hướng dẫn của ều đã ưới sự hướng dẫn củai đ u và s không t n t i nghi m dều đã ự hướng dẫn của ồng tác giả đồng ại Bộ môn Giải tích, Khoa ệm ươnngkhông t mầy thường 28ng2.2.1 C n dưới sự hướng dẫn của ều đã c ai đ u ủa tôi dưới sự hướng dẫn của nghi mệm 282.2.2 Sự hướng dẫn của không t nồng tác giả đồng t iại Bộ môn Giải tích, Khoa nghi mệm dươn không t mng ầy thường .30ng

Ch ương 3 S không t n t i nghi m trên d ng ự không tồn tại nghiệm trên dương của phương trình và hệ ồn tại nghiệm trên dương của phương trình và hệ ại nghiệm trên dương của phương trình và hệ ệm của phương trình Lichnerowicz ương ng c a ph ủa phương trình Lichnerowicz ương ng trình và h ệm của phương trình Lichnerowicz

ph ương ng trình Lane-Emden phân thức 37

3.1 Phát bi u bài toán và các k tết quả được đưa vào luận án đều đã quả được đưa vào luận án đều đã chính 373.1.1 Phát bi u bài toán 373.1.2 K t qu v s không t n t i nghi m trên dết quả được đưa vào luận án đều đã ả được đưa vào luận án đều đã ều đã ự hướng dẫn của ồng tác giả đồng ại Bộ môn Giải tích, Khoa ệm ươnng c a phủa tôi dưới sự hướng dẫn của ươnngtrình và hệm phươn trình 38ng3.2 Ch ng minh s không t n t i nghi m trên dứu của tôi dưới sự hướng dẫn của ự hướng dẫn của ồng tác giả đồng ại Bộ môn Giải tích, Khoa ệm ươnng c a phủa tôi dưới sự hướng dẫn của ươnng trình

và hệm phươn trình 41ng3.2.1 S không t n t i nghi m trên dự hướng dẫn của ồng tác giả đồng ại Bộ môn Giải tích, Khoa ệm ươnng c a phủa tôi dưới sự hướng dẫn của ươnng trình v i sới sự hướng dẫn của ố trong công trình của ai khác

mũ p ≤ 1 41

3.2.2 Sự hướng dẫn của không t nồng tác giả đồng t iại Bộ môn Giải tích, Khoa nghi mệm trên dươn c ang ủa tôi dưới sự hướng dẫn của hệm phươn trình 45ng

Ch ương 4 S không t n t i nghi m trên d ng ự không tồn tại nghiệm trên dương của phương trình và hệ ồn tại nghiệm trên dương của phương trình và hệ ại nghiệm trên dương của phương trình và hệ ệm của phương trình Lichnerowicz ương ng c a ph ủa phương trình Lichnerowicz ương ng trình và h ệm của phương trình Lichnerowicz

ph ương trình ch a ng ức toán tử Laplace phân thức và số h ng ại nghiệm trên dương của phương trình và hệ gradient 50

4.1 Phát bi u bài toán và các k tết quả được đưa vào luận án đều đã quả được đưa vào luận án đều đã chính 504.1.1 Phát bi u bài toán 504.1.2 K t qu v s không t n t i nghi m trên dết quả được đưa vào luận án đều đã ả được đưa vào luận án đều đã ều đã ự hướng dẫn của ồng tác giả đồng ại Bộ môn Giải tích, Khoa ệm ươnng c a phủa tôi dưới sự hướng dẫn của ươnngtrình 51

4.1.3 K t qu v s không t n t i nghi m trên dết quả được đưa vào luận án đều đã ả được đưa vào luận án đều đã ều đã ự hướng dẫn của ồng tác giả đồng ại Bộ môn Giải tích, Khoa ệm ươnng c a h phủa tôi dưới sự hướng dẫn của ệm ươnngtrình 53

4.2 Ch ng minh s không t n t i nghi m trên dứu của tôi dưới sự hướng dẫn của ự hướng dẫn của ồng tác giả đồng ại Bộ môn Giải tích, Khoa ệm ươnng c a phủa tôi dưới sự hướng dẫn của ươnng trình

và hệm phươn trình 56ng 4.2.1 S không t n t i nghi m trên dự hướng dẫn của ồng tác giả đồng ại Bộ môn Giải tích, Khoa ệm ươnng c a phủa tôi dưới sự hướng dẫn của ươnng trình trong

trường ng h p dợc đưa vào luận án đều đã ưới sự hướng dẫn của tuy ni ết quả được đưa vào luận án đều đã tính 56

4.2.2 S không t n t i nghi m trên dự hướng dẫn của ồng tác giả đồng ại Bộ môn Giải tích, Khoa ệm ươnng c a phủa tôi dưới sự hướng dẫn của ươnng trình trong trường ng h p dợc đưa vào luận án đều đã ưới sự hướng dẫn của ới sự hướng dẫn của ại Bộ môn Giải tích, Khoa i t i h n ho cặc biệt là chị Chi, em t iới sự hướng dẫn của h nại Bộ môn Giải tích, Khoa .57

4.2.3 S không t n t i nghi m trên dự hướng dẫn của ồng tác giả đồng ại Bộ môn Giải tích, Khoa ệm ươnng c a h phủa tôi dưới sự hướng dẫn của ệm ươnng trình trong trường ng h p dợc đưa vào luận án đều đã ưới sự hướng dẫn của t ii ới sự hướng dẫn của h nại Bộ môn Giải tích, Khoa .61

4.2.4 S không t n t i nghi m trên dự hướng dẫn của ồng tác giả đồng ại Bộ môn Giải tích, Khoa ệm ươnng c a h phủa tôi dưới sự hướng dẫn của ệm ươnng trình trong trường ng h pợc đưa vào luận án đều đã t iới sự hướng dẫn của h nại Bộ môn Giải tích, Khoa .64

K T ẾT LU N ẬN C A ỦA LU N ẬN ÁN 67

NGHIÊN C U ỨU TI P ẾT THEO 68

DANH M C ỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ C A ỦA LU N ẬN ÁN 69

RN Không gian vect th c ơn ự hướng dẫn của N chi u v i chu nều đã ới sự hướng dẫn của ẩn Euclid;

N

|x | Chu n Euclide c a ẩn ủa tôi dưới sự hướng dẫn của x trong không gian R ;

B R Hình c uầy tâm t iại Bộ môn Giải tích, Khoa g cố trong công trình của ai khác t a độ môn Giải tích, Khoa và bán kính R trong R N ;

B R (x ) Hình c u tâm ầy x và bán kính R trong R N ;

C k (Ω) Không gian các hàm khả được đưa vào luận án đều đã vi liên t cục đích đ nết quả được đưa vào luận án đều đã c pất k trong Ω;

C k (Ω) Không gian các hàm khả được đưa vào luận án đều đã vi liên t cục đích đ nết quả được đưa vào luận án đều đã c pất k có giá compact

trong Ω;

∇ Toán tử Laplace phân gradient;

∆ Toán tử Laplace phân Laplace;

(−∆) s Toán t Laplace phânử Laplace phân th ;ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của

L p(RN ) Không gian các hàm kh tích b c ả được đưa vào luận án đều đã p trên R N ;

p

loc(RN ) Không gian các hàm kh tích đ a phả được đưa vào luận án đều đã ịu trách nhiệm ươnng b c p trên R N ;

B (RN ) = .u ∈

L1 (R, N ); | u ( x ) | d x < ∞Σ; N

Æ (R ) Không gian Schwartz các hàm gi mả được đưa vào luận án đều đã nhanh trên R ;

C α(RN ) Không gian các hàm liên t cục đích Ho¨lder c pất α, 0 < α < 1, trên

RN ;

N

(|x | + 1) N

+2s

1 T ng ổng quan v n đ nghiên ất nghiệm của phương trình Lichnerowicz ề nghiên c u ức

Trong nh ng năm g n ững kết quả được đưa vào luận án đều đã ầy đây, các nhà toán h c trên th gi i dành s quanết quả được đưa vào luận án đều đã ới sự hướng dẫn của ự hướng dẫn củatâm đ n các phết quả được đưa vào luận án đều đã ươnng trình đ o hàm riêng lo i elliptic và parabolic không đ aại Bộ môn Giải tích, Khoa ại Bộ môn Giải tích, Khoa ịu trách nhiệm

phươnng, mà m t s phộ môn Giải tích, Khoa ố trong công trình của ai khác ươnng trình tiêu bi u ch a toán t Laplace phân th , ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của ử Laplace phân ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của hay

p-Laplace phân th , ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của nhờng nh ngững kết quả được đưa vào luận án đều đã ngứu của tôi dưới sự hướng dẫn của d ngục đích trong v t lí, sinh h c, tàichính

Tính không đ a phịu trách nhiệm ươnng c a phủa tôi dưới sự hướng dẫn của ươnng trình có th t i t s h ng không gian nhới sự hướng dẫn của ừng ố trong công trình của ai khác ại Bộ môn Giải tích, Khoa ưtoán t Laplace phân th , ho c đ o hàm không đ a phử Laplace phân ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của ặc biệt là chị Chi, em ại Bộ môn Giải tích, Khoa ịu trách nhiệm ươnng theo bi n th i ết quả được đưa vào luận án đều đã ờng gian(đ oại Bộ môn Giải tích, Khoa hàm phân th ,ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của đ oại Bộ môn Giải tích, Khoa hàm không đ aịu trách nhiệm phươnng, đ iố trong công trình của ai khác v iới sự hướng dẫn của phươn trìnhng

ki u

parabolic) H n n a, toán t Laplace phân th còn đơn ững kết quả được đưa vào luận án đều đã ử Laplace phân ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của ược đưa vào luận án đều đãc xem nh toán t sinhư ử Laplace phân

c a quá trình khu ch tán Lévy ủa tôi dưới sự hướng dẫn của ết quả được đưa vào luận án đều đã [4]

Ta bi t r ng toán t Laplace phân th ết quả được đưa vào luận án đều đã ằng toán tử Laplace phân thứ ử Laplace phân ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của (−∆) s , 0 < s < 1, được đưa vào luận án đều đãc đ nh nghĩaịu trách nhiệmnhư m tộ môn Giải tích, Khoa toán tử Laplace phân không đ aịu trách nhiệm phươn trên không gian các hàm gi mng ả được đưa vào luận án đều đã nhanh

v i ới sự hướng dẫn của ª u là bi n đ i ết quả được đưa vào luận án đều đã ổi mới sáng tạo Vingroup (VinIF) đã tài Fourier c a hàm ủa tôi dưới sự hướng dẫn của u, xem [55] H n n a, ta có th m r ngơn ững kết quả được đưa vào luận án đều đã ởi ộ môn Giải tích, Khoa

đ nhịu trách nhiệm nghĩa c aủa tôi dưới sự hướng dẫn của toán tử Laplace phân Laplace phân thứu của tôi dưới sự hướng dẫn của theo nghĩa phân ph iố trong công trình của ai khác trên không

gian,

RN

,

x ∈ R N , xem [55].

Cho đ n ết quả được đưa vào luận án đều đã nay, đã có nhi u k t qu v tính ch t đ nh tính cho nghi m c aều đã ết quả được đưa vào luận án đều đã ả được đưa vào luận án đều đã ều đã ất ịu trách nhiệm ệm ủa tôi dưới sự hướng dẫn củacác phươnng trình đ o hàm riêng ch a toán t Laplace nh s t n t i duy nh tại Bộ môn Giải tích, Khoa ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của ử Laplace phân ư ự hướng dẫn của ồng tác giả đồng ại Bộ môn Giải tích, Khoa ất.nghi m, tính chính qui, tính n đ nh ệm ổi mới sáng tạo Vingroup (VinIF) đã tài ịu trách nhiệm Tuy nhiên, các k t qu tết quả được đưa vào luận án đều đã ả được đưa vào luận án đều đã ươnng t ự hướng dẫn của chocác phươnng trình không đ a phịu trách nhiệm ươnng ch a toán t Laplace phân th , ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của ử Laplace phân ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của p-Laplace

phân th v n còn r t h n ch b i các khó khăn khi ph i làm vi c v i toán tứu của tôi dưới sự hướng dẫn của ẫn của ất ại Bộ môn Giải tích, Khoa ết quả được đưa vào luận án đều đã ởi ả được đưa vào luận án đều đã ệm ới sự hướng dẫn của ử Laplace phânkhông đ a phịu trách nhiệm ươnng Khó khăn này đòi h i cách ti p c n m i cho các bài toánỏ ết quả được đưa vào luận án đều đã ới sự hướng dẫn củakhông đ a phịu trách nhiệm ươnng và các phươnng trình ch a toán t Laplace phân th trứu của tôi dưới sự hướng dẫn của ử Laplace phân ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của ởithành m tộ môn Giải tích, Khoa trong nh ngững kết quả được đưa vào luận án đều đã chủa tôi dưới sự hướng dẫn của đều đã quan tr ng trong chuyên ngành

Ch đ th nh t đủa tôi dưới sự hướng dẫn của ều đã ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của ất ược đưa vào luận án đều đãc nghiên c u trong lu n án là phứu của tôi dưới sự hướng dẫn của ươnng trìnhLichnerow- icz phân thứu của tôi dưới sự hướng dẫn của

ki u Lichnerowicz nh n được đưa vào luận án đều đãc nhi u s quan tâm c a các nhà khoa h c trongều đã ự hướng dẫn của ủa tôi dưới sự hướng dẫn của

và ngoài nưới sự hướng dẫn củac, xem [12, 52, 53] cho phươnng trình elliptic và [29, 70, 71] cho

t Laplace phânử Laplace phân th ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của

Ch đ th hai trong lu n án là nghiên c u phủa tôi dưới sự hướng dẫn của ều đã ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của ươnng trình Lane-Emden phânthứu của tôi dưới sự hướng dẫn của

Trong trường ng h p ợc đưa vào luận án đều đã này, s t n t i và không t n t i nghi m dự hướng dẫn của ồng tác giả đồng ại Bộ môn Giải tích, Khoa ồng tác giả đồng ại Bộ môn Giải tích, Khoa ệm ươnng c a ủa tôi dưới sự hướng dẫn của (0.7) đã

được đưa vào luận án đều đãc ch ng minh trong bài báo n i ti ng c a Gidas và Spruck ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của ổi mới sáng tạo Vingroup (VinIF) đã tài ết quả được đưa vào luận án đều đã ủa tôi dưới sự hướng dẫn của [44, 45] Đ iố trong công trình của ai khác

v i l p nghi m trên dới sự hướng dẫn của ới sự hướng dẫn của ệm ươnng c a phủa tôi dưới sự hướng dẫn của ươnng trình (0.7), đ nh lí ki u Liouville t i ịu trách nhiệm ố trong công trình của ai khác uưcũng đã được đưa vào luận án đều đã ch ngc ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của minh hoàn toàn, xem [5]

Xét h ệm (0.6) v i ới sự hướng dẫn của s = 1, t c là h Lane-Emdenứu của tôi dưới sự hướng dẫn của ệm

Gi thuy t Lane-Emden phát bi u r ng h ả được đưa vào luận án đều đã ết quả được đưa vào luận án đều đã ằng toán tử Laplace phân thứ ệm (0.8) có nghi m dệm ươnng n u và chết quả được đưa vào luận án đều đã ỉ

n uết quả được đưa vào luận án đều đã

> N

trình (0.8) có nghi m trên dệm ươnng d ngại Bộ môn Giải tích, Khoa

Đ i v i l p nghi m trên dố trong công trình của ai khác ới sự hướng dẫn của ới sự hướng dẫn của ệm ươnng c a ủa tôi dưới sự hướng dẫn của (0.8), đ nh lí ki u Liouville t i u cũngịu trách nhiệm ố trong công trình của ai khác ư

đã được đưa vào luận án đều đãc ch ng minh hoàn toàn, xem ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của [5] K t qu dết quả được đưa vào luận án đều đã ả được đưa vào luận án đều đã ưới sự hướng dẫn củai đây đã được đưa vào luận án đều đãc ch ra trongỉ[5]

Đ nh ị Quỳnh lí A ([5]) Hệ ph ương trình (0.8) không có nghi m ng ệ trên d ương n u ng ếu và

ch ỉ n u ếu (p, q) TH A ỎA mãn m t ột trong các đi u ều ki n ệ SAU

đó

ởi k1 và k2 là các h ng s dằng toán tử Laplace phân thứ ố trong công trình của ai khác ươnng đ nh ủa tôi dưới sự hướng dẫn của ỏ

Bây gi , chúng ta xét trờng ường ng h p phợc đưa vào luận án đều đã ươnng trình Lane-Emden (0.5) và hệm

phươnng trình Lane-Emden phân th ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của (0.6) v i ới sự hướng dẫn của 0 < s < 1 K t qu v s t nết quả được đưa vào luận án đều đã ả được đưa vào luận án đều đã ều đã ự hướng dẫn của ồng tác giả đồng

t i và không t n t i nghi m dại Bộ môn Giải tích, Khoa ồng tác giả đồng ại Bộ môn Giải tích, Khoa ệm ươnng c a phủa tôi dưới sự hướng dẫn của ươnng trình Lane-Emden trong[44] đã được đưa vào luận án đều đãc m r ng cho phởi ộ môn Giải tích, Khoa ươnng trình Lane-Emden phân th trong ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của [18,51], đó s mũ t i h n đởi ố trong công trình của ai khác ới sự hướng dẫn của ại Bộ môn Giải tích, Khoa ược đưa vào luận án đều đãc cho b i ởi p s N + 2 s S t n t i và không t n t iự hướng dẫn của ồng tác giả đồng ại Bộ môn Giải tích, Khoa ồng tác giả đồng ại Bộ môn Giải tích, Khoa

trên dươnng c a ủa tôi dưới sự hướng dẫn của (0.5) đã được đưa vào luận án đều đãc nghiên c u trong ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của [38] C th , các tác gi đã thuục đích ả được đưa vào luận án đều đã

được đưa vào luận án đều đãc k t qu sau đây v s t n t i và không t n t i nghi m trên dết quả được đưa vào luận án đều đã ả được đưa vào luận án đều đã ều đã ự hướng dẫn của ồng tác giả đồng ại Bộ môn Giải tích, Khoa ồng tác giả đồng ại Bộ môn Giải tích, Khoa ệm ươnng

s ( p + 1 )

, 2 s ( q + 1 )

Σ

< N − 2s,

Tươnng t nh trự hướng dẫn của ư ường ng h p c a toán t Laplace, m t câu h i t nhiên làợc đưa vào luận án đều đã ủa tôi dưới sự hướng dẫn của ử Laplace phân ộ môn Giải tích, Khoa ỏ ự hướng dẫn của

phươnng trình (0.5) có nghi m trên dệm ươnng hay không khi −∞ < p ≤ 1 Lu n

án sẽ đ a ra câu tr l i cho câu h i này.ư ả được đưa vào luận án đều đã ờng ỏ

Liên quan đ n h ết quả được đưa vào luận án đều đã ệm (0.6), cho đ n nay cũng đã có m t vài k t qu ki u Liou-ết quả được đưa vào luận án đều đã ộ môn Giải tích, Khoa ết quả được đưa vào luận án đều đã ả được đưa vào luận án đều đãville trong các công trình [27, 56, 58] Ngoài ra, tính đ i x ng c a các thànhố trong công trình của ai khác ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của ủa tôi dưới sự hướng dẫn của

ph n đã đầy ược đưa vào luận án đều đãc thi t l p trong ết quả được đưa vào luận án đều đã [69] M t khác, vi c phân lo i nghi m trênặc biệt là chị Chi, em ệm ại Bộ môn Giải tích, Khoa ệm

dươnng cũng đã được đưa vào luận án đều đãc nghiên c u trong ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của [11, 49] Nh c l i r ng, nghi m trênắng Những kết quả được đưa vào luận án đều đã ại Bộ môn Giải tích, Khoa ằng toán tử Laplace phân thứ ệm

dươnng c a ủa tôi dưới sự hướng dẫn của (0.6) là m t c p hàm dộ môn Giải tích, Khoa ặc biệt là chị Chi, em ươnng (u, v), u, v ∈ C 2σ(RN ) ∩ Bs(RN ), th aỏmãn

 (−∆) s v ≥ u q trong R N

B ng cách m r ng kĩ thu t c a ằng toán tử Laplace phân thứ ởi ộ môn Giải tích, Khoa ủa tôi dưới sự hướng dẫn của [5], các tác gi trong ả được đưa vào luận án đều đã [49] đã thu được đưa vào luận án đều đãc

k t qu sau.ết quả được đưa vào luận án đều đã ả được đưa vào luận án đều đã

Đ nh lí C ị Quỳnh "Gi s r ng ả sử rằng ử rằng ằng 0 < s < 1, N > 2s và p, q > 0, pq > 1 Khi đó, h ệ (0.6) không có nghi m trên d ệ ương ng khi

Trong trường ng h pợc đưa vào luận án đều đã

pq −

nghi m trên dệm ươnng tường ng minh c a h Lane-Emden phân th cũng đã đủa tôi dưới sự hướng dẫn của ệm ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của ược đưa vào luận án đều đãc

ch ra trong ỉ [49] d ngại Bộ môn Giải tích, Khoa

G n ầy đây, Biswas [11] đã ch ng minh r ng, h ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của ằng toán tử Laplace phân thứ ệm (0.6) không có nghi m ệm trên

dươnng trong trường ng h p ợc đưa vào luận án đều đã p, q > 0 và pq ≤ 1 b ng cách s d ng kĩ thu t xácằng toán tử Laplace phân thứ ử Laplace phân ục đích

su t ất Tuy nhiên, theo hi u bi t c a chúng tôi, cho đ n nay v n ch a có k tết quả được đưa vào luận án đều đã ủa tôi dưới sự hướng dẫn của ết quả được đưa vào luận án đều đã ẫn của ư ết quả được đưa vào luận án đều đãquả được đưa vào luận án đều đã nào vều đã sự hướng dẫn của t nồng tác giả đồng t iại Bộ môn Giải tích, Khoa và không t nồng tác giả đồng t iại Bộ môn Giải tích, Khoa nghi mệm trên dươn c ang ủa tôi dưới sự hướng dẫn của (0.6) khi p

≤ 0

ho cặc biệt là chị Chi, em q ≤ 0 Do đó, d aự hướng dẫn của vào k tết quả được đưa vào luận án đều đã quả được đưa vào luận án đều đã đã có cho toán tử Laplace phân Laplace (Đ nhịu trách nhiệm lí A),chúng tôi sẽ ch ngứu của tôi dưới sự hướng dẫn của minh r ngằng toán tử Laplace phân thứ hệm (0.6) không có nghi mệm trên dươn khi p ≤ng

0 ho c ặc biệt là chị Chi, em q ≤ 0 Ngoài ra, chúng tôi cũng đ a ra m t ch ng minh đ n gi n vư ộ môn Giải tích, Khoa ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của ơn ả được đưa vào luận án đều đã ều đã

s không t n t i nghi m trên dự hướng dẫn của ồng tác giả đồng ại Bộ môn Giải tích, Khoa ệm ươnng c a h ủa tôi dưới sự hướng dẫn của ệm (0.6) khi p > 0, q > 0 và pq 1

v i ới sự hướng dẫn của 0 < s < 1, N > 2s và b là trường ng vect kh vi liên t c th a mãn đi uơn ả được đưa vào luận án đều đã ục đích ỏ ều đã

ki n ệm tăng trưởing vôởi cùng

C

|b(x )| ≤

|x |θ , v iới sự hướng dẫn của θ ≥ 0. (0.12)

Khi s = 1 và b = 0, phươnng trình (0.10) và h ệm (0.11) l n lầy ược đưa vào luận án đều đãt tr ởithành phươn trình Lane-Emden và hệm Lane-Emden Các k tng ết quả được đưa vào luận án đều đã quả được đưa vào luận án đều đã liên quan

đ nết quả được đưa vào luận án đều đã phươnng trình và hệm phươnng trình này đã được đưa vào luận án đều đã nói đ nc ết quả được đưa vào luận án đều đã ởi trên Ti pết quả được đưa vào luận án đều đã theo chúng ta xét trường h png ợc đưa vào luận án đều đã 0 < s < 1 và b = 0, phươnng trình (0.10) và hệm (0.11) l nầy lược đưa vào luận án đều đã tr t ởi thành phươnng trình Lane-Emden phân th và h ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của ệmLane-Emden phân th M t sứu của tôi dưới sự hướng dẫn của ộ môn Giải tích, Khoa ố trong công trình của ai khác k tết quả được đưa vào luận án đều đã quả được đưa vào luận án đều đã đã có cho phươn trình và hệm ng

phươn trình này cũng đã đng ược đưa vào luận án đều đã đều đã c p ởi trên.c

2

dươnng c a ủa tôi dưới sự hướng dẫn của (0.13) trên các mi n ngoài đã đều đã ược đưa vào luận án đều đãc thi t l p trong ết quả được đưa vào luận án đều đã [8, 9, 31, 46].

Đi uều đã ki nệm cho sự hướng dẫn của không t nồng tác giả đồng t iại Bộ môn Giải tích, Khoa nghi mệm trên dươn trong trng ường h png ợc đưa vào luận án đều đã nàylà

1 p N Trong trường ng h p tuy n tính, t cợc đưa vào luận án đều đã ết quả được đưa vào luận án đều đã ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của là p 1, s không t nự hướng dẫn của ồng tác giả đồng t iại Bộ môn Giải tích, Khoa

N −2

nghi m trên dệm ươnng c a ủa tôi dưới sự hướng dẫn của (0.13) đã được đưa vào luận án đều đãc nghiên c u trong ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của [1, 8, 9] S khôngự hướng dẫn của

t n t i nghi m trên dồng tác giả đồng ại Bộ môn Giải tích, Khoa ệm ươnng c a ủa tôi dưới sự hướng dẫn của (0.14) trên toàn không gian đã được đưa vào luận án đều đãc nghiên

c u trong ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của [31], trong đó p và q không nh t thi t ph i l n h n m t ất ết quả được đưa vào luận án đều đã ả được đưa vào luận án đều đã ới sự hướng dẫn của ơn ộ môn Giải tích, Khoa V i ới sự hướng dẫn của l pới sự hướng dẫn củanghi m n đ nh, m t s đ nh lí ki u Liouville cho ệm ổi mới sáng tạo Vingroup (VinIF) đã tài ịu trách nhiệm ộ môn Giải tích, Khoa ố trong công trình của ai khác ịu trách nhiệm (0.14) đã được đưa vào luận án đều đãc thi t ết quả được đưa vào luận án đều đã l ptrong [30, 48]

Trong trường ng h p t ng quát, các bài toán ch a toán t Laplace phân ợc đưa vào luận án đều đã ổi mới sáng tạo Vingroup (VinIF) đã tài ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của ử Laplace phân thứu của tôi dưới sự hướng dẫn của

và s h ng gradient đã thu hút nhi u s chú ý trong nh ng năm g n đâyố trong công trình của ai khác ại Bộ môn Giải tích, Khoa ều đã ự hướng dẫn của ững kết quả được đưa vào luận án đều đã ầy.[6, 7, 19, 36, 39, 43, 57, 68] Trong [57], tác gi đã nghiên c u s t n t i, ả được đưa vào luận án đều đã ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của ự hướng dẫn của ồng tác giả đồng ại Bộ môn Giải tích, Khoa tínhduy nh tất và tính chính qui t iố trong công trình của ai khác uư c aủa tôi dưới sự hướng dẫn của nghi mệm c aủa tôi dưới sự hướng dẫn của bài toán ch aứu của tôi dưới sự hướng dẫn của toán tử Laplace phân

Lu = (−∆) s + b · ∇u + cu.

c l ng nhân nhi t cho toán t

Ưới sự hướng dẫn của ược đưa vào luận án đều đã ệm ử Laplace phân (−∆) s + b · ∇ đã được đưa vào luận án đều đãc đ a ra trong ư [17, 19].Trong [7], s t n t i nghi m trên b ch n c a phự hướng dẫn của ồng tác giả đồng ại Bộ môn Giải tích, Khoa ệm ịu trách nhiệm ặc biệt là chị Chi, em ủa tôi dưới sự hướng dẫn của ươnng trình

(−∆) s u + |∇u| q = λf (u)

đã được đưa vào luận án đều đãc ch ng minh trong m t s đi u ki n c a tham s ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của ộ môn Giải tích, Khoa ố trong công trình của ai khác ều đã ệm ủa tôi dưới sự hướng dẫn của ố trong công trình của ai khác

Theo hi u bi t c a chúng tôi, cho đ n nay ch a có k t qu nào v s t nết quả được đưa vào luận án đều đã ủa tôi dưới sự hướng dẫn của ết quả được đưa vào luận án đều đã ư ết quả được đưa vào luận án đều đã ả được đưa vào luận án đều đã ều đã ự hướng dẫn của ồng tác giả đồng

t i và không t n t i nghi m trên dại Bộ môn Giải tích, Khoa ồng tác giả đồng ại Bộ môn Giải tích, Khoa ệm ươnng c a ủa tôi dưới sự hướng dẫn của (0.10) và (0.11) Trong lu n ánnày, chúng tôi thi t l p đết quả được đưa vào luận án đều đã ược đưa vào luận án đều đãc đi u ki n cho s không t n t i nghi m trênều đã ệm ự hướng dẫn của ồng tác giả đồng ại Bộ môn Giải tích, Khoa ệm

dươnng c a phủa tôi dưới sự hướng dẫn của ươnng trình và h phệm ươnng trình ch a s h ng gradient.ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của ố trong công trình của ai khác ại Bộ môn Giải tích, Khoa



 (−∆) s u = v p trong

RN

2 M c đích nghiên ục lục c u ức

Lu n án t p trung nghiên c u tính ch t đ nh tính c a nghi m dứu của tôi dưới sự hướng dẫn của ất ịu trách nhiệm ủa tôi dưới sự hướng dẫn của ệm ươnng c aủa tôi dưới sự hướng dẫn của

phươnng trình Lichnerowicz phân th , s t n t i và không t n t i nghi m trênứu của tôi dưới sự hướng dẫn của ự hướng dẫn của ồng tác giả đồng ại Bộ môn Giải tích, Khoa ồng tác giả đồng ại Bộ môn Giải tích, Khoa ệm

dươnng c a phủa tôi dưới sự hướng dẫn của ươnng trình và h phệm ươnng trình Lane-Emden phân th Ngoài ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của ra,

lu n án cũng t p trung ch ng minh s không t n t i nghi m trên dứu của tôi dưới sự hướng dẫn của ự hướng dẫn của ồng tác giả đồng ại Bộ môn Giải tích, Khoa ệm ươnng c aủa tôi dưới sự hướng dẫn của

l pới sự hướng dẫn của phươn trình và hệm phng ươn trình elliptic phân thứu của tôi dưới sự hướng dẫn của ch ang ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của số trong công trình của ai khác h ngại Bộ môn Giải tích, Khoa gradient

3 Đ i ố t ượng và ph m ng ại nghiệm trên dương của phương trình và hệ vi nghiên c u ức

• Đ i t ố ượng nghiên cứu ng nghiên c u ứu sinh : Chúng tôi nghiên c u trong lu n án nàyứu của tôi dưới sự hướng dẫn của

m t s phộ môn Giải tích, Khoa ố trong công trình của ai khác ươnng trình và h phệm ươnng trình elliptic phi tuy n ch a toán tết quả được đưa vào luận án đều đã ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của ử Laplace phânLaplace phân th ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của

• Ph m ạng vi nghiên c u: ứu sinh Ph mại Bộ môn Giải tích, Khoa vi nghiên c uứu của tôi dưới sự hướng dẫn của chính trong lu n án bao g m:ồng tác giả đồng

N i dung 1: ội, 2024 Nghiên c u c n dứu của tôi dưới sự hướng dẫn của ưới sự hướng dẫn của ều đãi đ u, s t n t i và không t n t i nghi mự hướng dẫn của ồng tác giả đồng ại Bộ môn Giải tích, Khoa ồng tác giả đồng ại Bộ môn Giải tích, Khoa ệm

dươnng c a phủa tôi dưới sự hướng dẫn của ươnng trình Lichnerowicz parabolic ch a toán t Laplace phânứu của tôi dưới sự hướng dẫn của ử Laplace phânthứu của tôi dưới sự hướng dẫn của

đó

ởi p, q ∈ R và 0 < s < 1.

N i dung 3: ội, 2024 Nghiên c u s không t n t i nghi m trên dứu của tôi dưới sự hướng dẫn của ự hướng dẫn của ồng tác giả đồng ại Bộ môn Giải tích, Khoa ệm ươnng c a ủa tôi dưới sự hướng dẫn của

phươnng trình elliptic phân thứu của tôi dưới sự hướng dẫn của

(−∆) s u + b · ∇u = u p trong R N

và h phệm ươnng trình elliptic phân thứu của tôi dưới sự hướng dẫn của

(−∆) s u + b · ∇u = v p trong R N

 (−∆) s v + b · ∇v = u q trong R N trong đó các số trong công trình của ai khác mũ p và q là các số trong công trình của ai khác th c, ự hướng dẫn của (−∆) s là toán tử Laplace phân Laplace phân thứu của tôi dưới sự hướng dẫn của

v i ới sự hướng dẫn của 0 < s < 1, N > 2s và b là trường ng vect kh vi liên t c th a mãn m t sơn ả được đưa vào luận án đều đã ục đích ỏ ộ môn Giải tích, Khoa ố trong công trình của ai khác

đi u ki n tăng trều đã ệm ưởing vôởi cùng

Các phươnng pháp nghiên c u đứu của tôi dưới sự hướng dẫn của ược đưa vào luận án đều đã ử Laplace phân ục đíchc s d ng trong lu n án nh sau:ư

• Phươnng pháp hàm th ử Laplace phân

• Xây d ngự hướng dẫn của hàm phục đích và sử Laplace phân d ngục đích nguyên lí c cự hướng dẫn của trịu trách nhiệm

• Phươn pháp đ ing ổi mới sáng tạo Vingroup (VinIF) đã tài bi nết quả được đưa vào luận án đều đã đ đ aư hệm b tất đ ngẳng th cứu của tôi dưới sự hướng dẫn của vều đã m tộ môn Giải tích, Khoa b tất đ ngẳng th c.ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của

• Đánh giá b tất đ ngẳng th cứu của tôi dưới sự hướng dẫn của và ưới sự hướng dẫn của lc ược đưa vào luận án đều đã tích phân phi tuy n.ng ết quả được đưa vào luận án đều đã

5 C u ất nghiệm của phương trình Lichnerowicz trúc và các k t ến thức quả c a ủa phương trình Lichnerowicz lu n ận án

Ngoài ph n m đ u, k t lu n, danh m c các công trình đã công b và ầy ởi ầy ết quả được đưa vào luận án đều đã ục đích ố trong công trình của ai khác danh m c tài li u tham kh o, lu n án g m 4 chục đích ệm ả được đưa vào luận án đều đã ồng tác giả đồng ươnng nh sau:ư

• Ch ương ng 1 trình bày m t s ki n th c c n dùng cho các chộ môn Giải tích, Khoa ố trong công trình của ai khác ết quả được đưa vào luận án đều đã ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của ầy ươnngsau nh : các b t đ ng th c s c p, toán t Laplace phân th và m t sư ất ẳng ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của ơn ất ử Laplace phân ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của ộ môn Giải tích, Khoa ố trong công trình của ai khác tính ch t c ất ơn b n, ả được đưa vào luận án đều đã m tộ môn Giải tích, Khoa số trong công trình của ai khác b tất đ ngẳng th cứu của tôi dưới sự hướng dẫn của liên quan đ nết quả được đưa vào luận án đều đã toán tử Laplace phân Laplacephân th ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của

,

• Ch ương ng 2 trình bày k t qu v c n dết quả được đưa vào luận án đều đã ả được đưa vào luận án đều đã ều đã ưới sự hướng dẫn củai đ u cho nghi m c aều đã ệm ủa tôi dưới sự hướng dẫn của

phươnng trình Lichnerowicz phân thứu của tôi dưới sự hướng dẫn của và sự hướng dẫn của không t nồng tác giả đồng t iại Bộ môn Giải tích, Khoa nghi mệm

dươn không t mng ầy thường ng

c a phủa tôi dưới sự hướng dẫn của ươnng trình này

• Ch ương ng 3 trình bày s không t n t i nghi m trên dự hướng dẫn của ồng tác giả đồng ại Bộ môn Giải tích, Khoa ệm ươnng c aủa tôi dưới sự hướng dẫn của

phươnng trình và h phệm ươnng trình Lane-Emden phân th trong m t sứu của tôi dưới sự hướng dẫn của ộ môn Giải tích, Khoa ố trong công trình của ai khác

trường ng h p c a s ợc đưa vào luận án đều đã ủa tôi dưới sự hướng dẫn của ố trong công trình của ai khác mũ p, q.

• Ch ương ng 4 trình bày m t s k t qu v s không t n t i nghi mộ môn Giải tích, Khoa ố trong công trình của ai khác ết quả được đưa vào luận án đều đã ả được đưa vào luận án đều đã ều đã ự hướng dẫn của ồng tác giả đồng ại Bộ môn Giải tích, Khoa ệmtrên dươnng c a phủa tôi dưới sự hướng dẫn của ươnng trình và h phệm ươnng trình elliptic ch a toán tứu của tôi dưới sự hướng dẫn của ử Laplace phânLaplace phân th và s h ngứu của tôi dưới sự hướng dẫn của ố trong công trình của ai khác ại Bộ môn Giải tích, Khoa gradient

Các k t qu chính c a lu n án đã đết quả được đưa vào luận án đều đã ả được đưa vào luận án đều đã ủa tôi dưới sự hướng dẫn của ược đưa vào luận án đều đãc công b trong 03 bài báo trênố trong công trình của ai khác các t p chí qu c t trong danh m c SCIE K t qu c a lu n án cũng đãại Bộ môn Giải tích, Khoa ố trong công trình của ai khác ết quả được đưa vào luận án đều đã ục đích ết quả được đưa vào luận án đều đã ả được đưa vào luận án đều đã ủa tôi dưới sự hướng dẫn của

được đưa vào luận án đều đã trình bày t ic ại Bộ môn Giải tích, Khoa Seminar c aủa tôi dưới sự hướng dẫn của Bộ môn Giải tích, Khoa môn Gi iả được đưa vào luận án đều đã tích, Khoa Toán-Tin, Trường ng

Đ iại Bộ môn Giải tích, Khoa h c Sư ph m Hàại Bộ môn Giải tích, Khoa N iộ môn Giải tích, Khoa và t iại Bộ môn Giải tích, Khoa H iộ môn Giải tích, Khoa nghịu trách nhiệm Toán h c toàn qu cố trong công trình của ai khác l nầy thứu của tôi dưới sự hướng dẫn của Xnăm 2023

Trong chươnng này, chúng tôi trình bày m t s ki n th c chu n b g m: m tộ môn Giải tích, Khoa ố trong công trình của ai khác ết quả được đưa vào luận án đều đã ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của ẩn ịu trách nhiệm ồng tác giả đồng ộ môn Giải tích, Khoa

s b t đ ng th c thố trong công trình của ai khác ất ẳng ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của ường ng dùng, toán t Laplace phân th và m t s tính ử Laplace phân ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của ộ môn Giải tích, Khoa ố trong công trình của ai khác ch t.ất

Chươn này đng ược đưa vào luận án đều đã vi tc ết quả được đưa vào luận án đều đã d aự hướng dẫn của trên tài li uệm [25, 35, 55, 66, 69]

1.1 M t s b t đ ng ội, 2024 ố ất nghiệm của phương trình Lichnerowicz ẳng th c ức

Trong m c này, chúng tôi trình bày m t s b t đ ng th c c n dùng cho cácục đích ộ môn Giải tích, Khoa ố trong công trình của ai khác ất ẳng ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của ầy

chươnng sau

B t đ ng th c Young ất nghiệm của phương trình Lichnerowicz ẳng ức

Cho p và q là hai số trong công trình của ai khác dươn th ang ỏ mãn 1 + 1 = 1 Khi đó, v iới sự hướng dẫn của m i A > 0 và

B t ất nghiệm của phương trình Lichnerowicz đ ng ẳng th c ức Ho¨lder

Cho p và q là hai s dố trong công trình của ai khác ươnng th a mãn ỏ 1 + 1

= 1 Khi đó, v i m i hàmới sự hướng dẫn của

Cho 0 < s < 1 Toán t Laplace phân th ử Laplace phân ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của (−∆) s được đưa vào luận án đều đãc đ nh nghĩa nhịu trách nhiệm ư

m t toán t không đ a phộ môn Giải tích, Khoa ử Laplace phân ịu trách nhiệm ươnng trên không gian Schwartz Æ (RN ) các hàm

gi m nhanh b iả được đưa vào luận án đều đã ởi

Đ c bi t, ặc biệt là chị Chi, em ệm c N,s → 0 khi s → 0+ và s → 1−

Chú ý r ng, khi ằng toán tử Laplace phân thứ 0 < s < 1 thì tích phân trên luôn h i t Th t v y,ởi ộ môn Giải tích, Khoa ục đích

,R

N | u ( x ) − u ( ξ ) |

dξ C

Ti p theo, ta có đ nh nghĩa tết quả được đưa vào luận án đều đã ịu trách nhiệm ươnng đươnng c a toán t Laplace phân th ủa tôi dưới sự hướng dẫn của ử Laplace phân ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của

th ứu sinh Khi đó, v i ới điều kiện m i ọi Æ (R N ), TA CÓ

R

R

Ngoài ra, n uết quả được đưa vào luận án đều đã u ∈ C 2σ(RN ) ∩ Bs(RN ) v iới sự hướng dẫn của s < σ < 1, thì (−∆) s u(x ) xác đ nhịu trách nhiệm

và liên t c t i m i ục đích ại Bộ môn Giải tích, Khoa x ∈ R N , xem [63, Proposition 2.4] Ở đây, C 2σ(RN ) làkhông gian các hàm liên t cục đích Ho¨lder c pất 2σ khi 2σ < 1 và khi 2σ > 1 thì

nó là không gian các hàm có các đ oại Bộ môn Giải tích, Khoa hàm riêng c pất m tộ môn Giải tích, Khoa liên t cục đích Ho¨lder c pất

2σ − 1.

1.3 M t s tính ội, 2024 ố ch t ất nghiệm của phương trình Lichnerowicz

Trong ph n ầy này, chúng tôi trình bày m t s tính ch t c b n liên quan ộ môn Giải tích, Khoa ố trong công trình của ai khác ất ơn ả được đưa vào luận án đều đã

đ n toán t Laplace phânết quả được đưa vào luận án đều đã ử Laplace phân th ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của

B đ 1.3 ổng ề nghiên ([66, Theorem 3]) Cho u ∈ C2(B2(x )) ∩ L∞(RN ) v i x ới điều kiện ∈ RN Khi đó,

lim ( ∆) s u(x ) = ∆u(x ).

ở đây B0(RN ) là B s(RN ) v i s ới điều kiện = 0.

Bổng đề nghiên 1.5 ([69, Lemma 2.4]) Cho 0 < s < σ < 1 Giả sử rằng sử rằng r ng ằng u, v C 2σ RN

v i m i x ới điều kiện ọi ∈ RN

Chúng ta nh c l i m t k t qu r t n i ti ng c a Caffarelli và Silvestreắng Những kết quả được đưa vào luận án đều đã ại Bộ môn Giải tích, Khoa ộ môn Giải tích, Khoa ết quả được đưa vào luận án đều đã ả được đưa vào luận án đều đã ất ổi mới sáng tạo Vingroup (VinIF) đã tài ết quả được đưa vào luận án đều đã ủa tôi dưới sự hướng dẫn của[13] K tết quả được đưa vào luận án đều đã quả được đưa vào luận án đều đã này cho phép chúng ta chuy n từng m tộ môn Giải tích, Khoa bài toán không đ aịu trách nhiệm

phươn trong Rng N thành m tộ môn Giải tích, Khoa bài toán đ aịu trách nhiệm phươn v ing ới sự hướng dẫn của đi uều đã ki nệm biênNeumann phi tuy nết quả được đưa vào luận án đều đã trong RN +1 Kí hi u ệm (x , y) là m t đi m trong Rộ môn Giải tích, Khoa N +1 :=

Cho t là s th c Kí hi u ố trong công trình của ai khác ự hướng dẫn của ệm t+ = max(t, 0) và hàm d uất.

sign(t) = 0 n u ết quả được đưa vào luận án đều đã t = 0

 −1 n uết quả được đưa vào luận án đều đã t < 0.

Ti p theo chúng ta nh c l i b t đ ng th c Kato.ết quả được đưa vào luận án đều đã ắng Những kết quả được đưa vào luận án đều đã ại Bộ môn Giải tích, Khoa ất ẳng ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của

Bổng đề nghiên 1.7 ([41, Appendix C]) Cho u ∈ B s(RN ) v i ới điều kiện σ > s và (−∆) s u ∈

Khi đó

theo NGHĨA phân ph i ố Đ c ặc q bi t, ệ TA CÓ

theo NGHĨA phân ph i ố

Ch ng minh ứu sinh Ch ng minh b đ này d a trên ý tứu của tôi dưới sự hướng dẫn của ổi mới sáng tạo Vingroup (VinIF) đã tài ều đã ự hướng dẫn của ưởing trong [41] Chúng tôi

vi t chi ti t ch ng minh.ết quả được đưa vào luận án đều đã ết quả được đưa vào luận án đều đã ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của

Đ thu n ti n cho vi c bi n đ i, ta b qua h ng s ệm ệm ết quả được đưa vào luận án đều đã ổi mới sáng tạo Vingroup (VinIF) đã tài ỏ ằng toán tử Laplace phân thứ ố trong công trình của ai khác c N,s và P.V trong đ nh ịu trách nhiệm

nghĩa toán t Laplace phân th Ta có ử Laplace phân ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của (1.3) tươnng đươnng v iới sự hướng dẫn của

≤ (sign(u(x ))(u(x ) − u(ξ)) + sign(u(ξ))(u(ξ) − u(x ))) φ(x ) (1.4)

B ng m t s bi n đ i s c p, b t đ ng th c ằng toán tử Laplace phân thứ ộ môn Giải tích, Khoa ố trong công trình của ai khác ết quả được đưa vào luận án đều đã ổi mới sáng tạo Vingroup (VinIF) đã tài ơn ất ất ẳng ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của (1.4) tươnng đươnng v iới sự hướng dẫn của

φ(ξ)(|u(x )| − sign(u(ξ))u(x )) + φ(x )(|u(ξ)| − sign(u(x ))u(ξ)) ≥ 0

hay

φ(ξ)|u(x )|(1+sign(u(x )) sign(u(ξ)))+φ(x )|u(ξ)|(1+sign(u(x )) sign(u(ξ))) ≥ 0.

(1.5),

B t đ ng th c này luôn đúng vì ất ẳng ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của φ ≥ 0 và 1 + sign(u(x )) sign(u(ξ)) ≥ 0

V y (1.1) được đưa vào luận án đều đãc ch ng minh.ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của

theo nghĩa phân ph i V y ố trong công trình của ai khác (1.2) được đưa vào luận án đều đãc ch ng minh.ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của

1.4 Nghi m ệm của phương trình Lichnerowicz trên c a ủa phương trình Lichnerowicz hệm của phương trình Lichnerowicz Lane-Emden phân thức

Trong m c này, d a trên ục đích ự hướng dẫn của [49], chúng ta trình bày s t n t i nghi m trên ự hướng dẫn của ồng tác giả đồng ại Bộ môn Giải tích, Khoa ệm

dươnng c a h Lane-Emden phân th trong trủa tôi dưới sự hướng dẫn của ệm ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của ường ng h pợc đưa vào luận án đều đã

+ y2Σ1/2Σ−2sk i + .1 − A + ( A − b)2 2

Σ −+

1 P y, v i ới sự hướng dẫn của P là m t ma tr n (c a phép quay) thích h p.ộ môn Giải tích, Khoa ủa tôi dưới sự hướng dẫn của ợc đưa vào luận án đều đã

S d ng các b t đ ng th c này, ta suy raử Laplace phân ục đích ất ẳng ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của

0 sao cho v ph i c a haiết quả được đưa vào luận án đều đã ả được đưa vào luận án đều đã ủa tôi dưới sự hướng dẫn của

b t đ ng th c trên b ng ất ẳng ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của ằng toán tử Laplace phân thứ 0 T đó ta có ừng (u, v) xây d ng trên là nghi m trên ự hướng dẫn của ởi ệm

dươnng c a h Lane-Emden phân th ủa tôi dưới sự hướng dẫn của ệm ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của

B ng cách hoàn toàn tằng toán tử Laplace phân thứ ươnng t , trong trự hướng dẫn của ường ng h pợc đưa vào luận án đều đã

p, q > 0, pq > 1 và max .2( p + 1)

, 2(q + 1) Σ < N − 2s,

ta cũng ch ra đỉ ược đưa vào luận án đều đãc nghi m trên dệm ươnng c a h phủa tôi dưới sự hướng dẫn của ệm ươnng trình Lane-Emden phân

th có d ngứu của tôi dưới sự hướng dẫn của ại Bộ môn Giải tích, Khoa

Ch ương ng 2 Tính ch t nghi m c a ph ất nghiệm của phương trình Lichnerowicz ệm của phương trình Lichnerowicz ủa phương trình Lichnerowicz ương ng trình Lichnerowicz

phân thức

Trong chươnng này, chúng tôi thi t l p c n dết quả được đưa vào luận án đều đã ưới sự hướng dẫn của ều đãi đ u cho nghi m dệm ươnng c aủa tôi dưới sự hướng dẫn của

phươnng trình Lichnerowicz phân th H n n a, v i m t s gi thi t v tăngứu của tôi dưới sự hướng dẫn của ơn ững kết quả được đưa vào luận án đều đã ới sự hướng dẫn của ộ môn Giải tích, Khoa ố trong công trình của ai khác ả được đưa vào luận án đều đã ết quả được đưa vào luận án đều đã ều đã

trưởing c a hàm phi tuy n, chúng tôi ch ra r ng phủa tôi dưới sự hướng dẫn của ết quả được đưa vào luận án đều đã ỉ ằng toán tử Laplace phân thứ ươnng trình Lichnerowiczphân th ch có nghi m dứu của tôi dưới sự hướng dẫn của ỉ ệm ươnng t m thầy ường ng K t qu c a chết quả được đưa vào luận án đều đã ả được đưa vào luận án đều đã ủa tôi dưới sự hướng dẫn của ươnng này được đưa vào luận án đều đã vi tc ết quả được đưa vào luận án đều đã

d a trên công trình [P1] trong Danh m c các công trình đã công b c a lu nự hướng dẫn của ục đích ố trong công trình của ai khác ủa tôi dưới sự hướng dẫn củaán

Trong chươnng này, chúng tôi nghiên c u phứu của tôi dưới sự hướng dẫn của ươnng trình Lichnerowicz phân

th ki u parabolicứu của tôi dưới sự hướng dẫn của

v t + (−∆) s v = v −p−2 − v p trong R N × R (2.1)

và phươnng trình elliptic tươn ngng ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của

(−∆) s u = u −p−2 − u p trong R N , (2.2)

đó

ởi p > 0, 0 < s < 1 và (−∆) s là toán t Laplace phânử Laplace phân th ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của

Phươnng trình Lichnerowicz (hay còn g i là phươnng trình Lichnerowicz trường ng

vô hưới sự hướng dẫn củang Einstein) là m t phộ môn Giải tích, Khoa ươnng trình xu t hi n trong lí thuy t trất ệm ết quả được đưa vào luận án đều đã ường ng vô

hưới sự hướng dẫn củang Einstein Trong nh ng năm g n ững kết quả được đưa vào luận án đều đã ầy đây, các lí thuy t trết quả được đưa vào luận án đều đã ường ng vô hưới sự hướng dẫn củang stein là m t ch đ phát tri n m nh mẽ ộ môn Giải tích, Khoa ủa tôi dưới sự hướng dẫn của ều đã ại Bộ môn Giải tích, Khoa Trong đó, nhi u nghiên c u g n đâyều đã ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của ầy

Ein-c a Ein-cáEin-c nhà khoa h Ein-c nh m s d ng nh ng lý thuy t nh v y đ gi i thíEin-ch giaủa tôi dưới sự hướng dẫn của ằng toán tử Laplace phân thứ ử Laplace phân ục đích ững kết quả được đưa vào luận án đều đã ết quả được đưa vào luận án đều đã ư ả được đưa vào luận án đều đã

t c giãn n c a vũ tr Phố trong công trình của ai khác ởi ủa tôi dưới sự hướng dẫn của ục đích ươnng trình Lichnerowicz ch a c ph n phi tuy n ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của ả được đưa vào luận án đều đã ầy ết quả được đưa vào luận án đều đã v iới sự hướng dẫn của

số trong công trình của ai khác mũ dươn và số trong công trình của ai khác mũ âm trởi thành m tng ộ môn Giải tích, Khoa chủa tôi dưới sự hướng dẫn của đều đã được đưa vào luận án đều đã các nhà khoa h ccquan

loc N loc

, ,

∞

tâm nghiên c u Do đó, vi c nghiên c u s t n t i nghi m cũng nh tính ch tứu của tôi dưới sự hướng dẫn của ệm ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của ự hướng dẫn của ồng tác giả đồng ại Bộ môn Giải tích, Khoa ệm ư ất

đ nh tính nghi m c a phịu trách nhiệm ệm ủa tôi dưới sự hướng dẫn của ươnng trình này có ý nghĩa c v toán h c l n ngả được đưa vào luận án đều đã ều đã ẫn của ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của

d ng ục đích [28, 47, 50]

Ti p theo, ta đ nh nghĩa nghi m c a phết quả được đưa vào luận án đều đã ịu trách nhiệm ệm ủa tôi dưới sự hướng dẫn của ươnng trình Lichnerowicz nh sau.ư

Đ nh nghĩa 2.1 ị Quỳnh M t nghi m dộ môn Giải tích, Khoa ệm ươnng u c a ủa tôi dưới sự hướng dẫn của (2.2) là hàm dươnng u ∈ C 2σ(RN ) ∩

Lichnerow-t iại Bộ môn Giải tích, Khoa nghi mệm dươn không t mng ầy thường c ang ủa tôi dưới sự hướng dẫn của các phươn trình (2.1) và (2.2).ng

2.1.2 K t ến thức qu v c n d ả ề nghiên ận ưới đều và sự không tồn tại nghiệm ề nghiên i đ u và s không t n t i nghi m ự không tồn tại nghiệm trên dương của phương trình và hệ ồn tại nghiệm trên dương của phương trình và hệ ại nghiệm trên dương của phương trình và hệ ệm của phương trình Lichnerowicz

D a vào k t qu trong ự hướng dẫn của ết quả được đưa vào luận án đều đã ả được đưa vào luận án đều đã [12] cho (2.2) v i ới sự hướng dẫn của s = 1, chúng tôi m r ng k t ởi ộ môn Giải tích, Khoa ết quả được đưa vào luận án đều đã quả được đưa vào luận án đều đã

đó cho trường ng h p phợc đưa vào luận án đều đã ươnng trình ch a toán t Laplace phân th K t qu ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của ử Laplace phân ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của ết quả được đưa vào luận án đều đã ả được đưa vào luận án đều đã chính

c aủa tôi dưới sự hướng dẫn của chươn này là đ nhng ịu trách nhiệm lí sau đây

Đ nh ị Quỳnh lí 2.1 N u ếu p > 0 và v là nghi m ệ d ương ng C A ỦA (2.1) trong R N × R, thì v ≥

1 H n ơng N A ỮA , khi p > 1, ph ương trình (2.1) chỉ có nghi m ng ệ d ương t m ng ầm th ường v ng

= 1.

Chú ý r ng m t nghi m dằng toán tử Laplace phân thứ ộ môn Giải tích, Khoa ệm ươnng u c a ủa tôi dưới sự hướng dẫn của (2.2) cũng là m t nghi m c a ộ môn Giải tích, Khoa ệm ủa tôi dưới sự hướng dẫn của (2.1)

Do đó chúng tôi có h qu sau ệm ả được đưa vào luận án đều đã đây, nó được đưa vào luận án đều đãc xem nh m r ng c a k t quư ởi ộ môn Giải tích, Khoa ủa tôi dưới sự hướng dẫn của ết quả được đưa vào luận án đều đã ả được đưa vào luận án đều đãtrong [12] cho toán tử Laplace phân Laplace phân th ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của

Hệm của phương trình Lichnerowicz quả 2.1 N u ếu p > 0 và u là m t ột nghi m ệ d ương ng C A ỦA (2.2) trong R N , thì u ≥

1 H n ơng N A ỮA , n u ếu p > 1, thì ph ương trình (2.2) chỉ có nghi m ng ệ d ương t m ng ầm

th ng ường u = 1.

D a trên k t qu trong ự hướng dẫn của ết quả được đưa vào luận án đều đã ả được đưa vào luận án đều đã [12], m t câu h i m độ môn Giải tích, Khoa ỏ ởi ược đưa vào luận án đều đãc đ t ra nh sau.ặc biệt là chị Chi, em ư

Câu h i ỏi m ở Khi 0 < p ≤ 1, ph ương trình (2.2) và (2.1) có nghi m ng ệ d ương ng không t m ầm th ường ng HAY không?

Ti pết quả được đưa vào luận án đều đã theo chúng tôi trình bày cách ti pết quả được đưa vào luận án đều đã c n Ý tưởi ch ng ng ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của minh k tết quả được đưa vào luận án đều đã

qu ả được đưa vào luận án đều đã chính c aủa tôi dưới sự hướng dẫn của chươn này d ang ự hướng dẫn của trên cách ti pết quả được đưa vào luận án đều đã c n c aủa tôi dưới sự hướng dẫn của Brezis [12], tuynhiên m tộ môn Giải tích, Khoa số trong công trình của ai khác khó khăn g pặc biệt là chị Chi, em ph iả được đưa vào luận án đều đã do sự hướng dẫn của xu tất hi nệm c aủa tôi dưới sự hướng dẫn của toán tử Laplace phân không đ aịu trách nhiệm

phươn và bi n ng ết quả được đưa vào luận án đều đã th iờng gian t Do đó chúng tôi phát tri n kĩ thu t hàm thử Laplace phân

cho toán tử Laplace phân không đ aịu trách nhiệm phươn và sử Laplace phân d ngng ục đích b tất đ ngẳng th cứu của tôi dưới sự hướng dẫn của Kato cho toán tử Laplace phânLaplace phân th ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của Cục đích th , chúng tôi chỉ ra r ngằng toán tử Laplace phân thứ n uết quả được đưa vào luận án đều đã f là m tộ môn Giải tích, Khoa hàm liên t c,ục đích

gi mả được đưa vào luận án đều đã ng tặc biệt là chị Chi, em trên (0, ∞) và f ( A) = 0 thì m i nghi mệm v c aủa tôi dưới sự hướng dẫn của

v t + (−∆) s v ≥ f (v)

luôn th aỏ mãn v ≥ A (xem Bổi mới sáng tạo Vingroup (VinIF) đã tài đều đã 2.1) B ng ằng toán tử Laplace phân thứ cách ch n f (v) = v −p−2 − v p,

ta thu được đưa vào luận án đều đã kh ngc ẳng đ nhịu trách nhiệm vều đã c n dưới sự hướng dẫn của đ ui ều đã c aủa tôi dưới sự hướng dẫn của nghi m.ệm

Ti p theo, đ ch ra phết quả được đưa vào luận án đều đã ỉ ươnng trình ch có nghi m dỉ ệm ươnng t m thầy ường ng v =

1 khi p > 1, chúng tôi thi t l p k t qu ki u Keller-Osserman cho b t đ ngết quả được đưa vào luận án đều đã ết quả được đưa vào luận án đều đã ả được đưa vào luận án đều đã ất ẳng

th c parabolic và elliptic ch a toán t Laplace phân th C th , chúng tôiứu của tôi dưới sự hướng dẫn của ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của ử Laplace phân ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của ục đích

ch ra r ng m i nghi m không âm c a b t đ ngỉ ằng toán tử Laplace phân thứ ệm ủa tôi dưới sự hướng dẫn của ất ẳng th cứu của tôi dưới sự hướng dẫn của

v t + (−∆) s v ≤ −cv p trong R N × R

đ uều đã ph iả được đưa vào luận án đều đã đ ngồng tác giả đồng nh tất b ngằng toán tử Laplace phân thứ 0 Sau đó, áp d ngục đích k tết quả được đưa vào luận án đều đã quả được đưa vào luận án đều đã này cho hàm w = v −

1, ta thu được đưa vào luận án đều đã kh ngc ẳng đ nhịu trách nhiệm vều đã sự hướng dẫn của t nồng tác giả đồng t iại Bộ môn Giải tích, Khoa duy nh tất nghi mệm dươn th mng ầy

thường v = 1 khi p > 1 (xem B đng ổi mới sáng tạo Vingroup (VinIF) đã tài ều đã 2.2)

2.2 Ch ng minh v c n d ức ề nghiên ận ưới đều và sự không tồn tại nghiệm ề nghiên i đ u và s không t n ự không tồn tại nghiệm trên dương của phương trình và hệ ồn tại nghiệm trên dương của phương trình và hệ

t i ại nghiệm trên dương của phương trình và hệ nghi m d ệm của phương trình Lichnerowicz ương ng không t m ầm th ường ng

Kí hi u ệm C là h ng s dằng toán tử Laplace phân thứ ố trong công trình của ai khác ươnng b t kì không ph thu c vào nghi m và có ất ục đích ộ môn Giải tích, Khoa ệm th thay đ iổi mới sáng tạo Vingroup (VinIF) đã tài từng dòng này sang dòng khác

2.2.1 C n d ận ưới đều và sự không tồn tại nghiệm ề nghiên i đ u c a ủa phương trình Lichnerowicz nghi m ệm của phương trình Lichnerowicz

Trong m c này, ta ch ng minh c n dục đích ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của ưới sự hướng dẫn của ều đãi đ u c a nghi m dủa tôi dưới sự hướng dẫn của ệm ươnng

Bổng đề nghiên 2.1 Cho f : (0, ∞) → R là m t ột hàm liên t c, ục, gi m ả sử rằng ng t ặc q và f ( A ) = 0 v i ới điều kiện

A > 0 N u ếu v ∈ C 2σ,1(RN × R) ∩ L1 Bs (R × R) và v > 0 TH A ỎA mãn

thì v ≥ A

Ch ng minh ứu sinh Xét hàm  t2 n uết quả được đưa vào luận án đều đã |t| ≤ 1

 −2t + 1 n u ết quả được đưa vào luận án đều đã t < −1.

D th y r ng ễn Như Thắng Những kết quả được đưa vào luận án đều đã ất ằng toán tử Laplace phân thứ φ ∈ C1(R), φ(t) → ∞ khi |t| → ∞ và đ o hàm c p m t c a ại Bộ môn Giải tích, Khoa ất ộ môn Giải tích, Khoa ủa tôi dưới sự hướng dẫn của φ

là

Do đó, ta có

φ′(t) =

2t n u ết quả được đưa vào luận án đều đã |t| ≤ 1

2 n u ết quả được đưa vào luận án đều đã t > 1

 −2 n uết quả được đưa vào luận án đều đã t < −1.

|φ′(t)| ≤ 2, v i m i ới sự hướng dẫn của t ∈ R.

Gi s ả được đưa vào luận án đều đã ử Laplace phân v là m t nghi m dộ môn Giải tích, Khoa ệm ươnng c a b t đ ng th c ủa tôi dưới sự hướng dẫn của ất ẳng ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của (2.3) V i ới sự hướng dẫn của (x0, t0) ∈ RN ×

R, và ε > 0, chúng ta xây d ng hàm ph nhự hướng dẫn của ục đích ư sau

ởi ử Laplace phân ục đích ịu trách nhiệm ặc biệt là chị Chi, em ủa tôi dưới sự hướng dẫn của φ′ H n n a, vì ơn ững kết quả được đưa vào luận án đều đã w(x ∗, t∗) − w(ξ, t∗) ≤ 0

v i m i ới sự hướng dẫn của ξ ∈ R N nên

loc N loc

Cho ε → 0+, ta thu được đưa vào luận án đều đã f (v(xc 0, t0)) ≤ 0 Do tính gi mả được đưa vào luận án đều đã ng tặc biệt là chị Chi, em c aủa tôi dưới sự hướng dẫn của f ta suy

ra v(x0, t0) ≥ A Do (x0, t0) đ cược đưa vào luận án đều đã ch n b tất kì, nên v ≥ A trên R N × R Bổi mới sáng tạo Vingroup (VinIF) đã tài đều đã

được đưa vào luận án đều đã ch ngc ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của minh

2.2.2 Sự không tồn tại nghiệm trên dương của phương trình và hệ không t n ồn tại nghiệm trên dương của phương trình và hệ t i ại nghiệm trên dương của phương trình và hệ nghi m ệm của phương trình Lichnerowicz d ương không t m ng ầm th ường ng

Trong m c này, ta ch ra s không t n t i nghi m dục đích ỉ ự hướng dẫn của ồng tác giả đồng ại Bộ môn Giải tích, Khoa ệm ươnng không t mầy

thường ng Trưới sự hướng dẫn củac h t, ta ch ng minh m t k t qu ki u Keller-Osserman cho b tết quả được đưa vào luận án đều đã ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của ộ môn Giải tích, Khoa ết quả được đưa vào luận án đều đã ả được đưa vào luận án đều đã ất

đ ng th c parabolic ch a toán t Laplace phân th ẳng ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của ử Laplace phân ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của

Bổng đề nghiên 2.2 Cho tr c ưới điều kiện HAI số th c ực p > 1 và c > 0 Giả sử rằng sử rằng v ∈ L p B s (R × R),

TH A ỎA mãn (−∆) s v(·, t) ∈ L1 (RN ), là m t ột nghi m ệ không âm C A ỦA b t ất đ ng ẳng th c ứu sinh

v i ới điều kiện m i ọi hàm không âm φ ∈ C c∞(RN × R) Khi đó, TA CÓ v ≡ 0.

Ch ng minh ứu sinh Đ ch ng minh b đ này, ta xét hai trứu của tôi dưới sự hướng dẫn của ổi mới sáng tạo Vingroup (VinIF) đã tài ều đã ường ng h p c a s mũ ợc đưa vào luận án đều đã ủa tôi dưới sự hướng dẫn của ố trong công trình của ai khác p.



 0 ≤ ψ ≤ 1.

Hàm ψ có th được đưa vào luận án đều đãc xây d ng nh sauự hướng dẫn của ư

e −1/t n uết quả được đưa vào luận án đều đã t > 0

Khi đó ta có ψ(t) = 0 n u ết quả được đưa vào luận án đều đã |t| ≥ 2, ψ(t) ∈ (0, 1) n u ết quả được đưa vào luận án đều đã 1 < |t| < 2 và ψ(t) = 1

n u ết quả được đưa vào luận án đều đã |t| ≤ 1.

RN

v R (x , t) = R α v(Rx , R 2s t),

p