Đa tạp quán tính với một số lớp phương trình tiến hóa.

Đa tạp quán tính với một số lớp phương trình tiến hóa. Đa tạp quán tính với một số lớp phương trình tiến hóa. Đa tạp quán tính với một số lớp phương trình tiến hóa. Đa tạp quán tính với một số lớp phương trình tiến hóa. Đa tạp quán tính với một số lớp phương trình tiến hóa. Đa tạp quán tính với một số lớp phương trình tiến hóa.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI  BÙI XUÂN QUANG ĐA TẠP QUÁN TÍNH ĐỐI VỚI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI  BÙI XUÂN QUANG ĐA TẠP QUÁN TÍNH ĐỐI VỚI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA Chun ngành : Phương trình vi phân tích phân Mã số : 9.46.01.03 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TSKH Nguyễn Thiệu Huy TS Trần Thị Loan Hà Nội – 2020 LỜI CAM ĐOAN Tác giả cam đoan kết luận án “Đa tạp quán tính số lớp phương trình tiến hóa” cơng trình nghiên cứu riêng tác giả, hoàn thành hướng dẫn PGS.TSKH Nguyễn Thiệu Huy TS Trần Thị Loan Các kết luận án chưa công bố cơng trình nghiên cứu khác mà tác giả biết Hà Nội, ngày 16 tháng năm 2019 Nghiên cứu sinh Bùi Xuân Quang LỜI CẢM ƠN Luận án thực Trường Đại học Sư phạm Hà Nội hoàn thành hướng dẫn PGS.TSKH Nguyễn Thiệu Huy (Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội) TS Trần Thị Loan (Trường Đại học Sư phạm Hà Nội) Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến tập thể hướng dẫn mình, người tận tình chu đáo cơng tác hướng dẫn để tác giả hồn thành luận án Tác giả vô biết ơn TS Trần Thị Loan nhiều giúp đỡ để tác giả trở thành nghiên cứu sinh Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Đặc biệt, tác giả vô biết ơn người hướng dẫn thứ – Thầy Thiệu Huy – người mang lại cho tác giả đời sống tinh thần đời sống toán học đầy tuệ giác Cảm ơn Thầy tiếp nhận từ tác giả vừa tốt nghiệp đại học, hướng dẫn luận văn cao học, đặt toán cho luận án tiến sĩ, đồng thời truyền cảm hứng dẫn dắt tác giả vượt qua nhiều khó khăn nghiên cứu khoa học Tác giả xin gửi lời cảm ơn đặc biệt đến seminar “Asymptotic Behavior of Solutions to Differential Equations and Applications” điều hành PGS.TSKH Nguyễn Thiệu Huy tạo cho tác giả môi trường học thuật nghiêm túc sôi động Tác giả cảm ơn thành viên seminar, đặc biệt TS Trịnh Viết Dược ThS Lê Anh Minh, nhiều thảo luận hữu ích để tác giả hoàn thiện luận án Tác giả đặc biệt cảm ơn TS Vũ Thị Ngọc Hà động viên PGS.TS Đỗ Đức Thuận bước đầu hợp tác nghiên cứu Nhân dịp này, tác giả trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Phịng Sau Đại học, Ban Chủ nhiệm Khoa Tốn – Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ, động viên tác giả suốt trình học tập Tác giả biết ơn GS.TS Cung Thế Anh, PGS.TS Trần Đình Kế, PGS.TS Lê Văn Hiện giảng viên anh chị em nghiên cứu sinh Bộ mơn Giải tích, Khoa Tốn – Tin có nhiều động viên góp ý quan trọng cho luận án Tác giả muốn nói lời cảm ơn đến nhà khoa học hội đồng đánh giá luận án cấp, đặc biệt phản biện phản biện độc lập, đọc thảo có ý kiến vơ quý báu để tác giả hoàn thiện luận án Cảm ơn nhà khoa học, đồng nghiệp quan viết nhận xét tóm tắt luận án cho tác giả Tác giả trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu – Trường Đại học Hải Phịng, Ban Chủ nhiệm Khoa Tốn Khoa học tự nhiên, Bộ mơn Giải tích Tốn ứng dụng, nơi tác giả luận án cơng tác, tạo nhiều điều kiện thuận lợi để tác giả học tập nghiên cứu Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ biết ơn ThS Đỗ Thị Hoài, người giới thiệu tác giả đến làm việc với nhóm nghiên cứu PGS.TSKH Nguyễn Thiệu Huy Trong trình làm nghiên cứu sinh, tác giả có nhiều trao đổi hữu ích với GS.TS Nguyễn Văn Minh GS.TS Ricardo Rosa (tác giả báo Rosa R & Temam R [61]) Tác giả xin bày tỏ cảm ơn họ Cảm ơn GS.TS Bùi Xuân Hải, TS Bùi Anh Tuấn thảo luận động viên trình làm nghiên cứu sinh tác giả Tác giả biết ơn hỗ trợ giúp đỡ người bạn Nguyễn Dương Toàn, Nguyễn Trung Thành, Nguyễn Văn Đoài, Nhung Hoàng Tác giả xin dành phần luận án để tưởng nhớ đến ông Phạm Minh Đức, người thân đặc biệt, đồng thời người bạn lớn, người đồng hành đầy cảm thông với tác giả thời gian đầu làm nghiên cứu sinh Tác giả dành tặng luận án cho mẹ, người thầy mơn tốn tác giả Đồng thời, tác giả muốn bày tỏ lịng biết ơn vơ hạn đến bố mẹ gia đình, người ln bên cạnh chia sẻ khó khăn sống MỤC LỤC Lời cam đoan Lời cảm ơn Danh sách kí hiệu Mở đầu Lý chọn đề tài Tổng quan vấn đề nghiên cứu Mục đích – Đối tượng Phạm vi Phương pháp nghiên cứu Kết luận án Cấu trúc luận án nghiên cứu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Nửa nhóm tốn tử 1.2 Tốn tử tuyến tính 1.2.1 Tốn tử xác định dương có phổ rời rạc 1.2.2 Tốn tử quạt Nửa nhóm giải tích 1.2.3 Kết bổ trợ 1.3 Không gian hàm chấp nhận 9 11 19 21 21 22 24 24 28 28 29 35 36 Đa tạp qn tính lớp phương trình parabolic ứng dụng 2.1 Mơ hình cạnh tranh với khuếch tán chéo: Toán tử quạt đặt toán 2.2 Đa tạp quán tính lớp phương trình parabolic với tốn tử quạt 2.2.1 Phương trình Lyapunov-Perron 2.2.2 Sự tồn tính nghiệm 42 43 49 49 50 2.2.3 Sự tồn đa tạp quán tính Ứng dụng vào mơ hình cạnh tranh với khuếch tán chéo Tính quy đa tạp quán tính Điều khiển phản hồi hữu hạn chiều lớp phương trình phản ứng-khuếch tán thông qua lý thuyết đa tạp quán tính 2.5.1 Hệ vịng hở 2.5.2 Động lực mong muốn 2.5.3 Các toán tử điều khiển đầu vào đầu 2.5.4 Luật điều khiển phản hồi hữu hạn chiều 2.5.5 Đa tạp quán tính hệ vịng kín 75 76 78 79 79 80 Đa tạp quán tính lớp phương trình đạo hàm riêng hàm có trễ hữu hạn 3.1 Đặt toán 3.2 Phương trình Lyapunov-Perron 3.3 Sự tồn tính nghiệm 3.4 Sự tồn đa tạp quán tính 3.5 Ứng dụng vào phương trình Hutchinson sửa đổi với khuếch tán 86 86 90 95 97 107 Đa tạp qn tính lớp phương trình trung tính 4.1 Đặt toán 4.2 Phương trình Lyapunov-Perron 4.3 Sự tồn tính nghiệm 4.4 Sự tồn đa tạp quán tính 4.5 Một ví dụ minh họa 110 110 114 118 122 133 Kết luận Kiến nghị Các kết đạt Đề xuất số hướng nghiên cứu 136 136 137 Danh mục cơng trình khoa học liên quan đến luận án 138 Tài liệu tham khảo 139 Chỉ mục 147 2.3 2.4 2.5 53 60 67 đạo hàm riêng hàm DANH SÁCH KÍ HIỆU X, (X, · ) không gian Banach/Hilbert với chuẩn E không gian hàm chấp nhận · không gian hàm số liên tục Ω C(Ω) k C (Ω) không gian hàm số khả vi liên tục cấp k Ω Cβ |u| Cβ A D(A) Aβ Xβ := D(Aβ ) P , Pn Q, Qn λk , ek e−tA t C [−h, 0], D(Aβ ) ω0 cận tăng trưởng nửa nhóm e−tA s(A) cận phổ tốn tử A T , tốn tử tuyến tính miền xác định toán tử A lũy thừa phân thứ (với β ∈ [0, 1)) miền xác định lũy thừa phân thứ Aβ phép chiếu Q := I − P , Qn := I − Pn , giá trị riêng, vector riêng thứ k nửa nhóm sinh tốn tử tuyến tính −A t phổ tốn tử A σ(A) −1 chuẩn Cβ , xác định supθ∈[−h,0] u(t + θ) Tr−1 nghịch đảo trái, phải toán tử T G(t, τ ) hàm Green distXβ nửa khoảng cách Hausdorff sinh chuẩn Xβ Λ1 ϕ ∞ supt∈R t t−1 ϕ(τ )dτ L1,loc (R) không gian hàm số khả tích địa phương R Df (t, u) đạo hàm theo u f : R × Xβ → X, (t, u) → f (t, u) Lip(f ) hệ số Lipschitz ánh xạ f : R × Xβ → X SMea(J, X) tập hợp hàm h : J → X đo mạnh Xβ MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Rất nhiều tượng tự nhiên kỹ thuật trình truyền nhiệt, trình phản ứng-khuếch tán, mơ hình cạnh tranh, thú-mồi với khuếch tán chéo, mơ tả phương trình đạo hàm riêng với điều kiện ban đầu điều kiện biên phù hợp Bằng cách chọn khơng gian hàm tốn tử tuyến tính thích hợp, phương trình đạo hàm riêng viết lại dạng phương trình tiến hóa không gian Banach (xem, chẳng hạn, [27, 70, 76, 78]) Việc xem xét phương trình tiến hóa không gian trừu tượng cho phép sử dụng cơng cụ tìm hiểu vấn đề mang tính chất nghiệm Một vấn đề trung tâm lý thuyết hệ động lực vô hạn chiều khảo sát dáng điệu tiệm cận nghiệm thời gian vô lớn Đây việc làm quan trọng cho phép người ta hiểu sâu sắc trình biến đổi vật chất theo thời gian Từ đó, đưa ước lượng đánh giá quy mô hệ thống tương lai Bài tốn nghiên cứu dáng điệu tiệm cận có bước đột phá lớn Foias C., Sell G.R & Temam R [28, 29] giới thiệu khái niệm đa tạp qn tính năm 1985 nghiên cứu phương trình Navier-Stokes Về khía cạnh tốn học, đa tạp qn tính đa tạp trơn (tối thiểu đa tạp Lipschitz) hữu hạn chiều, bất biến dương, hút cấp mũ tất nghiệm phương trình tiến hóa điều kiện xét Tính chất cho phép sử dụng nguyên lí rút gọn để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình tiến hóa không gian vô hạn chiều cách so sánh chúng với phương trình vi phân cảm sinh khơng gian hữu hạn chiều Do đó, đối tượng hữu ích Tiếng Anh: inertial manifolds 10 việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận hệ động lực vơ hạn chiều Về khía cạnh vật lý, Temam R [71] viết: “From the physical point of view an inertial manifold is an interaction law relating small and large eddies in a turbulent flow In this sense the specification of an inertial manifold is equivalent to a modeling of turbulence.” Kể từ đó, đa tạp qn tính phương trình tiến hóa dạng   du + Au = F, t > 0, dt (1)  u(0) = u0 ∈ X, A tốn tử tuyến tính không gian Banach vô hạn chiều, số hạng phi tuyến F (có thể phụ thuộc vào trạng thái/lịch sử/thời gian) liên tục Lipschitz có hệ số Lipschitz số nghiên cứu cách hệ thống (xin xem chi tiết Tổng quan vấn đề nghiên cứu) Năm 2012, Nguyen T.H [49] xét phương trình tiến hóa nửa tuyến tính   du + Au = f (t, u), t > s, dt (2)  u(s) = us , s ∈ R, tốn tử đạo hàm riêng tuyến tính A xác định dương, tự liên hợp không gian Hilbert tách vô hạn chiều thỏa mãn điều kiện −A tốn tử sinh nửa nhóm, số hạng phi tuyến f (t, u) có hệ số Lipschitz ϕ(t) (Nguyen T.H [49] gọi ϕ-Lipschitz ) với ϕ thuộc vào không gian hàm chấp nhận được, mà khơng gian Lebesgue Lp , không gian Lorentz Lp,q nhiều không gian hàm khác thường gặp lý thuyết nội suy Điều kiện ϕ-Lipschitz số hạng phi tuyến tổng quát so với cơng trình trước đây, mà người ta thường giả thiết phần phi tuyến liên tục Lipschitz Để lí giải tính tự nhiên việc xét số hạng phi tuyến hàm số ϕ-Lipschitz, ta xét mơ hình Fisher-Kolmogorov mơ tả lan truyền Tạm dịch: “Từ quan điểm vật lý, đa tạp quán tính luật tương tác liên quan đến dịng xốy nhỏ lớn dịng chảy cuộn xốy Theo nghĩa này, đặc điểm kỹ thuật đa tạp quán tính tương đương với mơ hình cuộn xốy.” 134 A : X → X xác định miền xác định A(f ) = f D(A) := f ∈ W 2,2 (Ω) : f (0) = f (π) = Với C := C([−1, 0], X) ta xác định toán tử sai phân F F: C → L2 (Ω) → F (f ) := f (0) − kf (−1); f ánh xạ phi tuyến Φ Φ: R × C → L2 (Ω) → Φ(t, φ) := bte (t, φ) −α|t| ln(1 + |(φ(θ))(x)|)dθ −1 Chú ý tốn tử Φ lấy giá trị khơng gian Hilbert X = L2 (Ω) thấy dễ dàng nhờ bất đẳng thức Minkowski Đặt u(t) := w(·, t) với t ∈ R φ(θ) := ψ(·, θ) với θ ∈ [−1, 0], phương trình (4.47) viết lại dạng   ∂ F ut (·) = AF ut (·) + Φ(t, ut (·, θ)) ∂t  us = φ ∈ C với t s, (4.48) Ta có −A tốn tử xác định dương, tự liên hợp, có phổ rời rạc xác định σ(−A) = {λn }n = 12 , 22 , · · · , n2 , (n + 1)2 , · · · Bây ta ý đến tốn tử trễ Φ : R × C → X kiểm tra tốn tử Φ ϕ-Lipschitz ϕ(t) = |b|rte−α|t| với t ∈ R, thuộc không gian hàm chấp nhận E = Lp (R) với p thức ln(1 + x) Sử dụng bất đẳng thức Minkowski bất đẳng x với x 0, ta có Φ(t, φ1 ) − Φ(t, φ2 ) π = |b|te−α|t| ln π |b|te−α|t| −1 + |(φ1 (θ))(x)| dθ + |(φ2 (θ))(x)| + |(φ1 (θ))(x)| ln2 dθ + |(φ2 (θ))(x)| −1 2 dθ 135 π = |b|te−α|t| ln2 −1 0 |(φ1 (θ))(x)| − |(φ2 (θ))(x)| dx 1+ + |(φ2 (θ))(x)| |(φ1 (θ))(x)| − |(φ2 (θ))(x)|2 dx −1 dθ π |b|te−α|t| dθ 0 π |b|te−α|t| |(φ1 (θ))(x) − (φ2 (θ))(x)|2 dx −1 dθ = |b|te−α|t| φ1 (θ) − φ2 (θ) dθ −1 |b|te−α|t| sup φ1 (θ) − φ2 (θ) θ∈[−r,0] Do tốn tử Φ ϕ-Lipschitz ta có Λ1 ϕ ∞ 2|b| α Áp dụng Định lí 4.2 ta thấy n đủ lớn, tức là, kẽ hở phổ λn+1 − λn = (n + 1)2 − n2 = 2n + đủ lớn, chuẩn Λ1 ϕ ∞ = supt∈R t t−1 ϕ(τ )dτ đủ nhỏ, tốn (4.47) có đa tạp qn tính Kết luận Chương Bài toán nghiên cứu chương chứng minh tồn đa tạp qn tính lớp phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính có trễ hữu hạn ∂ ∂t F ut + AF ut = Φ(t, ut ) Có hai khó khăn nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính khơng tường minh định lí tồn nghiệm, công thức biểu diễn nghiệm đủ tốt Chúng vượt qua khó khăn thứ cách xây dựng định nghĩa thích hợp cho đa tạp quán tính (xem Định nghĩa 4.1) Sau đó, cách giả sử tốn tử sai phân F : Cβ → X có dạng F = δ0 − Ψ với Ψ ∈ L( Cβ , X) thỏa mãn Ψ < 1, chứng minh tồn đa tạp quán tính điều kiện tổng quát (Định lí 4.2) Như minh họa cho kết trừu tượng thu được, phần cuối chương nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình đạo hàm riêng cụ thể KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Các kết đạt Luận án tiến sĩ “Đa tạp quán tính số lớp phương trình tiến hóa” sử dụng Phương pháp Lyapunov-Perron để xây dựng đa tạp quán tính số lớp phương trình tiến hóa khơng gian vơ hạn chiều thiết lập ứng dụng đa tạp qn tính vào tốn điều khiển phản hồi hữu hạn chiều phương trình phản ứng-khuếch tán Các lớp phương trình tiến hóa luận án phương trình parabolic nửa tuyến tính, phương trình đạo hàm riêng hàm có trễ hữu hạn, phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính Các lớp phương trình tiến hóa có phần tuyến tính sinh nửa nhóm toán tử hệ số Lipschitz số hạng phi tuyến phụ thuộc vào thời gian thuộc vào không gian hàm chấp nhận Luận án đạt kết sau đây: Thiết lập điều kiện đủ (Định lí 2.7) cho tồn đa tạp qn tính phương trình parabolic du dt + Au = f (t, u) Nghiên cứu tính quy (Định lí 2.10) đa tạp qn tính phương trình parabolic du dt + Au = f (t, u) áp dụng lý thuyết đa tạp qn tính cho tốn điều khiển phản hồi phương trình phản ứng-khuếch tán chiều (Định lí 2.12 Định lí 2.13) Thiết lập điều kiện đủ (Định lí 3.2) cho tồn đa tạp qn tính phương trình đạo hàm riêng hàm có trễ hữu hạn du dt + Au = L(t)ut + g(t, ut ) Thiết lập điều kiện đủ (Định lí 4.2) cho tồn đa tạp quán tính phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính Φ(t, ut ) 136 ∂ ∂t F ut + AF ut = 137 Đề xuất số hướng nghiên cứu Sau kết đạt luận án, số vấn đề sau tiếp tục nghiên cứu: • Tính quy tính chất hyperbolic chuẩn tắc đa tạp qn tính • Nghiên cứu tồn đa tạp quán tính/đa tạp quán tính chấp nhận số lớp phương trình tiến hóa nửa tuyến tính khơng ơtơnơm, phương trình tiến hóa có trễ hay trung tính • Nghiên cứu tồn đa tạp quán tính xấp xỉ, đa tạp qn tính có trễ, đa tạp bất biến đa trị phương trình tiến hóa khơng gian hàm chấp nhận • Ứng dụng lý thuyết đa tạp qn tính cho tốn điều khiển phản hồi hữu hạn chiều (chính xác) tốn ổn định hóa biên hệ phản ứng-khuếch tán DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN [1] Thieu Huy Nguyen, Xuan-Quang Bui, “Sectorial operators and inertial manifolds for partial functional differential equations in admissible spaces”, Applicable Analysis and Discrete Mathematics 10(2) (2016) 262-291 (SCIE) [2] Thieu Huy Nguyen, Xuan-Quang Bui, “Inertial manifolds for partial neutral functional differential equations in admissible spaces”, Vietnam Journal of Mathematics 45(4) (2017) 585-608 (ESCI/Scopus) [3] Thieu Huy Nguyen, Xuan-Quang Bui, “Competition models with diffusion, analytic semigroups, and inertial manifolds”, Mathematical Methods in the Applied Sciences 41(17) (2018) 8182-8200 (SCIE) [4] Thieu Huy Nguyen, Xuan-Quang Bui, and Do Duc Thuan, “Regularity of the inertial manifolds for evolution equations in admissible spaces and finitedimensional feedback control” Submitted 138 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Cung Thế Anh, Trần Đình Kế (2016), Nửa nhóm tốn tử tuyến tính ứng dụng, Nhà xuất Đại học Sư phạm, Hà Nội [2] Trịnh Viết Dược (2014), Đa tạp tích phân dáng điệu tiệm cận nghiệm số lớp phương trình tiến hố , Luận án Tiến sĩ Tốn học, Trường ĐHKHTN – ĐHQG Hà Nội, Hà Nội Tiếng Anh [3] Anh C.T., Hieu L.V (2013), “Inertial manifolds for retarded second order in time evolution equations in admissible spaces”, Annales Polonici Mathematici 108(1), pp 21-42 [4] Anh C.T., Hieu L.V., and Nguyen T.H (2013), “Inertial manifolds for a class of non-autonomous semilinear parabolic equations with finite delay”, Discrete and Continuous Dynamical Systems 33(2), pp 483-503 [5] Arendt W., Batty C.J.K., Hieber M., and Neubrander F (2001), VectorValued Laplace Transforms and Cauchy Problems, Monographs in Mathematics, Birkhăauser, Basel [6] Bensoussan A., Landoli F (1995), “Stochastic inertial manifolds”, Stochastics and Stochastics Reports 53(1-2), pp 13-39 [7] Calderón A.P (1966), “Spaces between L1 and L∞ and the theorem of Marcinkiewicz”, Studia Mathematica 26(3), pp 273-299 [8] Bisconti L., Catania D (2018), “On the existence of an inertial manifold for a deconvolution model of the 2D mean Boussinesq equations”, Mathematical Methods in the Applied Sciences 41(13), pp 4923-4935 139 140 [9] Boutet de Monvel L., Chueshov I.D., and Rezounenko A.V (1998), “Inertial manifolds for retarded semilinear parabolic equations”, Nonlinear Analysis 34(6), pp 907-925 [10] Brunovský P (1991), “Controlling the dynamics of scalar reaction diffusion equations by finite dimensional controllers”, Modelling and Inverse Problems of Control for Distributed Parameter Systems (Laxenburg, 1989), pp 22-27, Lecture Notes in Control and Information Sciences 154, Springer, Berlin [11] Chow S.N., Lu K (1988), “Invariant manifolds for flows in Banach spaces”, Journal of Differential Equations 74, pp 285-317 [12] Chow S.N., Lu K., and Sell G.R (1992), “Smoothness of inertial manifolds”, Journal of Mathematical Analysis and Applications 169(1), pp 283-312 [13] Chepyzhov V.V., Kostianko A., and Zelik S (2019), “Inertial manifolds for the hyperbolic relaxation of semilinear parabolic equations”, Discrete and Continuous Dynamical Systems – Series B 24(3)), pp 1115-1142 [14] Chueshov I.D (1995), “Approximate inertial manifolds of exponential order for semilinear parabolic equations subjected to additive white noise”, Journal of Dynamics and Differential Equations 7(4), pp 549-566 [15] Chueshov I.D (2002), Introduction to the Theory of Infinite-Dimensional Dissipative Systems, “ACTA” Scientific Publishing House, Kharkiv, Ukraine [16] Chueshov I.D., Scheutzow M (2001), “Inertial manifolds and forms for stochastically perturbed retarded semilinear parabolic equations”, Journal of Dynamics and Differential Equations 13(2), pp 355-380 [17] Christofides P.D., Daoutidis P (1997), “Finite-dimensional control of parabolic PDE systems using approximate inertial manifolds”, Journal of Mathematical Analysis and Applications 216(2), pp 398-420 [18] Constantin P., Foias C., Nicolaenko B., and Temam R (1988), Integral Manifolds and Inertial Manifolds for Dissipative Partial Differential Equations, Springer, New York 141 [19] Constantin P., Foias C., Nicolaenko B., and Temam R (1989), “Spectral barriers and inertial manifolds for dissipative partial differential equations”, Journal of Dynamics and Differential Equations 1(1), pp 45-73 [20] Daleckii J.L., Krein M.G (1974), Stability of Solutions of Differential Equations in Banach Spaces, Translations of Mathematical Monographs, American Mathematical Society [21] Debussche A., Temam R (1991), “Inertial manifolds and the slow manifolds in meteorology”, Differential and Integral Equations 4, pp 897-931 [22] Debussche A., Temam R (1993), “Inertial manifolds and their dimension”, Dynamical systems (Stockholm, 1992), pp 21-46, World Scientific Publishing, River Edge, NJ [23] Debussche A., Temam R (1995), “Inertial manifolds with delay”, Applied Mathematics Letters 8(2), pp 21-24 [24] Debussche A., Temam R (1996), “Some new generalizations of inertial manifolds”, Discrete and Continuous Dynamical Systems 2(4), pp 543-558 [25] Demengel E., Ghidaglia J.M (1991), “Inertial manifolds for partial differential evolution equations under time discretization: Existence, convergence and applications”, Journal of Mathematical Analysis and Applications 155, pp 177-225 [26] Dunford N., Schwartz J.T (1958), Linear Operators, Part I: General Theory, Interscience [27] Engel K.J., Nagel R (2000), One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations, Graduate Texts in Mathematics, Springer, Berlin [28] Foias C., Sell G.R., and Temam R (1985), “Variétés inertielles des équations différentielles dissipatives”, Comptes Rendus de l’Académie des Sciences – Series I – Mathematics 301(5), pp 139-142 [29] Foias C., Sell G.R., and Temam R (1988), “Inertial manifolds for nonlinear evolutionary equations”, Journal of Differential Equations 73(2), pp 309353 142 [30] Foias C., Sell G.R., and Titi E.S (1989), “Exponential tracking and approximation of inertial manifolds for dissipative nonlinear equations”, Journal of Dynamics and Differential Equations 1, pp 199-244 [31] Gal C.G., Guo Y (2018), “Inertial manifolds for the hyperviscous NavierStokes equations”, Journal of Differential Equations 265(9), pp 4335-4374 [32] Koksch N., Siegmund S (2002), “Pullback attracting inertial manifolds for nonautonomous dynamical systems”, Journal of Dynamics and Differential Equations 14(4), pp 889-941 [33] Koksch N., Siegmund S (2011), “Feedback control via inertial manifolds for nonautonomous evolution equations”, Communications on Pure and Applied Analysis 10(3), pp 917-936 [34] Kostianko A., Zelik S (2017), “Inertial manifolds for 1D reaction-diffusionadvection systems Part I : Dirichlet and Neumann boundary conditions”, Communications on Pure and Applied Analysis 16(6), pp 2357-2376 [35] Kostianko A., Zelik S (2018), “Inertial manifolds for 1D reaction-diffusionadvection systems Part II : Periodic boundary conditions”, Communications on Pure and Applied Analysis 17(1), pp 285-317 [36] Kwak M (1992), “Finite-dimensional inertial forms for the 2D Navier-Stokes equations”, Indiana University Mathematics Journal 41(4), pp 927-981 [37] Kwak M (1992), “Finite dimensional description of convective reactiondiffusion equations”, Journal of Dynamics and Differential Equations 4(3), pp 515-543 [38] Lindenstrauss J., Tzafriri L (1979), Classical Banach Spaces II: Function Spaces, Springer, Berlin [39] Lunardi A (1995), Analytic Semigroups and Optimal Regularity in Parabolic Problems, Birkhăauser, Basel [40] Mallet-Paret J., Sell G.R (1988), “Inertial manifolds for reaction-diffusion equations in higher space dimensions”, Journal of the American Mathematical Society 1, pp 805-866 [41] Massera J.L., Schăaffer J.J (1966), Linear Differential Equations and Function Spaces, Academic Press, New York 143 [42] Miklavˇciˇc M (1991), “A sharp condition for existence of an inertial manifold”, Journal of Dynamics and Differential Equations 3(3), pp 437-456 [43] Minh N.V., Wu J (2004) “Invariant manifolds of partial functional differential equations”, Journal of Differential Equations 198(2), pp 381-421 [44] Mora X (1989), “Finite dimensional attracting manifold for damped semilinear wave equations”, Contribution to Nonlinear Partial Differential Equations (Paris, 1985), pp 172–183, Pitman Research Notes in Mathematics Series 155, Longman Scientific and Technical, Harlow, 1987 [45] Murray J.D (2002), Mathematical Biology I: An Introduction, Springer, Berlin [46] Murray J.D (2003), Mathematical Biology II: Spatial Models and Biomedical Applications, Springer, Berlin [47] Nguyen T.H (2002), Functional Partial Differential Equations and Evolution Semigroups, PhD Dissertation, University of Tă ubingen, Germany [48] Nguyen T.H (2006), Exponential dichotomy of evolution equations and admissibility of function spaces on a half-line”, Journal of Functional Analysis 235(1), pp 330-354 [49] Nguyen T.H (2012), “Inertial manifolds for semi-linear parabolic equations in admissible spaces”, Journal of Mathematical Analysis and Applications 386(2), pp 894-909 [50] Nguyen T.H (2013), “Admissibly inertial manifolds for a class of semilinear evolution equations”, Journal of Differential Equations 254(6), pp 2638-2660 [51] Nguyen T.H (2016), Invariant Manifolds and Asymptotic Behavior of Solutions to Evolution Equations, Habilitation Dissertation, Technical University of Darmstadt, Germany [52] Nguyen T.H., Pham V.B (2015), “Invariant stable manifolds for partial neutral functional differential equations in admissible spaces on a half-line”, Discrete and Continuous Dynamical Systems – Series B 20(9), pp 29933011 144 [53] Nguyen T.H., Pham V.B (2017), “Unstable manifolds for partial neutral differential equations and admissibility of function spaces”, Acta Mathematica Vietnamica 42(1), pp 187-207 [54] Nguyen T.H., Le A.M (2018), “Admissible inertial manifolds for delay equations and applications to Fisher-Kolmogorov model”, Acta Applicandae Mathematicae 156(1), pp 15-31 [55] Nicolaenko B (1989), “Inertial manifolds for models of compressible gas dynamics”, The Connection Between Infinite Dimensional and Finite Dimensional Dynamical Systems (Boulder, CO, 1987), Contemporary Mathematics 99, pp 165-179, American Mathematical Society, Providence, RI [56] Pazy A (1983), Semigroup of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations, Springer, Berlin [57] Răabiger F., Schnaubelt R (1996), The spectral mapping theorem for evolution semigroups on spaces of vector-valued functions”, Semigroup Forum 52(2), pp 225-239 [58] Robinson J.C (1993), “Inertial manifolds and the cone condition”, Dynamic Systems and Applications 2, pp 311-330 [59] Rosa R (2003), “Exact finite dimensional feedback control via inertial manifold theory with application to the Chafee-Infante equation”, Journal of Dynamics and Differential Equations 15(1), pp 61-86 [60] Rosa R., Temam R (1996), “Inertial manifolds and normal hyperbolicity”, Acta Applicandae Mathematica 45(1), pp 1-50 [61] Rosa R., Temam R (1997), “Finite-dimensional feedback control of a scalar reaction-diffusion equation via inertial manifold theory”, Foundations of Computational Mathematics, pp 382-391, Springer, Berlin [62] Sakawa Y (1983), “Feedback stabilization of linear diffusion systems”, SIAM Journal on Control and Optimization 21(5), pp 667-676 [63] Sano H., Kunimatsu N (1994), “Feedback control of semilinear diffusion systems: Inertial manifolds for closed-loop systems”, IMA Journal of Mathematical Control and Information 11(1), pp 75-92 145 [64] Sano H., Kunimatsu N (1995), “An application of inertial manifold theory to boundary stabilization of semilinear diffusion systems”, Journal of Mathematical Analysis and Applications 196(1), pp 18-42 [65] Sell G.R., You Y (2002), Dynamics of Evolutionary Equations, Applied Mathematical Sciences 143, Springer, New York [66] Sell G.R., You Y (1992), “Inertial manifolds: The non-self-adjoint case”, Journal of Differential Equations 96(2), pp 203-255 [67] Shvartsman S.Y., Theodoropoulos C., Rico-Martinez R., Kevrekidis I.G., Titi E.S., and Mountziaris T.J (2000), “Order reduction for nonlinear dynamic models of distributed reacting systems”, Journal of Process Control 10, pp 177-184 [68] Taboada M (1990), “Finite dimensional asymptotic behavior for the SwiftHohenberg model of convection”, Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications 14(1), pp 43-54 [69] Takagi S (2008), “Smoothness of inertial manifolds for semilinear evolution equations in complex Banach spaces”, Differential and Integral Equations 21(1-2), pp 63-80 [70] Temam R (1988), Infinite-Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics, Springer, New York [71] Temam R (1989), “Do inertial manifolds apply to turbulence?”, Physica D: Nonlinear Phenomena 37(1-3), pp 146-152 [72] Temam R (1990), “Inertial manifolds and multigrid methods”, SIAM Journal on Mathematical Analysis 21(1), pp 154-178 [73] Triebel H (1978), Interpolation Theory, Function Spaces, Differential Operators, North Holland Publishing Company, Amsterdam-New York [74] Watanabe C (2009), Managing Innovation in Japan, Springer, Berlin [75] Wiggins S (1990), Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos, Texts in Applied Mathematics 2, Springer, New York [76] Wu J (1996), Theory and Applications of Partial Functional Differential Equations, Springer, Berlin 146 [77] Wu J., Xia H (1996), “Self-sustained oscillations in a ring array of lossless transmission lines”, Journal of Differential Equations 124(1), pp 247-278 [78] Yagi A (2009), Abstract Parabolic Evolution Equations and Their Applications, Springer, Berlin [79] You Y (1993), “Inertial manifolds and stabilization in nonlinear elastic systems with structural damping”, Differential Equations with Applications to Mathematical Physics, pp 335-346, Mathematics in Science and Engineering 192, Academic Press, Boston, MA [80] Zelik S (2014), “Inertial manifolds and finite-dimensional reduction for dissipative PDEs”, Proceedings of the Royal Society of Edinburgh Section A: Mathematics 144(6), pp 1245-1327 CHỈ MỤC C m ε-gần (C m ε-close), 84 kẽ hở phổ (spectral gap), 45, 59, 89, C m gần (C m close), 84 109, 114, 135 C m liên hợp (C m conjugate), 84 C m tôpô (C m kỹ thuật cắt bỏ (cut-off technique), topology), 84 40, 66, 109 ϕ-Lipschitz địa phương, 40 không gian hàm ϕ-Lipschitz, 39, 48, 87, 111 bất biến xếp lại (rearrange- ánh xạ cắt bỏ (cut-off mapping), 40 ment invariant function space), 38 cận phổ (spectral bound), 27, 34 Banach (Banach function space), cận tăng trưởng (growth bound), 27, 36 34 Banach chấp nhận được, 37 cấu chấp hành, 77 chấp nhận (admissible (Ba- chuỗi Neumann, 120 nach) function space), 37 dạng quán tính (inertial form), 44, lũy thừa phân thứ, 33 45, 81 liên hợp tôpô (topologically conju- đánh giá nhị phân, 29, 33 gate), 84 đa tạp quán tính (inertial manifold), 43, 88, 112 mơ hình cạnh tranh với khuếch tán điểm quan sát, 77 chéo, 46 Định lí Nhiễu bị chặn (Bounded Pernửa nhóm turbation Theorem), 35, 64 C0 -nửa nhóm, 24 Định lí Ánh xạ phổ (Spectral Map- ổn định mũ đều, 26 ping Theorem), 27, 62, 63 giải tích, 31, 33, 45, 49, 60, 62, động lực thời gian dài, 82, 85 63, 108 hút cấp mũ (exponentially attract), hyperbolic, 26 9, 14, 44, 59, 89, 106, 113, 133 liên tục mạnh, 24 hàm Green, 34 nghiệm đủ tốt (mild solution), 43, 87, hàm lịch sử (history function), 86, 111 111 147 148 nghiệm bị chặn cốt yếu hậu tỉ xích (rescaledly essentially bounded), 49 hậu tỉ xích (rescaledly bounded), 90, 114 ổn định cấu trúc (structurally stable), 84 phép chiếu Riesz, 32, 49, 88 Phép tính phiếm hàm Dunford (Dunford Functional Calculus), 33, 49 phổ rời rạc (discrete spectrum), 28, 29, 61, 110, 134 quạt, 30 quỹ đạo F -cảm sinh, 128 quỹ đạo cảm sinh, 56, 102 tương đương tơpơ, 85 tốn tử dương, 32 quạt có kẽ hở phổ, 46–48, 60 quạt kiểu (σ, ω), 29 sinh, 25 ứng cử viên (candidate), 69 ... nghiên cứu đa tạp qn tính phương trình truyền sóng nửa tuyến tính tắt dần Khái niệm đa tạp quán tính mở rộng chứng minh tồn cho nhiều lớp phương trình tiến hóa ứng dụng, chẳng hạn đa tạp quán tính. .. người ta chứng minh tồn đa tạp quán tính số lớp phương trình cụ thể ứng dụng Chi tiết thông tin liệt kê phần – Ứng dụng đa tạp quán tính Một cách tổng quan, đa tạp quán tính xây dựng theo ba cách... nhấn mạnh, đa tạp quán tính chấp nhận E -lớp Đa tạp quán tính chấp nhận E -lớp cấu thành quỹ đạo nghiệm thuộc vào không gian hàm chấp nhận Khái niệm đa tạp tổng quát khái niệm đa tạp quán tính truyền