26 Chương 3 Quá trình bồi hoàn tổng thể và quá trình rủi ro trong tái bảo hiểm .... Lý thuyết rủi ro sẽ đóng vai trò nền tảng mà trong đó sẽ sử dụng những mô hình xác suất để phân tích v
Quá trình bồi hoàn
Mô hình
Công ty bảo hiểm quản lý một danh mục các rủi ro, từ đó phát sinh các vụ bồi hoàn và phí bảo hiểm Những rủi ro này có thể đa dạng, bao gồm nhiều loại hoặc chỉ một rủi ro đơn lẻ, và công ty sẽ chịu trách nhiệm giải quyết các vụ bồi hoàn liên quan.
Công ty bảo hiểm chủ yếu quan tâm đến hiệu suất tổng thể của danh mục đầu tư, tức là số tiền còn lại từ phí bảo hiểm sau khi trừ đi tổng số tiền bồi thường cho các vụ rủi ro Sự thặng dư này càng cao thì càng tốt Khi danh mục đầu tư bao gồm nhiều loại rủi ro, công ty không chú trọng đến việc xác định loại rủi ro nào gây ra vụ bồi thường cụ thể, điều này thể hiện rõ trong tổng quan về thuyết rủi ro.
Chúng ta cũng giả định rằng trong danh mục các vụ bồi hoàn xảy ra một cách ngẫu nhiên trong thời gian vô hạn bắt đầu từ thời điểm t = 0
- Không có vụ bồi hoàn nào xảy ra tại thời điểm t = 0
- Không có hai vụ bồi hoàn xảy ra đồng thời
Giả sử rằng không có hai vụ bồi hoàn xảy ra đồng thời là điều chấp nhận được Mặc dù điều này không gây ra vấn đề nghiêm trọng với danh mục nhỏ, nhưng khi áp dụng cho danh mục lớn, tính hợp lý của giả định này phụ thuộc vào các loại bảo hiểm và các yếu tố liên quan.
Khi giả định rằng không có hai vụ bồi hoàn xảy ra đồng thời, chúng ta có thể thay đổi quan điểm để tập trung vào các sự kiện bồi hoàn, chẳng hạn như tai nạn xe hơi, thay vì các vụ bồi hoàn đơn lẻ Số lượng vụ bồi hoàn đơn trong một sự kiện bồi hoàn tiền có thể được xem như giá trị của sự kiện đó.
Chúng ta hãy chuyển đổi quan điểm trên thành mô hình xác suất:
Một chuỗi biến ngẫu nhiên { }
T ∈ là một quá trình bồi hoàn nếu tồn tại một tập null Ω T ∈ F sao cho với mọi ω ∈ Ω \ Ω T , ta có:
Vì vậy ta có T n ( ω ) > 0 với mọi n ∈ N và với mọi ω ∈ Ω \ Ω T Tập Ω T gọi là tập null ngoại lệ của quá trình bồi hoàn { }
Cho quá trình bồi hoàn { }
T ∈ và với mọi n∈ N , định nghĩa một số gia
Ta có W n ( ω ) > 0 với mọi n∈ N và mọi ω ∈ Ω \ Ω T , và vì vậy nên
Chuỗi { } W n n ∈ N được gọi là quá trình chờ bồi hoàn được bao gồm trong quá trình bồi hoàn { }
- T n là thời gian xẩy ra của vụ bồi hoàn thứ n
- W n là thời gian chờ giữa hai vụ bồi hoàn xảy ra tại thời điểm n-1 và thời điểm n
- Với 1 xác suất, không có vụ bồi hoàn nào xảy ra tại thời điểm 0 và không có hai vụ bồi hoàn diễn ra đồng thời
T ∈ là quá trình bồi hoàn, trong khi { } W n n ∈ N là quá trình chờ bồi hoàn được sinh ra từ { } T n n ∈ N 0 Để đơn giản hóa, ta giả định rằng tập null ngoại lệ của quá trình bồi hoàn là rỗng.
Đối với mọi n ∈ N, quá trình bồi hoàn và quá trình chờ bồi hoàn có mối liên hệ chặt chẽ với nhau Điều này dẫn đến một số kết quả rõ ràng và hiển nhiên trong nghiên cứu của chúng ta.
Đối với mọi n ∈ N, giả sử Tn và Wn là các vector ngẫu nhiên từ Ω đến R n, với các tọa độ tương ứng là T i và W i Thêm vào đó, giả sử Mn là một ma trận kích thước (n×n) với các phần tử được xác định.
Vậy ma trân Mn là ma trận khả đảo và có det Mn = 1, hơn nữa ta có
Tn = Mn ○ W n và Wn = Mn -1 ○ T n ( ) 1 6
Từ đó ta có thể có được những kết quả sau:
Với mọi n∈ N , phân phối xác suất của T n và Wn sẽ thỏa mãn:
Giả sử rằng trong mô hình của chúng ta không loại trừ khả năng sẽ có vô hạn vụ bồi hoàn xảy ra trong một thời gian hữu hạn
{ sup n ∈ N T n < ∞ } ( ) 1 8 được gọi là sự bùng nổ (explosion)
Nếu { sup n ∈ N E ( T n ) < ∞ } thì xác suất xảy ra sự bùng nổ bằng môt Điều này là hiển nhiên theo định lý hội tụ đều
Nếu ∑ ∞ n =1 E [ W n ] < ∞ thì xác suất xảy ra sự bùng nổ bằng một.
Khi xây dựng mô hình kinh doanh cho một công ty bảo hiểm, một trong những quyết định quan trọng đầu tiên là xác định khả năng bùng nổ là 0 hay không Quyết định này có liên quan chặt chẽ đến phân phối xác suất của quy trình bồi hoàn.
Chúng ta kết luận phần này với công thức mà chương sau sẽ sử dụng nhiều:
Với mọi n ∈ N, T n xác định một ánh xạ
U n : Ω → Ω × được cho bởi công thức U n ( ω ) = ( ω , T n ( ω ) )
Như vậy mỗi là - đo được Định nghĩa một độ đo
C n à ( ) 1 9 Độ đo à được gọi là độ đo bồi hoàn được tạo bởi quỏ trỡnh bồi hoàn { } T n n ∈ N 0
=1 χ à ( 1 10 ) đạt được với mọi A∈ F và B ∈ Β (R )
1 1 1 1 χ χ à ta được kết quả như đã nêu
■ Kết quả trên liên kết độ đo bồi hoàn với quá trình số vụ bồi hoàn, sự kết nối này sẽ được trình bày kỹ trong chương sau
Luận văn này trình bày các kết quả liên quan đến phân phối xác suất đặc biệt trong trường hợp số lần bồi hoàn hoàn toàn liên tục theo độ đo Lebesgue, thường được áp dụng trong mô hình thời gian liên tục Điều thú vị là so sánh các kết quả của mô hình thời gian liên tục với các trường hợp phân phối xác suất của số lần bồi hoàn tập trung tại một điểm.
Trong trường hợp này, không mất đi tính tổng quát nếu giả định rằng thời điểm xảy ra vụ bồi hoàn mang giá trị nguyên, được gọi là mô hình rời rạc Mặc dù trong đơn vị thời gian nhỏ, đặc tính của mô hình rời rạc có thể khác hoàn toàn so với mô hình liên tục Mô hình rời rạc có thể được xem như một mô hình đơn giản cho danh mục đầu tư nhỏ, giúp công ty bảo hiểm phân biệt giữa các thời kỳ không có vụ bồi hoàn và những thời kỳ có số vụ bồi hoàn lớn hơn không Kết quả cho mô hình rời rạc sẽ được trình bày bắt đầu từ chương này và các chương tiếp theo.
Bảo hiểm tính mạng là một vấn đề quan trọng trong mô hình của chúng ta, bắt đầu từ khái niệm đơn giản về một biến ngẫu nhiên thể hiện thời gian sống hoặc thời gian chết của một cá nhân tham gia bảo hiểm, được gọi là bảo hiểm tính mạng đơn lẻ Trong trường hợp tổng quát, chúng ta xem xét chuỗi hữu hạn các biến ngẫu nhiên, thể hiện thời gian chết của nhiều cá nhân trong một danh mục đầu tư, từ đó hình thành mô hình bảo hiểm nhiều tính mạng Mặc dù không đi sâu vào nghiên cứu bảo hiểm tính mạng trong bài viết này, một số khía cạnh của các dạng bảo hiểm này sẽ được đề cập trong chương này và các chương sau.
Trường hợp Erlang
Trong mô hình của chúng ta, sẽ có một số trường hợp đặc biệt được trình bày cụ thể Thời gian chờ giữa hai lần bồi hoàn được coi là độc lập và có phân phối mũ Trong tình huống này, sự bùng nổ có thể xảy ra hoặc không, hoặc là chắc chắn xảy ra.
1.2.1 Định lý (luật 0-1 của sự bùng nổ)
Gọi { } α n n ∈ N là một dãy số thực nằm trong khoảng ( 0 , ∞ ) và giả sử rằng chuỗi những thời gian chờ { } W n n ∈ N là độc lập và thỏa mãn PW n = Exp ( α n ) với mọi n ∈ N
1 n α n là phân kỳ thì khả năng bùng nổ bằng không
1 n α n là hội tụ thì khả năng bùng nổ bằng một
Vì vậy, nếu chuỗi ∑ ∞ n =1 1 / α n là phân kỳ thì chuỗi ∑ ∞ n = 1 1 /( 1 + α n ) cũng phân kỳ và ta có xác suất P [ { ∑ ∞ n = 1 W n = ∞ } ] = 1 và như thế
P Đó là phần chứng minh (a) Để chứng minh (b) thì được suy trực tiếp từ hệ quả 1.1.4.
■Trong trường hợp những khoảng thời gian chờ giữa hai lần bồi hoàn là độc lập thì ta sẽ có thêm các kết quả sau :
Giả sử α ∈ ( 0 , ∞ ) Nếu chuỗi những khoảng thời gian chờ giữa hai lần bồi hoàn { } W n n ∈ N là độc lập, thì các kết quả sau là tương đương
W n = với mọi n ∈ N (b) P T n = Ga ( n α , ) với mọi n ∈ N
Trong trường hợp, E [ ] W n = 1 / α và E [ ] T n = n / α với mọi n ∈ N , và khả năng bùng nổ bằng không
Cách đơn giản nhất để chứng minh sự tương đương của (a) và (b) là sử dụng hàm đặc trưng
- Giả sử ta đã có (a) , vì T n = ∑ n k = 1 W kta có n n k n k
Và vì vậy ta có P Ga ( n , )
- Giả sử ta đã có (b) , vì T n −1 + W n = T n ta có n T
Đặc tính của phân phối mũ
Một trong những thách thức lớn nhất trong việc xây dựng mô hình xác suất là lựa chọn phân phối xác suất cho các biến ngẫu nhiên Cụ thể, điều quan trọng là xác định một phân phối xác suất chung cho tất cả các biến này Để thực hiện việc lựa chọn này, cần nắm rõ những đặc điểm cơ bản của các phân phối mà chúng ta dự định sử dụng.
Trong mô hình này, chúng ta có thể xác định phân phối của quá trình chờ bồi hoàn Vấn đề này sẽ được đơn giản hóa nếu các khoảng thời gian chờ giữa hai lần bồi hoàn được coi là độc lập, ngay cả khi việc lựa chọn phân phối xác suất cho khoảng thời gian chờ là không chắc chắn Dưới đây, chúng tôi sẽ đặc trưng hóa phân phối mũ bằng một tính chất đơn giản, giúp quyết định trong lĩnh vực bảo hiểm xem phân phối này có phù hợp với các khoảng thời gian chờ giữa hai lần bồi hoàn hay không.
Biến ngẫu nhiên W được định nghĩa là thời gian chờ đợi, với phân phối xác suất P W = Exp(α) Hàm số R → [0, 1] được biểu diễn bởi P[{W > ω}] thỏa mãn công thức P[{W > ω}] = e^(-αω) cho mọi ω ∈ R+.
P > + | > = > ( 1 12 ) với mọi s, t ∈ R + Đẳng thức đầu tiên phản ánh hàm phân phối mũ là một hàm tương tự bản thân nó trên R + theo nghĩa là với mỗi s ∈ R + ánh xạ
P t > + , > chỉ khác nhau một khoảng cách Hơn nữa nếu
Thời gian chờ giữa hai vụ bồi hoàn được mô tả bởi phân phối mũ, trong đó khoảng thời gian đã chờ s lần không ảnh hưởng đến khoảng thời gian chờ hiện tại Điều này cho thấy phân phối mũ có đặc tính quên quá khứ Câu hỏi đặt ra là liệu phân phối mũ có phải là phân phối duy nhất sở hữu tính chất này hay không.
Trước khi áp dụng công thức phân phối quên quá khứ, cần lưu ý rằng khi P W = Exp (α), đẳng thức này chỉ đúng với mọi s, t ∈ R + Tuy nhiên, nó sẽ gặp vấn đề khi s, t ∈ R, đặc biệt là trong trường hợp s < 0 < s + t.
P W Những quan sát đó sẽ dẫn đến những đinh nghĩa sau:
Một phân phối Q : B ( ) [ ] R → 0 , 1 là phân phối quên quá khứ trên S ∈ B ( ) R nếu
Kết quả sau là một thuộc tính tổng quát của phân phối quên quá khứ:
Giả sử Q : B ( ) R → [ ] 0 , 1 là một phân phối xác suất quên quá khứ trên
S ∈ Nếu 0 ∈ S thì Q thỏa mãn hoặc Q [ ] { } 0 = 1 hoặc Q [ ( 0 , ∞ ) ] = 1
Giả sử rằng Q [ ( 0 , ∞ ) ] < 1 Vì 0 ∈ S ta có
Q và vì thế ta có
∞ Q t Q t Q với mọi t ∈ S Định nghĩa t inf := S và chọn một chuỗi { } t n n ∈ N ⊆ S giảm dần đến t Vì vậy ta có
Vì Q [ ] S = 1 nên ta cũng có
Vì vậy Q [ { } t ∩ S ] = 1 và vì vậy t ∈ S
Cuối cùng , do 0 ∈ S , chúng ta có t < 0 hoặc t = 0 Nhưng t < 0 suy ra t ∈ ( 2t , ∞ ) và vì vậy ta có
≤ t Q t Q t Q t Q t Q Điều này là không thể Do đó , ta có t = 0 và vì vậy Q [ ] { } 0 = 1
■Kết quả sau đây mô tả phân phối mũ:
Cho một phân phối Q : B ( ) R → [ ] 0 , 1 , các kết quả sau đây là tương đương
(a) Q là phân phối quên quá khứ trên ( 0 , ∞ )
Chú ý rằng Q = Exp ( α ) nếu và chỉ nếu đẳng thức sau
- Giả sử ta đã có (a), ta có
Vì vậy Q [ ( ) 1 , ∞ ] = 1 là vô lý vì
Do đó, chúng ta có
Ta định nghĩa α : = − log Q [ ( ) 1 , ∞ ] Vì vậy ta có α ∈ ( 0 , ∞ ) và
Và vì vậy ta có
∞ với mọi m , n ∈ N thì ta có
Với mọi t ∈ ( 0 , ∞ ) ∩ Q Cuối cùng với mỗi t ∈ [ ) 0 , ∞ chúng ta có thể chọn một chuỗi { } t n n ∈ N ⊆ ( 0 , ∞ ) ∩ Q chuỗi này giảm dần tới t, và chúng ta sẽ có
, Điều đó có nghĩa là Q = Exp ( α ) Do đó (a) suy ra (b)
- Chiều ngược lại từ (b) suy ra (a) là hiển nhiên
Cho một phân phối Q : B ( ) R → [ ] 0 , 1 , các kết quả sau đây là tương đương
(a) Q là phân phối quên quá khứ trên R +
(b) Hoặc là Q = δ 0 hoặc Q = Exp ( α ) với mỗi α ∈ ( 0 , ∞ )
Không có phân phối xác suất nào là quên quá khứ trên toàn R
Quá trình số vụ bồi hoàn
Mô hình
Một họ các biến ngẫu { }
N là một quá trình số vụ bồi hoàn nếu như có tồn tại một tập ulln Ω N ∈ F như thế, với mọi ω ∈ Ω \ Ω N ,
- sup s ∈ [ ) 0 , t N s ( ) ω ≤ N t ( ) ω ≤ sup s ∈ ( ) t , ∞ N s ( ) ω + 1 với mọi t ∈ R + và
Tập null Ω N được gọi là tập null ngoại lệ của quá trình so vụ bồi hoàn { }
- Nt là số lượng vụ bồi hoàn xảy ra trong khoảng ( 0, t]
- Hầu hết tất cả các hướng của { }
N bắt đầu từ , tiếp tục về bên phải, 0 tăng lên với bước nhảy có độ cao tại những điểm gián đoạn, và tăng tới vô hạn
Kết quả đầu tiên của chúng ta xác nhận rằng mỗi quá trình bồi hoàn đều bao gồm một quá trình số vụ bồi hoàn
(a) Cho { } T n n ∈ N 0 là quá trình bồi hoàn Với mọi t ∈ R + và ω ∈ Ω , ta định nghĩa
N là quá trình số vụ bồi hoàn và Ω N = Ω T và:
Tn ( ) ω = inf { t ∈ R + | N t ( ) ω = n } ( ) 2 2 Với mọi n∈ N 0 và ω ∈ Ω \ Ω N
N là quá trình số vụ bồi hoàn, Với mọi n∈ N 0 và ω ∈ Ω , định nghĩa
Thì { } T n n ∈ N 0 là quá trình bồi hoàn và Ω N = Ω T , thêm vào đó
T n với mọi t ∈ R + và với mọi ω ∈ Ω \ Ω N
Việc chứng minh định lý 2.1.1 là điều dễ dàng
Với phần còn lại của chương này, giả sử { }
N là một quá trình số vụ bồi hoàn, trong đó {T_n}_{n ∈ N_0} đại diện cho quá trình bồi hoàn và {W_n}_{n ∈ N} là quá trình chờ bồi hoàn Chúng ta giả định rằng tập null ngoại lệ là rỗng.
Giả định rằng tập null ngoại lệ là rỗng, chúng ta có một đẳng thức hữu ích cho thấy rằng các sự kiện chắc chắn được xác định bởi quá trình số vụ bồi hoàn cũng có thể được hiểu là những sự kiện được xác định bởi quá trình bồi hoàn.
(b) { N t = n } { = T n ≤ t } { \ T n + 1 ≤ t } { = T n ≤ t T n + 1 } ( ) 2 4 luôn đúng với mọi n∈ N 0và t ∈ R +
Kết quả dưới đây được trình bày một cách súc tích, cho thấy rằng quá trình số vụ bồi hoàn và quá trình bồi hoàn đều chứa đựng các thông tin tương tự nhau.
Theo như những kết luận có trước, ta không ngạc nhiên khi sự bùng nổ có thể cũng xuất hiện trong quá trình số vụ bồi hoàn
Vì họ các tập { { N t = ∞ } } t ∈ ( 0 , ∞ ) tăng lên, nên ta có:
Nhờ bổ đề 2.1.2 , ta có:
Giả sử rằng quá trình số vụ bồi hoàn có kỳ vọng hữu hạn Thì xác suất xảy ra sự bùng nổ bằng 0
Nhờ sự giả định trên chúng ta có E [ ] N t < ∞ Vì vậy P [ { N t = ∞ } ] = 0 với mọi t ∈ ( 0 ∞ ) bổ đề này được suy ra từ bổ đề 2.1.4
Quá trình số vụ bồi hoàn sẽ được mở rộng đáng kể nhờ vào đặc tính của số gia, mà số gia được định nghĩa cụ thể trong bối cảnh này.
Với mỗi s, t ∈ R + , do s ≤ t , số gia của quá trình số vụ bồi hoàn { }
N trên khoảng ( s, t ] được định nghĩa như sau
Nếu N 0 = 0và T n > 0 với mọi n∈ N, điều này đúng với định nghĩa củaN t , vậy ta luôn có:
N t ( ) ( ω = N t − N s )( ) ω + N s ( ) ω ( ) 2 9 ngay cả khi N s ( ) ω là vô hạn
Ta luôn có đẳng thức
Chứng minh nhờ bổ đề 1.1.5 và định nghĩa của N t − N s ta có được đẳng thức trên
■ Trong mô hình rời rạc, chúng ta có N t = N t + h với mọi t ∈ N 0 và h ∈ [ ) 0 , 1
Do đó không gì mất đi nếu trong trường hợp tập chỉ số của quá trình số vụ bồi hoàn{ }
N là giảm dần tới N 0 ; chúng t sẽ đề cập chuỗia { }
N ∈ như là quá trình số vụ bồi hoàn được bao gồm bởi { }
Trường hợp Erlang
Chúng ta trở lại với trường hợp đặc biệt của thời gian xảy ra sự bồi hoàn (claim arrival times) có phân phối Erlang.
Cho α ∈ ( 0 , ∞ ) Những vấn đề sau là tương đương
Trong trường hợp này E [ ] T n = n / α , với mọi n∈ N và E [ ] N t = α t với mọi
Chú ý rằng, ta luôn có đẳng thức sau
● Giả sử (a) đúng, Theo bổ đề 2.1.2 ta có
Vậy ta có P N t = P ( ) α t , Điều đó chứng tỏ (a) suy ra (b)
● giả sử rằng (b) đúng Vì T n > 0, ta luôn có:
P n với mọi t ∈ ( − ∞ , 0 ] và với mọi t ∈ ( 0 , ∞ ) , theo bổ đề 2.1.2 thì
, ( 2 15 ) với mọi t ∈ R , và vì vậy có P T n = Ga ( α , n ) Do đó (b suy ra (a))
Điều kiện tương đương của 2.2.1 được xác định bởi việc các thời gian xảy ra bồi hoàn là độc lập và có phân phối mũ Tuy nhiên, trường hợp này có thể được mô tả rõ ràng hơn thông qua đặc tính của quá trình số vụ bồi hoàn liên quan đến số gia của nó, điều này sẽ được trình bày trong các phần sau.
Một đặc điểm của quá trình Poisson
Quá trình số vụ bồi hoàn{ }
- Những số gia độc lập nếu với mọi m∈ N và t 0 , t 1 , , t m ∈ R + mà t m t t < < ≤ 1 sup ∈ T sup 0 ( 4 13 ) Đúng với mọi: ε ∈ ( 0 , ∞ )
Thì ta có: { sup N 0 Z n > ε } = ∑ ∞ n = 0 A n và do đó
Cho r ∈ N 0 , và định nghĩa một biến ngẫu τ rnhư sau:
Thì ta có τ r ∈ T, và do đó
Những điều sau tương đương
(b) Bất đẳng thức E [ ] Z σ ≥ E [ ] Z τ đúng với mọi α , τ ∈ Tvới α ≤ τ
● Giả định đầu tiên rằng (a) đúng và cho α , τ ∈ T với α ≤ τ Với mọi
, n N 0 k ∈ mà n ≥ k, chúng ta có { σ = k } { ∩ τ ≥ n + 1 } { = σ = k } { \ τ ≤ n } ∈ F n , và vì vậy
Và điều này dẫn đến:
● Giả định rằng (b) đúng Cho n ∈ N 0 và A∈ F n , và xác định một biến ngẫu nhiên τ bằng điều kiện sau:
Thì ta có n ≤ τ ≤ T, do đó:
Những điều sau tương đương:
(b) Đẳng thức E [ ] [ ] Z σ = E Z τ đúng với mọi σ , τ ∈ T
Chứng minh của bổ đề 4.2.3 tương tự như chứng minh của bổ đề 4.2.2
Z ∈ sẽ dương nếu mỗi Z ndương
4.2.4 Hệ quả (bất đẳng thức Kolmogorov)
Nếu { } Z n n ∈ N 0 là một super-martingale dương, thì ta có bất đẳng thức:
∈ > ( 4 14 ) Đúng với mọi ε ∈ ( 0 , ∞ ) Điều này có thể suy ra trực tiếp từ định lý 4.2.1 và 2.24
Bất đẳng thức Lundberg
Xuyên suốt mục này, chúng ta giả định rằng chuỗi phí bảo hiểm dư thừa { } G n n ∈ N độc lập.
Một hằng số ρ ∈ ( 0 , ∞ ) là môt hệ số siêu điều chỉnh đối với quá trình phí bảo hiểm dư thừa { } G n n ∈ N nếu nó thoả mãn
Với mọi n ∈ N , và nó là 1 hệ số điều chỉnh cho quá trình phí dư thừa nếu nó thoả mãn
Với mọi n ∈ N, quá trình phí bảo hiểm dư thừa có thể không cần hệ số siêu điều chỉnh Tuy nhiên, nếu phân phối của một số phí bảo hiểm dư thừa không suy biến, quá trình này sẽ đạt được hệ số siêu điều chỉnh.
Giả sử { } F n n ∈ N 0 là sự lọc chuẩn cho { } n N 0 u
Chứng minh Với mọi n ∈ N 0 , chúng ta có
Vì chuỗi { } G n n ∈ N là độc lập, nên có
■ Khi một kết quả trực tiếp của bổ đề 4.3.1, chúng ta có những đặc tính sau của hệ số siêu điều chỉnh và hệ số điều chỉnh:
Với ρ ∈ ( 0 , ∞ ) , những điều sau là tương đương:
(a) ρ là hệ số siêu điều chỉnh cho quá trình phí bảo hiểm dư thừa
Với ρ ∈ ( 0 , ∞ ) , những điều sau là tương đương:
(a) ρ là hệ số điều chỉnh với quá trình phí bảo hiểm dư thừa
Kết quả chính của phần này như sau:
4.3.4 Định lý (Bất đẳng thức Lundberg)
Nếu ρ ∈ ( 0 , ∞ ) là 1 hệ số siêu điều chỉnh đối với quá trình phí bảo hiểm dư thừa, thì ta có bất đẳng thức sau:
Chứng minh Bằng định lý 4.3.2 và 4.2.4, ta có:
0 0 sup 1 inf vậy đã chứng minh được đẳng thức trên
Giới hạn trên xác suất phá sản được cung cấp bởi bất đẳng thức Lundberg phụ thuộc vào dự trữ ban đầu u và mức phí bảo hiểm κ thông qua hệ số siêu điều chỉnh ρ.
Xét về sự tồn tại của hệ số siêu điều chỉnh
Trong phần này, chúng ta sẽ xem xét sự tồn tại của hệ số (siêu) điều chỉnh, đặc biệt trong trường hợp các phí bảo hiểm dư thừa là độc lập và phân phối đều (i.i.d) Theo các kết quả đã được trình bày, chúng ta giả định rằng việc lưu trữ an toàn luôn là dương.
Giả sử chuỗi {G_n} với n thuộc N là độc lập và phân phối đồng nhất (i.i.d) với phân phối không suy biến và kỳ vọng hữu hạn Nếu quá trình phí bảo hiểm dư thừa có một hệ số siêu điều chỉnh, thì kỳ vọng E[G] sẽ lớn hơn 0.
Chứng minh Điều này suy ra từ định lý 4.3.4 và 1.34
Giả sử chuỗi {W_n} (n ∈ N) và chuỗi {W_n} (n ∈ N) độc lập và mỗi chuỗi là i.i.d với phân phối không suy biến và kỳ vọng hữu hạn Nếu quá trình phí bảo hiểm dư thừa có hệ số siêu điều chỉnh, thì điều kiện κ > E[X] / E[W] phải được thỏa mãn.
(ii) { } W n n ∈ N là i.i.d và thỏa mãn sup { z ∈ R + | E [ ] e zW < ∞ } ∈ ( 0 , ∞ ] , và
(iii) { } X n n ∈ N là i.i.d và thỏa mãn sup { z ∈ R + | E [ ] e zX < ∞ } ∈ ( 0 , ∞ ] cũng như
Nếu κ > E [ ] [ ] X / E W , thì quá trình phí dư thừa có một hệ số điều chỉnh.
Chứng minh Bằng giả định chuỗi { } G n n ∈ N là i.i.d Với mọi z∈ R, chúng ta có
Bằng giả định, tồn tại một vài z ' ∈ ( 0 , ∞ )mà những hàm sinh của W và X cùng hữu hạn trên khoảng ( 0 z , ' ) Lấy vi phân ta có
Với mọi z trong một lân cận của 0, và vì vậy
Bằng giả định tồn tại một vài z * ∈ ( 0 , ∞ )thỏa mãn M X ( ) z * = ∞ và do đó
M G Vì M G ( ) 0 = 1 và M ' G ( ) 0 > 0 , dẫn đến tồn tại một vài ρ ∈ ( 0 z , * ) thỏa mãn E [ ] e − ρ G = M G ( ) − ρ = 1 Nhưng điều này có nghĩa là ρ là một hệ số điều chỉnh của quá trình phí dư thừa
Trong hệ quả 4.2 và định lý 4.3, các thời gian chờ bồi hoàn được coi là i.i.d., cho thấy rằng quá trình số vụ bồi hoàn là một quá trình phục hồi Quá trình phục hồi này có thể được mô tả như một quá trình Poisson.
N là một quá trình Poisson với tham số α, và
(iii) { } X n n ∈ N là i.i.d và thỏa mãn sup { z ∈ R + | E [ ] e zX < ∞ } ∈ ( ] 0 , ∞ cũng như [ ] R + = 1
Nếu κ > α E [ ] X , thì quá trình phí bảo hiểm dư thừa có một hệ số điều chỉnh.
Chứng minh Bằng bổ đề 2.1.3 và 1.1.1, quá trình chờ bồi hoàn { } W n n ∈ N và quá trình giá trị bồi hoàn { } X n n ∈ N độc lập.
Bằng bổ đề 2.3.4, chuỗi { } W n n ∈ Nlà i.i.d với P W = Exp ( ) α , và biểu thức
Sự xác nhận cho điều này suy ra từ định lý 4.4.3
Để áp dụng bất đẳng thức Lundburg, cần phải xác định rõ ràng hệ số điều chỉnh, không chỉ dựa vào sự tồn tại của nó Để làm điều này, phân phối xác suất của các phí bảo hiểm dư thừa phải được xác định, thường thông qua việc phân tích phân phối thời gian chờ bồi hoàn và phân phối giá trị bồi hoàn.
N là một tiến trình Poisson với tham số α, và
(iii) { } X n n ∈ N là i.i.d và thỏa mãn P X = Exp ( ) β
Nếu κ > α / β, thì β − α / κ là một hệ số điều chỉnh của quá trình phí bảo hiểm dư thừa Đặc biệt,
Chứng minh Bằng định lý 2.3.4, chuỗi { } W n n ∈ N là i.i.d với P W = Exp ( ) α Định nghĩa κ β α ρ : = −
Như trong chứng minh của định lý 4.4.5, chúng ta có:
Vậy định lý đã được chứng minh
Kết quả được trình bày trong định lý 4.5 cho thấy một trường hợp đặc biệt, minh chứng cho sự tồn tại của hệ số siêu điều chỉnh không Điều này không chỉ khẳng định sự tồn tại mà còn cho phép hệ số này được thể hiện dưới một dạng cụ thể.
Mô hình rủi ro rời rạc theo tỷ lệ lãi suất
Giới thiệu
Cho { X n , n ≥ 1 } và { Y n , n ≥ 1 } là hai chuỗi độc lập của những biến ngẫu nhiên không âm, độc lập và cùng phân phối Thi khi đó chuỗi
{ S n = ∑ n k = 1 Y n − X n ; n ≥ 1 } là một dạng di động ngẫu nhiên Ta quan tâm đến một con số liên quan đến di động ngẫu nhiên trên :
U 1 ( ) 5 1 và 0 là một hằng số.
Y là ký hiệu của tổng số tiền bồi thường trong chu kỳ thứ n và n
X là tổng phí bảo hiểm trong chu kỳ thứ n, thì U n sẽ là số dư tại thời điểm n và
Xác suất phá sản cuối cùng trong mô hình rủi ro cổ điển được ký hiệu là u ψ 0, với dự trữ ban đầu là u Nếu EX 1 lớn hơn EY 1 và tồn tại một hằng số k 0 thỏa mãn điều kiện nhất định, điều này sẽ ảnh hưởng đến các yếu tố rủi ro trong mô hình.
Ee ( ) 5 2 thì bất đẳng thức Lundberg cho ta một giới hạn trên dạng hàm mũ cho xác suất phá sản như sau
Thêm vào đó, có thể hiểu ψ 0 ( ) u là xác suất cuối cho thời gian chờ cân bằng trong hàng đợi G /G / 1
Trong chương này, chúng ta sẽ mở rộng mô hình rủi ro 5.1, giả định rằng công ty bảo hiểm nhận lãi suất trên phần dư mỗi chu kỳ Các vụ bồi hoàn được thanh toán vào cuối mỗi chu kỳ, trong khi phí bảo hiểm được nhận ở đầu hoặc cuối chu kỳ Chúng ta sẽ giới thiệu hai mô hình rủi ro khác nhau trong mục 5.2, sau đó suy ra các bất đẳng thức ngẫu nhiên cho xác suất phá sản trong hai mô hình ở mục 5.3 và 5.4, sử dụng martingale và kỹ thuật đệ quy phục hồi Một ví dụ số hóa sẽ được trình bày ở mục 5.5.
Mô hình rủi ro Annuity Due và mô hình rủi ro Annuity Immediate
Giả sử tỷ lệ lãi suất của chu kỳ thứ n là i n ≥ 0, và giả sử Z n = 1 + i n là phần tích lũy trong chu kỳ thứ n, n=1,2,…
Ban đầu, giả định rằng phí bảo hiểm được thu vào đầu mỗi chu kỳ, công ty bảo hiểm sẽ nhận lãi suất từ phần dư trong mỗi chu kỳ Do đó, phần dư trữ sẽ được đảm bảo.
Mô hình rủi ro annuity due được định nghĩa bởi quá trình dư thừa U n, với n ≥ 1 theo (5.4) Trong mô hình này, xác suất phá sản cuối cùng được xác định như sau:
Giả sử rằng phí bảo hiểm được thu vào cuối mỗi chu kỳ, công ty bảo hiểm sẽ nhận được lãi suất từ phần dư trong mỗi chu kỳ Do đó, phần dự trữ sẽ được đảm bảo.
Mô hình rủi ro annuity immediate được định nghĩa trong (5.5), trong khi xác suất phá sản cuối cùng trong mô hình rủi ro annuity due được định nghĩa như trong (2.2).
Từ những điều trên sẽ thấy rằng với mọi u ≥ 0
Mô hình (5) và (5.5) mở rộng mô hình rủi ro cổ điển (5.1), với điều kiện nếu i n = 0 hoặc Z n = 1 cho mọi n ≥ 1, thì (5.4) và (5.5) trở thành (5.1) Tuy nhiên, việc tính toán trong trường hợp này rất khó khăn Chúng tôi sẽ trình bày giới hạn trên 5 của các xác suất phá sản liên quan.
Trong chương này, chúng ta giả sử rằng { i n , n ≥ 1 } là một chuỗi các biến ngẫu nhiên không âm độc lập và đồng phân phối (i.i.d), mô hình cơ bản cho tỷ lệ lãi suất, bao gồm trường hợp đặc biệt khi các tỷ lệ này là hằng số Hơn nữa, { i n , n ≥ 1 } được giả định là độc lập với { Y n , n ≥ 1 }.
{ X n , n ≥ 1 } Chúng ta ký hiệu phân phối xác suất chung của { Y n , n ≥ 1 } ,
G = 1 ≤ , với F ( ) 0 = 0 Định nghĩa phần bù của hàm phân phối xác suất
Các superma rtingale và những bất đẳng thức cho những xác suất phá sản
Trong bài viết này, chúng tôi sẽ trình bày các bất đẳng thức hàm cho ψ * ( ) u và ψ + ( ) u trong bối cảnh các hàm phân phối NWU (New rse than Used) và W NBU (New Better than Used) Ý tưởng này được giới thiệu bởi Willmot, và thông qua các ứng dụng của các bất đẳng thức hàm số, chúng tôi sẽ xác định giới hạn trên có dạng hàm mũ cho ψ * ( ) u và ψ + ( ) u.
Một hàm phân phối mức sống với được cho là NWU nếu với mỗi x ≥ 0 y ≥ 0
Nếu bất đẳng thức ( ) 5 7 đảo chiều thì ta gọi B ( ) x là NBU Định lý 5.3.1
Giả sử B 1 là một phân phối NWU và B 2 là phân phối NBU, giả sử B 1 và
E B α α ( ) 5 8 với mọi 0 < α ≤ 1 , theo đó , với mỗi u ≥ 0 ta có ψ * ( ) u ≤ Λ ( ) u ( ) 5 9 Ở đây
1 ( 5 11 ) với P 0 = C 0 = 0 Do từ định nghĩa của phân phối NWU và NBU, chúng ta có
B S Định nghĩa n = σ { 1 n 1 n 1 n } , vì vậy với mỗi ta có
Ta thấy bất đẳng thức cuối cùng đ ợc suy ra do (5.8ư ) và do X n + 1 , Y n + 1 , Z n + 1 là đọc lập trong F n
Quan hệ ( 5 12 ) suy ra rằng { S n , n ≥ 0 } là một supermartingale Chúng ta ký hiệu thời điểm của sự phá sản trong mô hình rủi ro (5.4) bởi
T với T = ∞ nếu U n ≥ 0 cho mọi n = 1, 2, ; do đó, T được gọi là thời điểm dừng Khi đó, n ∧ T = min(n, T) là một thời điểm dừng hữu hạn Theo định lý thời gian dừng tùy ý cho supermartingale, chúng ta có thể áp dụng kết quả này.
= ( 5 17 ) Ở đây (5.15) có được do C T > u + P T , (5.16) có được từ (5.10), và I ( ) A là hàm chỉ số của một tập A Vì vậy ta có (5.9) khi cho n → ∞ trong (5.17) và
Tương tự ta cũng thu được những bất đẳng thức hàm cho ψ + ( ) u Định lý 5.3.2
Giả sử B 1 là một phân phối NWU và B 2 là phân phối NBU, thỏa mãn
E B α α ( 5 18 ) với mọi 0 < α ≤ 1 , theo đó , với mỗi u ≥ 0 ta có ψ + ( ) u ≤ Λ ( ) u ( 5 19 ) Ở đây Λ ( ) u được định nghĩatheo( 5 10 )
1 ( 5 21 ) với P 0 + = 0 và C n được định nghĩa trong (5.11 ) Chúng ta có
Vì vậy , (5.19) suy ra từ những thành phần tương tự như ta chứng minh trong định lý 5.3.1
■ Định lý 5.3.1 và 5.3.2 cung cấp những bất đẳng thức hàm cho ψ * ( ) u và
Bằng cách lựa chọn B1 và B2 phù hợp như trong (5.8) và (5.18), chúng ta có thể đạt được giới hạn trên rất tốt cho ψ*(u) và ψ+(u) Áp dụng định lý 3.1 và 3.2, chúng ta sẽ tìm được giới hạn trên dạng hàm mũ cho ψ*(u) và ψ+(u), giúp cải thiện độ chính xác trong việc ước lượng các giá trị này.
Giả sử ta có k 1 > 0 mà thỏa mãn
Lấy B 1 ( ) x = B 2 ( ) x = e − k 1 x trong định lý 3.1 Vì vậy ta có Λ ( ) x = e − k 1 x Thêm vào đó, ta sử dụng (5.22) và bất đẳng thức Jensen thì với mọi 0 < α ≤ 1, ta có
Ee Điều này suy ra (5.8) Vì vậy có được (5.23) từ (5.9)
Hệ quả 5.3.2 Giả sử ta có k 2 > 0 mà thỏa mãn
Trong trường hợp đặc biệt, nếu i n = i , là một hằng số với mọi n ≥ 1 , và do đó với mỗi u ≥ 0 ta có
Quan hệ (5.25) suy ra do B 1 ( ) x = B 2 ( ) x = e − k 2 x trong định lý 5.3 Nếu 2 i i n = , thì Z 1 = 1 + i Vì vậy (5.24) và (5.2) suy ra rằng ( ) 0
( i ) k k 2 = 0 1 + Do đó ta có (5.25) và(5.26)
■ Một mô hình rủi ro annuity due đặc biệt, trong đó tỷ lệ lãi suất là những - hằng số
Ngoài ra kết quả số hóa trình bày ở mục 5 sẽ chỉ ra rằng
Các kỹ thuật đệ quy phục hồi và các bất đẳng thức cho xác suất rủi ro
Trong mục này, chúng ta sẽ suy ra các giới hạn trên khác nhau cho
Kỹ thuật hồi quy phục hồi được sử dụng để thu được các bất đẳng thức xác suất cho xác suất phá sản trong mô hình rủi ro cổ điển Các giới hạn trên thu được từ kỹ thuật này có thể chặt chẽ hơn so với các giới hạn thu được từ các supermartingale.
Cho một hàm phân phối B 1 với B 1 ( ) 0 = 0 , chúng ta định nghĩa
− = ∫ β ( 5 28 ) vì vậy , với mọi x ≥ 0 , ta có
Giả sử B 1 là một phân phối NWU và Λ 1 là một hàm không âm Giả sử B 1 và Λ 1 thỏa mãn
Vậy theo (5.35) và (5.30), ta có ψ * ( ) u ≤ β 1 E [ B 1 ( ) Y 1 ] − 1 ∫ ∫ 1 ∞ ∞ 0 B 1 ( ( u + x ) z ) ( ) ( ) dH x dG z
Theo giả thiết quy nạp thì với mọi u ≥ 0 , ta đặt
Bởi vì ( u + X 1 ) Z 1 ≥ u + X 1 Z 1, từ (5.36) suy ra với mọi u ≥ 0 ,
Lấy điều kiện trên X 1 , Y 1 , Z 1 và chú ý rằng sự phá sản xảy ra khi
Vì vậy từ (5.38), (5.28) và (5.37) , ta có
B z dG x dH y dF Y B z x u B u z x u z x n u β β ψ tuy nhiên, với mọi 0 ≤ y ≤ ( u + x ) z , ta có
≤ X Z B u x z B y ( 5 40 ) Ở đây (5.39) suy ra từ định nghĩa của phân phối NWU và (5.40) suy ra từ (5.33)
Z X u B E Y B E z dG x dH y dF Y B z x u B z dG x dH y dF Y B z x u B z dG x dH Y dF Y B z x u B Z
Vì vậy với mỗi n ≥ 1 , ta luôn có (5.36) Do đó trong (5.34), cho n → ∞ ta sẽ thu được (5.36) và lim n → ∞ ψ n * ( ) u = ψ * ( ) u
Tương tự ta cũng có kết quả như vậy với ψ + ( ) u Định lý 5.4 2
Giả sử B 1 là một phân phối NWU và Λ 2 là một hàm không âm Giả sử B 1 và Λ 2 thỏa mãn
+ β ψ ( 5 43 ) với β 1 được địn nghĩa trong (5.28h )
4 Chứng minh 5 .2 tương tự như chứng minh 5.4.1
Một phân phối B được gọi là NWUC (New Worse than Used in Convex nếu ) với mọi y ≥ 0 , x ≥ 0 ,
Bây giờ chúng ta sẽ sử dụng định lý 5.4.1 và 5.4.2 các bất đẳng thức dạng hàm mũ cho ψ * ( ) u và ψ + ( ) u
Giả sử k 3 > 0 mà thỏa mãn
− = β ( 5 46 ) Đặc biệt, nếu F là NWUC thì với mọi u ≥ 0 ta có
Bất đẳng thức (5.45) có được khi ta chọn B 1 ( ) x = Λ 1 ( ) x = e − k 3 x trong định lý 5.4.1
Thêm vào đó nếu F là NWUC, và thuộc lớp DFR thì
= Ee k Y − β ( 5 48 ) như vậy (5.48) và (5.45) suy ra (5.47).
Giả sử i n = i , là một hằng số, với mọi n ≥ 1 thì ψ* ( ) u ≤ β2 e − uk 3 ( 1 + i ) , ( 5 49 )
Với mọi u ≥ 0 Đặc biệt, nếu F là NWUC thì với mọi u ≥ 0 ta có
Nếu i n = i , thì Z 1 =1 + i, vì vậy (5.49) suy ra từ (5.45) và
Ee bất đẳng thức (5.50) suy ra từ (5.47) và (5.44 ).
Nếu i n = i , là một hằng số, với mọi n ≥ 1 thì Z 1 = 1 + i, và vì vậy (5.22) và (5.44) sẽ được thu gọn thành
Giới hạn trên trong hệ quả 4.2 đã được cải tiến từ (5.5.23) khi tỷ lệ lãi suất là hằng số Hơn nữa, trong mục 5, khi thực hiện mô phỏng với số liệu, ta nhận thấy rằng giới hạn trên theo (5.45) chặt chẽ hơn (5.23) khi tỷ lệ lãi suất là biến ngẫu nhiên.
Tương tự, ta cũng đạt được những kết quả từ định lý 5.4.2 như sau
− = β ( 5 53 ) Đặc biệt, nếu F là NWUC thì với mọi u ≥ 0 ta có
Bất đẳng thức (5.52) có được khi ta chọn B 1 ( ) x = Λ 2 ( ) x = e − k 0 x trong định lý 5.4.2
Thêm vào đó nếu F là NWUC thì 0 ( 0 1 ) 1
= Ee k Y − β từ đó ta sẽ có (5.54) và (5.52)
Giả sử i n = i , là một hằng số, với mọi n ≥ 1 thì ψ+ ( ) u ≤ β0 e − uk 0 ( 1 + i ) , ( 5 55 )
Với mọi u ≥ 0 Đặc biệt, nếu F là NWUC thì với mọi u ≥ 0 ta có
Giới hạn trên do hệ quả 4.4 rút gọn từ hệ quả 5.5.3.2 cho thấy rằng khi tỷ lệ lãi suất là biến ngẫu nhiên, giới hạn trên được xác định bởi (5.52) là chặt chẽ hơn so với (5.25).
Mô phỏng số
Trong mục này chúng ta sẽ làm một vài ví dụ để minh họa về giới hạn trên dạng mũ đã nhắc đến trong những mục trước
Trong các ví dụ này, chúng ta giả định rằng X1 = 1, tức là phí bảo hiểm cho mỗi chu kỳ được coi là một đơn vị và được chấp nhận trong mô hình rủi ro rời rạc cổ điển.
Giả sử rằng giá trị bồi hoàn Y 1 tuân theo phân phối Gamma, tức là :
Giả sử α = 0.5 và λ = 1.0, ta có EY1 = α/λ = 0.5, thỏa mãn điều kiện EX1 > EY1 với 0 < α < 1 Sử dụng thư viện của Mathematica, ta tính được K0 = 0.79682 từ công thức (5.2) cùng với các thông số khác.
K 1 = 3 1 + , tìm được K 3 = 0 , 822657 từ công thức (4.17) và K 2 = K 0 ( 1 + i ), từ đây tìm được K 1 = 0 864836, K 2 = 0 837666, trong trường hợp này tính các giới hạn trên ψ * ( )u theo (5.50) , ψ + ( )u theo (5.56) và ψ 0 ( ) u theo (5.3)
Ta có bảng kết quả sau: u ψ * ( )u ψ + ( )u ψ0 ( ) u
2 Cũng với đề bài ở ví dụ trên, nhưng ta thay đổi cho α = 0 8, ta tính được K 0 , K 3 = ,
K , trong trường hợp này tính các giới hạn trên ψ * ( ) u theo (5.50) , ψ + ( ) u theo ( 5.56 ) và ( ) u ψ0 theo (5.3)
Ta có bảng kết quả sau: u ψ * ( ) u ψ + ( ) u ψ 0 ( ) u
Giả sử rằng Y 1 tuân theo phân phối Gamma như công thức (5.1) với α> 0 , λ> 0
Giả sử α = 1,9 và λ = 2,8, ta có EY1 = α / λ = 19 / 28, thỏa mãn điều kiện EX1 > EY1 với α > 1 Đặt i_n = 0,06184 cho mọi n ≥ 1, và bằng cách sử dụng thư viện của Mathematica, chúng ta có thể tính toán xấp xỉ.
K , trong trường hợp này tính các giới hạn trên ψ * ( ) u theo (5.23) ,
Ta có bảng kết quả sau u ψ * ( )u ψ + ( )u ψ0 ( ) u
Nhận xét
Chúng tôi đã giới thiệu hai mô hình rủi ro rời rạc mở rộng từ mô hình cổ điển, giúp phân tích ảnh hưởng của lãi suất và hình thức trả tiền đến khả năng xảy ra phá sản Cần lưu ý rằng giới hạn trên cho xác suất phá sản suy ra từ kỹ thuật đệ quy chặt chẽ hơn so với việc sử dụng supermartingale Hơn nữa, giới hạn trên theo hàm mũ cũng được coi là sự tổng quát hóa từ giới hạn trên Lundberg.