Áp dụng phương pháp lấy mẫu lặp để đánh giá xá suất rủi ro trong bảo hiểm

nhưng lại gắn liền với c c b i to n thực tế cuộc sống, trong tự nhiên và xã h i.á à á ộ Ngày nay các mô hình xác suất thống kê đã thực sự được áp dụng rộng rãi trong tất cả các lĩnh vực

Quá trình bồi thường

Mô hình

Chúng ta cần chú ý đến rủi ro của các danh mục đầu tư, đặc biệt là những danh mục đã được bảo hiểm bởi các công ty bảo hiểm Những rủi ro này có thể dẫn đến quá trình bồi thường và thanh toán phí bảo hiểm cho người bảo hiểm từ phía công ty bảo hiểm Danh mục đầu tư có thể bao gồm một hoặc nhiều loại rủi ro khác nhau.

Các công ty bảo hiểm thường tập trung vào việc quản lý danh mục đầu tư của mình, đảm bảo sự cân bằng giữa doanh thu từ phí bảo hiểm và chi phí bồi thường cho các trường hợp xảy ra Việc này giúp họ duy trì sự ổn định tài chính và đáp ứng nhu cầu của khách hàng.

Nguyễn Trung Phú Toán, trong giai đoạn 2006-2008, đã chỉ ra rằng việc bán bảo hiểm thặng dư với mức phí thấp hơn là một điều tích cực Khi danh mục đầu tư chứa nhiều loại rủi ro, công ty bảo hiểm không cần quan tâm đến nguyên nhân cụ thể gây ra các khoản thanh toán Đây là cái nhìn tổng quát về lý thuyết rủi ro trong ngành bảo hiểm.

Chúng ta giả định rằng các quá trình bồi thường liên quan đến danh mục đầu tư diễn ra ngẫu nhiên trong khoảng thời gian vô hạn, bắt đầu từ thời điểm 0 và thỏa mãn các điều kiện nhất định.

+ Không có quá trình bồi thường xảy ra ở thời điểm 0

+ Không có hai quá trình bồi thường xảy ra đồng thời

Với giả định rằng không có hai quá trình bồi thường xảy ra cùng một thời điểm, mô hình vẫn giữ được tính tổng quát Thực tế, điều này sẽ không xảy ra nếu danh mục đầu tư chỉ là một danh mục nhỏ.

Khi giả định rằng không có hai quá trình bồi thường xảy ra đồng thời, điều này không làm thay đổi quan điểm của chúng ta về mô hình rủi ro Chúng ta tập trung vào chuỗi sự kiện bồi thường, như trong trường hợp tai nạn xe hơi, thay vì chỉ xem xét một sự kiện bồi thường đơn lẻ Số lượng sự kiện bồi thường trong chuỗi sự kiện này được gọi là kích thước của chuỗi sự kiện, và phần này sẽ được thảo luận chi tiết trong chương 3.

Bây giờ chúng ta chu ểny ý tưởng trong phần tr n thành các công thức trong ê mô hình ác suất x Định nghĩa quá trình bồi thường

Một chu các biỗi ến ngẫu nhiên

{ } T n v ới n ∈ N 0 được ọi g là qu trình ồiá b thường nếu tồn tại một t ập Ω T ∈ F đối với mọi ω ∈ Ω \ Ω T

Nguyễn Trung Phú Toán cô ng nghệ 2006 2008 -

Thì chúng ta có T n ( ω ) > 0 với mọi n ∈ N và với mọi ω ∈ Ω \ Ω T Tập Ω T được g là tọi ập null ngoại lệ (exceptional null set) của quá trình bồi thường { T n } v ới

N 0 n ∈ Đối với quá trình bồi thường { T n } v ới n ∈ N 0 chúng ta định nghĩa

Do có giả thiết T n − 1 ( ω ) < T n ( ω ) cho nên ta có W n ôlu n dương với mọi n ∈ N và v mới ọi ω ∈ Ω \ Ω T Do đó

Và v mới ọi n thì chúng ta có thể biểu diễn công thức tính T n qua các giá trị

Chuỗi các { } W n với n ∈ N được ọi là quá trình chờ bồi thường g được bao gồm bởi quá trình thanh toán tiền { } T n v ới n ∈ N 0

T n là thời điểm xảy ra quá trình thanh toán tiền lần thứ n

Wn là khoảng thời gian giữa hai lần thanh toán, cụ thể là giữa lần thứ (n-1) và lần thứ n Như đã đề cập trước đó, {Tn} với n ∈ N0 được gọi là quá trình bồi thường, trong khi {Wn} với n ∈ N là quá trình chờ bồi thường Quá trình chờ bồi thường {Wn} được bao gồm trong quá trình bồi thường {Tn} Để đơn giản hóa, chúng ta giả định rằng tập hợp ngoại lệ của quá trình bồi thường là một tập rỗng.

Trong quá trình nghiên cứu với n ∈ N, chúng ta nhận thấy rằng hai quá trình này có sự tương tác lẫn nhau Hãy cùng khám phá các tính chất của chúng để hiểu rõ hơn về mối quan hệ này.

Chúng ta có đẳng thức σ ( { } T k ) = σ ( { } W k ) v ới k ∈ {0,1,2 .n} (1.1.4) Đẳng thức trên đúng với mọi n ∈ N

Xa hơn thì với n ∈ N thì T n và W n biểu thị nó là một véctơ ngẫu nhi n từ ê

Với các tọa độ T_i và W_i là các giá trị riêng biệt, chúng ta định nghĩa M_n là ma trận vuông kích thước n, trong đó m_ij = 1 nếu i ≥ j và m_ij = 0 khi i < j.

Thì ma trận M n thoả mãn điều kiện detM n =1 và chúng ta có các đẳng thức n n n M oW

Với mọi n ∈ N thì các phân phối của T n và W n thoả mãn

Trong mô hình của chúng ta, giả định rằng không tính đến khả năng xảy ra các sự kiện bồi thường trong một khoảng thời gian hữu hạn.

{ Sup n ∈ N T n < ∞ } Đây chính là quá trình bùng nổ(explosion)

Nếu Sup n ∈ N E [ T n ] < ∞ thì x ác suất của quá trình bùng nổ luôn bằng một Đi ều đó là hiển nhiên theo lý thuyết h tội ụ đều

E thì xác suất của quá trình bùng nổ luôn bằng một

Khi nghiên cứu mô hình bảo hiểm trong kinh doanh, một quyết định quan trọng là xác định xác suất của quá trình bùng nổ, liệu có bằng 0 hay không Quyết định này tập trung vào phân phối của quá trình bồi thường, ảnh hưởng đến hiệu quả và tính bền vững của mô hình bảo hiểm.

Với n ∈ N thì đồ thị T n được định nghĩa bởi ánh ạ x

Với mỗi U n là một tập đo được trong F − F ⊗ B (R ) v ới đọ đo à được định nghĩa như sau à : F ⊗ B ( R ) → [ 0 , ∞ )

Và à được gọi là độ đo trong quỏ trỡnh bồi thường { } T n v ới n ∈ N 0

Chúng ta có đẳng thức

Ta có điều phải chứng minh Kết quả n sày ẽ liên kết v ới việc đo bồi thường trong quá trình số lần bồi thường ở chương 2

Hầu hết các kết quả trong nghiên cứu tập trung vào các phân phối liên tục theo độ đo Lebesgue, được gọi là mô hình liên tục theo thời gian Trong một số trường hợp, để giữ tính tổng quát, chúng ta giả sử rằng trong các mô hình, quá trình bồi thường luôn có các giá trị nguyên dương, và trong trường hợp này, chúng ta gọi đó là mô hình rời rạc.

Mô hình rời rạc có thể được coi là xấp xỉ của mô hình liên tục khi đơn vị thời gian rất nhỏ Tuy nhiên, các tính chất của mô hình rời rạc khác biệt so với mô hình liên tục theo thời gian Nói một cách khác, mô hình rời rạc là mô hình đơn giản nhất trong các mô hình, đặc biệt khi danh mục đầu tư có quy mô nhỏ.

Một trong những chủ đề quan trọng liên quan đến mô hình là bảo hiểm nhân thọ Chúng ta tập trung vào biến ngẫu nhiên đơn T, thỏa mãn điều kiện [n > 0] = 1, với nghĩa là thời gian chết của từng phần bảo hiểm riêng lẻ trong bảo hiểm nhân thọ đơn giản Ngoài ra, chúng ta còn quan tâm đến chuỗi biến ngẫu nhiên không vô hạn Tn, thỏa mãn P[{T0 = 0}] = 1.

P với mọi n là số tự nhiên và T n được xác định là thời gian không tồn tại của phần tử thứ n, điều này mô tả mô hình bảo hiểm nhân thọ tổng quát.

Các đặc trưng của mô hình phân phối mũ

Một trong những thách thức quan trọng trong mô hình xác suất là lựa chọn phân phối cho các biến ngẫu nhiên Để đảm bảo tính chính xác, cần xác định tập hợp phân phối cho tất cả các biến ngẫu nhiên liên quan Việc lựa chọn phân phối phù hợp đòi hỏi chúng ta phải hiểu rõ các loại phân phối và đặc điểm của chúng.

Mô hình trình bày này rất phù hợp cho quá trình chờ bồi thường Vấn đề này được giảm bớt khi xem xét khoảng thời gian giữa hai lần bồi thường là độc lập, tuy nhiên, việc lựa chọn phân phối thích hợp cho quá trình chờ bồi thường n vẫn không rõ ràng Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ xem xét phân phối mũ với các tính chất đơn giản, giúp quyết định nên hay không nên trong kinh doanh bảo hiểm, cụ thể là việc xấp xỉ quá trình chờ bồi thường với phân phối mũ.

Trong phần này chúng ta quan tâm đến ến bi ngẫu nhiên W và được gọi là thời gian chờ

Nếu W có âph n phối mũ v ới tham số là α ì hth àm ồn ại(survival function) t t được định nghĩa như sau

R → [ ] 0 , 1 w  P [ { W > w } ] v âới ph n phối ủa W o c th ả m ãn P [ { W > w } ] = e − α w v m ới ọi w là c sác ố thực dương

Xác suất P[W > s + t | W > s] = P[W > t] cho mọi số thực dương s, t cho thấy mối liên hệ giữa thời gian tồn tại trong mô hình phân phối mũ Đẳng thức này chỉ ra rằng thời gian chờ không bị ảnh hưởng bởi thời gian chờ trước đó, dẫn đến khái niệm phân phối mũ không nhớ, tức là quá khứ không ảnh hưởng đến tương lai.

Trước khi thức hóa các tác động của phân phối không nhớ, chúng ta giả sử W là biến ngẫu nhiên có phân phối với tham số α, và hai giá trị a, b đều là các số thực dương.

Ph n phối Q : B ( ) R → [ ] 0 , 1 được ọi là â g ph n phối kh ng nhớ tr n ô ê S ∈ B ( ) R n nó ếu thoả mãn

Phần tiếp theo chúng ta tìm hiểu một số tính chất của phân phối không nhớ

Nếu Q : B ( ) R → [ ] 0 , 1 là â ph n phối kh ng nhớ ê ô tr n S ∈ B ( ) R Nếu 0 ∈ S ì th Q thoả m ãn hoặc Q [ ] { } 0 = 1 hoặc Q [ ( 0 , ∞ ) ] = 1

Giả sử Q [ ( 0 , ∞ ) ] < 1 từ 0 ∈ S chúng ta có

Chúng ta định nghĩa t := inf S và chọn trong chuỗi { } t n n ∈ N ⊆ S với t là các giá trị giảm theo t Chúng ta có

Từ Q [ ] S = 1 chúng ta sẽ có

Do đó chúng ta có

Cuối cùng từ 0 ∈ Sthì hoặc t < 0 hoặc t = 0 Nhưng khi t < 0 trong khoảng

= Q [( t , ∞ )] 2 i n l Đ ều ày à không thể Do đó chúng ta có t = 0 thì Q [ ] { } 0 = 1

Dưới đây là các kết quả của phân phối mũ.

Với phân phối Q : B ( ) [ ] R → 0 , 1 thì các phát biểu sau đây là tương đương

Nguyễn Trung Phú Toán cô ng nghệ 2006 2008 - a) Q là không nhớ trên ( 0 , ∞ ) b) Q = Exp ( α ) với α ∈ ( 0 , ∞ )

Trong trường hợp này α = − logQ [ ( ) 1 , ∞ ]

Chú ý rằng Q = Exp ( α ) nếu và chỉ nếu nó thỏa mãn

Giả sử chúng ta có điều kiện a) Chúng ta có đẳng thức

Theo cách đó Q [ ( ) 1 , ∞ ] = 1 là không thể bởi vì

= inf ∈ 1 , và Q [ ( ) 1 , ∞ ] = 0 là không thể bởi vì

Do đó chúng ta có

Theo định nghĩa α : = − log Q [ ( ) 1 , ∞ ] và do α ∈ ( 0 , ∞ ) chúng ta có

Cùng với các kết quả

Q , ∞ = − α với mọi t ∈ ( 0 , ∞ ) ∩ Q Cuối cùng với mỗi t ∈ [ ) 0 , ∞ chúng ta có thể chọn m ột chuỗi { } t n n ∈ N ⊆ ( 0 , ∞ ) ∩ Q với giá trị của t giảm và chúng ta có

Bởi vì Q = Exp ( α ) do đó từ a) ta có b)

Chiều ngược lại từ b) ra a) là hiển nhiên

Cho một phân phối Q : B ( ) R → [ ] 0 , 1 , các kết quả sau đây là tương đương

(a) Q là phân phối không nhớ trên R +

(b) Hoặc là Q = δ 0hoặc Q = Exp ( α ) với mỗi α ∈ ( 0 , ∞ )

Phần kiểm tra được thực hiện ngay trong định lý 1.2.1 và 1.2.2

Không có một phân phối không nhớ nào trong R

Nếu Q : B ( ) [ ] R → 0 , 1 là phân phối không nhớ trong R, thì Q có thể là δ 0 hoặc là phân phối mũ với tham số α Theo định lý 1.2.1 và bổ đề 1.2.3, không tồn tại phân phối không nhớ trên R.

Quá trình số lần bồi thường

Mô hình

Một tập hợp các biến ngẫu { }

N là quá trình ố ần b s l ồi thường nếu như có tồn tại 1 tập hợp null Ω N ∈ F, với mọi ω ∈ Ω \ Ω N thoả ãn m

Một tập hợp null Ω N được coi là tập hợp null ngoại ệ của qu trình số lần l á bồi thường { } N t t ∈R +

N tlà số vụ bồi thường trong khoảng (0, t]

Khi ta vẽ trên đồ thị ì pth hần lớn các đường của { }

N bắt đầu từ 0, liên tục về bên phải, có bước nhẩy tại điểm gián đoạn, và tăng tới vô tận

T ∈ là một quá trình bồi thường Với mọi t ∈ R + và ω ∈ Ω xác định được:

{ là qu trình ố ần ồi thường mà á s l b Ω N = Ω T và:

Tn ( ) ω = inf { t ∈ R + | N t ( ) ω = n } (2.1.2) với mọi n∈ N 0 và với mọi ω ∈ Ω \ Ω T

T ∈ là một quá trình bồi thường Với mọi n ∈ N 0 và ω ∈ Ω

T ∈ được gọi là quá trình số lần bồi thường với Ω T = Ω N chúng ta định nghĩa

= ≤ n T t n (2.1.4) với với mọi n ∈ N 0 và với mọi ω ∈ Ω \ Ω T

Việc chứng minh định lý 2.1.1 là điều dễ dàng

Với phần còn lại của chương này, cho { N } t t ∈R + là một quá trình số lần bồi thường, cho { }

Quá trình bồi thường T ∈ được xác định bởi số lần bồi thường, trong khi {W n} n ∈ N là quá trình chờ bồi thường phát sinh từ tiến trình bồi thường Chúng ta giả định rằng tập null ngoại lệ là tập rỗng.

Theo giả định rằng tập hợp null ngoại lệ là rỗng, chúng ta có hai tính đồng nhất quan trọng: các sự kiện chắc chắn được xác định bởi quá trình bồi thường và ngược lại, các sự kiện này cũng được mô tả bởi quá trình bồi thường.

2.1.2 Bổ đề Chúng ta có các đẳng thức:

Kết quả trên thể hiện một cách súc tích rằng quá trình bồi thường và số lần bồi thường chứa đựng thông tin tương đồng.

2.1.3 Bổ đề : Ta có đẳng thức

Như ự thảo luận ở phần tr n chúng ta thấy ự kiện ổ nhóm ác qu trình s l b ố ần ồi ường th

Xác suất ủa ự kiện ổ thoả mãn:c s n

Từ họ các tập hợp { { N t = ∞ } } t ∈ ( 0 , ∞ ) là m ột họ tăng, chúng ta có:  t ∈ ( 0 , ∞ ) { N t = ∞ } =  t ∈ N { N t = ∞ }

Giả định rằng quá trình số lần bồi thường có kỳ vọng là hữu hạn thì xác suất để xảy ra quá trình ổ bằng 0 n

Nhờ giả định chúng ta có E [ N t ] < ∞Vì thế P [{ N t = ∞ }] = 0 với mọi

∈ t Sự khẳng định xuất phát từ bổ đề 2.1.4.

Việc thảo luận về quá trình số lầnbồi thường sẽ được ở ộng ra quam r thuộc tính của số gia – số giađược định nghĩa như sau:

Với mỗi s, t ∈ R + do s ≤ t, số gia của quá trình ố vụ bồi thườngs { N } t t ∈R +

Trên khoảng ( t s , ] được xác định là:

T χ s Nếu N 0 = 0 và T n > 0 với mọi n là số nguyên dương; điều này phù hợp với định nghĩa của N t; hơn nữa chúng ta có

N t ( ) ( ω = N t − N s )( ) ω + N s ( ) ω Đi n èu ày đúng ngay c ảkhi N s ( ω ) là vô hạn

2.1.6 Bổ đề Ta có đẳng thức

N hờ bổ đề 1.1.5 và định nghĩa của N t − N s đẳng thức tr n được chứng ê minh

Trong mô hình rời rạc thời gian, chúng ta có N t = N t + h với mọi t ∈ N 0 và

Nếu tập hợp các chữ số của tiền trình s lố ần b ồi thường { N } t t ∈R + giảm đến N0, chúng ta sẽ chuyển sang tập hợp { N t } t ∈ N 0, đại diện cho quá trình số lần bồi thường với { T n } n ∈ N 0.

Các tính chất của quá trình Poisson

Quá trình số lần bồi thường { N } t t ∈R + có

- Số gia độc lập với mọi m∈ Nvà t 0 , t 1 , t m ∈ R + mà 0 = t 0 < t 1 < t 2 < t m thì họ các số gia { } { 1 , 2 }

- Số gia ừng với mọi d m ∈ N và t 0 , t 1 , t m , h ∈ R + mà 0 = t 0 < t 1 < t 2 < t m thì tập hợp các số gia { } { 1 , 2 }

− − cũng có cùng phân phối ác suất x

- Một tiến trình Poisson với tham số α ∈ ( 0 , ∞ ) nếu nó có số gia độc lập dừng mà P N t = P ( t α ) với mọi t ∈ ( 0 , ∞ )

Ngay từ định nghĩa là quá trình số lần bồi thường có số gia độc lập và số gia dừng nếu và chỉ nếu có đẳng thức P N t h − N t = P N h

Các kết quả sau đây thể hiện các đặc trưng của tiến trình Poisson

2.2.1 Bổ đề (tiêu chuẩn đa thức): cho α ∈ ( 0 , ∞ ) Những đẳng thức sau là tương đương

(a) Quá trình số vụ bồi thường

Với mọi m ∈ N và mà t 0 , t 1 , t m ∈ R + , 0 = t 0 < t 1 < t 2 < t m với mọi n ∈ N 0 và

(b) Quá trình số vụ ồi b thường { N } t t ∈R + là tiến trình Poisson với tham số α

Kết quả này thu được nhờ phép tính trực tiếp:

+ Giả định rằng (a) đúng: ta có:

Nguyễn Trung Phú Toán cô ng nghệ 2006 2008 - k j m j m j j m j j t t t k n ∏

Do đó từ (a) suy ra (b)

+ Giả định rằng (b) đúng: ta có

Tiến trình Poisson có thể được mô tả như một nhóm quá trình bồi thường hoặc nhóm các quá trình chờ bồi thường Định lý 2.2.4 sẽ cung cấp câu trả lời cho câu hỏi này.

Trong khi kết quả trên mô tả tiến trình Poisson với tham số α trong các lớp của quá trình số lần bồi thường mà nó thoả mãn P P ( t )

Trong bài viết này, chúng ta xem xét các tính chất của quá trình Poisson trong lớp các quá trình số vụ bồi thường với số gia độc lập, theo định lý 2.2.4 Định lý này cung cấp hai mô tả về quá trình Poisson: đầu tiên là các nhóm bồi thường đo được, và thứ hai là dưới dạng martingale, được định nghĩa cụ thể trong nội dung.

Cho I là tập con bất kỳ của R+ và coi họ (tập hợp) { Z i } i ∈ I của biến ngẫu có k ỳ vọng là hữu hạn và một họ tăng{ F i } i ∈ I của một σ - đại số con của F mà mỗi

Z i được đo bởi F i Họ { F i } i ∈ I được gọi là bộ lọc và nó được gọi là bộ lọc tiêu chuẩn cho { Z i } i ∈ I nếu nó thỏa mãn F i = σ ({ Z h } h ∈ I ∩ ( −∞ , i ] ) với mọi i nằm trong tập I

- martingale ưới(submartingale) d với { F i } i ∈ I nếu nó thỏa mãn

∫ ≤ với mọi i , j ∈ I mà id=>e=>a

Giả sử (a) đúng, tư tưởng cơ bản trong việc chứng minh vấn đề là chỉ ra sự tương đồng giữa hàm tồn tại của phân bố theo luật mũ trong khoảng (0,∞) và sự tương đồng của quá trình bồi thường với mọi s ∈ R + Điều này cho thấy rằng quá trình á bồi thường mô tả sự kiện đòi bồi thường trong khoảng (s,∞) có tính chất tương tự như quá trình á bồi thường trong khoảng (0,∞), đồng thời thể hiện tính độc lập của N s.

(1) với giả định trên thì chuỗi { W n } n ∈ N là độc lập và thoả mãn

P W n = với mọi n ∈ N Chúng ta có biểu thức P Ga ( n , )

(2) do có (1) chúng ta có

Với mọi t ∈ R + và dựa trên bổ đề 2.1.4, xác suất xảy ra quá trình ổn định là 0 Do đó, chúng ta có thể giả sử mà không làm mất tính tổng quát rằng

(3) với s ∈ R + , chúng ta định nghĩa

{ } T n s n ∈ N 0 thoả mãn T 0 s = 0 và T n s −1 < T n s với mọi n ∈ N

Do đó, chuỗi { } T n s n ∈ N 0 là 1 quá trình bồi thường Cho { W n } n ∈ N á là qu trình chờ bồi thường được tạo bởi { } n N 0 s

(4) với mỗi s ∈ R + , quá trình chờ ồi thường b { W n s } n ∈ N và { W n } n ∈ N có âph n phối h h mữu ạn ột chiều như nhau; hơn nữa, N s và { W n s } n ∈ N là độc lập:

Chúng ta quan tâm đến t ∈ R + và k ∈ N 0 thì chúng ta có

Sử dụng công thức biến đổi tích phân, sự độc lập của T k và W k và theo lý thuyết của Fubini, chúng ta có:

Sử dụng công thức Fubini 2 lần cùng lúc với nhớ phân phối của mỗi Wn là Exp(α) và là phân phối không nhớ trên R+, chúng ta có:

Do đó, chúng ta có:

Cho n ∈ N , t 1 , t 2 , t n ∈ R + và k ∈ N 0 Với mỗi j ∈ { 2 , 3 n } chúng ta có

Từ chuỗi { W n } n ∈ N là độc lập và c phân phối tương tự nhau, ta có biểu ó thức

Thực hiện phép tổng với mọi k ∈ N 0ta có:

Thêm sự xác nhận này vào biểu thức trên, ta có:

Sự đồng nhất sau cùng của 2 biểu thức cho thấy phân ph hữu hạn m ối ột chiều là như nhau của { W n s } n ∈ N và { W n } n ∈ N , và Ns và { W n s } n ∈ N là độc lập Trong

Nguyễn Trung Phú Toán cô ng nghệ 2006 2008 - trường hợp riêng biệt này, chuỗi n N s

{ là độc lập và thoả mãn P s Exp ( α )

Với mọi n ∈ N 0 , chúng ta có:

Do bởi (4), phân phối h hạnữu một chi ều của á qu trình chờ đòi bồi thường

{ và { W n } n ∈ Nlà giống nhau và theo đó phân ph hữu hạnối một chi ều của quá trình đến đòi bồi thường { T n s } n ∈ N 0 và { T n } n ∈ N 0 cũng giống nhau Suy ra ta có:

(6) Quá trình số vụ bồi thường

{ có số gia độc lập:

Quá trình bồi thường trong lĩnh vực này có tính độc lập và phân phối đồng nhất, với các biến ngẫu nhiên Ns và {Wn s} n ∈ N cũng độc lập Điều này dẫn đến việc phân phối một chiều của quá trình đến đòi bồi thường {Tn s} n ∈ N 0 và {Tn} n ∈ N 0 là tương đồng.

Tiếp theo với s ∈ R + , m ∈ N ,h 1 , h m ∈ R + và k , k 1 , k m ∈ N 0 thì ta có:

Với mọi m ∈ N thì ta có đẳng thức

 Đúng với mọi t 0 , t 1 , t m ∈ R + mà nó thỏa mãn 0 = t 0 < t 1 < t 2 < t m và

Chúng ta chứng minh theo phương pháp qui nạp

Trước hết là nó đúng với m=1

Chúng ta giả sử rằng nó đúng với m ∈ N và t 0 , t 1 , t m ∈ R + đồng thời t m t t t < < ≤ 1sup ∈ T sup 0 (4.2.1) Đúng với mọi ε ∈ ( 0 , ∞ )

Với r∈ N 0 chúng ta định nghĩa biến ngẫu nhiên τ r theo công thức

Nguyễn Trung Phú Toán cô ng nghệ 2006 2008 - dP

Các phát biểu sau đây là tương đương a){ Z n } n ∈ N 0 là một supermartingale b) Bất đẳng thức E [ ] Z σ ≥ E [ ] Z τ đúng với mọi σ , τ ∈ T mà σ ≤ τ

Giả sử a) đúng với điều kiện mọi σ , τ ∈ T mà σ ≤ τ Với mọi k , n ∈ N 0 mà k n ≥

≥ k n σ k τ n Z n dP Điều này dẫn đến

Do đó từ a) ta có b)

Ngược lại khi b) đúng chúng ta xét n ∈ N 0và A ∈ F nvà xác định một biến ngẫu τ bằng điều kiện sau:

: 1 ω ω ω τ Thì ta có n ≤ τ ≤ T, do đó:

Các phát biểu sau đây là tương đương a) { Z n } n ∈ N 0 là một martingale b) Đẳng thức E [ ] [ ] Z σ = E Z τ đúng với mọi σ , τ ∈ T

Từ công thức chứng minh ở bổ đề 4.3.2 ta chứng minh tưong tự cho bổ đề này

4.2.4 Hệ quả (Bất đẳng thức Kolmogorov)

Nếu { Z n } n ∈ N 0 là một supermartingale dương thì ta có

∈ > Đúng với mọi ε ∈ ( 0 , ∞ ) Điều này có thể suy ra trực tiếp từ định lý 4.2.1 và 4.2.2

Bất đẳng thức Lundberg

Xuyên suốt phần này, chúng ta giả định rằng chuỗi phí bảo hiểm vượt ức m

Một hằng số ρ ∈ ( 0 , ∞ )là 1 hệ số siêu điều chỉnh đối với quá trình phí bảo hiểm vượt mức { } G n n ∈ N nếu nó thoả mãn

Với mọi n ∈ N , và nó là 1 hệ số điều chỉnh cho quá trình phí vượt ức m nếu nó thoả mãn

Với mọi n ∈ N, quá trình thu phí bảo hiểm vượt mức không phải là một hệ số siêu điều chỉnh Tuy nhiên, nếu phân phối của quá trình thu phí bảo hiểm vượt mức không suy biến, thì quá trình này sẽ đạt được hệ số siêu điều chỉnh.

F n ∈ được ký hiệu là b ộ lọc chuẩn ắc với t { } n N 0 u

4 3.1 Bổ đề Vớiρ ∈ ( 0 , ∞ ), thì đẳng thức

Với mọi n ∈ N 0, chúng ta có

Thì chuỗi { } G n n ∈ N là độc lập, có

Khi một kết quả trực tiếp của bổ đề 4.3.1, chúng ta có những đặc tính sau của hệ số siêu điều chỉnh và hệ số điều chỉnh:

4 3.2 Hệ quả Với ρ ∈ ( 0 , ∞ ), những điều sau là thích hợp:

(a) ρlà hệ số siêu điều chỉnh với quá trình thu phí bảo hiểm vượt mức (b) Với mỗi u ∈ ( 0 , ∞ ), chuỗi { } n N 0

4 3.3 Hệ quả Với ρ ∈ ( 0 , ∞ ), những điều sau là thích hợp:

(a) ρlà hệ số điều chỉnh với quá trình thu phí bảo hiểm vượt ức m

Kết quả chính của phần này như sau:

4 3.4 Định lý (bất đẳng thức Lundberg)

Nếu ρ ( )là 1 hệ số siêu điều chỉnh đối với quá trình thu phí bảo hiểm vượt ức, thì ta có bất đẳng thức sau: m

Bằng định lý 4.3.2 và 4.2.4, ta có:

Giới hạn trên đối với xác suất của sự phá sản được cung cấp bởi bất đẳng thức Lundberg phụ thuộc rõ ràng vào dự trữ ban đầu u Đồng thời, giới hạn này cũng phụ thuộc vào độ mạnh của phí bảo hiểm κ thông qua hệ số siêu điều chỉnh ρ.

Đánh giá xác suất rủi ro phi tham số

Giới thiệu

Chúng ta có một tập hợp các vectơ ngẫu nhiên độc lập (X, Y) với i = 1, 2, theo phân phối hai chiều F Trong đó, biến ngẫu nhiên X i đại diện cho tổng số tiền bồi thường tại lần thứ i, và biến ngẫu nhiên không âm Y i biểu thị khoảng thời gian thứ i giữa hai lần chi trả.

Với mọi t > 0 chúng ta định nghĩa tổng số tiền cần chi trả ở thời điểm t

Hàm chỉ định N với I (.) cho biết rằng tiền thu được cho mỗi lần thực hiện luôn giữ cường độ không đổi trong một đơn vị thời gian Do đó, tổng số tiền P cần thanh toán sau khi trừ đi số tiền thu được tại thời điểm t sẽ được xác định rõ ràng.

Khi N(t) = 0, chúng ta chú trọng vào xác suất U(t) vượt quá giá trị trước đó u tại thời điểm t hoặc T Xác suất này được xác định theo công thức cụ thể.

Chúng ta quan tâm đến xác suất để U (t ) vượt quá giá trị ban đầu u

Xác suất ψ ( T u , ) và ψ (u ) được tương ứng gọi là xác suất phá sản hữu hạn và vô hạn

Phương pháp xấp xỉ ψ (T u ,) và ψ (u) được trình bày trong phần này dựa trên khái niệm lấy mẫu lặp, một ý tưởng không mới trong thống kê Phương pháp này đã được sử dụng phổ biến từ những năm 40 của thế kỷ 20 bởi Hoeffding (1948) và gần đây nhất là Efrom (1982) Ý tưởng ứng dụng của phương pháp này sẽ được trình bày cụ thể trong bài viết.

Chúng ta quan tâm đến biến ngẫu nhiên

Nếu U(t) là một biến ngẫu nhiên với phân phối đã biết F, thì phân phối của biến ngẫu nhiên Z cũng được xác định hoàn toàn bởi F Theo công thức ψ(u, T) = 1 - P(Z ≤ u), từ lý thuyết nhiều chiều của Glivenko-Cantelli, nếu chúng ta biết F, có thể xác định Z Đặc biệt, với kích thước mẫu lớn từ (Xi, Yi) n i = 1, chúng ta có thể xấp xỉ Z một cách chính xác.

F Một vấn đề được đặt ra ở đây là là làm thế nào chúng ta có thể có cách đánh giá được ψ ( T u , )

Nguyễn Trung Phú Toán cô ng nghệ 2006 2008 - dựa trên ( X i , Y i ) n i = 1 Ở phần n ày chúng ta tìm hiểu phương pháp đánh giá ψ ( T u , ) và ψ (u ).

Phương pháp đánh giá

Từ các biến n ẫu nhiên ( X i , Y i ) n i = 1 của tập nền với hàm phân phối đã biết trước là F Với { a 1 n , a 2 n a nj } = A j là hoán vị thứ j của { 1 , 2 , 3 , n } , j = 1 , 2 n !

Chúng ta sử dụng mô hình lấy mẫu ặp bằng cách quan tâm đến sắp xếp lại các l cặp ( X i , Y i ) n i = 1 với j = 1 , 2 n !

Chúng ta định nghĩa n S = Y 1 + Y 2 + + Y n Với lần hoán vị thứ lần thứ j thì tổng số tiền phải trả ở thời điểm t là

Và tổng số tiền cần phải trả sau khi trừ đi tiền thu được ở thời điểm t là

Khi lần rút tiền thứ j thì nhà bảo hiểm sẽ phá sản nếu

Trong công thức trên, chúng ta tính sup trong khoảng {t: 0 ≤ t ≤ min(Sn, T)} Cần lưu ý rằng khi áp dụng công thức (2.1), không nhất thiết phải tính toàn bộ UAj(t) với t ∈ [0, min(Sn, T)], mà chỉ cần tính trong các giá trị anj j a j a j a j a j a Y Y Y Y Y.

0 1 1 2 1 2 Theo đó giá trị trung bình trong toàn bộ hoán vị

Trong công thức trên ∑ p chỉ tổng toàn bộ các hoán vị của { 1 , 2 , 3 , n }.Chú ý rằng chúng ta có thể có một cách khác để định nghĩa ψ n (u ) như sau

Tính chính xác của phương pháp được thể hiện theo các định lý sau. Định lý 5.2.1: Giả thiết EY > 0 thì với mỗi T ta có lim ( u , T ) ( u , T ) n n ψ ψ =

Với B=B(n) là một số nguyên không âm phụ thuộc vào n thoả mãn điều kiện B − >∝ khi n − >∝ Dựa trên quan sát mẫu ( X i , Y i ) n i = 1 chúng ta ước lượng ψ n theo hai bước (với b = 1,2… B)

Bước 1:Tạo n mẫu từ ( X i , Y i ) n i = 1 ta có ( X i * b , Y i * b ) với i = 1 , 2 n

(sup tính trong đoạn 0 ≤ t ≤ min( S n , T ) ) l Việc sử dụng mẫu ặp được định nghĩa theo công thức

, ( ψ ψ và ψ * n ( u ) = ψ * n ( u , S n ) (5.2.7) Định lý 5.2.2 Giả sử EY > 0 và log n = 0 ( B 1 / 2 ) (5.2.8) thì

= n ( n u ) ( u ) lim ψ * ψ (5.2.10) lý n Định ày được chứng minh ở phần sau

Chứng minh

Với các biến X 1 m , X 2 m , X nm là các thống kê của X 1 , X 2 , X n và Y 1 n là thời điểm tương ứng với sự kiện bồi thường có chi phí là X 1 n, i = 1 , 2 , 3 n

Xét G n = σ (( X 1 n , Y 1 n ), i = 1 , 2 n , ( X i , Y i , i > n )) với n ≥ 1 là chuỗi không tăng của một σ-trường Bởi vì tất cá các tham số dưới đây rất dễ dàng cho trường hợp

T , chúng ta chỉ chứng minh với trường hợp ψ n = ψ n ( T u , ) Chúng ta định nghĩa một phiên bản của ψ n với trường hợp martingale ngược

Chúng ta xét với lần hoán vị thứ j của { 1 , 2 , 3 n }

NA ' ( ) ( ) ( ) là phiên bản của số các lần bồi thường ở thời điểm t.

1 n j = Với k a kj = với k > n ta định nghĩa

Trong công thức này Sup lấy trong đoạn 0 ≤ t ≤ T

Chúng ta có các tính chất của phiên bản của xác suất phá sản

5.3.1 Bổ đề Với mỗi u,T,( ψ n ' ( u , T ), G n ) là một martingale ngược

Chúng ta thấy rằng ψ n ' = ψ n ' ( u , T ) với G n là tập đo được và G n khả tích Với

U như định nghĩa ở (1.1), chúng ta có quan hệ ψ ' n = E { I ( SupU ( t ) > u ) | G n } (5.3.2)

Trong công thức này Sup lấy trong đoạn 0 ≤ t ≤ T

Từ công thức 5.3.2) chúng ta có ( E ψ n ' ( u , T ) = ψ ( u , T ) Theo bổ đề 5.3.1 và theo lý thuyết hội tụ martingale, chúng ta có đẳng thức lim ' ( u , T ) ( u , T ) n n ψ ψ =

(5.3.3) và định nghĩa thời gian dừng inf{ 1 : ( ) }

Chú ý rằng ψ n ( T u , ) và ψ n ' ( u , T ) chỉ khác nhau trên tập { n < τ < ∞ }

Công thức ( 3.3) đã được chứng minh.5.

Ký hiệu ψ n * = ψ n * ( u , T ) Từ công thức (5.2.4) thoả điều kiện (5.2.9) với

Khi chứng minh các bất đẳng thức, ta định nghĩa F n = σ((X i, Y i), i = 1, 2, , n) với n ≥ 1 là một chuỗi không tăng của một σ-trường Theo điều kiện (5.2), tồn tại một hằng số K dương mà có giá trị lớn hơn 8 so với n, dẫn đến bất đẳng thức n − 1 ≥ exp(−KB 1/2) (5.3.5).

Từ bất đẳng thức Markov với δ > ε − 1 chúng ta có

Từ (5.3.5), exp{ − ε KB 1 / 2 } là tổng do vậy để chứng tỏ ( 3.4) chúng ta cần , 5. chỉ ra sup E {exp( sB 1 / 2 ( ψ * n − ψ n ))} < ∞ (lấy sup theo n) (5.3.6)

Trong đó s = δ K Từ công thức (5.2.6), ta có

≤ là khai triển Taylor Nó thoả mãn (5.3.6) và có (5.2.9)

Mô phỏng số

Trong phần này, chúng ta sẽ xem xét kết quả của quá trình phỏng đoán Giả sử tổng số tiền bồi thường tuân theo phân phối m với kỳ vọng là 1 Quá trình chờ bồi thường là độc lập và cũng tuân theo phân phối với kỳ vọng là 1,25 Chúng ta cũng xét độ tiền thu được x có giá trị P = 1.

V à s v có t ới u l ố ốn đã ừ đầu, n là kích thước ủa ẫu c m u 22.0 ính= t áto n theo lý thuyết ì th ψ ( u ) = 0 01 n Lần 1 L ần 2 Lần 3 Lần 4

150 0.01 0.01 0.01 0.00 u 13.8 ính= t áto n theo lý thuyết ì th ψ ( u ) = 0 05 n Lần 1 Lần 2 Lần 3 Lần 4

150 0.05 0.06 0.05 0.04 u 10.39= tính toán theo lý thuyết th ì ψ ( u ) = 0 1 n Lần 1 Lần 2 Lần 3 Lần 4

Nguyễn Trung Phú Toán cô ng nghệ 2006 2008 - u 3.46= tính toán theo lý thuyết ì th ψ ( u ) = 0 4 n Lần 1 Lần 2 Lần 3 L ần 4

Tiêu đề	Áp Dụng Phương Pháp Lấy Mẫu Lặp Để Đánh Giá Xác Suất Rủi Ro Trong Bảo Hiểm
Tác giả	Nguyễn Trung Phú
Người hướng dẫn	TS. Bùi Khởi Đàm
Trường học	Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội
Chuyên ngành	Toán Công Nghệ
Thể loại	luận văn thạc sĩ
Năm xuất bản	2008
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	86
Dung lượng	2,11 MB