XÁC SUẤT VÀ CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT
Không gian mẫu và biến cố
Phép thử ngẫu nhiên là khái niệm cơ bản trong xác suất, tuy không có định nghĩa chính thức Nó được hiểu là việc thực hiện một nhóm điều kiện để quan sát sự xuất hiện của một hiện tượng nào đó Những thí nghiệm này mang tính ngẫu nhiên, với kết quả có thể khác nhau ngay cả khi được lặp lại nhiều lần trong cùng một điều kiện.
Khi tung một xúc xắc cân đối, chúng ta không thể dự đoán chính xác số chấm sẽ xuất hiện Hành động này được gọi là phép thử ngẫu nhiên.
Không gian mẫu Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của một phép thử ngẫu nhiên Ta thường kí hiệu là Ω.
Khi gieo một đồng xu cân đối, có hai kết quả khả thi: mặt sấp (S) hoặc mặt ngửa (N) Do đó, không gian mẫu cho thí nghiệm này bao gồm hai kết quả.
Biến cố Mỗi tập con của một không gian mẫu gọi là biến cố Ta nói
"biến cố A xảy ra" khi thực hiện phép thử nếu kết quả phép thử rơi vàoA.
Mỗi phần tử trong không gian mẫu đều được xem là một biến cố sơ cấp Không gian mẫu Ω được gọi là biến cố chắc chắn, trong khi tập rỗng ∅ được coi là biến cố không thể xảy ra.
Ví dụ 3 Khi tung một con xúc xắc thì số chấm xuất hiện một cách ngẫu nhiên Ta có không gian mẫu là:
Ω 1; 2; 3; 4; 5; 6 , còn biến cố xuất hiện mặt lẻ là:
A 1; 3; 5 a Mối quan hệ giữa các biến cố
Quan hệ bao hàm: Biến cố A được gọi là kéo theo biến cố B, kí hiệu A
⊂ B, nếu A xảy ra thì B cũng xảy ra.
Quan hệ bằng nhau: Hai biến cố A, B được gọi là bằng nhau nếu A ⊂
B và B ⊂ A. b Các phép toán trên biến cố
Cho A và B là 2 biến cố của không gian mẫu Ω
A ∩ B (hoặc kí hiệu là: A.B hay đơn giản hơn là AB), là biến cố xảy ra khi và chỉ khi đồng thời hai biến cố A và B cùng xảy ra.
Nếu hai biến cố A và B không thể đồng thời xảy ra (A ∩ B = ∅) thì ta nói A và B xung khắc.
A ∪ B là biến cố xảy ra khi và chỉ khi ít nhất một trong hai biến cố A,
A = Ω\A được gọi là biến cố đối của A Nếu A xảy ra thì A không xảy ra và ngược lại.
Nếu một công việc được thực hiện k bước.
Bước 1 có n 1 cách thực hiện,
Bước 2 có n 2 cách thực hiện,
Bước k có n k cách thực hiện.
Khi đó, có n1.n2 nk cách thực hiện công việc đó.
Tập hợp A chứa n phần tử (với n ≥ 1) và mỗi cách sắp xếp các phần tử trong tập hợp này được gọi là một hoán vị.
Số cách sắp xếp n phần tử vào n vị trí sao cho mỗi vị trí có đúng 1 phần tử là n!.
Tổ hợp chập k của n phần tử là tập con gồm k phần tử khác nhau được chọn từ tập hợp mẹ S với n phần tử, mà không cần quan tâm đến thứ tự sắp xếp.
Số tập con k phần tử của một tập n phần tử là:
Chỉnh hợp chập k của n phần tử là một tập con có k phần tử riêng biệt được chọn từ tập hợp mẹ S gồm n phần tử, và các phần tử này được sắp xếp theo một thứ tự nhất định.
Số cách lấy ra k phần tử từ tập n phần tử rồi sắp xếp theo một thứ tự nào đó là:
Xác suất của biến cố
Cho không gian mẫu Ω khác rỗng Một lớp F các tập con của Ω được gọi là σ-đại số nếu thỏa mãn 3 điều kiện:
Đo lường xác suất là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết xác suất Định nghĩa 1.1.1 nêu rõ rằng, cho một σ-đại số F trên không gian mẫu Ω, hàm tập hợp P: F → R được gọi là độ đo xác suất nếu nó thỏa mãn ba tiên đề cơ bản Tiên đề đầu tiên khẳng định rằng với mọi tập hợp A thuộc F, giá trị của P(A) nằm trong khoảng từ 0 đến 1, tức là 0 ≤ P(A) ≤ 1.
Tiên đề 3 Nếu A1, A2, , An, ∈ F đôi một xung khắc (Ai ∩Aj = ∅ với mọi i6= j) thì
Khi đó, P(A) được gọi là xác suất biến cố A (Ω;F;P) được gọi là không gian xác suất. c Các tính chất cơ bản của xác suất
Từ định nghĩa xác suất trên ta dễ dàng suy ra các tính chất sau:
. Tổng quát: Nếu A 1 ,A 2 , ,A n đôi một xung khắc thì:
Từ đây ta có công thức cộng xác suất như sau: Với A và B là hai biến cố bất kì,
. d Không gian mẫu gồm các biến cố sơ cấp đồng khả năng
Cho không gian mẫu Ω gồm N biến cố sơ cấp có khả năng xảy ra bằng nhau, tức là:
Khi đó, theo Tiên đề 2 ta có:
Kết hợp Tiên đề 3 ta có: Với A là một biến cố bất kì của Ω,
|Ω|, trong đó |A| là số phần tử của A. e Định nghĩa của xác suất theo hình học
Xét một phép thử với vô hạn kết cục đồng khả năng, ta có thể biểu thị tập hợp các kết cục này bằng một miền hình học G, như đoạn thẳng, miền phẳng, mảnh mặt cong hoặc khối không gian Những kết cục phù hợp cho sự kiện A được xác định bởi các điểm thuộc miền cong g ⊂ G Dựa vào các giả thiết này, xác suất của sự kiện A được tính toán theo cách cụ thể.
P(A) = kích thước miền g kích thước miền G, trong đó kích thước được xác định tùy thuộc vào loại miền G, có thể là đoạn thẳng, miền phẳng hoặc khối không gian Cụ thể, kích thước này được hiểu là độ dài, diện tích hoặc thể tích tương ứng với từng loại miền.
Xác suất có điều kiện
Định nghĩa 1.1.2 Cho hai biến cố A và B với P B
A với điều kiện B đã xảy ra, kí hiệu P A|B
3) Với A 1 và A 2 là hai biến cố xung khắc,
6) Công thức nhân xác suất Cho A1, A2, , An là các biến cố của không gian mẫu Ω thỏa mãn
Các biến cố độc lập
Hai biến cố A và B được coi là độc lập khi sự xảy ra hoặc không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia Nói cách khác, A và B độc lập nếu P(A ∩ B) = P(A) × P(B).
. Tổng quát ta có định nghĩa sau: Định nghĩa 1.1.5 Một tập hữu hạn các biến cố A1;A2; ;An (n ≥ 2) được gọi là độc lập nếu k (1 ≤ k ≤ n) biến cố bất kì A n 1 , A n 2 , , A n k ta có:
. Định lí 1.1.6 Nếu A và B độc lập thì A và B, A và B, A và B là những cặp biến cố độc lập.
Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes
Định nghĩa 1.1.7 Một hệ gồm n biến cố E1, E2, , En được gọi là hệ đầy đủ nếu thỏa mãn hai điều kiện:
(i) Ei ∩Ej = 0 nếu i 6= j (các biến cố đôi một xung khắc);
(ii) E1∪E2∪ ∪En = Ω (chắc chắn có 1 biến cố xảy ra).
Từ định nghĩa hệ đầy đủ ta suy ra: nếu E 1 , E 2 , , E n là hệ đầy đủ thì:
Ei;1 ≤ i ≤ n là một hệ đầy đủ sao cho P Ei
0, A là biến cố bất kì Khi đó:
BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN BỐ XÁC SUẤT 15
Biến ngẫu nhiên
Định nghĩa 1.2.1 Cho không gian xác suất (Ω,F,P) Ánh xạ
X : Ω → R, được gọi là biến ngẫu nhiên nếu với mọi a ∈R, ω ∈ Ω : X ω
Nhận xét 1.2.2 Cho không gian xác suất (Ω,F,P) Mọi ánh xạX : Ω →
R có miền giá trị hữu hạn đều là biến ngẫu nhiên và được gọi là biến ngẫu nhiên đơn giản.
Hai loại biến ngẫu nhiên
Biến ngẫu nhiên rời rạc được định nghĩa là biến ngẫu nhiên X có miền giá trị hữu hạn hoặc vô hạn đếm được Điều này có nghĩa là các giá trị mà biến X có thể nhận có thể được liệt kê hoặc đếm được, làm cho nó trở thành một phần quan trọng trong lý thuyết xác suất và thống kê.
Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc X có miền giá trị X Ω
0 nếu x ∈/ X Ω được gọi là hàm xác suất của biến ngẫu nhiên X Trong trường hợp X Ω hữu hạn thì ta có thể lập bảng các giá trị của p x như sau: x x1 x2 xn p x p x1 p x2
Bảng trên được gọi là bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên X. Định lí 1.2.4 Cho biến ngẫu nhiên X có miền giá trị X Ω x1, x2, và hàm xác suất là p x
3) X x i ∈X(Ω) p(xi) = 1. b Biến ngẫu nhiên liên tục Định nghĩa 1.2.5 Nếu biến ngẫu nhiên X có miền giá trị là gồm một số khoảng trên trục số thì X được gọi là biến ngẫu nhiên liên tục.
Nếu tồn tại hàm số y = f x thỏa mãn f x
≥ 0, ∀x sao cho với mọi a≤ b ta có:
Z a f (x)dx, thì f x được gọi là hàm mật độ xác suất của X. Định lí 1.2.6 Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất f x
Hàm phân phối xác suất
Định nghĩa 1.2.7 Cho biến ngẫu nhiên X, hàm số :
,x ∈ R, được gọi là hàm phân phối xác suất của X.
1 Nếu biến ngẫu nhiên X có miền giá trị x 1 , x 2 , thì:
2 Nếu biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất f x thì:
Tính chất 1.2.8 Hàm phân phối xác suất F x của biến ngẫu nhiên X có các tính chất sau:
3 Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất f x thì:
Kì vọng
Định nghĩa 1.2.9 Cho biến ngẫu nhiên X xác định trên không gian mẫu
Ω Kì vọng của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu là E X
, được xác định như sau:
1 Nếu biến ngẫu nhiên rời rạc X có hàm xác suất p x thì :
2 Nếu biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất f x thì:
Tính chất 1.2.10 1 Nếu X = C là hằng số thì E C
2 Nếu a,b ∈ R và X, Y là hai biến ngẫu nhiên cùng xác định trên không gian mẫu Ω thì: E aX + b
Phương sai và độ lệch chuẩn
Định nghĩa 1.2.11 Cho biến ngẫu nhiên X Khi đó, đại lượng:
= E(X −E(X)) 2 được gọi là phương sai của X, σ(X) = p
V ar(X) được gọi là độ lệch chuẩn của X.
= 0 khi và chỉ khi X = C (hằng số).
= a 2 Var X với mọi a,b ∈ R. Định lí 1.2.13 1 Nếu biến ngẫu nhiên rời rạc X có hàm xác suất p x thì:
2 Nếu biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất f x thì:
Trung vị
Định nghĩa 1.2.14 Số thực m được gọi là trung vị của biến ngẫu nhiên
= m. Định lí 1.2.15 Nếu biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối xác suất F x liên tục trên R thì trung vị là nghiệm phương trình F x
Mốt
Định nghĩa 1.2.16 Giá trị xk của biến ngẫu nhiên rời rạc X được gọi là mode của X nếu
= x k Giá trị x0 của biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ f x được gọi là mode của X nếu hàm mật độ f x đạt giá trị lớn nhất tại x0.
Biến ngẫu nhiên độc lập
Định nghĩa 1.2.17 Các biến ngẫu nhiên X 1 , X 2 , , X n (n ≥ 2) được gọi là độc lập nếu với mọi x1, x2, , xn ∈ R ta có:
= P ({X 1 < x1})P ({X 2 < x2}) P ({X n < xn}). Định lí 1.2.18 Nếu hai biến ngẫu nhiên X và Y độc lập thì:
Một số phân số xác suất quan trọng
a Phân phối Bernoulli Định nghĩa 1.2.19 Biến ngẫu nhiên rời rạc X có phân bố Bernoulli với tham số p 0 < p < 1 nếu X có miền giá trị X (Ω) = {0,1} và hàm xác suất: p(k) =P (X = k)
Nếu X ∼ Ber(p), thì kỳ vọng E(X) = p và phương sai Var(X) = p(1−p) Biến ngẫu nhiên rời rạc X có phân phối nhị thức với tham số n và p (với n ∈ N* và 0 < p < 1) nếu miền giá trị của X là X(Ω) = {0, 1, , n} và hàm xác suất được định nghĩa là p(k) = C(n, k) p^k (1−p)^(n−k) cho k thuộc X(Ω).
Tính chất 1.2.22 1 Nếu X ∼ B(n, p) thì E(X) = np và Var (X) np(1−p).
2 Nếu X 1 , X 2 , , X n là n biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân bố xác suất vớiX ∼ Ber (p) thì biến ngẫu nhiênT = X1+X2+ +Xn có phân bố nhị thức B(n, p). c Phân phối siêu bội Định nghĩa 1.2.23 Biến ngẫu nhiên rời rạc X có phân bố siêu bội với ba tham số là các số tự nhiên N ∈ N và K, n ≤ N nếu X có miền giá trị
X(Ω) = {max{0, n+K −N}; ; min{K, n}} và hàm xác suất: p(k) = C K k C N n−k −K
Tính chất 1.2.24. d Phân phối Poisson Định nghĩa 1.2.25 Biến ngẫu nhiên rời rạc X có phân bố Poisson với tham số λ λ > 0 nếu X có miền giá trị N 0,1,2, và hàm xác suất: p(k) =P (X = k) = e −λ λ k k! , k ∈ N.
Tính chất 1.2.26 1 Nếu X ∼ P oi(λ) thì E(X) =λ, Var (X) = λ.
2 Nếu X1, X2, , Xn là n biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân bố xác suất với X ∼ P oi(λ) thì biến ngẫu nhiên T = X1+X2 + +Xn có phân bố Poisson P oi(nλ). Định lí 1.2.27 (Luật biến cố hiếm) Cho
Dãy biến cố ngẫu nhiên Xn với phân bố nhị thức Xn ∼ B(n;pn) có giới hạn n→∞lim np n = λ sẽ dẫn đến n→∞lim P(Xn = k) = e −λ λ k / k!, với k = 0,1,2, Khi X ∼ B(n, p) với n lớn và p nhỏ, X sẽ xấp xỉ theo phân bố Poisson với λ = np.
P (X =k) =C n k p k (1−p) n−k ≈ λ k k!e −λ e Phân phối chuẩn Định nghĩa 1.2.28 Biến ngẫu nhiên liên tục X có phân bố chuẩn với tham số à và σ(−∞ < à < +∞, σ > 0) nếu cú hàm mật độ xỏc suất: f (x) = 1 σ√ 2πe − (x−à)2 2σ 2 , x∈ R.
Biến ngẫu nhiên phân bố chuẩn với trung bình (μ) = 0 và độ lệch chuẩn (σ) = 1 được gọi là phân bố chuẩn tắc, ký hiệu là Z Hàm mật độ xác suất của phân bố này được ký hiệu là ϕ(x), với công thức ϕ(x) = 1.
Hàm phân bố xác suất được kí hiệu là Φ x
Tớnh chất 1.2.29 Cho biến ngẫu nhiờn X ∼ N à, σ 2
3 Nếu X1, X2, , Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân bố xác suất với X ∼ N à, σ 2 thì:
f Phân phối đều Định nghĩa 1.2.30 Biến ngẫu nhiên liên tục X có phân bố đều trên đoạn [a;b] (a < b) nếu có hàm mật độ xác suất: f x
12 g Phân phối mũ Định nghĩa 1.2.32 Biến ngẫu nhiên liên tục X có phân phối mũ với tham số λ λ > 0 nếu có hàm mật độ f x
Tính chất 1.2.33 Nếu X ∼ Exp(λ) thì E(X) = 1 λ, Var (X) = 1
ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP XÁC SUẤT ĐỂ GIẢI TOÁN SƠ CẤP 26
Một số bài toán mở đầu
Lần đầu tiên tôi tiếp xúc với ứng dụng của phương pháp xác suất trong các bài toán thi học sinh giỏi trung học phổ thông là qua một bài toán thú vị Bài toán kể về một người tham gia thi lấy bằng lái xe, và nếu không đạt, anh ta sẽ tiếp tục đăng ký thi lại cho đến khi thành công Gọi X là số lần thi của anh ta Mục tiêu là xác định phân bố xác suất của X, với giả định rằng xác suất thi đạt của anh ta là 1.
3 Giả sử có 243 người dự thi, mỗi người đều có xác suất thi đỗ là 1
Khoảng bao nhiêu người đạt được bằng ngay trong lần thi đầu tiên? Có phải thi đến hai lần hoặc ít nhất bốn lần mới có thể đạt được kết quả mong muốn? Những câu hỏi này thường xuất hiện trong quá trình thi cử, khi mà nhiều thí sinh phải trải qua nhiều lần thi mới có bằng.
Lời giải Các giá trị mà đại lượng ngẫu nhiên X nhận là 1, 2, 3, 4, 5
Với 243 người đi thi, do xác suất thi đạt lần đầu bằng 1
3 = 81 người thi đạt ngay lần đầu. Để thi đạt sau hai lần sẽ có khoảng 243.2
9 = 54 người phải thi tới lần thứ hai mới đạt.
Từ đó theo công thức trên ta có:
Do đó sẽ có khoảng 243 8
Trong bài toán APMO 1998, có 72 người phải thi ít nhất 4 lần mới đạt yêu cầu Xét tập hợp F bao gồm tất cả các bộ (A1, A2, , An) với mỗi Ai là tập con của các số từ 1 đến 1998 Để giải quyết bài toán, cần xác định số phần tử của tập hợp A, ký hiệu là |A|.
Tập hợp từ 1 đến 1998 có tổng cộng 2^1998 tập con Mỗi phần tử trong tập hợp có thể được chọn hoặc không chọn, dẫn đến số lượng tập con là 2^1998.
Bây giờ ta tính giá trị trung bình của mỗi số hạng Với mỗi i = 1, 2, ,
Vào năm 1998, ta có i là phần tử của A1 ∪ A2 ∪ ∪ An, với xác suất của biến cố này là 1 − 2^−n Do đó, giá trị trung bình của mỗi số hạng trong tổng được tính là 1998(1−2^−n), dẫn đến đáp số là 3à 2^1998n.
Bài toán 3 (Bungari, 1984) Cho xi, yi(i = 1,2, , n) là 2n số thực dương sao cho xi+yi = 1 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương m, ta đều có:
Lời giải: Giả sử c1, c2, , cn là các đồng xu, mỗi đồng xu ci có xác suất ra mặt sấp là xi Khi tung các đồng xu này một cách độc lập m lần, xác suất tổng hợp của các kết quả sẽ được tính toán dựa trên các xác suất riêng lẻ của từng đồng xu.
(1− x1x2 xn) m là xác suất P(A) của biến cố "với mỗi một trong m lần tung, có ít nhất một đồng xu ra mặt ngửa".
Chú ý rằng A = B ∪ C, trong đó B đại diện cho biến cố "tồn tại một đồng xu ra mặt ngửa trong mỗi lần tung, nhưng các đồng xu này khác nhau qua mỗi lần tung" Hơn nữa, B và C không có phần giao nhau, tức là B∩C = ∅, do đó xác suất P(A) có thể được tính bằng công thức P(A) = P(B) + P(C).
(1 −y 1 m )(1 −y 2 m ) (1 − y m n ) là xác suất của biến cố mỗi một đồng xu ít nhất một lần không ra mặt ngửa trong m lần tung bằng P(B), trong đó
B là biến cố đối lập với biến cố B.
Như vậy bất đẳng thức đã cho là P(A) +P(B) = P(B) +P(B) +P(C) 1 +P(C) ≥ 1.
Chú ý rằng đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi n = 1.
Trong bài toán này, biểu thức bên trái và điều kiện xi + yi = 1 gợi ý đến khái niệm xác suất Tuy nhiên, trong bài toán tiếp theo, không có bất kỳ "dấu hiệu" nào liên quan đến xác suất.
Bài toán 4 (Putnam 2000 và Singapore, 2012) yêu cầu chứng minh rằng với các số nguyên aj, bj, cj (1 ≤ j ≤ N), trong ba số này có ít nhất một số lẻ cho mỗi j Kết quả chứng minh cho thấy tồn tại các số nguyên r, s, t sao cho tổng raj + sbj + tcj là số lẻ, với ít nhất 4N.
7 giá trị của j, 1 ≤ j ≤ N. Lời giải Dưới đây là hai cách giải rất hay cho bài toán này.
Cách 1 của Bhargava, Kiran Kedlaya và Lenny Ng nghiên cứu 8 bộ ba (r, s, t) với các giá trị r, s, t thuộc {0, 1}, không phải tất cả đều bằng 0 Đặc biệt, vì các giá trị aj, bj, cj không phải tất cả đều chẵn, nên trong tổng j + sbj + tcj, có 4 tổng là chẵn và 4 tổng là lẻ.
Tổng với r = s = t = 0 là chẵn, vì vậy ít nhất 4 trong 7 tổng với r, s, t không đồng thời bằng 0 có tổng lẻ Điều này có nghĩa là sẽ có ít nhất 4N trong các bộ (r, s, t, j) cho tổng lẻ Theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại một bộ (r, s, t) với ít nhất 4N.
Cách 2 (Phương pháp xác suất) xem xét tất cả theo mod 2, vì chỉ quan tâm đến tính chẵn lẻ Có 7 cách chọn bộ (r, s, t) với điều kiện r, s, t không đồng thời bằng 0 Mỗi bộ (a, b, c) có đúng 4 trong 7 bộ thỏa mãn điều kiện ra + sb + tc ≡ 1 Do đó, với các giá trị (ai, bi, ci) đã cho, nếu chọn ngẫu nhiên (r, s, t) sẽ cho kết quả mong muốn.
6= (0, 0, 0) thì giá trị kỳ vọng của số các biểu thức lẻ là 4N
7 Nhưng nếu đây là số trung bình thì phải có ít nhất một bộ (r, s, t) có số này lớn hơn hay bằng 4N
7 Bài toán được chứng minh xong.
Nguyên lý cơ bản được nêu ra là: nếu trung bình của một tập hợp số là A, thì ít nhất một số trong tập hợp đó lớn hơn hoặc bằng A và ít nhất một số khác nhỏ hơn hoặc bằng A Trong ngôn ngữ xác suất, giá trị trung bình tương ứng với giá trị kỳ vọng Đây là một nguyên lý hữu ích và sẽ được nhắc đến trong các phần tiếp theo.
Bài toán này có nhiều cách giải, trong đó phương pháp đếm theo phần tử gần gũi với lý luận đã trình bày Các ví dụ cho thấy phương pháp xác suất ứng dụng hiệu quả trong nhiều lĩnh vực toán học như Đại số, Số học và Tổ hợp Ngoài ra, phương pháp xác suất còn liên quan đến các kỹ thuật khác như nguyên lý Dirichlet, bài toán đếm và phương pháp đếm theo hai cách.
2.2 Áp dụng phương pháp xác suất để giải các bài toán sơ cấp
Trong bài viết này, chúng tôi sẽ khám phá các vấn đề trong các cuộc thi Olympic và các bài toán học sinh giỏi, đặc biệt là những bài toán được giải quyết bằng phương pháp xác suất Nội dung sẽ tập trung vào các lĩnh vực chính như Đại số, Số học, Tổ hợp và Lý thuyết đồ thị.
Kết quả đơn giản sau đây là bổ đề chìa khóa cho rất nhiều bài toán giải bằng phương pháp xác suất: