Ứng dụng phương pháp mô phỏng Monte Carlo để tính xác suất rủi ro trong bảo hiểm

Trong bài viết này nghiên cứu xác suất rủi ro đối với mô hình rủi ro của các công ty bảo hiểm với thời gian rời rạc, trong đó dãy các số tiền đòi trả bảo hiểm được giả thiết là dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập, cùng phân phối. Kỹ thuật được sử dụng ở đây là phương pháp Monte Carlo.

42 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ HÀ NỘI ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP MƠ PHỎNG MONTE CARLO ĐỂ TÍNH XÁC SUẤT RỦI RO TRONG BẢO HIỂM Nguyễn Thị Thúy Hồng1 Trường Đại học Thủ Hà Nội Tóm tắt: Trong báo nghiên cứu xác suất rủi ro mơ hình rủi ro cơng ty bảo hiểm với thời gian rời rạc, dãy số tiền đòi trả bảo hiểm giả thiết dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập, phân phối Kỹ thuật sử dụng phương pháp Monte Carlo Từ khố: Mơ hình rủi ro, xác suất rủi ro (xác suất thiệt hại), phí bảo hiểm, yêu cầu địi trả bảo hiểm, phương pháp mơ Monte Carlo ĐẶT VẤN ĐỀ Một khảo sát tự nhiên thường quan tâm nghiên cứu rủi ro liên quan đến khả tốn cơng ty bảo hiểm đánh giá cơng ty có khả hoạt động khoảng thời gian chi trả bảo hiểm Lý thuyết rủi ro đặc biệt quan tâm đến liên hệ thu nhập chi phí hoạt động bảo hiểm đại lượng đặc trưng cho liên hệ gọi thặng dư Thặng dư đại lượng thay đổi theo thời gian xác định sau: Thặng dư = Thu nhập – Chi phí Rủi ro cho xảy giá trị thặng dư ngưỡng xác định theo nghĩa [4] Để xác định thặng dư phải xác định thu nhập chi phí Tính tốn xác suất rủi ro toán quan trọng ngành bảo hiểm Đây tốn khó nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Một số tác Cai, J Dickson, D.C.M ([5], 2002), Dickson, D.C.M Wates, H.R ([7] ,1996) sử dụng kỹ thuật mơ để tính tốn xác suất rủi ro vịng 10 năm, mở rộng mơ hình 1, năm Ramlau – Hansen [14] với lãi suất tất định, [5] dãy số tiền địi trả bảo hiểm có dạng đặc biệt phân phối Gamma tịnh tiến [14] Tuy nhiên, tác giả [5] mô q trình thặng dư biểu thức giải tích, Nhận ngày 16.01.2016, gửi phản biện duyệt đăng ngày 25.01.2016 Liên hệ tác giả: Nguyễn Thị Thúy Hồng; Email: ntthong05@gmail.com TẠP CHÍ KHOA HỌC  SỐ 2/2016 43 không thuận lợi cho việc sử dụng trình lặp máy tính Việc đưa ước lượng chệch (là phương sai mẫu) cho phương sai vấn đề cần bàn mặt thống kê Ngoài ra, tham số khác nhau, tác giả tiến hành số phép thử khác Cách làm khơng mang tính chủ quan mà cịn cản trở tham số hóa chương trình tính Nhằm mở rộng khắc phục nhược điểm nói trên, báo trình bày tiếp cận mô để ước lượng xác suất kiện chi phí cơng ty bảo hiểm vượt thu nhập khoảng thời gian định sẵn Xác suất này, gọi xác suất rủi ro khảo sát mục NỘI DUNG 2.1 Tổng quan sai số phương pháp Monte – Carlo tính kỳ vọng Tư tưởng phương pháp Monte Carlo việc xấp xỉ giá trị kỳ vọng E(X) biến ngẫu nhiên X trung bình số học số lớn biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối với biến ngẫu nhiên X (ta gọi chúng thể độc lập biến ngẫu nhiên X) Cơ sở tốn học phương pháp luật mạnh số lớn lý thuyết xác suất Phương pháp có ứng dụng nhiều lĩnh vực phân tích thiết kế hệ thống phục vụ, hệ thống kỹ thuật, thiết kế mạng viễn thông, ước lượng rủi ro đầu tư bảo hiểm… Dưới đây, chúng tơi trình bày vài nội dung phương pháp Monte Carlo liên quan đến vấn đề trên, quan trọng khái niệm hội tụ theo nghĩa (hầu chắn, theo xác suất, theo phân phối trung bình số học dãy biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối ( X n ) n 1 tới giá trị kỳ vọng chung   E ( X ) Chúng tơi trình bày trước hết luật mạnh số lớn dạng Kolmogorov Định lý 2.1 [15] (tr.56) Giả sử ( X n ) n 1 dãy biến ngẫu nhiên giá trị thực, độc lập, phân phối, xác định khơng gian xác suất (Ω,ℱ,P) có kỳ vọng hữu hạn Giả sử:   E ( X ) (2.1) Khi với n   với    hầu chắn (a.s.) rằng: n  X i ( )   (2.2) n i 1 Nghĩa trung bình số học thể biến ngẫu nhiên X i tiến tới a.s trung bình lý thuyết X i , kỳ vọng  Nhận xét [15] (tr 57) - Ta giảm nhẹ giả thiết độc lập giả thiết độc lập cặp 44 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ HÀ NỘI - Ta bỏ giả thiết phân phối dãy biến ngẫu nhiên Khi ta cần giả thiết dãy biến ngẫu nhiên X n độc lập Giả sử  2j  Var( X j )   , cho:   2j j j 1   2j j 1 j2      (2.3) as n   X  E ( X )  0, n   (2.4) j j Khi ta có: n  j 1 Giới thiệu thuật toán Monte Carlo: Cho X biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực, kỳ vọng E(X) hữu hạn Một phương pháp phổ biến để tính xấp xỉ kỳ vọng đưa thuật toán sau đây: Thuật tốn 2.1 Phương pháp Monte Carlo tính kỳ vọng ([13], tr.35) Xấp xỉ E(X) trung bình số học N N  X ( ) , với N số tự nhiên Ở đây, i 1 i X i ( ) thể độc lập thứ i (  i  N ) biến ngẫu nhiên X Để xem xét độ xác phương pháp Monte Carlo, nhận thấy rằng, phương pháp ngẫu nhiên, nên lần tính tốn khác phương pháp dẫn tới kết khác (mặc dù chúng gần nhau), xấp xỉ biểu thức định Do đó, cần xét đánh giá sai số phương pháp, nghĩa cận sai số ngẫu nhiên Liên quan đến điều này, phát biểu phương pháp Monte Carlo nhằm xấp xỉ giá trị kỳ vọng Định lý 2.2 Tính khơng chệch ước lượng Monte Carlo ([13], tr.36) Cho ( X N ) N dãy biến ngẫu nhiên có kỳ vọng hữu hạn, giá trị thực, độc lập phân phối với X xác định khơng gian xác suất (Ω,ℱ, P) Khi đó, ước lượng Monte Carlo X N : N  X i (2.5) ước lượng không chệch N i 1 cho   E(X ) , tức có:   E ( X N ) (2.6) Nhằm đánh giá sai số tuyết đối ước lượng X N nói trên, ta xem Var ( X ) :    xét độ lệch chuẩn đại lượng sai khác X N  Do đó, có: Var ( X N   )  Var ( X N )  N 2 Var ( X )   i N i1 N Khi đó, ta có bất đẳng thức Tchebyshev sau: [13](tr.30)    P X N      1  N  với o    (2.7.) 45 TẠP CHÍ KHOA HỌC  SỐ 2/2016 P Nghĩa là: X N   N   với độ tin cậy p    , sai số X N   có bậc  (1 / N ) Do đó, phương pháp tính tốn có hệ quan trọng sau đây: Tăng độ xác ước lượng Monte Carlo Việc tăng độ xác (trung bình) ước lượng Monte Carlo lên chữ số (tức giảm độ lệch chuẩn xuống 10 lần) đòi hỏi phải tăng số lần chạy thuật toán Monte Carlo lên 100 lần Tuy nhiên công thức (2.7.) cho ta đánh giá thô sai số Để đạt đánh giá độ xác cao hơn, cần biện pháp khác Đó định lý giới hạn trung tâm Định lý 2.3 ([15], tr 58) Định lý giới hạn trung tâm (trường hợp độc lập phân phối) Cho { X n }nN1 dãy biến ngẫu nhiên giá trị thực, độc lập phân phối với biến ngẫu nhiên X xác định không gian xác suất (Ω,ℱ, P) Giả sử biến ngẫu nhiên có kỳ vọng   E(X ) có phương sai   Var ( X ) hữu hạn Khi tổng chuẩn hóa Z biến ngẫu nhiên hội tụ phân phối chuẩn tắc, tức ta có hội tụ theo phân phối: N Z : X i 1 i  N D   N 𝒩 (0,1) N   Từ định lý trên, ta suy quy tắc k – sigma đây:  x2 k  e  P X N    dx (N » 1)   F (k ), với F (k )   N 2   k (2.8) Khi cho độ tin cậy p 1   , ta dùng bảng giá trị hàm F(x) để xác định k k   ;XN  khoảng tin cậy  X N  tương ứng cho kỳ vọng  , với k cho từ nghiệm N N   phương trình F (k )    / Ta xét thí dụ điều Xấp xỉ khoảng tin cậy (1   ) cho kỳ vọng  là: 1 N  N  X i  Z1 /2 i 1  N N , N X i 1 i  Z1 /2    (2.9) N Ở z(1 )/ phân vị bậc (   ) / phân phối chuẩn Vì phân vị 97,5% phân phối chuẩn vào khoảng 1,96 người ta thường chọn phân vị 95% đối xứng xấp xỉ cho kỳ vọng ước lượng phương pháp Monte Carlo Đó quy tắc 2 cho khoảng tin cậy xấp xỉ  sau: 46 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ HÀ NỘI 1 N  N  Xi  N , i 1 N N X i 1 i     N  , với  N  Z1 /2 (2.10) N  Trong bán kính  N khoảng tin cậy gọi sai số tuyệt đối ước lượng X N : N  Xi N i1 Nhận xét: 1) Vì độ dài khoảng tin cậy tỷ lệ với / N , người ta phải tăng số lượt N chạy mô lên 100 lần nhằm làm giảm độ dài khoảng tin cậy 10 lần 2) Do độ lệch chuẩn  cần cho thiết lập khoảng tin cậy nên để có khoảng tin cậy xấp xỉ, phải ước lượng  phương sai mẫu không chệch: N  N X i  X N 2   N  i1  N 1 N   X i  X N2  N   N i1  (2.11) Và sau quy tắc 2 sử dụng cho khoảng tin cậy xấp xỉ 95% cho  1 N  N  Xi  N , i 1 N N X i 1 i     N  , với  N : Z1 /2 N   N (2.12) N  Trong đó, ta thay  (2.10) phương sai mẫu không chệch  N Tất nhiên, ta dùng cách để xây dựng cho khoảng tin cậy tổng quát cho  (2.8) Tuy nhiên ta luôn sử dụng giá trị 1,96 thay cho tính tốn khoảng tin cậy xấp xỉ 95%, 2F (2)  95,44%  95%  2F (1,96) 3) Khi cho bán kính  khoảng tin cậy độ tin cậy 0,95    , ta dựa vào (2.8) để suy ra: N  4 2  4 N2 2 Đây tiêu chuẩn dừng máy, tính đồng thời X N ,  N2 thuật toán đệ quy (xem [13], tr 42 - 43), nhằm xác định số N phép thử cần thiết Như ví dụ khoảng tin cậy nói trên, ta xét trường hợp sau Ước lượng xác suất rủi ro Trong bảo hiểm xã hội, toán ước lượng xác suất rủi ro ứng dụng quan trọng phương pháp Monte Carlo Gọi A kiện công ty bảo hiểm bị rủi ro Chúng ta ước lượng xác suất kiện P(A), cách sử dụng ký hiệu hàm tiêu A là: 1   A 1A ( )   (2.13) 0   A Và ý xác suất A viết thành là: P( A)  E (1A ) 47 TẠP CHÍ KHOA HỌC  SỐ 2/2016 Khi đó, ước lượng Monte Carlo cho P(A) tần suất tương đối xảy A N thử nghiệm độc lập Ký hiệu Ai xuất A lần thử nghiệm thứ i Chúng ta định nghĩa ước lượng Monte Carlo cho P(A) là: ~ : N N 1 i 1 Ai (2.14) Ta có: Var(1A )  P( A)(1  P( A)) (2.15) Đưa vào phương sai mẫu ˆ N2 phương sai mẫu không chệch  N2 dạng: ˆ N2  ~ 1  ~ , N2  N ˆ N2 N 1 Để có khoảng tin cậy xấp xỉ 95% cho P(A) là: 1,96 N %  N , %  N  ,  N : N (2.16) (2.17) 2.2 Phương pháp Monte Carlo tính xác suất rủi ro Để mơ tả phương pháp, phần này, chúng tơi xét mơ hình rủi ro vòng T năm, với giả thiết X , X , , X T dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập, phân phối, biểu thị cho số tiền đòi bảo hiểm cho danh mục đầu tư hãng bảo hiểm năm Gọi: u : U (0)  vốn ban đầu hãng bảo hiểm B thu nhập hàng năm hãng bảo hiểm (xem số) B lựa chọn cho B  y, cụ thể B  b(1   ), với  phụ phí bảo hiểm an tồn i1 , i2 , ,iT dãy biến ngẫu nhiên không âm, biểu thị cho lãi suất thu từ việc đầu tư tài sản hãng bảo hiểm năm Khi đó, giá trị tài sản hãng bảo hiểm cuối năm t (t  1,2,3, ,T ) biến ngẫu nhiên U (t ) xác định công thức U (t )  U (t  1)  (1  it )  B  X t ;(t  1, 2, T ),U (0)  u (2.18) Xác suất rủi ro  (u, T ) định nghĩa bởi:  (u, T )  P{t  1,2, T : U (t )  0} Để ước lượng xác suất rủi ro, mô số lượng lớn N thể trình thặng dư U(t) đếm số kết rủi ro L N thể trình Khi đó, xác suất rủi ro    (u, T ) trình (giá trị chưa biết), ước lượng 48 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ HÀ NỘI L cho ~ : Với khoảng tin cậy 95% cho dạng (2.17), (xem 2.16) N N~ (1 ~ ) N  N 1 Để minh họa cho phương pháp, xét dạng cụ thể dãy T T biến ngẫu nhiên {it }t 1 ,{ X t }t 1 trường hợp số tiền chi trả bảo hiểm lãi suất dãy biến ngẫu nhiên độc lập phân phối Trong phần chúng tơi khảo sát mơ hình (2.18) với giả thiết dãy lãi suất i1 , i2 , ,iT dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập, có phân phối chuẩn 𝒩 ( 0 ,  02 ) độc lập với dãy số tiền đòi trả bảo hiểm Khi đó, ta tạo it từ công thức [13](tr 76):  (2 ln R2 n1 )1 / cos 2R2 n  0 (t  2n  1), it  gt ( 0 ,  ) :  1/   (2 ln R2 n1 ) sin 2R2 n  0 (t  2n) (2.19) Trong đó: Rn ~ U (0,1)(n  1) Giả sử dãy số tiền đòi trả bảo hiểm X , X , , X T dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập phân phối giả thiết tuân theo phân phối mũ E ( ) với hàm mật độ 1 f X t ( x)   1e  x ( x  0,   0) Khi X t ~ E (  ) ta tạo X t từ công thức [8] (tr 151) : X t    ln Rt , Rt ~ U (0,1) với t = 1, 2,…, T (2.20) Khi đó, việc ước lượng xác suất phá sản  (u, T ) khoảng tin cậy 95% tương ứng phương pháp Monte Carlo thức thuật toán sau: Thuật toán 2.1 Bước 1: Xác định tham số: T , u, , b,  , 0 ,  ( ,  ) N » Bước 2: Xác định biến cố mô A : U (t )  0 T t 1 Bước 3: Thiết lập thuật tốn mơ U (t ) (theo (2.18)) với it xác định theo (2.19) X(t) xác định theo (2.20), t  1,2, ,T Bước 4: Ước lượng xác suất phá sản  (u, T ) a Cho n  1,2, ,N tạo thể U n (t ) ( t  1,2, ,T ) (theo bước 3): o Nếu tồn t n : t : U n (t )  0  T đặt An : o Nếu U n (t )  với t  1,2, T đặt An : 49 TẠP CHÍ KHOA HỌC  SỐ 2/2016 b Tính  N : ~  N  N%(1 %)  An (theo 2.14), tính  N     (theo 2.16) tính  N 1  n 1 N 1,96  N (theo 2.17) N Khi thử nghiệm thuật toán với it ~ 𝒩 (0,1), X t ~ E 0,0493 ta thu kết cho bảng sau đây: Bảng 1: Ước lượng  (u, T ) X t ~ E (  ) , it ~ 𝒩 ( 0 ,  02 ) với tham số   0.00492915, T  10, b  200,   1, 0  0, u   100,    , N  106 10 30 50   0%   5%   10%   15%   20%   25% ~ 0.5053 0.4739 0.4464 0.4198 0.3952 0.3720 N 0.0010 0.0010 0.0010 0.0010 0.0010 0.0009 ~ 0.4411 0.4127 0.3871 0.3638 0.3409 0.3204 N 0.0010 0.0010 0.0010 0.0009 0.0009 0.0009 ~ 0.3839 0.3592 0.3366 0.2881 0.29452 0.2763 N 0.0010 0.0009 0.0009 0.0009 0.0009 0.0009 Từ bảng ta thấy rằng: Với số lần mô (N =106), để đạt đước mức độ xác định, tăng  u xác suất phá sản  (u,10) giảm, điều hoàn toàn phù hợp với thực tế KẾT LUẬN Sử dụng phương pháp Monte Carlo để nghiên cứu xác suất rủi ro mơ hình rủi ro cơng ty bảo hiểm với thời gian rời rạc, dãy số tiền đòi trả bảo hiểm giả thiết dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập, phân phối, báo ước lượng xác suất thiệt hại cho mơ hình đánh giá sai số mắc phải Một ví dụ số minh họa cho mơ hình đưa Trong thực tế, trình thu bảo hiểm chi trả bảo hiểm độc lập mà phụ thuộc: Phụ thuộc Markov, phụ thuộc Copula Các hướng nghiên cứu mở rộng mơ hình cho trường hợp phụ thuộc 50 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ HÀ NỘI TÀI LIỆU THAM KHẢO Asmussen, S (2000), Ruin probabilities World Scientific, Singapore Buhlman, H (1970), Mathematical Methods in Risk Theory Berlin - Heidelberg - New York: Springer Cai, J (2002), Discrete time risk models under rates of interest Probability in the Engineering and Informational Sciences 16, pp.309-324 Cai, J (2002), Ruin Probabilities with Dependent Rates of Interest J Appl Probab 39, N0.2, pp.312-323 Cai, J Dickson, D.C.M (2002), Ruin Probabilities with a Markov Chain Interest Model Res Pap, N.101, ISBN 073402196, U.Melboune Viet 3010, Australia Chow, Y S and Teicher, H (1978), Probability Theory Berlin - Heidelberg - New York: Springer – Verlag Dickson, D.C.M and Wates, H.R (1996), Ruin Problem: Simulation or Calculation? B.A.J, III, pp.727-740 Fishman, George S (1996), Monte Carlo: Concepts, Algorithms, and Applications, SpringerVerlag, New York Korn, Ralf & Korn,Elke & Kroisandt, Gerald (2010), Monte Carlo Methods and Models in Finance and Insurance, CRC Press 10 Muller, A and Pfug, G (2001), Asymptotic ruin probabilities for risk processes with dependent increments Insurance: Mathematics and Economics 728, pp.1-12 11 Rolski, T., Schmidli, H., Schmidt, V., and Teugels, J.L (1999), Stochastic Processes Insurance and Finance John Wiley, Chichester for 12 Ross, S (2000), Introduction to Probability models (Seventh Edition) Academic Press 13 Nguyễn Quý Hỷ (2004), Phương pháp mô số Monte Carlo, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội 14 Ramlau – Hansen, H (1888b), A solvency study in non-life insurance Part Solvency margin requirements, Scandinavian Actuarial Journal, pp.35-59 15 Ralf Korn, Elke Korn, and Gerald Kroisandt (2010), Monte Carlo – Methods – and Models in Finance and Insurance, Berlin - Heidelberg - New York: Springer THE APPLICATION OF MONTE CARLO SIMULATION METHOD IN TO CALCULATION FOR RUIN PROBABILITIES IN INSURANCE Abstract: In this paper, after introducing main ideas of Monte – Carlo approximation method we study ruin probabilities in discrete time risk models with the TẠP CHÍ KHOA HỌC  SỐ 2/2016 51 independentrandom claim sizes We apply Monte – Carlo method to simulate ruin probabilities on a basis of some concrete data Keywords: Risk models, ruin probability, premiums, claims, Monte Carlo simulation method  ... Ước lượng xác suất rủi ro Trong bảo hiểm xã hội, toán ước lượng xác suất rủi ro ứng dụng quan trọng phương pháp Monte Carlo Gọi A kiện công ty bảo hiểm bị rủi ro Chúng ta ước lượng xác suất kiện... khoảng thời gian định sẵn Xác suất này, gọi xác suất rủi ro khảo sát mục NỘI DUNG 2.1 Tổng quan sai số phương pháp Monte – Carlo tính kỳ vọng Tư tưởng phương pháp Monte Carlo việc xấp xỉ giá trị... lần mô (N =106), để đạt đước mức độ xác định, tăng  u xác suất phá sản  (u,10) giảm, điều hoàn toàn phù hợp với thực tế KẾT LUẬN Sử dụng phương pháp Monte Carlo để nghiên cứu xác suất rủi ro