Bài tập đại số tổ hợp

Trang 1 ĐẠI SỐ TỔ HỢP Chương I QUY TẮC CƠ BẢN CỦA PHÉP ĐẾM Môn đại số tổ hợp có sách gọi là giải tích tổ hợp chuyên khảo sát các hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp, nhằm xác định số cách xảy ra

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com ĐẠI SỐ TỔ HP Chương I QUY TẮC CƠ BẢN CỦA PHÉP ĐẾM Môn đại số tổ hợp (có sách gọi giải tích tổ hợp) chuyên khảo sát hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp, nhằm xác định số cách xảy tượng mà không thiết phải liệt kê trường hợp Trong đại số tổ hợp, ta thường dùng hai quy tắc phép đếm, quy tắc cộng quy tắc nhân a) Quy tắc cộng : Nếu tượng có m cách xảy ra, tượng có n cách xảy hai tượng không xảy đồng thời số cách xảy tượng hay tượng : m + n cách Ví dụ Từ thành phố A đến thành phố B có đường đường thuỷ Cần chọn đường để từ A đến B Hỏi có cách chọn ? Giải Có : + = cách chọn Ví dụ Một nhà hàng có loại rượu, loại bia loại nước Thực khách cần chọn loại thức uống Hỏi có cách chọn ? Giải Có : b) + + = 13 cách chọn Quy tắc nhân : Nếu tượng có m cách xảy ra, ứng với cách xảy tượng tiếp đến tượng có n cách xảy số cách xảy tượng “rồi” tượng : m × n Ví dụ Giữa thành phố Hồ Chí Minh Hà Nội có loại phương tiện giao thông : đường bộ, đường sắt đường hàng không Hỏi có cách chọn phương tiện giao thông để từ thành phố Hồ Chí Minh đến Hà Nội quay về? Giải Có : × = cách chọn Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Ví dụ Một hội đồng nhân dân có 15 người, cần bầu chủ tịch, phó chủ tịch, uỷ ban thư ký không bầu người vào hay chức vụ Hỏi có cách ? Giải Có 15 cách chọn chủ tịch Với cách chọn chủ tịch, có 14 cách chọn phó chủ tịch Với cách chọn chủ tịch phó chủ tịch, có 13 cách chọn thư ký Vậy có : 2) 15 × 14 × 13 = 2730 cách chọn Sơ đồ Người ta dùng sơ đồ để liệt kê trường hợp xảy toán có tượng liên tiếp tượng có trường hợp Chú ý ta dùng sơ đồ để kiểm tra kết Ví dụ Trong lớp học, thầy giáo muốn biết ba môn Toán, Lý, Hóa học sinh thích môn theo thứ tự giảm dần Số cách mà học sinh ghi laø : T H L L H T H T L H L H T L T Các dấu hiệu chia hết – Chia hết cho : số tận 0, 2, 4, 6, – Chia hết cho : tổng chữ số chia hết cho (ví dụ : 276) – Chia hết cho : số tận 00 hay hai chữ số cuối hợp thành số chia hết cho (ví dụ : 1300, 2512, 708) – Chia hết cho : số tận 0, – Chia hết cho : số chia hết cho chia hết cho – Chia hết cho : số tận 000 hay ba chữ số cuối hợp thành số chia hết cho (ví dụ : 15000, 2016, 13824) – Chia hết cho : tổng chữ số chia hết cho (ví dụ : 2835) – Chia hết cho 25 : số tận 00, 25, 50, 75 – Chia heát cho 10 : số tận Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Ví dụ Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số gồm chữ số đôi khác không chia hết cho Giải Gọi : n = abc số cần lập m = a′b′c′ số gồm chữ số khác m′ = a1 b1c1 số gồm chữ số khác mà chia hết cho Ta có : tập số n = tập số m – tập số m′ * Tìm m : có cách chọn a′ (vì a′ ≠ 0), có cách chọn b′ (vì b′ ≠ a′ ), có cách chọn c′ (vì c′ ≠ a′ c′ ≠ b′ ) Vậy có : × × = 100 số m * Tìm m′ : chữ số cho, chữ số có tổng chia hết cho laø {0, 4, 5} , {1, 3, 5} , {2, 3, 4} • Với {0, 4, 5} : có cách chọn a1, cách chọn b1, cách chọn c1, × × = số m′ • Với {1, 3, 5} : có 3! = số m′ • Với {2, 3, 4} : có 3! = số m′ Vậy có : + + = 16 số m′ Suy có : 100 – 16 = 84 số n Chú ý : Qua ví dụ trên, ta thấy số cách chọn thỏa tính chất p nhiều, ta làm sau : Số cách chọn thỏa p số cách chọn tuỳ ý trừ số cách chọn không thỏa p Người ta gọi cách làm dùng “phần bù” Bài Có tuyến xe buýt A B Có tuyến xe buýt B C Hỏi : a) Có cách xe buýt từ A đến C, qua B ? b) Có cách xe buýt từ A đến C, qua B ? c) Có cách xe buýt từ A đến C, qua B cho tuyến xe buýt không lần ? Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Giải a) Có cách từ A đến B, có cách từ B đến C Do đó, theo quy tắc nhân, có x = 12 cách từ A đến C, qua B b) Có 12 cách từ A đến C, qua B có 12 cách quay Vậy, có : 12 × 12 = 144 cách từ A đến C, qua B c) Có cách từ A đến B, có cách từ B đến C; để tránh lại đường cũ, có cách từ C quay B cách từ B quay A Vậy có : x x x = 72 cách Bài Một văn phòng cần chọn mua tờ nhật báo ngày Có loại nhật báo Hỏi có cách chọn mua báo cho tuần gồm ngày làm việc ? Giải Có cách chọn cho ngày Vậy, số cách chọn cho ngày tuần : 46 = 4096 cách Bài Trong tuần, Bảo định tối thăm người bạn 12 người bạn Hỏi Bảo lập kế hoạch thăm bạn : a) Có thể thăm bạn nhiều lần ? b) Không đến thăm bạn lần ? Giải a) Đêm thứ nhất, chọn 12 bạn để đến thăm : có 12 cách Tương tự, cho đêm thứ hai, thứ ba, thứ tư, thứ năm, thứ sáu, thứ bảy Vậy, có : b) 127 = 35831808 cách Đêm thứ nhất, chọn 12 bạn để đến thăm : có 12 cách Đêm thứ hai, chọn 11 bạn lại để đến thăm : có 11 cách Đêm thứ ba : 10 cách Đêm thứ tư : cách Đêm thứ năm : cách Đêm thứ sáu : cách Đêm thứ bảy : cách Vậy có : 12.11.10.9.8.7.6 = 3991680 cách Bài Một tuyến đường xe lửa có 10 nhà ga Hỏi có cách chọn hành trình bắt đầu nhà ga chấm dứt nhà ga khác, biết từ nhà ga tới nhà ga khác? Giải Nhà ga : có 10 cách chọn Nhà ga đến : có cách chọn Vậy có : 10.9 = 90 cách chọn Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Bài Có nam nữ cần xếp ngồi vào hàng ghế Hỏi có cách xếp cho : a) Nam, nữ ngồi xen kẽ ? b) Nam, nữ ngồi xen kẽ có người nam A, người nữ B phải ngồi kề ? c) Nam, nữ ngồi xen kẽ có người nam C, người nữ D không ngồi kề ? Giải a) Có cách chọn người tuỳ ý ngồi vào chỗ thứ Tiếp đến, có cách chọn người khác phái ngồi vào chỗ thứ Lại có cách chọn người khác phái ngồi vào chỗ thứ 3, có cách chọn vào chỗ thứ 4, có cách chọn vào chỗ thứ 5, có cách chọn vào chỗ thứ Vậy có : b) 6.3.2.2.1.1 = 72 cách Cho cặp nam nữ A, B ngồi vào chỗ thứ chỗ thứ hai, có cách Tiếp đến, chỗ thứ ba có cách chọn, chỗ thứ tư có cách chọn, chỗ thứ năm có cách chọn, chỗ thứ sáu có cách chọn Bây giờ, cho cặp nam nữ A, B ngồi vào chỗ thứ hai chỗ thứ ba Khi đó, chỗ thứ có cách chọn, chỗ thứ tư có cách chọn, chỗ thứ năm có cách chọn, chỗ thứ sáu có cách chọn Tương tự cặp nam nữ A, B ngồi vào chỗ thứ ba thứ tư, thứ tư thứ năm, thứ năm thứ sáu Vậy có : c) ( × × × × 1) = 40 cách Số cách chọn để cặp nam nữ không ngồi kề số cách chọn tuỳ ý trừ số cách chọn để cặp nam nữ ngồi kề Vậy có : 72 – 40 = 32 cách Bài Một bàn dài có dãy ghế đối diện nhau, dãy gồm có ghế Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho học sinh trường A học sinh trường B vào bàn nói Hỏi có cách xếp chỗ ngồi trường hợp sau : a) Bất kì học sinh ngồi cạnh đối diện khác trường b) Bất kì học sinh ngồi đối diện khác trường Đại học Quốc gia TP HCM 1999 Giải Đánh số ghế theo hình vẽ Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com 12 11 10 7 a) Gheá 10 11 V Số cách xếp chỗ ngồi 12 5 4 3 2 V Vậy số cách xếp học sinh ngồi cạnh đối diện phải khác trường : 12 12 × × 52 × 42 × 32 × 22 × 12 = 1036800 b) Gheá 12 11 10 Số cách xếp chỗ ngồi 12 10 2 Vậy số cách xếp học sinh ngồi đối diện phải khác : 12 × × 10 × × × × × × × × = 33177600 Bài Cho chữ số 2, 3, 5, 6, 7, Hỏi từ chữ số cho, lập số đôi khác : a) gồm chữ số ? b) gồm chữ số nhỏ 400 ? c) gồm chữ số chẵn ? d) gồm chữ số chia hết cho ? Giải Đặt a) n = abc Có cách chọn a, cách chọn b (b ≠ a), cách chọn c (c ≠ a, c ≠ b) Vậy có : b) Chọn a = hay a = 3, có cách Sau đó, có cách chọn b (b ≠ a), cách chọn c (c ≠ a, c ≠ b) Vậy có : c) × × = 120 số 2.5.4 = 40 số nhỏ 400 Vì n chẵn, có cách chọn c (c = hay c = 6) Sau đó, có cách chọn a (a ≠ c), có cách chọn b (b ≠ a, b ≠ c) Vậy có : 2.5.4 = 40 số chẵn Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com d) Vì n chia hết cho 5, có cách chọn c (c = 5) Sau đó, có cách chọn a (a ≠ c), có cách chọn b (b ≠ a, ≠ c) Vậy có : 1.5.4 = 20 số chia hết cho Bài Có 100000 vé đánh số từ 00000 đến 99999 Hỏi số vé gồm chữ số khác Đại học Quốc gia Hà Nội Khối G 1997 Giải Gọn n = a1a a 3a a laø số in vé Số cách chọn a1 10 (a1 0) Số cách chọn a2 Số cách chọn a3 Số cách chọn a4 Số cách chọn a5 Vậy số vé gồm chữ số khác : 10 × × × × = 30240 Bài Xét dãy số gồm chữ số (mỗi chữ số chọn từ 0, 1, …., 8, 9) thỏa chữ số vị trí số số chẵn, chữ số cuối không chia hết cho 5, chữ số 4, 5, đôi khác Hỏi có cách chọn Đại học Quốc gia TP.HCM 1997 Gọi số cần tìm n = a1a a Số cách chọn a3 (do a3 chẵn) Số cách chọn a7 (do a7 ≠ ≠ 5) Số cách chọn a 10⎫ ⎪ Số cách chọn a ⎬ (do a4, a5, a6 đôi khác nhau) Số cách chọn a ⎪⎭ Số cách chọn a1 10 (do n dãy số nên a1 0) Số cách chọn a2 10 Vậy số cách chọn : × × 10 × × × 10 × 10 = 2880000 Bài 10 Cho 10 chữ số 0, 1, 2, …, 7, 8, Có số lẻ có chữ số khác nhỏ 600000 xây dựng từ chữ số Đại học Y Hà Nội 1997 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Giải Gọi số cần tìm n = a1a a với ≤ a1 ≤ a6 lẻ X = {0, 1, , 8, 9} Đặt • Trường hợp : a1 lẻ a1 ∈ {1, 3, 5} có cách chọn a6 ∈ {1, 3, 5, 7, 9} \ {a1 } có cách chọn a2 ∈ X\ {a1 , a } có cách chọn a3 ∈ X\ {a1 , a , a } có cách chọn a4 ∈ X\ {a1 , a , a , a } coù cách chọn a5 ∈ X\ {a1 , a , a , a , a } có cách chọn • Trường hợp : a1 chẵn a1 ∈ {2, 4} có cách chọn a6 ∈ {1, 3, 5, 7, 9} có cách chọn Tương tự a2, a3, a4, a5 có × × × cách chọn Do số số n thỏa yêu cầu toán : (4 × + × 5) x × × × = 36960 Bài 11 Cho X = {0, 1, 2, 3, 4, 5} lập số có chữ số từ X mà chữ số có mặt lần chữ số khác có mặt lần Giải Xét hộc có ô trống Có cách lấy chữ số bỏ vào hộc (do a1 ≠ 0) Có cách lấy chữ số bỏ vào hộc hộc trống Có cách lấy chữ số bỏ vào hộc hộc trống Có cách lấy chữ số bỏ vào hộc hộc trống Có cách lấy chữ số bỏ vào hộc hộc trống Có cách lấy chữ số bỏ vào hộc hộc trống chữ số nhö Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Vậy số số thỏa yêu cầu toán : × × × × = 5880 Bài 12 Người ta viết ngẫu nhiên chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lên phiếu, sau xếp ngẫu nhiên thành hàng a) Có số lẻ gồm chữ số tạo thành b) Có số chẵn gồm chữ số tạo thành Đại học Huế 1999 Giải Gọi X = {0, 1, 2, 3, 4, 5} Số cần tìm n = a1a 2a 3a a 5a a) a6 ∈ {1, 3, 5} có cách chọn a1 ∈ X\ {0, a } có cách chọn a2 ∈ X\ {a , a1 } có cách chọn a3 ∈ X\ {a , a1 , a } có cách chọn a4 ∈ X\ {a , a1 , a , a } coù cách chọn a5 ∈ X\ {a , a1 , a , a , a } coù cách chọn Số số lẻ cần tìm : × × × × = 288 b) Số số gồm chữ số (a1 0) : × × × × × = 720 Số số gồm chữ số mà a1 = : × × × × = 120 Vậy số số gồm chữ số (a1 ≠ 0) lấy từ X 720 – 120 = 600 Mà số số lẻ 288 Vậy số số chẵn : 600 – 288 = 312 Cách khác Có 5! Số chẵn với a6 = Có 2.4.4! số chẵn với a6 = hay a6 = Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Vậy số số chẵn thỏa ycbt 5! + 2.4.4! = 312 Bài 13 Có thể lập số chẵn gồm chữ số khác lấy từ 0, 2, 3, 6, Đại học Y Hà Nội 1999 Giải Đặt X = {0, 2, 3, 6, 9} vaø n = a1a 2a 3a a • (a1 ≠ 0) Trường hợp a1 lẻ a1 ∈ {3, 9} có cách chọn a5 ∈ {0, 2, 6} có cách chọn a2 ∈ X\ {a1 , a } coù cách chọn a3 ∈ X\ {a1 , a 5, a } có cách chọn a4 ∈ X\ {a1 , a , a , a } coự caựch choùn Vaọy coự : ã ì × × = 36 số n chẵn Trường hợp a1 chẵn a1 ∈ {2, 6} có cách chọn a5 ∈ {0, 2, 6} \ {a1 } có cách chọn Tương tự số cách chọn a2, a3, a4 × × Vậy có : × × × = 24 số Vậy số số n chẵn : 36 + 24 = 60 số Cách 2: Có 4! Số chẵn với a5 = Có 2.3.3! số chẵn với a5 = hay a5 = Vậy số số chẵn thỏa ycbt 4! + 2.3.3! = 60 Bài 14 Có số tự nhiên gồm chữ số cho tổng chữ số số số lẻ Giải Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com b) Số cách xếp bi đỏ đứng cạnh : 3! Số cách xếp bi xanh đứng cạnh : Số cách xếp loại bi đỏ, xanh vào để ô thứ trống : 2! Số cách xếp loại bi đỏ, xanh vào để ô thứ trống : 2! Số cách xếp loại bi đỏ, xanh vào để ô thứ trống : 2! × × × 0 × × 0 × × × × 0 Vậy số cách xếp thỏa mãn yêu cầu toán : 3! (2 + + 2) = 36 cách Cách khác Bước :Số cách xếp bi đỏ đứng cạnh : 3! Số cách xếp bi xanh đứng cạnh : Bước 2: Xem xếp hai vật khác vào ô trống ta có: A32 = 3! Vậy có 3!.3! =36 cách Bài 100 Một hộp đựng bi đỏ, bi trắng bi vàng Người ta chọn bi từ hộp Hỏi có cách chọn để số bi lấy không đủ màu Đ ại học Huế 1999 Giải Số cách chọn bi 15 bi : C15 = 15! 15 ×14 ×13 ×12 = = 1365 4!11! 24 Số cách chọn bi đỏ, bi trắng, bi vàng : C24 × × = 4! × 30 = 180 2!2! Số cách chọn bi đỏ, bi trắng, bi vàng: × C52 × = 24 × 5! 5× = 24 × = 240 2!3! Số cách chọn bi đỏ, bi trắng, bi vàng : × × C62 = 20 × = 10 × × = 300 2!4! Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Vậy số cách chọn bi đủ màu : 180 + 240 + 300 = 720 Do số cách chọn bi không đủ màu : 1365 – 720 = 645 Baøi 101 a) Cho k, n ∈ N k < n Chứng minh : b) Một đa giác lồi n cạnh (n > 3) có đường chéo Ckn + Ckn +1 = Ckn ++11 Đại học Quốc gia TP HCM khối D 1998 Giải a) Ta có : Cnk + Cnk +1 = = n! n! + k! ( n − k )! (k + 1)! ( n − k − 1)! n![(k + 1) + (n − k)] n!(k + 1) + n!(n − k) = (k + 1)! ( n − k )! (k + 1)! ( n − k )! n!(n + 1) (n + 1)! = = Cnk ++11 (k + 1)! ( n − k )! (k + 1)! ( n − k )! A4 Noái đỉnh n đỉnh ta cạnh đường chéo A3 = b) A5 Vậy tổng số cạnh đường chéo C2n Mà n giác lồi có n cạnh nên số đường chéo : n(n − 1) n(n − 3) n! –n= –n= C –n= 2 2! ( n − )! n A2 A1 A0 Bài 102* Cho đa giác H có 20 cạnh Xét tam giác có đỉnh lấy từ đỉnh H a) Có tam giác ? Có tam giác có cạnh cạnh H b) Có tam giác có cạnh cạnh H ? Có tam giác cạnh cạnh H ? Học viện Ngân hàng TP HCM 2000 Giải a) • Số tam giác có đỉnh lấy từ đỉnh H : Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com C320 = ã 20! 20 ì 19 ì 18 = = 1140 3!17! Cứ đỉnh H với đỉnh kề bên tạo thành tam giác có cạnh cạnh H Các tam giác không trùng cách khác để tạo tam giác có cạnh cạnh H A5 A2 A1 Mà H có 20 đỉnh Vậy có 20 tam giác có cạnh cạnh H b) A4 A3 A20 • Xét tam giác mà đỉnh A1 : Ta xét trường hợp bỏ cạnh A1A2, A2A3, A1A20, A20A19 có 16 tam giác mà đỉnh A1 có cạnh cạnh H ( nhớ H có 20 cạnh ) Mà H có 20 đỉnh, số tam giác có cạnh cạnh H laứ : 20 ì 16 = 320 ã Do số tam giác cạnh cạnh H : 1.140 – (20 + 320) = 800 Bài 103* Trên mặt phẳng cho thập giác lồi Xét tam giác mà đỉnh đỉnh thập giác Hỏi số tam giác có tam giác mà cạnh cạnh thập giác Đại học Ngoại thương khối A 2001 Giải Số tam giác mà đỉnh đỉnh thập giác : C10 = 120 Số tam giác mà đỉnh đỉnh thập giác có cạnh cạnh thập giác (có đỉnh phải đỉnh liên tiếp thập giác) : 10 Số tam giác mà đỉnh đỉnh thập giác có cạnh cạnh thập giác (có cách nối đỉnh thập giác với đỉnh cạnh thập giác trừ cạnh kề bên hai đỉnh đó) : 10 × = 60 Do số tam giác mà cạnh cạnh thập giác : 120 – (10 + 60) = 50 Bài 104* Cho đa giác A1A2…A2n (n ∈ N n ≥ 2) nội tiếp đường tròn (O) Biết số tam giác có đỉnh 2n đỉnh A1, A2, …, A2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có đỉnh 2n đỉnh A1, A2,…, A2n Tìm n Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Tuyển sinh Đại học khối B 2002 Giải • Số tam giác tạo thaønh : C32n = (2n)! = (2n)(2n – 1)(2n – 2) 3!( 2n − 3) ! N′ M • Vì đa giác số đỉnh chẵn nên số cặp điểm đối xứng qua tâm O n Chọn đỉnh M, M′ đối xứng qua O có n cách M′ N Chọn đỉnh N đỉnh lại có 2n – cách Luôn tìm N′ đối xứng qua tâm O để MN M′ N′ hình chữ nhật Nhưng hình chữ nhật MN M′ N′ bị đếm trùng lại lần nên số hình chữ nhật tạo thành : n(2n − 2) n(n − 1) = Do số tam giác nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật, nên : n n(n − 1) (2n – 1)(2n – 2) = × 20 ⇔ (2n – 1)(2n – 2) = 30(n – 1) ⇔ (2n – 1) = 15 (do n ≥ 2) ⇔ n = Baøi 105 Trong trường tiểu học có 50 học sinh đạt danh hiệu cháu ngoan Bác Hồ có cặp anh em sinh đôi Cần chọn nhóm gồm số 50 học sinh dự đại hội cháu ngoan Bác Hồ, cho nhóm cặp anh em sinh đôi Hỏi có cách chọn ? Đại học Sư phạm Hà Nội 1999 Giải Số cách chọn học sinh : C350 = 19600 Số cách chọn học sinh có cặp sinh đôi C148 = × 48 = 192 Do số cách chọn học sinh mà cặp sinh đôi C350 – C148 = 19600 – 192 = 19408 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Bài 106 Lớp học có nữ, 10 nam Cần chia làm hai tổ, tổ có nữ, nam Hỏi có cách ? Giải Chọn nữ, có C 24 cách Tiếp đến, chọn 10 nam, có C10 cách Các học sinh chọn vào tổ, học sinh lại vào tổ Vậy , có : = C24 C10 4! 10! 10.9.8.7.6 = 3.2 = 3.2.3.2.7.6 = 1512 cách 2!2! 5!5! 2.3.4.5 Bài 107 A, B, C đến nhà D mượn sách D có tiểu thuyết giáo khoa khác A mượn có tiểu thuyết B mượn giáo khoa C mượn giáo khoa Hỏi có cách khác để D cho mượn sách ? Giải Ngoài tiểu thuyết, A chọn thêm giáo khoa, có C18 cách B chọn lại, có C72 cách C chọn lại, có C35 cách Vậy có : C18 C72 C35 = 1680 cách Bài 108 Có tờ bạc 5000đ, tờ bạc 10000đ, tờ bạc 20000đ tờ bạc 50000đ Từ tờ bạc này, tạo tổng số tiền khác ? Giải Dùng tờ bạc số tổng số tiền khác C14 Dùng tờ bạc số tổng số tiền khác C24 Dùng tờ bạc số tổng số tiền khác C34 Dùng tờ bạc số tổng số tiền khác C44 Vậy, số tổng số tiền khác : C14 + C24 + C34 + C44 = ( C04 + C14 + C 24 + C34 + C44 ) −C04 = 24 – = 15 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Bài 109 Một tập thể có 14 người gồm nam nữ có An Bình Người ta muốn chọn tổ công tác gồm người Tìm số cách chọn trường hợp sau : a) Trong tổ phải có mặt nam lẫn nữ b*) Trong tổ phải có tổ trưởng, tổ viên, An Bình không đồng thời có mặt tổ Đại học Kinh tế TP HCM 2001 Giải Số cách chọn người : C14 = 14! = 3003 6!8! Số cách chọn người toàn nam : C66 = Số chọn người toàn nữ : C86 = 8! = 28 6!2! Do số cách chọn tổ công tác để có nam lẫn nữ 3003 – (1 + 28) = 2974 b) Cách : Số cách chọn An làm tổ trưởng Bình : C12 = 792 Số cách chọn An làm tổ viên Bình : 12 C11 = 12 11! = 3960 4!7! Vậy số cách chọn có An mà Bình : + 12 C11 = 4752 C12 Tương tự số cách chọn có Bình mà An : C12 + 12 C11 = 4752 Số cách chọn An lẫn Bình : 12 C11 = 12 11! = 5544 5!6! Do yêu cầu toán : 5 2( C12 + 12 C11 ) + 12 C11 = 2(4752) + 5544 = 15048 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Cách 2: Chọn tùy ý 14 học sinh có : C14 cách Chọn An Bình chọn thêm học sinh 12 học sinh lại có : C12 cách Vậy số cách chọn học sinh An Bình không đồng thời có mặt : - C12 C14 Với học sinh chọn xong có cách chọn tổ trưởng Vậy số cách chọn thỏa yêu cầu đề toán : 6( C14 - C12 ) = 15048 cách Bài 110 Số 210 có ước số Giải Ta phân tích 210 thừa số nguyên tố : 210 = 2.3.5.7 Vậy, 210 có thừa số nguyên tố 2, 3, 5, Số ước số thừa số nguyên tố có C14 = số (gồm 2, 3, 5, 7) Số ước số tích hai thừa số nguyên tố có C24 = số (gồm 2.3, 2.5, 2.7, 3.5, 3.7, 5.7) Số ước số tích ba thừa số nguyên tố có C34 = số ( gồm 2.3.5, 2.3.7, 2.5.7, 3.5.7) Số ước số tích bốn thừa số nguyên tố có C 44 = số (là 2.3.5.7) Ngoài ra, số ước số không chứa thừa số nguyên tố có C04 = số (là 1) Tóm lại, có : C04 + C14 + C24 + C34 + C44 = 24 = 16 số CÁC BÀI TOÁN HỖN HP Bài 111 Một khiêu vũ có 10 nam, nữ Cần chọn nam, nữ lập thành cặp Hỏi có cách chọn ? Giải Chọn 10 nam, có C10 cách Chọn nữ , có C36 cách Cuối cùng, ghép nam với nữ hoán vị phần tử, có 3! Caùch Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Vậy, có : C10 C36 3! = 10! 6! 3! = 5.3.8.6.5.4 = 14400 caùch 3!7! 3!3! Bài 112 Có bưu thiếp khác nhau, bì thư khác Cần chọn bưu thiếp, bỏ vào bì thư, bì bưu thiếp gửi cho người bạn bạn bưu thiếp Hỏi có cách ? Giải Chọn bưu thiếp, có C35 cách Chọn bì thư, có C36 cách Bỏ bưu thiếp vào bì thư hoán vị phần tử, có 3! cách Gửi cho người bạn hoán vị phần tử, có 3! cách Vậy, có : C35 C36 3!.3! = 5! 6! 3!.3! = 10.6! = 7200 cách 3!2! 3!3! Bài 113* Có người Việt, người Nhật, người Trung Quốc người Triều Tiên Cần chọn người dự hội nghị Hỏi có cách chọn cho : a) Mỗi nước có đại biểu ? b) Không có nước có hai đại biểu ? Giải a) * Trường hợp 1: Một nước có đại biểu nước nước có đại biểu Trong nước, chọn nước cử đại biểu : có cách Trong người nước đó, chọn người, có C34 = cách Ba nước lại nước chọn người có 43 cách Vậy có : C34 43 = 45 cách * Trường hợp 2: Có hai nước nước có đại biểu hai nước nước có đại biểu Trong nước, chọn nước để nước chọn đại biểu, có : C24 = cách Chọn người nước đó, có : C 24 = cách Suy hai nước có 62 cách chọn đại biểu Hai nước lại, chọn người, có cách Suy hai nước lại có 42 cách chọn đại biểu Vậy có : 6342 cách Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Tóm lại, số cách chọn thỏa yêu cầu đề : 45 + 63.42 = 4480 cách b) * Trường hợp 1: Có nước nước hai đại biểu Chọn nước để nước chọn đại biểu, có C34 = cách Chọn người nước đó, có : C 24 = cách Ba nước có 63 cách Vậy có : 4.63 cách * Trường hợp 2: Có nước nước đại biểu nước lại nước đại biểu Trường hợp câu a ta có 63.42 cách Tóm lại, số cách chọn thỏa yêu cầu đề : 4.63 + 63.42 = 4320 cách Bài 114 a) Có 10 bánh khác hộp khác Hỏi có cách xếp hộp hai bánh ? b) Nếu 10 bánh khác hộp giống có cách ? Giải a) Chọn 10 bánh, cho vào hộp thứ nhất, có : C10 cách Chọn bánh lại, cho vào hộp thứ hai, có : C82 cách Tiếp tục trình chọn trên, ta có : C10 C82 C62 C24 C 22 = 10! 8! 6! 4! 2!8! 2!6! 2!4! 2!2! = 45.28.15.6 = 113400 cách b) Với cách chọn bánh xếp vào hộp khác nhau, đổi chỗ hộp (trước xếp bánh vào), ta 5! cách Với cách chọn bánh xếp vào hộp giống nhau, đổi chỗ hộp (trước xếp bánh vào), ta cách Vậy số cách xếp theo yêu cầu : 113.400 = 945 cách 5! Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Baøi 115 Một thầy giáo có 12 sách đôi khác có sách Văn, sách Anh văn sách Hóa Ông lấy tặng học sinh A, B, C, D, E, F em a) Giả sử thầy giáo muốn tặng học sinh sách thuộc loại Anh văn Văn Hỏi có cách tặng b*) Giả sử thầy giáo muốn rằng, sau tặng xong loại Văn, Anh văn, Hóa Hỏi có cách tặng Đại học Quốc gia TP HCM 2000 Giải a) Số cách lấy sách loại Văn Anh văn : C96 Số cách đưa sách cho học sinh : 6! Vậy số cách tặng sách loại Văn Anh văn : C96 6! = b) 9! = 60 480 3! Soá cách tặng sách : 6! C12 = 6! × 924 Số cách tặng không sách Văn : 6! C17 = 6! × Số cách tặng không sách Anh văn : 6! C82 = 6! × 28 Số cách tặng không sách Hóa : 6! C39 = 6! × 84 Vậy số cách tặng thỏa mãn yêu cầu toán : 6!( C12 - C17 - C82 - C39 ) = 720 × 805 = 579600 Bài 116 Cho A = {1, 2,3, 4,5, 6, 7,8} a) Có tập A chứa mà không chứa b) Có số tự nhiên chẵn gồm chữ số khác mà không bắt đầu 123 Đại học Quốc gia TP HCM 1999 Giải a) Nếu tập X có n phần tử số tập X : 2n Tập A\ {1, 2} có phần tử, ta có : 26 = 64 tập con, tập không chứa vaø Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Ta hội 64 tập với {1} ta 64 tập A chứa mà không chứa b) Gọi n = a1a a chẵn Do a5 ∈ {2, 4, 6,8} có cách chọn Số cách chọn a1a a 3a : A 74 = 7! = × × × = 840 3! Vậy số số n chẵn : A 74 = 3360 Xét m = 123a a mà m chẵn Do a5 ∈ {4, 6,8} có cách chọn a4 ∈ {4,5, 6, 7,8} \ {a } coù cách chọn Vậy số số m : 12 Do số số thỏa mãn yêu cầu toán : 3360 – 12 = 3348 Bài 117 Có thể lập số có chữ số chữ số 1, 2, 3, 4, 5, có mặt lần chữ số khác xuất lần Đại học Sư phạm Hà Nội 2000 Giải Gọi số cần tìm n = a1a a Xét hộc có ô trống Số cách đem chữ số bỏ vào hộc C82 cách Số cách đem chữ số bỏ vào hộc C62 cách Còn lại chữ số 2, 3, 4, bỏ vào hộc trống lại có : 4! cách Vậy số cách thỏa yêu cầu toán C82 C62 4! = 8! 6! 8! × × 4! = = 10 080 caùch 2!6! 2!4! 2!2! Chú ý : Bài toán hoán vị lặp, tổ hợp lặp, chỉnh hợp lặp chương trình phổ thông Bài 118 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com a) Có số chẵn gồm chữ số khác đôi chữ số chữ số lẻ b) Có số gồm chữ số khác đôi có chữ số lẻ chữ số chẵn Đại học Quốc gia TP HCM 2000 Giải a) Đặt n = a1a a (a1 ≠ 0) Chọn a1 ∈ {1,3,5, 7,9} có cách a6 ∈ {0, 2, 4, 6,8} có cách Bốn chữ số lại a2, a3, a4, a5 chọn từ : {0,1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9} \ {a1 , a } có A84 = 8! = 1680 cách 4! Vậy số cách chọn thỏa yêu cầu câu a : 25 × 1680 = 42000 số b) Đặt m = a1a a Trường hợp 1: a1 Số cách chọn chữ số chẵn : C35 cách Số cách chọn chữ số lẻ : C35 cách Chọn (i = 1, ) từ số có 6! Cách Vậy có : 6! C35 C35 = 72 000 số Trường hợp 2: xét m′ = 0a a a Chọn chữ số chẵn có : C 24 cách Chọn chữ số lẻ có : C35 cách Hoán vị chữ số có 5! cách Vậy có : 5! C24 C53 = 7200 số Do số số thỏa yêu cầu câu b : 72000 – 7200 = 64800 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Bài 119 Có số tự nhiên gồm chữ số biết chữ số có mặt lần, chữ số có mặt lần chữ số khác có mặt không lần Đại học Quốc gia TP HCM 2001 Giải Gọi số cần tìm n = a1a a (a1 ≠ 0) Xeùt hộc có ô trống • Trường hợp a1 tùy ý (a1 0) Số cách đem chữ số bỏ vào hộc : C72 = 7! = 21 2!5! Số cách đem chữ số bỏ vào hộc : C35 = 5! = 10 3!2! Còn lại chữ số ô trống số cách đưa chữ số vào hộc : A82 = Vậy có : • 8! = 56 6! 21 × 10 × 56 = 11760 số Trường hợp a1 = Số cách đem chữ số bỏ vào hộc : C62 = 4! = 15 2!4! Số cách đem chữ số bỏ vào hộc : C34 = 4! = 3! Còn lại chữ số ô trống có cách đem chữ số lại bỏ vào hộc Do số số n = 0a a a laø 15 × × = 420 • Vậy số số thỏa yêu cầu toán : 11760 – 420 = 11340 CÁC SAI SÓT THƯỜNG GẶP KHI GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ TỔ HP Không hiểu từ dùng đề Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Ví dụ : Trong đề thi tuyển sinh vào Đại học Kinh tế TPHCM năm 2001 có câu “An Bình không đồng thời có mặt” nghóa loại bỏ trường hợp có An có Bình, ta lại ba trường hợp : có An Bình, có Bình An, An Bình Nếu đọc không kỹ, câu văn nêu dễ hiểu nhầm thành “không có An Bình” tức “An Bình đồng thời mặt” Có trường hợp trùng lặp, bị đếm hai lần mà Ví dụ : Một lớp học có 20 học sinh gồm 14 nam, nữ Hỏi có cách thành lập đội gồm học sinh có nữ ? Giải : Chọn nữ nữ, có C16 = cách Chọn thêm học sinh 19 học sinh lại, có C19 cách Vậy có : 3 cách C16 C19 = C19 Cách giải sai chỗ hai lần chọn “1 nữ học sinh lại” bị trùng lặp, bị đếm hai lần Ví dụ : “chọn nữ A học sinh B, C, D” “chọn nữ B học sinh A, C, D” Có trường hợp không liệt kê đủ, đếm thiếu mà Ví dụ : Năm nam sinh ba nữ sinh xếp vào chỗ ngồi Có cách xếp cho hai nữ sinh ngồi cạnh ? Giải : Ta đánh số chỗ ngồi từ đến Các trường hợp có hai nữ ngồi cạnh ghế số : 123, 234, 345, 456, 567, 678 : có trường hợp Chọn ghế tùy ý cho nữ tổ hợp chập phần tử, có C83 cách Trừ trường hợp nêu : C83 – cách Xếp nữ vào ghế chọn, có : 3! cách Xếp nam vào ghế chọn, có 5! cách Vậy có : 5! 3!( C83 – 6) cách Cách giải sai chỗ đếm thiếu trường hợp có hai nữ ngồi kế nữ ghế số 123, 124, 125, 126, 127, 128, 234, 235, 236, 237, 238, 345, 346, 347, 348, 456, 457, 458, 567, 568, 678 : coù 21 trường hợp Không thấy rõ chỉnh hợp “tổ hợp hoán vị” Ví dụ : Một khiêu vũ có 10 nam nữ, chọn có thứ tự nam nữ để ghép thành cặp Hỏi có cách chọn ? Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Giaûi: Chọn có thứ tự nam 10 nam, có A10 cách Chọn có thứ tự nữ nữ , có A 36 cách Vậy có : A10 A36 cách Cách giải sai chỗ không thấy việc ghép thành cặp hoán vị hàm ý “có thứ tự” việc chọn bị tính đến hai lần mà thực có lần ghép cặp Xét phần bù sai Với toán tìm số cách chọn “thỏa tính chất p” mà số cách chọn “không thỏa tính chất p” trường hợp hơn, ta thường làm sau : Số cách chọn thỏa p = số cách chọn tùy ý – số cách chọn không thỏa p Khi làm cách này, sai sót dễ mắc phải phát biểu mệnh đề “không thỏa tính chất p” thiếu xác Ví dụ : Một thầy giáo có 12 sách đôi khác nhau, có văn, nhạc, họa Thầy muốn chọn tặng cho học sinh cho tặng xong thể loại Hỏi có cách ? Trong ví dụ này, tính chất p “mỗi thể loại còn” không thỏa tính chất p “có thể loại không còn” (Ta dễ hiểu sai thành “mỗi thể loại không còn”) (còn tiếp) PHẠM HỒNG DANH - NGUYỄN VĂN NHÂN - TRẦN MINH QUANG (Trung tâm Bồi dưỡng văn hóa luyện thi đại học Vónh Viễn)