Trang 1 Trong chương trình toán bậc trung học cơ sở, dạng toán”Tìm giá trị nhỏ nhấthoặc giá trị lớn nhất của một biểu thức”là một dạng toán thường được đưa ra trong cácđề thi học kỳ, kiể
A ĐẶT VẤN ĐỂ Trong chương trình tốn bậc trung học sở, dạng tốn”Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức”là dạng toán thường đưa đề thi học kỳ, kiểm tra cuối chương, nhằm dành cho học sinh phấn đấu đạt điểm giỏi Tuy nhiên, sách giáo khoa không dành tiết học cho riêng dạng mà đưa tập nâng cao u cầu học sinh tự tìm tịi giải theo gợi ý giáo viên Chính học sinh thường gặp khó khăn giải tập dạng nên khả giải trình bày không tốt Để giúp em học sinh tốn lớp làm tốt dạng tốn này, dành thời gian nghiên cứu tài liệu biên soạn hệ thống phương pháp tập để đưa đề tài “Phương pháp tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức” với mục đích giúp học sinh tiếp thu dễ dàng dạng tốn khó, đồng thời có dịp rèn luyện tư phát huy tính tích cực học tập cho học sinh Khi học sinh có kiến thức tốt dạng tốn này, em củng cố tốt toán nâng cao khác chương trình tốn THCS ”Chứng minh biểu thức nhận giá trị dương âm”,”Chứng minh bất đẳng thức”, Vì hiểu vai trị quan trọng dạng tốn thấy rõ khó khăn học sinh học tập giáo viên giảng dạy, mạnh dạn viết tài liệu”Phương pháp tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức”để trước hết phục vụ cho cơng tác giảng dạy mình, sau tạo điều kiện để thân có dịp trao đổi chuyên môn với đồng nghiệp, nâng cao nghiệp vụ sư phạm lực nghiên cứu khoa học cá nhân 2 B NỘI DUNG ĐỀ TÀI I LÝ THUYẾT CHUNG Xét biểu thức A(x) xác định ∀x∈ (a, b) Bài tốn 1: Để tìm giá trị nhỏ biểu thức A(x) (a, b), ta cần tiến hành bước: a) Bước 1: Chứng tỏ A(x) > k (k số) Vxe (a, b) b) Bước 2: Tìm giá trị x = a để A(x) = k, tức trường hợp để xảy dấu đẳng thức c) Kết luận: Giá trị nhỏ A(x) = k x = a Ta thường dùng kí hiệu: A(x) = k x = a Bài tốn 2: Để tìm giá trị lớn biểu thức A(x) (a, b), ta cần tiến hành bước: a) Bước 1: Chứng tỏ A(x) < k (k số) Vxe (a, b) b) Bước 2: Tìm giá trị x = a để A(x) = k, tức trường hợp để xảy dấu đẳng thức c) Kết luận: Giá trị lớn A(x) = k x = a Ta thường dùng kí hiệu: max A(x) = k x = a Chú ý a) Với biểu thức chứa nhiều biến số giải tương tự b) Học sinh hay mắc phải sai lầm thực bước kết luận tốn, dẫn đến kết sai Vì cần u cầu học sinh trình bày đầy đủ hai bước cẩn thận, không thiếu bước Ví dụ Cho biểu thức: A = x2 + (x - 2)2 Một học sinh tìm giá trị nhỏ biểu thức A sau: “Ta có: Vxe R, x2 > (x - 2)2 > nên A > Vậy giá trị nhỏ A 0.” Lời giải có không ? Giải Lời giải không Học sinh mắc phải sai lầm chứng tỏ A > chưa trường hợp xảy dấu đẳng thức Dấu đẳng thức không xảy khơng thể có đồng thời : x2 = (x - 2)2 = Lời giải sau: +) Ta có: A = x2 + (x - 2)2 = x2 + x2 - 4x + = 2x2 - 4x + = 2(x2 - 2x + 1) + = 2(x - 1)2 + > , V xe R +) Mà: A = x - = x = +) Vậy: A = x = c) Khi giải tốn tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức, ta cần nhớ bất đẳng thức sau: 1) a2 > (Tổng quát: a2k > với k nguyên dương) Xảy dấu đẳng thức a = 2) -a2 < (Tổng quát: -a2k < với k nguyên dương) Xảy dấu đẳng thức a = Phương pháp tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức 3) 4) 5) 6) 7) |a| > Xảy dấu đẳng thức a = |a| > a Xảy dấu đẳng thức a > - |a| < a < |a| Xảy dấu đẳng thức a = |a + b| < |a| + |b| Xảy dấu đẳng thức ab > a2 + b2 > 2ab Xảy dấu đẳng thức a = b a + b > Vãb với a, b > (Bất đẳng thức Côsi) 8) Xảy dấu đẳng thức a = b 9) a > b, ab > — < -ỉ- Xảy dấu đẳng thức a = b ab ab 10) + — > với ab > Xảy dấu đẳng thức a = b ba d) Khi tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức, nhiều ta cần phải đổi biến e) Khi tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức A với A > 0, nhiều trường hợp ta lại xét biểu thức A2 Bài tốn tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức tốn khơng đơn giản, ta xét số dạng biểu thức đặc biệt có công thức giải bản, phù hợp với khả tiếp thu số đông học sinh lớp II MỘT SỐ DẠNG BIỂU THỨC CAN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT THƯỜNG GẶP TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN LỚP Dạng Tìm giá tri nhỏ nhất, giá tri lớn biểu thức có dạng tam thức bậc hai Phương pháp giải: Xét tam thức bậc hai P = ax2 + bx + c * Nếu a > P có giá trị nhỏ Ta biến đổi biểu thức P dạng aX2 + k có kết quả: P = k X = * Nếu a < P có giá trị lớn Ta biến đổi biểu thức P dạng aX2 + k có kết quả: max P = k X = Ví dụ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) A = x2 - 4x +1; b) B = 2x2 - 8x +1; c) C = 3x2 - 6x +1 Giải a) A = x2 - 4x +1 = (x2 - 4x + 4) - = (x - 2)2 - >-3 A = -3 x - = x = Vậy: A = -3 x = b) B = 2x2 -8x +1 = 2(x2 -4x + 4)-7 = 2(x-2)2 -7>-7 B = -7 x - = x = Vậy: B = -7 x = Phương pháp tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức c) C = 3x2 -6x +1 = 3(x2 -2x +1)-2 = 3(x-1)2 -2>-2 C = -2 x - = x = Vậy: C = -2 x = Ví dụ Tìm giá trị lớn biểu thức: a) A = -x2 - 4x +1; b) B = -2x2 + 8x -1; c) C = -3x2 - 6x + Giải a) A = -x2 - 4x +1 = -(x2 + 4x + 4) + = -(x + 2)2 + < A = x + = x = -2 Vậy: max A = x = -2 b) B = -2x2 + 8x -1 = -2(x2 - 4x + 4) + = -2(x - 2)2 + < B=7x-2=0x=2 Vậy: max B = x = c) C = -3x2 - 6x + = -3(x2 + 2x +1) + = -3(x +1)2 + < C = x + = x = -1 Vậy: max C = x = -1 * Bài tập tự giải Bài tập Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) A = x2 + x +1; b) B = x2 - x +1; c) C = 2x2 - 20x + 53; d) D = 2x2 + 3x +1 Bài tập Tìm giá trị lớn biểu thức: a) A = - x2 + x +1; b) B = -x2 - x +1; c) C = -2x2 - 20x + 53; d) D = -2x2 + 3x +1; e) B = -5x2 - 4x +1 Dạng Tìm giá tri nhỏ nhất, giá tri lớn biểu thức có dạng đa thức bậc cao Phương pháp giải: Ta thường tìm cách biến đổi biểu thức cho dạng cách đặt ẩn phụ thích hợp Ví dụ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) A = (x2 + x +1)2 ; b) B = x4 - 4x3 + 5x2 - 4x + 4; Phương pháp tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức c) C = (x - 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) Giải a) Mặc du A >0 giá trị nhỏ A khơng phải x2 + x +1 0, Vx e R rp X .1 ( 1x 1x 3 ( Ta có: x2 + x +1= (x2 + x + —)+ — = (x + -A2 + — > — 4 244 ó: A (x x 1) Do đ o + + Vậy: A = (4)2 =^—^ x = ~ 16 b) Ta có: B = x - 4x + 5x - 4x + = x2(x2 -4x + 4) + (x2 -4x + 4) = x2(x-2)2 + (x-2)2 >0 Do x = Mà:đó: B =min 0xB = 2= x = c) C = (x - 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) = [(x - 1)(x + 6)].[(x + 2)(x + 3)] = (x2 + 5x - 6)(x2 + 5x + 6) = (x2 + 5x)2 - 36 = [x(x + 5)]2 - 36 > -36 x=0 C = -36 x(x + 5) = x = -5 Vậy: minC = -36 x=0 x = -5 * Bài tập tự giải - Bài tập 3: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) M = x4 - 6x3 + 10x2 - 6x + 9; b) N = x(x - 3)(x + 1)(x + 4); c) P = x4 - 2x3 + 3x2 - 2x +1; d) Q = (x2 - x)(x2 + 3x + 2) Dạng Tìm giá tri nhỏ nhất, giá tri lớn biểu thức có dạng đa thức có chứa dấu giá tri tuyệt đối Phương pháp giải Dung tính chất sau: 3) |a| > Xảy dấu đẳng thức a = 4) |a| > a Xảy dấu đẳng thức a > 5) - |a| < a < |a| Xảy dấu đẳng thức a = 6) |a + b| < |a| + lb Xảy dấu đẳng thức ab > Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) A = 2x + |2x - 5; b) B = |x -1| + |x - 3; c) C = |x -1 + |x - + |x - Phương pháp tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức Giải a) Áp dụng tính chất 4, ta có: A = 2x + |2x - = 2x + - 2x| > 2x + - 2x = A=5 - 2x > x |x -1 + - x| = B = (x -1)(3 - x) > < x < Vậy: B = 1 1 + = Dấu xảy x = Vậy: C = x = * Bài tập tự giải - Bài tập Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) A = |x| + |x -1; b) B = 4x2 + 4x - 6|2x +1 + ; c) C = |x - + |x - Dạng4 Tìm giá tri nhỏ nhất, giá tri lớn biểu thức dạng phân thức có tử số mẫu tam thức bậc hai Phương pháp giải Sử dụng tính chất 9: a > b, ab > — < Ỵ- Xảy dấu đẳng thức a = b ab Ví dụ Tìm giá trị lớn biểu thức: M = —;— 4x2 - 4x + Phương pháp tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức Giải +) Ta có: M = 4x2 - 4x + (2x -1)2 + Mà: (2x -1)2 > (2x -1)2 + > M = < (2x -1)2 + 4 +) M = -■-3 > ' < x -3 -1 +) A = —- «> x = -1 Vậy: max A = —- x = -1 Nhưng ta dễ dàng nhận thấykết sai, với x = A = > — Sai lầm chỗ: Từ -3 < 1, suy —3 > ị , -3 khơng dấu -3 Tổng quát: Từ a < b, suy — > a b hai số dấu ab * Bài tập tự giải - Bài tập Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức: a) A1 9x2 b) _6 4x - x2 - ’ - 6x + C= \ ; 2x - x - D 3x2 + 6x +10 d) x2 + 2x + E = Ềí • e) x2 + c) Phương pháp tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức Dạng Tìm giá tri nhỏ nhất, giá tri lớn biểu thức dạng phân thức có mẫu bình phương nhi thức bậc Phương pháp giải: Để tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức A M(x) có dạng ta viết tử thức M(x) dạng luỹ thừa ax + b, sau (ax + b)2 chia tử thức cho mẫu thức để viết A dạng tổng phân thức có tử thức số mẫu thức luỹ thừa nhị thức ax + b: A np A = m(x) + M2 • ax + b (ax + b)2 Dùng phương pháp đổi biến, đặt y = —ỉ—, ta đưa A dạng dạng ax + b 2, từ giải tốn x2 + x +1 Ví dụ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = —■—•—-4— (x +1)2 Giải Viết tử thức dạng luỹ thừa x + 1, đổi biến, đặt y = —ỉ— ta có: x +1 Phương pháp tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức (x2 + 2x +1) - (x +1) +1 _ 11 x + (x + 1)2 (x +1) 2( 1\2 3\3 = - y + y2 = (y - -A2 + 7v > • 24 4 31 Min A = — y = -7 x = • 42 * Bài tập tự giải Bài tập 6: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 2x A= a) +1 A B=đè b) c) - 2x +1 x ; x2 - 3x + C=õ~ “; x - 2x +1 2 d) D 2x - 6x + x 2x +1 Bài tập 7: Tìm giá trị lớn biểu thức: X A= 2• (x +phân 1)2 thức khác Dạng Tìm giá tri nhỏ nhất, giá tri lớn Ví dụ Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức: 2x +1 x2 + ■ Giải +) Để tìm giá trị nhỏ A, ta viết A dạng: 2x +1 _ 4x + _ (x2 + 4x + 4) - (x2 + 2) _ x2 + 2~ 2(x2 + 2)”2(x2 + 2) = (x + 2)2 1>1 2(x2 + 2) 2' Vây: A = -Ị yx Giải 2 x2 + y2 T -R - x y = x + y Ta có: B = —+ — = = - - - -2 + y x xy xy x + y - 2xy (x - y)2 = 2 +2= + > (vì x > 0, y > 0) xy xy Vậy: B = x = y Ví dụ 12: Tìm giá trị lớn biểu thức: C = x6 + y6 biết x2 + y2 = Giải Ta có: C = x6 + y6 = (x2)3 + (y2)3 = (x2 + y2)(x4 - x2y2 + y4) Vì x2 + y2 = nên C = x4 - x2y2 + y4 = (x2 + y2)2 - 3x2y2 = - 3x2y2 < Dấu xảy x2y2 = x = y = 'x=0 ; y = ±1 f y = Vậy: max C = x = ±1 * Bài tập tự giải Bài tập 10 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) A = x2 - 2x + y2 + 4y + ; b) B = xy(x - 2)(y + 6) + 12x2 - 24x + 3y2 + 18y + 36 ; Phương pháp tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức 12 c) C = (x - ay)2 + 6(x - ay) + x2 + 16y2 - 8xy + 2x - 8y + 10 Bài tập 11 Tìm giá trị lớn biểu thức: A = 4x + 6y - x2 - y2 + Bài tập 12 a) Cho x - y = Tìm giá trị nhỏ A = x3 + y3 b) Cho x - y = Tìm giá trị nhỏ B = 2x2 + y2 Bài tập 13 Chứng minh hai số có tổng khơng đổi tích chúng lớn hai số Áp dụng mệnh đề tìm giá trị lớn biểu thức sau: a) A = x2(8 - x2); b) B = x3(16 - x3); c) C = (1 - x)(2 - x) với < x < Bài tập 14 Chứng minh hai số dương có tích khơng đổi tổng chúng nhỏ hai số Áp dụng mệnh đề tìm giá trị nhỏ biểu thức sau (với x > 0) : a) A = X ; b) B = ; X „C x2 + 8x + 64 c) =—— ; 2x x + 15x +16 d) D = 7“ - ; 3x e) E =