Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp tìm hệ số của đa thức một biến39710

PHỊNG GIÁO DỤC THỊ Xà BÌNH LONG SÁNG KIẾN KINH NGHIM đề tài MT S PHNG PHP TèM H S CỦA ĐA THỨC MỘT BIẾN Người thực hiện: Giáo viên Toán - Nguyễn Văn Đặng Đơn vị : Trường THCS An Lc - Th Xó Bỡnh Long Năm học : 2011 - 2012 DeThiMau.vn MỤC LỤC Lyù chọn đề tài 02 Nội dung .02 Kết luận .06 4.Tài liệu tham khảo 07 DeThiMau.vn A LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Chúng ta biết máy tính bỏ túi (MTBT) cơng cụ tích cực việc dạy học tốn, giúp cho giáo viên học sinh giải nhiều vấn đề coi khó chương trình phổ thơng học Học sinh dùng máy tính thực phép tính phức hợp nhanh chóng, xác tiết kiệm nhiều thời gian Thực tế việc thi cử đòi hỏi học sinh phải thực việc tính tốn nhanh chóng xác (ví dụ mơn thi trắc nghiệm :Vật lí,Hóa học….) khơng có MTBT hỗ trợ thí sinh khó hồn thành thi cách tốt Trong thực tế thời gian giảng dạy ,cũng ôn tập bồi dưỡng học sinh giỏi mơn“Giải tốn máy tính bỏ túi” trường THCS tơi thấy có có nhiều tài liệu,bài viết… việc “giải tốn MTBT “ nói chung “Tìm hệ số đa thức biến” nói riêng ,trong phạm vi hiểu biết thân, xin hệ thống lại “Phương pháp tìm hệ số đa thức biến” mà số tài liệu trình bày xin nêu cách để thực công việc Đây vấn đề mới, hướng q trình dạy học tốn, mạnh dạn xin đưa dây để bạn đồng nghiệp xem xét góp ý B NỘI DUNG I.Bài tốn ví dụ : Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d cho biết P(1) = 5; P(2) = ; P(3) = 9; P(4) = 11 Tìm hệ số a ; b ; c ; d đa thức Tính P(10) ; P(11) ; P(12) ; P(13) Giải: 1.Các phương pháp thường dùng để giải toán trên: Cách : (Dùng phương pháp đồng thức) Đặt P(x) = (x-1) (x-2) (x-3) (x-4) + a’(x-1) (x-2) (x-3) + b’(x-1) (x-2) + c’(x-1) + d’ Với x=1 => P(1)= d’=5 x=2 => P(2)= c’+5=7 => c’=2 x=3 => P(3)= 2b’+ 4+5=9 => b’=0 x=4 => P(4)= 6a’+6+5=11 => a’=0 Do P(x) = (x-1) (x-2) (x-3) (x-4) + 2(x-1) + 5= x4 -10x3 + 36x2 - 55x + 39 Vậy a = -10 ; b = 36 ; c = -55 ; d = 39 Nhập biểu thức x4 -10x3 + 36x2 - 55x + 39 vào máy dùng chức CALC máy ta tính được: P(10)=3089 ; P(11)=5121 ; P(12)=8019; P(13)=11999 Cách : (Lập hệ phương trình) Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d cho biết P(1) = 5; P(2) = ; P(3) = 9; P(4) = 11 Tìm hệ số a ; b ; c ; d đa thức Tính P(10) ; P(11) ; P(12) ; P(13) Giải: Ta có x=1 => 1+a+b+c+d=5 x=2 => 16+8a+4b+2c+d=7 x=3 => 81+27a+9b+3c+d=9 x=4 => 256+64a+16b+4c+d=11 (1) (2) (3) (4) DeThiMau.vn Giải hệ phương trình ta a = -10 ; b = 36 ; c = -55 ; d = 39 Vậy P(x) = x4 -10x3 + 36x2 - 55x + 39 Và từ ta tính P(10); P(11); P(12); P(13) cách Cách : (Tìm quy luật số dư) Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d cho biết P(1) = 5; P(2) = ; P(3) = 9; P(4) = 11 Tìm hệ số a ; b ; c ; d đa thức Tính P(10) ; P(11) ; P(12) ; P(13) Giải: Ta có 5=2.1 + ; = 2.2 + ; = 2.3+3 ; 11 = 2.4+3 5,7,9,11 giá trị 2x+3 x nhận giá trị 1,2,3,4 => P(1)- 2.1 + 3=0 ; P(2)- 2.2 + 3=0 ; P(3)- 2.3 + 3=0 ; P(4)- 2.4 + 3=0 Đặt Q(x)= P(x) - (2x+3) => Q(1)= Q(2) = Q(3) = Q(4) = Điều chứng tỏ ; ; ; nghiệm Q(x ) Suy : Q(x) = (x-1) (x-2) (x-3) (x-4) (hệ số bậc cao 1) => P(x) = Q(x)+(2x+3) = (x-1) (x-2) (x-3) (x-4)+(2x+3) = x4 -10x3 + 36x2 - 55x + 39 Vậy : a = -10 ; b = 36 ; c = -55 ; d = 39 Và từ ta tính P(10); P(11); P(12); P(13) cách 2.Phương pháp giải đề xuất thêm : Cách : Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d cho biết P(1) = 5; P(2) = ; P(3) = 9; P(4) = 11 Tìm hệ số a;b;c;d đa thức Tính P(10) ; P(11) ; P(12) ; P(13) Giải: Đặt P(x)= (x-1) (x-2) (x-3) (x- 4) + g(x) => P(1) = g(1); P(2) = g(2); P(3) = g(3) (*) Ta thấy bậc g(x) không lớn (vì bậc P(x) ) , giả sử g(x) = Ax2 + Bx + C kết hợp với (*) ta có hệ sau : Với P(1) = g(1) A+B+C = (1) P(2) = g(2)  4A+2B+C = (2) P(3) = g(3)  9A+3B+C = (3) Giải hệ ta : A = ; B = ; C = Vậy g(x)= 2x + Suy P(x) = (x-1) (x-2) (x-3) (x- 4) + 2x + = x4 -10x3 + 36x2 - 55x + 39 Vậy : a = -10 ; b = 36 ; c = -55 ; d = 39 3.Bài tập dành cho bạn đọc Bµi 1: Cho ®a thøc P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e BiÕt P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4) = 16; P(5) = 25 TÝnh P(6); P(7); P(8); P(9) = ? H.DÉn: Đặt Q(x) = P(x) + H(x) ,làm tương tự phương pháp đề xuất thêm ta H(x) = -x2 VËy ta cã: Q(x) = P(x) - x2 DeThiMau.vn  P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5) + x2 Từ tính được: P(6) ; P(7) ; P(8) ; P(9) Bài 2: Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d BiÕt P(1) = 1; P(2) = 3; P(3) = 6; P(5)  P(6) TÝnh A  P(7) P(4) = 10 ? H.Dẫn: - Giải tương tự 1, ta cã: P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) + x( x  1) Tõ ®ã tÝnh được: P(5) P(6) A P(7) Bài 3: Cho ®a thøc f(x) bËc víi hƯ sè x3 k, k Z thoả mÃn: f(1999) = 2000; f(2000) = 2001 Chøng minh r»ng: f(2001) - f(1998) hợp số H.Dẫn: * Tìm đa thức phụ: đặt g(x) = f(x) + (ax + b) Tìm a, b ®Ĩ g(1999) = g(2000) = 1999a  b 2000    2000a  b 2001  a b  g(x) = f(x) - x - 1 * Tính giá trị f(x): - Do bậc f(x) nên bậc g(x) lµ vµ g(x) chia hÕt cho: (x - 1999), (x - 2000) nªn: g(x) = k(x - 1999)(x - 2000)(x - x0)  f(x) = k(x - 1999)(x - 2000)(x - x0) + x + Tõ ®ã tÝnh được: f(2001) - f(1998) = 3(2k + 1) hợp số Bài 4: Cho đa thức f(x) bậc 4, hệ số bậc cao thoả mÃn: f(1) = 3; P(3) = 11; f(5) = 27 TÝnh giá trị A = f(-2) + 7f(6) = ? H.Dẫn: - Đặt g(x) = f(x) + ax2 + bx + c T×m a, b, c cho g(1) = g(3) = g(5) =  a   ta giải được: b c g(x) = f(x) - x2 - DeThiMau.vn - Vì f(x) bậc nên g(x) có bậc vµ g(x) chia hÕt cho (x - 1), (x - 3), (x - 5), vËy: g(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)(x - x0)  f(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)(x - x0) + x2 + Ta tính được: A = f(-2) + 7f(6) = Bài 5: Cho đa thức f(x) bậc BiÕt f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) = T×m f(10) = ? H.DÉn: - Giả sử f(x) có dạng: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d V× f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) = ;b làm tương tự cho ta kÕt qu¶: a  x  f ( x)  25 ; c 12; d 10 25 x 12 x 10  ta tính f (10) II.Kết thực : Trong năm học 2010-2011 vừa rồi,trong việc ôn học sinh giỏi môn MTBT ,tôi áp dụng phương pháp thứ tư nêu để tìm hệ số đa thức biến thấy hiệu : 100% học trị giải tốt tốn tìm hệ số đa thức biến Và đây,việc tìm hệ số đa thức biến khơng cịn vấn đề chúng tơi III.Bài học kinh nghiệm: Qua ví dụ ta thấy, có nhiều cách khác để tìm hệ số đa thức biến Mỗi cách giải có tính ưu việt hạn chế nó.Việc chọn cách giải tùy thuộc vào tốn cụ thể cịn tùy thuộc vào mạnh riêng người Tuy nhiên qua thực tế ứng dụng cách giải thứ tài liệu giải tốt dạng tốn trên,tiết kiệm thời gian nhiều so với ba phương pháp lại,tuy nhiên tốn cho có số ẩn nhỏ ta nên dùng cách (lập hệ phương trình) hiệu sẻ nhanh C KẾT LUẬN Trên số phương pháp tìm hệ số đa thức biến mà trình giảng dạy, bồi dưỡng HS, trao đổi đồng nghiệp mà thân tổng hợp Hy vọng việc làm tơi giúp ích bạn học sinh,các đồng chí,đồng nghiệp có thêm tài liệu học tập nghiên cứu mơn MTBT Vì khả thời gian hạn chế nên xin dừng vấn đề Rất mong góp ý bạn để tài liệu hoàn thiện mang tính áp dụng rộng rải An Lộc,ngày 10 tháng 11 năm2011 Người viết Nguyễn Văn Đặng DeThiMau.vn TÀI LIỆU THAM KHẢO 1.Hướng dẫn sử dụng giải toán MTBT vụ THPT 2.Giải toán máy tính điện tử Casio fx-500 MS ,fx-570MS TS Tạ Duy Phượng –NXB GD 3.Một số đề thi cấp Giải tốn MTBT…… DeThiMau.vn NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ VÀ XẾP LOẠI 1/ Hội đồng khoa học trường: - Nhận xét: - Xếp loại: 2/ Hội đồng khoa học Phòng Giáo dục: - Nhận xét: - Xếp loại: DeThiMau.vn ... phương pháp thứ tư nêu để tìm hệ số đa thức biến thấy hiệu : 100% học trị giải tốt tốn tìm hệ số đa thức biến Và đây,việc tìm hệ số đa thức biến khơng cịn vấn đề chúng tơi III.Bài học kinh nghiệm: ... việc “giải toán MTBT “ nói chung ? ?Tìm hệ số đa thức biến” nói riêng ,trong phạm vi hiểu biết thân, xin hệ thống lại ? ?Phương pháp tìm hệ số đa thức biến” mà số tài liệu trình bày xin nêu cách... gian nhiều so với ba phương pháp cịn lại,tuy nhiên tốn cho có số ẩn nhỏ ta nên dùng cách (lập hệ phương trình) hiệu sẻ nhanh C KẾT LUẬN Trên số phương pháp tìm hệ số đa thức biến mà trình giảng