Bài tập lớn môn giải tích 1 đề tài số 1 tìm hiểu về tọa độ cực

ĐẠI QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA BÀI TẬP LỚN MƠN GIẢI TÍCH ĐỀ TÀI SỐ TÌM HIỂU VỀ TỌA ĐỘ CỰC GV hướng dẫn: TH.S LÊ NGUYỄN HẠNH VY NHÓM: GT1-L25-14 TP Hồ Chí Minh, 2023 BLT Giải tích Nhóm 14 BẢNG PHÂN CÔNG CÔNG VIỆC STT MSSV 2311473 2312384 2313527 2311536 2313575 2311243 HỌ Trần Huỳnh Vĩnh Quang Cẩm Cao Nguyễn Phương Trần Nguyên Ngô Nuyễn Diễm Trang Quốc TÊN Khang Nguyên Trâm Khánh Trinh Huy GHI CHÚ Nội dung câu Nội dung câu Nội dung câu Power Point Word Latex GV hướng dẫn: TH.S LÊ NGUYỄN HẠNH VY NỘI DUNG CÂU HỎI Tìm hiểu tọa độ cực, Polar System, phần 9.4 9.5, Soo T.Tan Single variable - Calculus early transcendentals Yêu cầu làm rõ điểm sau: Câu 1: Cách xác định điểm tọa độ cực Câu 2: Mối liên hệ tọa độ cực tọa độ Descartes Câu 3: Cách tính diện tích miền phằng giới hạn duờng cong tọa độ cực Yêu cầu * Xây dựng lai công thức tính tích phân từ tong Riemann * Vận dung duợc cơng thúc đễ tính diện tích miền ph˚ang BLT Giải tích Nhóm 14 NHẬN XÉT CỦA GV HƯỚNG DẪN BLT Giải tích Nhóm 14 MỤC LỤC GIẢI BÀI TOÁN TRANG Câu 1: Cách xác định điểm tọa độ cực TRANG Ví dụ TRANG Ví dụ TRANG Câu 2: Mối liên hệ tọa độ cực tọa độ Descartes TRANG Ví dụ TRANG Ví dụ TRANG Câu 3: Cách tính diện tích miền phằng giới hạn duờng cong tọa độ cực TRANG Ví dụ TRANG 10 Ví dụ TRANG 10 TỔNG KẾT TRANG 12 NGUỒN TÀI LIỆU THAM KHẢO TRANG 13 BLT Giải tích Nhóm 14 GIẢI BÀI TỐN Câu 1: Cách xác định điểm tọa độ cực Trích dẫn Polar System, phần 9,4, Soo T.Tan Single variable - Calculus early transcendentals: The Polar Coordinate System “To construct the polar coordinate system, we fix a point O called the pole (or origin) and draw a ray (half-line) emanating from O called the polar axis Suppose that P is any point in the plane, let r denote the distance from O to P, and let denote the angle (in degrees or radians) between the polar axis and the line segment OP.Then the point P is represented by the ordered pair (r,θ ) , also written P(r,θ ), where the numbers r and are called the polar coordinates of P The angular coordinate is positive if it is measured in the counterclockwise direction from the polar axis and negative if it is measured in the clockwise direction The radial coordinater may assume positive as well as negative values If r> 0, then P(r,θ ) is on the terminal side of θ and at a distance r from the origin If r < 0, then P(r,θ ) lies on the ray that is opposite the terminal side of and at a distance of |r| = -r from the pole.Also, by convention the pole O is represented by the ordered pair (0,θ ) for any value of θ Finally, a plane that is endowed with a polar coordinate system is referred to as an re-plane.” => Cách vẽ tọa độ cực : Nếu bạn muốn vẽ tay giấy, sử dụng bút compa để đánh dấu điểm trang giấy theo giá trị r θ cho trước sau kết nối điểm để tạo đồ thị -Để xác định điểm tọa độ cực, bạn sử dụng cặp giá trị (r,θ ), r khoảng cách từ điểm đến gốc độ θ góc tạo đường thẳng nối điểm với trục x dương BLT Giải tích Nhóm 14 Ví dụ 1: Điểm M có tọa độ cực (2,60°), ( điều khoảng cách từ gốc O đến M góc tạo đường thẳng nối M với trục x dương 60°) Hình 1: Ví dụ 2: Điểm P có tọa độ cực (-2, 60°) Điều có nghĩa tạo khoảng cách từ gốc đến P -2 góc đường thẳng nối P với trục x dương 60 độ Hình 2: BLT Giải tích Nhóm 14 Câu 2: Mối liên hệ tọa độ cực tọa độ Descartes Trích dẫn Polar System, phần 9,4, Soo T.Tan Single variable - Calculus early transcendentals: The Polar Coordinate System “To establish the relationship between polar and rectangular coordinates, let’s superim pose an xy-plane on an rf-plane in such a way that the origins coincide and the posi tive x-axis coincides with the polar axis Let P be any point in the plane other than the origin with rectangular representation (x, y) and polar representation (r, 0) Figure 6a shows a situation in which r>0, and Figure 6b shows a situation in which r0, we see immediately from the figure that” => Để thiết lập mối quan hệ tọa độ cực tọa độ Descartes, cho chồng tọa độ Descartes lên tọa độ cực cho gốc tọa độ trùng trục dương x tọa độ Descartes trùng với trục cực Gọi P điểm mặt phẳng tọa độ Descartes tọa độ cực (không trùng với gốc tọa độ O) (x, y) (r,θ ) Chúng ta có hình vẽ sau: Hình 3: Nếu r > 0, ta suy x = r cos θ y = r sin θ Nếu r < 0, suy −y y x −x cos θ = −x sin θ = −y |r| = −r = r |r| = −r = r tương tự r > ta có x = r cos θ y = r sin θ Và suy ngược lại: x2 + y2 = r2 tan θ = xy x ̸= √ Ví dụ 1: Cho điểm có tọa độ cực (2 3, 60°), tìm tọa độ Descartes tương ứng Giải: √ √ √ x = r cos θ =√2 cos 60 = y = r sin θ = sin 60 = => (x, y) = ( 3, 3) Ví dụ 2: Cho điểm có tọa độ Descartes (3, 4), tìm tọa độ cực tương ứng Giải: r2 = x2 + y2 = 32 + 42 = 52 tan θ = xy = 43 => θ = arctan 43 =>(r, θ )=(5, arctan 34 ) BLT Giải tích Nhóm 14 Câu 3: Cách tính diện tích miền phằng giới hạn bỏi duờng cong tọa độ cực Trích dẫn Polar System, phần 9,5 Soo T.Tan Single variable - Calculus early transcendentals: The Polar Coordinate System Công thức tính diện tích vùng giới hạn đường cong xác định phương trình cực, cần cơng thức tính diện tích phần hình trịn Hình 4: A= 2 r θ (1) Trong đó: r bán kính đường trịn θ góc tâm đo radian (hình 4) Công thức tuân theo việc nhận xét diện tích hình quạt lần diện tích hình trịn θ A= 2π π r2 = 2 r θ θ 2π BLT Giải tích Nhóm 14 Bây xem R khu vực giới hạn đồ thị phương trình cực r=f(θ )và hai tia, θ =α θ =β , f(θ ) hàm liên tục không âm ⩽ β -α < 2π Hãy xem P phân vùng đoạn[α;β ]: α = θ1 < θ2 < < θn = β (a)Vùng R (b) Vùng K Các tia θ = θk chia khu vực R thành tiểu vùng R1 ,R2 , ,Rn với diện tích tương ứng ∆A1 ,∆A2 , ,∆An Nếu chọn giá trị θk∗ đoạn [θk−1 ;θk ], diện tích ∆Ak tiểu vùng thứ k giới hạn tia θ =α θ =β xấp xỉ phần đường trịn với góc trung tâm ∆ θ = β −α n Và bán kính f(θk∗ ) (phần tơ sáng hình (b) Sử dụng phương trình (1), ta có: ∆Ak = [f(θk∗)]2 ∆ θ Do đó, xấp xỉn diện tích A R : A=∑nk=1 ∆Ak ≈ ∑nk=1 21 [ f (θk∗)]2∆θ (2) Nhưng tổng phương trình (2) tổng Riemann hàm liên tục 21 f khoảng [α;β ] A= limn→∞ ∑nk=1 12 [ f (θk∗)]2∆θ = Rβ α [ f (θk )] dθ BLT Giải tích Nhóm 14 Định lí 1: Diện tích giới hạn đường cong cực Cho hàm f liên tục, không âm [α;β ] Trong θ ≤ β − α < 2π diện tích A vùng giới hạn đồ thị r=f(θ ) , θ = α θ = β đưa A= Rβ R dθ = β r dθ [ f (θ )] k α α Khi xác định giới hạn tích phân, nhớ khu vực quét theo hướng ngược chiều kim đồng hồ tia xuất phát từ gốc, bắt đầu góc kết thúc góc Diện tích giới hạn hai đường cong cực Hình 5: Xét vùng R giới hạn đồ thị (hình 5) phương trình cực r=f(θ ) r=g(θ ) tia, θ = α θ = β liên tục [α; β ]., ≤ g(θ ) ≤ f (θ ) θ ≤ β − α < 2π (hình 5) Từ hình vẽ,ta thấy diện tích A R tìm cách trừ diện tích vùng bên r= g(θ ) khỏi diện tích vùng bên r= f (θ ) Sử dụng Định lí 1, ta thu định lí sau: Định lí 2: Diện tích giới hạn hai đường cong cực: Cho f g liên tục [α; β ]., ≤ g(θ ) ≤ f (θ ) θ ≤ β − α < 2π Khi diện tích Acủa vùng giới hạn đồ thị r=f(θ ) , θ = α θ = β đưa Rβ 2 α [[ f (θ )] − [g(θ )] ]dθ A= BLT Giải tích Nhóm 14 Ví √ dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong r= + sin θ cho tọa độ cực 1Rβ 2 α r dθ √ R 2π A = ( + sin θ )2dθ √ R 2π = (3 + sin θ + sin2 θ )dθ A= = 21 [3θ = 7π √ − cos θ + θ2 − sin42θ ]|2π Hình 6: Ví dụ 2: Tính diện tích √ hình phẳng bên đường cong (r) r = sin θ bên đường (a) r = + sin θ Giao điểm ( √  sin θ √ = 23 r = 3√sin θ ⇐⇒ r = + sin θ r = 323 Với ≤ θ ≤ 2π ta giao điểm (  π θ = 3√ θ = 2π √ 3 or r= r = 23 10 BLT Giải tích Nhóm 14 Diện tích hình phẳng cần tìm: A = 2π A= 1R π3 = 1R π3 = 1R π3 = [4θ 2π 2π 1Rβ 2 α [ f (θ ) − g (θ )]dθ √ + sin θ )2]dθ [(3 sin θ )2 − ( √ [8 sin2 θ − sin θ − 3]dθ √ sin θ − 3]dθ [8 × 21 [1 − cos 2θ ] − 2π √ − sin 2θ + cos θ − 3θ ]| π3 = π6 Hình 7: 11 BLT Giải tích Nhóm 14 TỔNG KẾT Những chưa làm làm sau báo cáo này: -Học kỹ sử dụng Geogebra -Học kỹ sử dụng Latex để viết code báo cáo tập lớn -Học kỹ làm việc nhóm hiệu -Tìm hiểu hệ tọa độ 12 BLT Giải tích Nhóm 14 NGUỒN TÀI LIỆU THAM KHẢO -Polar System, phần 9.4, 9.5, Soo T Tan Single variable- Calculus early transcendentals - Đại cương giải tích HAI HÌNH ẢNH ĐOẠN CODE VẼ TỌA ĐỘ BẰNG GEOGEBRA Hình 8: Ví dụ Câu Hình 9: Ví dụ Câu 13