Tiểu luận hệ tọa độ cực

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ Đề tài HỆ TỌA ĐỘ CỰC ểu Ti ận lu ôn m c họ Giảng viên: Nguyễn Vũ Thụ Nhân Nhóm thực hiện: Nguyễn Bình An Trần Thị Vĩnh Đào Trần Gia Linh Tp HCM, 2016 LỜI NGỎ Tọa độ điểm số đặc trưng cho vị trí điểm mặt phẳng, không gian Tọa độ gắn liền với hệ tọa độ xác định bao gồm gốc tọa độ trục tọa độ Từ trước đến nay, ta thường quen với hệ tọa độ Decartes tức hệ tọa độ xác định vị trí điểm mặt phẳng cho trước dựa vào cặp số tọa độ (x;y) hay (x;y;z).Tuy nhiên, thực tế, số trường hợp, ta cần sử dụng đến số hệ tọa độ khác, bao gồm hệ tọa độ cực Hệ tọa độ có ưu điểm lớn khảo sát đường cong xuất mối quan hệ đặc biệt với gốc tọa độ Ti ểu Ngoài ra, hệ tọa độ cực hệ tọa độ đủ thú vị, đặc biệt vấn đề khảo sát hàm số để nhiều người phải say mê với ận lu Mặc khác, tri thức mà hệ tọa độ cực đem lại cho thú vị ,bổ ích cần thiết Những tri thức vận dụng để nghiên cứu, giải đáp số tập cách dể dàng so với nhiều phương pháp khác hay ứng dụng số lĩnh vực thiết thực hàng hải, thiên văn, m ơn Chính lý mà nhóm định chọn “ Khảo sát hàm số hệ tọa độ cực” làm đề tài tiểu luận c họ Trong trình thực hiện, nhóm cịn nhiều thiếu sót Mong nhận góp ý từ thầy HỆ TỌA ĐỘ CỰC Ngoài tọa độ Descartes thường gặp chương trình học phổ thơng hệ tọa độ cực công cụ giúp ta giải số tốn mà hệ Descartes khó giải Hệ tọa độ cực hữu ích trường hợp quan hệ hai điểm viết dạng góc khoảng cách I.ĐỊNH NGHĨA Hệ tọa độ cực hệ tọa độ chiều, điểm biểu diễn bẳng thành phần: ểu Ti Khoảng cách từ điểm đến gốc O (gốc cực) gọi bán kính Góc tạo đường thẳng từ O đến điểm với hướng gốc cho trước (trục cực) Bán kính hướng: ận lu Cụ thể: Khi xét tọa độ điểm M hệ tọa độ cực hình ta dựa vào bán OM góc định hướng kính véctơ ⃗ OM trục Ox tức góc θ ơn m -Bán kính tính tỉ lệ dài, tập hợp điểm có bán kính biểu diễn mặt phẳng cực đường tròn đồng tâm gốc tọa độ O Ví dụ: r =7 c họ -Hướng đo độ radian, chiều tăng hướng chiều ngược chiều kim đồng hồ, tập hợp điểm có hướng đường thẳng qua gốc tọa độ tạo với trục Ox góc θ Ở ta xét số đo hướng radian Ví dụ: θ= π ểu Ti ận lu m +Lưu ý: ôn -Khác với hệ tọa độ Descartes điểm xác định cặp giá trị (x ; y), hệ tọa độ cực điểm P có nhiều cách xác định ứng với giá trị θ tăng giảm π (3600 ) so với giá trị ban đầu: P ( r ;θ ) → P(r ; θ ± π ) họ c -Trong tọa độ cực tồn bán kính âm, ta chuyển bán kính dương cách tăng giảm θ π rad (1800 ) từ hướng cũ đổi dấu r : P ( r ;θ ) → P(−r ; θ ± π ) π +Ví dụ: Tìm tất tọa độ cực cho điểm P(1 ; ) ( -Với lưu ý 2, cách biểu diễn khác tọa độ cực P P −1 ; -Sử dụng lưu ý ta tìm họ giá trị tọa độ cực P là: π −5 π P ; +k π hay P −1 ; + p2π ; k , p∈Z 6 ( ) ( ) −5 π ) Mối liên hệ với hệ tọa độ Descartes: ểu Ti Ta rút mối liên hệ giá trị x , y r , θ: lu { ận { r =x + y x=rcosθ ⇔ y y=rsinθ tanθ= x m +Ví dụ: ơn π 1.Chuyển P(4 ; ) từ tọa độ cực thành tọa độ Descartes họ π x=rcosθ=4 cos =2 Ta có: π y=rsinθ=4 sin =2 √ 3 c { ⇒ P (2; √ 3) 2.Chuyển A ( ;−1 ) từ tọa độ Descartes sang tọa độ cực 2 2 r =√ r= √ x + y =√ ( ) + (−1 ) =√ ⇒ −π Ta có: y −1 θ= tanθ= = =−1 x { ⇒A { (√ 2; −π4 ) giá trị tọa độ cực A(1 ;−1) 3.Chuyển phương trình x=1 sang tọa độ cực Ta có: x=1⇔ rcosθ=1 ⇔ r= cosθ 4.Chuyển phương trình y=x sang tọa độ cực Ta có: tanθ 2 y=x ⇔ rsinθ=( rcosθ ) ⇔ r= cosθ II.MỘT VÀI VÍ DỤ VỀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ TRONG TỌA ĐỘ CỰC 1.Đường thẳng ax +by +c =0 ⇔ a rcosθ+b rsinθ+c=0 ⇔ r= −c a cosθ+ bsinθ Ti +Đặc biệt đường thẳng qua gốc tọa độ: θ=c ,c ∈ R ểu 2 2.Đường tròn ( x−x ) + ( y − y ) =R ⇔ r=asinθ +bcosθ lu +Đặc biệt đường trịn có tâm gốc tọa độ: r =c ,c ∈ R ận Ngồi cịn có đường cong lạ mắt có phương trình chúng hệ Descartes phức tạp hệ tọa độ cực lại đơn giản như: m 3.Đường xốy ốc – Đường Archimede r =aθ ơn c họ 4.Đường LEMNISCAT :r =√ asin2 θ r =√ acos θ ểu Ti lu ận 5.Đường hình tim – Đường Cardioide: r =a(1+ cosθ) ôn m c họ 6.Các đường hình hoa: r =c+ asin ( nθ ) r =c+ acos ⁡(nθ), n>1 ểu Ti ận lu sinθ ( θ−π 24 ) c họ −2 cos θ−si n ơn m 7.Đường hình bướm: r =e III KHẢO SÁT HÀM SỐ TRONG TỌA ĐỘ CỰC 1.Các tính chất đối xứng : a.Đối xứng qua Ox: Nếu hàm số chẵn: r (−θ ) =r ( θ ) ⇒ (r ; θ) thuộc đồ thị (r ;−θ) thuộc đồ thị ⇒ Đồ thị đối xứng qua Ox Ví dụ: r =2 cosθ Ti ểu b.Đối xứng qua Oy: Nếu hàm số lẻ r (−θ ) =−r (θ) ⇒(r ; θ) thuộc đồ thị (−r ;−θ) thuộc đồ thị r =2 sinθ ận Ví dụ: lu ⇒ Đồ thị đối xứng qua Oy ôn m c họ c.Đối xứng tâm: Nếu (r ; θ) thuộc đồ thị (r ; θ+ π ) Ví dụ: r =± √ tanθ cosθ 2.Các bước khảo sát + Tìm miền xác định -Trong hệ tọa độ cực hay xảy trường hợp hàm số khảo sát tuần hồn Do ta có số nhận xét tính tuần hồn sau: T r =r (θ) Hàm số tuần hoàn với chu kì khảo sát , qua đồ thị lần góc T khơng sinh nhánh đồ thị đường cong r =r (θ) Nếu hàm số lẻ r (−θ ) =−r (θ): đồ thị đối xứng qua Oy Nếu hàm số chẵn r (−θ ) =r (θ): đồ thị đối xứng qua Ox + Tính đạo hàm r’, vẽ bảng biến thiên ểu Ti r Để phục vụ việc vẽ đồ thị, tính tan v= ' , với v góc tia bán kính tiếp tuyến r điểm khảo sát tan v=0 : tiếp tuyến trùng bán kính lu tan v=∞: tiếp tuyến vng góc bán kính θ ' ôn m r r tan v ận BBT họ Ví dụ: a.Khảo sát hàm số r =sin 2θ [ −π π ; 2 c MXĐ: D=R Ta có r =sin 2θ hàm số lẻ đồ thị đối xứng qua Oy.Và có chu kì T =π ⇒ khảo sát ] π ' Có: r ' =2 cos θ, r =0 ⇔ θ=± BBT 10 ểu Ti Do r =sin 2θ hàm lẻ, lấy đối xứng qua Oy ta được: ận lu ôn m c họ 11 b.Khảo sát hàm số r =2+ cosθ MXĐ: D=R Ta có r =2+ cos θ hàm số chẵn khảo sát [ ; π ] đồ thị đối xứng qua Ox.Và có chu kì T =2 π ⇒ Có: r ' =−4 sinθ , r ' =0 ⇔ θ=0 ∨θ=π BBT ểu Ti ận lu ôn m c họ Lấy đối xứng qua Ox ta được: 12 IV.ỨNG DỤNG CỦA HỆ TỌA ĐỘ CỰC 1.Trong toán học -Trong số trường hợp, chuyển sang tọa độ cực phép tính tích phân đơn giản cận lẫn công thức tính tích phân Một ứng dụng điển hình dùng tích phân để tính diện tích hình phẳng Cơng thức tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong r =r (θ ) tia θ=α , θ=β là: β S= ∫ r ( θ ) dθ 2α +Ví dụ: tính diện tích giới hạn đường Cardioide: r =a(1+ cosθ) Ti Đạo hàm r ' =−asinθ đổi dấu θ=π nên diện tích ểu | π 2π | π π π sin 2θ π a2 π 1+cos θ 2 ( ) ¿ a θ+2 sinθ + = 1+2 cosθ+ co s θ dθ=a 1+2 cosθ+ dθ ∫ ∫ 0 ( ận ¿a lu 1 2 2 2 S= ∫ a (1+ cosθ ) dθ− ∫ a ( 1+ cosθ ) dθ =∫ a ( 1+ cosθ ) dθ 2 π ) (2 ) m 2.Trong lĩnh vực hàng hải thiên văn ôn +Trong hàng hải:Các nhà hàng hải quân đội sử dụng mặt phẳng tọa độ u thích nhà tốn học Bán kính gọi phạm vi, đơn vị thực tế thường ghi rõ, mét (m) hay ki-lơ-mét (km) Góc hay hướng gọi góc phương vị, vị trí, hay phương hướng, đo độ từ hướng Bắc theo chiều kim đồng hồ Góc phương vị ký hiệu 𝛼 (chữ Hy Lạp cổ), phạm vi ký hiệu 𝑟 Vị trí điểm xác định cặp số (𝛼, 𝑟) c họ +Trong thiên văn: Nhà thiên văn học Hipparchus (190-120 TCN) lập bảng hàm dây cung cho biết chiều dài dây cung cho góc Có tài liệu cho ơng sử dụng tọa độ cực để thiết lập vị trí thiên hà TÀI LIỆU THAM KHẢO 13