Hàm Cung và hàm Cầu biểu diễn sự phụ thuộc của lượng cung và lượng cầu một loại hàng hóa vào giá của hàng hóa đó trong điều kiện các yếu tố khác không đổi.. Quy luật thị trường trong kin
Bài giảng Tốn cao cấp II 2019-2020 BỘ MƠN TỐN HỌC – TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦY LỢI Bài giảng Toán cao cấp II - BÀI HÀM MỘT BIẾN I CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Định nghĩa hàm biến: Cho D R, D Hàm f ( x) quy tắc cho tương ứng với x D cho trước với số thực Ký hiệu f :Dℝ x ֏ y f ( x) Khi x gọi đối số hay biến độc lập D gọi tập xác định f ( x) Số f ( x) gọi giá trị f x Tập f ( X ) y ℝ y f ( x), x X gọi tập giá trị f ( x) Một số phương pháp xác định hàm số - Hàm số cho biểu thức giải tích - Hàm số xác định khúc: x2 x 1 Ví dụ: f ( x ) 2 x x - Hàm ẩn: y hàm x xác định phương trình F ( x, y ) Khi y gọi hàm ẩn x Hàm số đơn điệu Cho hàm số f ( x) xác định khoảng I f ( x) gọi tăng I a, b I mà a b f (a) f (b) f ( x) gọi giảm I a, b I mà a b f (a) f (b) f ( x) gọi không tăng I a, b I mà a b f (a) f (b) f ( x) gọi không giảm I a, b I mà a b f (a) f (b) Chú ý: Hàm tăng (giảm) hàm đồng biến (nghịch biến) gọi chung hàm đơn điệu II HÀM NGƯỢC Hàm 1-1 Định nghĩa: Một hàm gọi tương ứng 1-1 tập xác định tập giá trị (gọi tắt hàm 1-1) với x1 , x2 mà Bài giảng Tốn cao cấp II - x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) Ví dụ Xét hàm số sau xem có phải hàm 1-1 không: a, g ( x) x3 b, f ( x ) x Nhận xét: Hàm đơn điệu hàm 1-1 Một hàm hàm 1-1 đường thẳng song song với 0x cắt đồ thị hàm số điểm Hàm ngược Định nghĩa Cho f ( x) hàm 1-1 với tập xác định A tập giá trị B Khi hàm ngược f 1 ( x ) hàm có tập xác định B, tập giá trị A f 1 ( x) xác định sau f 1 ( y ) x f ( x ) y, y B Chú ý: Không nhầm lẫn f 1 ( x) với f ( x) x A y f ( x) f 1 ( y ) f 1 ( f ( x)) x Ví dụ Tìm hàm ngược hàm a, f ( x) x b, y 1 x Một số hàm ngược hàm biết a Hàm y a x có hàm ngược hàm y log a x b Hàm y sin x : , 1,1 , 2 có hàm ngược y sin 1 x : 1,1 , 2 Ta ký hiệu sin 1 x arcsin x Ta có y sin 1 x x sin y c Hàm y cos x : 0, 1,1 , có hàm ngược y cos 1 x : [-1; 1] 0, Ta ký hiệu cos 1 x arccos x [f ( x)]1 f ( x) Bài giảng Toán cao cấp II - Ta có y cos 1 x x cos y d Hàm y tan x : , R hàm 1-1 có hàm ngược y tan 1 x : 2 R , Ta ký hiệu tan 1 x arctan x 2 e Hàm y cot x : 0, R hàm 1-1, có hàm ngược y cot 1 x : R 0, Ta ký hiệu cot 1 x arccot x y cot 1 x x cot y III CÁC HÀM SỐ TRONG KINH TẾ Hàm Cung hàm Cầu biểu diễn phụ thuộc lượng cung lượng cầu loại hàng hóa vào giá hàng hóa điều kiện yếu tố khác không đổi Qs S ( p ) , Qd D ( p ) Quy luật thị trường kinh tế: Hàm cung hàm đồng biến theo P, hàm cầu hàm nghịch biến theo P Giao điểm hai đường gọi điểm cân thị trường Hàm sản xuất Q: Q f ( L) với Q lượng sản phẩm, L lao động Hàm doanh thu: R R (Q) Doanh thu = Giá bán x số sản phẩm bán Hàm chi phí C C (Q) Chi phí = Chi phí cố định + chi phí biến động Chi phí cố định chi phí thuê mặt bằng… Chi phí biến đổi = giá mua x Số sản phẩm Hàm lợi nhuận: Lợi nhuận = Doanh thu – Chi phí (Q) R(Q) C (Q) Ví dụ: Một quán bún bình dân có chi phí sau: Mặt 250.000đ/ngày Bún 1.500đ/tơ Gia vị 1.000đ/tơ Bài giảng Tốn cao cấp II - Thịt 10.000/tơ Nhân viên 2.500đ/tơ Qn bán với giá 25.000 đồng tơ Hãy tính xem qn bán tơ ngày có lãi Một hãng cho th xê tơ với giá 10.000/km quãng đường không 100km Nếu quãng đường vượt 100km giá thuê tăng thêm 3.500 nghìn/km Gọi x số km xe thuê chạy hàm C(x) chi phí thuê xe Hãy xây dựng hàm chi phí C(x) vẽ đồ thị Bài giảng Toán cao cấp II - BÀI DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN I- BÀI TOÁN LÃI ĐƠN, LÃI GỘP Bài toán lãi đơn Nếu ta cho vay số tiền v0 , lãi suất kỳ r Cuối kỳ lãi rút ra, gọi lãi đơn Hỏi sau n kỳ số tiền có bao nhiêu? Số tiền có sau n kỳ v0 v0 nr Ví dụ: Một người cho vay 10 triệu đồng với lãi suất 1%/ tháng theo hình thức lãi đơn sau năm tháng, tổng số tiền thu bao nhiêu? Bài toán lãi gộp Nếu ta cho vay số tiền v0 với lãi suất kỳ r Cuối kỳ lãi nhập vào vốn để tạo thành vốn tính lãi cho kỳ sau (gọi lãi gộp lãi kép) Hỏi sau n kỳ số tiền có bao nhiêu? Số tiền có sau n kỳ v0 (1 r ) n Chú ý: Lãi suất r/ kỳ đổi qua kỳ khác Chẳng hạn, r = 7%/năm ta có: Lãi suất theo kỳ nửa năm: r % /nửa năm Lãi suất theo kỳ quý: r % /quý Lãi suất theo kỳ tháng: r % /tháng 12 Ví dụ: a Nếu người cho vay số tiền 1000USD với lãi gộp 8%/ năm tính theo q sau năm số tiền người có bao nhiêu? b Một người có 500 triệu đồng gửi ngân hàng sau năm thu 588,38 triệu với lãi gộp định kỳ nửa năm Tìm lãi suất c Nếu lãi gộp 6%/ năm, tính theo q cho vay 600 triệu sau thu toàn giá trị 900 triệu d Nếu muốn sau năm nhận khoản tiền tiết kiệm tỷ đồng với lãi suất 9%/ năm, tính theo tháng cần gửi vào tiền? II GIỚI HẠN Định nghĩa Ta nói dãy an có giới hạn L viết lim an L 0, N N * cho n Bài giảng Toán cao cấp II - an L n N Tính chất + Nếu an có giới hạn giới hạn + Mọi dãy hội tụ bị chặn + Bảo toàn thứ tự Các phép tính giới hạn Nếu dãy an có lim an tồn số thực dãy gọi hội tụ Ngược lại dãy n phân kỳ Nếu xn , yn dãy hội tụ lim( xn yn ) lim xn lim yn n n n lim( xn yn ) lim xn lim yn ; n lim n n n xn xn lim n (lim yn 0) yn lim yn n n II GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ Các định nghĩa Định nghĩa 1: Hàm số f ( x) có giới hạn L x x0 dãy xn mà xn x0 lim f ( xn ) L n Định nghĩa 2: Giả sử hàm f ( x) xác định lân cận điểm x0 , trừ điểm x0 Ta nói lim f ( x) L với , tồn cho x mà x x0 x x0 f x a Giới hạn phía Q trình x x0 phía bên phải tức x x0 x x0 ký hiệu x x0 Giới hạn hàm số x x0 gọi giới hạn phải kí hiệu lim f ( x) x x0 Quá trình x x0 phía bên trái tức x x0 x x0 ký hiệu x x0 Giới hạn hàm số x x0 gọi giới hạn trái kí hiệu lim f ( x) x x0 Định lý: Giới hạn hàm số tồn tồn giới hạn trái, giới hạn phải hai giới hạn Bài giảng Tốn cao cấp II - Ví dụ: Tính giới hạn lim x 0 x x Các tính chất giới hạn - Tính - Tính bị chặn - Tính bảo tồn thứ tự - Các phép tốn giới hạn Nếu lim f ( x) a ; lim g ( x ) tồn hữu hạn xa xa lim( f ( x) g ( x )) lim f ( x) lim g ( x ) ; x a xa xa lim f ( x ) g ( x ) lim f ( x) lim g ( x) x a lim x a xa f ( x) f ( x ) lim x a g ( x) lim g ( x) xa lim g ( x) x a xa - Nếu lim x =u0 f (u0 ) xác định lim f [ x ]= f lim x - Nếu lim f ( x) g ( x) hàm bị chặn lim f ( x).g ( x) - Nếu f ( x) hàm sơ cấp lim f ( x) f ( a) xa xa xa Ví dụ: Tính lim x sin x0 x Giới hạn 4.1 lim x 0 sin x sin ( x) Tổng quát lim ( x) lim 1 x a x a x ( x) Ví dụ: Tính giới hạn sin(5 x 10) x 2 sin(2 x ) a lim b lim x sin x x u 1/ u 1 4.2 lim lim 1 u e u u u Ví dụ: Tính giới hạn x3 a lim x x III 2x b lim 1 sin x x x0 VÔ CÙNG BÉ – VÔ CÙNG LỚN Định nghĩa Hàm số f ( x) gọi vô bé (VCB) x a lim f ( x) xa Bài giảng Toán cao cấp II - Hàm f ( x ) gọi vô lớn (VCL) x a lim f ( x) x a Tính chất: Tổng hai VCB VCB Tích VCB hàm bị chặn VCB Tích hai VCL VCL lim f ( x) L f ( x) L VCB x a Nếu f ( x) VCB f ( x ) Nếu f ( x) VCL VCL f ( x) VCB f ( x) Nếu lim f ( x) A f ( x) A ( x) với ( x) VCB xa VCB tương đương Cho ( x) ( x) VCB x a lim xa ( x) L ( x) Nếu L ( x) VCB cấp cao ( x ) ký hiệu ( x) ( x) Nếu L (L hữu hạn) ( x) ( x) hai VCB cấp ký hiệu ( x) O( ( x)) Đặc biệt, L ( x) ( x) hai VCB tương đương ký hiệu ( x) ∼ ( x ) Một số cặp VCB tương đương (cần ghi nhớ): Khi x 0: sin x ∼ x , tan x ∼ x , arcsin x x , arctan x x , cos x x2 , log a (1 x) ∼ x ln a , ex 1 x Chú ý: 1 ( x) ∼ 1 ( x) ( x) ∼ ( x ) 1 ( x) ( x) ∼ 1 ( x) ( x) Quy tắc thay VCB tương đương Nếu x a , ta có hai cặp VCB tương đương: f ( x) ∼ f *( x ) , g ( x) ∼ g *( x) tồn lim x a f * ( x) f ( x) f * ( x) lim lim x a g ( x) x a g *( x ) g * ( x) Ví dụ Tìm giới hạn sau: a IV e2 x x ln(1 x ) lim HÀM SỐ LIÊN TỤC Khái niệm hàm số liên tục b lim x 0 ln(1 tan x) x sin x Bài giảng Toán cao cấp II - Định nghĩa 1: Hàm số f ( x) gọi liên tục a hàm số f ( x) xác định a lim f ( x) f (a ) x a Định nghĩa 2: Hàm số f ( x) gọi liên tục phải (trái) a f ( x) xác định a Và lim f ( x) f ( a ) ( lim f ( x) f ( a ) ) xa xa Định nghĩa 3: Nếu hàm f ( x) khơng liên tục a, ta gọi a điểm gián đoạn f ( x) f ( x) gián đoạn a Định nghĩa 4: f ( x ) liên tục / (a, b) f ( x) liên tục x (a, b) f ( x) liên tục [a, b] f ( x) liên tục (a,b) , f ( x) liên tục phải a, f ( x) liên tục trái b Ví dụ: Xét tính liên tục hàm số a, y x x x 1 b, f ( x) 3 ax Tính chất + Tổng, hiệu, tích thương hai hàm liên tục liên tục + Hàm hợp hàm liên tục liên tục + Các hàm sơ cấp liên tục điểm thuộc miền xác định x 1 x 1 Bài giảng Toán cao cấp II - Nếu y ( x ) ( a) hàm f ( x) gọi khơng co giãn a (phản ứng chậm thay đổi biến số) Ví dụ a Giả sử hàm cầu loại hàng hóa cho sau: Qd 600 P Tìm hệ số co giãn Qd P =100, P = 200 Nêu ý nghĩa kinh tế b.Cho hàm cầu Q 60 ln(65 P ) P - xác định hệ số co giãn P - Nếu giá giảm từ la cịn 3.92 la lượng bán thay đổi phần trăm Quyết định tối ưu Một số tốn kinh tế có mục đích tối ưu hóa hàm mục tiêu Hầu hết đưa tốn tìm giá trị lớn - nhỏ Ta thiết lập tốn tối ưu: + Tìm P để Q đạt tối đa + Tìm P Q để doanh thu đạt tối đa + Tìm Q để mức chi phí đạt tối thiểu Ví dụ a.Số vé bán hãng xe buýt Q 10.000 125P , P giá bán vé Tìm mức giá để doanh thu đạt tối đa b.Gọi Q lượng hàng dự trữ mặt hàng siêu thị chi phí để lưu trữ C (Q ) 4860 15Q 750.000 Tìm Q để mức chi phí lưu trữ tối thiểu Q Bài giảng Toán cao cấp II - BÀI HÀM NHIỀU BIẾN SỐ I KHÁI NIỆM VỀ HÀM HAI BIẾN Định nghĩa Cho D R Hàm hai biến f ( x, y ) quy tắc ứng cặp số thực ( x, y ) tập D ta tìm số thực z f ( x, y ) Miền xác định f ( x, y ) miền D cho biểu thức f ( x, y ) có nghĩa Ví dụ Tìm vẽ miền xác định hàm số f ( x, y ) x y 1 x 1 Đồ thị hàm số: G ( x, y, z ) z f ( x, y ), ( x, y ) D đồ thị f ( x, y ) xác định D Đồ thị hàm hai biến mặt cong không gian Một số hàm hai biến phân tích kinh tế a.Hàm sản xuất: Là hàm mô tả mối quan hệ phụ thuộc sản lượng vào vốn lượng lao động: Q f ( L, K ) b.Hàm chi phí, hàm tổng doanh thu, hàm lợi nhuận - Hàm tổng chi phí tính theo sản lượng: TC TC (Q) , với Q f ( L, K ) - Hàm tổng doanh thu: TR P.Q P giá thị trường đơn vị sản phẩm - Tổng lợi nhuận: TR TC II III GIỚI HẠN VÀ SỰ LIÊN TỤC( SGK) ĐẠO HÀM RIÊNG Khái niệm đạo hàm riêng Cho hàm số z f ( x, y ) xác định D điểm ( x, y ) D Đạo hàm riêng hàm f ( x, y ) theo biến x ký hiệu f f x ( x, y ) x f f ( x x, y ) f ( x, y ) ( x, y ) lim giới hạn tồn hữu hạn x 0 x x Đạo hàm riêng hàm f ( x, y ) theo biến y ( x, y ) ký hiệu f f y ( x, y ) y f f ( x, y y ) f ( x, y ) ( x, y ) lim giới hạn tồn hữu hạn y y y Nhận xét: Từ định nghĩa ta thấy, tìm đạo hàm hàm số theo biến biến cịn lại coi số Ví dụ Tính đạo hàm riêng hàm số sau Bài giảng Toán cao cấp II - a f ( x, y ) e x y x y b f ( x, y ) x tan 1 ( x y ) Đạo hàm riêng hàm hợp a Nếu hàm z f ( x, y ) , với x x(t ) , y y (t ) dz z dx z dy dt x dt y dt b Nếu z f ( x, y ) y y ( x) ta có dz z z dy dx x y dx Nếu w f ( x, y ) x x (t , u ) , y y (t , u ) c w w x w y t x t y t w w x w y u x u y u Ví dụ: i x t z dz Cho z x y với Tính x dt y ln t ii Cho z x y với y sin 1 x Tìm iii Tìm dz dx w w , với w x y , x t u , y 2tu u t Đạo hàm riêng hàm ẩn a Hàm ẩn biến đạo hàm hàm ẩn Cho hệ thức F ( x, y ) (1) Nếu x D , từ (1) tìm nghiệm y, ta nói ta có y hàm ẩn x Khi yx Fx Fy Ví dụ Tính y với y xác định e y x y b Hàm ẩn hai biến Cho hệ thức F ( x, y, z ) Nếu ( x, y ) D , từ hệ thức tìm nghiệm z, ta có z ( x, y ) hàm ẩn Khi z x Fy Fx , zy Fz Fz Ví dụ Tìm z x , z y biết hàm z xác định ln xz z ln x y IV VI PHÂN TOÀN PHẦN Khái niệm Bài giảng Toán cao cấp II - Cho hàm số f ( x, y ) xác định D, ( x, y ) D Số gia toàn phần f f ( x x, y y ) f ( x, y ) Hàm f ( x, y ) f Ax By gọi khả vi tồn hai số A, B cho x y Nếu hàm số xác định D có đhr liên tục ( x, y ) D A f x ( x, y ); B f y ( x, y ) Định nghĩa: Biểu thức f x ( x, y ) x f y ( x, y ) y ) gọi vi phân toàn phần hàm f ( x, y ) ( x, y ) ký hiệu df ( x, y ) df f x ( x, y ) dx f y ( x, y ) dy Ví dụ: Tính vi phân toàn phần hàm số a) f ( x, y ) x2 y2 2 b f ( x, y ) e xy Tìm df (1, 2) x y cos y Đạo hàm riêng cấp cao, vi phân toàn phần cấp cao a Đạo hàm riêng cấp cao Đạo hàm riêng đạo hàm riêng cấp goi đạo hàm riêng cấp Đạo hàm riêng đạo hàm riêng cấp n đạo hàm riêng cấp n Ký hiệu đạo hàm riêng cấp z z f xx x x x z z f xy y x yx z z f yx x y xy z z f yy y y y Định lý: Hàm z f ( x, y ) có đạo hàm riêng hỗn hợp liên tục chúng Ví dụ: Tính đạo hàm riêng cấp z f ( x, y ) tan 1 x y Ví dụ: Cho hàm ẩn z f ( x, y ) xác định x y z e z Tìm z xx , z yy b Vi phân toàn phần cấp cao Vi phân toàn phần cấp d f d ( df ) Vi phân toàn phần cấp n d n f d ( d n 1 f ) Ví dụ: Tính vi phân tồn phần cấp hàm hai biến Bài giảng Toán cao cấp II V - ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Giá trị cận biên theo biến Xét hàm sản xuất Q f ( L, K ) QL , QK giá trị cận biên Q theo L, K QL ( L0 , K ) mô tả thay đổi sản lượng lượng lao động tăng từ L0 lên L0 với điều kiện K cố định Tương tự cho mơ hình kinh tế khác Ví dụ Cho hàm cầu Q 100000 0.5 P12 P22 0.4 P32 Tìm giá trị cận biên theo mức giá nêu ý nghĩa kinh tế Hệ số co giãn theo biến Xét hàm số z f ( x, y ) , với y y0 Nếu x thay đổi từ x0 đến x0 x x gọi độ thay đổi tuyệt đối biến x Độ thay đổi tuyệt đối hàm theo biến x ( x0 , y0 ) f ( x0 , y0 ) f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) f ( x0 , y0 ) x , gọi độ thay đổi tương đối f ( x0 , y0 ) x0 Giới hạn lim x f ( x0 , y0 ) x : gọi hệ số co giãn hàm f theo biến x ( x0 , y0 ) f ( x0 , y0 ) x0 Ký hiệu x ( x0 , y0 ) f ( x0 , y0 ) x x0 : f x( x0 , y0 ) x 0 f ( x , y ) x0 f ( x0 , y0 ) 0 Ta có lim Ý nghĩa kinh tế: mơ tả độ thay đổi (tính theo đơn vị %) biến z biến x thay đổi 1% biến y không đổi Tương tự, ta có y ( x0 , y0 ) Ví dụ Xét hàm cầu Q 10000 0.1P1 P2 Tìm hệ số co giãn Q theo P2 (50, 80) Nêu ý nghĩa kinh tế Bài giảng Toán cao cấp II - BÀI CỰC TRỊ TỰ DO Định nghĩa Cho z f ( x, y ) hàm xác định D R Điểm (a, b) D gọi điểm cực đại (cực tiểu) tồn lận cận V (a, b) cho f ( x, y ) f (a, b) f ( x, y ) f (a, b) , ( x, y ) V Khi f (a, b) gọi giá trị cực đại (cực tiểu) f ( x, y ) Điểm dừng: Điểm (a, b) D gọi điểm dừng hàm số tất đạo hàm riêng cấp f x Tọa độ điểm dừng nghiệm hệ f y Điều kiện cần để hàm đạt cực trị điểm Nếu hàm f ( x, y ) đạt cực trị (a, b) tồn đạo hàm riêng cấp điểm đó, f x (a, b) f y ( a, b) Điều kiện đủ a Trường hợp tổng quát Cho P điểm dừng P điểm cực đại d f ( P ) P điểm cực tiểu d f ( P ) b Điều kiện riêng cho hàm hai biến Định lý Cho hàm z f ( x, y ) có đạo hàm riêng cấp liên tục lân cận điểm dừng (a, b) Đặt A f xx (a, b); B f xy (a, b) ; C f yy (a, b) D AC B a Nếu D 0; A , (a, b) điểm cực đại b Nếu D 0; A , (a, b) điểm cực tiểu c Nếu D (a, b) điểm n ngựa Ví dụ Tìm cực trị hàm số a, z x xy y 10 x y b, z ( x, y ) x y xy Ứng dụng kinh tế Bài giảng Toán cao cấp II - Bài tốn Một cơng ty sản xuất hai loại sản phẩm điều kiện cạnh tranh hoàn hảo Gọi P1 , P2 giá tương ứng sản phẩm Sản lượng tương ứng Q1, Q2 Gọi C C (Q1 , Q2 ) tổng chi phí Hãy tìm mức sản lượng Q1, Q2 để lợi nhuận đạt tối đa Doanh thu công ty là: R PQ 1 P2 Q2 Hàm lợi nhuận là: R C Tìm Q1 , Q2 mà hàm đạt cực đại Ví dụ Một cơng ty sản xuất hai loại sản phẩm điều kiện cạnh tranh hoàn hảo Giá bán hai loại sản phẩm thị trường P1 450 , P2 630 Tổng chi phí để sản xuất hai loại sản phẩm cho biểu thức C Q12 Q1Q2 Q22 210Q1 360Q2 100 Hãy tìm mức sản lượng cho loại sản phẩm để cơng ty thu lợi nhuận tối đa Bài tốn Một doanh nghiệp sản xuất điều kiện độc quyền loại sản phẩm, loại sản phẩm tiêu thụ hai thị trường tách biệt Phân phối mức tiêu thụ sản phẩm cho thị trường giá bán tương ứng cho lợi nhuận đạt tối đa Ví dụ Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền loại sản phẩm tiêu thụ sản phẩm hai thị trường tách biệt Giả sử sản lượng thị trường xác định, sau: Q1 310 P1 , Q2 350 P2 Tổng chi phí C phụ thuộc vào mức sản lượng Q sau: C 200 30Q Q Tìm sản lượng loại giá bán tương ứng thị trường cho lợi nhuận doanh nghiệp đạt cực đại Bài giảng Toán cao cấp II - BÀI CỰC TRỊ CĨ ĐIỀU KIỆN Xét tốn: Tìm cực trị hàm z f ( x, y ) thỏa mãn điều kiện ràng buộc g ( x, y ) Phương pháp Giả sử f ( x, y ), g ( x, y ) hàm khả vi Rút y y ( x) từ g ( x, y ) thay vào f ( x, y ) Khi hàm f ( x, y ) thành hàm biến z f ( x, y ( x)) Ví dụ a.Tìm cực trị f ( x, y ) x y với điều kiện ràng buộc x y 10 b.Chi phí hãng sản xuất hai loại hàng x, y C ( x, y ) x xy y 1000 Tìm mức sản xuất x, y để chi phí đạt tối thiểu với điều kiện x y 200 Phương pháp nhân tử Lagrange Xét hàm: L f ( x, y ) g ( x, y ) gọi nhân tử Lagrange Hàm L( x, y, ) gọi hàm Lagrange Điều kiện cần Lx Nếu hàm f ( x, y ) với điều kiện g ( x, y ) , đạt cực trị M (a, b) hệ sau Ly có g ( x, y ) nghiệm (a, b, 0 ) Định lý (Điều kiện đủ) Giả sử hàm số f ( x, y ), g ( x, y ) có đạo hàm riêng cấp liên tục lân cận điểm (a, b) (a, b, 0 ) điểm dừng hàm Lagrange Nếu g x ( a, b) dx g y ( a, b) dy dx dy mà - d L (a, b, 0 ) (a, b) cực tiểu hàm f ( x, y ) với điều kiện ràng buộc - d L (a, b, 0 ) (a, b) cực đại hàm f ( x, y ) với điều kiện ràng buộc - d L(a, b, 0 ) không xác định dấu (a, b) khơng cực trị (a, b, 0 )dy Với d L(a, b, 0 ) Lxx (a, b, 0 )dx Lxy (a, b, 0 )dxdy Lyy 0 Xét ma trận H g x gy gx Lxx Lxy gy Lxy đạo hàm riêng tính giá trị (a, b, 0 ) Lyy Định lý Bài giảng Toán cao cấp II - Nếu det H , (a, b) điểm cực đại Nếu det H , (a, b) điểm cực tiểu Ví dụ: a.Tìm cực trị hàm f ( x, y ) x y với điều kiện ràng buộc x y 10 b.Tìm cực trị hàm f ( x, y ) xy với điều kiện ràng buộc x y 10 c.Một doanh nghiệp sản xuất cấp hạn ngạch sản xuất 200 đơn vị sản phẩm Để tiến hành sản xuất, doanh nghiệp cần hai loại nguyên liệu A B Đơn giá cho loại nguyên liệu A; B tương ứng 10 40 đơn vị tiền tệ Biết rằng, mua x đơn vị nguyên liệu A y đơn vị nguyên liệu B, sản xuất 10 xy sản phẩm Hỏi phải mua loại nguyên liệu với số lượng để có chi phí cho ngun liệu thấp Bài tốn tối đa hóa lợi ích Giả sử P1 , P2 giá hai mặt hàng x, y với tổng số tiền m Mục tiêu tối đa hóa hàm lợi ích u ( x, y ) với điều kiện P1 x P2 y m Bài giảng Toán cao cấp II - BÀI TÍCH PHÂN I TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH Định nghĩa nguyên hàm Ta nói F ( x) nguyên hàm f ( x) khoảng ( a, b ) F ( x) f ( x), x (a, b) Định lý Nếu F ( x) nguyên hàm f ( x) Hàm ( x) nguyên hàm f ( x) ( x) F ( x) c , c số Định nghĩa tích phân bất định Tập hợp tất nguyên hàm f ( x) gọi tích phân bất định f ( x) ký hiệu f ( x)dx Tính chất 1: Tính chất: f ( x)dx f ( x) d f ( x)dx f ( x)dx Tính chất 2: F ( x) dx dF ( x) F ( x) c Tính chất 3: af ( x) dx a f ( x) dx Tính chất 4: f ( x) g ( x) dx f ( x)dx g ( x)dx Tính chất 5: Nếu II f ( x)dx F ( x) C f (u )du F (u ) C CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN Bảng nguyên hàm dx x dx x cos x ln tan C sin x ln tan C a a dx x tan 1 C x a a dx ax ln C x 2a a x dx a x dx x a sin 1 x C a ln x x a C Bài giảng Tốn cao cấp II Ví dụ: Tính - x ln x dx x Đổi biến số Cách Đặt x x(t ) dx x(t )dt Khi Cách Đặt t t ( x) dt t dx Khi f ( x)dx f ( x(t )) x(t )dt f ( x)dx g (t ( x))t( x)dx g (t )dt Ví dụ Tính tích phân sau a b, e x e x 1dx x dx Tích phân phần Giả sử u ( x), v( x) hai hàm số có đạo hàm u( x), v( x) hàm liên tục khoảng K Ta có cơng thức tích phân phần udv uv vdu Ví dụ: Tính tích phân sau III a arctan xdx b x cos 3xdx TÍCH PHÂN CỦA MỘT SỐ DẠNG HÀM Tích phân hàm hữu tỷ Dạng P ( x) Q( x) dx , P( x), Q( x) đa thức Khi bậc tử lớn bậc mẫu, ta lấy tử chia cho mẫu P ( x) P( x) M ( x) Q( x) Q ( x) M ( x) đa thức P1 ( x) phân thức có tử có bậc nhỏ mẫu Q ( x) Khi bậc tử nhỏ bậc mẫu Khi tính P1 ( x) đưa đến loại tích phân đơn giản Q ( x) A x a dx A ln x a C Bài giảng Toán cao cấp II - A x a x x m dx A C, m m ( x a ) m 1 A dx ax b Ax B dx ax b Chú ý Khi mẫu số tam thức bậc khơng có nghiệm thực mà tử số tích phân có dạng tan 1 Nếu mẫu khơng có nghiêm mà tử bậc tách thành tích phân có tích phân có tử đạo hàm mẫu, tích phân có tử số Khi mẫu số có dạng lũy thừa ta phân tích thành hạng tử A B E m x a x a x a Ví dụ: Tính tích phân sau 3x dx x 3 a 2x b x dx x2 Tích phân hàm lượng giác Nếu R hàm chẵn sin x cos x đặt tan x t Nếu R hàm lẻ sin x đặt cos x t Nếu R hàm lẻ cos x đặt sin x t Ví dụ: Tính tích phân a sin x cos2 x dx ; b cos3 x sin x dx Tích phân số dạng hàm có chứa - Nếu tích phân có a x , đặt x a sin t - Nếu tích phân có a x , đặt x a tan t - Nếu tích phân có x a , đặt x Ví dụ Tính tích phân IV a sin t a x2 dx ; x TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Bài giảng Toán cao cấp II - Định nghĩa b f ( x)dx a n lim max xi f (c )x Khi ta nói hàm số i i f ( x) khả tích a, b i 1 Tính chất Các hàm giả thiết khả tích đoạn xét b a a f ( x)dx f ( x)dx b a f ( x)dx a Tính chất tuyến tính: Với , số thực, ta có b b b a a a f ( x) g ( x) dx f ( x)dx g ( x)dx Tính cộng tính: c (a, b) , ta có b c b a a c f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx Định lý (Công thức Newton – Leibnitz) Nếu f ( x) hàm liên tục a, b F ( x) nguyên hàm f ( x) b a b f ( x )dx F (b) F ( a ) f ( x)dx F ( x) a b a Bài giảng Toán cao cấp II - BÀI ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍCH PHÂN SUY RỘNG I Tích phân với cận vơ hạn Định nghĩa Giả sử f ( x) xác định [a, ) khả tích [a, t ] Ký hiệu t f ( x)dx lim f ( x) dx t a a Nếu giới hạn hữu hạn, ta nói tích phân suy rộng hội tụ, ngược lại phân kì b Tương tự, ta có b f ( x) dx lim f ( x) dx t t b f ( x)dx f ( x) dx f ( x) dx b Ví dụ Tích tích phân x a dx xe dx x b c Tìm k biết k 1 x dx Tích phân hàm không bị chặn Định nghĩa Giả sử f ( x) hàm xác định [a, b) , khả tích [a, t ], t b lim f ( x) x b b Đặt a t f ( x)dx lim f ( x) dx t b a b Nếu giới hạn tồn hữu hạn, ta nói tích phân suy rộng f ( x)dx a b Ngược lại ta nói tích phân f ( x)dx phân kỳ a b Tương tự, lim f ( x) xa a b f ( x) dx lim f ( x)dx t a Tương tự, lim f ( x) với c [a, b] x c t hội tụ Bài giảng Toán cao cấp II - b c b a a c f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx Tích phân vế trái hội tụ hai tích phân bên vế phải hội tụ Ví dụ Tính II dx x2 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Tìm hàm kinh tế từ hàm giá trị cận biên Ta có F ( x) MF ( x )dx Ví dụ: Tìm hàm cầu từ hàm doanh thu cận biên Nếu hàm giá trị cận biên doanh thu theo sản lượng loại sản phẩm MR 10000 Q Tìm hàm cầu Ví dụ: Tìm hàm chi phí từ hàm chi phí cận biên Nếu hàm giá trị cận biên chi phí theo sản lượng loại sản phẩm MC 1000 Q có chi phí cố định C f 10000 Tìm hàm chi phí Ví dụ: Nếu hàm giá trị cận biên lợi nhuận theo sản lượng loại sản phẩm M 5Q 500 bán 50 sản phẩm bị lỗ 13500 dơn vị tiền Tìm hàm lợi nhuận