Bài giảng Toán cao cấp 1

Tính chất Tính chất 1: det T detAA Một tính chất của định thức đã đúng khi phát biểu về hàng thì nó vẫn đúng nếu khi phát biểu cho cột.. Cách 2: Sử dụng các tính chất của định thức biế

Bài giảng tóm tắt Mơn Tốn cao cấp BỘ MƠN TỐN – TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦY LỢI Bài giảng tóm tắt Mơn Tốn cao cấp Bài 1: MA TRẬN Nội dung chính: ♦ Khái niệm ma trận ♦ Các phép toán ma trận 1|P a g e Bài giảng tóm tắt Mơn Tốn cao cấp I CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Định nghĩa ma trận Ma trận cấp mn bảng hình chữ nhật có m hàng, n cột chứa số giá trị phần tử Kí hiệu: Am×n 2|P a g e Bài giảng tóm tắt Mơn Tốn cao cấp Am×n Trong đó:  a a a  1n   11 12  a a a  21 22 2n   =     a a a  mn   m m  aij - phần tử nằm hàng thứ i, cột thứ j ma trận  a a a  - hàng thứ i  i i2 in  3|P a g e Bài giảng tóm tắt Mơn Tốn cao cấp a   1j  a   2j    - cột thứ j          amj  Ký hiệu khác Am ×n (aij )m×n Cịn m × n gọi cỡ (hay cấp) ma trận 4|P a g e Bài giảng tóm tắt Mơn Toán cao cấp Một số ma trận đặc biệt +) Ma trận vuông cấp n ma trận có số hàng số cột  a a a  1n   11 12  a a a  2n  An =  21 22     a a a  nn   n1 n2  n×n 5|P a g e Bài giảng tóm tắt Mơn Tốn cao cấp Các phần tử aii , i = 1, n lập nên đường chéo +) Ma trận tam giác ma trận vng có tất phần tử phía đường chéo  a a a  1n   11 12  a a  22 2n   ⋮⋮⋱⋮     a   nn    6|P a g e Bài giảng tóm tắt Mơn Tốn cao cấp +) Ma trận tam giác a  11 a  21 a22  ⋮ ⋮  a  n1 an1 7|P a g e ⋯  ⋯  ⋱ ⋮  ⋯ ann   Bài giảng tóm tắt Mơn Tốn cao cấp +) Ma trận đường chéo ma trận vng có tất phần tử ngồi đường chéo a  11 0 a 22   ⋮ ⋮  0  8|P a g e ⋯  ⋯  ⋱ ⋮  ⋯ ann   Bài giảng tóm tắt Mơn Tốn cao cấp +) Ma trận đơn vị I ma trận đường chéo mà tất phần tử đường chéo 1  0  ⋮  0  9|P a g e ⋮ ⋯ ⋯ ⋱ ⋯   ⋮    Bài giảng tóm tắt Mơn Tốn cao cấp Dạng tắc dạng tồn phương: Định nghĩa: Dạng tắc dạng tồn phương ℝ n chứa bình phương biến: Q(x)  a1 x12  a2 x22   am xm2 Ma trận dạng tắc có dạng:  a1 0 a  A      140 | P a g e am 0 0      Bài giảng tóm tắt Mơn Tốn cao cấp Đưa dạng toàn phương dạng tắc: a Phương pháp Lagrange Cho dạng tồn phương n n Q(x)   aij xi x j   aii xi2  i 1 j 1  aij xi x j , aij  a ji 1i  j  n Trường hợp 1: Q(x) có aii  , giả sử a11  : Bước 1: Gom tất số hạng Q(x) chứa x1 sau biến đổi thành tổng bình phương đủ Khi Q(x) có dạng: Q(x)  (a11x1  a12 x   a1n x n )  Q1 (x , , x n ) a11 141 | P a g e (1) Bài giảng tóm tắt Mơn Tốn cao cấp Q1 (x , , x n ) dạng toàn phương n – biến x , , x n (khơng có x1 ) Bước 2: Đặt biến mới: y1  a11x1  a12 x   a1n x n y2  x2 , , yn  xn y1  Q1 (y , , y n ) Với biến Q  a11 Bước 3: Bằng cách tương tự, biến đổi dạng toàn phương n-1 biến Q1 (y) Tiếp tục sau số hữa hạn bước ta đưa Q dạng tắc 142 | P a g e Bài giảng tóm tắt Mơn Tốn cao cấp Trường hợp 2: aii  0, i  1, n : Tồn aij   i  j  Giả sử a12  , ta đặt:  x1  y1  y2   x2  y1  y2   xi  yi , i  2, n Khi Q  2a12 y12  2a12 y22  dạng tồn phương có hệ số y12 khác Ta đưa TH1 143 | P a g e Bài giảng tóm tắt Mơn Tốn cao cấp Ví dụ 1: Đưa dạng tồn phương sau dạng tắc: a Q   x22  x32  x1 x2  x1 x3 b Q  x1 x2  x1 x3  x2 x3 144 | P a g e Bài giảng tóm tắt Mơn Tốn cao cấp b Phương pháp Jacobi Phương pháp áp dụng cho dạng tồn phương có ma trận:  a11 a12 a a22 21  A    an1 an a1n  a2 n     ann  Thỏa mãn điều kiện: D1  a11  0, D2  145 | P a g e a11 a12 a21 a22  0, , Dn  det A  Bài giảng tóm tắt Mơn Tốn cao cấp a11 a1k Tổng qt: Dk   0, k  1, n Các Dk gọi ak1 akk định thức ma trận A Dn D2 D3 y2  y3   yn Khi đó: Q  D y  D1 D2 Dn1 1 146 | P a g e Bài giảng tóm tắt Mơn Tốn cao cấp Đổi biến theo công thức:  x1  y1  y2b21  y3b31   ynbn1  x  y  y b   y b  2 32 n n2    xn  yn Với b ji  (1) i j D j 1,i D j 1 (j  i) D j 1,i định thức ma trận có phần tử nằm giao dòng 1,2, ,j-1 cột 1,2,…,i -1, i+1,…,j (bỏ cột i) ma trận A 147 | P a g e Bài giảng tóm tắt Mơn Tốn cao cấp Ví dụ 2: Đưa dạng tồn phương sau dạng tắc Q  x12  3x1 x2  x1 x3  x22  x32 c Chéo hóa trực giao Định lý: Mọi dạng toàn phương Q(x) ℝ n đưa dạng tắc: Q  1 y12  2 y22   n yn2 phép đổi biến x  Py với P ma trận làm chéo hóa trực giao ma trận A dạng toàn phương Q(x) Ở 1 , 2 , , n giá trị riêng A 148 | P a g e Bài giảng tóm tắt Mơn Tốn cao cấp Ví dụ 3: Đưa dạng tồn phương sau tắc Q(x)  x12  x22  x1 x2 149 | P a g e Bài giảng tóm tắt Mơn Tốn cao cấp Xác định dấu dạng toàn phương a Luật quán tính Số hệ số dương hệ số âm dạng tắc đại lượng bất biến, khơng phụ thuộc vào phép biến đổi tuyến tính đưa dạng tồn phương dạng tắc b Tính xác định dạng toàn phương Định nghĩa: Dạng toàn phương Q(x) là: - Xác định dương Q (x)  0,  x  ℝ n , x  - Xác định âm Q (x)  0,  x  ℝ n , x  - Khơng xác định nhận giá trị âm giá trị dương 150 | P a g e Bài giảng tóm tắt Mơn Tốn cao cấp Ví dụ 4: a Dạng toàn phương Q1 (x)  x12  x22  x32  x1 x2 xác định dương b Dạng toàn phương Q2 (x)   x12  x22  x32  x2 x3 xác định âm 151 | P a g e Bài giảng tóm tắt Mơn Tốn cao cấp c Các tiêu chuẩn xác định dạng toàn phương Định lý 1: Dạng toàn phương Q(x) xác định dương tất n hệ số dạng tắc dương Tương tự cho dạng xác định âm Định lý 2: Một dạng toàn phương xác định dương (âm) ma trận có tất giá trị riêng dương (âm) 152 | P a g e Bài giảng tóm tắt Mơn Tốn cao cấp Định lý 3: Dạng tồn phương Q(x) xác định dương tất định thức ma trận dương, tức Dk  0, k  1, n Hệ quả: Dạng toàn phương xác định âm định thức cấp chẵn dương, cấp lẻ âm Nghĩa là:  1 Dk  0, k  1, n k 153 | P a g e Bài giảng tóm tắt Mơn Tốn cao cấp Ví dụ 5: Tìm k để dạng tồn phương: a Q  x12  x1 x2  x1 x3  x22  x2 x3  kx32 xác định âm b Q  x12  x22  kx32  x1 x2  x1 x3  x2 x3 dương 154 | P a g e xác định