Bài giảng Toán dành cho các nhà kinh tế

Phép biến đổi một hệ phương trình thành một hệ mới tương đương gọi là phép biến đổi tương đương.. Các phép biến đổi sơ cấp a Đổi chỗ hai phương trình của hệ b Nhân cả hai vế của phương t

Bài giảng tóm tắt mơn Tốn dành cho nhà kinh tế Bộ mơn Tốn học – Trường Đại học Thủy Lợi Bài giảng tóm tắt mơn Tốn dành cho nhà kinh tế Bài số MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC I MA TRẬN Các định nghĩa Ma trận bảng số xếp theo dòng cột Ma trận có m dịng n cột gọi ma trận cấp mn  a11 a12 a a22 A   21    am1 am a1n  a2 n     amn  Dùng chữ A, B, C , để đặt tên cho ma trận Kí hiệu A  (aij ) mxn aij phần tử nằm hàng i cột j Hai ma trận gọi a chúng cấp b phần tử vị trí tương ứng  aij   bij   aij  bij mxn mxn Ma trận-không O ma trận có tất phần tử Ma trận đối: ma trận cấp mà phần tử số đối phần tử tương ứng ma trận A Kí hiệu  A Các dạng ma trận a) Ma trận vuông Ma trận cỡ nn gọi ma trận vuông cấp n Các phần tử aii (i = 1, ,n) lập nên đường chéo Các phần tử an1 , an12 , (i = 1, ,n) lập nên đường chéo phụ b) Ma trận tam giác 1|P a g e Bài giảng tóm tắt mơn Tốn dành cho nhà kinh tế  a11 a12 0 a 22 A   0 a1n  a2 n     ann   a11 a a22 A   21    an1 an c) Ma trận tam giác 0     ann  d) Ma trận đường chéo  a11 0 a 22 A   0 0 0    ann  e) Ma trận đơn vị 1 0 A   0       f) Ma trận chuyển vị Chuyển dòng ma trận A thành cột với thứ tự tương ứng ta ma trận chuyển vị Kí hiệu AT A  (aij ) mxn  AT  (a ji ) nxm Các phép toán ma trận a) Phép nhân ma trận với số Cho ma trận A  (aij ) mxn , c  ℝ cA  (c aij ) mxn 1 3 Ví dụ A    Tính 2A    0  b) Phép cộng ma trận 2|P a g e Bài giảng tóm tắt mơn Toán dành cho nhà kinh tế Nếu A  (aij ) mxn , B  (bij ) mxn , A  B  ( aij  bij ) mxn  2   8  Ví dụ A   ; B   Tính A  B  6  12 4  c) Phép nhân ma trận Định nghĩa Giả sử A ma trận cấp m  n , B ma trận cấp n  p Khi ma trận tích C  AB ma trận cấp m  p tính C   Ab1 Ab2 Abp  Trong bi cột thứ i ma trận B  2   2 3 Ví dụ Cho ma trận A   , B    Tính AB, BA     6 1 3  Chú ý 1) Ma trận C  AB có phần tử hàng i cột j cij  (hàng i A ).(cột j B ) 1 2 2 3 Ví dụ: Cho A   , B    Tính AB, BA    1 4   2) Điều kiện để ma trận A nhân với ma trận B số cột A số dòng B p Cho Am p , B pn ta có Am p B pn  Cmn với cij   aik bkj k 1 3) Nói chung AB  BA 4) AB  O không suy A  O B  O Các tính chất phép nhân Tính kết hợp ( AB)C  A( BC ) Tính phân phối A( B  C )  AB  AC 3|P a g e Bài giảng tóm tắt mơn Tốn dành cho nhà kinh tế  ( AB )  ( A) B  A( B ) Nhân với ma trận đơn vị AI  IA  A Chuyển vị: ( AB )T  BT AT Ví dụ: 1  1 1  Tính: a,  1     1     2 b,   3 1  2 2 c, 3 1    2  Chú ý: AB  BA d) Những tính chất phép toán ma trận Với ma trận A, B, C số thực x, y ta có A B  B  A ( A  B)  C  A  ( B  C ) AO  A A  ( A)  O 1.A  A x( A  B)  xA  xB (x  y) A  xA  yA ( xy ) A  x ( yA) ( A  B )C  AB  BC 10 ( AB )T  BT AT 11 AI  A ; IB  B Nếu A ma trận vng + AI  IA  A + An  A A A Ma trận Cho ma trận Amxn Ma trận vuông cấp k lập từ phần tử nằm giao k dòng, k cột A gọi ma trận cấp k A 4|P a g e Bài giảng tóm tắt mơn Tốn dành cho nhà kinh tế Giả sử A ma trận vuông cấp n có phần tử aij Bỏ hàng i cột j A , ma trận vuông cấp (n-1), ký hiệu M ij II ĐỊNH THỨC Định nghĩa Định thức A số thực đại diện cho ma trận A , kí hiệu det A A , xác định sau:  Với A cấp 1; A   a11  det A  a11  a  a Với A cấp 2: A   11 12  det A  a11 det M 11  a12 det M 12  a21 a22   Với A cấp n: det A  a11 det M 11  a12 det M 12   ( 1) n 1 a1n det M 1n a11 , a12 , , a1n phần tử dòng A Ví dụ Tính định thức sau a 1 2 A   1 2  Các tính chất 0 2 b, A  1 3    3 4 a) det A  det AT b) Định thức đổi dấu đổi chỗ hai cột hai hàng c) Nếu hai hàng (hai cột) A giống nhau, det A  d) Gọi Aij  (1)i  j det M ij phần bù đại số aij đó: Định thức A khai triển theo hàng i det A  ai1 Ai1  Ai   ain Ain Định thức A khai triển theo cột j det A  a1 j A1 j  a2 j A2 j   anj Anj 5|P a g e Bài giảng tóm tắt mơn e) Tốn dành cho nhà kinh tế a11  a11' a12  a '12 a21 a22  a11 a12 a21 a22  a '11 a '12 a21 a22 f) Thừa số chung hàng (cột) đưa ngồi: ca11 ca12 a a  c 11 12 a21 a22 a21 a22 Chú ý Với ma trận vuông A cấp n det(tA)  t n det A g) A có hàng (cột) gồm tồn số det A  h) A có hàng (cột) tỉ lệ det A  i) det A không đổi trừ hàng A bội hàng khác A j) Nếu A ma trận tam giác det A = tích phần tử đường chéo k) det AB  det A.det B det An  (det A) n Ví dụ Tính det A  3 A,B ma trận vuông cấp 1 2 0 1 1 Chú ý: Khi tính tốn chọn hàng có nhiều số để khai triển a x x Ví dụ Tính det A  x a x x x a 0 2 Ví dụ Cho A  1 3 Tính det A    3 4 6|P a g e Bài giảng tóm tắt mơn Tốn dành cho nhà kinh tế Bài số MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO I MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO Định nghĩa Ma trận vuông A gọi ma trận khả nghịch tồn B cho AB  BA  I Khi ta gọi B ma trận nghịch đảo A Nếu A khả nghịch ma trận nghịch đảo Ký hiệu ma trận nghịch đảo A A1 Ma trận phụ hợp Định nghĩa Giả sử A ma trận vuông cấp n, A  (aij ) Ký hiệu Aij phần phụ đại số aij Ma trận phụ hợp A  A11 A * A   12    A1n A21 A22 Định lí Nếu A khả nghịch A1  An1  An     Ann  A* det A Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau: a a b  A  c d  b 2 4 A   3    3 1 Tìm A1 phương pháp biến đổi ma trận Ý tưởng: sử dụng phép biến đổi sơ cấp ma trận  A I  biến đổi thành ma trận  I B  , B  A1 7|P a g e Bài giảng tóm tắt mơn Tốn dành cho nhà kinh tế 2 1 Ví dụ Tìm A với A  1    1  1 Chú ý: Để biến đổi  A I    I A1  ta dùng đường chéo chia ma trận A thành phần Phần đường chéo khử “Từ xuống dưới, từ trái sang phải” Phần đường chéo khử “Từ lên trên, từ phải sang trái” Các tính chất ma trận nghịch đảo a Nếu A, B hai ma trận nn khả nghịch, ( AB) 1  B 1 A1 b Nếu A ma trận nn khả nghịch, ( A1 ) 1  A det A1  det A 0 3 Ví dụ Cho ma trận A  1  Tính det A1     II ỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO Khi A khả nghịch, hệ AX  B có nghiệm X  A1B  2 2 4 Ví dụ: Giải hệ AX  B , với: A   , B    1   1  III 8|P a g e GIỚI THIỆU MỘT SỐ MƠ HÌNH KINH TẾ CƠ BẢN Bài giảng tóm tắt mơn Tốn dành cho nhà kinh tế Bài số HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH I CÁC KHÁI NIỆM Hệ phương trình tuyến tính tổng qt Hệ phương trình tuyến tính m phương trình, n ẩn có dạng a11 x1  a12 x2   a1n xn  b1 a x  a x   a x  b  21 22 2n n   am1 x1  am x2   amn xn  bm (1.1) Trong aij , bi số thực, xi ẩn Ma trận hệ số ma trận mở rộng  a11 a12 a a22 Đặt A   21    am1 am a1n  a2 n    ( a ) gọi ma trận hệ số hệ phương ij   amn  trình  b1   x1  b  x  2  B gọi ma trận hệ số tự do, X    nghiệm hệ phương ⋮ ⋮     bm   xn  trình Khi hệ phương trình có dạng AX  B Gọi A1 , A2 , , An cột ma trận A Khi hệ phương trình có dạng: x1 A1  x2 A2   xn An  B 9|P a g e Bài giảng tóm tắt mơn Tốn dành cho nhà kinh tế b) Định lý (Điều kiện đủ) Giả sử hàm số f (x , y ), g (x , y ) có đạo hàm riêng cấp liên tục lân cận điểm (a,b) (a, b, λ0 ) điểm dừng hàm Lagrange Khi Nếu gx (a,b)dx + gy (a, b)dy = dx + dy ≠ mà i) d 2L(a, b, λ0 ) > (a,b) điểm cực tiểu hàm f (x, y ) với điều kiện ràng buộc cho ii) d 2L(a,b, λ0 ) < (a,b) điểm cực đại hàm f (x , y ) với điều kiện ràng buộc cho iii) d 2L(a,b, λ0 ) khơng xác định dấu (a,b) khơng điểm cực trị Ở ; d 2L(a, b, λ0 ) = Lxx (a, b, λ0 )dx + 2Lxy (a,b, λ0 )dxdy + Lyy (a,b, λ0 )dy Chú ý: Một cách biểu diễn khác: 0  Xét ma trận H = gx  gy gx Lxx Lxy gy  Lxy  , đạo hàm riêng tính giá trị (a, b, λ0 )  Lyy   Định lý Nếu det H > , (a,b) điểm cực đại Nếu det H < , (a,b) điểm cực tiểu Ví dụ a.Tìm cực trị hàm f (x , y ) = x + y với điều kiện ràng buộc x + y = 10 b.Tìm cực trị hàm f (x, y ) = xy với điều kiện ràng buộc x + y = 10 c Một doanh nghiệp sản xuất cấp hạn ngạch sản xuất 200 đơn vị sản phẩm Để tiến hành sản xuất, doanh nghiệp cần hai loại nguyên liệu A B 39 | P a g e Bài giảng tóm tắt mơn Tốn dành cho nhà kinh tế Đơn giá cho loại nguyên liệu A; B tương ứng 10 40 đơn vị tiền tệ Biết rằng, mua x đơn vị nguyên liệu A y đơn vị nguyên liệu B , sản xuất 10 xy sản phẩm Hỏi phải mua loại nguyên liệu với số lượng để có chi phí cho ngun liệu thấp Bài tốn tối đa hóa lợi ích Giả sử P1, P2 giá hai mặt hàng x , y với tổng số tiền m Mục tiêu tối đa hóa hàm lợi ích u(x, y) với điều kiện P1x + P2y = m 40 | P a g e Bài giảng tóm tắt mơn Tốn dành cho nhà kinh tế Bài 11 TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH I TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH Định nghĩa nguyên hàm Ta nói F (x ) nguyên hàm f (x ) khoảng (a, b) F ′(x ) = f (x ), ∀x ∈ (a, b ) Định lý Cho F (x ) nguyên hàm f (x ) Hàm ϕ(x ) nguyên hàm f (x ) ϕ(x ) = F (x ) + C , C số Định nghĩa tích phân bất định Tập hợp tất nguyên hàm f (x ) gọi tích phân bất định f (x ) ký hiệu ∫ f (x )dx Tính chất Tính chất 1: (∫ f (x )dx )′ = f (x ) ; Tính chất 2: ∫ F ′(x )dx = ∫ dF (x ) = F (x ) + C Tính chất 3: ∫ af (x )dx = a ∫ f (x )dx Tính chất 4: ∫ ( f (x ) ± g(x ))dx = ∫ f (x )dx ± ∫ g(x )dx Tính chất 5: Nếu d  ∫ f (x )dx  = f (x )dx   ∫ f (x )dx = F (x ) + C ∫ f (u)du = F (u) + C II CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 41 | P a g e Bài giảng tóm tắt mơn Tốn dành cho nhà kinh tế Bảng nguyên hàm ∫ dx ∫ ∫ e dx = x +C x ndx = x x n +1 +C n +1 = ex +C ∫ ∫ sin xdx = − cos x Ví dụ: Tính I = ∫ + C ∫ cos x dx = sin x + C ∫ x π  dx = ln tan  +  + C cos x   ∫ dx x = ln tan + C sin x ∫a dx = ln x + C x 10 ∫a 11 ∫ 12 ∫ 2 dx x = tan−1 + C a a +x dx a +x = +C ln 2a a − x −x dx a2 − x dx x ±a 2 = sin−1 = ln x + x ± a + C x + ln x dx x Đổi biến số Cách 1: Đặt x = x (t ) ⇒ dx = x ′(t )dt Khi ∫ f (x )dx = ∫ f (x(t ))x ′(t )dt Cách 2: Đặt t = t(x ) ⇒ dt = t ′dx Khi ∫ f (x )dx = ∫ g(t(x ))t ′(x )dx = ∫ g(t )dt 42 | P a g e x +C a Bài giảng tóm tắt mơn Tốn dành cho nhà kinh tế Ví dụ Tính tích phân sau a I = ∫ − x 2dx b I = ∫ e x e x − 1dx Tích phân phần Giả sử u(x ), v(x ) hai hàm số có đạo hàm u ′(x ), v ′(x ) hàm liên tục miền D Ta có cơng thức tích phân phần: ∫ udv = uv − ∫ vdu Một số dạng :  Dạng : I = ∫ p(x ).H (x )dx H (x ) ∈ {sin ax , cos bx , e nx } , p(x ) đa thức: u = p(x )   v ' = H (x )  Dạng : I = ∫ p(x ).M (x )dx M (x ) = ln(q(x ))x )  u = M (x ) ta đặt  v ' = p(x )   Dạng : I = ∫ eax K (x )dx K (x ) ∈ {sin ax , cos bx } u = e ax ta chọn :  v ' = K (x ) 43 | P a g e  u = K (x )  ax v ' = e  ta chọn : Bài giảng tóm tắt mơn Tốn dành cho nhà kinh tế Ví dụ: Tính tích phân sau a I = ∫ e x sin xdx b I = ∫ x cos 3xdx III TÍCH PHÂN CỦA MỘT SỐ DẠNG HÀM CƠ BẢN Tích phân hàm hữu tỷ Dạng P (x ) ∫ Q(x ) dx , P (x ),Q(x ) đa thức Ý tưởng phân tích hàm phân thức hữu tỷ cho thành tổng phân thức đơn giản (gọi phân thức đơn giản) Khi bậc tử lớn bậc mẫu, ta lấy tử chia cho mẫu: P (x ) P (x ) = M (x ) + M (x ) đa thức Q(x ) Q(x ) P1(x ) phân thức có tử có Q(x ) bậc nhỏ mẫu Khi bậc tử nhỏ bậc mẫu Khi 44 | P a g e P1(x ) ∫ Q(x )dx đưa loại tích phân đơn giản A  ∫ x − a dx = A ln x − a  ∫  ∫x  ∫x A (x − a ) m dx = − A dx + ax + b Ax + B dx + ax + b +C A + C , m ≠ 0;1 m − (x − a )m −1 Bài giảng tóm tắt mơn Tốn dành cho nhà kinh tế Chú ý i) Khi mẫu số tam thức bậc khơng có nghiệm thực mà tử số tích phân có dạng tan−1 ii) Nếu mẫu khơng có nghiệm mà tử bậc tách thành tích phân có tích phân có tử đạo hàm mẫu, tích phân có tử số iii) Khi mẫu số có dạng lũy thừa ta phân tích thành hạng tử A B E + + + m x − a (x − a ) (x − a ) Ví dụ: Tính tích phân sau a I = ∫ 3x + dx 2x + x − b I = ∫ dx x − x2 Tích phân hàm lượng giác Xét tích phân dạng I = ∫ f (sin x, cos x )dx  Phương pháp chung: Đặt t = tan x  Nếu f (− sin x, cos x ) = −f (sin x, cos x ) đặt t = cos x  Nếu f (sin x, − cos x ) = −f (sin x, cos x ) đặt t = sin x  Nếu f (− sin x, − cos x ) = −f (sin x, cos x ) đặt t = tan x 45 | P a g e Bài giảng tóm tắt mơn Tốn dành cho nhà kinh tế Ví dụ: Tính tích phân a I = ∫ b I = ∫ + sin2 x dx ; − cos2 x cos3 x dx + sin x Tích phân số dạng hàm có chứa Nếu tích phân có a − x , đặt x = a sin t Nếu tích phân có a + x , đặt x = a tan t Nếu tích phân có x − a , đặt x = Ví dụ Tính tích phân I = ∫ 46 | P a g e a sin t a2 − x dx ; x Bài giảng tóm tắt mơn Tốn dành cho nhà kinh tế Bài 12 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH TÍCH PHÂN SUY RỘNG I TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Định nghĩa Tích phân xác định hàm số f (x ) liên tục đoạn a, b  b số thực xác định bởi: ∫ f (x )dx = a n lim max ∆x i → ∑ f (c )∆x i =1 i i (nếu giới hạn tồn tại) Khi ta nói hàm số f (x ) khả tích a,b  Tính chất: Các hàm giả thiết khả tích đoạn xét b  ∫ a  a a f (x )dx = −∫ f (x )dx ; ∫ f (x )dx = b a Tính chất tuyến tính: Với α, β số thực, ta có b b b a a a ∫ (α f (x ) + βg(x ))dx = α ∫ f (x )dx + β ∫ g(x )dx  Tính cộng tính: ∀c ∈ (a, b) , ta có b c b ∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx a  a c Định lý (Công thức Newton – Leibnitz): Nếu f (x ) hàm liên tục a, b  F (x ) nguyên hàm f (x ) thì:   b ∫ f (x )dx = F (x ) x =b x =a = F (b ) − F (a ) a Chú ý :Như vậy, ta có phương pháp tìm tích phân xác định tương ứng với phương pháp tìm ngun hàm (tích phân khơng xác định) : + Áp dụng trực tiếp bảng nguyên hàm bản, + Phương pháp (Cần ý thêm tới trình cận) + Phương pháp tích phân phần,… 47 | P a g e Bài giảng tóm tắt mơn Tốn dành cho nhà kinh tế Ví dụ: Tính tích phân sau: a) I = ∫   dx b) I = ∫ 1 +   x  x  x4 dx + x5 II TÍCH PHÂN SUY RỘNG Tích phân với cận vơ hạn Định nghĩa Giả sử f (x ) xác định [a, +∞) khả tích [a, t ], a ≤ t