Skkn nâng cao năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh thông qua việc ứng dụng hình học phẳng trong các bài toán cực trị số phức vận dụng, vận dụng cao

` SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG II SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NÂNG CAO NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CHO HỌC SINH THÔNG QUA VIỆC ỨNG DỤNG HÌNH HỌC PHẲNG TRONG CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ SỐ PHỨC VẬN DỤNG, VẬN DỤNG CAO Người thực hiện: Đỗ Thị Thủy Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THPT Quảng Xương II SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HĨA NĂM 2022 skkn MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng ngiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 1 1 2 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận 3.2 Kiến nghị TÀI LIỆU THAM KHẢO Các SKKN Sở GD&ĐT Thanh Hóa xếp loại 16 skkn 17 17 17 18 19 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Trong mơn tốn trường phổ thơng phần số phức giữ vai trị, vị trí quan trọng Phần nội dung kiến thức số phức đưa vào giảng dạy cuối chương trình Giải Tích 12 chưa lâu nên vấn đề với học sinh, giáo viên dạy khơng có tầm nhìn sâu rộng, khả bao quát, liên kết với phần kiến thức tốn học khác học sinh thấy nhàm chán Trong q trình giảng dạy tơi nhận thấy học sinh lớp 12 e ngại gặp câu vận dụng, vận dụng cao số phức, em cảm thấy hoang mang, nghĩ trừu tượng, thiếu tính thực tế, khơng có phương hướng để làm Chính mà có nhiều học sinh khơng làm phần này, phần giáo viên gặp khơng khó khăn truyền đạt nội dung kiến thức phương pháp giải dạng tập nâng cao số phức, đặc biệt toán cực trị số phức Đứng trước toán, đặc biệt tốn khó người làm tốn ln đặt phương hướng giải Tuy nhiên người say mê tốn cịn tìm cách giải khác nhau, tìm cách giải hay ngắn gọn, lạ, tìm mối quan hệ với nội dung kiến thức học lại kích thích tính tị mị khám phá, kiên nhẫn, tự tin đam mê học toán Hiện đề thi tốt nhiệp THPT, đề thi chọn học sinh giỏi thường xuất toán nâng cao số phức mà lời giải địi hỏi vận dụng phức tạp kiến thức hình học, đại số, lượng giác… Việc tiếp cận lời giải thực tế cho thấy thật khó khăn cho học sinh, học sinh giỏi có lực hiểu câu Trong đó, học sinh thấy mối quan hệ số phức tốn hình học phẳng vấn đề nhiều giải Với lí trên, từ thực tế giảng dạy, với kinh nghiệm thu được, tiến hành thực đề tài sáng kiến cho năm 2022 với nội dung: “Nâng cao lực giải vấn đề cho học sinh thơng qua việc ứng dụng hình học phẳng toán cực trị số phức vận dụng, vận dụng cao” 1.2 Mục đích nghiên cứu - Với việc nghiên cứu đề tài giúp học sinh, đặc biệt đối tượng học sinh học mức độ khá, giỏi giải tốn cực trị số phức thông qua kiến thức hình học phẳng mà em học - Thơng qua SKKN bồi dưỡng cho học sinh phương pháp, kỹ giải toán, học sinh biết liên kết nội dung kiến thức toán học với nhau, có lực tư duy, tìm tịi sáng tạo, có lực làm tốn tạo toán Học sinh thấy rõ ứng dụng số phức hình học xa sống - Nâng cao khả tự học khả giải toán vận dụng, vận dụng cao q trình ơn luyện kỳ thi học sinh giỏi - Hy vọng đề tài đời giúp bạn đồng nghiệp em học sinh có nhìn tồn diện phương pháp ứng dụng hình học phẳng việc giải toán cực trị số phức skkn 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Các toán cực trị số phức mức độ vận dụng, vận dụng cao đề thi - Các học sinh có trình độ khá, giỏi lớp 12 trường THPT Quảng Xương IIThanh Hóa 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu loại tài liệu sư phạm có liên quan đến đề tài - Phương pháp quan sát (công việc dạy- học giáo viên HS) - Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, hồ sơ chuyên môn,…) - Phương pháp đàm thoại vấn (lấy ý kiến giáo viên HS) - Phương pháp thực nghiệm sư phạm (tổ chức số tiết dạy) - Phương pháp thống kê, xử lý số liệu (thống kê điểm kiểm tra học sinh đối chứng) NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Các kiến thức sử dụng sáng kiến thuộc phạm vi kiến thức hình học phẳng lớp 9,10 phần kiến thức số phức trình bày Sách giáo khoa Giải Tích 12 chuẩn nâng cao (chương IV), ví dụ tổng hợp từ toán lấy từ đề thi thử THPT Quốc gia, thi học sinh giỏi cấp Các kiến thức cần nhớ a Môđun số phức:  Số phức biểu diễn điểm M(a; b) mặt phẳng Oxy Độ dài véctơ gọi mơđun số phức z Kí hiệu   Tính chất        Chú ý: Lưu ý:   dấu xảy dấu xảy  dấu xảy  dấu xảy   skkn b Một số quỹ tích nên nhớ Biểu thức liên hệ (1) (2) Quỹ tích điểm M (1) Đường thẳng (2) Đường trung trực đoạn AB với Đường trịn tâm Hình trịn tâm , bán kính , bán kính Hình vành khăn giới hạn hai đường trịn đồng tâm , bán kính Parabol Elip (1) Elip Đoạn AB (2) Hypebol 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Về phía học sinh Trong trình giảng dạy mơn tốn Giải Tích lớp 12, nhận thấy dạy số phức, câu mức độ nhận biết, thông hiểu đơn giản học sinh nắm cách giải Tuy nhiên, gặp câu vận dụng, vận dụng cao học sinh bị bế tắc, không định hướng cách giải Các câu dạng này, phần lớn phức tạp khơng giải theo cách thơng thường, địi hỏi học sinh phải có tư tốt phát vấn đề để giải Về sách giáo khoa Sách giáo khoa đưa ví dụ câu số phức mức độ đơn giản, không đề cập đến câu vận dụng, vận dụng cao, học sinh gặp nhiều khó khăn đối mặt với câu đề thi thử tốt nghiệp thi học sinh giỏi Đặc biệt tài liệu chun sâu dạng tốn ít, khơng rõ dạng toán thường gặp, hướng đề thi Về phía giáo viên Với sức ép chương trình, qui chế chun mơn, thời lượng thực chương trình sát sao, làm cho giáo viên đủ thời gian truyền tải nội skkn dung sách giáo khoa, có thời gian mở rộng kiến thức cho học sinh, phần mở rộng chủ yếu tiết phụ đạo, bồi dưỡng Trước tơi thực đề tài kết kiểm tra chuyên đề “Cực trị số phức” học sinh lớp 12 hai năm học liên tiếp trường THPT Quảng Xương II thể qua bảng sau: Điểm trở lên Điểm từ đến Điểm Năm học Lớp Số Số Số Tỷ lệ Tỷ lệ Tỷ lệ lượng lượng lượng 12A1 44 18 % 18 41 % 18 41 % 2020-2021 12A2 45 18 % 15 33 % 22 49 % 12B1 44 10 23 % 18 41 % 16 36 % 2021-2022 12B6 44 10 23 % 15 34 % 19 43 % 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Các giải pháp: Trong giảng dạy thực sau: - Dùng hệ thống câu hỏi gợi ý phương pháp tìm tịi lời giải phương pháp tổng qt hóa tốn - Khai thác, phát triển tính chất toán tương tự - Ra đề toán theo hướng mở với kiểu câu phát sáng tạo, học sinh sở tốn tổng qt tự tìm tốn khác 2.3.2 Nội dung: Tơi xin trình bày số ví dụ tập tự luyện Dạng Quỹ tích điểm biểu diễn số phức đường thẳng Tổng số TQ1: Cho số phức  Quỹ tích điểm thỏa mãn , tìm biểu diễn số phức Khi ta có đường trung trực đoạn với  TQ2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện  Quỹ tích điểm biểu diễn số phức Tìm Ta có đường trung trực đoạn với  Lưu ý: Đề suy biến tốn thành số dạng, ta cần thực biến đổi để đưa dạng skkn  Cho số phức thỏa mãn điều kiện Khi ta biến đổi  Cho số phức thỏa mãn Khi ta biến đổi Ví dụ (Chuyên KHTN Hà Nội 2019) Cho số phức Giá trị nhỏ biểu thức A thỏa mãn : B C D Lời giải Gọi điểm biểu diễn số phức Ta có tức biểu diễn hình học số phức thỏa mãn giả thiết đường thẳng điểm phía với đường thẳng đối xứng với Xét Dễ thấy nhỏ nên qua đường thẳng B A M' M A' Do nhỏ Nhận xét: Nếu sử dụng mối liên hệ với hình học này, học sinh thấy quen thuộc hình em học lớp 10 Ví dụ (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Trong số phức thỏa mãn , số phức A Gọi B , có mơ đun nhỏ có phần ảo là: C Lời giải biểu diễn điểm D skkn Trên mặt phẳng tọa độ , tập hợp điểm biểu diễn số phức đường thẳng Ta có nhỏ nhỏ chiếu Phương trình đường thẳng qua vng góc với là: Tọa độ nghiệm hệ phương trình: hình Hay Vậy phần ảo số phức có mơ đun nhỏ Nhận xét: Ta tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức Gọi biểu diễn số phức , điểm biểu diễn số phức Khi biểu diễn số phức , điểm Suy tập hợp điểm biểu diễn số phức trung trực đoạn thẳng Ví dụ Xét số phức sau: có phương trình đường thỏa mãn Gọi lượt giá trị nhỏ giá trị lớn lần Tính A B C D Lời giải D A H E N skkn Gọi điểm biểu diễn số phức , Gọi điểm biểu diễn số phức , Từ nên ta có thuộc đoạn thẳng Gọi hình chiếu lên , ta có Suy Nhận xét: Bài dùng công cụ đại số khó cồng kềnh, học sinh phải sử dụng nhiều kỹ giải phương trình giải Ví dụ (Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Cho số phức z thỏa mãn Gọi M, m giá trị lớn giá trị nhỏ Đặt A B Mệnh đề sau đúng? C D Lời giải biểu diễn số phức z Ta có: Giả sử: • thuộc cạnh hình vuông BCDF y I B E F C O -2 x D -2 • với Từ hình ta có: Vậy Dạng Quỹ tích điểm biểu diễn số phức đường trịn TQ: Cho số phức thỏa mãn điều kiện skkn Tìm Ta có  Quỹ tích điểm bán kính biểu diễn số phức đường trịn tâm  Lưu ý: Đề cho dạng khác, ta cần thực phép biến đổi để đưa dạng • Cho số phức hai vế cho thỏa mãn điều kiện (Chia ) • Cho số phức thỏa mãn điều kiện (Lấy liên hợp vế) • Cho số phức thỏa mãn điều kiện , , hay viết gọn Ví dụ (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương -2019) Xét số phức mãn A Gọi Số phức B , mà nhỏ C D Lời giải điểm biểu diễn số phức Khi Theo ta có Suy tập hợp điểm đường trịn tâm bán kính Khi hay , thẳng thỏa với , thẳng hàng, nằm nhỏ ngắn Phương trình đường skkn Tọa độ giao điểm đường thẳng với đường trịn tâm Thử lại ta thấy bán kính thỏa mãn Vậy Ví dụ (Chuyên Vinh 2018) Cho số phức , thỏa mãn Giá trị lớn biểu thức A B C là: D Lời giải Gọi , với Suy Khi thuộc đường trịn Ta có Gọi điểm biểu diễn cho số phức , với trung điểm , ta có hay đó: skkn Mặt khác, với nên Vậy hay Nhận xét: Bài dùng công cụ đại số học sinh phải sử dụng kiến thức bất đẳng thức, mà phần mà học sinh giỏi tiếp cận Ví dụ (Kim Liên - Hà Nội - 2018) Xét số phức ( ) c thỏa mãn A Tính B đạt giá trị nhỏ C Lời giải với D với Ta có ; Chọn Do , đồng dạng với Từ Dấu xảy thẳng hàng thuộc đoạn thẳng Ví dụ (Chuyên Ngữ Hà Nội 2019) Cho số phức thay đổi thỏa Từ tìm mãn điều kiện sau: , , , phần thực Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2, phần ảo 10 skkn A B C D Lời giải Đặt , ta có Suy tập hợp điểm đường trịn tâm , bán kính Mặt khác: Tập hợp điểm Tập hợp điểm Giao điểm là đường thẳng y I d1 M d2 -2 Gọi đường thẳng hình chiếu Ta có: H K P O x đạt giá trị nhỏ thẳng hàng (theo thứ tự đó) Phương trình đường thẳng Mà - Với (loại) - Với 11 skkn Suy Vậy Dạng Quỹ tích điểm biểu diễn số phức Elip TQ1: (Elip tắc) Cho số phức thỏa mãn điều kiện Khi ta có: + Quỹ tích điểm biểu diễn số phức Elip: + TQ2: (Elip khơng tắc) Cho số phức thỏa mãn điều kiện , thỏa mãn Khi ta thực phép biến đổi để đưa Elip dạng tắc Khi đề cho Elip dạng khơng tắc ) Tìm Max, Min , ( Đặt Nếu (dạng tắc) Nếu Nếu Nếu Ví dụ (Chuyên Hạ Long 2019) Cho số phức thỏa mãn Gọi , mơđun lớn nhỏ z Tính A B C D Lời giải 12 skkn Gọi z  x  yi ,  x, y    Theo giả thiết, ta có Gọi , đường elip  E  có hai tiêu điểm nên tập hợp điểm trục lớn Khi Ta có ; Và độ dài Do đó, phương trình tắc  E  Suy Vậy và Ví dụ 10 Cho số phức lớn Tính A Trong mp tọa độ thỏa mãn B C Lời giải , Ta gọi điểm biểu diễn số phức: D ; ; Ta có: (1) (2) Từ (1) (2), suy Mặt khác Vậy, tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn Elip có phương trình Theo đề, ta cần tìm điểm thuộc sau cho Ta gọi điểm biểu diễn số phức ; là lớn ; lớn lớn 13 skkn Dựa, vào hình vẽ ta thấy để lớn Ví dụ 11 (THPT Yên Khánh - Ninh Bình - 2019) Cho hai số phức thỏa mãn ; Giá trị nhỏ là: A B C D Lời giải Đặt phức , , nên tập hợp điểm thuộc elip có Tập hợp điểm suy biểu diễn xúc với song song với thuộc đường thẳng Yêu cầu toán trở thành tìm điểm Đường thẳng biểu diễn số có dạng cho nhỏ , , tiếp Với 14 skkn Với Vậy Các tập tự luyện: Câu (KTNL Gia Bình 2019) Cho hai số phức thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau (trong thực) cho lớn Khi giá trị A Câu B , (trong hai số phức thuộc cho B Câu Cho hai số phức Câu lớn nhất, thỏa mãn Giá trị B C D (KTNL GV THPT Lý Thái Tổ 2019) Gọi nhỏ Tính A số có mơ đun B C D (Chun Hạ Long - 2018) Cho số phức số phức , D phức thỏa mãn điều kiện Câu thỏa mãn ) Gọi C lớn biểu thức A D tập hợp số phức A C (Sở Bình Phước 2019) Gọi số , thay đổi thỏa mãn Gọi lượt giá trị lớn giá trị nhỏ và lần Giá trị biểu thức A B Câu Xét số phức C thỏa mãn D Giá trị nhỏ biểu thức A Câu B C (SGD Cần Thơ 2019) Cho số phức trị lớn A D thoả mãn Giá B C D 15 skkn Câu (Sở GD Nam Định - 2019) Trong số phức Tìm giá trị nhỏ A Câu B C D (Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định- 2019) Xét số phức Gọi A Câu 10 B thỏa mãn giá trị lớn giá trị nhỏ Giá trị biểu thức thỏa mãn C D (Nho Quan A - Ninh Bình - 2019) Xét số phức thỏa mãn Tính đạt giá trị lớn A B C D 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường - Sáng kiến kinh nghiệm giúp cho đồng nghiệp thực tốt nhiệm vụ nâng cao chất lượng giáo dục, giúp học sinh hình thành tư logic kỹ phân tích, tổng hợp để đến hướng giải thích hợp gặp tốn số phức khó kỳ thi - Học sinh thấu hiểu phương pháp để tự xây dựng lớp tốn tìm cực trị số phức có hướng giải - Đề tài sử dụng để giảng dạy bồi dưỡng cho em học sinh giỏi 12 THPT làm tài liệu tham khảo cho thầy giảng dạy mơn Tốn - Trong đề tài đưa giải số toán thường gặp tương ứng tập tự luyện Đề tài kiểm nghiệm năm học 2020-2021, 2021-2022 giảng dạy lớp 12, học sinh đồng tình đạt kết quả, nâng cao khả giải toán số phức vận dụng, vận dụng cao kỳ thi Các em hứng thú đam mê học tập phần kiến thức hơn, lớp có hướng dẫn kỹ em học sinh với mức học trung bình trở lên có kỹ giải tập loại Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt Cụ thể sau áp dụng sáng kiến vào giảng dạy số học sinh hiểu có kỹ giải dạng tốn nói trên, kết qua kiểm tra lại chuyên đề cực trị số phức sau: Năm học Lớp Tổng số 2020-2021 12A1 12A2 44 45 Điểm trở lên Số Tỷ lệ lượng 15 34% 12 27 % Điểm từ đến Điểm Số Số Tỷ lệ Tỷ lệ lượng lượng 25 57 % 9% 20 44% 13 29 % 16 skkn 2021-2022 12B1 12B6 44 44 15 12 34% 27% 23 19 52 % 43 % 13 14 % 30 % KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận: - Sau nhiều năm giảng dạy thực tế kiểm nghiệm nhận thấy nâng cao hứng thú học tập cho học sinh (qua nhiều đường) việc làm cần thiết từ góp phần phát triển lực tự học, tự khám phá, sáng tạo cho học sinh xu dạy học đại Các toán chuyên đề thể rõ mục đích đạt kết (phù hợp với đổi dạy học) - Đề tài khai thác dạng toán tìm cực trị số phức ứng dụng kiến thức hình học phẳng, từ thấy tính chất, cách chứng minh,… mở rộng, liên hệ với cách lơgic giúp cho việc dạy học tốn có hiệu hơn, kiểu tư áp dụng thực tế giảng dạy học tập tùy theo yêu cầu chương trình, người học, người dạy mà ta lựa chọn tập phù hợp Trong việc dạy tốn Trường THPT Quảng Xương 2, tơi vận dụng kiểu tư để dạy cho nhiều đối tượng, việc ôn tập cho học sinh khá, giỏi Hình thành cho học sinh thói quen nhận dạng, tìm tịi hướng giải, tổng qt hóa thành dạng, sáng tạo học tập - Để hiểu sâu vấn đề này, việc ứng dụng việc giảng dạy học tập mong nhận ý kiến đóng góp rút kinh nghiệm đồng nghiệp để viết thêm đầy đủ, chất lượng 3.2 Kiến nghị: - Qua kết điều tra khảo sát thực tiễn ta thấy học sinh ngại giải toán cực trị số phức vận dụng, vận dụng cao phức tạp Vì vậy, để giúp học sinh có hứng thú học phần thấy tầm quan trọng nó, giáo viên cần lựa chọn hệ thống tập phù hợp, đề giải pháp giải toán tương tự hướng dẫn học sinh khái quát hóa thành dạng Đưa 17 skkn toán phức tạp toán đơn giản đề học sinh thấy quen thuộc giải chúng dễ dàng Giáo viên cần tách lọc các đối tượng học sinh để từ đó có phương pháp dạy học phù hợp - Đề nghị cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh giáo viên có nhiều tài liệu sách tham khảo đổi phòng thư viện để nghiên cứu học tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ - Nhà trường cần tổ chức buổi trao đổi phương pháp giảng dạy Có tủ sách lưu lại tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập giáo viên hàng năm để làm cở sở nghiên cứu phát triển chuyên đề - Học sinh cần tăng cường trao đổi, học nhóm nâng cao chất lượng học tập 18 skkn TÀI LIỆU THAM KHẢO Lê Hồng Đức, Lê Hữu Trí Phương pháp giải tốn hình học giải tích mặt phẳng NXB Đại học Quốc gia, 2004 Trần Văn Hạo Giải Tích 12 NXB Giáo dục, 2008 Văn Như Cương (Tổng chủ biên), Phạm Khắc Ban, Tạ Mân Bài tập hình học 10 – Nâng cao NXB Giáo dục, 2007 Bộ GD&ĐT Tài liệu tập huấn Dạy học kiểm tra đánh giá kết học tập theo định hướng phát triển lực học sinh mơn Tốn Hà Nội, 2014 Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy (Tổng chủ biên), Khu Quốc Anh, Nguyễn Hà Thanh, Phan Văn Viện Sách giáo viên hình học 10 NXB Giáo dục, 2007 Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương (Tổng chủ biên), Phạm Khắc Ban, Tạ Mân, Lê Huy Hùng Sách giáo viên Giải Tích 12 – Nâng cao NXB Giáo dục, 2008 Các đề thi thử trường nước (nguồn internet) 19 skkn DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO XẾP LOẠI Họ tên tác giả: Đỗ Thị Thủy Chức vụ: giáo viên Đơn vị công tác: THPT Quảng Xương II TT 1 2 3 Tên đề tài SKKN Cấp đánh giá xếp loại “Rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh thông qua việc Ngành GD cấp tỉnh giải tập VÉC TƠ hình học 10” “Phát triển lực tư sáng tạo cho học sinh Trung học phổ thông thông qua Ngành GD cấp tỉnh số kỹ thuật giải tốn hình học khơng gian lớp 11” “Ứng dụng hình học giải tích để tính góc tốn Ngành GD cấp tỉnh hình học khơng gian vận dụng, vận dụng cao” XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Kết đánh giá xếp loại Năm học đánh giá xếp loại C 2013-2014 C 2015-2016 C 2020-2021 Thanh Hóa, ngày 15 tháng năm 2022 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác NGƯỜI VIẾT SKKN Đỗ Thị Thủy 20 skkn