Thông tin tài liệu
TÀI LIỆU DÀNH CHO KHỐI 12 Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024 Mục lục Chủ đề 01 NGUYÊN HÀM Dạng 1.1 Nguyên hàm Dạng 1.2 Nguyên hàm đổi biến 1.2.1 Đổi biến loại (Lượng giác hóa) 1.2.2 Đổi biến loại Dạng 1.3 Nguyên hàm phần 11 Dạng 1.4 Nguyên hàm hàm số hữu tỉ 13 1.4.1 Bậc tử ≥ Bậc mẫu 13 1.4.1 Bậc tử < Bậc mẫu 14 Dạng 1.5 Nguyên hàm hàm số vô tỉ 23 Dạng 1.6 Nguyên hàm hàm số lượng giác 23 Dạng 1.7 Nguyên hàm có điều kiện 26 Chủ đề 02 TÍCH PHÂN Dạng 2.1 Tích phân áp dụng tính chất & bảng nguyên hàm 29 Dạng 2.2 Tích phân phần 31 Dạng 2.3 Tích phân đổi biến loại 33 Dạng 2.4 Tích phân đổi biến loại 35 Dạng 2.5 Tích phân kết hợp đổi biến & phần 37 Dạng 2.6 Tích phân chứa trị tuyệt đối 39 Dạng 2.7 Tích phân dựa vào đồ thị 41 Dạng 2.8 Tích phân hàm chẵn lẻ 43 Dạng 2.9 Tích phân hàm cho nhiều cơng thức 45 Dạng 2.10 Tích phân liên quan max – 47 Dạng 2.11 Tích phân hàm “ẩn” 49 2.11.1 Dùng phương pháp đổi biến 49 2.11.2 Dùng phương pháp phần 51 Dạng 2.12 Tích phân liên quan phương trình vi phân 53 2.12.1 Biểu thức đạo hàm 53 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024 2.12.2 Biểu thức tổng hiệu 55 2.12.2 Bài toán tổng quát 𝒇′(𝒙) + 𝒑(𝒙) 𝒇(𝒙) = 𝒉(𝒙) 56 Dạng 2.13 Bất đẳng thức tích phân 58 Chủ đề 03 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Dạng 3.1 Câu hỏi lý thuyết 63 Dạng 3.2 Diện tích hình phẳng giới hạn y=f(x), Ox, x=a, x=b 65 Dạng 3.3 Diện tích hình phẳng giới hạn y=f(x), y=g(x), x=a, x=b 66 Dạng 3.4 Diện tích hình phẳng giới hạn y=f(x), y=g(x), y=h(x) 67 Dạng 3.5 Diện tích hình phẳng dựa vào đồ thị 68 Dạng 3.6 Thể tích vật thể 70 Dạng 3.7 Thể tích hình phẳng giới hạn f(x), Ox, x=a, x=b quay quanh Ox 71 Dạng 3.8 Thể tích hình phẳng giới hạn f(x), g(x), x=a, x=b quay quanh Ox 72 Dạng 3.9 Thể tích hình phẳng giới hạn f(y), g(y), y=a, y=b quay quanh Oy 73 Dạng 3.10 Tính giá trị hàm qua diện tích hình phẳng 74 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024 NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG NGUYÊN HÀM A LÝ THUYẾT CHUNG Định nghĩa: Cho hàm số f x xác định K ( K khoảng, đoạn hay nửa khoảng) Hàm số F x nguyên hàm hàm số f x K F x f x x K Ký hiệu: f x dx F x C Định lý: Nếu F x nguyên hàm f x K thì: ● Với số C , hàm G x F x C nguyên hàm f x K ● Mọi nguyên hàm f x K có dạng F x C , với C số Do F x C , C họ tất nguyên hàm f x K Tính chất: f x dx f x f x dx f x C k f x dx k f x dx với k f x g x dx f x dx g x dx Định lí: Mọi hàm số f x liên tục K có nguyên hàm K Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024 Bảng nguyên hàm bản: (1) 0dx C (3) x dx x 1 (4) 1 C 1 1 dx C x x (2) dx x C ax b C , 1 (14) ax b dx a 1 1 (15) dx C a ax b 2 ax b 1 dx ln ax b C ax b a (17) e axbdx e axb C a a kx b kx b C (18) a dx k ln a (19) cos ax b dx sin ax b C a (20) sin ax b dx cos ax b C a 1 (21) dx tan ax b C a cos ax b (5) dx ln x C x (16) (6) e xdx e x C ax C (7) a dx ln a x (8) cos x dx sin x C (9) sin x dx cos x C (10) dx tan x C cos2 x (11) dx cot x C sin x (22) (23) tan ax b dx tan ax b C a (24) cot ax b dx cot ax b C a (12) tan x dx tan x C (13) cot x dx cotx C Bảng nguyên hàm mở rộng: (1) dx x arctan C 2 a a a x (2) dx ax ln C 2a ax a x (3) (4) dx x2 a2 dx a2 x2 ln x x a C arcsin x C a x x (8) arcsin dx x arcsin a x C a a x x (9) arccos dx x arccos a x C a a x x a (10) arctan dx x arctan ln a x C a a x x a (11) arc cot dx x arc cot ln a x C a a x arccos C a x x2 a2 a (12) (6) a x2 a2 ln C a x x x2 a2 (13) e cos bx dx dx x a2 x2 a2 x a x dx arcsin C 2 a 2 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 dx ax b ln tan C sin ax b a (5) (7) dx 1 dx cot ax b C a sin ax b ax (14) e ax sin bx dx e ax a cos bx b sin bx a2 b2 e ax a sin bx b cos bx a2 b2 C C Trang Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024 B CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1.1 Nguyên hàm Áp dụng định nghĩa, tính chất bảng công thức nguyên hàm Định nghĩa: Cho hàm số f x xác định K ( K khoảng, đoạn hay nửa khoảng) Hàm số F x nguyên hàm hàm số f x K F x f x x K Ký hiệu: f x dx F x C Tính chất: f x dx f x f x dx f x C k f x dx k f x dx với k f x g x dx f x dx g x dx Ví dụ 1.1.1 – Áp dụng định nghĩa Hàm số F x nguyên hàm hàm số f x x2 x3 A F x 3 x C F x x3 B F x D F x x3 Lời giải Ví dụ 1.1.2 – Áp dụng định nghĩa Nguyên hàm hàm số f x A ln x C là? x B ln x C C x C D C x2 Lời giải Ví dụ 1.1.3 – Áp dụng định nghĩa x3 e x C f x bằng: x4 x4 ex ex A x2 e x B C 3x2 e x D 12 Lời giải Nếu f x dx Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024 Ví dụ 1.1.4 – Áp dụng bảng nguyên hàm Tính I tan x dx A I sin x C B I cos x C C I tan x C D I cot x C Lời giải Ví dụ 1.1.5 – Áp dụng tính chất – bảng nguyên hàm Tìm họ nguyên hàm hàm số f x 5x f x dx C C C f x dx ln x A f x dx ln C C D f x dx x 1 B x x 1 x Lời giải Ví dụ 1.1.6 – Áp dụng tính chất – bảng nguyên hàm Họ nguyên hàm hàm số f x x2 3x là: x x3 A F x 2x C B F x x ln x C x x x3 C F x x ln x C D F x x ln x C 3 Lời giải Ví dụ 1.1.7 – Áp dụng tính chất – bảng nguyên hàm Họ nguyên hàm hàm số f x 5x4 C 10x C D x5 x 2x C Lời giải A x5 2x C B Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024 Dạng 1.2 Nguyên hàm đổi biến 1.2.1 Đổi biến loại (Lượng giác hóa) Dấu hiệu để ta dùng phương pháp “Đổi biến loại 01”: Dấu hiệu Cách đặt a2 x2 2ax x a x 2 x a tan t , với ax ax t x a a sin t , với x a x a sin t , với x ax ax x a b x 2 t t 2 a với t t sin t 2 x a cos 2t , với t x a b a sin2 t , với t Khi ta có bước giải sau: Bước 1: Bước 2: Bước 3: Bước 4: t với t có đạo hàm liên tục K , chọn hợp lý Lấy vi phân x theo biến số t , cụ thể dx t dt Thay x t lẫn dx t dt vào f x dx toán theo t Giải nguyên hàm f t t dt kết F t theo t , sau thay biểu thức x t vào F t để tìm nguyên hàm theo biến x Đặt x Ví dụ 1.2.1 Tìm họ nguyên hàm hàm số f x x x x x2 C A arcsin 2 C x arcsin x C 2 x x2 C B arcsin 3 D x x x2 arcsin C 2 Lời giải Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024 Ví dụ 1.2.2 Tìm họ nguyên hàm hàm số f x x2 x C x C 2arcsin x C D arctan C 2 Lời giải A arctan 2x C B arctan Ví dụ 1.2.3 Tìm họ nguyên hàm hàm số f x x A 2 arccos C x C 2 arccos x2 C 2x 2x x x2 C B arccos D 2 arccos x x2 C Lời giải Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024 1.2.2 Đổi biến loại Dấu hiệu để ta dùng phương pháp “Đổi biến loại 02”: Dấu hiệu t x t x f e t x dx f t x t x dx f t x t x dx n Cách đặt Biểu thức cần đặt t mẫu thức t x dx t x f t x t x dx Biểu thức cần đặt t phần số mũ e Biểu thức cần đặt t biểu thức chứa dấu ngoặc Đặt thức có dấu tích phân f ln x dx dx Đặt biểu thức chứa có kèm theo ln x x x Khi ta có bước giải sau: Bước 1: Đặt t t x (hoặc đặt t a t x b tùy vào cụ thể) Bước 2: Lấy vi phân t theo x , cụ thể dt t x dx Bước 3: Thay t t x lẫn dt t x dx vào Bước 4: Giải nguyên hàm f t x t x dx f t dt , kết F t theo t , sau thay biến vào kết để tìm nguyên hàm theo biến x Ví dụ 1.2.4 Tìm họ ngun hàm hàm số f x A ln cos x C C ln cos x C s in x cos x B ln cos x C D ln cos x C Lời giải Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024 Thể tích vật thể: Gọi B phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm a b , S x diện tích thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm x, ( a x b) Giả sử S x hàm số liên tục đoạn a; b b Khi đó, thể tích vật thể B xác định: V S x dx a Thể tích khối trịn xoay: Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường y f x , trục hoành hai đường thẳng x a, x b quanh trục Ox : V b f x dx a Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường x g y , trục tung hai đường thẳng y c, y d quanh trục Oy : V b g y dy a Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường y f x , y g x (cùng nằm phía so với Ox) hai đường thẳng x a, x b quanh trục Ox : V b f x g x dx 2 a Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 62 Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024 Dạng 3.1 Câu hỏi lý thuyết Diện tích hình phẳng: y f x b Ox (1) Giới hạn: S f x dx a x a x b y f x b y g x (2) Giới hạn: S f x g x dx a x a x b Thể tích vật thể: Gọi B phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vng góc trục Ox điểm a b , S x diện tích thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vuông góc trục Ox điểm x, ( a x b) b Khi đó, thể tích vật thể B xác định: V S x dx a Thể tích khối trịn xoay: y f x Ox (1) Giới hạn: quay quanh trục Ox V x a x b y f x y g x (2) Giới hạn: quay quanh trục Ox V x a x b x g y Oy (3) Giới hạn: quay quanh trục Oy V x a x b b f x dx a b f x g x dx 2 a b g y dy a Ví dụ 3.1.1 Cho hình phẳng H giới hạn đồ thị hàm số f1 x f2 x liên tục a; b đường thẳng x a , x b Cơng thức tính diện tích hình H y f1 x f2 x O a c1 b A S f1 x f2 x dx a b C S f1 x f2 x dx a c2 b x b B S f1 x f2 x dx a b b a a D S f2 x dx f1 x dx Lời giải Chọn A b Ta có: S f1 x f2 x dx a Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 63 Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024 Ví dụ 3.1.2 Cho hàm số y f x liên tục có đồ thị hình bên Gọi D hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số cho trục Ox Quay hình phẳng D quanh trục Ox ta khối trịn xoay tích V xác định theo cơng thức 3 2 A V f x dx B V f x dx 31 3 C V f x dx f x D V dx Lời giải Chọn D Thể tích khối trịn xoay quay hình phẳng D quanh trục Ox : V f x dx Ví dụ 3.1.3 Gọi S diện tích miền hình phẳng tơ đậm hình vẽ bên Cơng thức tính S 1 f x dx f x dx A S B S f x dx 1 C S f x dx f x dx 1 D S f x dx 1 Lời giải Chọn B 2 1 1 1 S f x dx f x 0 dx 0 f x dx f x dx f x dx Ví dụ 3.1.4 Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường y x , trục Ox hai đường thẳng x ; x quay quanh trục hồnh tính công thức nào? A V xdx B V x dx 1 C V xdx D V xdx Lời giải Chọn A Thể tích khối tròn xoay giới hạn đồ thị hàm số y x , trục Ox , x x tính cơng thức V x dx Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 xdx Trang 64 Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024 Dạng 3.2 Diện tích hình phẳng giới hạn y=f(x), Ox, x=a, x=b y f x b Ox Diện tích hình phẳng giới hạn: S f x dx a x a x b Để phá bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta thường làm sau: Giải f x tìm nghiệm x1 , x2 , , xn a; b a x1 x2 xn b Bước 1: x1 x2 b a x1 xn x1 x2 Tính S f x dx f x dx f x dx Bước 2: f x dx a b f x dx f x dx x1 xn Ngồi cách trên, ta dựa vào đồ thị để bỏ dấu giá trị tuyệt đối Ví dụ 3.2.1 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x , trục hoành hai đường thẳng x 1, x A B C D Lời giải Chọn A x 1 Xét phương trình x x 2 Ta có: S x dx x 4x dx 2 1 x 4x dx Ví dụ 3.2.2 Tính diện tích S hình phẳng giới hạn y x 2x , y , x 4 , x A S 15 B S 23 C S D S 38 Lời giải Chọn D x Xét ơhương trình hồnh độ giao điểm: x x x Diện tích cần tìm: S x 4 2x dx x 4 2x dx x3 x3 2 x 2x dx x x 38 4 0 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 65 Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024 Dạng 3.3 Diện tích hình phẳng giới hạn y=f(x), y=g(x), x=a, x=b y f x b y g x Diện tích hình phẳng giới hạn: S f x g x dx a x a x b Để phá bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta thường làm sau: Bước 1: Giải f x g x tìm nghiệm x1 , x2 , , xn a; b a x1 x2 xn b Bước 2: Tính S f x g x dx f x g x dx f x g x dx x1 x2 b a x1 xn x1 x2 b a x1 xn f x g x dx f x g x dx f x g x dx Ngồi cách trên, ta dựa vào đồ thị để bỏ dấu giá trị tuyệt đối Ví dụ 3.3.1 Diện tích hình phẳng giới hạn y x đường thẳng y x A B C D Lời giải Chọn D x 1 Ta có x x x2 x, x [ 1; 2] x 2 x x3 Nên S ( x x )dx 2x 1 1 Ví dụ 3.3.2 2 Hình phẳng giới hạn đường cong y x 1 x y x3 x có diện tích A 37 12 B 12 C D Lời giải Chọn A x x 1 x x x x x 2x x 2 x Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y x 1 x y x3 x 3 Khi S x x 2x dx 2 x 2 x 2 x 2x dx x 3 x 2x dx x3 x 2x dx 37 ( đvdt) x 2x dx 12 12 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 66 Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024 Dạng 3.4 Diện tích hình phẳng giới hạn y=f(x), y=g(x), y=h(x) y f x Diện tích hình phẳng giới hạn: y g x y h x Giải f x g x có nghiệm x1 Bước 1: Giải g x h x có nghiệm x Giải g x h x có nghiệm x3 Giả sử x1 x2 x3 biểu diễn hình Bước 2: Khi S x2 x1 x3 g x f x dx h x f x dx x2 x2 x3 x1 x2 g x f x dx h x f x dx Ví dụ 3.4.1 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x2 3x; y x 1; y x A 12 B C D Lời giải Chọn A – x2 3x x – x2 2x – x – x2 3x – x – x2 4x – x x 1 –x 2x – x 32 S – x 3x – x – dx – x 3x x – dx x – 1 2 dx x – 2 dx 12 Ví dụ 3.4.1 Diện tích hình phẳng giới hạn đường y 2x ; y A 63 54 ln 2 B 54 ln C 63 x2 54 ; y x 63 D 54 ln 2 Lời giải Chọn B x2 2x2 x 54 x 54 x x x x 6 54 x x2 54 x x2 S 2x dx dx 2x dx dx 54 ln x 4 x 0 3 2x Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 67 Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024 Dạng 3.5 Diện tích hình phẳng dựa vào đồ thị b y f x ● Trường hợp 1: diện tích hình phẳng cần tìm S f x g x dx a y g x Bước 1: Quan sát đồ thị thấy f x g x x c ; c a; b Bước 2: Bước 3: Xét hiệu f x g x đoạn a; c ; c; b a; c : f x g x Giả sử c ; b : f x g x b Khi S f x g x dx a c b f x g x dx g x f x dx a c b y f x ● Trường hợp 2: diện tích hình phẳng cần tìm S f x dx Ox : y a Bước 1: Quan sát đồ thị thấy f x x c ; c a; b Bước 2: Xét hiệu f x đoạn a; c ; c; b a; c : f x Giả sử c ; b : f x Bước 3: b c a a b Khi S f x dx f x dx f x dx c Ví dụ 3.5.1 Gọi S diện tích hình phẳng H giới hạn đường y f x , trục hoành hai đường thẳng x 1 , x Đặt a 1 f x dx , b f x dx , Khi S A b a B b a C b a Lời giải D b a Chọn A Ta có: S 2 1 1 f x dx f x dx f x dx 1 Ta thấy f x x 0; 2 ; f x x 1; 0 S f x dx f x dx a b Ví dụ 3.5.2 Diện tích phần hình phẳng gạch chéo hình vẽ bên tính theo cơng thức đây? A 1 C 2x dx 2x 1 B 2x dx D 2x 2 dx 1 2x 1 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 2x dx Trang 68 Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024 Lời giải Chọn D S x2 x2 2x dx 1 2x2 2x dx 1 2x 2x dx 1 Ví dụ 3.5.3 Cho hàm số f x liên tục y Gọi S diện tích hình y=f(x) phẳng giới hạn cá đường y f x , y 0, x 2 x (như hình vẽ) Mệnh đề đúng? A S f x dx f x dx 2 O 1 B S x 3 f x dx f x dx 2 1 C S f x dx f x dx 2 D S 1 2 f x dx f x dx Lời giải Chọn B Ta có S 3 2 2 f x dx S f x dx f x dx Do f x với x 2;1 f x với x 1; 3 nên S 2 f x dx f x dx Ví dụ 3.5.4 Cho hình thang cong H giới hạn đường y e x , y , x , x ln Đường thẳng x k k ln chia H thành hai phần có diện tích S S hình vẽ bên Tìm k để S1 2S2 ln C k ln B k ln A k D k ln Lời giải Chọn D k k Ta có S1 e xdx e x e k S2 0 Ta có S1 2S2 e e k k ln e xdx e x k ln k ek k ln Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 69 Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024 Dạng 3.6 Thể tích vật thể Gọi B phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm a b , S x diện tích thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm x, a x b Giả sử S x hàm số liên tục đoạn a; b b Khi đó, thể tích vật thể B xác định: V S x dx a Ví dụ 3.6.1 Tính thể tích vật thể giới hạn hai mặt phẳng x x , biết cắt vật thể mặt phẳng tùy ý vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x 1 x 3 thiết diện hình chữ nhật có hai cạnh 3x x 2178 2178 A B 26 C 26 D 5 Lời giải Chọn C 3 1 V S x dx 3x2 dx 26 Ví dụ 3.6.2 Tính thể tích V vật thể nằm hai mặt phẳng x x , biết thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x x tam giác cạnh sin x A V B V C V Lời giải D V Chọn D V S x dx sin x dx Ví dụ 3.6.3 Tính thể tích V phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng x x 3, biết cắt vật thể mặt phẳng tùy ý vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x (1 x 3) thiết diện hình chữ nhật có hai cạnh 3x B V A V 32 15 124 124 C V 3 Lời giải 3x D V 32 Chọn C Ta có V 3x 3x 2dx ; đặt t 3x2 t 3x2 2tdt 6xdx tdt 3xdx Đổi cận: x t , x t 1 124 Khi V t.t.dt t 1 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 70 Tổng Hợp Lý Thuyết Thể tích hình phẳng giới hạn f(x), Ox, x=a, x=b quay quanh Ox Dạng 3.7 Bước 1: Bước 2: Năm học: 2023-2024 Giải phương trình f x x c ; c a; b b f x Khi V dx a Ví dụ 3.7.1 Cho hình phẳng H giới hạn đồ thị hàm số y x2 4x , trục hoành hai đường thẳng x 1, x Quay H xung quanh trục hồnh khối trịn xoay tích 3 A V x 4x 3dx 1 C V B V x 4x dx x 4x dx x D V 4x 3dx Lời giải Chọn C Thể tích cần tìm : V x2 4x dx x 4x dx Ví dụ 3.7.2 Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số π y tan x , trục hoành đường thẳng x , x quanh trục hoành A V π B V π ln π2 C V Lời giải D V π Chọn B π π sin x dx π ln cos x cos x Thể tích khối trịn xoay cần tính V π tan xdx π π π ln Ví dụ 3.7.3 Cho hình phẳng D giới hạn đường y x , y , x , x Khối tròn xoay tạo thành quay D quạnh trục hồnh tích V bao nhiêu? 32 32 32 A V B V C V D V 32 5 Lời giải Chọn B V x 2 dx x 2 32 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 71 Tổng Hợp Lý Thuyết Dạng 3.8 Bước 1: Bước 2: Năm học: 2023-2024 Thể tích hình phẳng giới hạn f(x), g(x), x=a, x=b quay quanh Ox Giải phương trình f x g x x c ; c a; b c b f x g x dx f x g x dx Khi V 2 a c Ví dụ 3.8.1 Cơng thức tính thể tích khối trịn xoay cho hình phẳng giới hạn parabol P : y x2 đường thẳng d : y 2x quay xung quanh Ox A 2x x dx B 2x dx C x 2 4x dx x dx D 4x dx x dx 0 Lời giải Chọn C x Xét phương trình hồnh độ giao điểm P d x 2x x Vì ; ta có 2x x2 Nên cơng thức tính thể tích khối tròn xoay là: V 4x dx x dx 0 Ví dụ 3.8.2 Cho hình phẳng H giới hạn đường y x , y x x Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình H quanh trục hoành nhận giá trị sau đây: A V 40 B V 38 C V 41 D V 41 Lời giải Chọn C x x x x x x Phương trình hồnh độ giao điểm: Thể tích khối trịn xoay cần tìm VOx x x dx x Xét phương trình x x x Do VOx x x dx x x dx x x dx x x dx x3 x x3 x 41 0 1 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 (đvtt) Trang 72 Tổng Hợp Lý Thuyết Dạng 3.9 Bước 1: Bước 2: Năm học: 2023-2024 Thể tích hình phẳng giới hạn f(y), g(y), y=a, y=b quay quanh Oy Giải phương trình f y g y y c ; c a; b Khi V c b f y g y dy f y g y dy 2 a c Ví dụ 3.9.1 Cho hình phẳng H giới hạn đường xy , x , y y Thể tích V khối trịn xoay tạo thành quay hình H quanh trục tung A V 12π B V 16π C V 10π Lời giải D V 8π Chọn A 4 4 16 16 Ta tích V khối tròn xoay V π dy π dy π 12π y y 1 1 y Ví dụ 3.9.2 Cho hình phẳng H giới hạn đường x y , x , y , y Gọi V thể tích khối trịn xoay tạo thành quay H xung quanh trục Oy Mệnh đề đúng? A V y dy 2 B V y dy C V 3 dy D V 0 2 y dy Lời giải Chọn D Phương trình y vô nghiệm y y Thể tích khối tròn xoay là: V y dy Ví dụ 3.9.3 Cho hình phẳng D giới hạn đường cong x e y , trục tung đường thẳng y , y Khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục tung tích V bao nhiêu? A V e 2 1 e2 1 B V e2 C V Lời giải D V e 1 Chọn D Phương trình e y vô nghiệm e y y e2y Thể tích khối trịn xoay là: V e dy 2y Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 e 1 Trang 73 Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024 Dạng 3.10 Tính giá trị hàm qua diện tích hình phẳng b Áp dụng định nghĩa tích phân: b f x dx F x a F b F a a Thì lúc đề yêu cầu so sánh F b ; F a Bài toán: Cho hàm số y f x liên tục có đồ thị hình F x nguyên hàm f x a; c So sánh F a ; F c ; F xi xi a; c So sánh F a ; F b Bước 1: b b a a Trên a; b : f x f x dx f x dx F b F a b Mà f x dx F b F a F b F a a Bước 2: Tương tự so sánh F b ; F c Bước 3: y f x Ta thấy diện tích hình phẳng giới hạn Ox lớn x a; x b b a y f x Ox x b; x c c f x dx f x dx F b F a F c F b F a F c F a F c b Ví dụ 3.10.1 Cho hàm số y f x xác định, liên tục có nguyên y hàm F x 2;1 đồng thời f x có đồ thị hình vẽ bên Hỏi số sau số dương? A F F 2 B F 2 F 1 C F F 1 -2 D F F O -1 x y = f (x) Lời giải y Chọn A S CIB f x dx F 1 F 2 nên loại B 2 S IDA f x dx F 1 F nên loại C B 1 f x dx f x dx F 1 F 0 F 1 F F F nên loại D Mặt khác ta có S CIB S DIA 2 C -2 f x dx f x dx I O -1 D A y = f (x) F 1 F 2 F 1 F F 2 F F F 2 Vậy F F 2 số dương Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 74 x Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024 Ví dụ 3.10.2 Cho hàm số f x có đạo hàm , đồ thị hàm số y f x hình vẽ bên Mệnh đề sau đúng? A f a f c B f b f c C f a f b D f a f c Lời giải Chọn A Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f b f c , f a f b nên loại phương án B, C b Mặt khác c f x dx f x dx a b f x f x f b f a f c f b f a f c b c a b Vậy f a f c mệnh đề Ví dụ 3.10.3 Cho hàm số y f x có đồ thị đoạn 4; 4 hình vẽ Gọi F x nguyên hàm hàm số f x , tính giá trị S F F 4 y y = f(x) -4 A S O -2 B S 14 2 C S 14 Lời giải x D S 14 Chọn B S F F 4 f x dx 4 2 4 f x dx 2.2 ; 2 4 2 f x dx f x dx f x dx f x dx 2.4 2 22 ; f x dx 2.2 Vậy S 14 Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 75
Ngày đăng: 24/12/2023, 08:13
Xem thêm:
