Tong hop ly thuyet nguyen ham tich phan va ung dung le minh tam

TÀI LIỆU DÀNH CHO KHỐI 12 Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024 Mục lục  Chủ đề 01 NGUYÊN HÀM  Dạng 1.1 Nguyên hàm  Dạng 1.2 Nguyên hàm đổi biến 1.2.1 Đổi biến loại (Lượng giác hóa) 1.2.2 Đổi biến loại  Dạng 1.3 Nguyên hàm phần 11  Dạng 1.4 Nguyên hàm hàm số hữu tỉ 13 1.4.1 Bậc tử ≥ Bậc mẫu 13 1.4.1 Bậc tử < Bậc mẫu 14  Dạng 1.5 Nguyên hàm hàm số vô tỉ 23  Dạng 1.6 Nguyên hàm hàm số lượng giác 23  Dạng 1.7 Nguyên hàm có điều kiện 26  Chủ đề 02 TÍCH PHÂN  Dạng 2.1 Tích phân áp dụng tính chất & bảng nguyên hàm 29  Dạng 2.2 Tích phân phần 31  Dạng 2.3 Tích phân đổi biến loại 33  Dạng 2.4 Tích phân đổi biến loại 35  Dạng 2.5 Tích phân kết hợp đổi biến & phần 37  Dạng 2.6 Tích phân chứa trị tuyệt đối 39  Dạng 2.7 Tích phân dựa vào đồ thị 41  Dạng 2.8 Tích phân hàm chẵn lẻ 43  Dạng 2.9 Tích phân hàm cho nhiều cơng thức 45  Dạng 2.10 Tích phân liên quan max – 47  Dạng 2.11 Tích phân hàm “ẩn” 49 2.11.1 Dùng phương pháp đổi biến 49 2.11.2 Dùng phương pháp phần 51  Dạng 2.12 Tích phân liên quan phương trình vi phân 53 2.12.1 Biểu thức đạo hàm 53  Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024 2.12.2 Biểu thức tổng hiệu 55 2.12.2 Bài toán tổng quát 𝒇′(𝒙) + 𝒑(𝒙) 𝒇(𝒙) = 𝒉(𝒙) 56  Dạng 2.13 Bất đẳng thức tích phân 58  Chủ đề 03 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN  Dạng 3.1 Câu hỏi lý thuyết 63  Dạng 3.2 Diện tích hình phẳng giới hạn y=f(x), Ox, x=a, x=b 65  Dạng 3.3 Diện tích hình phẳng giới hạn y=f(x), y=g(x), x=a, x=b 66  Dạng 3.4 Diện tích hình phẳng giới hạn y=f(x), y=g(x), y=h(x) 67  Dạng 3.5 Diện tích hình phẳng dựa vào đồ thị 68  Dạng 3.6 Thể tích vật thể 70  Dạng 3.7 Thể tích hình phẳng giới hạn f(x), Ox, x=a, x=b quay quanh Ox 71  Dạng 3.8 Thể tích hình phẳng giới hạn f(x), g(x), x=a, x=b quay quanh Ox 72  Dạng 3.9 Thể tích hình phẳng giới hạn f(y), g(y), y=a, y=b quay quanh Oy 73  Dạng 3.10 Tính giá trị hàm qua diện tích hình phẳng 74  Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024 NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG NGUYÊN HÀM A LÝ THUYẾT CHUNG Định nghĩa:  Cho hàm số f  x  xác định K ( K khoảng, đoạn hay nửa khoảng) Hàm số F  x  nguyên hàm hàm số f  x  K F  x   f  x  x  K Ký hiệu:  f  x  dx  F  x   C Định lý:  Nếu F  x  nguyên hàm f  x  K thì: ● Với số C , hàm G  x   F  x   C nguyên hàm f  x  K ● Mọi nguyên hàm f  x  K có dạng F  x   C , với C số   Do F  x   C , C  họ tất nguyên hàm f  x  K Tính chất:   f  x  dx   f  x   f   x dx  f  x  C  k  f  x  dx  k   f  x  dx với k    f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx Định lí:  Mọi hàm số f  x  liên tục K có nguyên hàm K  Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024 Bảng nguyên hàm bản: (1)  0dx  C (3)  x dx  x 1 (4)  1  C   1 1 dx    C x x (2)  dx  x  C  ax  b   C ,   1 (14)   ax  b  dx  a 1 1 (15)  dx   C a  ax  b 2  ax  b  1 dx  ln ax  b  C ax  b a (17)  e axbdx  e axb  C a a kx  b kx  b C (18)  a dx  k ln a (19)  cos  ax  b  dx  sin  ax  b   C a (20)  sin  ax  b  dx   cos  ax  b   C a 1 (21)  dx  tan  ax  b   C a cos  ax  b  (5)  dx  ln x  C x (16)  (6)  e xdx  e x  C ax C (7)  a dx  ln a x (8)  cos x dx  sin x  C (9)  sin x dx   cos x  C (10)  dx  tan x  C cos2 x (11)  dx   cot x  C sin x (22)      (23)   tan  ax  b  dx  tan  ax  b   C a (24)   cot  ax  b  dx   cot  ax  b   C a (12)   tan x dx  tan x  C (13)   cot x dx  cotx  C Bảng nguyên hàm mở rộng: (1)  dx x  arctan  C 2 a a a x (2)  dx ax  ln C 2a ax a x (3)  (4)  dx x2  a2 dx a2  x2    ln x  x  a  C  arcsin x C a     x x (8)  arcsin   dx  x arcsin  a  x  C a a x x (9)  arccos   dx  x arccos  a  x  C a a x x a (10)  arctan   dx  x arctan  ln a  x  C a a x x a (11)  arc cot   dx  x arc cot  ln a  x  C a a x  arccos  C a x x2  a2 a (12)  (6)  a  x2  a2   ln C a x x x2  a2 (13)  e cos  bx  dx  dx x a2  x2 a2 x a  x dx   arcsin  C 2 a 2  Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281     dx ax  b  ln tan C sin  ax  b  a (5)  (7)  dx 1 dx   cot  ax  b   C a sin  ax  b  ax (14)  e ax sin  bx  dx  e ax  a cos bx  b sin bx  a2  b2 e ax  a sin bx  b cos bx  a2  b2 C C Trang Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024 B CÁC DẠNG BÀI TẬP  Dạng 1.1 Nguyên hàm  Áp dụng định nghĩa, tính chất bảng công thức nguyên hàm Định nghĩa: Cho hàm số f  x  xác định K ( K khoảng, đoạn hay nửa khoảng) Hàm số F  x  nguyên hàm hàm số f  x  K F  x   f  x  x  K Ký hiệu:  f  x  dx  F  x   C Tính chất:   f  x  dx   f  x   f   x dx  f  x  C  k  f  x  dx  k   f  x  dx với k    f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx  Ví dụ 1.1.1 – Áp dụng định nghĩa Hàm số F  x  nguyên hàm hàm số f  x   x2 x3 A F  x   3 x C F  x    x3 B F  x    D F  x   x3 Lời giải  Ví dụ 1.1.2 – Áp dụng định nghĩa Nguyên hàm hàm số f  x   A  ln x  C là? x B ln x  C C x  C D C x2 Lời giải  Ví dụ 1.1.3 – Áp dụng định nghĩa x3  e x  C f  x  bằng:  x4 x4  ex  ex A x2  e x B C 3x2  e x D 12 Lời giải Nếu f  x  dx   Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024  Ví dụ 1.1.4 – Áp dụng bảng nguyên hàm   Tính I    tan x dx A I  sin x  C B I  cos x  C C I  tan x  C D I  cot x  C Lời giải  Ví dụ 1.1.5 – Áp dụng tính chất – bảng nguyên hàm Tìm họ nguyên hàm hàm số f  x   5x  f  x dx   C C C  f  x  dx  ln x A  f  x dx  ln  C C D  f  x  dx  x 1 B x x 1 x Lời giải  Ví dụ 1.1.6 – Áp dụng tính chất – bảng nguyên hàm Họ nguyên hàm hàm số f  x   x2  3x  là: x x3 A F  x   2x    C B F  x    x  ln x  C x x x3 C F  x    x  ln x  C D F  x    x  ln x  C 3 Lời giải  Ví dụ 1.1.7 – Áp dụng tính chất – bảng nguyên hàm Họ nguyên hàm hàm số f  x   5x4  C 10x  C D x5  x  2x  C Lời giải A x5  2x  C B  Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024  Dạng 1.2 Nguyên hàm đổi biến 1.2.1 Đổi biến loại (Lượng giác hóa)  Dấu hiệu để ta dùng phương pháp “Đổi biến loại 01”: Dấu hiệu Cách đặt a2  x2 2ax  x a x 2 x  a tan t , với  ax ax t x  a  a sin t , với  x a x  a sin t , với  x ax ax  x  a  b  x  2 t t 2 a với   t  t  sin t 2 x  a cos 2t , với  t  x  a   b  a  sin2 t , với  t  Khi ta có bước giải sau: Bước 1: Bước 2: Bước 3: Bước 4:  t  với t  có đạo hàm liên tục K , chọn hợp lý Lấy vi phân x theo biến số t , cụ thể dx    t  dt Thay x   t  lẫn dx    t  dt vào  f  x  dx toán theo t Giải nguyên hàm  f   t     t  dt kết F  t  theo t , sau thay biểu thức x   t  vào F  t  để tìm nguyên hàm theo biến x Đặt x   Ví dụ 1.2.1 Tìm họ nguyên hàm hàm số f  x    x x x  x2  C A arcsin 2 C x arcsin x   C 2 x  x2  C B arcsin 3 D x x x2 arcsin  C 2 Lời giải  Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024  Ví dụ 1.2.2 Tìm họ nguyên hàm hàm số f  x    x2 x C x C 2arcsin x  C D arctan  C 2 Lời giải A arctan 2x  C B arctan  Ví dụ 1.2.3 Tìm họ nguyên hàm hàm số f  x   x A 2 arccos  C x C 2 arccos   x2  C 2x 2x x  x2 C B arccos D 2 arccos x   x2  C Lời giải  Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024 1.2.2 Đổi biến loại  Dấu hiệu để ta dùng phương pháp “Đổi biến loại 02”: Dấu hiệu  t  x   t  x    f  e   t  x  dx  f  t  x    t   x  dx  f  t  x    t  x  dx n Cách đặt Biểu thức cần đặt t mẫu thức t  x  dx t x  f  t  x    t   x  dx Biểu thức cần đặt t phần số mũ e Biểu thức cần đặt t biểu thức chứa dấu ngoặc Đặt thức có dấu tích phân f  ln x   dx dx Đặt biểu thức chứa có kèm theo ln x  x x Khi ta có bước giải sau: Bước 1: Đặt t  t  x  (hoặc đặt t  a  t  x   b tùy vào cụ thể) Bước 2: Lấy vi phân t theo x , cụ thể dt  t  x  dx Bước 3: Thay t  t  x  lẫn dt  t  x  dx vào Bước 4: Giải nguyên hàm  f  t  x    t   x  dx  f t  dt , kết F t  theo t , sau thay biến vào kết để tìm nguyên hàm theo biến x  Ví dụ 1.2.4 Tìm họ ngun hàm hàm số f  x   A  ln  cos x  C C   ln cos x  C s in x   cos x B  ln  cos x  C D ln  cos x  C Lời giải  Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024 Thể tích vật thể:  Gọi B phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm a b , S  x  diện tích thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm x, ( a  x  b) Giả sử S  x  hàm số liên tục đoạn  a; b  b Khi đó, thể tích vật thể B xác định: V   S  x  dx a Thể tích khối trịn xoay:  Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường y  f  x  , trục hoành hai đường thẳng x  a, x  b quanh trục Ox : V b  f  x  dx a  Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường x  g  y  , trục tung hai đường thẳng y  c, y  d quanh trục Oy : V b  g  y  dy a  Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường y  f  x  , y  g  x  (cùng nằm phía so với Ox) hai đường thẳng x  a, x  b quanh trục Ox : V b  f  x   g  x  dx 2 a  Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 62 Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024  Dạng 3.1 Câu hỏi lý thuyết  Diện tích hình phẳng: y  f  x  b Ox (1) Giới hạn:   S   f  x  dx a x  a x  b  y  f  x  b y  g  x (2) Giới hạn:   S   f  x   g  x  dx a x  a x  b   Thể tích vật thể: Gọi B phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vng góc trục Ox điểm a b , S  x  diện tích thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vuông góc trục Ox điểm x, ( a  x  b) b Khi đó, thể tích vật thể B xác định: V   S  x  dx a  Thể tích khối trịn xoay: y  f  x  Ox (1) Giới hạn:  quay quanh trục Ox  V  x  a  x  b  y  f  x  y  g  x (2) Giới hạn:  quay quanh trục Ox  V  x  a x  b  x  g  y   Oy (3) Giới hạn:  quay quanh trục Oy  V  x  a  x  b  b  f  x  dx a b  f  x   g  x  dx 2 a b  g  y  dy a  Ví dụ 3.1.1 Cho hình phẳng  H  giới hạn đồ thị hàm số f1  x  f2  x  liên tục a; b đường thẳng x  a , x  b Cơng thức tính diện tích hình  H  y f1  x  f2  x  O a c1 b A S   f1  x   f2  x  dx a b C S   f1  x   f2  x  dx a c2 b x b   B S   f1  x   f2  x  dx a b b a a D S   f2  x  dx   f1  x  dx Lời giải Chọn A b Ta có: S   f1  x   f2  x  dx a  Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 63 Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024  Ví dụ 3.1.2 Cho hàm số y  f  x  liên tục có đồ thị hình bên Gọi D hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số cho trục Ox Quay hình phẳng D quanh trục Ox ta khối trịn xoay tích V xác định theo cơng thức 3 2 A V    f  x  dx B V    f  x  dx 31 3 C V    f  x   dx   f  x  D V  dx Lời giải Chọn D Thể tích khối trịn xoay quay hình phẳng D quanh trục Ox : V    f  x  dx  Ví dụ 3.1.3 Gọi S diện tích miền hình phẳng tơ đậm hình vẽ bên Cơng thức tính S 1  f  x  dx   f  x  dx A S  B S   f  x  dx 1 C S   f  x  dx   f  x  dx 1 D S    f  x  dx 1 Lời giải Chọn B 2 1 1 1 S   f  x  dx    f  x   0 dx   0  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  Ví dụ 3.1.4 Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường y  x , trục Ox hai đường thẳng x  ; x  quay quanh trục hồnh tính công thức nào? A V   xdx B V   x dx 1 C V   xdx D V   xdx Lời giải Chọn A Thể tích khối tròn xoay giới hạn đồ thị hàm số y  x , trục Ox , x  x   tính cơng thức V   x dx   Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281  xdx Trang 64 Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024  Dạng 3.2 Diện tích hình phẳng giới hạn y=f(x), Ox, x=a, x=b y  f  x  b Ox  Diện tích hình phẳng giới hạn:   S   f  x  dx a x  a x  b  Để phá bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta thường làm sau: Giải f  x   tìm nghiệm x1 , x2 , , xn   a; b   a  x1  x2   xn  b  Bước 1: x1 x2 b a x1 xn x1 x2 Tính S   f  x  dx   f  x  dx    f  x  dx Bước 2:   f  x  dx  a  b f  x  dx    f  x  dx x1 xn  Ngồi cách trên, ta dựa vào đồ thị để bỏ dấu giá trị tuyệt đối  Ví dụ 3.2.1 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y   x    , trục hoành hai đường thẳng x  1, x  A B C D Lời giải Chọn A x 1 Xét phương trình  x       x  2 Ta có: S    x    dx   x  4x  dx  2 1  x   4x  dx   Ví dụ 3.2.2 Tính diện tích S hình phẳng giới hạn y  x  2x , y  , x  4 , x  A S  15 B S  23 C S  D S  38 Lời giải Chọn D x  Xét ơhương trình hồnh độ giao điểm: x  x    x  Diện tích cần tìm: S x 4  2x dx   x 4   2x dx     x3  x3  2 x  2x dx    x     x   38   4  0  Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281  Trang 65 Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024  Dạng 3.3 Diện tích hình phẳng giới hạn y=f(x), y=g(x), x=a, x=b y  f  x  b y  g  x  Diện tích hình phẳng giới hạn:   S   f  x   g  x  dx a x  a x  b  Để phá bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta thường làm sau: Bước 1: Giải f  x   g  x  tìm nghiệm x1 , x2 , , xn   a; b   a  x1  x2   xn  b  Bước 2: Tính S   f  x   g  x  dx   f  x   g  x  dx    f  x   g  x  dx  x1 x2 b a x1 xn x1 x2 b a x1 xn   f  x   g  x   dx    f  x   g  x   dx     f  x   g  x   dx  Ngồi cách trên, ta dựa vào đồ thị để bỏ dấu giá trị tuyệt đối  Ví dụ 3.3.1 Diện tích hình phẳng giới hạn y   x đường thẳng y  x A B C D Lời giải Chọn D  x  1 Ta có  x   x    x2  x, x [  1; 2] x  2  x x3  Nên S   (  x  x )dx   2x      1  1  Ví dụ 3.3.2 2 Hình phẳng giới hạn đường cong y  x 1  x  y  x3  x có diện tích A 37 12 B 12 C D Lời giải Chọn A x   x 1  x   x  x  x  x  2x    x  2  x  Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y  x 1  x  y  x3  x 3 Khi S  x  x  2x dx  2   x 2 x 2   x  2x dx   x 3  x  2x dx   x3  x  2x dx  37 ( đvdt)  x  2x dx    12 12  Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 66 Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024  Dạng 3.4 Diện tích hình phẳng giới hạn y=f(x), y=g(x), y=h(x) y  f  x   Diện tích hình phẳng giới hạn:  y  g  x    y  h  x  Giải f  x   g  x  có nghiệm x1 Bước 1: Giải g  x   h  x  có nghiệm x Giải g  x   h  x  có nghiệm x3 Giả sử x1  x2  x3 biểu diễn hình Bước 2: Khi S  x2  x1  x3 g  x   f  x  dx   h  x   f  x  dx x2 x2 x3 x1 x2   g  x   f  x   dx    h  x   f  x   dx  Ví dụ 3.4.1 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x2  3x; y  x  1; y  x  A 12 B C D Lời giải Chọn A – x2  3x  x   – x2  2x –   x  – x2  3x  – x   – x2  4x –   x  x 1  –x   2x –   x  32 S  – x  3x – x – dx   – x  3x  x – dx    x – 1 2 dx    x – 2 dx  12  Ví dụ 3.4.1 Diện tích hình phẳng giới hạn đường y  2x ; y  A 63  54 ln 2 B 54 ln C 63 x2 54 ; y x 63 D   54 ln 2 Lời giải Chọn B x2 2x2   x  54 x 54   x   x  x x 6   54 x  x2 54 x x2  S   2x  dx    dx    2x   dx      dx  54 ln x 4  x  0 3 2x   Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 67 Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024  Dạng 3.5 Diện tích hình phẳng dựa vào đồ thị b  y  f  x   ● Trường hợp 1:  diện tích hình phẳng cần tìm S   f  x   g  x  dx a  y  g  x  Bước 1: Quan sát đồ thị thấy f  x   g  x    x  c ; c  a; b  Bước 2: Bước 3: Xét hiệu f  x   g  x  đoạn  a; c  ; c; b   a; c  : f  x   g  x   Giả sử   c ; b  : f  x   g  x   b Khi S   f  x   g  x  dx a c  b      f  x   g  x  dx   g  x   f  x  dx a c b  y  f  x  ● Trường hợp 2:   diện tích hình phẳng cần tìm S   f  x   dx Ox : y  a Bước 1: Quan sát đồ thị thấy f  x     x  c ; c  a; b Bước 2: Xét hiệu f  x   đoạn  a; c  ; c; b   a; c  : f  x    Giả sử    c ; b : f x        Bước 3: b c a a  b    Khi S   f  x   dx   f  x   dx    f  x  dx c  Ví dụ 3.5.1 Gọi S diện tích hình phẳng  H  giới hạn đường y  f  x  , trục hoành hai đường thẳng x  1 , x  Đặt a 1  f  x  dx , b   f  x  dx , Khi S  A b  a B b  a C b  a Lời giải D b  a Chọn A Ta có: S  2 1 1  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx 1 Ta thấy f  x   x  0; 2 ; f  x   x  1; 0  S    f  x  dx   f  x  dx  a  b  Ví dụ 3.5.2 Diện tích phần hình phẳng gạch chéo hình vẽ bên tính theo cơng thức đây? A 1 C   2x   dx   2x 1 B   2x  dx D   2x  2 dx 1   2x 1  Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281   2x  dx Trang 68 Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024 Lời giải Chọn D     S   x2   x2  2x  dx  1  2x2  2x  dx  1   2x   2x  dx 1  Ví dụ 3.5.3 Cho hàm số f  x  liên tục y Gọi S diện tích hình y=f(x) phẳng giới hạn cá đường y  f  x  , y  0, x  2 x  (như hình vẽ) Mệnh đề đúng? A S    f  x  dx   f  x  dx 2 O 1 B S  x 3  f  x  dx   f  x  dx 2 1 C S    f  x  dx   f  x  dx 2 D S  1 2  f  x  dx   f  x  dx Lời giải Chọn B Ta có S  3 2 2  f  x  dx  S   f  x  dx   f  x  dx Do f  x   với x  2;1 f  x   với x  1; 3 nên S   2 f  x  dx   f  x  dx  Ví dụ 3.5.4 Cho hình thang cong  H  giới hạn đường y  e x , y  , x  , x  ln Đường thẳng x  k   k  ln  chia  H  thành hai phần có diện tích S S hình vẽ bên Tìm k để S1  2S2 ln C k  ln B k  ln A k  D k  ln Lời giải Chọn D k k Ta có S1   e xdx  e x  e k  S2  0  Ta có S1  2S2  e    e k k ln  e xdx  e x k ln k   ek   k  ln  Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 69 Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024  Dạng 3.6 Thể tích vật thể Gọi B phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm a b , S  x  diện tích thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm x,  a  x  b  Giả sử S  x  hàm số liên tục đoạn  a; b  b Khi đó, thể tích vật thể B xác định: V   S  x  dx a  Ví dụ 3.6.1 Tính thể tích vật thể giới hạn hai mặt phẳng x  x  , biết cắt vật thể mặt phẳng tùy ý vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x 1  x  3 thiết diện hình chữ nhật có hai cạnh 3x x 2178 2178 A B 26 C 26 D 5 Lời giải Chọn C 3 1 V   S  x  dx   3x2 dx  26  Ví dụ 3.6.2 Tính thể tích V vật thể nằm hai mặt phẳng x  x  , biết thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x   x   tam giác cạnh sin x A V  B V  C V  Lời giải D V  Chọn D  V   S  x  dx   sin x  dx   Ví dụ 3.6.3 Tính thể tích V phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng x  x  3, biết cắt vật thể mặt phẳng tùy ý vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x (1  x  3) thiết diện hình chữ nhật có hai cạnh 3x B V  A V  32  15 124 124 C V    3 Lời giải  3x  D V  32   Chọn C Ta có V   3x 3x  2dx ; đặt t  3x2   t  3x2   2tdt  6xdx  tdt  3xdx Đổi cận: x   t  , x   t  1  124 Khi V   t.t.dt   t    1  Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 70 Tổng Hợp Lý Thuyết Thể tích hình phẳng giới hạn f(x), Ox, x=a, x=b quay quanh Ox  Dạng 3.7 Bước 1: Bước 2: Năm học: 2023-2024 Giải phương trình f  x    x  c ; c  a; b b   f  x  Khi V  dx a  Ví dụ 3.7.1 Cho hình phẳng  H  giới hạn đồ thị hàm số y   x2  4x  , trục hoành hai đường thẳng x  1, x  Quay  H  xung quanh trục hồnh khối trịn xoay tích 3 A V   x  4x  3dx 1 C V  B V   x  4x  dx x   4x  dx x D V   4x  3dx Lời giải Chọn C Thể tích cần tìm : V    x2  4x  dx   x   4x  dx  Ví dụ 3.7.2 Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số π y  tan x , trục hoành đường thẳng x  , x  quanh trục hoành A V  π B V  π ln π2 C V  Lời giải D V  π Chọn B π π sin x dx  π ln cos x cos x Thể tích khối trịn xoay cần tính V  π  tan xdx  π  π  π ln  Ví dụ 3.7.3 Cho hình phẳng D giới hạn đường y   x   , y  , x  , x  Khối tròn xoay tạo thành quay D quạnh trục hồnh tích V bao nhiêu? 32 32 32 A V  B V  C V  D V  32 5 Lời giải Chọn B V   x  2 dx   x  2  32  Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 71 Tổng Hợp Lý Thuyết  Dạng 3.8 Bước 1: Bước 2: Năm học: 2023-2024 Thể tích hình phẳng giới hạn f(x), g(x), x=a, x=b quay quanh Ox Giải phương trình f  x   g  x   x  c ; c  a; b c b  f  x   g  x  dx   f  x   g  x  dx Khi V  2 a c  Ví dụ 3.8.1 Cơng thức tính thể tích khối trịn xoay cho hình phẳng giới hạn parabol  P  : y  x2 đường thẳng d : y  2x quay xung quanh Ox A   2x  x dx B   2x dx C x 2  4x dx   x dx D  4x dx   x dx 0 Lời giải Chọn C x  Xét phương trình hồnh độ giao điểm  P  d x  2x   x  Vì  ;  ta có 2x  x2 Nên cơng thức tính thể tích khối tròn xoay là: V   4x dx   x dx 0  Ví dụ 3.8.2 Cho hình phẳng  H  giới hạn đường y  x , y   x x  Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình  H  quanh trục hoành nhận giá trị sau đây: A V  40 B V  38 C V  41 D V  41 Lời giải Chọn C  x   x  x    x   x  x Phương trình hồnh độ giao điểm: Thể tích khối trịn xoay cần tìm VOx  x  x dx x  Xét phương trình x  x    x   Do VOx   x  x dx   x  x dx    x   x dx   x   x dx  x3 x   x3 x  41           0  1  Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 (đvtt) Trang 72 Tổng Hợp Lý Thuyết  Dạng 3.9 Bước 1: Bước 2: Năm học: 2023-2024 Thể tích hình phẳng giới hạn f(y), g(y), y=a, y=b quay quanh Oy Giải phương trình f  y   g  y   y  c ; c  a; b  Khi V  c b  f  y   g  y  dy   f  y   g  y  dy 2 a c  Ví dụ 3.9.1 Cho hình phẳng  H  giới hạn đường xy  , x  , y  y  Thể tích V khối trịn xoay tạo thành quay hình  H  quanh trục tung A V  12π B V  16π C V  10π Lời giải D V  8π Chọn A 4 4  16  16 Ta tích V khối tròn xoay V  π    dy  π  dy  π     12π y  y 1 1 y  Ví dụ 3.9.2 Cho hình phẳng  H  giới hạn đường x  y  , x  , y  , y  Gọi V thể tích khối trịn xoay tạo thành quay  H  xung quanh trục Oy Mệnh đề đúng?   A V   y  dy 2   B V   y dy C V    3 dy D V  0 2 y   dy Lời giải Chọn D Phương trình y   vô nghiệm y   y  Thể tích khối tròn xoay là: V  y   dy  Ví dụ 3.9.3 Cho hình phẳng D giới hạn đường cong x  e y , trục tung đường thẳng y  , y  Khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục tung tích V bao nhiêu? A V  e 2  1 e2 1 B V  e2 C V  Lời giải D V  e  1 Chọn D Phương trình e y  vô nghiệm e y  y  e2y Thể tích khối trịn xoay là: V   e dy   2y  Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 e  1 Trang 73 Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024  Dạng 3.10 Tính giá trị hàm qua diện tích hình phẳng b Áp dụng định nghĩa tích phân: b  f  x  dx  F  x  a  F  b   F  a  a Thì lúc đề yêu cầu so sánh F  b  ; F  a  Bài toán: Cho hàm số y  f  x  liên tục có đồ thị hình F  x  nguyên hàm f  x   a; c  So sánh F  a  ; F  c  ; F  xi  xi  a; c  So sánh F  a  ; F  b  Bước 1: b b a a Trên a; b : f  x     f  x  dx   f  x  dx  F  b   F  a  b Mà  f  x  dx   F  b   F  a    F  b   F  a  a Bước 2: Tương tự so sánh F  b  ; F  c  Bước 3: y  f  x  Ta thấy diện tích hình phẳng giới hạn Ox lớn  x  a; x  b  b  a y  f  x  Ox  x  b; x  c  c f  x  dx   f  x  dx  F  b   F  a   F  c   F  b   F  a   F  c   F  a   F  c  b  Ví dụ 3.10.1 Cho hàm số y  f  x  xác định, liên tục có nguyên y hàm F  x  2;1 đồng thời f  x  có đồ thị hình vẽ bên Hỏi số sau số dương? A F    F  2  B F  2   F 1 C F    F 1 -2 D F    F   O -1 x y = f (x) Lời giải y Chọn A S CIB   f  x  dx  F 1  F  2  nên loại B 2 S IDA    f  x  dx  F 1  F    nên loại C B 1  f  x  dx    f  x  dx  F 1  F  0  F 1  F    F    F   nên loại D Mặt khác ta có S CIB S DIA   2 C -2 f  x  dx    f  x  dx I O -1 D A y = f (x)  F 1  F  2  F 1  F    F  2  F    F    F  2   Vậy F    F  2  số dương  Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 74 x Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024  Ví dụ 3.10.2 Cho hàm số f  x  có đạo hàm , đồ thị hàm số y  f   x  hình vẽ bên Mệnh đề sau đúng? A f  a   f  c  B f  b   f  c  C f  a   f  b  D f  a   f  c  Lời giải Chọn A Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f  b   f  c  , f  a   f  b  nên loại phương án B, C b Mặt khác c  f   x  dx   f   x  dx a b  f  x   f  x  f b  f  a   f c   f b  f  a   f c  b c a b Vậy f  a   f  c  mệnh đề  Ví dụ 3.10.3 Cho hàm số y  f  x  có đồ thị đoạn  4; 4 hình vẽ Gọi F  x  nguyên hàm hàm số f  x  , tính giá trị S  F    F  4  y y = f(x) -4 A S   O -2 B S  14  2 C S  14 Lời giải x D S  14  Chọn B S  F    F  4    f  x  dx  4 2  4 f  x  dx  2.2  ; 2  4  2 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx f  x  dx  2.4  2 22   ;  f  x  dx  2.2  Vậy S  14   Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 75