Casio bài 26 tìm hình chiếu vuông góc trong không gian

PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL BÀI 26 TÌM HÌNH CHIẾU VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN I) KIẾN THỨC NỀN TẢNG Hình chiếu vng góc điểm đến mặt phẳng Cho điểm M  x0 ; y0 ; z0  mặt phẳng  P  : Ax  By  Cz  D 0 hình  chiếu vng góc H M mặt phẳng  P  giao điểm đường thẳng  mặt phẳng  P    đường thẳng qua M vng góc với  P  (  nhận nP làm u )   Hình chiếu vng góc điểm đến đường thẳng Cho điểm M  x0 ; y0 ; z0  đường thẳng d : x  xN  y  yN  z  z N hình  a b c chiếu vng góc M lên đường thẳng d điểm H thuộc d     cho MH  ud  MH ud 0 Hình chiếu vng góc đường thẳng đến mặt phẳng Cho đường thẳng d mặt phẳng  P  Hình chiếu vng góc  đường thẳng d đến mặt phẳng  P  giao điểm mặt phẳng      mặt phẳng  P     mặt phẳng chứa d vng góc với  P       nhận ud nP cặp vecto phương    chứa điểm nằm đường thẳng d  Lệnh Caso  Lệnh đăng nhập môi trường vecto MODE  Nhập thông số vecto MODE 1  Tính tích vơ hướng vecto : vectoA SHIFT vectoB  Tính tích có hướng hai vecto : vectoA x vectoB  Lệnh giá trị tuyệt đối SHIFT HYP  Lệnh tính độ lớn vecto SHIFT HYP  Lệnh dị nghiệm bất phương trình MODE  Lệnh dị nghiệm phương trình SHIFT SOLVE II) VÍ DỤ MINH HỌA VD1-[Thi thử Sở GD-ĐT tỉnh Hà Tĩnh lần năm 2017] Cho mặt phẳng    : x  y  z  0 điểm A  2;  1;0  Hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng    có tọa độ C  1;0;3 D   1;1;  1 GIẢI Gọi H hình chiếu vng góc A lên     Đướng thẳng AH A  2;  2;3  B  1;1;    x 2  3t   song song với vecto pháp tuyến n  3;  2;1      AH  :  y   2t  z t  Trang 1/11  Tọa độ điểm A   3t ;   2t ;1  t   (Phần ta dễ dàng nhẩm mà khơng cần nháp) Để tìm t ta cần thiết lập điều kiện A thuọc    xong ( + Q ) + q r = ) p ( p p Q ) ) + Q )  t   H   1;1;  1  Đáp số xác D VD2-[Thi Học sinh giỏi tỉnh Phú Thọ năm 2017] Tìm tọa độ điểm M ' đối xứng với điểm M  3;3;3 qua mặt phẳng  P  : x  y  z  0 1 1  1 1 A M '  ; ;  B M '   ;  ;    3 3  3 3  7 7 7 7 C M '   ;  ;   D M '  ; ;   3 3  3 3 GIẢI Tương tự ví dụ ta nhẩm tọa độ hình chiếu vng góc H  M lên  P  M   t ;3  t ;3  t   Tính t Casio + Q ) + + Q ) + + Q ) p q r =  1 1  H ; ;   3 3 Ví A ' đối xứng với M qua H nên H trung điểm MM ' Theo Ta thu t    7 7 quy tắc trung điểm ta suy M '   ;  ;    3 3  Đáp số xác C VD3-[Thi thử THPT Quảng Xương – Thanh Hóa lần năm 2017] x  y 1 z    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : 2 điểm M  1; 2;  3 Tọa độ hình chiếu vng góc điểm M lên đường thẳng d : A H  1; 2;  1 B H  1;  2;  1 C H   1;  2;  1 D H  1; 2;1 GIẢI Trang 2/11  Gọi H hình chiếu vng góc M lên đường thẳng d  x 3  t  Đường thẳng d có phương trình tham số  y   t  Tọa độ  z 1  2t  H   2t ;   t ;1  2t     MH  d  MH ud 0 với ud  2;1;   Sử dụng máy tính Casio bấm : ( + Q ) p ) +( p + Q + Q ) p p ) q r = ) p ) + ( Khi t   H  1;  2;  1  Đáp số xác B VD4-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần năm 2017] x  y  z 1   Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : 1 điểm A  2;  1;1 Gọi I hình chiếu vng góc A lên d Viết phương trình mặt cầu  C  có tâm I qua A 2 2 A x   y  3   z  1 20 B x   y  3   z  1 5 2 C  x  1   y     z  1 20 2 D  x  1   y     z  1 14 GIẢI   Điểm I có tọa độ I   t ;  t ;   t  Thiết lập điều kiện vng góc  IA u 0 d p ( p Q ) ( p + Q p ) +( + Q ) ) p ) q r = p p ) +  t 0  I  1; 2;  1  Với I  1; 2;  1 A  2;  1;1 ta có : R IA2  IA 14 w q 1 p = p p = p p = W c q ) = = d = Trang 3/11  Đáp số xác D VD5-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần năm 2017] x  y 1 x    Cho đường thẳng d : Hình chiếu vng góc d lên mặt 1 phẳng  Oxy  :  x 0  x 1  2t  x   2t    A  y   t B  y   t C  y 1  t  z 0  z 0  z 0      x   2t  D  y   t  z 0  GIẢI Ta hiểu : Hình chiếu vng góc d ' d lên mặt phẳng  Oxy  giao tuyến mặt phẳng    chứa d vng góc với  Oxy  mặt phẳng  Oxy   Mặt phẳng    chứa d vng góc với  Oxy  nên nhận vecto   phương u  2;1;1 đường thẳng d vecto pháp tuyến nOxy  0;0;1 cặp vecto phương     n  ud ; nOxy   1;  2;0  w q 1 = = = w O q = = = = W Hơn    qua điểm có tọa độ  1;  1;  nên có phương trình :     :1 x  1   y 1   z   0     : x  y  0 Phương trình d ' có dạng    : x  y  0 Chuyển sang dạng   Oxy  : z 0 tham số ta có :    ud '  nOxy ; n    2;  1;0  w 1 = p = = w W q O q = = = = Có đáp án thỏa mãn vecto phương có tọa độ   2;  1;0  B , C , D Trang 4/11 Tuy nhiên có đáp án B chứa điểm M  1;  1;0  điểm thuộc d '  Đáp số xác B VD6-[Câu 61 Sách tập hình học nâng cao 12]   x   3t  Viết phương trình hình chiếu vng góc đường thẳng d :  y  2t  z  2t      : x  y  z  0 3 y y x  z A x  B z 2   4 4 3 y y C x  z  z D x    4 GIẢI Lập phương trình mặt phẳng    chứa d vng góc với        n  ud ; n   8; 4;8  w 1 = p = p = w 1 = = p = W q O q = 7 7   qua điểm  ; 0;  nên có phương trình  x    y  8z 0 2 2    x  y  z  0 Ta có d ' : 2 x  y  z  0   x  y  z  0     Tính nd '  n ; n    8;6;   n   4;3;  vecto phương d '   Đường thẳng d ' lại qua điểm  5;  ;  nên có phương trình :   y x z  4  Đáp án xác A   BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Thi thử THPT Phạm Văn Đồng lần năm 2017] Hình chiếu vng góc A   2; 4;3 lên mặt phẳng  P  : x  y  z  19 0 có tọa độ : Trang 5/11  20 37   ; ;  C   B    7 7  Bài 2-[Thi Học sinh giỏi tỉnh Trong không gian với hệ tọa độ A  1;  1;  37 31  ; ;  D Kết khác 5 5 Ninh Bình năm 2017] Oxy cho mặt phẳng  P  : x  y  z  0 điểm M  1;  2;   Tìm tọa độ điểm N đối xứng với điểm M qua mặt phẳng  P A N  3; 4;8  B N  3;0;   C N  3; 0;8  D N  3; 4;   Bài 3-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần năm 2017] Cho A  5;1;3 , B   5;1;  1 , C  1;  3;0  , D  3;  6;  Tọa độ điểm A ' đối xứng với A qua mặt phẳng  BCD  : A   1; 7;5  B  1; 7;5  C  1;  7;   D  1;  7;5  Bài 4-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần năm 2017] x 1 y z    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d : 2 mặt phẳng  P  :  x  y z  0 Viết phương trình hình chiếu vng góc d mặt phẳng  P  x  y  z 1 x  y 1 z      A B 1 3 1 x  y  z 1 x  y 1 z      C D 1 1 3 Bài 5-[Câu 75 Sách tập hình học nâng cao lớp 12] Cho ba điểm A   1;3;  , B  4;0;  3 , C  5;  1;  Tìm tọa độ hình chiếu H A lên đường thẳng BC 12  12  12   77  77  77 12   77 ; ; A  ;  ;  B  ; ;  C  ;  ;   D     17 17 17   17 17 17   17 17 17   17 17 17  Bài 6-[Câu 76 Sách tập hình học nâng cao lớp 12] Tìm tọa độ điểm đối xứng M   3;1;  1 qua đường thẳng d giao tuyến hai mặt phẳng    : x  y  13 0    : y  z  0 A   2;  5;  3 B  2;  5;3 C  5;  7;  3 D  5;  7;3 Bài 7-[Câu 22 Sách tập hình học nâng cao lớp 12] x  y 1 z    Cho đường thẳng d : Hình chiếu vng góc d 1 mặt phẳng tọa đọ  Oxy  :  x 0  x 1  2t  x   2t    A  y   t B  y   t C  y 1  t D  z 0  z 0  z 0     x   2t   y   t  z 0  LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Thi thử THPT Phạm Văn Đồng lần năm 2017] Trang 6/11 Hình chiếu vng góc A   2; 4;3 lên mặt phẳng  P  : x  y  z  19 0 có tọa độ :  20 37   37 31  A  1;  1;  B   ; ;  C   ; ;  D Kết khác  7 7  5 5 GIẢI  x   2t Đường thẳng  chứa A vng góc với  P  có phương trình :  y 4  3t    z 3  6t  Điểm H hình chiếu vng góc A lên  P  nên có tọa độ H    2t ;  3t ;3  6t   Tính t Casio ( p + Q ) ) p ( p Q Q ) ) + q r = Chuyển t dạng phân thức q J ) ) + ( + z =  20 37   H ; ;   7 7 Vậy đáp số xác B Bài 2-[Thi Học sinh giỏi tỉnh Ninh Bình năm 2017] Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxy cho mặt phẳng  P  : x  y  z  0 Vậy t  điểm M  1;  2;   Tìm tọa độ điểm N đối xứng với điểm M qua mặt phẳng  P A N  3; 4;8  B N  3;0;   C N  3; 0;8  D N  3; 4;   GIẢI  x 1  t Phương trình  :  y   t  Tọa độ hình chiếu H   t;   t;   t     z   t   Tìm t Casio ta t 1 + Q ) p + Q ) p ( p p Q ) ) p q r = Trang 7/11 Với t 1  H  2;  1;    N  3;0;    Đáp án xác B Bài 3-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần năm 2017] Cho A  5;1;3 , B   5;1;  1 , C  1;  3;0  , D  3;  6;  Tọa độ điểm A ' đối xứng với A qua mặt phẳng  BCD  : A   1; 7;5   B  1; 7;5  Tính vecto w 1 w W q O C  1;  7;   D  1;  7;5  GIẢI     phương  BCD  : u  BC ; BD    5;  10;  10    p p = p p = p p = p p = p p = p p = q =  BCD  qua B   5;1;  1   BCD  :   x    10  y  1  10  z  1 0  x  y  2z  0 Gọi H hình chiếu A lên  BCD   H   t ;1  2t ;3  2t  Tính t  w + Q ) + ( + Q ) ) + ( + Q ) + q r ) =  t   H  3;  3;  1  A '  1;  7;    Đáp án xác C Bài 4-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần năm 2017] x 1 y z    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d : 2 mặt phẳng  P  :  x  y z  0 Viết phương trình hình chiếu vng góc d mặt phẳng  P  x  y  z 1 x  y 1 z      A B 1 3 1 x  y  z 1 x  y 1 z      C D 1 1 3 GIẢI    Lập mặt phẳng    chứa d vng góc với  P   n  u ; n   1;  7;    d P  w 1 = = = w p = = = W q O q = Trang 8/11    :  x 1  y   z   0  x  y  4z  0 Đường thẳng d có phương trình tổng qt  x  y  4z  0 Để so sánh kết     x  y  z  0 ta phải chuyển phương trình đường thẳng d dạng tắc     Ta có : ud  n ; nP    18;  6;    u  3;1;1 vecto phương d w 1 = p = = w p = = = W q O q =  Hơn điểm M  2;1;  1 thuộc d  Phương trình tắc x  y  z 1 d:   1  Đáp số xác C Bài 5-[Câu 75 Sách tập hình học nâng cao lớp 12] Cho ba điểm A   1;3;  , B  4;0;  3 , C  5;  1;  Tìm tọa độ hình chiếu H A lên đường thẳng BC 12  12  12   77  77  77 12   77 ; ; A  ;  ;  B  ; ;  C  ;  ;   D     17 17 17   17 17 17   17 17 17   17 17 17  GIẢI Đường thẳng BC nhân vecto BC  1;  1;7  vecto phương qua điểm B  4;0;  3  x 4  t   BC :  y  t  z   7t  Gọi H hình chiếu vng góc A lên BC  H   t ;  t;   t     Mặt khác  AH  BC  AH BC 0  w ( + Q ) p p ) p ( p Q ) p ) + ( p + Q ) p ) q r = Chuyển t dạng phân số q J z Trang 9/11 9 12   77  t   H  ; ;  17  17 17 17   Đáp số xác A Bài 6-[Câu 76 Sách tập hình học nâng cao lớp 12] Tìm tọa độ điểm đối xứng M   3;1;  1 qua đường thẳng d giao tuyến hai mặt phẳng    : x  y  13 0    : y  z  0 A   2;  5;  3 C  5;  7;  3 D  5;  7;3 GIẢI giao tuyến mặt phẳng    ;    nên có phương trình tổng quát :  d  x  y  13 0   y z  0    Vecto phương d u  n ; n   6;8;   nhận u  3; 4;  vecto d     phương w 1 = p = = w = = p = W q O q = B  2;  5;3 Đường thẳng d có vecto qua điểm N  4;1;3 nên có phương trình tham số  x 4  3t   y 1  4t  z 3  2t   Điểm H hình chiếu vng góc M lên đường thẳng d nên có tọa độ M   3t ;1  4t ;3  2t     Mặt khác MH  d  MH u 0 w ( + Q ) p p ) + ( + Q ) p p ) q + ( + Q r = ) p )  t   H  1;  3;1 M ' đối xứng M qua d H trung điểm MM '  M '  5;  7;3  Đáp số xác D Bài 7-[Câu 22 Sách tập hình học nâng cao lớp 12] Trang 10/11 x  y 1 z    Hình chiếu vng góc d 1 mặt phẳng tọa đọ  Oxy  : Cho đường thẳng d :  x   2t  x 0  x 1  2t  x   2t     A  y   t B  y   t C  y 1  t D  y   t  z 0  z 0  z 0  z 0     GIẢI Dưng mặt phẳng    chứa đường thẳng d vng góc với  Oxy       n  ud ; nOxy   1;  2;0  w 1 = = = w = = = W q O q = Mặt phẳng    chứa điểm N  1;  1;  nên có phương trình :    :  x  1   y 1   z   0   x  y  0 Đường thẳng d ' hình chiếu vng góc đường thẳng d lên mặt  x  y  0 phẳng  Oxy   d ' giao tuyến     Oxy   d ' :   z 0    Tính ud  n ; nOxy    2;  1;0   nhận u  2;1;0  vecto phương w q 1 = p = = w O q = = = = W  x 1  2t  Lại có d ' qua điểm có tọa độ  1;  1;   d ' :  y   t  z 0   Đáp số xác B Trang 11/11