Ôn tập toán 23

TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM ĐỀ THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC ĐHSP HÀ NỘI MƠN TỐN Mã đề thi I PHẦN TRẮC NGHIỆM TOÁN HỌC Câu Hàm số nghịch biến tập xác định nó? A y log x B y log   x 1 C y log  x   y    3 D x Câu Cho số phức z   i Điểm điểm biểu diễn số phức w iz mặt phẳng tọa độ? M   1;   N  2;1 Q  1;  P   2;1 A B C D Câu Cô A gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép theo kì hạn tháng với lãi suất 5, 28% quý Hỏi sau năm cô A thu tiền (cả vốn lẫn lãi)? (già sừ lãi suất hàng quý không đổi) A 318,355 triệu đồng B 518,881 triệu đồng C 259,44 triệu đồng D 9,8 triệu đồng Câu Câu Có số nguyên m để phương trình biệt A B có ba nghiệm thực phân D C  9  sin x   0;   phương trình có nghiệm? Trên khoảng  A Câu ln( x  2) ln  x3  x  m  B C D Đường cong hình bên đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D Hỏi hàm số hàm số nào? y -1 O x -3 -4 A y  x  x  Câu Cho hàm số I f  x dx f  x B y  x  3x  liên tục đoạn C y  x  x  0; 2 Biết D y  x  x  2 f  x dx 5 f  t  dt 3 Tính B I 2 A I 3 Câu D I 1 C I 5 Cho hàm số y  f ( x) có bảng biến thiên: Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng đường thẳng có phương trình A x  C x  x 1 Câu B x 1 D không tồn tiệm cận đứng Biết đồ thị hàm số y x  3x  có hai điểm cực trị A, B Khi phương trình đường thẳng AB là: A y x  B y 2 x  C y  x  D y  x  Câu 10 Cho hàm số y  f  x A 0; 4 liên tục  có đồ thị hình bên Tích phân B C f  x  dx D Câu 11 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy hình vng cạnh a Gọi M trung điểm SD  SAC  Khoảng cách từ M đến mặt phẳng a A Câu 12 Cắt hình nón a B  N a C mặt phẳng chứa trục a D  N thu thiết diện tam giác S  N vng có diện tích cm Tính diện tích xung quanh xq hình nón A S xq 8 cm B S xq 4 cm C S xq 4 cm D S xq 8 cm A 1; 2;3 Câu 13 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC biết  , điểm B đối xứng với A qua mặt phẳng  Oxy  , điểm C đối xứng với B qua gốc tọa độ O Diện tích tam giác ABC A B C 3 D I  1;1;1 Câu 14 Trong khơng gian Oxyz , mặt cầu có tâm diện tích 4 có phương trình  x  1  x 1 C A 2   y  1   z  1 4  x 1   y 1   z  1 1  x  1 D   y  1   z  1 1 B   y  1   z  1 4 2 2 Câu 15 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng  Q : 4x  y  z  0  Q  Khi  P  : 3x  y  z  0  P Các điểm A, B phân biệt thuộc giao tuyến hai mặt phẳng  AB phương với véctơ sau đây?   w  3;  2;  v   8;11;  23 k  4;5;  1 A B C và  D  u  8;  11;  23 x y log x , y  x , y  x Chọn phát biểu sai Câu 16 Cho hàm số y 2 , A Có đồ thị có tiệm cận ngang B Có đồ thị có tiệm cận đứng C Có đồ thị có chung đường tiệm cận D Có đồ thị có tiệm cận x x x1 Câu 17 Phương trình  2 có nghiệm âm? A B C D f  x   x2 f Câu 18 Cho hàm f xác định  Giá trị   bằng: A B C D Khơng tồn Câu 19 Có cách xếp người ngồi vào bàn dài có chỗ ngồi? A B 4 C 5 D 5! Câu 20 Cho 100 thẻ đánh số từ đến 100 , chọn ngẫu nhiên thẻ Xác suất để chọn thẻ có tổng số ghi thẻ số chia hết cho A P B P C P D P Câu 21 Đa giác lồi 10 cạnh có đường chéo? A 35 B 45 C 80 D 90   u  1;  2;3  v  2;3;  1  Oxyz Câu 22 Trong khơng gian , cho , , góc hai vectơ Chọn mệnh đề A 2sin   tan  0 B sin   cos  1  C 2sin   cos    D cot   cos  0 z   z  2i Câu 23 Có số phức z thỏa mãn z  2iz số thực? A B C D vô số f  x  3  Câu 24 Giá trị nhỏ hàm số 59 14 A 20 B sin x cos x C 29 D 10 2 Câu 25 Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x  ( y  3)  ( y  4) 4 Xét hai điểm M , N di động 2 ( S ) cho MN 1 Giá trị nhỏ OM  ON B   A  10 C  D   10 1  P  x    x  a0  a1 x   a9 x  a10 x10 a 3  Câu 26 Khai triển đa thức Tìm hệ số k lớn khai triển 27 C10 10 A B 1 27 C10 310 26 C10 10 C 28 C10 10 D | x| 2 Câu 27 Tìm tất giá trị thực m để phương trình  m  x có nghiệm thực phân biệt A ( ;  1)  (1; ) B ( ;  1)  (2; ) C (-3; -1) D (  ;  2)  (2; ) II PHẦN TỰ LUẬN (3 câu) z12  z2 z z z  z   Câu 28 Gọi , hai nghiệm phức phương trình Giá trị biểu thức Câu 29 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA vng góc với mặt phẳng  ABCD  ; góc đường thẳng SC mặt phẳng  ABCD  60 Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD Câu 30 Cho hình phẳng   k  16  H chia hình giới hạn đường y  x , y 0 , x 0 , x 4 Đường thẳng y k H thành hai phần có diện tích S1 , S (hình vẽ) Tìm k để S1 S HƯỚNG DẪN GIẢI Câu Hàm số nghịch biến tập xác định nó? A y log x B y log   x 1 y log  x C Lời giải   y    3 D x Chọn C Xét hàm số y log  x có tập xác định: D  0;    y log  x 1 4 Nhận thấy số nên nghịch biến tập xác định Câu Cho số phức z   i Điểm điểm biểu diễn số phức w iz mặt phẳng tọa độ? M   1;   N  2;1 Q  1;  P   2;1 A B C D Lời giải Chọn D w iz i    i    2i  P   2;1 điểm điểm biểu diễn số phức w iz mặt phẳng tọa độ Câu Cô A gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép theo kì hạn tháng với lãi suất 5, 28% quý Hỏi sau năm cô A thu tiền (cả vốn lẫn lãi)? (già sừ lãi suất hàng quý không đổi) A 318,355 triệu đồng B 518,881 triệu đồng C 259,44 triệu đồng D 9,8 triệu đồng Lời giải Chọn B Áp dụng CT lãi kép, số tiền thu (cả vốn lẫn lãi) là: T  A(1  r ) N , với tiền gửi: A 100 triệu đồng, lãi suất r 0, 0528, N 8.4 32ki Ta được: T 518,881 triệu đồng Câu Có số nguyên m để phương trình biệt A B ln( x  2) ln  x3  x  m  C có ba nghiệm thực phân D Lời giải Chọn A  x2 0   x   x3  x  m  Phương trình tương đương với: x2    m  x  x  2(1) ln( x  2) ln  x3  x  m  Để phương trình có ba nghiệm thực phân biệt  PT (1) có ba nghiệm phân biệt lớn   Xét hàm số y  x  x  ta có y 0   3x  0  x 1 Ta có bảng biến thiên: Để PT (1) có ba nghiệm phân biệt lớn    m   m  {1, 2,3} Vậy có số nguyên m thỏa mãn yêu cầu toán Câu  9  sin x   0;  có nghiệm? Trên khoảng   phương trình A B C Lời giải D Chọn C 9 Vẽ đường tròn lượng giác biểu diễn cung từ đến 2 y y Nhìn hình vẽ ta thấy đường thẳng cắt cung lượng giác Tiếp theo ta kẻ đường thẳng điểm phân biệt  9  0; Do phương trình cho có nghiệm khoảng  Câu    Đường cong hình bên đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D Hỏi hàm số hàm số nào? y -1 O x -3 -4 A y  x  x  3 B y  x  3x  C y  x  x Lời giải D y  x  x  Chọn A Dựa vào đồ thị ta có: Đồ thị hàm số qua điểm A  0;  3 đồng thời lim y  x   đường cong hình bên đồ thị hàm số y  x  x  Câu Cho hàm số f  x  0; 2 liên tục đoạn Biết 2 f  x dx 5 f  t  dt 3 1 I f  x dx B I 2 A I 3 C I 5 Lời giải D I 1 Chọn B Ta có Câu 2 I f  x dx f  x dx  0 f  x dx f  x dx  f  t dt 2 Cho hàm số y  f ( x ) có bảng biến thiên: Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng đường thẳng có phương trình A x  C x  x 1 B x 1 D không tồn tiệm cận đứng Lời giải Chọn A Vì Câu lim  y  x   2 nên x  đường tiệm cận đứng Biết đồ thị hàm số y x  3x  có hai điểm cực trị A, B Khi phương trình đường thẳng AB là: Tính A y  x  B y 2 x  C y  x  Lời giải D y  x  Chọn C  x 1  y  y ' 3x  0    x   y 3 Ta có: Ta hai điểm cực trị đồ thị: A(1;  1), B(  1;3)  Phương trình qua hai điểm cực trị AB : y  x 1 Câu 10 Cho hàm số y  f  x A 0; 4 liên tục  có đồ thị hình bên Tích phân B C Lời giải f  x  dx D Chọn B Kí hiệu điểm hình vẽ Ta có: f  x  dx f  x  dx  f  x  dx S 0 ABCO  S CDE Diện tích hình thang ABCO là: S ABCO  Diện tích hình tam giác CDE là: SCDE     3 2.2 2 Vậy f  x  dx S ABCO  SCDE 3  1 Câu 11 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy hình vuông cạnh a Gọi M trung điểm SD  SAC  Khoảng cách từ M đến mặt phẳng a A Chọn B a B a C Lời giải a D 1 a d  M ,  SAC    d  D,  SAC    DO  BD  2 4 Câu 12 Cắt hình nón  N mặt phẳng chứa trục  N thu thiết diện tam giác S  N vng có diện tích cm Tính diện tích xung quanh xq hình nón A S xq 8 cm B S xq 4 cm S xq 4 cm C Lời giải D S xq 8 cm Chọn C Giả sử thiết diện SAB , ta có SAB vng cân S SA 4  SA 2 Vì thiết diện có diện tích cm nên ta có , bán kính đáy 1 R  SA  2 2 2 Vậy S xq  R.SA  2.2 4 cm A 1; 2;3 Câu 13 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC biết  , điểm B đối xứng với A qua mặt phẳng  Oxy  , điểm C đối xứng với B qua gốc tọa độ O Diện tích tam giác ABC A B C Lời giải Chọn A Điểm B đối xứng A qua (Oxy )  B(1; 2;  3) D Điểm C đối xứng B qua O  C ( 1;  2;3)   AB (0;0;  6)   AC  (  2;  4;0)  Khi  1  AB 6; AC 2  S ABC  AB AC  6 2 6   2  AB AC 0 I  1;1;1 Câu 14 Trong không gian Oxyz , mặt cầu có tâm diện tích 4 có phương trình  x  1  x 1 C A 2   y  1   z  1 4  x 1   y 1   z  1 1  x  1 D   y  1   z  1 1 B   y  1   z  1 4 2 2 Lời giải Chọn D Ta có: S 4 R 4  R 1  S  tâm I  1;1;1 Vậy 2 Câu 15 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng  Q : 4x  y  z  0  Q  Khi  x  1   y  1   z  1 1 bán kính R 1 có pt:  P  : 3x  y  z  0  P Các điểm A, B phân biệt thuộc giao tuyến hai mặt phẳng  AB phương với véctơ sau đây?    w  3;  2;  v   8;11;  23 k  4;5;  1 u  8;  11;  23 A B C D Lời giải Chọn D   P   n  P   3;  2;   Q   n Q   4;5;  1  * Ta có: ,   AB   P   AB  n  P      AB   Q  AB  n  Q      * Do nên đường thẳng AB có véctơ phương là:    u  n Q  ; n P    8;  11;  23    AB // u  8;  11;  23 AB AB * Do véc tơ phương nên  x y log x , y  x , y  x Chọn phát biểu sai Câu 16 Cho hàm số y 2 , A Có đồ thị có tiệm cận ngang B Có đồ thị có tiệm cận đứng C Có đồ thị có chung đường tiệm cận D Có đồ thị có tiệm cận Lời giải Chọn D x Hàm số y 2 nhận trục hoành làm tiệm cận ngang Hàm số y log x nhận trục tung làm tiệm cận đứng Xét hàm số y  f  x  x có y lim f  x  , lim f  x    x có tiệm cận đứng x 0 , suy đồ thị hàm số y lim f  x  0 x   x có tiệm cận ngang y 0 , suy đồ thị hàm số x x Do đáp án A, B, C D sai x x x1 Câu 17 Phương trình  2 có nghiệm âm? A B C D Lời giải Chọn C x x 1  3   2.4     2 2x x  3  2    2    2 Phương trình x  t  (L)  3 t  t  0     t   trở thành  t 2 Đặt   với t  , phương trình x x x x x  3 t 2    2  x log   2 Với Vậy phương trình cho khơng có nghiệm âm f  x   x2 f Câu 18 Cho hàm f xác định  Giá trị   bằng: A B C Lời giải Chọn D 2x x f ' x    2 x x2 Ta có: Suy f ' 0 D Không tồn không tồn Câu 19 Có cách xếp người ngồi vào bàn dài có chỗ ngồi? A B 4 C 5 D 5! Lời giải Chọn D Số cách xếp người ngồi vào bàn dài có chỗ ngồi hốn vị phần tử nên có 5! cách Câu 20 Cho 100 thẻ đánh số từ đến 100 , chọn ngẫu nhiên thẻ Xác suất để chọn thẻ có tổng số ghi thẻ số chia hết cho A P B P P C Lời giải D P Chọn B Lấy ngẫu nhiên thẻ từ 100 thẻ, ta có số phần tử khơng gian mẫu n    C100 161700 Để chọn thẻ có tổng số ghi thẻ số chia hết cho ta làm sau: “Lấy thẻ đánh số chẵn từ 50 thể đánh số chẵn thẻ đánh số chẵn từ 50 thẻ đánh số chẵn thẻ đánh số lẻ từ 50 thẻ đánh số lẻ” Gọi A : “tổng số ghi thẻ số chia hết cho ” n  A 1 n  A  C503  C50 C502 80850  P  A    n    Câu 21 Đa giác lồi 10 cạnh có đường chéo? A 35 B 45 C 80 Lời giải Chọn A Đa giác lồi 10 cạnh có 10 đỉnh D 90 Lấy hai điểm 10 đỉnh đa giác lồi ta số đoạn thẳng gồm cạnh đường chéo đa giác lồi Vậy số đường chéo cần tìm C10  10 35 Tổng quát: Đa giác lồi n cạnh có Cn  n đường chéo   u  1;  2;3 v  2;3;  1    Câu 22 Trong không gian Oxyz , cho , , góc hai vectơ Chọn mệnh đề A 2sin   tan  0 B sin   cos  1  C 2sin   cos    cot   cos  0 D Lời giải Chọn A   u.v 2 6 cos  cos u; v        120 14 14 u.v   Ta có Vậy 2sin   tan  2   0   z   z  2i Câu 23 Có số phức z thỏa mãn z  2iz số thực? A B C D vô số Lời giải Chọn C Gọi z x  yi ( x, y   ) Ta có: +) z   z  2i   x  1  yi  x   y   i 2   x  1  y  x   y    x  y  0 +) (1) z  2iz  x  y   xyi  2i  x  yi   x  y  y   x  y 1 i  x 0 x  y  1 0    y  (2) +) z  2iz số thực Kết hợp (1) (2) ta có  x  y  0     x 0   y     x 0; y    x  ; y   Vậy có hai số phức thỏa mãn giả thiết tốn f  x  3  Câu 24 Giá trị nhỏ hàm số 59 14 A 20 B z  i z i sin x cos x C Lời giải 29 D 10 Chọn A Ta có f  x  3  1 59 sin x cos x 3   2sin x.cos x  3  sin x 3   20 20 20 20 59 Vậy GTNN hàm số 20 2 Câu 25 Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x  ( y  3)  ( y  4) 4 Xét hai điểm M , N di động 2 ( S ) cho MN 1 Giá trị nhỏ OM  ON B   A  10 C  Lời giải D   Chọn A M  (S )   N  (S )   MN 1   x  ( y  3)  ( z  4) 4(1)  2  a  (b  3)  (c  4) 4(2) ( x  a )  ( y  b)  ( z  c) 1(3)  Xét điểm M ( x; y; z ), N (a; b; c ) ta có 2 2 2 Lấy (1)  (2) theo vế có: x  y  z  a  b  c 6( y  b)  8( z  c) Kết hợp sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz (Bunhiacopski) (3) ta có : OM  ON  x  y  z  a  b  c 6( y  b)  8( z  c )  6  82   ( y  b)  ( z  c)2   6 2  82   ( x  a)2  ( y  b)  ( z  c)   10  x  ( y  3)  ( z  4) 4  2  a  (b  3)  (c  4) 4 ( x  a )2  ( y  b)  ( z  c) 1  x  a 0   y b z c   k  8 Dấu đạt  10 1  P  x    x  a0  a1 x   a9 x  a10 x10 a 3  Câu 26 Khai triển đa thức Tìm hệ số k lớn khai triển 27 C10 10 A B 1 27 C10 310 26 C10 10 C 28 C10 10 D Lời giải Chọn A 10 1    x , Khai triển nhị thức Niutơn  3  ta có 10 10 1  1  x  C10k      3   3 k 0  1 ak C    3 Suy 10  k k 10 10  k k 10 2  k  1 x     C10   3   3 k 0 10  k k  2 k   x  3 k  2    3 10   k 1 k 1  k  10  k   k  2 k 1   C  C  10     10     ak ak 1   3  3  3  3   10  k k 10   k  1 k1 ak ak   k 1  2  2 k     C10     C10   a    3      k Giả sử hệ số lớn nhất,  19 k  19 22 k 10   k   0  k 7 k  3 k  22  Vậy hệ số lớn a7  27 C10 310 | x| 2 Câu 27 Tìm tất giá trị thực m để phương trình  m  x có nghiệm thực phân biệt A ( ;  1)  (1; ) B ( ;  1)  (2; ) C (-3;-1) D (  ;  2)  (2; ) Lời giải Chọn A Ta có Đặt 2|x|  m  x  22| x| m  x  22|x|  x m  1 t x 2t  t m   điều kiện t 0 , Khi PT (1) trở thành: Với t 0 cho nghiệm x ; với t  ta có hai nghiệm x Xét hàm số f  t  22t  t Suy hàm số Suy f t 2t ta có f (t ) 2.2 ln  2t  với t 0 đồng biến [0; ) f (t )  f (0) 1 [0; ) Phương trình (1) có nghiệm PT (2) có nghiệm dương m    m2     m 1 II PHẦN TỰ LUẬN z  z2 z z Câu 28 Gọi , hai nghiệm phức phương trình z  z  0 Giá trị biểu thức Lời giải  z 2  i 2  2  i   i     z  z z   i  10 Ta có z  z  0 Khi Câu 29 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA vng góc với mặt phẳng  ABCD  ; góc đường thẳng SC mặt phẳng  ABCD  60 Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD Lời giải  SAB    ABCD    SAD    ABCD   SA   ABCD    SAB    SAD  SA Ta có   AC hình chiếu vng góc SC lên mặt phẳng  ABCD     ,  ABCD  SCA   SC 60 Tam giác SAC vng A có SA  AC.tan 60 a 1 a3 VSABCD  SA.S ABCD  a 6.a  3 Khi H Câu 30 Cho hình phẳng   giới hạn đường y  x , y 0 , x 0 , x 4 Đường thẳng y k   k  16  chia hình  H  thành hai phần có diện tích S1 , S2 (hình vẽ) Tìm k để S1 S2 Lời giải Chọn B Hoành độ giao điểm đồ thị hai hàm số y  x y k x  k Do diện tích S1   x  k  dx k , diện tích Ta có S1 S2  16 6k   k3   x  k  dx  k  k 6 S2 x dx  S1  x3   x d x   kx   20    k 32 64  4k    k 2  k 0;16     k 2   k 4  k  16 0  k 2   k3 32  k3  3