5 vec tơ (otc) ctst 10

TỐN 10-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO Điện thoại: 0946798489 ƠN TẬP CHƯƠNG VECTO • TỐN 10 • |FanPage: Nguyễn Bảo Vương PHẦN LÝ THUYẾT – BÀI TẬP MẪU Chương V VECTƠ Bài KHÁI NIỆM VECTƠ A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Cho đoạn thẳng AB Nếu ta chọn điềm A làm điêm đầu, điểm B làm điểm cuốithì ta đoạn  thẳng  AB có hướng từ A đến B Đoạn thẳng có định hướng AB kí hiệu AB gọi  vectơ AB   - Vectơ có điểm đầu A , điểm cuối B kí hiệu AB , đọc vectơ AB  - Đường thẳng qua hai điểm A B gọi giá củavectơ AB   - Độ dài đoạn thẳng AB gọi độ dài vectơ AB kí hiệu | AB | Như ta có:  | AB | AB     Một vectơ không cần rõ điểm đầu điểm cuối viết a , b , x , y, Vectơ có độ dài gọi vectơ đơn vị Hai vectơ gọi phương giá chúng song song trùng Nếu hai vectơ phương chúng hướng ngược hướng   Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng chi hai vectơ AB AC phương   Hai vectơ a b gọi chúng hướng có độ dài, kí hiệu   a b   Hai vectơ a b gọi đối chúng ngược hướng có độ dài, kí hiệu    a  b Khi đó, vectơ b gọi vectơ đối vectơ a    10 Cho vectơ a điểm O , ta tìm điểm A cho: OA  a 11 Với điểm A bất kì, ta quy ước có vectơ đặc biệt mà điểm đầu điểm cuối A  Vectơ kí hiệu AA gọi vecto-khơng Ta kí hiệu vecto-khơng Như      AA  BB  CC   với điểm A, B, C , 12 Vectơ-khơng có độ dài hướng với vectơ B BÀI TẬP MẪU Bài Cho hình vng ABCD có tâm O có cạnh Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/    a) Tìm điểm đầu, điểm cuối, giá độ dài vecto: CA; OA; BD b) Tìm vectơ đơn vị hình Giải  a) Vectơ CA có điểm đầu C , điểm cuối A có giá đường thẳng AC  Vectơ OA có điểm đầu O , điểm cuối A có giá đường thẳng AO  Vectơ BD có điểm đầu B , điểm cuối D có giá đường thẳng BD Ta có: CA  BD  2; OA             b) Các vectơ đơn vị là: AB, BA, BC , CB, CD, DC , DA, AD Bài Cho hình chữ nhật ABCD Suy | CA || BD | 2;| OA |  a) Tìm vectơ vectơ AD ;  b) Tìm vectơ đối vectơ AB ;  c) Tìm vectơ có độ dài độ dài vectơ AC Giải   a) Vectơ vectơ ADlà BC    b) Vectơ đối vectơ AB BA, CD     c) Vectơ có độ dài độ dài vectơ AC CA, DB, BD Bài Trong Hình , tìm vectơ:  a) phương với vectơ ; AB  AB ; b) hướng với vectơ  c) vectơ đối vectơ PQ Giải   a) Vectơ phương với vectơ AB CD   b) Vectơ hướng với vectơ AB CD Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489   c) Vectơ đối vectơ PQ RS TỐN 10-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO Bài Tìm Hình , vectơ:  a) phương với vectơ x ;  b) hướng với vectơ a ;  c) ngược hướng với vectơ u Giải     a) Vectơ phương với vectơ x y, w, z   b) Vectơ hướng với vectơ a b   c) Vectơ ngược hướng với vectơ u v Bài TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Quy tắc ba điểm    Với ba điểm A, B, C , ta có: AB  BC  AC Quy tắc hình bình hành    Nếu OABC hình bình hành ta có OA  OC  OB Tính chất phép cộng vectơ     - Tính chất giao hốn: a  b  b  a ;      - Tính chất kết hợp: (a  b )  c  a  (b  c ) ;       - Với vectơ a , ta ln có: a    a  a Hiệu hai vectơ    Cho hai vecto a b Hiệu hai vectơ a      b vectơ a  ( b ) kí hiệu a  b    Chú ý: Cho ba điểm O, A, B Hình , ta có OB  OA  AB Tính chất vectơ trung điểm đoạn thẳng trọng  tâm tam giác   Điểm M trung điểm đoạn thẳng AB MA  MB      Điểm G trọng tâm tam giác ABC GA  GB  GC  B BÀI TẬP MẪU Bài Cho tứ giác ABCD , tìm vectơ sau:     a) m  ( AB  CD )  BC      b) n  AB  CD  BC  DC   c) m  n Giải Áp dụngtính chất giao hốn kết hợp phép cộng vectơ, ta có:           a) m  ( AB  CD )  BC  ( AB  BC )  CD  AC  CD  AD             b) n  AB  CD  BC  DC  ( AB  BC )  (CD  DC )  AC   AC        c) m  n  AD  AC  AD  CA  CD Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Bài Cho tam giác MNQ , thực phép trừ vectơ sau:   a) QM  QN   b) MN  QN Giải    a) QM  QN  NM      b) MN  QN  MN  NQ  MQ Bài Cho hình vng ABCD có cạnh Tính độ dài vectơ sau:     a) a  ( AC  BD )  CB      b) b  AB  AD  BC  DA Giải         a) a  ( AC  BD)  CB  AC  CB  BD  AD  Suy | a | AD        b) b  AB  AD  BC  DA  AC Suy | b | AC  Bài  Cho tam giác ABC cạnh M trung điểm BC Tính độ dài vectơ sau:    a) a  AB  AC      b) b  ( MC  MA)  ( MB  MA) Giải      a) a  AB  AC  CB Suy | a | CB            b) b  ( MC  MA)  ( MB  MA)  ( MC  MB )  ( AM  AM )  AM  Suy | b | AM  Bài Một máy bay có vectơ vận tốc theo hướng bắc, vận tốc gió vectơ theo hướng đơng Hình Tính độ dài vectơ tổng hai vectơ nói Giải      Gọi AB BC vecto vận tốc máy bay vận tốc gió Ta có: AB  BC  AC Suy AC  AB  BC  2002  602  209( km / h) Vậy độ dài vectơ tổng hai vectơ nói khoảng 209 km / h Bài TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ A KIẾN THƯC CẦN NHỚ Tích số với vectơ tính chất     - Cho số k khác vectơ a khác Tích số k với vectơ a vectơ, kí hiệu ka     Vectơ ka hướng với a k  , ngược hướng với a k  có độ dài | k | | a |     Quy ước: 0a  k    - Với hai vectơ a b bất kì, với số thực h k , ta có:         - • k (a  b )  ka  kb ; • (h  k )a   ka; • h(ka )  (hk )a;     - •1.a  a; • (1)  a  a Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO Điều kiện để hai vectơ cùng phương      Hai vectơ a b (b khác 0) phương chi có số k cho a  kb Điều kiện để ba điểm thẳng hàng   Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng có số k khác để AB  k AC B BÀI TẬP MẪU Bài Thực phép toán vectơ sau:       a) 2(u  v ) b) (a  b)m ; c) 5(2e ) ; d) c  9c Giải        a) 2(u  v )  2u  2v b) (a  b)m  am  bm ;         c) 5(2e )  (5.2)e  10e ; d) c  9c  (1  9)c  (8)c  8c ;     e) 7c  2c  (7  2)c  5c   Bài Cho hai vectơ a , b điểm M Hình      e) c  2c  a) Hãy vẽ vectơ MN  2a , MP  2b b) Cho biết mỗi vng có cạnh  Tính: | 5a |,| 5b | Giải a)      b) | 5a | | a | 5.2  10;| 5b || 5 | | b | | b | Bài Máy bay A bay với tốc độ a km / h , máy bay B bay ngược hướng có tốc độ gấp năm lần   máy bay A Biểu diễn vectơ vận tốc b máy bay B theo vectơ vận tốc a máy bay A Giải   Vectơ vận tốc máy bay B là: b  5a     Bài Cho tam giác ABC hai điểm M , N thoả mãn: BM  BC; CN   AC Tìm ba điểm thẳng hàng Giải   Ta có: BM  BC suy B, C, M thẳng hàng;   CN   AC suy C , N , A thẳng hàng Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ BÀI TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Góc hai vectơ        Cho hai vectơ a b khác Từ điểm O ta vẽ OA  a , OB  b   AOB với số đo từ 0 đến 180 gọi góc hai vectơ a b Góc      Ta kí hiệu góc hai vectơ a b (a , b )       Nếu (a , b )  90 ta nói a b vng góc với nhau, kí hiệu a  b Chú ý:     - Từ định nghĩa ta có (a , b )  (b , a )  - Góc hai vectơ hướng khác   - Góc hai vectơ ngược hướng khác 180    - Trong trường hợp có hai vectơ a b vectơ ta quy ước số đo góc hai vectơ tuỳ ý (từ 0° đến 180 ) Tích vơ hướng hai vectơ    Cho hai vectơ a b đềukhác   Tích vơ hướng a b số, kí hiệu a.b , xác định công thức:       a  b | a |  | b |  cos( a , b ) Chú ý:      - Trường hợp hai vectơ a b , ta quy ước a  b         - Với hai vectơ a b khác , ta có a  b  a  b       -Khi a  b tích vơ hướng a  b kí hiệu a gọi bình phương vô hướng  vectơ a     Ta có a | a |  | a |  cos 0 | a |2 Vậy bình phương vơ hướng vectơ ln bình phương độ dài vectơ Tính chất tích vơ hướng   - Với ba vectơ a , b , c số k , ta có:                  • a  b  b  a; • a  (b  c )  a  b  a  c ; • ( ka )  b  k ( a  b )  a  (kb ) - Từ các tính chất của tích vơ hướng hai vectơ, ta suy ra: 2  2    2   2 - • ( a  b )  a  2a  b  b ; • ( a  b )  a  2a  b  b       - • (a  b )  (a  b )  a  b Áp dụng tích vơ hướng   Trong Vật lí, tích vơ hướng giúp tính cơng A sinh lực F có độ dịch chuyển vectơ d Ta   có công thức: A  F  d B BÀI TẬP MẪU Bài Cho hình vng ABCD có tâm I Tìm góc:     a) ( DC , AB);(CD, AB) Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO   b) ( AB, BC ) Giải     a) Do hai vectơ DC , AB hướng nên ta có ( DC , AB)  0     Do hai vecto CD, AB ngược hướng nên ta có (CD, AB)  180     b) Do hai vectơ AB, BC vng góc nên ta có ( AB, BC )  90 Bài Cho tam giác ABC có cạnh 2a có đường cao AH Tính tích vơ hướng:         AB  AC ; AB  BC ; AH  BC ; HB  HC Giải       AB  AC | AB |  | AC |  cos( AB, AC )  2a  2a  cos 60  4a   2a 2        1 AB  BC | AB | | BC | cos( AB, BC )  2a  2a  cos120  4a      2a  2          AH  BC | AH |  | BC |  cos( AH , BC ) | AH |  | BC |  cos 90        HB  HC | HB |  | HC |  cos( HB, HC )  a  a  cos180  a (1)   a Bài Cho tam giác ABC vuông cân A , có cạnh BC       AB  AC ; AC  BC ; AB  BC Giải Tính tích vơ hướng: A có BC  suy AB  AC  Tam giác ABC vuông cântại        AB  AC | AB |  | AC |  cos( AB, AC )  1  cos 90        AC  BC | AC |  | BC |  cos( AC , BC )    cos 45   1        2 AB  BC | AB |  | BC |  cos( AB, BC )  1  cos135       1           Bài Cho hai vectơ i , j vng góc có độ dài cho biết a  4i  j , b  i  j Tính     tích vơ hướng a  b tính số đo góc (a , b ) Giải             Ta có a  b  (4i  j )  (i  j )  4i  16i  j  j  i  j        Vậy a  b  Suy (a , b )  90 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/   Bài Tính cơng sinh lực F có độ lớn 20 N kéo vật dịch chuyển theo vectơ d có   độ dài 50 m cho biết ( F , d )  60 Giải       Ta có A  F  d | F |  | d |  cos( F , d )  20  50  cos 60  20  50   500 (J) PHẦN BÀI TẬP TỰ LUẬN Cho hình bình hành ABCD tâm O Gọi P, Q, R trung điểm AB, BC, AD Lấy điểm  điểm đầu điểm cuối vectơ Tìm số vectơ khác vectơ khơng, với vectơ AR Câu Câu Cho hình thang ABCD có AD / / BC AD  2BC  2a Gọi M , N trung điểm CD, AD ; I giao điểm AC BN   a) Chứng minh AI  NM    b) Tính độ dài AI  AM  AD Câu Cho hình bình hành ABCD Gọi G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh:     GA  GC  GD  BD Câu Cho hình chữ nhật ABCD biết AB  3a , AD  4a     Chứng minh rằng: BA  DA  AC    Tính AB  AC ADC  60 Gọi E trung điểm AD Cho hình thoi ABCD tâm O có cạnh 2a góc   a) Hãy nêu vectơ khác vectơ-khơng ngược hướng với vectơ OE      b) Hãy tính độ dài vectơ u  CD  BO  OA  AE     Câu a) Cho hình bình hành ABCD điểm O Chứng minh OB  OA  OC  OD    b) Chất điểm A chịu tác động ba lực F1 , F2 , F3 hình vẽ bên trạng thái cân (tức      F1  F2  F3  ) Biết độ lớn lực F3 10 N   độ lớn lực F2 gấp đôi độ lớn lực F1 Tính độ lớn   lực F1 , F2 Câu Câu Câu  CM Câu Cho hình bình hành ABCD tâm O      a) Chứng minh rằng: MA  MB  MC  MD  MO  b) Gọi I trung điểm CD , G trọng tâm tam giác BCI Hãy phân tích vectơ AG theo hai   vectơ AB AD   Gọi AN , CM trung tuyến tam giác ABC Hãy phân tích vectơ AB theo hai vectơ AN Cho tứ giác ABCD Gọi M , N , E , F trung điểm AB, BC , CD, DA Đặt      ME  NF  AI Chứng minh BI  2 IF Câu 10 Cho tam giác ABC, cạnh AB lấy điểm M cho AM  MB Gọi E trung điểm MC    Hãy biểu diễn AE theo véc tơ AB, AC Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO       Câu 11 Cho tam giác ABC có trọng tâm G hai điểm M , N thoả mãn: 3MA  MB  ; NB  NC  Chứng minh rằng: G, M , N thẳng hàng Câu 12 a) Trong thi “Tôi yêu Bà Rịa Vũng Tàu”, nhằm ngợi ca nét đẹp quê hương, bạn học sinh làm mơ hình thuyền với cánh buồm hình tam giác có chiều dài hai cạnh 46cm 102cm, góc hai cạnh hình vẽ Tính độ dài cạnh cịn lại diện tích cánh buồm (Kết làm tròn đến chữ số thập phân)     b) Trong mặt phẳng, cho điểm M, N, P, Q Chứng minh: NP  QM  QP  NM c) Trong mặt phẳng, cho tam giác ABC, điểm E F nằm đường thẳng AB AC        thỏa EA   EB , FA  FC Phân tích vectơ E F theo hai vectơ BA, BC       Câu 13 Cho ABC Các điểm M , N , P xác định bởi: MA   BM ; AN  3CN ; CP  PB 4      a) Chứng minh: AM  CM  CB  NB  AN  15   b) Chứng minh: MN  AB  BC 4 c) Chứng minh: M , N , P thẳng hàng Câu 14 Cho hình vng ABCD tâm O có AB    a) Tính BO.BC   b) Tính AO  AB c) Gọi M điểm cạnh CD thỏa MD  MC N trung điểm AM Hãy phân tích    vectơ DN theo hai vectơ AC BC Câu 15 Cho hình chữ nhật ABCD, biết AB  6, AD      a) Chứng minh AC  BD  AD  CB   b) Tính AD  DB Câu 16 Cho tam giác ABC    a) Gọi M điểm cạnh BC cho BM  2MC Chứng minh rằng: AB  AC  AM     b) Tìm điểm N cho NA  NB  3NC    Câu 17 Cho hình vng ABCD có tâm O , cạnh a Tính độ dài vectơ AB  AO       Câu 18 Cho tam giác ABC ba điểm M , N , P thỏa mãn MA  MB  NA  3NC  ,    3PC  PB  Chứng minh M , N , P thẳng hàng Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Câu 19 Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm AB N điểm cạnh AC cho    NA  NC Gọi K trung điểm MN Chứng minh rằng: AK  AB  AC Câu 20 Chứng minh rằng: Nếu G G’ trọng tâm hai tam giác ABC MNP     3GG '= AM  BN  CP     Câu 21 Cho tam giác ABC cố định Xác định vị trí điểm M để MA  3MB  2MC  Câu 22      a) Cho điểm phân biệt M , N , P, Q Chứng minh rằng: MN  PQ  QM  NP    b) Cho tam giác ABC , điểm J thỏa mãn AK  3KJ , I trung điểm cạnh AB ,điểm K thỏa mãn            KA  KB  2KC  M thỏa mãn 3MK  AK MA  MB  MC  Tính MJ  MK      120 Gọi G trọng tâm tam giác Câu 23 Cho hình bình hành ABCD có AB  2a, AD  a, BAD ABD Tìm điểm M cạnh BC để DG  AM   1200 , I trung điểm AD Câu 24 Cho hình bình hành ABCD có AB  a, AD  2a, ABC   a) Tính BA.BC   b) Tính BA AC   c) Tính cos AC , BI   Câu 25 Cho hình chữ nhật ABCD tâm O có AB  2a, AD  a Gọi I trung điểm AB     a) Chứng minh rằng: AB  DC  CB  DA     b) Tính AB  AD AC  BD      c) Tính AI AB DA( AB  AC ) Câu 26 Cho hình vng ABCD Điểm M nằm đoạn thẳng AC cho AM  AC Gọi N trung điểm CD Chứng minh BMN tam giác vuông cân       Câu 27 Cho tam giác ABC điểm M , N , P thỏa mãn BM  k BC , CN  CA , AP  AB 15 Tìm k để AM vng góc với PN LỜI GIẢI THAM KHẢO Cho hình bình hành ABCD tâm O Gọi P, Q, R trung điểm AB, BC, AD Lấy điểm  điểm đầu điểm cuối vectơ Tìm số vectơ khác vectơ không, với vectơ AR Lời giải Câu Vẽ hình bình hành ABCD tâm O P, Q, R Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/