4 véc tơ (otc) kntt 10

TOÁN 10-KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG Điện thoại: 0946798489 ƠN TẬP CHƯƠNG VEC TO • TỐN 10 • |FanPage: Nguyễn Bảo Vương PHẦN LÝ THUYẾT – VÍ DỤ CHƯƠNG VECTƠ Bài CÁC KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU A - Kiến thức cần nhớ Vectơ đoạn thẳng có hướng, nghĩa là, hai đầu mút đoạn thẳng, rõ điềm đầu, điềm cuối Độ dài vectơ khoảng cách điểm đầu điểm cuối vectơ Đường thẳng qua điểm đầu điểm cuối vectơ gọi giá vectơ Một vectơ hoàn toàn xác định biết hướng độ dài Hai vectơ gọi phương chúng có giá song song trùng Đối với hai vectơ phương chúng hướng ngược hướng Hai vectơ gọi chúng có cung độ dài hướng Vectơ - khơng vectơ có điểm đầu điểm cuối trùng  Vectơ có độ dài , phương với vectơ, hướng với vectơ B - Ví dụ  Ví dụ Cho hình thoi ABCD Gọi O giao điểm hai đường chéo AC , BD Xét cặp vectơ: AB          DC , DA BC , BC CD, OA CO, BO DO a) Hãy mối quan hệ phương, hướng độ dài vectơ cặp b) Trong cặp trên, có cặp gồm hai vectơ nhau? Giải a) Do tứ giác ABCD hình thoi, nên cặp cạnh đối diện song song nhau, hai đường chéo cắt trung điểm  đường Từ  - Hai vectơ AB DC hướng độ dài;   - Hai vectơ DA BC ngược hướng độ dài;   - Hai vectơ BC CD khơng phương, có độ dài nhau;   - Hai vectơ OA CO hướng độ dài;   - Hai vectơ BO DO độ dài, ngược hướng b) Theo kết câu a,     - Do hai vectơ AB DC hướng độ dài, nên AB  DC ;     - Do hai vectơ OA CO hướng độ dài, nên OA  CO ;     - Do hai vectơ DA BC có độ dài, ngược hướng nên DA BC không Tương   tự, BO DO không nhau;     - Do hai vectơ BC CD không phương, BC CD khơng Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/     Vậy, cặp vectơ xét, có cặp gồm hai vectơ nhau, AB DC ; OA CO Ví dụ Cho tam giác ABC Vẽ đường trung tuyến AD, BE , CF tam giác ( D  BC , E  CA, F  AB) Xét vectơ có đầu mút lấy từ điểm A, B , C, D, E, F  Hãy ba vectơ khác đôi Giải Từ giả thiết suy D trung điểm BC , E trung điểm CA F trung điểm AB Từ DE, EF , FD đường trung bình tam giác Do đó, hai đoạn thẳng DE, BF song song nhau, hai đoạn thằng DE, FA song song Suy tứ giác AEDF , FEDB hình bình hành Do vectơ       BF , DE , FA hướng độ dài; vectơ AF , FB , ED hướng độ dài Bởi       BF  FA  DE AF  FB  ED Bằng tự,  lập luận tương      BD  DC  FE vaø CD  DB  EF       CE  EA  DF vaø AE  EC  FD BÀI TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ A - Kiến thức cần nhớ Vectơ đối    Vectơ đối vectơ a , ki hiệu  a , vectơ ngược hướng độ dài với vectơ a Quy tắc cộng, trừ hai vectơ - Quy tắc ba điểm (hay gọi tam là quy  tắc  giác):    Với ba điểm A, B, C , ta có: AB  BC  AC; AC  AB  BC    - Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD hình bình hành AB  AD  AC Tính chất       - Tính chất giao hốn phép cộng: a  b  b  a , a , b          - Tính chất kết hợp phép cộng: ( a  b )  c  a  (b  c ), a , b , c        - Tính chất vectơ : a    a  a , a     - Tính chất vectơ đối: a  ( a )  0, a Dấu hiệu nhận biết trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm tam  giác  M trung điểm đoạn thẳng AB MA  MB      - G trọng tâm tam giác ABC GA  GB  GC  B-Ví dụ Ví dụ Cho hình chữ nhật ABCD với AB  a, AD  a    a) Tính độ dài vectơ DC  BD  AB     b) Xác định điểm M cho DC  BD  AB  BM Giải Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG a) Do hình chữ nhật ABCD có AB  a, AD  a nên độ dài hai đường chéo AC , BD a  (a 2)  a Theo  tính  chất giao hoán và  kết hợp phép cộng vectơ, ta có DC  BD  AB  AB  BD  DC        ( AB  BD )  DC  AD  DC  AC     Do | DC  BD  AB || AC | a           b) Do DC  BD  AB  AC nên DC  BD  AB  BM  AC  BM   Theo kết tập 4.3, SGK Toán 10 tập , đẳng thức AC  BM tương đương với tứ giác ABMC    hình bình hành Từ CM  AB  DC Vậy điểm M cần tìm điểm đối xứng với D qua C Ví dụ Cho lục giác ABCDEF tâm O , độ dài cạnh a) Chứng  minh      OA  OB  OC  OD  OE  OF       b) Tính độ dài vectơ AB  OE , AB  CD  EF Giải a) Do O tâm lục giác ABCDEF nên O trung điềm đường chéo AD, BE , CF          Khi OA  OD  0, OB  OE  0, OC  OF         0     Suy OA  OB  OC  OD  OE  OF  b) Theo kết tập 4.4, ta AB  OE  FO  OE  FE Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/    Từ đó, độ dài cạnh lục giác ABCDEF nên | AB  OE || EF |    Ví dụ Trên Hình biểu diên ba lực F1 , F2 , F3 tác động vào vật vị trí cân Cho biết     cường độ F1 , F2 100 N góc tạo F1 F2 120  Tính cường độ lực F3 Giải           Ta sử dụng vectơ OA, OB, OC OD biểu diễn cho lực F1 , F2 , F3 hợp lực F F1 , F2      AOB  120 , suy Khi đó, F  F1  F2 F1  F2  100 , nên tứ giác AOBD hình thoi Từ đó,    60 , tam giác AOD Bởi | F | OD  OA  100 OAD    Do vật vị trí cân nên hai lực F F3 ngược hướng có cường độ nhau, tức hai vectơ OD   OC hai vectơ đối Suy cường độ lực F3   F3 | F | 100( N ) BÀI TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ A - Kiến thức cần nhớ    Tích vectơ a  với số thực k , kí hiệu ka , vectơ:  - có độ dài | k |  | a | ; Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG   - hướng với a k  ngược hướng với a k  ;   Tính chất Cho hai vectơ a , b cho hai số thực k , t Khi   k (ta )  (kt )a ;          k ( a  b )  ka  kb ; k ( a  b )  ka  kb ;    (k  t )a  ka  ta     - 1a  a , (1)a  a;     ka   k  a        Hai vectơ a b (b  0) phương tồn số thực k cho a  kb     Cho trước vectơ a  Khi với vectơ b phương với a , tồn số thực x cho   b  xa    Cho trước hai vectơ a b khơng phương Khi với vectơ c tồn cặp số ( x; y)    cho c  xa  yb    M trung điểm AB OA  OB  2OM , O G trọng tâm tam giác ABC     OA  OB  OC  3OG, O B Ví dụ Ví dụ Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm BC Gọi G, G1 , G2 theo thứ tự trọng tâm tam giác ABC, ABM , ACM Chứng minh G trung điềm G1G2 Giải Do M trung điểm BC; G, G1 , G2 theo thứ tự trọng tâm tam giác ABC , ABM , ACM nên với điềm O , ta có        OB  OC  2OM , OA  OB  OC  3OG         OA  OB  OM  3OG1 , OA  OC  OM  3OG2 Tử suy        OG1  OG2  (OA  OB  OC )  (OA  2OM )         (OA  OB  OC )  (OA  OB  OC )  6OG    Suy OG1  OG2  2OG Do G trung điểm G1G2 Ví dụ Cho tam giác ABC Trên cạnh BC lấy điểm M cho BM  MC    a) Chứng minh MB  2MC     b) Chứng minh AB  AC  AM Giải       a) Do M thuộc cạnh BC BM  MC nên hai vectơ MB, MC ngược hướng | MB | | MC | Suy      MB  2MC MB  2MC        b) Theo quy tắc ba điểm, ta có AB  AM  MB; AC  AM  MC           Từ AB  AC  ( AM  MB )  2( AM  MC )  AM  ( MB  MC )  AM Nhận xét - Điểm M ví dụ gọi điểm chia đoạn thẳng BC theo tỉ số 2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/   - Bằng lập luận tương tự ta chứng minh điểm M chia đoạn AB theo ti số k (tức MA  k MB )    OA  kOB  (1  k )OM , O Ví dụ Gọi G G theo thứ tự trọng tâm tam giác ABC tam giác A BC  Chứng minh     AA  BB   CC   3GG  Giải Do G trọng tâm tam giác ABC , G  trọng tâm tam giác A BC  nên ta có:         AG  BG  CG  1 vaø G A  G B  GC     Theo quy tắc ba điểm, ta có     AA  BB  CC          ( AG  BG  CG )  3GG  G  A  G  B  G C            AG  GG   G  A  BG  GG  G  B  CG  GG   G C      Từ (1), (2) suy AA  BB  CC   3GG  Ví dụ Cho tam giác ABC     a) Tìm điểm M cho MA  2MB  3MC     b) Tìm tập hợp điềm N thoả mãn | NA  NC | | NB | Giải a) Giả sử tìm thoả (H.4.9a) đó,    điềm M   mãn  Khi  với/ trung  điềm  AC , ta có MA  MB  3MC  ( MA  MC )  2( MB  MC )  MI  2CB  2( MI  CB)          Khi MA  2MB  3MC   2( MI  CB )   MI  CB       Do B, C , I không thuộc đường thẳng, nên điều tương đương với tứ giác BCMI hình bình hành Vậy điểm M cần tìm đỉnh thứ tư hình bình hành dựng hai cạnh BC , BI tức M đối xứng với B qua trung điểm IC b) Gọi J trung điểm IC   Khi JA  JC JA  3JC Từ suy Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG        NA  3NC  ( NJ  JA)  3( NJ  JC )  NJ      Do | NA  3NC | | NB | | NJ | | NB |   | NJ || NB |, tức N thuộc trung trực đoạn JB Vậy tập hợp điềm N cần tìm đường trung trực đoạn JB BÀI 10 VECTƠ TRONG MẶT PHẲNG TOẠ ĐỘ A - Kiến thức cần nhớ Trục toạ độ, toạ độ trục Trục toạ độ (còn gọi trục hay trục số) đường thẳng, mà xác định điểm O   vectơ e có độ dài Điểm O gọi gốc toạ độ, vectơ e gọi vectơ đơn vị trục   Điểm M trục biểu diễn số x0 OM  x0 e Hệ trục tọa độ, tọa độ hệ trục toạ độ   Hệ trục tọa độ hệ gồm hai trục Ox (với vectơ đơn vị i ) trục Oy (với vectơ đơn vị j ) vng góc với gốc chung O Trục Ox gọi trục hoành, trục Oy gọi trục tung     Với vectơ u mặt phẳng Oxy , có cặp số thực  x0 ; y0  cho u  x0i  y0 j    Cặp số  x0 ; y0  gọi toạ độ vectơ u hệ trục Ta viết u   x0 ; y0  hay u  x0 ; y0  để  vectơ u có toạ độ  x0 ; y0  hệ trục toạ độ Các số x0 , y0 tương ứng gọi hoành độ, tung    độ vectơ u Nếu điểm M có toạ độ  x0 ; y0  vectơ OM có toạ độ  x0 ; y0  | OM | x02  y02  Với hai điểm M ( x; y) N  x ; y   MN   x  x; y   y  khoảng cách hai điểm M , N  2 MN | MN | x  x  y  y     Tính chất   Cho hai vectơ u  ( x; y ), v   x ; y   cho số thực k Khi      u  v  x  x  ; y  y ; u  v  x  x  ; y  y ; ku  (kx; ky );      x  x    x   x    uv ; u   v     y  y  y  y    Dấu hiệu phương hai vectơ: Vectơ v ( x; y ) phương với vectơ u  x ; y    tồn số k cho x  kx y  ky  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Cho hai điểm A  a1 ; a2  , B  b1 ; b2  Khi trung điểm M đoạn thẳng AB có toạ độ  a1  b1 a2  b2  ;     Cho tam giác ABC với A  a1 ; a2  , B  b1 ; b2  , C  c1 ; c2  Khi trọng tâm G tam giác ABC có toạ độ  a1  b1  c1 a2  b2  c2 ;  3     B-Ví dụ Ví dụ Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(1;2) B(3; 4) a) Tìm toạ độ trung điềm M đoạn AB   b) Tìm toạ độ điềm N cho NA  NB Giải 1   x   a) Gọi M ( x; y) trung điểm AB Khi  Suy M (2; 1)  y   (4)  1           b) Do NA  NB nên OA  2OB  (1  2)ON  ON , suy ON  2OB  OA Từ đó,    OA  (1; 2), OB  (3; 4) nên ON  (5; 10) Vậy N (5; 10) Nhận xét   Một cách khái quát, với hai điểm A  a1 ; a2  , B  b1 ; b2  điểm P thoả mãn PA  k PB (k  1) có toạ độ  a1  kb1 a2  kb2  ;   1 k   1 k Ví dụ Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(2; 1), B(1; 4) C (2;3) a) Chứng minh A, B, C ba đỉnh tam giác b) Tìm toạ độ trọng tâm G tam giác ABC Giải     1  nên vectơ AB AC không phương a) Từ giả thiết suy AB  ( 1;5), AC  ( 4; 4) Do 4 Suy A, B, C ba đỉnh tam giác   (2)    x  3 b) Gọi G ( x; y ) trọng tâm tam giác ABC Khi   y  (1)     1  Suy G  ;  3        Ví dụ Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A, B thoả mãn OA  2i  j , OB  3i  j a) Chứng minh O, A, B khơng thằng hàng b) Tìm toạ độ điểm C cho tứ giác ABCO hình bình hành c) Tìm toạ độ điểm D thuộc trục hoành cho DA  DB Giải     3 a) Từ giả thiết suy OA  (2; 3) OB  (3; 2) Vì  nên hai vectơ OA OB khơng phương, hay O, A, B không thẳng hàng  b) Từ giả thiết suy AB  (1;5) Giả sử tìm điểm C cho tứ giác ABCO hình bình hành Khi    OC  AB nên OC  (1;5) Suy C (1;5) c) Xét điểm D(d ;0)  Ox Khi DA  (2  d )  9, DB  (3  d )  Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG 2 2 Suy DA  DB  DA  DB  (2  d )   (3  d )   d  Vậy điểm D cần tìm trùng với gốc toạ độ O(0;0) Ví dụ Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(1;2) B(3; 4) Tìm toạ độ điểm C thuộc trục   tung cho vectơ CA  CB có độ dài ngắn Giải   Xét điểm C (0; c)  Oy Khi CA  (1;  c) CB  (3; 4  c)     Do CA  CB  (4; 2  2c) , suy | CA  CB | 16  4(1  c)   Do (1  c)  0c , đẳng thức xảy c  1 , nên | CA  CB | , đẳng thức xảy   c  1 Vậy với điểm C (0; 1)  Oy vectơ CA  CB có độ dài ngắn Nhận xét      - Với điểm C có CA  CB  2CI , với I trung điểm AB Suy vectơ CA  CB có độ dài ngắn  vectơ CI có độ dài ngắn Từ đó, C thuộc trục tung, nên C hình chiếu vng góc I trục tung   - Khái quát, ta có tốn tìm điểm C thuộc đường thẳng  cho vectơ  CA   CB có độ dài ngắn nhất, với  ,  hai số cho trước Bài 11 Tích vơ hướng hai vectơ A - Kiến thức cần nhớ        Góc hai vectơ: Cho hai vectơ u v khác vectơ Từ điểm A đó, vẽ AB  u , AC  v  gọi số đo góc hai vectơ u v hay đơn giản góc hai Khi số đo góc BAC     vectơ u , v , ki hię̂u (u , v )     Tích vơ hướng hai vectơ khác vectơ-khơng u v số, kí hiệu u  v , xác định công       thức u  v | u |  | v |  cos(u , v ) Chú ý     - Hai vectơ khác vecto-khơng u v có phương vng góc với u  v  - Bình phương vơ hướng vectơ bình phương độ dài vectơ đó:   u | u |2   Biểu thức tọa độ tích vơ hướng: Trong mặt phẳng toạ độ cho hai vectơ u  ( x; y) v   x ; y   Khi     tích vơ hướng hai vectơ u , v tinh theo công thức u  v  xx  yy   Nhận xét Với vectơ u  ( x; y) v   x ; y   , ta có:   - Hai vectơ u v vng góc với xx  yy    - Bình phương vơ hướng vectơ u u  x  y         u v xx  yy - Nếu u  v  cos(u , v )     | u || v | x  y  x 2  y 2 Tính chất Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/    Với ba vectơ u , v , w số thực k , ta có:     - Tính chất giao hoán: u  v  v  u         - Tính chất phân phối phép cộng vectơ: u  (v  w )  u  v  u  w       - Tính chất kết hợp phép nhân với số: (ku )  v  k (u  v )  u  (kv )   Nhận xét Với hai vectơ u , v bất kì, ta có:       (u  v )  u  u  v  v       (u  v )2  u  u  v  v       (u  v )  (u  v )  u  v B- Ví dụ Ví dụ Cho tam giác ABC tâm O , có độ dài cạnh         a) Xác định góc cặp vectơ AB AC , AB BC , OA BC , OB CB b) Tính tích vơ hướng cặp vectơ sau:           AB AC , AB BC , OA OB, OA BC , OB CB Giải    60 ABC  BCA a) Do tam giác ABC đều, nên CAB     60 Suy ( AB; AC )  CAB   Gọi D điểm đối xứng với B qua CA Khi tứ giác ABCD hình thoi, AD  BC   180   BAD ABC  120      Suy ( AB; BC )  ( AB; AD)  BAD  120 Gọi M trung điểm BC N trung điểm OA, P điểm đối xứng với M qua C Khi đó,     O tâm tam giác ABC , nên A, N , O, M thẳng hàng, AM  BC , MN  OA MP  BC     Suy (OA; BC )  ( MN ; MP )  90   60 Lấy điểm Q đối xứng với O qua M Khi tứ giác BOCQ hình thoi, có OCQ       30 Suy (OB; CB )  (CQ; CB)  BCQ 1 b) Do AM  BC nên AM  AB  BM  12     2   2 3  Do O tâm tam giác ABC , nên | OA || OB | OA  AM   3       Suy AB  AC | AB |  | AC |  cos( AB; AC )  11 cos 60        AB  BC | AB |  | BC |  cos( AB; BC )  11 cos120         3 OA  OB | OA |  | OB |  cos(OA; OB )    cos120   3 Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/