(Luận văn thạc sĩ) tính ổn định của một số lớp phương trình sai phân và áp dụng

BË GIO DƯC V€ €O T„O TR×ÍNG „I HÅC QUY NHÌN TR×ÌNG THÀ NGÅC TR…M TNH ÊN ÀNH CÕA MËT Sẩ LẻP PHìèNG TRNH SAI PHN V P DệNG h LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC BœNH ÀNH - N‹M 2020 BË GIO DƯC V€ €O T„O TR×ÍNG „I HÅC QUY NHÌN TR×ÌNG THÀ NGÅC TR…M TNH ÊN ÀNH CÕA MậT Sẩ LẻP PHìèNG TRNH SAI PHN V P DệNG h Chuyản ngnh: PHìèNG PHP TON Sè CP M số: 8460113 Ngữới hữợng dăn : PGS TS INH CặNG HìẻNG Líi cam oan Tỉi xin cam oan c¡c sè li»u v kát quÊ nghiản cựu luên vôn ny l khổng trũng lp vợi cĂc à ti khĂc v ữủc hon thnh dữợi sỹ hữợng dăn cừa PGS TS inh Cổng Hữợng Tổi cụng xin cam oan mồi thổng tin trẵch dăn luên vôn  ch ró nguỗn gốc Bẳnh nh, ngy 25 thĂng 07 nôm 2020 Hồc viản h Trữỡng Th Ngồc TrƠm Mửc lửc Mé U 1 MËT SÈ KI˜N THÙC CHU‰N BÀ B§t ¯ng thùc Gronwall Giợi thiằu và hằ phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh Mởt số tẵnh chĐt cừa nghiằm hằ phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh Mởt số tẵnh chĐt cừa nghiằm hằ phữỡng trẳnh sai phƠn phi tuyán Lỵ thuyát ờn nh cừa hằ phữỡng trẳnh sai phƠn h 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 3 11 19 22 TNH ÊN ÀNH CÕA MËT SÈ LỴP PHìèNG TRNH SAI PHN 27 2.1 Tẵnh ờn nh cừa hằ phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh 2.2 T½nh ên ành cõa h» phữỡng trẳnh sai phƠn phi tuyán 2.2.1 Tẵnh ờn nh cừa hằ phữỡng trẳnh sai phƠn phi tuyán 2.2.2 Tẵnh ờn nh cừa mởt lợp phữỡng trẳnh sai phƠn phi tuy¸n ỉtỉnỉm 2.2.3 Tẵnh ờn nh cừa mởt lợp phữỡng trẳnh sai phƠn phi tuyán cõ trạ 27 36 36 43 44 MËT SÈ V DÖ P DÖNG 48 K˜T LUŠN V€ KI˜N NGHÀ 58 3.1 Mët sè vẵ dử và tẵnh chĐt cừa dÂy số 48 3.2 Mët sè v½ dử và tẵnh ờn nh cừa mổ hẳnh quƯn th 50 T€I LI›U THAM KHƒO 59 h BƒNG CC KÞ HI›U R R+ Z Z− Z+ AT h kxk = max (|x(1)|, , |x(k)|) ∆x(n) = x(n + 1) − x(n) N(n0 ) : têp số thỹc : têp số thỹc dữỡng : têp số nguyản : têp số nguyản Ơm : têp số nguyản dữỡng : ma chuyn v cừa ma A : chuân cừa vectỡ x : sai phƠn cừa dÂy x(n) : têp gỗm cĂc số tỹ nhiản n n0 M Ưu h Tẵnh chĐt cừa nghiằm cĂc phữỡng trẳnh sai phƠn l mởt hữợng nghiản cựu quan trồng cừa ToĂn hồc Lỵ thuyát ny  tẳm nhiÃu ựng dửng cĂc lắnh vỹc cõa To¡n håc cơng nh÷ c¡c khoa håc kh¡c nh÷ GiÊi tẵch số, Lỵ thuyát iÃu khin, Lỵ thuyát ữợc lữủng, Di truyÃn hồc, Sinh thĂi hồc, Vẳ vêy, viằc nghiản cựu lỵ thuyát ny l mởt vĐn · thíi sü cõa To¡n håc, ÷đc nhi·u nh  khoa hồc quan tƠm Trong thới gian gƯn Ơy, cĂc nh khoa håc Burton, Cooke, Yorke, Zhang, Rafoul, Islam, Ardjouni, Huong, Mau v mởt số nh toĂn hồc khĂc  nhên ữủc nhiÃu kát quÊ và tẵnh chĐt nh tẵnh cừa nhiÃu lợp phữỡng trẳnh sai phƠn cõ trạ hoc khổng cõ trạ, chng hÔn nhữ: Trong [4], Huong v Mau  à xuĐt mởt số kát quÊ và tẵnh b ch°n ng°t cõa nghi»m, t½nh ên ành cõa nghi»m khỉng v sỹ tỗn tÔi nghiằm tuƯn hon dữỡng cừa phữỡng trẳnh sai phƠn phi tuyán vợi trạ bián thiản x(n + 1) = λ(n)x(n) + α(n)F (x(n − m(n)), n = 0, Trong [10], Islam v  Yankson ¢ sỷ dửng phữỡng phĂp nh lẵ im bĐt ởng  ch¿ t½nh bà ch°n v  ên ành cõa nghi»m khổng cừa phữỡng trẳnh sai phƠn phi tuyán x(n + 1) = a(n)x(n) + c(n)∆x(n − g(n)) + q(x(n), x(n − g(n))) Trong [11], Huong sû dưng ph÷ìng ph¡p ành lẵ im bĐt ởng v tẵnh toĂn mởt số bĐt ng thực sai phƠn  ch sỹ ờn nh tiằm cên v tẵnh b chn ngt cừa nghiằm cừa phữỡng trẳnh sai phƠn phi tuyán khổng ổ-tổ-nổm x(n + 1) = λ(n)x(n) + α(n)F (n, x(n − ω(n)), n ≥ Trong [8], Giang v  Huong nghi¶n cựu sỹ ờn nh cừa mổ hẳnh dƠn số thổng qua tẵnh ờn nh nghiằm cừa phữỡng trẳnh sai phƠn x(n + 1) = λx(n) + F (x(n − m)) Nõi riảng, tẵnh chĐt ờn nh nghiằm l mởt nhỳng tẵnh chĐt thú v ữủc nhiÃu nh khoa hồc quan tƠm nghiản cựu bi nõ gưn vợi cĂc cĂc v§n · sinh håc, y håc, cì håc, kÿ thuêt, kinh tá Vẳ vêy, bi toĂn nghiản cựu tẵnh ờn nh nghiằm cừa cĂc hằ phữỡng trẳnh vi phƠn, sai phƠn l mởt vĐn à ang thu hót sü quan t¥m cõa nhi·u nh  khoa håc v ngoi nữợc Luên vôn têp trung nghiản cựu tẵnh ờn nh nghiằm cừa mởt số lợp phữỡng trẳnh sai phƠn Luên vôn bao gỗm: M Ưu, Nởi dung, Kát luên v Ti liằu tham khÊo CĐu trúc luên vôn nhữ sau: Chữỡng 1: Mởt số kián thực chuân b h Chữỡng ny trẳnh by cĂc khĂi niằm v kát quÊ s ữủc dũng cĂc chữỡng tiáp theo cừa luên vôn Chữỡng 2: Tẵnh ờn nh cừa mởt số lợp phữỡng trẳnh sai phƠn Chữỡng ny trẳnh by tẵnh ờn nh cừa cĂc hằ phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh v hằ phữỡng trẳnh sai phƠn phi tuyán Chữỡng 3: Mởt số vẵ dử Ăp dửng Chữỡng ny trẳnh by mởt số vẵ dử và tẵnh chĐt dÂy số v tẵnh ờn nh cừa cĂc mổ hẳnh quƯn th Luên vôn ữủc hon thnh dữợi sỹ hữợng dăn trỹc tiáp cừa PGS.TS inh Cổng Hữợng NhƠn dp ny tổi xin by tọ lỏng biát ỡn chƠn thnh và sỹ ch bÊo, hữợng dăn tên tƠm, nhiằt tẳnh cừa thƯy suốt quĂ trẳnh thỹc hiằn luên vôn Mc dũ rĐt cố gưng hÔn chá và thới gian v trẳnh ở nản cÔnh nhỳng kát quÊ  Ôt ữủc, luên vôn khổng th trĂnh khọi nhỳng hÔn chá v thiáu sõt RĐt mong nhên ữủc sỹ gõp ỵ thng thưn v chƠn thnh cừa quỵ thƯy cổ v cĂc bÔn  luên vôn ữủc hon thiằn hỡn Ch÷ìng MËT SÈ KI˜N THÙC CHU‰N BÀ Trong chữỡng ny chúng tổi trẳnh by lỵ thuyát và nghiằm cừa hằ phữỡng trẳnh sai phƠn, lỵ thuyát ờn nh cừa hằ phữỡng trẳnh sai phƠn CĂc kián thực cừa chữỡng ny chừ yáu tham khÊo [11], [12], [16] 1.1 BĐt ng thực Gronwall h nh lỵ 1.1 (Xem [11]) Gi£ sû x(n) ≤ p(n) + q(n) n−1 X f (`)x(`), n ∈ N(n0 ) (1.1) `=n0 Khi â x(n) ≤ p(n) + q(n) n−1 X p(`)f (`) `=n0 Chùng minh °t h m y(n) = Pn−1 `=n f (`)x(`) n−1 Y (1 + q(r)f (r)) (1.2) r=`+1 Ta câ 4y(n) = f (n)x(n), y(n0 ) = (1.3) Tø x(n) ≤ p(n) + q(n)y(n) v  f (n) 0, ta nhên ữủc y(n + 1) (1 + q(n)f (n))y(n) ≤ p(n)f (n) (1.4) V¼ + q(n)f (n) > vỵi måi n ∈ N(n0), ta nhƠn hai vá cừa (1.4) vợi Qn`=n (1 + q(`)f (`))−1 , ta ÷đc " n−1 Y # −1 (1 + q(`)f (`)) n Y y(n) ≤ p(n)f (n) (1 + q(`)f (`))−1 `=n0 `=n0 L§y têng tø n0 ¸n n − v  dịng y(n0) = ta thu ÷đc n−1 Y −1 (1 + q(`)f (`)) n−1 X y(n) ≤ p(`)f (`) Tø â ta câ y(n) ≤ n−1 X p(`)f (`) (1 + q(r)f (r))−1 r=n0 `=n0 `=n0 ` Y n−1 Y (1 + q(r)f (r)) (1.5) r=`+1 `=n0 Do (1.2), ta câ x(n) ≤ p(n) + q(n)y(n) Ta câ i·u phÊi chựng minh Hằ quÊ 1.1 Trong nh lỵ 1.1, l§y p(n) = p v  q(n) = q Khi â vỵi måi n ∈ N(n0 ), ta câ x(n) ≤ p n−1 Y (1 + qf (`)) `=n0 h H» qu£ 1.2 Trong ành l½ 1.1, p(n) khỉng gi£m v  q(n) ≥ vỵi måi n ∈ N(n0) Khi â vỵi måi n ∈ N(n0), ta câ x(n) ≤ p(n)q(n) n−1 Y (1 + q(`)f (`)) `=n0 1.2 Giỵi thiằu và hằ phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh Xt hằ phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh thuƯn nhĐt cõ dÔng x(n + 1) = A(n)x(n) (1.6) vợi A(n) = (aij (n)) l mởt ma cĐp k khổng suy bián Náu A l ma hơng thẳ ta cõ h» x(n + 1) = Ax(n) (1.7) Ta x²t sü tỗn tÔi v nhĐt nghiằm cừa (1.6) nh lỵ 1.2 (Xem [16]) Vỵi méi x0 ∈ Rk v  n0 Z+ thẳ cõ nhĐt mởt nghiằm x(n, n0, x0) cừa hằ phữỡng trẳnh (1.6) vợi x(n0, n0, x0) = x0