(Luận văn) tính ổn định của một số lớp phương trình sai phân và áp dụng

BË GIO DƯC V€ €O T„O TR×ÍNG „I HÅC QUY NHÌN TR×ÌNG THÀ NGÅC TR…M lu an n va p ie gh tn to TNH ÊN ÀNH CÕA MËT SÈ LẻP PHìèNG TRNH SAI PHN V P DệNG d oa nl w LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu BœNH ÀNH - N‹M 2020 n va ac th si BË GIO DƯC V€ €O T„O TR×ÍNG „I HÅC QUY NHÌN TR×ÌNG THÀ NGÅC TR…M lu an n va p ie gh tn to TNH ấN NH CếA MậT Sẩ LẻP PHìèNG TRœNH SAI PH…N V€ P DÖNG d oa nl w Chuyản ngnh: PHìèNG PHP TON Sè CP M số: 8460113 nf va an lu z at nh oi lm ul Ngữới hữợng dăn : PGS TS INH CặNG HìẻNG z m co l gm @ an Lu n va ac th si Líi cam oan lu Tỉi xin cam oan cĂc số liằu v kát quÊ nghiản cựu luên vôn ny l khổng trũng lp vợi cĂc à ti khĂc v ữủc hon thnh dữợi sỹ hữợng dăn cừa PGS TS inh Cổng Hữợng Tổi cụng xin cam oan mồi thổng tin trẵch dăn luên vôn  ch ró nguỗn gốc an n va gh tn to Bẳnh nh, ngy 25 thĂng 07 nôm 2020 p ie Hồc viản d oa nl w Trữỡng Th Ngåc Tr¥m nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Möc löc MÐ †U lu MËT SÈ KI˜N THÙC CHU‰N BÀ an n va p ie gh tn to 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 B§t ¯ng thùc Gronwall Giợi thiằu và hằ phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh Mët số tẵnh chĐt cừa nghiằm hằ phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh Mởt số tẵnh chĐt cừa nghiằm hằ phữỡng trẳnh sai phƠn phi tuyán Lỵ thuyát ờn nh cừa hằ phữỡng trẳnh sai phƠn 3 11 19 22 oa nl w TNH ÊN ÀNH CÕA MậT Sẩ LẻP PHìèNG TRNH SAI PHN 27 d 2.1 Tẵnh ờn nh cừa hằ phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán t½nh 2.2 T½nh ờn nh cừa hằ phữỡng trẳnh sai phƠn phi tuyán 2.2.1 T½nh ên nh cừa hằ phữỡng trẳnh sai phƠn phi tuyán 2.2.2 Tẵnh ờn nh cừa mởt lợp phữỡng trẳnh sai phƠn phi tuyán ổtổnổm 2.2.3 T½nh ên ành cừa mởt lợp phữỡng trẳnh sai phƠn phi tuyán cõ tr¹ nf va an lu z at nh oi lm ul z 43 44 48 gm @ MËT SÈ V DÖ P DÖNG 27 36 36 58 an Lu K˜T LUŠN V€ KI˜N NGHÀ m co l 3.1 Mởt số vẵ dử và tẵnh chĐt cừa dÂy sè 48 3.2 Mët sè v½ dư v· t½nh ên ành cõa mỉ hẳnh quƯn th 50 n va ac th si 59 T€I LI›U THAM KHƒO lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si BƒNG CC KÞ HI›U lu an R R+ Z n va to p ie gh tn Z− Z+ AT w kxk = max (|x(1)|, , |x(k)|) oa nl ∆x(n) = x(n + 1) − x(n) N(n0 ) d : têp số thỹc : têp số thỹc dữỡng : têp số nguyản : têp số nguyản Ơm : têp số nguyản dữỡng : ma chuyn v cừa ma A : chuân cừa vectỡ x : sai phƠn cừa dÂy x(n) : têp gỗm cĂc số tỹ nhiản n ≥ n0 nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mð ¦u lu an n va p ie gh tn to Tẵnh chĐt cừa nghiằm cĂc phữỡng trẳnh sai phƠn l mởt hữợng nghiản cựu quan trồng cừa ToĂn hồc Lỵ thuyát ny  tẳm nhiÃu ựng dửng cĂc lắnh vỹc cõa To¡n håc cơng nh÷ c¡c khoa håc kh¡c nh÷ GiÊi tẵch số, Lỵ thuyát iÃu khin, Lỵ thuyát ữợc lữủng, Di truyÃn hồc, Sinh thĂi hồc, Vẳ vêy, viằc nghiản cựu lỵ thuyát ny l mởt vĐn · thíi sü cõa To¡n håc, ÷đc nhi·u nh  khoa hồc quan tƠm Trong thới gian gƯn Ơy, cĂc nh khoa håc Burton, Cooke, Yorke, Zhang, Rafoul, Islam, Ardjouni, Huong, Mau v mởt số nh toĂn hồc khĂc  nhên ữủc nhiÃu kát quÊ và tẵnh chĐt nh tẵnh cừa nhiÃu lợp phữỡng trẳnh sai phƠn cõ trạ hoc khổng cõ trạ, chng hÔn nhữ: Trong [4], Huong v Mau  à xuĐt mởt số kát quÊ và tẵnh b ch°n ng°t cõa nghi»m, t½nh ên ành cõa nghi»m khỉng v sỹ tỗn tÔi nghiằm tuƯn hon dữỡng cừa phữỡng trẳnh sai phƠn phi tuyán vợi trạ bián thiản d oa nl w nf va an lu x(n + 1) = λ(n)x(n) + α(n)F (x(n − m(n)), n = 0, z at nh oi lm ul Trong [10], Islam v Yankson  sỷ dửng phữỡng phĂp nh lẵ im bĐt ởng  ch tẵnh b chn v ờn nh cừa nghiằm khổng cừa phữỡng trẳnh sai phƠn phi tuyán z x(n + 1) = a(n)x(n) + c(n)∆x(n − g(n)) + q(x(n), x(n − g(n))) @ m co l gm Trong [11], Huong sû dưng ph÷ìng phĂp nh lẵ im bĐt ởng v tẵnh toĂn mởt số bĐt ng thực sai phƠn  ch sỹ ờn nh tiằm cên v tẵnh b chn ngt cừa nghiằm cừa phữỡng trẳnh sai phƠn phi tuyán khổng ổ-tổ-nổm an Lu x(n + 1) = λ(n)x(n) + α(n)F (n, x(n − ω(n)), n ≥ n va ac th si Trong [8], Giang v  Huong nghi¶n cùu sü ờn nh cừa mổ hẳnh dƠn số thổng qua tẵnh ờn nh nghiằm cừa phữỡng trẳnh sai phƠn x(n + 1) = λx(n) + F (x(n − m)) lu an n va Chữỡng 1: Mởt số kián thực chuân b gh tn to Nõi riảng, tẵnh chĐt ờn nh nghiằm l mởt nhỳng tẵnh chĐt thú v ữủc nhiÃu nh khoa hồc quan tƠm nghiản cựu bi nõ gưn vợi cĂc cĂc vĐn à sinh hồc, y hồc, cỡ hồc, k thuêt, kinh tá Vẳ vêy, bi toĂn nghiản cựu tẵnh ờn nh nghiằm cừa cĂc hằ phữỡng trẳnh vi phƠn, sai phƠn l mởt vĐn · ang thu hót sü quan t¥m cõa nhi·u nh  khoa hồc v ngoi nữợc Luên vôn têp trung nghiản cựu tẵnh ờn nh nghiằm cừa mởt số lợp phữỡng trẳnh sai phƠn Luên vôn bao gỗm: M Ưu, Nởi dung, Kát luên v Ti liằu tham khÊo CĐu trúc luên vôn nhữ sau: p ie Chữỡng ny trẳnh by cĂc khĂi niằm v kát quÊ s ữủc dũng cĂc chữỡng tiáp theo cừa luên vôn oa nl w Chữỡng 2: Tẵnh ờn nh cừa mởt số lợp phữỡng trẳnh sai phƠn d Chữỡng ny trẳnh by tẵnh ờn nh cừa cĂc hằ phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh v hằ phữỡng trẳnh sai phƠn phi tuyán an lu nf va Chữỡng 3: Mởt số vẵ dử ¡p dưng z at nh oi lm ul Ch÷ìng n y trẳnh by mởt số vẵ dử và tẵnh chĐt dÂy số v tẵnh ờn nh cừa cĂc mổ hẳnh quƯn th Luên vôn ữủc hon thnh dữợi sỹ hữợng dăn trỹc tiáp cừa PGS.TS inh Cổng Hữợng NhƠn dp ny tổi xin by tọ lỏng biát ỡn chƠn thnh và sỹ ch bÊo, hữợng dăn tên tƠm, nhiằt tẳnh cừa thƯy suốt quĂ trẳnh thỹc hiằn luên vôn Mc dũ rĐt cố gưng hÔn chá và thới gian v trẳnh ở nản cÔnh nhỳng kát quÊ  Ôt ữủc, luên vôn khổng th trĂnh khọi nhỳng hÔn chá v thiáu sõt RĐt mong nhên ữủc sỹ gõp ỵ thng thưn v chƠn thnh cừa quỵ thƯy cổ v cĂc bÔn  luên vôn ữủc hon thiằn hìn z m co l gm @ an Lu n va ac th si Ch÷ìng MËT SÈ KI˜N THÙC CHU‰N BÀ lu an n va gh tn to Trong chữỡng ny chúng tổi trẳnh by lỵ thuyát và nghiằm cừa hằ phữỡng trẳnh sai phƠn, lỵ thuyát ờn nh cừa hằ phữỡng trẳnh sai phƠn CĂc kián thực cừa chữỡng ny chừ yáu tham khÊo [11], [12], [16] p ie 1.1 B§t ¯ng thùc Gronwall d oa nl w nh lỵ 1.1 (Xem [11]) GiÊ sû x(n) ≤ p(n) + q(n) n−1 X (1.1) f (`)x(`), n ∈ N(n0 ) lu `=n0 nf va an Khi â lm ul x(n) ≤ p(n) + q(n) n−1 X p(`)f (`) `=n0 °t h m y(n) = Pn−1 `=n (1.2) (1 + q(r)f (r)) r=`+1 z at nh oi Chùng minh n−1 Y f (`)x(`) Ta câ (1.3) z 4y(n) = f (n)x(n), y(n0 ) = @ l gm Tø x(n) ≤ p(n) + q(n)y(n) v  f (n) 0, ta nhên ữủc (1.4) m co y(n + 1) − (1 + q(n)f (n))y(n) ≤ p(n)f (n) an Lu V¼ + q(n)f (n) > vợi mồi n N(n0), ta nhƠn hai vá cừa (1.4) vỵi Qn`=n (1 + n va ac th si q(`)f (`))−1 , ta ÷đc " n−1 Y # −1 (1 + q(`)f (`)) n Y y(n) ≤ p(n)f (n) (1 + q(`)f (`))−1 `=n0 `=n0 LĐy tờng tứ n0 án n v dũng y(n0) = ta thu ÷đc n−1 Y −1 (1 + q(`)f (`)) y(n) ≤ n−1 X p(`)f (`) Tø â ta câ y(n) ≤ n−1 X p(`)f (`) (1 + q(r)f (r))−1 r=n0 `=n0 `=n0 ` Y n−1 Y (1.5) (1 + q(r)f (r)) r=`+1 `=n0 lu an n va gh tn to Do (1.2), ta câ x(n) ≤ p(n) + q(n)y(n) Ta câ i·u ph£i chùng minh Hằ quÊ 1.1 Trong nh lỵ 1.1, lĐy p(n) = p v  q(n) = q Khi â vỵi måi n ∈ N(n0 ), ta câ x(n) ≤ p n−1 Y (1 + qf (`)) ie `=n0 p H» qu£ 1.2 Trong ành l½ 1.1, p(n) khỉng gi£m v  q(n) ≥ vỵi måi n ∈ N(n0) d oa nl w Khi â vỵi måi n ∈ N(n0), ta câ an lu x(n) ≤ p(n)q(n) n−1 Y (1 + q(`)f (`)) `=n0 nf va lm ul 1.2 Giỵi thiằu và hằ phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh z at nh oi Xt hằ phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh thuƯn nhĐt cõ dÔng (1.6) x(n + 1) = A(n)x(n) z vỵi A(n) = (aij (n)) l  mët ma cĐp k khổng suy bián Náu A l ma hơng thẳ ta cõ hằ x(n + 1) = Ax(n) (1.7) Ta xt sỹ tỗn tÔi v nhĐt nghiằm cừa (1.6) nh lỵ 1.2 (Xem [16]) Vợi mội x0 ∈ Rk v  n0 ∈ Z+ th¼ câ nhĐt mởt nghiằm x(n, n0, x0) cừa hằ phữỡng trẳnh (1.6) vỵi x(n0, n0, x0) = x0 m co l gm @ an Lu n va ac th si 46 lu an n va p ie gh tn to GiÊ sỷ x l im cƠn bơng cừa phữỡng trẳnh (2.26) v phữỡng trẳnh c trững liản kát vợi phữỡng trẳnh (2.26) cõ dÔng r s = (2.27) Khi õ (i) Náu hai nghiằm cừa phữỡng trẳnh (2.27) nơm hẳnh trỏn ỡn v || < thẳ im cƠn bơng x l ờn nh tiằm cên a phữỡng (ii) Náu cõ ẵt nhĐt mởt nghiằm cừa phữỡng trẳnh (2.27) cõ giĂ tr tuyằt ối lợn hìn th¼ x khỉng ên ành (iii) i·u ki»n cƯn v ừ  hai nghiằm cừa phữỡng trẳnh (2.27) nơm hẳnh trỏn ỡn v || < l |r| < − s < (iv) i·u ki»n cƯn v ừ  mởt nghiằm cừa phữỡng trẳnh (2.27) câ gi¡ trà tuy»t èi b² hìn v  nghi»m cỏn lÔi cõ giĂ tr tuyằt ối lợn hỡn l  r2 > −4s v  |r| > |1 − s| (v) iÃu kiằn ừ  hai nghiằm cừa phữỡng trẳnh (2.27) nơm hẳnh trỏn ỡn v | < l  |r| + |s| < nl w V½ dử 2.6 d oa Xt phữỡng trẳnh xn1 , n = 1, 2, xn nf va an lu (2.28) vợi iÃu kiằn ban Ưu l x0, x1 Khi õ, im cƠn bơng x = + cừa phữỡng trẳnh l ờn nh tiằm cên a phữỡng náu > 1, khổng ờn nh tiằm cên náu < < Thêt vêy, ta cõ phữỡng trẳnh c trững liản kát vợi phữỡng trẳnh (2.28) xung quanh im cƠn bơng x = + l 1 λ2 + λ− = (2.29) α+1 α+1 Ta câ xn+1 = α + z at nh oi lm ul z co l α+1 gm @ |r| + |s| = m Náu > thẳ |r| + |s| < Do â, hai nghi»m cõa ph÷ìng trẳnh (2.29) nơm hẳnh trỏn ỡn v || < Theo Mằnh à 2.1 thẳ im cƠn bơng x = α + l  ên ành ti»m cªn àa ph÷ìng an Lu n va ac th si 47 Náu < thẳ |r| + |s| > Do õ, phữỡng trẳnh (2.29) cõ ẵt nhĐt mởt nghiằm câ gi¡ trà tuy»t èi lỵn hìn Theo M»nh à 2.1 thẳ im cƠn bơng x = + khổng ờn nh tiằm cên Vẵ dử 2.7 Xt phữỡng trẳnh xn+1 = (2.30) xn , n = 1, , η − xn−1 â i·u ki»n ban ¦u l  x0, x1; α, β, η l  c¡c sè thüc d÷ìng cho α = (β+η) v > Khi õ, im cƠn bơng cừa phữỡng trẳnh ny l khổng ờn nh Thêt vêy, xt phữỡng trẳnh xĂc nh im cƠn bơng lu an n va x= α − βx η−x tn to Hay gh (x)2 − (β + η)x + α = p ie N¶n β+η ) = d oa nl w Do â (x − x= lu + nf va an Phữỡng trẳnh c trững liản kát vợi phữỡng trẳnh (2.30) xung quanh im cƠn bơng x = + l + λ− = η−β η−β lm ul λ2 + z at nh oi 2β 2β η+β 2β °t r = − η−β , s = η+β η−β , â |r| + |s| = η−β + η−β > + > Theo Mằnh à 2.1 thẳ im cƠn b¬ng x = β+η khỉng ên ành z m co l gm @ an Lu n va ac th si 48 Ch÷ìng MËT SÈ V DƯ P DƯNG lu an 3.1 Mët sè v½ dư v· t½nh chĐt cừa dÂy số n va Cho dÂy số x(n) x¡c ành bði ie gh tn to V½ dư 3.1 p x(n + 1) = e−1 x(n), n ∈ N d oa nl w Chựng minh rơng, vợi bĐt kẳ iÃu kiằn ban Ưu x(0) R dÂy x(n) hởi tử và Yảu cƯu cừa bi toĂn quy và chựng minh nghiằm cừa phữỡng trẳnh sai phƠn trản l ờn nh tiằm cên Sỷ dửng kát quÊ và tẵnh ờn nh tiằm cên cừa phữỡng trẳnh sai phƠn ch÷ìng 2, ta câ thº gi£i b i to¡n n y nhữ sau Dạ thĐy nghiằm cừa phữỡng trẳnh sai phƠn trản l x(n) = en.x(0), vợi n Do â, |x(n0)| = |e−n x(0)| < δ = k²o theo |x(n)| = |e−n.x(0)| = |e−n+n |.|e−n x(0)| < |e−n+n | → n → ∞ v  â nghiằm tƯm thữớng l hút Hỡn nỳa, |x(n0)| = |en x(0)| < δ = {1, ε} suy |x(n)| = |e−n.x(0)| = |e−n+n |.|e−n x(0)| < δ.|e−n+n | < ε , vỵi måi n ≥ n0 v  â nghiằm cừa phữỡng trẳnh sai phƠn trản l ờn nh tiằm cên Vêy dÂy x(n) hởi tử và nf va an lu lm ul 0 0 0 z at nh oi 0 z gm @ an Lu n va x(n + 1) = x2 (n), n ∈ N m Cho d¢y sè x(n) x¡c ành bði co l V½ dư 3.2 ac th si 49 Chựng minh rơng, vợi bĐt kẳ iÃu kiằn ban Ưu x(0) R dÂy x(n) hởi tử và Yảu cƯu cừa bi toĂn quy và chựng minh nghiằm cừa phữỡng trẳnh sai phƠn trản l ờn nh tiằm cên Sỷ dửng kát quÊ và tẵnh ờn nh tiằm cên cừa phữỡng trẳnh sai phƠn chữỡng 2, ta cõ th giÊi bi toĂn ny nhữ sau Vợi mồi n0 ∈ N v  c ∈ R, nghi»m cõa ph÷ìng trẳnh trản l x(n) = x(n, n0, c) = nn0 c2 Do â, vỵi n1 ≥ n0, |x(n1) − x(n1)| = |c|2 |x(n) − x(n)| = |c|2 n−n1 n1 −n0 −2 n1 −n0 |c|2 n1 −n0 , tùc l  |c| < k²o theo → n → ∞ v  1, c22 > 1thẳ °t (u(n), v(n)) ∈ Sr ⊂R2, â r l  sè õ nhä c c º 4V (u(n), v(n)) ≥ 1+r − u2 (n) + 1+r − vn2 > Vẳ thá, nghiằm tƯm thữớng cừa hằ l khổng ờn nh Do õ nghiằm tƯm thữớng cừa hằ l  ên ành ti»m cªn c21 ≤ 1, c22 Vêy dÂy u(n), v(n) hởi tử và c21 ≤ 1, c22 ≤ 2 2 p ie 2 oa nl w d 2 2 nf va an lu z at nh oi lm ul 3.2 Mët số vẵ dử và tẵnh ờn nh cừa mổ hẳnh quƯn th z Vẵ dử 3.5 @ gm Xt mổ h¼nh lo i ìn cho bði (3.1) l x(n) , n ∈ N (1 + αx(n))β co x(n + 1) = m TrÔng thĂi cƠn bơng dữỡng cừa mổ h¼nh n y l  x = 1−θ αθ , â −1 β (0 < θ < 1) an Lu θ=λ n va ac th si 51 °t y = xx Khi â (3.1) trð th nh y(n + 1) = (3.2) y(n) (θ + (1 − θ)y(n))β °t V (y) = (ln y)2 Ta câ 4V (y) =[ln y − β ln(θ + (1 − θ)y)]2 − [ln y]2 = −β ln(θ + (1 − θ)y)[2 ln y − β ln(θ + (1 − θ)y)] H m ln(θ + (1 )y) Ơm vợi y (0, 1) v dữỡng vỵi y ∈ (1, ∞) X²t h m h(y) = ln y − β ln(θ + (1 − θ)y) B¥y gií, h(1) = 0, h(y) < y y → 0+ , h(y) ∼ (1−θ) y → ∞ v  h0(y) = [2θ+y(1−θ)(2−β)] y(θ+(1−θ)y) N¸u < β ≤ th¼ h(y) > y → ∞ v  h(y) > vỵi måi y ∈ (1, ∞), chng hÔn, 4V (y) < vợi mồi y > v  y 6= Do â, tø ành l½ 2.10 trÔng thĂi cƠn bơng x = cừa (3.2) (ho°c t÷ìng ÷ìng x = 1−θ αθ cõa (3.1)) l  ờn nh tiằm cên ton cửc náu (0, 2] 2−β lu β an n va gh tn to p ie V½ dư 3.6 x(n + 1) = x(n)[θ1 + (1 − θ1 )(x(n) + d1 y(n))]−β1 , d oa nl w Xt mổ hẳnh cÔnh tranh hai lo i cho bði lu an y(n + 1) = y(n)[θ2 + (1 − θ2 )(y(n) + d2 y(n))]−β2 nf va â θ1, θ2, d1, d2, β1, β2 l  c¡c hơng số dữỡng TrÔng thĂi cƠn bơng dữỡng cừa hằ phữỡng trẳnh trản ữủc cho bi lm ul d1 − d1 ,y = , − d1 d2 − d1 d2 z at nh oi x= z â di ∈ (0, 1) Ta s³ chùng minh rơng, trÔng thĂi cƠn bơng dữỡng l ờn nh tiằm cên ton cửc náu = = v  βi ∈ (0, 1], i = 1, Ta câ @ (3.4) m an Lu (1 − t)−p − ≤ pt(1 − t)−1 co l vỵi måi t (, 1) , vợi dĐu bơng xÊy t = 0, n va vỵi måi t ∈ (∞, 1) v  p ∈ (0, 1] (3.3) gm ln(1 − t) ≤ −t, ac th si 52 x L§y Vi = x −1−ln( i i xi ) x i Ta câ , i = 1, x 4V1 =( ) [θ + (1 − θ)(x + d1 y)]−β1 − x   + β1 ln[θ + (1 − θ)(x + d1 y)] Sû dưng c¡c b§t ¯ng thùc (3.3) v  (3.4) vỵi p = β1 v  t = (1 − θ)(1 − x + d1y), ta thu ÷đc lu β1 ( xx )(1 − θ)(1 − x − d1 y) − β1 (1 − θ)(1 − x − d1 y) 4V1 ≤ θ + (1 − θ)(x + d1 y) β1 (1 − θ)(1 − x − d1 y) d1 = { (xy − yx) − θ(1 − x − d1 y)} θ + (1 − θ)(x + d1 y) x an va Tuy nhi¶n, 1−x d = y , ta câ n p ie gh tn to β1 θ(1 − θ)(1 − x − d1 y)2 4V1 ≤ θ + (1 − θ)(x + d1 y) β1 d1 (1 − θ)(1 − x − d1 y)(xy − yx) + , x[θ + (1 − θ)(x + d1 y)] d oa nl w vỵi β1 ∈ (0, 1], ¯ng thùc x£y v  ch v = v Tữỡng tỹ, vợi (0, 1] ta công câ = c1 V1 + c − 2V2 β1 ( xx )(1 − θ)(1 − x − d1 y) − β1 (1 − θ)(1 − x − d1 y) θ + (1 − θ)(x + d1 y) β1 (1 − θ)(1 − x − d1 y) d1 { (xy − yx) − θ(1 − x − d1 y)}, = θ + (1 − θ)(x + d1 y) x z at nh oi 4V ≤ Ta câ: lm ul °t V β2 θ(1 − θ)(1 − y − d2 x)2 θ + (1 − θ)(y + d2 x) β2 d2 (1 − θ)(1 − y − d2 x)(yx − xy) + y[θ + (1 − θ)(y + d1 x)] nf va an lu 4V2 ≤ z m co l gm @ â c1β1d1y = c2β2d2x ∈ R Do â, 4V ≤ vỵi måi x, y > v  ¯ng thùc x£y v  ch¿ x = x, y = y Vẳ thá tứ nh lẵ 2.10, trÔng thĂi cƠn bơng dữỡng x, y l ờn nh tiằm cên ton cửc, n¸u θ1 = θ2 v  β1, β2 ∈ (0, 1] an Lu V½ dư 3.7 n va ac th si 53 X²t mỉ h¼nh cho bði x(n + 1) = x(n)er(1− x(n) ) λ (3.5) , n ∈ N Ta s chựng tọ rơng trÔng thĂi cƠn bơng x cừa hằ (3.5) l ờn nh tiằm cên ton cửc náu r ∈ (0, 2] °t y = λx Khi õ phữỡng trẳnh (3.5) tr thnh (3.6) y(n + 1) = y(n)er(1−y(n)) °t V (y) = (y − 1)2, th¼ lu an 4V (y) = −yh(y)[1 − er(1−y) ] n va p ie gh tn to â h(y) = y.er(1−y) + y − B¥y gií h(0) < 0, h(1) = v  h(y) > vỵi y ≤ X²t y ∈ (0, 2)vỵi y 6= 1 Rã r ng, h(y) = n¸u r = ( 1−y ) ln( 2−y y ) N¸u y ∈ (0, 1), th¼ °t w = 1−y > cho oa nl w 1 ) − ln(1 − )} w w ∞ ∞ −p X X w−p p+1 w = w{ (−1) + } p p r = w{ln(1 + d nf va an lu p=1 ∞ X w2p > 2p + lm ul =2 p=1 p=0 z at nh oi Tữỡng tỹ, náu y ∈ (1, 2) th¼ °t w = y−1 > cho r = w{ln(1 + 1 ) − ln(1 − )} > w w z m co l gm @ Do â, vỵi r ∈ (0, 2] ta câ h(y) < vỵi y ∈ (0, 1) v  h(y) > vỵi y ∈ (1, ) Vẳ vêy hm V (y) l hm Lyapunov cừa (3.6) R+ Tªp hđp iºm R+ 4V (y) = ch¿ chùa v  1, v  khæng mởt nghiằm no nơm R+ cõ th tián tợi n → ∞ Do â, tø ành l½ 2.10 trÔng thĂi cƠn bơng y = cừa (3.6) (ho°c t÷ìng ÷ìng x = λ cõa (3.5)) l  ên nh tiằm cên ton cửc náu r (0, 2] an Lu n va ac th si 54 V½ dư 3.8 Xt mởt loi nhĐt vợi hằ hai lợp ti X(n) l  sè l÷đng cán b², Y (n) l số lữủng  trững thnh thới im thự n Khi õ, ta cõ hằ phữỡng trẳnh sau X(n + 1) = bY (n) (3.7) Y (n + 1) = cX(n) + sY (n) − DY (n) , Ye = DX(n) ta câ °t Xe = DX(n) b e + 1) = Ye (n) X(n lu (3.8) vỵi a = cb > iºm cè ành khỉng tƯm thữớng l (Xe , Ye ) vợi Xe = Ye ∗ v  e ∗ v  Ye ∗ ph£i dữỡng  mổ hẳnh ang Ye = a + s − M°t kh¡c, iºm cè ành X x²t cõ ỵ nghắa sinh hồc, õ a + s − > e −X e ∗ , y(n) = Ye (n) − Ye ∗ , ta câ º dng xt tẵnh ờn nh ta t x(n) = X(n) h» an e Ye (n + 1) = aX(n) + sYe (n) − Ye (n), n va p ie gh tn to nl w x(n + 1) = y(n) oa (3.9) iºm cè ành (0, 0) cõa (3.9) tữỡng ựng vợi im cố nh (Xe , Ye ) cừa (3.8) Xt hằ phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán t½nh y(n + 1) = ax(n) + ry(n) − y (n) d nf va an lu  x(n + 1) = y(n) y(n + = ax(n) + ry(n) Hằ trản cõ dÔng " z at nh oi lm ul (3.10) # =A # x(n) y(n) , gm " " @ y(n + 1) # z x(n + 1) m co l vỵi A = , phữỡng trẳnh c trững cừa A l r a = Nghiằm tƯm a r thữớng l ờn nh tiằm cên náu v ch náu || < Do â (i) − r − a > ⇔ − (2 − 2a − s) − a > ⇔ a + s > (ii) + r − a > ⇔ + (2 − 2a − s) > ⇔ 3a + s < an Lu n va ac th si 55  tẳm miÃn ờn nh cừa nghiằm tƯm th÷íng, ta dịng ph÷ìng ph¡p h m Lyapunov cho V (x, y) = a2 x2 + 2ar xy + y 1a Phữỡng trẳnh Ax2+2Bxy+Cy2 = D l phữỡng trẳnh cõa mët elip n¸u AC−B > hay 2 a2 − a r > ⇔ a − < r < − a (1 − a)2 lu Mt khĂc, bơng cĂch nhõm số hÔng chựa x, y ta thu ÷đc A0 x2 + C y = D vỵi A0 + C = a2 + > 0, A0 C > Do â A0C > hay D > tø â V (x, y) > Hìn núa, 4V (x, y) = y2w(x, y) vỵi an n va w(x, y) = (y − r)2 − 2ax − 2ar(r − y) + a2 − 1−a gh tn to Do â 4V (x, y) ≤ w(x, y) < 0, (x, y) ∈ G, vỵi G = {(x, y) : (y − r)2 − 2ax − ie 2ar(r − y) + a2 − < 0} 1−a p Mi·n G bà ch°n bði parabol w(x, y) = Hìn núa, ta  biát mồi nghiằm b chn G s hởi tử tợi gốc Xt têp hủp tĐt cÊ cĂc iºm G m  hëi tư tỵi gèc d oa nl w lu an Vmin = min{V (x0 , y0 ) : (x0 , y0 ) ∈ ∂G} nf va e ∗ , Ye ∗ )}, X e = x0 + X e ∗ , Ye = x0 + Ye ∗ Jm = {(X lm ul V (x(m), y(m)) < Vmin , m = 0, 1, z at nh oi Náu (x0, y0) J0 thẳ V (x(1), y(1)) ≤ V (x0, y0) < Vmin, â (x(1), y(1)) J0 z Tữỡng tỹ nhữ vêy ta cõ th ch rơng (x(n), y(n)) J0 vợi n = 1, 2, Do â (x(n), y(n)) → (0, 0) → ∞ N¸u (x0, y0) ∈ Jm th¼ co l gm @ m V (x(m + 1), y(m + 1)) ≤ V (x(m), y(m)) < Vmin an Lu Khi â ta công câ (x(n), y(n)) (0, 0) n Nhữ vêy Jm l miÃn ờn nh cừa nghiằm tƯm thữớng n va ac th si 56 Vẵ dử 3.9 (Mổ hẳnh cừa Nicholson -Bailey) Gi£ sû H(n) l  mªt ë cõa lo i vêt chừ thá hằ thự n, P (n) l mêt ở kẵ sinh thá hằ thự n, f (H(n), P (n)) l phƯn cừa loi vêt chừ khổng cõ k½ sinh, λ l  t¿ l» sinh s£n, c l  số trung bẳnh cừa trựng bơng cĂch t mởt kẵ sinh trản vêt chừ Ta cõ H(n + 1) = λH(n)f (H(n), P (n)) P (n + 1) = cH(n)[1 − f (H(n), P (n))] H» sè g°p gï giúa vêt chừ v vêt kẵ sinh l lu (3.11) an He = aH(n)P (n) n va tn to Náu l  sè cuëc g°p gï lo i vªt chõ v  vªt kỵ sinh thẳ xĂc suĐt cừa r cuởc gp gù l gh p(r) = p ie Tứ phữỡng trẳnh (3.11) ta câ e He ;µ = r! H(n) (3.12) µ = aP (n) w d oa nl Vỵi f (H(n), P (n)) = e−aP (n) ta câ cĂc phữỡng trẳnh an lu (3.13) (3.14) H(n + 1) = λH(n)e−aP (n) ,   nf va P (n + 1) = cH(n) − e−aP (n) lm ul im cƠn bơng khổng tƯm thữớng l l nλ , P ∗ = lnλ (1 − λ)ac a z at nh oi H = z Bơng tuyán tẵnh hoĂ ta cõ th thĐy rơng (H , P ) l  khỉng ên ành Do â, ta x²t mỉ h¼nh thüc t¸ hìn  @  P (n + 1) = cH(n)(1 − exp(−aP (n))) co l gm H(n) H(n + 1) = H(n) exp r(1 − ) − aP (n) , r > k m C¡c iºm cƠn bơng l nghiằm cừa an Lu H = exp r(1 − ) − aP ∗ , P ∗ = cH ∗ (1 − exp(−aP ∗ )) K   n va ac th si 57 Do â P∗ r H∗ r P = 1− = (1 − q), H ∗ = ∗ a K a (1 − eaP )  ∗ Suy  ∗ r(1 − HK ) H∗ ) = − exp −r(1 − acH ∗ K   Rã r ng H1∗ = K, P1 = l mởt trÔng thĂi cƠn bơng  thỹc hiằn phƠn tẵch tẵnh ờn nh cừa im cƠn bơng (H2, P2) ta t H(n) = x(n) + H2∗, P (n) = y(n) + P2∗ Tø â, ta câ i h x(n)+H2∗ ) − a(y(n)) + P2∗ K P2∗ + c(x(n) + H2∗ )[1 − exp(−a(y(n) + P2∗ ))] x(n + 1) = −H2∗ + (x(n) + H2∗ ) exp r(1 − y(n + 1) = , lu an Bơng tuyán tẵnh hõa quanh im (0, 0) ta ữủc hằ phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh " # " # n va to x(n + 1) gh tn y(n + 1) " x(n) =A y(n) , # r(1−q) vỵi A = , â q = HK v  χ = 1−exp(−r(1−q)) c(1 − exp(−r(1 − q))) χ r(1 q) Phữỡng trẳnh c trững cừa A l  −arq ∗ p ie − rq d oa nl w λ2 − λ(1 − r + χ) + (1 − rq)χ + rq(1 − q) = lm ul Do â nf va an lu Sỷ dửng tiảu chuân ờn nh  biát || < ⇔ |1−r+χ| < 1+(1−rq)χ+r2q(1−q) < (1 − rq)χ + r2 q(1 − q) < 1, z at nh oi + (1 − rq)χ + r2 q(1 − q) > |1 − r + χ| l  mi·n nghi»m ên nh tiằm cên cừa im cƠn bơng z m co l gm @ an Lu n va ac th si 58 Kát luên Luên vôn  Ôt ữủc nhỳng k¸t qu£ sau: lu an n va p ie gh tn to H» thèng, l m rã mët sè k¸t quÊ và sỹ tỗn tÔi nghiằm, tẵnh b chn cừa nghiằm cừa mởt số lợp hằ phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh v phi tuyán Hằ thống, lm ró mởt số kát quÊ và tẵnh ờn nh cừa nghiằm mởt số lợp hằ phữỡng trẳnh sai phƠn Trẳnh by mởt số vẵ dử Ăp dửng lỵ thuyát ờn nh nghiằm cừa phữỡng trẳnh, hằ phữỡng trẳnh sai phƠn d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 59 T i li»u tham kh£o lu an n va p ie gh tn to [1] D.C Huong, Persistence and global attractivity for a discretized version of a general model of glucose-insulin interaction, Demonstratio Mathematica, 49(3)(2016), 302-318 [2] D.C Huong, On Asymptotic stability and strict boundedness for nonautonomous nonlinear difference equations with time-varying delay, Vietnam Journal of Mathematics, 44(4) (2016), 789-800 [3] D.V Giang, D.C Huong, Extinction, Persistence and Global stability in model of Population Growth, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 308(2005), 195-207 [4] D.C Huong, N.V Mau, On a nonlinear difference equation with variable delay, Demonstratio mathematica, Vol XLVI , No 1, 2013 [5] D.C Huong, On the Asymptotic Behavior of Solutions of a Nonlinear Difference Equation with Bounded Multiple Delay, Vietnam J Math 34:2 (2006), 163-170 [6] D.C Huong, Asymptotic stability and strict boundedness for d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul non-autonomous nonlinear difference equations with time-varying delay, z Vietnam J Math 44 ( 2016), 789-800 [7] D.V Giang, D.C Huong, Extinction, persistence and global stability in models of population growth, J Math Anal Appl 308(2005), 195207 [8] D.V Giang, D.C Huong, Nontrivial periodicity in discrete delay models of population growth, J Math Anal Appl, 305 (2005), 291-295 m co l gm @ an Lu n va ac th si 60 lu an n va p ie gh tn to [9] D.L Jagerman , Difference Equations with Applications to Queues,Marcel Dekker Ine (2000) [10] M.N Islam, E Yankson, Boundedness and stability in nonlinear delay difference equations employing fixed point theory, Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations, No 26 (2005), 1-18 [11] R.P Agarwal, Difference Equations and Inequalities Theory, Methods, and Applications, Marcel Dekker Ine (2000) [12] S.N Elaydi, An Introduction to difference Equations, Springer Verbg, third edition (2005) [13] Y.N Raffoul, C Tisdell, Positive periodic solutions of functional discrete systems and population models, 2005 Hindawi, Publishing Corporation (2005), 369-380 [14] Y.N Raffoul, Stability and periodicity in discrete delay equations, J Math Anal Appl 324 (2006), 1356-1362 [15] Y.N Raffoul, Periodicity in general delay non-linear difference equations using fixed point theory, Journal of Difference Equations and Applications, vol 10, No 13-15 (2004), 1229-1242 [16] N.V Mªu v  D.C Hữợng, Sai phƠn, nh lẵ v Ăp dửng, NXB Ôi Håc Quèc Gia H  Nëi (2014) d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si