Không gian afin và liên hệ với vị trí tương đối trong phổ thông

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA CÁC PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN AFIN VÀ LIÊN HỆ VỚI VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG, ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG, HAI MẶT PHẲNG ĐÃ HỌC TRONG CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THÔNG Tiểu luận hình học tuyến tính đại học sư phạm Thái Nguyên.

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM BÀI TIỂU LUẬN VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA CÁC PHẲNG TRONG KHƠNG GIAN AFIN VÀ LIÊN HỆ VỚI VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG, ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG, HAI MẶT PHẲNG ĐÃ HỌC TRONG CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THƠNG Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Thị Tuyết Mai Sinh viên thực hiện: Hà Thị Thúy Hường Nguyễn Thị Hồng Ngọc Trần Thị Bích Ngọc Phạm Trung Kiên Nguyễn Thị Cẩm Ly Hoàng Thanh Ngân Củng Thị Trà My Thái Nguyên 2023 LỜI NĨI ĐẦU Tốn học mơn khoa học chiếm vị trí quan trọng.Tốn học sở, tảng để nghiên cứu mơn khoa học khác.Trong q trình học tập mơn hình học tuyến tính, phận quan trọng xây dựng “Đại số tuyến tính”, trình bày cách có hệ thống kiến thức hình học afin Ngồi cịn mơn học vừa có nhiệm vụ trang bị kiến thức tốn học cho sinh viên, vừa có tác dụng soi sáng kiến thức tốn hình phổ thơng Tuy nhiên, hình học vấn đề tương đối khó chương trình tốn phổ thơng Với mong muốn hiểu rõ vị trí phẳng khơng gian afin mối liên hệ chúng phổ thơng nên nhóm chúng em làm “Vị trí tương đối phẳng khơng gian afin và liên hệ với vị trí tương đối hai đường thẳng, đường thẳng mặt phẳng, hai mặt phẳng học chương trình phổ thơng” nhằm mục đích giúp có nhìn sâu sắc Trong tiểu luận đây, nhóm chúng em trình bày thành chương với nội dung sau: Chương 1: Định nghĩa m- phẳng xác định m- phẳng Trong phần đưa số kiến thức quan trọng giúp người đọc dễ quan sát nội dung Chương 2: Liên hệ với vị trí tương đối hai đường thẳng, đường thẳng mặt phẳng, hai mặt phẳng học chương trình phổ thơng Trong phần trình bày mối liên hệ vị trí tương đối phẳng khơng gian afin với vị trí chương trình phổ thơng Và từ rút nhận xét quan trọng Chương 3: Bài tập vận dụng Trong phần trình bày số dạng tập giúp người đọc củng cố vận dụng lý thuyết vào thực hành MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Chương Vị trí tương đối phẳng không gian afin 1.1 m- phẳng 1.1.1 Định nghĩa m – phẳng 1.1.2 Sự xác định m-phẳng 1.2 Vị trí tương đối phẳng Chương 2: Liên hệ vị trí tương đối hai đường thẳng, đường thẳng mặt phẳng, hai mặt phẳng học chương trình phổ thơng 2.1 Liên hệ phẳng cắt với vị trí tương đối học chương trình phổ thơng 2.2 Liên hệ phẳng song song với vị trí tương đối học chương trình phổ thơng 10 2.3 Liên hệ phẳng chéo vị trí tương đối học chương trình phổ thông 13 2.4 Rút nhận xét mối liên hệ với vị trí tương đối hai đường thẳng, đường thẳng mặt phẳng, hai mặt phẳng học chương trình phổ thơng 14 Bài tập vận dụng 14 KẾT LUẬN 18 TÀI LIỆU THAM KHẢO 19 Phân công nhiệm vụ thành viên nhóm 3: 20 Chương Vị trí tương đối phẳng không gian afin 1.1 m- phẳng 1.1.1 Định nghĩa m – phẳng Định nghĩa 1.1.1 Cho A không gian afin liên kết với không gian véc    tơ A , I điểm thuộc A  không gian véc tơ A Khi tập     M  A | IM     gọi phẳng qua I có phương  Kí hợp hiệu   Khơng gian véc tơ  gọi không gian véc tơ phương phẳng      A Nếu không gian véc tơ m chiều  gọi phẳng m chiều hay gọi m – phẳng kí hiệu dim  m n Đặc biệt: Trong không gian afin A : +) – phẳng tập hợp gồm điểm +) – phẳng gọi đường thẳng +) – phẳng gọi mặt phẳng +) Nếu dim A n  n  1 – phẳng gọi siêu phẳng n +) n – phẳng A Chú ý 1.1.1 Trong định nghĩa m – phẳng, điểm I khơng đóng vai trị đặc  biệt phẳng, nghĩa  phẳng qua I có phương  J   , M   theo định nghĩa       IJ   , IM    IM  IJ  JM   m – phẳng     M  A | JM   , với J    Vì ta có  1.1.2 Sự xác định m-phẳng Định lí 1.1.2 Có m-phẳng  m n  qua  m  1 điểm n độc lập không gian afin A Chứng minh   Giả sử A không gian afin n chiều liên kết với không gian véc tơ  A0 , A1 , , Am  hệ  m  1 điểm độc lập A Do hệ điểm  tính Đặt m Ai  i 0    A  A A , A A , , A A  độc lập nên hệ véc tơ  độc lập tuyến       A0 A1 , A0 A2 , , A0 Am m    , không gian véc tơ m chiều A    A0 ;  ,   A  Đặt m-phẳng qua có phương  Theo định nghĩa phẳng A0   Mặt khác, A0 Ai   nên theo định  m  1 Ai   , i 1, m    nghĩa phẳng Vậy qua hệ  A0 , A1 , , Am   điểm độc lập m  A A (!) Vì với hệ điểm độc lập  Ai  i 0 , hệ véc tơ i i 1 độc lập tuyến tính m   nên tồn hông gian véc tơ m chiều sinh  m  A0 Ai i 1 Do tồn  qua A0 có phương    n Hệ 1.1.2 Trong không gian afin A , hệ  m  1 điểm độc lập điểm hệ khơng nằm  m  1 -phẳng  m n  Chứng minh: Giả sử  A0 , A1 , , Am  hệ  m  1 điểm độc lập không gian afin n chiều A  m n  Giả sử ngược lại hệ  m  1 điểm  A0 , A1 , , Am  nằm  m  1 -       A A , A A , , A0 Am      phẳng có phương    Vì khơng gian véc tơ A0 A1 , A0 A2 , , A0 Am  m  1  chiều nên hệ m véc tơ    phụ thuộc tuyến tính Do đó, hệ  m  1 điểm  A0 , A1 , , Am  không độc lập Điều mâu thuẫn với giả thiết Do hệ chứng minh 1.2 Vị trí tương đối phẳng n Định nghĩa 1.2.1 Trong không gian afin A cho p – phẳng  q –   phẳng  , (0  p q n) có khơng gian phương  ,  +) Hai phẳng  phẳng  gọi cắt chúng có điểm chung   +) Phẳng  gọi song song với phẳng   không gian véc tơ  +) Hai phẳng  phẳng  gọi chéo chúng không cắt không song song +) Giao    hiểu theo nghĩa thông thường lý thuyết tập hợp gọi giao hai phẳng   +) Tổng    giao tất phẳng chứa   gọi tổng hai phẳng   Định lí 1.2.1 Trong khơng gian afin A, giao hai phẳng     tập rỗng, phẳng có phương    Chứng minh: Ta cần xét trường hợp     Khi đó, tồn điểm I        Vì    khơng gian véc tơ A , tồn phẳng      I ;       Khi     Thật vậy, Với     IM   M    M          IM      M        M    IM         Vậy phẳng có phương   n Hệ 1.2.1 Trong không gian afin A cho p - phẳng  q – phẳng  ,    ,  Nếu phẳng  song song với phẳng   ,  khơng có điểm chung      p q n  có khơng gian véc tơ phương Chứng minh:   Thật vậy,  song song với  theo định nghĩa    Nếu      ,  khơng có điểm chung Nếu     theo định lí 2.1,    phẳng có phương            Từ suy     hay    n Hệ 1.2.2 Trong không gian afin A cho trước điểm I m phẳng  , có m – phẳng qua I song song  Chứng minh: +) Sự tồn   Gọi  không gian véc tơ phương m – phẳng    không n gian véc tơ m chiều Gọi  phẳng A qua điểm I có phương      , tức   I ;   Khi  m – phẳng song song với  +) Tính Nếu có m – phẳng  qua I song song với  dễ dàng suy  song song với  , chúng có điểm chung I nên   Vậy  n Định lí 1.2.2 Trong khơng gian A , hai phẳng   cắt    J   IJ    I   với , với , ta có Chứng minh    Giả sử hai phẳng   cắt Theo định nghĩa     M  M      M   nên tồn điểm Khi theo định nghĩa phẳng     I   , M    IM   ; J   , M    MJ          IM  MJ      IJ          Nếu I   , J   ta có IJ      Theo định nghĩa tổng hai     khơng gian véc tơ con, véc tơ IJ biểu diễn dạng IJ u  v với    u  , v    Vì phẳng  khơng gian afin liên kết với không gian véc tơ  , nên theo tiên đề A1 ta có:     Với I   , u   , tồn điểm M   cho IM u    J   , v   , tồn điểm N   cho JN  v Với          IJ u  v IM   JN  IM IJ  JN IN A2 Ta có   (theo tiên đề ) Do đó, theo tiên đề A1 M  N Vậy     nên theo định nghĩa  ,  cắt Mệnh đề phủ định: n Trong không gian afin A , hai phẳng   không cắt     J   IJ     I   , cho n Định lí 1.2.3 Trong khơng gian afin A cho hai phẳng   lần    lượt có khơng gian phương ,  Khi đó: Nếu     dim      dim   dim   dim        dim      dim   dim   dim         Nếu   Chứng minh:      I ;          I     +) Nếu tồn Đặt , phẳng   qua I có khơng gian véc tơ phương    Khi đó, theo định nghĩa tổng       hai không gian véc tơ, chứa   I    M    IM   Mặt khác nên theo định nghĩa phẳng        nên IM    M      Lập luận tương tự ta có      ' ' Hơn nữa, có phẳng  chứa   I         '   ,  '         '   Do đó,  chứa phẳng chứa   nên  giao tất phẳng chứa   Theo định nghĩa     Vì     nên theo định nghĩa   cắt Theo định lí 1.2.3,      phẳng có phương    Theo định nghĩa số chiều phẳng   dim      dim      Theo định lí số chiều tổng khơng gian véc tơ       dim    dim   dim   dim        Nên dim      dim   dim   dim      +) Nếu     , theo định nghĩa   không cắt Theo định lí    I   , J   IJ     , I , J hai điểm phân biệt nên 2.2 tồn cho   IJ 0         E;           IJ Đặt Với điểm E   , đặt , phẳng        qua E có khơng gian véc tơ phương Khi đó, theo định nghĩa     tổng hai không gian véc tơ,  chứa  ,     Vì E      nên lập luận tương tự ta có           IJ    I   Lại I   nên Mặt khác nên   , J      J   Do   nên ta có          Vì I , J   nên  chứa đường thẳng qua I , J ' ' Nếu có phẳng  chứa    phải qua E phương     '  ' ' '    ,          Vậy  chứa phẳng chứa   nên  giao tất phẳng chứa   Theo định nghĩa     Vậy       dim      dim      dim     dim      dim   dim   dim       dim   dim   dim             n Định lí 1.2.4 Trong khơng gian afin A cho siêu phẳng  m – phẳng  Khi đó,  song song với  ,  cắt  theo (m-1) – phẳng  m n  1 Chứng minh:   Giả sử  ,  không gian véc tơ phương  ,  i) Nếu     xảy hai trường hợp:          +) Trường hợp 1: điểm thuộc thuộc ,   Theo định nghĩa  song song với  +) Trường hợp 2:     M   , M   Vì      I      I   , I   Theo định nghĩa phẳng, M           n  I    IM   ; M   , I    IM            A  Theo định lí số chiều tổng giao hai không gian véc tơ ta có:       dim    dim   dim   dim       n n   m  dim       dim    m          Mặt khác,     nên theo định lí 2.1    phẳng có    phương   , dim      m  Vậy  cắt  theo (m-1) – phẳng n ii) Nếu      Cái phẳng nhỏ chứa   A      An nên ta có   dim      dim   dim   dim        dim An n   m  dim        n n   m  dim         dim    m dim     Suy   , theo định nghĩa  song song với          Chương 2: Liên hệ với vị trí tương đối hai đường thẳng, đường thẳng mặt phẳng, hai mặt phẳng học chương trình phổ thông 2.1 Liên hệ phẳng cắt với vị trí tương đối học chương trình phổ thơng a Trong không gian chiều: Hai đường thẳng cắt phổ thơng hai 1-phẳng cắt Định nghĩa: Nếu hai đường thẳng có điểm chung, ta nói hai đường thẳng cắt Điểm chung gọi giao điểm hai đường thẳng Thật vậy, dễ dàng nhận thấy dim(a  b) 2 Áp dụng công thức số chiều, ta có: dim(a  b) dim a  dim b  dim( a  b)  1   dim(a  b)  dim(a  b) 0 Suy ra,    điểm Tính chất 2.1.1: Trong không gian cho hai đường thẳng:  d1 qua điểm M có vector phương u1  d qua điểm M có vector phương u2 Khi d1 cắt d tương đương với mệnh đề sau: i ) d1 cắt d điểm ii ) Hệ phương trình lập nên từ phương trình d1 d có nghiệm      iii ) M 1M , u1 , u2 đồng phẳng, tương đương tích hỗn tạp u1 , u2 không phương, nghĩa tọa độ không tỷ lệ b Trong không gian chiều: Đường thẳng mặt phẳng cắt phổ thông 1-phẳng 2-phẳng cắt Giả sử d    cắt M ,kí hiệu M d     c Trong không gian chiều: Hai mặt phẳng cắt phổ thông hai 2-phẳng cắt Mặt phẳng ( ) mặt phẳng    cắt theo giao tuyến đường thẳng Khi đó, hai mặt phẳng có vơ số điểm chung 10 2.2 Liên hệ phẳng song song với vị trí tương đối học chương trình phổ thơng a Trong khơng gian chiều: Hai đường thẳng song song hai 1phẳng song song Thật vậy, a song song với b khơng gian chiều a  b  a  b  Khi a  b  , áp dụng công thức số chiều, ta có:   dim(a  b) dim a  dim b  dim(a  b) 1  1   dim( a  b )        dim(a  b ) 1 dim b  b  a Khi a  b  , áp dụng công thức số chiều, ta có:   dim(a  b) dim a  dim b  dim(a  b)  1   dim( a  b )       dim(a  b ) 1 dim b  b  a Vì dim(a  b) 1 nên a b Tính chất 2.2.1 Cho trước điểm I 1-phẳng a , có 1-phẳng qua I song song với a 11  Thật vậy, gọi a không gian véc tơ phương 1-phẳng a   a không gian véc tơ chiều Gọi b phẳng qua I có    b  I , a b  a phương , tức Khi b 1-phẳng song song với a   c a c I Nếu tồn 1-phẳng qua song song với ta thấy b mà c b có điểm chung, nên c b Tính chất 2.2.2 Hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba song song với Vì a song song với b nên a  b  Áp dụng công thức tổng số chiều, ta có:     dim(a  b) dim a  dim b  dim(a  b )   1   dim( a  b ) 1     dim( a  b ) 1 dim b   Suy b  a , theo định nghĩa b song song với a Tương tự, b song song với c nên b  c  Áp dụng công thức số   chiều, ta có c  b   Theo tính chất bắc cầu, ta có a  c  c  a Suy ra, a song song với b Trong không gian chiều: Đường thẳng song song với mặt phẳng phổ thơng 1-phẳng song song 2-phẳng Nếu đường thẳng d mặt phẳng ( ) khơng có điểm chung có từ hai điểm chung trở lên Khi ta nói d song song với ( ) , kí hiệu d / /(a) , ( ) / /d 12 c Trong không gian chiều: Hai mặt phẳng song song phổ thơng hai 2-phẳng song song Định nghĩa: Hai mặt phẳng ( ) ,    gọi song song với chúng khơng có điểm chung Ta kí hiệu ( ) / /    hay    / / ( ) - Định lý 2.2.1 Nếu mặt phẳng ( ) chứa hai đường thẳng cắt a, b a, b song song với mặt phẳng    ( ) song song với     a  b - Định lý 2.2.2 Qua điểm nằm mặt phẳng cho trước có mặt phẳng song song với mặt phẳng cho 13 - Định lý 2.2.3 Cho hai mặt phẳng song song Nếu mặt phẳng cắt mặt phẳng cắt mặt phẳng hai giao tuyến song song với 2.3 Liên hệ phẳng chéo vị trí tương đối học chương trình phổ thơng + Trong không gian chiều thông thường: Hai đường thẳng chéo phổ thơng hai 1-phẳng chéo 14 2.4 Rút nhận xét mối liên hệ với vị trí tương đối hai đường thẳng, đường thẳng mặt phẳng, hai mặt phẳng học chương trình phổ thơng Trong khơng gian afin, vị trí tương đối phẳng có ba vị trí gồm cắt nhau, song song chéo Tuy nhiên, phổ thơng có trường hợp trùng hai đường thẳng, mặt phẳng trùng nhau, xảy khi: + Hai phẳng cắt nhiều điểm chung + Hai phẳng song song có điểm chung Ngoài ra, hai phẳng gọi chéo phổ thông xảy hai đường thẳng chéo khơng gian ba chiều Từ ta thấy rằng, phẳng có vị trí mối liên hệ chặt chẽ với nhau, giao nhau, chứa trùng trường hợp đặc biệt phẳng cắt song song với Bài tập vận dụng n Bài Cho   hai phẳng không gian afin A Chứng minh rằng:        Q   PQ     , P   a) với , có    Q   PQ    P   có có để  b) Nếu lấy P   Q   gọi  không gian véc tơ chiều gây  véc tơ PQ ,                                Giải: n a) Trong không gian afin A cho hai phẳng   cắt    I   ,  J   IJ    ta có n Mệnh đề phủ định định lí: Trong khơng gian afin A  cho hai phẳng     không cắt I   , J   cho IJ      ý a chứng minh  b)  Giả sử  ,  không gian véc tơ phương  ,   P   có Q   , gọi  khơng gian véc tơ chiều sinh véc tơ Lấy  PQ Ta ln có 15           ,               * Chứng minh (1) Nếu     theo định lí 1.2.4, hai phẳng   cắt    P   , Q   ta có PQ       Q    P , Q      PQ     (theo định nghĩa phẳng) P   Mặt khác  ,           **   * **          Từ Chứng minh (2)        Q   Theo ý a có P   có để PQ      Gọi  không gian véc tơ chiều sinh véc tơ PQ , theo chứng minh                   ***  * PQ            kết hợp với ta  Mặt khác,     theo định lí tổng số chiều hai phẳng ta có   dim      dim   dim   dim    1       dim    dim   dim   dim                   (****)   *** ****            Từ       Bài Xác định vị trí tương đối hai đường thẳng 1 : x  y  0  x 4  t  :   y 1  5t Giải:  n1  7,   : x  y   Véc tơ pháp tuyến đường thẳng x   t   :   n2  5,1  y 1  5t Véc tơ pháp tuyến đường thẳng 7   5 n1.n2 0 Ta có Vậy 1  cắt Bài 3: Xác định vị trí tương đối hai đường thẳng:  x 1  2t  d1 :  y   3t  z 1  t  Hướng dẫn: 16  x   3t  d :  y 1  t  z   t    d  (2;3;1) d Gọi (3;1;  1) không gian véc tơ phương d1 d   d Khi đó,  d ( 4;5;  7) 0  M (1;  2;1)  d M (  2;1;  2)  d 2 Khi đó, M M (  3;3;  3) Điểm    ( d Từ đó,  d ).M 1M 48 0 Vậy hai đường thẳng d1 d chéo Bài Xác định vị trí tương đối hai đường thẳng:   '  x   9t  x 3  t 1 :   :   y   t  y 1  8t '   Hướng dẫn:   ( ; ) không gian véc tơ phương 1 Gọi   Gọi (9;8) không gian véc tơ phương   M ( ; )   M 1M ( ; ) 3 Giả sử M (3;  1)  1 , Khi đó,      Giao không gian a   0   M 1M (8;  9) 0 Suy ra, 1 / /  Bài Chứng minh phẳng   song song với phẳng  giao    (nếu có) hai phẳng song song với  Hướng dẫn:    Giả sử  ,  ,  có khơng gian véc tơ phương  ,  ,  Theo định nghĩa hai phẳng song song ta có             Phẳng gọi song song với phẳng               Phẳng gọi song song với phẳng 17                                                                                        / /         18 KẾT LUẬN Trong thời gian tìm hiểu, thảo luận, chọn lọc mong muốn có tiểu luận tốt về: “Vị trí tương đối phẳng không gian afin và liên hệ với vị trí tương đối hai đường thẳng, đường thẳng mặt phẳng, hai mặt phẳng học chương trình phổ thơng”, chúng em trình bày kết sau: - Trình bày định nghĩa m-phẳng xác định m-phẳng - Trong phần trình bày vị trí tương đối phẳng khơng gian afin với mối liên hệ với chương trình phổ thơng - Bài tập củng cố vị trí tương đối phẳng khơng gian Do hiểu biết trình độ hạn chế nên kết mà chúng em đạt cịn nhiều thiếu sót Em mong nhận góp ý q thầy bạn để tiểu luận nhóm chúng em hoàn thiện đạt kết tốt Chúng em xin chân thành cảm ơn! 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Mộng Hy Hình học cao cấp Nhà xuất Giáo dục – 1999 [2] Lê Tuấn Hoa Đại số tuyến tính qua ví dụ tập Nhà xuất đại học quốc gia Hà Nội – 2005 [3] Nguyễn Cảnh Tồn Hình học cao cấp Hà Nội – 1979 [4] Đồn Quỳnh, Nguyễn Dỗn Tuấn, Khu Quốc Anh, Nguyến Anh Kiệt Giáo trình đại số tuyến tính Hình học giải tích Đại học Quốc gia – Đại học đại cương – 1996 [5] Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Hồng Xn Sính Đại số tuyến tính Hình học Đại học sư phạm – 1987 [6] Lê Khắc Bảo Hình học giải tích NXB Giáo dục – 1977 [7] M Postnikov Lectures in Geometry – Semester Analytic Geometry The book was translated from Russian by by Vladimir Shokurov – 1982 [8] P.S Alexandrov, “science” Moscou Lecons de geometrie analytique 20