TIỂU LUẬN môn học HÌNH học CAO cấp đề tài PHƯƠNG PHÁP GIẢI QUYẾT một số bài TOÁN TRONG KHÔNG GIAN AFIN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Khoa Toán – Tin học o0o MÃ LỚP HỌC PHẦN: 2111MATH141202 TIỂU LUẬN MƠN HỌC HÌNH HỌC CAO CẤP ĐỀ TÀI: PHƯƠNG PHÁP GIẢI QUYẾT MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG KHƠNG GIAN AFIN TP Hồ Chí Minh, ngày 24 tháng 10 năm 2021 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Khoa Tốn – Tin học o0o MÃ LỚP HỌC PHẦN: 2111MATH141202 TIỂU LUẬN MƠN HỌC HÌNH HỌC CAO CẤP ĐỀ TÀI: PHƯƠNG PHÁP GIẢI QUYẾT MỘT SỐ BÀI TỐN TRONG KHƠNG GIAN AFIN GIẢNG VIÊN: T.S NGUYỄN THÁI SƠN TP Hồ Chí Minh, ngày 24 tháng 10 năm 2021 Lời cảm ơn Đầu tiên chúng em xin chân thành cảm ơn T.S Nguyễn Thái Sơn, trình học học phần Hình học cao cấp, thầy giúp chúng em hiểu biết thêm môn học Ngoài ra, thầy bồi dưỡng thêm cho chúng em thích thú niềm đam mê mơn học Bên cạnh nhóm nghiên cứu xin cảm ơn người bạn giúp đỡ nhóm mơn học, quan trọng hết hồn thành tiểu luận Nhóm tác giả Ngày 24 tháng 10 năm 2021 Danh sách thành viên nhóm tiểu luận: STT Tên Mã số sinh viên Phạm Quốc Bảo 46.01.101.008 Nguyễn Đình Phúc Hưng 46.01.101.045 Phan Nguyễn Thanh Huy 46.01.101.053 Lê Khánh Huyền 46.01.101.058 Lê Bảo Phúc 46.01.101.116 Lê Nguyễn Uyên Phương 46.01.101.120 Phạm Thị Phương Thảo 46.01.101.146 Nguyễn Đình Tiến 46.01.101.164 Nguyễn Ngọc Đoan Trang 46.01.101.171 ĐẶT VẤN ĐỀ Hình học Afin ba phần mơn hình học cao cấp giảng dạy chương trình ngành Tốn trường ĐHSP Mơn học chủ yếu nghiên cứu tính chất bất biến hình qua phép biến đổi afin, quan trọng hết là: tính thẳng hàng ba điểm, tính song song hai đường thẳng (mặt phẳng), tỉ số độ dài hai vectơ song song Từ trước đến nay, bậc trung học quen thuộc với hình học cổ điển, tên mà học lên bậc cao gọi hình học Euclid Một khơng gian hình học xây dựng gồm đối tượng điểm, đường thẳng hệ tiên đề cố định quy định mối quan hệ ban đầu chúng Nhờ thành tựu Đại số tuyến tính, người ta tìm thấy cách biểu diễn hình học cổ điển đơn giản hơn, có phương pháp nghiên cứu cách thống (phương pháp toạ độ) Tuy nhiên, tiếp cận đủ sâu với hình học, thấy hình học khơng cịn trực quan thấy trước đó, số chiều khơng gian n, kéo theo đối tượng tăng lên kèm với hệ thống tiên đề phức tạp mà người học áp dụng “mẹo” hình học cổ điển để giải Song, tiếp cận đầy đủ lý thuyết đa phần người học khơng kết nối kiến thức để đưa phương pháp áp dụng vào toán cụ thể Và trình làm tốn tiếp cận nhiều tốn hình học afin Trong tiểu luận này, nhóm chúng em xin củng cố lại kiến thức trọng tâm hình học afin đưa phương pháp giải toán, cụ thể phương pháp giải vấn đề không gian Afin liên quan đến m-phẳng, tâm tỉ cự, phép biến đổi afin mục tiêu khác nhau, điểm kép phương bất biến phép biến đổi BỐ CỤC Bài tiểu luận bao gồm ba chương: Chương 0: Toạ độ vectơ sở - công thức đổi tọa độ Chương 1: Không gian afin m-phẳng Chương 2: Ánh xạ afin Đối với chương 0, nhóm nghiên cứu nhắc lại số lý thuyết cũ học phần trước Ở chương 1, nhóm đề cập đến vấn đề liên quan đến m-phẳng khơng gian afin tập tham khảo Cịn chương vấn đề liên quan đến ánh xạ afin, cụ thể phép biến đổi afin tập tham khảo MỤC LỤC CHƯƠNG CƠ SỞ CỦA MỘT KHÔNG GIAN VECTO – TỌA ĐỘ 0.1 Định nghĩa sở không gian vectơ 0.2 Định nghĩa số chiều không gian vectơ 0.3 Toạ độ vectơ sở 0.4 Công thức đổi tọa độ 0.5 Bài tập minh hoạ: CHƯƠNG KHÔNG GIAN AFIN VÀ M-PHẲNG 1.1 Không gian afin 1.1.1 Định nghĩa không gian afin 1.1.2 Ví dụ: 1.1.3 Một số tính chất không gian afin 1.1.4 Độc lập phụ thuộc hệ điểm 1.1.5 Mục tiêu afin công thức đổi mục tiêu 1.2 Các vấn đề liên quan đến m-phẳng vị trí tương đối 12 1.2.1 Định nghĩa m-phẳng 12 1.2.2 Phương trình m-phẳng 13 1.2.3 Vị trí tương đối phẳng : 16 1.2.4 Tổng giao hai phẳng định lý số chiều phẳng tổng 20 1.2.5 Tỉ số đơn 21 Bài tập tổng hợp chương 1: 22 CHƯƠNG ÁNH XẠ AFIN 25 2.1 Định nghĩ ánh xạ afin số tính chất 25 2.1.1 Định nghĩa ánh xạ afin 25 2.1.2 Các tính chất quan trọng ánh xạ afin 25 2.2 Biểu thức toạ độ afin 26 2.2.1 Phương pháp để viết biểu thức phép biến đổi afin f: 26 2.2.2 Bài tập ví dụ 29 2.3 Điểm kép phương bất biến 33 2.3.1 Định nghĩa điểm kép: 33 2.3.2 Phương bất biến: 33 2.3.3 Bài tập minh họa: 33 Bài tập tổng hợp chương 2: 35 CHƯƠNG TỌA ĐỘ CƠ SỞ CỦA MỘT KHÔNG GIAN VECTO – Đến với chương 0, nhóm chúng em nhắc lại khái niệm vectơ, sở vectơ phép toán liên quan đến vectơ cách tổng quát cụ thể để làm tảng cho lý thuyết ứng dụng cho chương sau Chương chủ yếu nội dung lý thuyết; song, sau định lý, công thức quan trọng, nhóm chúng em đưa ví dụ đơn giản, cụ thể để người đọc khắc sâu kiến thức khơng cịn mơ hồ phải phân biệt công thức đổi tọa độ với công thức đổi mục tiêu sau 0.1 Định nghĩa sở không gian vectơ Cho không gian vectơ V, họ vectơ B = e1 ,e2 , ,en  V gọi sở V độc lập tuyến tính vectơ V tổ hợp tuyến tính họ B (B hệ sinh V) Chú ý: - Nếu xem U họ vectơ V sở U họ vectơ độc lập tuyến tính tối đại V - Nếu V có hệ sinh hữu hạn, ta nói V không gian hữu hạn sinh Suy khơng gian vectơ hữu hạn sinh có sở hữu hạn - Có khơng gian vectơ khơng hữu hạn sinh, chẳng hạn:V không gian vectơ đa thức biến hệ số thực V R-không gian vectơ không hữu hạn sinh 0.2 Định nghĩa số chiều không gian vectơ Mọi sở K-khơng gian vectơ hữu hạn sinh V có số phần tử hữu hạn nhau, số gọi số chiều V, ký hiệu dimV ( hay dimK V ) Khi dimV = n , ta nói khơng gian vectơ n chiều Chú ý: Nếu họ vectơ e1 ,e2 , ,en  sở V vectơ thuộc V khai triển theo cách theo vectơ e1 ,e2 , ,en  Ngược lại vectơ thuộc V khai triển theo cách theo vectơ ( e1 ,e2 , ,en ) e1 ,e2 , ,en  sở V Trong không gian vectơ n chiều, họ n vectơ độc lập tuyến tính sở Tính chất khơng gian vectơ hữu hạn chiều, dimV = n Khi đó: (a) Mọi hệ vectơ có nhiều n vectơ phụ thuộc tuyến tính (b) Mọi hệ có n vectơ độc lập tuyến tính sở V (c) Mọi hệ có n vectơ hệ sinh V sở V (d) Mọi hệ độc lập tuyến tính, có k vectơ bổ sung thêm n − k vectơ để sở V Chú ý từ tính chất (b), (c) biết dimV = n để chứng minh hệ n vectơ sở V ta cần chứng minh hệ hệ độc lập tuyến tính hệ hệ sinh 0.3 Toạ độ vectơ sở Định nghĩa Trong không gian vectơ n chiều V cho sở Mọi vectơ x V có khai triển dạng x = x1e1 + x2 e2 + + xn en số ( x1 , x2 , , xn ) gọi tọa độ vectơ x sở  = e1 , e2 , , en  Ta dùng ký hiệu tọa độ ( x ) = ( x1 , x2 , , xn ) viết dạng cột:  x   x1  x  =        xn  0.4 Công thức đổi tọa độ Trong không gian vectơ V cho sở Xét vectơ x V , tọa độ đổi x sở  = e1 , e2 , , en  là: ( x ) = ( x1 , x2 , , xn ) , tọa độ x sở  ' = e '1 , e '2 , , e 'n  là: ( x ) ' = ( x '1 , x '2 , , x 'n ) Giả sử: n ( j = 1,2, , n, c e ' j =  cijei ij i =1  K ) Ta tìm biểu thức liện hệ tọa độ Thật vậy: n n n n n i =1 j =1 i =1 i =1 j =1 x =  x ' j e ' j =  x ' j (  cijei ) =  (  cij x ' j )ei iii) Cho n + điểm độc lập A0 , A1 , , An không gian afin n chiều n + điểm tuỳ ý A0 , A1, , An không gian afin ánh xạ afin f : n n cho  Khi tồn →  cho f ( Ai ) = Ai ( i = 0,1,2, , n ) có phương  f ( ) phẳng iv) Nếu  phẳng  có phương  ( ) 2.2 Biểu thức toạ độ afin 2.2.1 Phương pháp để viết biểu thức phép biến đổi afin f: Cho phép biến đổi afin f : n → n không gian afin n  : n → n phép biến đổi tuyến tính liên kết với f Trước tiên ta cần có sở mục tiêu Chọn  n mục tiêu O;   với   = e1 , e2 ,, en Trong ei = ( ei1 , ei2 ,, ein ) , i = 1,2,, n Muốn lập phương trình phép biến đổi afin f ta tìm biểu thức liên hệ tọa độ ( x1 , x2 ,, xn ) X  n tọa độ ( x '1 , x '2 ,, x 'n ) điểm f ( X ) mục tiêu chọn ( ) Gọi O  = f (O ) e 'i =  ei , ( i = 1, 2,, n ) {O ';  } với     = e '1 , e '2 ,, e 'n mục tiêu ( n Trong O  = ( o '1 , o '2 ,, o '3 ) ) e 'i = e 'i1 , e 'i2 ,, e 'in , i = 1, 2,, n mục tiêu ban đầu Ta có biểu thức chuyển đổi mục tiêu từ O ,   sang O ,  ' là: e 'i = ai1 e1 + e2 +  + ain en Gọi A ma trận chuyển đổi từ O ,   sang O ,  ' Khi A có dạng:  a11 a A =  12    a1n a21 a22 a2 n 26 a n1  an    ann  ( ) Ta gọi X  = f ( X ) , theo định nghĩa f ta có  OX = O ' X ' , với ( x ' , x ' ,, x ' ) tọa độ n X ' Khi ta có:  n  n OX = xi ei  O ' X ' =  OX =   xi ei  = xi e 'i (1) i =1  i =1  i =1 ( ) n Vậy điểm X ' có tọa độ mục tiêu O ,  ' ( x1 , x2 ,, xn ) Từ (1) ta rút kết quả: ( x '1 − o '1 )e1 + ( x '2 − o '2 )e2 + + ( x ' n − o ' n )en = x1 e '1 + x2 e '2 + + xn e 'n = x1 ( a11 e1 + a12 e2 + + a1n en ) + + xn ( an1 e1 + an e2 + + ann en ) Do ta có được:  x '1 − o '1 = a11 x1 + a21 x2 + + an1 xn   x '2 − o '2 = a12 x1 + a22 x2 + + an xn    x ' − o ' = a x + a x + + a x  n n 1n 2n nn n o '1    o' Đặt a =   , ta thu cơng thức phép biến đổi afin f :     o 'n  x ' = A.x + a (2) Với x, x ma trận cột tọa độ X , X  mục tiêu ban đầu Từ ta có phép biến đổi tuyến tính  : n → n (liên kết với phép afin f ) có phương trình: x = A x (3) Với x, x ' ma trận cột x  ( x ) sở chọn ban đầu Thông thường, ta chọn O ,   , với ei = ( 0,0,,1,,0 ) , số nằm vị trí thứ i , i = 1,2,, n , mục tiêu gốc 27 PHƯƠNG PHÁP 1: Vậy để tìm phương trình phép biến đổi afin f , ta cần tìm yếu tố sau: Thứ nhất, ma trận chuyển đổi mục tiêu A hai sở từ O ,   sang O ,  ' Thứ hai, tìm tọa độ O  = f (O ) mục tiêu chọn Sau gắn ma trận tương ứng vào phương trình (2) Chú ý: Ở số tốn, người đề u cầu việc viết phép biến afin f mục tiêu khác so với mục tiêu thông thường Trước làm điều đó, ta tìm mối liên hệ phương trình phép biến đổi afin hai mục tiêu khác Giả sử mục tiêu afin O ,   phép afin f : n → n có phường trình: x = Ax + a (*) Còn mục tiêu afin E ,  phép afin f : n → n có phường trình: x = A' x + a ' (**) Ta thấy A, A' ma trận phép biến đổi tuyến tính  liên kết với phép afin f sở  ,  Từ ta rút hệ thức liên hệ A A' : A = ( C ) A.C −1 Trong C ma trận chuyển đổi sở từ O ,   sang E ,  Trong (**), a ' ma trận cột E  = f ( E ) mục tiêu E ,  Áp dụng công thức đổi mục tiêu x = C x + mE , x, mE ma trận cột tọa độ điểm E , E mục tiêu O ,   x ' ma trận tọa độ cột điểm E ' mục tiêu E ,  PHƯƠNG PHÁP 2: Trên thực tế ta dễ dàng tìm phương trình phép biến đổi afin f : n → n cách giải n + hệ phương trình tuyến tính n + phương trình n + 28 ẩn Giả sử mục tiêu afin chọn, phép afin f biến hệ điểm O0 ; Oi  thành O ' ;O '  , O ' i i = f ( Oi ) , Trong không gian afin n i = 0,1,, n ta gọi phương trình tổng quát phép biến đổi afin f có dạng là:  x '1 = a1 x1 + a2 x2 + + an xn + an +1   x '2 = b1 x1 + b2 x2 + + bn xn + bn +1 (***)    x ' = n x + n x + + n x + c  n 1 2 n n n +1 Ta thay tọa độ điểm Oi , O 'i = f (Oi ) , i = 0,1,, n tương ứng sở chọn vào hệ phương trình (***), ta có n + hệ phương trình n + phương trình với ẩn ak , bk ,, nk , k = 1,2,, n + Giải n + hệ phương trình ta tìm phương trình phép biến đổi afin f Đối với không gian afin quen thuộc hai chiều ba chiều , phép biến đổi afin f có phương trình sau: Trong :  x '1 = a1 x1 + a2 x2 + a3  x ' = b x + b x + b  1 2 Trong :  x '1 = a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 + a4   x '2 = b1 x1 + b2 x2 + b3 x3 + b4 x ' = c x + c x + c x + c  1 2 3 2.2.2 Bài tập ví dụ Ví dụ 1: Trong mặt phẳng afin cho phép afin f biến đổi điểm sau: A (1,1) → A (1,1) B ( 2,0 ) → B  ( 2,0 ) C (1,0 ) → C ' ( 2, ) Viết phương trình phép afin mục tiêu chọn mục tiêu  A, B, C 29 Giải Trong tập này, đề khơng đề cập đến mục tiêu ta chọn   mục tiêu thông thường O;   với  = e1 , e2 = {(1,0);(0,1)} AB = (1,-1) A ' B ' = (1,-1) AC = (0, −1) A ' C ' = (1,1) Phương trình phép afin với mục tiêu thông thường: Như nêu trên, ta có hai phương pháp làm: Phương pháp 1: Đầu tiên ta tìm ma trận chuyển đổi mục tiêu từ O ,   sang O ,  ' : Gọi  : → phép biến đổi tuyến tính liên kết với f , ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) AB  =  AB =  e1 − e2 =  e1 −  e2  e1 − e2 = e '1 − e '2 ( ) ( ) ( ) AC ' =  AC =  −e2 = − e2  e1 + e2 = −e '2 Do đó: e '1 = − 2e2  e '1 = −e1 − e2  −1   −2 −1 Ta tìm ma trận chuyển đổi mục tiêu từ O ,   sang O ,  ' : A =  Đối với sở chọn, ta gọi tọa độ điểm O ' ( o '1 , o '2 ) , cần ma trận a ma trận cột tọa độ điểm O ' , cách thay tọa độ điểm A, A' vào phương trình phép biến đổi afin f : 1  −1 1  o '1   o '1   2 1 =  −2 −1 1 + o '   o '  =  4       2  2   Vậy phương trình phép biến đổi afin mục tiêu chọn là: − x2 +  x '1 =   x '2 = −2 x1 − x2 + 30 Phương pháp 2: Gọi phương trình phép biến đổi afin f có dạng:  x '1 = a1 x1 + a2 x2 + a3   x '2 = b1 x1 + b2 x2 + b3 Ta có: 1 = a1 + a2 + a3 A(1,1) → A '(1,1) :  = b + b + b  2 = 2a1 + a3 B(2,0) → B '(2,0) :  0 = 2b1 + b3 2 = a1 + a3 C (1,0) → C '(2,2) :  0 = b1 + b3 Giải hệ phương trình ta tìm kết sau đây: a3   −1  = b3   −2 −1   a1 a2 b b  Vậy phương trình phép biến đổi afin mục tiêu chọn là: − x2 +  x '1 =   x '2 = −2 x1 − x2 + Bây ta viết phương trình phép afin với mục tiêu {𝐴, 𝐵, 𝐶} Ta cần xác định rõ mục tiêu chọn, mục tiêu {𝐴, 𝐵, 𝐶} nên việc cần làm tìm ma trận C ma trận chuyển sở từ O ,   sang {𝐴, 𝐵, 𝐶}: AB = e1 − e2 AC = − e2 Suy ma trận chuyển đổi sở C là: 1 0 C=   −1 −1 1 0  C −1 =    −1 −1 Như hướng dẫn chuyển đổi mục tiêu phần ta tìm ma trận A' : 31 A ' = C −1 A.C    −1   1  =   −2 −1  −1 −1 = 0 −2  − −         Gọi phương trình phép biến đổi afin f sở  A, B, C x ' = A' x + a ' , a ' ma trận cột tọa độ điểm A' = f ( A) mục tiêu  A, B, C Khi ta dùng phép biến đổi mục tiêu afin để tìm a ' Phương trình đổi mục tiêu afin từ mục tiêu O ,   sang mục tiêu  A, B, C là: x = C x '+ c , C ma trận chuyển sở từ O ,   sang  A, B, C c ma trận cột tọa độ điểm A mục tiêu O ,   Thay tọa độ điểm A' vào phương trình ta được: +1 1 = x '1 0   A '/{ A,B ,C } =    0 1 = − x '1 − x '2 + Vậy phương trình biến đổi afin f cở sở  A0 , A1 , A2 , A3  :  x '1 = x1 + x2  − x2  x '2 = Ví dụ 2: Trong khơng gian afin cho tứ diện ABCD Lập phương trình phép biến đổi afin f mục tiêu  A, B, C , D cho: f ( A) = B, f ( B ) = A, f ( C ) = C , f ( D ) = D Giải Do  A, B, C , D sở nên ta có tọa độ điểm sau: A ( 0,0,0 ) , B (1,0,0 ) , C ( 0,1,0 ) , D ( 0,0,1) Đầu tiên ta tìm ma trận chuyển đổi sở từ  A, B, C , D sang sở B, A, C , D Ta có: BA = − AB BC = − AB + AC BD = − AB + AD Do ma trận A chuyển đổi là: 32  −1 −1 −1 A =      0  Phương trình biến đổi afin f có dạng: x = Ax + a Ta có: f ( A) = B = (1,0,0 ) sở  A, B, C , D Do ta phương trình biến đổi afin f mục tiêu  A, B, C , D là:  x '1 = − x1 − x2 − x3 +   x '2 = − x1 + x2 x ' = −x + x3  2.3 Điểm kép phương bất biến 2.3.1 Định nghĩa điểm kép: Giả sử f : → phép biến đổi afin Một điểm M gọi điểm kép f f ( M ) = M 2.3.2 Phương bất biến: Định nghĩa: Một phép biến đổi f mà có đường thẳng α cho đường thẳng song song với α (cùng vecto phương với α) biến thành α gọi phương bất biến phép afin f 2.3.3 Bài tập minh họa: Bài 1: Trong không gian afin A0 (1,1,1) ; với mục tiêu chọn cho điểm: A1 ( 2,0,0 ) ; A2 (1,0,0 ) ; A3 (1,1,0 ) A '0 ( 0,0,0 ) ; A '1 ( 0,1,0 ) ; A '2 ( 2,0,1) ; A '3 (1,0,1) Tìm điểm kép phương bất biến f Giải Gọi M ( x1 , x2 , x3 ) điểm kép f Suy M nghiệm hệ phương trình sau: 33   x1 =  x1 = −2 x1 − x2 − x3 +    −   x2 =  x2 = x1  x = −x  − x3 +  3  x =  8 3 Vậy phép afin f có điểm kép M =  ; ;  7 7  () Gọi u = ( u1 ; u2 ; u3 ) phương bất biến Khi đó: f u = k u, k   Ta có: − u3 =  ( − k ) u1 −u2 ku1 = −2u1 − u2 − u3     u1 −ku2 −4u3 = ku2 = −u1 ku = −u  − (1 + k ) u3 = −u3   −u1 Hệ phương trình tuyến tính có nghiệm khác nghiệm tầm thường, tức là: −2 − k det A = −1 −1 −k =0 −1 − k  (1 + k ) ( k + 2k + ) = Phương trình có nghiệm thực k = −1 hai nghiệm phức Trong không gian afin thực, ta lấy nghiệm thực k = −1 Khi đó, ta có: u2 = u3 3u1 −u2 −u3 =     u1 +u2 −4u3 =   u1 + u2 −4u3 =  −u  =0 u1 =   Chọn u2 =  u3 = −1 Suy u = ( 0;1; −1) 34 Bài tập tổng hợp chương 2: Trong với mục tiêu chọn, cho điểm sau: A0 (1,1,0 ) ; A1 ( 0,1,1) ; A2 (1,0,1) ; A3 ( 0,0,0 ) A '0 ( 3,4,9 ) ; A '1 ( 2,8,8 ) ; A '2 ( 4,6,4 ) ; A '3 (1,2,3) (1) Chứng minh hệ điểm  A0 , A1 , A2 , A3   A '0 , A '1 , A '2 , A '3  độc lập (2) Viết phương trình phép biến đổi afin f: → cho f ( Ai ) = A'i , i = 0,1,2,3 mục tiêu chọn (3) Tìm điểm kép phương bất biến f , phương bất biến phép afin vectơ v cho qua phép afin đường thẳng l có vectơ phương v biến thành đường thẳng phương với (4) Viết phương trình phép biến đổi afin f mục tiêu  A0 , A1 , A2 , A3  Giải Trong tập này, đề khơng đề cập đến mục tiêu ta chọn   tiêu thông thường O;   với  = e1 , e2 , e3 = {(1,0,0);(0,1,0);(0,0,1)} (1) Để chứng minh hệ điểm độc lập ta có cách chứng minh học phần 1.1.4 Ta có: A0 A1 = ( −1,0,1) A0 A2 = (0, −1,1) A0 A3 = ( −1, −1,0) Xét định thức ma trận D ma trận có dịng tọa độ vecto −1 det( D ) = −1 = −2  −1 −1 Do hệ điểm  A0 , A1 , A2 , A3  độc lập Chứng minh tương tự với hệ điểm lại (2) Như phương pháp làm nêu trên, ta có hai cách để làm tập Phương pháp 1: 35 mục Đầu tiên ta tìm ma trận chuyển đổi mục tiêu từ O ,   sang O ,  ' : Gọi  : → phép biến đổi tuyến tính liên kết với f , ta có: A '0 A '1 =  ( A0 A1 ) =  (−e1 + e3 ) = − (e1 ) +  (e3 )  −e1 + 4e2 − e3 = −e '1 + e '3 A '0 A '2 =  ( A0 A2 ) =  (−e2 + e3 ) = − (e2 ) +  (e3 )  e1 + 2e2 − 5e3 = −e '2 + e '3 A '0 A '3 =  ( A0 A3 ) =  (−e1 − e2 + e3 ) = − (e1 ) −  (e2 ) +  (e3 )  −2e1 − 2e2 − 6e3 = −e '1 − e '2 + e '3 e '1 = 2e1 + e3 2 1     e '2 = 2e2 + 5e3  A =         e '3 = e1 + 4e2 Đối với sở chọn, ta gọi tọa độ điểm O ' ( o '1 , o '2 , o '3 ) , cần ma trận a ma trận cột tọa độ điểm O ' , cách thay tọa độ điểm A0 , A '0 vào phương trình phép biến đổi afin f :  3    1  o '1  o '1  1                 =   1  + o '2   o '2  =  2        o '  o '        3  3      Vậy phương trình phép biến đổi afin f : + x3 +  x '1 = x1  x2 + x3 +  x '2 =  x ' = x + 5x +3  Phương pháp 2: Ta gọi phương trình biến đổi afin f có dạng:  x '1 = a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 + a4   x '2 = b1 x1 + b2 x2 + b3 x3 + b4 x ' = c x + c x + c x + c  1 2 3 Ta có: 36 3 = a1 + a2 + a4  A0 (1,1,0) ⎯⎯ → A '0 (3,4,9) : 4 = b1 + b2 + b4 9 = c + c + c  f  = a + a3 + a  A1 (0,1,1) ⎯⎯ → A '0 (2,8,8) : 8 = b2 + b3 + b4 8 = c + c + c  f 4 = a1 + a3 + a4  A2 (1,0,1) ⎯⎯ → A '0 (4,6,4) : 6 = b1 + b3 + b4 4 = c + c + c  f 1 = a4  f A3 (0,0,0) ⎯⎯ → A '0 (1,2,3) :  = b4 3 = c  Giải hệ phương trình ta tìm kết sau đây:  a1 b   c1 a2 b2 b2 a3 b3 c3 a4   1  b4  =      c4   3 Vậy phương trình phép biến đổi afin f : + x3 +  x '1 = x1  x2 + x3 +  x '2 =  x ' = x + 5x +3  (3) Gọi M ( x1 , x2 , x3 ) điểm kép f Suy M nghiệm hệ phương trình sau: −7   x1 = 11 + x3 +  x1 = x1  −6   x2 + x3 +   x2 =  x2 = 11  x = x + 5x  +3  −4   x3 = 11  Vậy phép afin f có điểm kép M =  ; ;  7 7  Gọi u = ( u1 ; u2 ; u3 ) phương bất biến Khi đó: f u = k u, k  () Ta có: 37  − u3  ( k − ) u1 − u3 = ku1 = 2u1   2u2 + 4u3   ( k − 2)u2 − 4u3 = ku2 = ku = u + 5u  u1 + u2 −ku3 =   Hệ phương trình tuyến tính có nghiệm khác nghiệm tầm thường, tức là: k −2 −1 det A = k − −4 = −k  ( k − ) ( −k − k + 21) = Phương trình có ba nghiệm thực k = −1 k =  22 u3 = → u = (−5,1,0) u = − u  Với k = →  ( 22 − 1)u1 = u3 Với k = + 22 →  ( 22 − 1)u2 = 4u3 , chọn u1 = → u = (1,4, 22 − 1) (− 22 − 1)u1 = u3 Với k = − 22 →  (− 22 − 1)u2 = 4u3 , chọn u1 = → u = (1,4, − 22 − 1) Vậy phương bất biến phép biến đổi f gồm họ vectơ (4) “Điểm đến” câu ta tìm phương trình biến đổi afin f cở sở  A0 , A1 , A2 , A3  Ta cần xác định rõ mục tiêu chọn, mục tiêu  A0 , A1 , A2 , A3  nên việc cần làm tìm ma trận C ma trận chuyển sở từ O ,   sang  A0 , A1 , A2 , A3  : A0 A1 = − e1 A0 A2 = + e3 − e2 + e3 A0 A3 = − e1 − e2 Suy ma trận chuyển đổi sở C là: 38  −1 −1 C =  −1 −1    1   −  −1 C =    −  2 − − 1 2  1 2 1 −  2 Như hướng dẫn chuyển đổi mục tiêu phần ta tìm ma trận A' : A ' = C −1 A.C  −  =   −  2 − − 1     −1 −1  −2 −3  1    −1 −1 =  −3 −3 −3      2  1 − 1           1  −  2 Gọi phương trình phép biến đổi afin f sở  A0 , A1 , A2 , A3  x ' = A' x + a ' , a ' ma trận cột tọa độ điểm A'0 = f ( A0 ) mục tiêu  A0 , A1 , A2 , A3  Khi ta dùng phép biến đổi mục tiêu afin để tìm a ' Phương trình đổi mục tiêu afin từ mục tiêu O ,   sang mục tiêu  A0 , A1 , A2 , A3  là: x = C x '+ c , C ma trận chuyển sở từ O ,   sang  A0 , A1 , A2 , A3  c ma trận cột tọa độ điểm A0 mục tiêu O ,   Thay tọa độ điểm A '0 vào phương trình ta được: − x '3 + 3 = − x '1 5    4 = − x '2 − x '3 +   A '0 /{ A0 , Ai } =   9 = x ' + x '  −7   Vậy phương trình biến đổi afin f cở sở  A0 , A1 , A2 , A3  :  x '1 = x1 − x2 − 3x3 +   x '2 = −3x1 − 3x2 − 3x3 +  x ' = − x + x + 5x −  3 39 Tài liệu tham khảo: T.S Nguyễn Thái Sơn, Giáo trình Hình học cao cấp T.S Nguyễn Thái Sơn, Hình học giải tích Đại số máy tính – Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh, 2014 Nguyễn Mộng Hy, Hình học cao cấp – TP Hồ Chí Minh, 2007 Nguyễn Mộng Hy, Bài tập Hình học cao cấp – TP Hồ Chí Minh, 2007 Lê Khắc Bảo, Hình học giải tích – Hà Nội, 1977 Văn Như Cương, Tạ Mân, Hình học afin Hình học Ơclit – Hà Nội, 1998 ... ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Khoa Toán – Tin học o0o MÃ LỚP HỌC PHẦN: 2111MATH141202 TIỂU LUẬN MƠN HỌC HÌNH HỌC CAO CẤP ĐỀ TÀI: PHƯƠNG PHÁP GIẢI QUYẾT MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG KHÔNG GIAN. .. đưa phương pháp áp dụng vào tốn cụ thể Và q trình làm tốn tiếp cận nhiều tốn hình học afin Trong tiểu luận này, nhóm chúng em xin củng cố lại kiến thức trọng tâm hình học afin đưa phương pháp giải. .. CHƯƠNG KHÔNG GIAN AFIN VÀ M-PHẲNG Ta thấy hình học Afin mơn hình học xây dựng dựa hai đối tượng (điểm, vectơ) với tám tiên đề đặc trưng vectơ hai tiên đề điểm Các chứng minh hình học afin đa số ngắn