Tìm hệ thức liên hệ các đại lượng hình học” và “đi tìm hệ thức liên hệ các đại lượng hình học để giải một số bài toán”

Hình học là một môn học được xây dựng trên cơ sở hệ thống các tiên đề, định lý toán học, là một môn học chứa đựng nhiều tư duy trừu tượng, tư duy logic. Vì vậy đây thực sự là môn học khó đối với học sinh. Do đó để học sinh tiếp thu được môn học đòi hỏi người giáo viên phải có nghệ thuật sư phạm hướng dẫn học sinh hình thành các bước giải quyết bài toán và kỹ năng giải quyết bài toán đó. Trong hình học ta thường gặp những bài toán như: chứng minh một đẳng thức hình học, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một đại lượng hình học, tìm điểm chia đoạn thẳng …. Để giải các bài toán này cần phải xây dựng một “Hệ thức liên hệ giữa các đại lượng hình học”. Đây là một dạng toán khó ít gặp ở trong sách giáo khoa song lại gặp nhiều trong các kỳ thi tuyển sinh, thi học sinh giỏi. Để giúp học sinh định hướng nhanh lời giải cần đưa ra một phương pháp chung để giải quyết dạng toán này. Qua nhiều năm dạy bồi dưỡng học sinh khá, giỏi, tôi đã rút ra một số kinh nghiệm nhỏ trong việc giúp học sinh định hướng nhanh việc “Tìm hệ thức liên hệ giữa các đại lượng hình học” và sử dụng phương pháp giải một số bài toán hình học. Với đề tài này tôi hy vọng sẽ giúp học sinh không lúng túng khi gặp một số bài toán có liên quan. Nó sẽ giúp học sinh học tốt hơn, có hứng thú hơn đối với môn toán. Đề tài gồm có hai phần đó là: “Tìm hệ thức liên hệ các đại lượng hình học” và “Đi tìm hệ thức liên hệ các đại lượng hình học để giải một số bài toán” Ý tưởng nghiên cứu đề tài được nảy sinh từ năm 2003, ban đầu tôi chỉ sử dụng phương pháp này để giải các bài toán bất đẳng thức hình học và cực trị hình học. Qua nhiều năm dạy học và bồi dưỡng học sinh khá giỏi đề tài được nâng dần áp dụng vào việc tính toán các đại lượng hình học như độ dài đoạn thẳng, tỉ số đoạn thẳng,...

A ĐẶT VẤN ĐỀ I LỜI MỞ ĐẦU - Hình học môn học xây dựng sở hệ thống tiên đề, định lý toán học, môn học chứa đựng nhiều tư trừu tượng, tư logic Vì thực mơn học khó học sinh Do để học sinh tiếp thu mơn học địi hỏi người giáo viên phải có nghệ thuật sư phạm hướng dẫn học sinh hình thành bước giải tốn kỹ giải tốn - Trong hình học ta thường gặp tốn như: chứng minh đẳng thức hình học, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ đại lượng hình học, tìm điểm chia đoạn thẳng … Để giải toán cần phải xây dựng “Hệ thức liên hệ đại lượng hình học” Đây dạng tốn khó gặp sách giáo khoa song lại gặp nhiều kỳ thi tuyển sinh, thi học sinh giỏi Để giúp học sinh định hướng nhanh lời giải cần đưa phương pháp chung để giải dạng toán - Qua nhiều năm dạy bồi dưỡng học sinh khá, giỏi, rút số kinh nghiệm nhỏ việc giúp học sinh định hướng nhanh việc “Tìm hệ thức liên hệ đại lượng hình học” sử dụng phương pháp giải số tốn hình học Với đề tài hy vọng giúp học sinh không lúng túng gặp số tốn có liên quan Nó giúp học sinh học tốt hơn, có hứng thú mơn tốn Đề tài gồm có hai phần là: “Tìm hệ thức liên hệ đại lượng hình học” “Đi tìm hệ thức liên hệ đại lượng hình học để giải số toán” - Ý tưởng nghiên cứu đề tài nảy sinh từ năm 2003, ban đầu sử dụng phương pháp để giải toán bất đẳng thức hình học cực trị hình học Qua nhiều năm dạy học bồi dưỡng học sinh giỏi đề tài nâng dần áp dụng vào việc tính tốn đại lượng hình học độ dài đoạn thẳng, tỉ số đoạn thẳng, II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU Thực trạng vấn đề Khi gặp tốn có nhiều đại lượng hình học thay đổi yêu cầu tìm điều kiện liên hệ đại lượng hình học thoả mãn tính chất cho trước, tìm giá trị lớn hay nhỏ đại lượng hình học, tìm điểm chia đoạn thẳng, tính độ dài đoạn thẳng, …thì học sinh tỏ lúng túng Đa số học sinh không định hướng lời giải, tìm lời giải phải đâu Chính tơi sử dụng phương pháp đề cập đề tài thấy có hiệu định Kết quả, hiệu thực trạng Qua trình kiểm tra học sinh chưa đưa phương pháp cho kết đây: Loại giỏi Tổng số học sinh SL Tỉ lệ (%) 45 0 Loại Loại TB Loại yếu SL Tỉ lệ (%) SL Tỉ lệ (%) SL Tỉ lệ (%) 17,78 17 37,78 20 44,44 Từ thực trạng mạnh dạn đưa nội dung cách thức dạy học nhằm giúp học sinh định hướng nhanh lời giải toán B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I CÁC BIỆN PHÁP TỔ CHỨC THỰC HIỆN Qua trình giảng dạy thân thấy hai vấn đề đặt giải tốn Nếu khơng tìm hệ thức liên hệ đại lượng hình học khơng giải tốn Vì q trình dạy học, dạy cho học sinh nắm hai vấn đề: “Tìm hệ thức liên hệ đại lượng hình học” sau “Đi tìm hệ thức liên hệ giải số tốn hình học” Hai nội dung dạy tiết dạy bồi dưỡng học sinh giỏi Tìm hệ thức liên hệ đại lượng hình học - Nếu giả thiết tốn hình học có yếu tố: điểm, đường thẳng, góc … thay đổi; chịu điều kiện ràng buộc hình học vấn đề đặt cần chuyển điều kiện ràng buộc hình học thành điều kiện ràng buộc đại lượng tính toán dạng biểu thức đại số - gọi biểu thức liên hệ Qua nhiều năm giảng dạy rút hai cách để giải toán a Cách Chọn tính đại lượng hình học (Độ dài đoạn thẳng, diện tích đa giác, thể tích khối đa diện, …) theo hai cách khác nhau, đẳng thức liên hệ hai cách tính cho hệ thức cần tìm Ta xét số tốn minh hoạ sau: � Bài tốn 1.1 Cho góc xOy   , I điểm cố định phân giác góc  Một đường thẳng thay đổi qua I cắt Ox, Oy A, B Tìm hệ thức liên hệ hai độ dài x=OA; y = OB BÀI GIẢI O + Đặt OI = d, ta có: + SOAB = � OA.OB.sin AOB = + SOAB = SOAI + SOIB = xd sin  x.y.sin +  yd sin (1)  A x I B y = d sin  (x+y) (2) 1 1  �   x y.sin    x  y  d sin x y 2 + Từ (1) (2) ta có: 2 cos d   * Đẳng thức (*) hệ thức cần tìm Nhận xét - Đẳng thức (*) tìm ta tính diện tích Cách cho đẳng thức (1); cách cho đẳng thức (2)  ABC hai cách - Thơng thường hai cách tính đại lượng chọn, có cách cách tính thơng thường cho trường hợp (Như cách 1) Cách cịn lại có điều kiện ràng buộc hình học tốn (Như cách 2) Bài toán 1.2 Cho hai tia Am, Bn chéo nhận AB làm đường vng góc chung Các điểm M, N chuyển động Am, Bn cho đường thẳng MN tiếp xúc với mặt cầu đường kính AB =a Tìm hệ thức liên hệ AM = x BN = y BÀI GIẢI + Kẻ tia Bt//Am Gọi M hình chiếu M Bt, ta có tứ giác AMM 1B hình chữ nhật � BM1 = AM = x; �  + Đặt M BN = (  góc Am Bn) + Trong tam giác vng M1MN ta có: MN2 = MM12 + M1N2  = MM12 + BM12+BN2 – 2BM.BN.cos = a2 + x2 + y2 – 2xy.cos  (1) A M + Mặt khác, gọi T tiếp điểm MN với mặt cầu ta có : MN = NT + TM = BN + AM = y + x (2) O T + Từ (1) (2) ta có: � xy  (x+y)2 = a2 + x2 + y2 – 2xy.cos  a cos  *  M B N Hệ thức (*) hệ thức cần tìm Nhận xét - Để có hệ thức liên hệ ta tính độ dài MN hai cách Cách cho đẳng thức (1), cách cho đẳng thức (2) Bài toán 1.3 Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AD, I điểm AD Một đường thẳng qua I cắt cạnh AB, AC M N, đặt AM = x, BN = y Tìm hệ thức liên hệ x y BÀI GIẢI S AMN x y   1 + Ta có : S ABC AB AC A + Mặt khác : S AMN S AMI  S AIN S S AI �x y �   AMI  ANI   2 �  � S ABC S ABC S ABD S ADC AD �AB AC � N I AI �x y � x y  * M  �  � + Từ (1) (2) ta có : AB AC AD �AB AC � B C D Nhận xét S AMN S ABC - Đẳng thức liên hệ (*) tìm ta tính tỉ số diện tích cách khác Cách cho đẳng thức (1), cách cho đẳng thức (2) - Bài tốn mở rộng trường hợp D trung điểm mà D thõa mãn : DB k DC Áp dụng tương tự ta tìm hệ thức liên hệ b Cách Chuyển điều kiện ràng buộc cho thành điều kiện ràng buộc dạng tam giác, hệ thức liên hệ hệ thức lượng tam giác Bài tốn 1.4 Cho hình hộp chữ nhật ABCDA1B1C1D1 có ABCD hình vng cạnh a, AA1 = b Gọi M,N trung điểm AB, BC Tìm điều kiện a, b để nhị diện B1D1 tứ diện MNB1D1 có số đo  BÀI GIẢI + Gọi I=BD  MN  I trung điểm MN + I1 hình chiếu I mp(A1B1C1D1) Do B1 D1  AC  B1 D1  MN , mà  I  B1 D1    I1 B1  IB B1 D1  II  B1 D1  ( MI N ) � => MI1 N góc phẳng nhị diện cạnh B1 D1 � => MI1 N góc phẳng nhị diện cạnh B1 D1 + Do II1  MN I trung điểm MN A � nên  MI1N cân I1 Vậy MI1 N = 600 � MNI1 D tam giác � I1 I  MN a  b M B I N C B (*) Vậy điều kiện a, b liên hệ hệ thức D (*) Nhận xét C1 � - Ở cách giải toán ta chuyển điều kiện ràng buộc MI1 N = 600 điều kiện để  MNI1 tam giác Đi tìm hệ thức liên hệ đại lượng hình học để giải số tốn - Thơng thường hình học ta phải giải tốn tìm đại lượng hình học f bị ràng buộc đại lượng x, y,…thay đổi Khi để giải tốn ta phải tìm hệ thức liên hệ đại lượng thay đổi Ta xét số tốn sau đây: Bài toán 2.1 (Đề thi HSG toán lớp 12 tỉnh Thanh Hố năm học 2005 – 2006) Cho góc tam diện vuông Oxyz, Oz lấy điểm A cố định khác O, biết OA = a Gọi (P) mặt phẳng thay đổi chứa điểm A cắt Ox, Oy điểm 1   OB OC a B, C cho đường thẳng cố định Chứng minh mặt phẳng (P) chứa BÀI GIẢI � + Gọi Ot tia phân giác góc BOC , I = BC  Ot + Áp dụng toán 1.1 ta có: 1 cos 450 1   �   OB OC OI OB OC OI 1   + Theo giả thiết: OB OC a + Từ (1) (2) ta có:  1  2 2  � OI  a OI a Do Ot cố định nên OI = a không đổi � I điểm cố định Vậy mp (P) chứa đường thẳng cố định AI Nhận xét - Bài tốn có hai đại lượng hình học thay đổi OB, OC, ta tìm hệ � thức liên hệ chúng hệ thức (1), thay giả thiết BOC = 900 giả  � thiết BOC = ta có tốn tương tự - Bằng cách áp dụng toán 1.1 (hoặc cách xây dựng toán 1.1), học sinh phát nhanh lời giải toán sau (bài toán 2.2; 2.3;2.4) � Bài tốn 2.2 Cho góc tam diện Oxyz, yOx = 900 Trên Oz lấy điểm A cố định khác O, biết OA = a Gọi (P) mặt phẳng thay đổi chứa điểm A cắt Ox, Oy   OB OC a điểm B, C cho (P) chứa đường thẳng cố định Chứng minh mặt phẳng BÀI GIẢI �  Ot + Kẻ tia Ot cho xOt = 300 BC =I Ta có: SBOC = OB.OC (1) + Mặt khác: SBOC = SBOI + SIOC = = OB.OI sin 300 + 1 ( OB  OC ).OI 2 2 OI.OC sin 600 (2) + Từ (1) (2) ta có: 3 ( OB  OC ).OI  OB.OC �   (3) 2 OB OC OI 2   a OI   OI a +Theo giả thiết: OB OC a (4) Từ (3) (4) ta có Do Ot cố định nên I cố định Do mp (P) qua điểm I cố định Bài tốn 2.3 Cho hình chóp tứ giác SABCD Một mặt phẳng ( ) thay đổi cắt cạnh SA, SC, SB, SD điểm M, N, P, Q Chứng minh 1 1    SM SN SP SQ BÀI GIẢI + Từ giả thiết ta có:  => SAC =   SAC  SBD cân ABCD hình vng SBD �  � � � ASC = BSC = SO phân giác MSN QSP � + Áp dụng tốn1.1 MSN ta có: cos 1   (1) SM SN SI � + Mặt khác QSP ta có: 1   SP SQ S cos SI   2 Q P M I N A B O D C Từ (1) (2) ta có: 1 1    SM SN SP SQ Bài toán 2.4 Cho hình chóp tứ giác SABCD có cạnh Gọi M,  N trung điểm cạnh SA, SC Một mặt phẳng ( ) thay đổi qua M, N, cắt cạnh SB, SD P Q Xác định giá trị nhỏ diên tích tứ giác MPNQ S BÀI GIẢI + Từ giả thiết ta có: P M I SA2+SC2 = AD2 + DC2 = = AC2  => SAC vuông S Tương tự S + Do MN  PQ BSD vuông Q N A B O nên SMPNQ = MN.PQ =  S MPNQ   D PQ x2  y2 (Với SP=x; SQ = y, 0