siêu mặt bậc hai affine, các kiến thức liên quan đến công thức tổng quát, các điểm đặc biệt cần lưu ý trong siêu mặt bậc hai, một số bài tập vận dụng kèm lời giải chi tiết có thể tham khảo vận dụng vào làm các bài tập khác nhau
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI BÀI TIỂU LUẬN/BÀI TẬP LỚN HỌC PHẦN: HÌNH HỌC TUYẾN TÍNH Học kỳ năm học 2022 – 2023 Chủ đề số: 02 TRÌNH BÀY HIỂU BIẾT VỀ SIÊU MẶT BẬC HAI AFFINE Họ tên: Đỗ Thị Khánh Huyền Mã sinh viên: 715101132 Mục lục I KIẾN THỨC LIÊN QUAN Định nghĩa Giao đường thẳng siêu mặt bậc hai Tâm, điểm kì dị siêu mặt bậc hai 4 Phương tiệm cận, đường tiệm cận siêu phẳng kính siêu mặt bậc hai Tiếp tuyến siêu mặt bậc hai Dạng chuẩn tắc siêu mặt bậc hai II MỘT SỐ BÀI TẬP 12 CHỦ ĐỀ 2: TRÌNH BÀY HIỂU BIẾT VỀ SIÊU MẶT BẬC HAI AFFINE I KIẾN THỨC LIÊN QUAN Định nghĩa Trong không gian affine n chiều 𝔸 liên kết với không gian vecto 𝔸⃗ với mục tiêu affine cho trước (O, 𝑒 ⃗, 𝑒 ⃗ ), tập hợp tất điểm M có tọa độ thỏa mãn phương trình: 𝑎 𝑥 𝑥 +2 𝑎 𝑥 + 𝑎 = (1) , aij, ai, xi ∈ ℝ (hay tổng quát trường 𝕂), aij = aji aij không đồng thời 0, gọi siêu mặt bậc hai affine xác định phương trình (1) Đặt 𝐴 = 𝑎 ,𝑥 = 𝑥 𝑎 𝑥 , 𝑎 = 𝑎 , phương trình (1) trở thành phương trình … … 𝑥 𝑎 (dạng ma trận) 𝑥 𝐴𝑥 + 2𝑎 𝑥 + 𝑎 = 0, (2) 𝐴 = 𝑎 : thường gọi ma trận siêu mặt bậc hai Khi n = n = siêu mặt bậc hai thường gọi đường bậc hai mặt bậc hai Ví dụ 1: Trong ℝ , cho siêu mặt (S) có phương trình 𝑥 + 2𝑥 − 3𝑥 + 6𝑥 𝑥 − 𝑥 𝑥 + 3𝑥 − = Ma trận (S) là: 1 − 2⎞ ⎛ 𝐴 = ⎜ ⎟ − −3 ⎝ ⎠ Đặt 𝑥 𝑥 = 𝑥 ,𝑎 = 𝑥 Khi phương trình (S) dạng ma trận 𝑥 𝐴𝑥 + 2𝑎 𝑥 − = Ví dụ 2: Trong ℝ , cho đường elip có phương trình tắc 𝑥 𝑦 + = 25 16 Vậy elip đường bậc hai có phương trình: 𝑥 𝑦 + − = 25 16 Tính bất biến siêu mặt bậc hai Định lí 1: Qua biến đổi affine, siêu mặt bậc hai biến thành siêu mặt bậc hai Chứng minh: Giả sử (S) có phương trình dạng (1) mục tiêu {O, 𝑒 ⃗} 𝑓: 𝔸 → 𝔸 phép biến đổi affine Gọi {O’, 𝑤 ⃗} ảnh mục tiêu {O, 𝑒 ⃗} qua phép biến đổi affine f, với O’ = f(O) 𝑤 ⃗ = 𝑓(𝑒 ⃗); 𝑖 = 1, 2, … 𝑛 Nếu điểm M có tọa độ (𝑥 , 𝑥 … 𝑥 ) mục tiêu {O, 𝑒 ⃗}, nên điểm M’ = f(M) có tọa độ (𝑥 , 𝑥 … 𝑥 ), mục tiêu {O’, 𝑤 ⃗} Điều chứng tỏ điểm f(S) có tọa độ với mục tiêu {O’, 𝑤 ⃗} thỏa mãn phương trình (1) Nói cách khác phương trình (S) mục tiêu {O, 𝑒 ⃗}và phương trình f(S) mục tiêu {O’, 𝑤 ⃗} giống Theo định nghĩa, f(S) siêu mặt bậc hai hiển nhiên tính suy biên hay khơng suy biến bảo toàn Giao đường thẳng siêu mặt bậc hai Định lí 2: Một đường thẳng siêu mặt bậc hai khơng có điểm chung, có điểm chung, hai điểm chung đường thẳng chung (nếu đường thẳng thuộc siêu mặt) Tâm, điểm kì dị siêu mặt bậc hai 3.1 Tâm - Định nghĩa: Tâm siêu mặt bậc hai (S) điểm I sai cho ta chọn I gốc mục tiêu affine (S) có phương trình 𝑎 𝑥 𝑥 + 𝑎 = , (1 ) , tức khơng có mặt số hạng bậc Hay viết dạng ma trận là: 𝑥 𝐴𝑥 + 𝑎 = với 𝐴 = 𝑎 (2 ) - Nhận xét: Tâm siêu mặt bậc hai (S) tâm đối xứng nó, điều có nghĩa phép đối xứng qua I, tức phép vị tự tâm I tỷ số −1 𝔸 (biến điểm M ∈ 𝔸 thành điểm M ′ cho tỉ số đơn (MM′I ) = −1 ), biến (S) thành Thật vậy, dễ thấy điểm M có tọa độ (𝑥 , 𝑥 … 𝑥 ), thỏa mãn phương trình (1 ) M′ đối xứng qua I có tọa độ (−𝑥 , −𝑥 … −𝑥 ), thỏa mãn phương trình (1 ) Từ suy I tâm đối xứngcủa S Điều ngược lại Nếu I tâm đối xứng siêu mặt bậc hai S I tâm S - Định lí 3: Trong khơng gian affine 𝔸 , cho siêu mặt bậc hai (S) có phương trình dạng (2) mục tiêu affine {O, 𝑒 ⃗} cho trước Khi (S) có tâm 𝑑𝑒𝑡𝐴 ≠ Trường hợp det 𝐴 = (S) có vơ số tâm khơng có tâm - Nhận xét Theo chứng minh định lí 1, phép biến đổi affine biến siêu mặt bậc hai (S) có tâm I thành siêu mặt bậc hai có tâm f(I) Cho siêu mặt bậc hai (S) có phương trình 𝐹(𝑥 , 𝑥 … 𝑥 ) = 𝑎 𝑥 𝑥 +2 𝑎 𝑥 +𝑎 =0 , 𝑥 𝐴𝑥 + 2𝑎 𝑥 + 𝑎 = Tọa độ tâm (S) thỏa mãn phương trình 𝜕𝐹 𝐴𝑥 + 𝑎 = ⟺ =0 ∀1≤𝑖 ≤𝑛 𝜕𝑥 3.2 Điểm kì dị - Định nghĩa: Điểm kì dị siêu mặt bậc hai (S) điểm J cho J tâm (S) J thuộc (S) - Nhận xét: Tọa độ điểm kì dị thỏa mãn hệ phương trình sau: 𝐴𝑥 + 𝑎 = 𝑎 𝑥+𝑎 =0 Ví dụ 1: Trong khơng gian affine ℝ , tìm tâm đường bậc hai (S) có phương trình: 2𝑥 𝑥 + 𝑥 + 3𝑥 − = Gọi F(𝑥 , 𝑥 ) = 2𝑥 𝑥 + 𝑥 + 3𝑥 − = Tọa độ tâm (S) thỏa mãn phương trình 𝜕𝐹 = ⟺ 2𝑥 + = ⟺ 𝑥 = − 𝜕𝑥 𝜕𝐹 = ⟺ 2𝑥 + = ⟺ 𝑥 = − 𝜕𝑥 Vậy I − ; − Ví dụ 2: Trong khơng gian affine ℝ , tìm điểm kì dị bậc hai (S) có phương trình: 𝑥 + 𝑥 + 2𝑥 𝑥 + 4𝑥 − 2𝑥 + = Gọi F(𝑥 , 𝑥 , 𝑥 ) = 𝑥 + 𝑥 + 2𝑥 𝑥 + 4𝑥 − 2𝑥 + = Tọa độ tâm (S) thỏa mãn phương trình 𝜕𝐹 = ⟺ 2𝑥 + 2𝑥 + = 𝜕𝑥 𝜕𝐹 = ⟺ 2𝑥 − = 𝜕𝑥 𝜕𝐹 = ⟺ 2𝑥 = 𝜕𝑥 ⟹ 𝑥 = 0; 𝑥 = 1; 𝑥 = −2 Thay J(0; 1; −2) vào (S) 0+1+0+0−2+1 =0 ⟹ 𝐽 ∈ (S) Vậy J(0; 1; −2) điểm kì dị (S) Phương tiệm cận, đường tiệm cận siêu phẳng kính siêu mặt bậc hai - Định nghĩa (a) Vecto 𝑐⃗ = (𝑐 , 𝑐 … 𝑐 ) phương tiệm cận 𝑐⃗ ≠ 𝑐 𝐴𝑐 = (b) Khi siêu mặt bậc hai (S) có tâm nhất, đường thẳng qua tâm có phương phương tiệm cận gọi đường tiệm cận (S) Khi ta có đường tiệm cận (S) khơng có điểm chung - Định lí 4: Cho hai điểm M1, M2 thay đổi siêu mặt bậc hai (S) cho đường thẳng M1M2 có phương cố định 𝑑⃗ ≠ phương tiệm cận Khi trung điểm M1M2 nằm siêu phẳng qua tâm (nếu có) (S) Siêu phẳng gọi siêu phảng kính (S) liên hợp với 𝑑⃗ hay 𝑑⃗ phương liên hợp với siêu phẳng kính Phương trình siêu phẳng kính 𝑑 (𝐴𝑥 + 𝑎) = ⟺ 𝜕𝐹 𝑑 =0 𝜕𝑥 - Nhận xét Từ định nghĩa chứng minh Định lí ta suy phép biến đổi affine f biến đường tiệm cận S thành đường tiệm cận f (S) Hiển nhiên 𝑓⃗ biến vector phương tiệmcận (phương tiệm cận) thành vector phương tiệm cận (phương tiệm cận) f (S) Hai phương liên hợp S biến thành hai phương liên hợp f (S) Nếu 𝑐⃗ liên hợp với 𝑑⃗ 𝑑⃗liên hợp với 𝑐⃗ (đối với S ) Vector 𝑐⃗ vector phương tiệm cận (S) 𝑐⃗ liên hợp với (đối với S) 4 Mọi phương đặc biệt phương tiệm cận Ví dụ: Trong không gian affine hai chiều thông thường ta có: - Ellipse + - Hyperbola = khơng có phương tiệm cấp − = có hai vector phương tiệm cận 𝑐 ⃗(𝑎, 𝑏) 𝑐 ⃗(𝑎, − 𝑏) Các đường tiệm cận tương ứng 𝑦 = 𝑥 𝑦 = − 𝑥 - Parabola 𝑦 = 2𝑝𝑥 có vector phương tiệm cận 𝑐⃗(0, 1), khơng có đường tiệm cận khơng có tâm Tiếp tuyến siêu mặt bậc hai - Định nghĩa: Đường thẳng ∆ gọi tiếp tuyến siêu mặt (S) nếu: phương ∆ khơng phương tiệm cận (S) có điểm chung (S) ∆ thuộc (S) - Nhận xét (a) Cho điểm 𝐵 = (𝑏 ) ∈ (S) Khi đường thẳng tiếp tuyến (S) qua B nhận vecto 𝑑⃗ ≠ phương (𝑏 𝐴 + 𝑎 )𝑑 = (b) Cho điểm 𝐵 = (𝑏 ) ∈ (S) B khơng điểm kì dị (S) Khi tập tất đường thẳng qua B tiếp tuyến (S) tạo thành siêu phẳng gọi siêu phẳng tiếp diện (S) B có phương trình (𝑏 𝐴 + 𝑎 )(𝑥 − 𝑏) = Ví dụ: Trong khơng gian affine hai chiều thơng thường ta có: - Tiếp tuyến 𝑀 (𝑥 , 𝑦 ) ellipse + = đường thẳng có phương trình 𝑥 𝑥 𝑦 𝑦 + =1 𝑎 𝑏 - Tiếp tuyến 𝑀 (𝑥 , 𝑦 ) hyperbola − = có hai vector phương tiệm cận 𝑐 ⃗(𝑎, 𝑏) 𝑐 ⃗(𝑎, − 𝑏) Các đường tiệm cận tương ứng 𝑥 𝑥 𝑦 𝑦 − =1 𝑎 𝑏 - Tiếp tuyến 𝑀 (𝑥 , 𝑦 ) parabola 𝑦 = 2𝑝𝑥 có vector phương tiệm cận 𝑐⃗(0, 1), khơng có đường tiệm cận khơng có tâm 𝑦 𝑦 = 𝑝(𝑥 + 𝑥 ) 6 Dạng chuẩn tắc siêu mặt bậc hai Phương trình siêu mặt bậc hai 𝔸 có dạng đơn giản hay phức tạp tùy thuộc vào việcchọn hệ tọa độ affine Nói chung phương trình siêu mặt bậc hai 𝔸 có đến (𝑛 + 1)(𝑛 + 2) hạng tử, mục tiêu chọn thích hợp cịn khơng q (𝑛 + 1) hạng tử Định lí khẳng định điều chứng minh định lý cho phép ta chọn mục tiêu affine thích hợp để phương trình siêu mặt bậc hai có dạng đơn giản Trong khơng gian affine n chiều 𝔸 liên kết với không gian vecto 𝔸⃗ với mục tiêu affine cho trước (O, 𝑒 ⃗, 𝑒 ⃗ ), tập hợp tất điểm M có tọa độ thỏa mãn phương trình: 𝑎 𝑥 𝑥 +2 𝑎 𝑥 + 𝑎 = (1) , aij, ai, xi ∈ ℝ (hay tổng quát trường 𝕂), aij = aji aij không đồng thời 0, gọi siêu mặt bậc hai affine xác định phương trình (1) Định lí 5: Bằng cách chọn mục tiêu thích hợp, siêu mặt bậc hai (S) khơng gian affine 𝔸 có phương trình thuộc dạng sau đây: 𝑒 𝑥 = 1, 𝑒 = ±1, ≤ 𝑟 ≤ 𝑛 (𝐷ạ𝑛𝑔 𝐼) 𝑒 𝑥 = 0, 𝑒 = ±1, ≤ 𝑟 ≤ 𝑛 (𝐷ạ𝑛𝑔 𝐼𝐼) 𝑒 𝑥 = 2𝑥 , 𝑒 = ±1, ≤ 𝑟 ≤ 𝑛 − (𝐷ạ𝑛𝑔 𝐼𝐼𝐼) - Định nghĩa: Khi siêu mặt bậc hai (S) khơng gian affine 𝔸 có phương trình dạng I, II, III ta gọi phương trình chuẩn tắc siêu mặt (S) Chứng minh: Giả sử siêu mặt bậc hai (S) có phương trình dạng (1) Xét dạng toàn phương tương ứng 𝐻(𝑥⃗) = 𝑎 𝑥 𝑥 (3) , Theo kết từ Đại số tuyến tính ta tìm phép đổi sở 𝔸⃗ (ứng với phép đổi mục tiêu giữ nguyên gốc 𝔸 ) cho biểu thức tọa độ H đưa dạng chuẩn tắc Khi phương trình (S) mục tiêu có dạng Sử dụng phép đổi mục tiêu phương trình trở thành Ta có trường hợp sau: Trường hợp 𝑎, = ⋯ = 𝑎 = 𝑏 ≠ Xét phép đổi mục tiêu ⎧ ⎪𝑋 = 𝑥̅ −𝑏 𝑏0 ta đưa phương trình (3) dạng I Trường hợp 𝑎, = ⋯ = 𝑎 = 0; 𝑏 = Phương trình (3) có dạng II Trường hợp tồn 𝑎 ≠ Ta giả sử 𝑎, đổi mục tiêu ≠ Sử dụng phép biến 𝑋 = 𝑥̅ 𝑛ế𝑢 𝑖 ≠ 𝑟 + 𝑋 =− 𝑎 𝑥̅ − 𝑏 Ví dụ: Trong khơng gian affine 𝔸 cho siêu mặt bậc hau S có phương trình mục tiêu affine {O, 𝑒 ⃗, 𝑒 ⃗, 𝑒 ⃗} cho trước 𝑥 + 2𝑥 + 𝑥 + 2𝑥 𝑥 + 2𝑥 𝑥 + 2𝑥 + 6𝑥 + = Tìm phương trình dạng chuẩn tắc S mục tiêu affine tương ứng 𝔸⃗ Giải Trước hết xét dạng toàn phương tương ứng 𝔸⃗ 𝐻(𝑥⃗) = 𝑥 + 2𝑥 + 𝑥 + 2𝑥 𝑥 + 2𝑥 𝑥 Ta có : 𝐻(𝑥⃗) = (𝑥 + 𝑥 + 𝑥 ) + (𝑥 − 𝑥 ) + 𝑥 Đặt: 𝑋 =𝑥 +𝑥 +𝑥 𝑋 =𝑥 −𝑥 𝑋 =𝑥 (*) Có nghĩa ta sử dụng phép đổi sở xác định 𝑥 = 𝑋 − 𝑋 − 2𝑋 𝑥 =𝑋 +𝑋 𝑋 =𝑥 (**) Ta đưa biểu thức tọa độ H dạng chuẩn tắc 𝐻(𝑥⃗) = 𝑋 +𝑋 −𝑋 Cơ sở tương ứng {O, 𝑤 ⃗, 𝑤 ⃗, 𝑤 ⃗}; 𝑤 ⃗ = 𝑒 ⃗; 𝑤 ⃗ = −𝑒 ⃗ + 𝑒 ⃗; 𝑤 ⃗ = −2𝑒 ⃗ + 𝑒 ⃗ + 𝑒 ⃗ Xem (**) phép đổi mục tiêu affine 𝔸 , phương trình (S) mục tiêu {O, 𝑤 ⃗, 𝑤 ⃗, 𝑤 ⃗} 𝐻(𝑥⃗) = 𝑋 +𝑋 − 𝑋 + 2𝑋 + 4𝑋 + 2𝑋 + = Dùng phép đổi mục tiêu 𝑋 = √2𝑦 − 𝑋 = √2𝑦 − 𝑋 = √2𝑦 + Ta thu phương trình dạng chuẩn tắc 𝑧 +𝑧 − 𝑧 − = (***) Với mục tiêu affine tương ứng {I, 𝑢 ⃗, 𝑢 ⃗, 𝑢 ⃗} I có tọa độ (−1, −1, 1) mục tiêu cho {O, 𝑒 ⃗, 𝑒 ⃗, 𝑒 ⃗} 𝑢 ⃗ = √2𝑒 ⃗; 𝑢 ⃗ = √2(−𝑒 ⃗ + 𝑒 ⃗); 𝑢 ⃗ = √2(−2𝑒 ⃗ + 𝑒 ⃗ + 𝑒 ⃗) Phương trình (***) phương trình chuẩn tắc (S) - Nhận xét: Nếu siêu mặt bậc hai S có phương trình chuẩn tắc dạng I S có tâm tâm khơng thuộc S Nếu S có phương trình chuẩn tắc dạng II S có tâm tâm thuộc S Nếu S có phươngtrình chuẩn tắc dạng III S khơng có tâm - Định nghĩa: Hai siêu mặt bậc hai không gian affine 𝔸 gọi loại phương trình chuẩn tắc chúng giống (Giống số hệ số -1 số hệ số phương trình trên) - Định lí 6: Hai siêu mặt bậc hai tương đương affine (tức có phép biến đổi affine biến siêu mặt thành siêu mặt kia) chúng loại Chứng minh Giả sử phương trình S mục tiêu {O ; 𝑒 ⃗} phương trình S′ đốivới mục tiêu {O ′ ; 𝑒 ⃗′} phương trình chuẩn tắc hồn tồn giống Xét phép biến đổi affine f biến mục tiêu {O ; 𝑒 ⃗} thành mục tiêu {O′; 𝑒 ⃗′ } ta suy f (S) = S′ Ngược lại, giả sử f phép biến đổi affine f (S) = S′ Gọi {O; 𝑒 ⃗} mục tiêu affine cho phương trình S có dạng chuẩn tắc {O′; 𝑒 ⃗′ } ảnh mục tiêu {O; 𝑒 ⃗} qua phép biến đổi f Khi phương trình chuẩn tắc S ′ mục tiêu {O′; 𝑒 ⃗′} hồn tồn giống phươngtrình chuẩn tắc S mục tiêu {O ; 𝑒 ⃗} Suy S S′ loại Phân loại affine siêu mặt bậc hai Trong 𝔸𝟐 đường bậc hai có phương trình dạng tổng qt 𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑥 + 2𝑎 𝑥 𝑥 + 2𝑎 𝑥 + 2𝑎 𝑥 + 𝑎 = Theo Định lý ta xếp đường bậc hai thành loại sau dựa trênphương trình chuẩn tắc chúng với tên gọi sau: Trong 𝔸𝟑 đường bậc hai có phương trình dạng tổng quát 𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑥 + 2𝑎 𝑥 𝑥 + 2𝑎 𝑥 𝑥 + 2𝑎 𝑥 𝑥 + 2𝑎 𝑥 + 2𝑎 𝑥 + 2𝑎 𝑥 + 𝑎 = Theo Định lý ta xếp đường bậc hai thành 17 loại sau dựa trênphương trình chuẩn tắc chúng với tên gọi sau: II MỘT SỐ BÀI TẬP Bài 1: Trong 𝔸 với mục tiêu chọn, cho đường bậc hai có phương trình là: (S1): 4𝑥 + 𝑥 + 4𝑥 𝑥 + 2𝑥 = (S2): 3𝑥 + 𝑥 − 2𝑥 𝑥 − 2𝑥 + 2𝑥 + = Hãy tìm tâm, điểm kì dị, phương tiệm cận chúng Bài làm: (S1) Gọi F(𝑥 , 𝑥 ) = 4𝑥 + 𝑥 + 4𝑥 𝑥 + 2𝑥 = Tọa độ tâm I (S) thỏa mãn phương trình 𝜕𝐹 = ⟺ 8𝑥 + 4𝑥 = 𝜕𝑥 𝜕𝐹 = ⟺ 2𝑥 + 4𝑥 + = 𝜕𝑥 ⟹ 𝑥 = −1; 𝑥 = Thay I(−1; 1) vào (S1) 4+1−4+2 ≠ ⟹ 𝐼 ∉ (S) Vậy (S1) có tâm I (−1; 1) khơng có điểm kì dị Phương tiệm cận: Gọi 𝑐⃗ = (𝑐 , 𝑐 ) phương tiệm cận (S1) xét 𝑐 𝐴𝑐 = ⟺ 4𝑐 + 𝑐 + 4𝑐 𝑐 = * Nếu 𝑐 ≠ 4+ ⟺ Khi 𝑐 𝑐 +4 𝑐 =0 𝑐 𝑐 +2 𝑐 =0 = −2 Do phương tiệm cận (𝑏, −2𝑏) với 𝑏 ≠ * Nếu 𝑐 ≠ 1+4 𝑐 𝑐 ⟺ Khi +4 𝑐 +1 𝑐 𝑐 =0 𝑐 =0 = − Do phương tiệm cận (𝑡, −2𝑡) với 𝑡 ≠ Vậy phương tiệm cận (S1) (𝑏, −2𝑏) với 𝑏 ≠ (S2) Gọi F(𝑥 , 𝑥 ) = 3𝑥 + 𝑥 − 2𝑥 𝑥 − 2𝑥 + 2𝑥 + = Tọa độ tâm I (S) thỏa mãn phương trình 𝜕𝐹 = ⟺ 6𝑥 − 2𝑥 − = 𝜕𝑥 𝜕𝐹 = ⟺ 2𝑥 − 2𝑥 + = 𝜕𝑥 ⟹ 𝑥 = 0; 𝑥 = −1 Thay I(0; −1) vào (S2) 0+1−0−0−2+1 =0 ⟹ 𝐼 ∈ (S) Vậy (S2) có tâm I(0; −1) có điểm kì dị I(0; −1) Phương tiệm cận: Gọi 𝑐⃗ = (𝑐 , 𝑐 ) phương tiệm cận (S1) xét 𝑐 𝐴𝑐 = ⟺ 3𝑐 + 𝑐 − 2𝑐 𝑐 = ⟺ 2𝑐 + (𝑐 − 𝑐 ) = ⟺ 𝑐 = 𝑐 = ⟹ 𝑐⃗ = 0⃗ (Vơ lí) (S2) khơng có phương tiệm cận Bài 2: Trong 𝔸 với mục tiêu chọn, cho đường bậc hai có phương trình mục tiêu cho là: (S1): 4𝑥 + 2𝑥 + 4𝑥 𝑥 − 6𝑥 + = (S2): 4𝑥 + 𝑥 + 4𝑥 𝑥 − 2𝑥 + = Hãy xác định phương trình dạng chuẩn tắc Bài làm (S1): 4𝑥 + 2𝑥 + 4𝑥 𝑥 − 6𝑥 + = Ta biến đổi (S1) dạng (2𝑥 + 𝑥 ) + (𝑥 − 3) − = Đặt 𝑦 = 2𝑥 + 𝑥 𝑦 =𝑥 −3 hay 1 𝑥 = 𝑦 − 𝑦 − 2 𝑥 =𝑦 +3 Khi ta có phương trình chuẩn tắc 𝑦 +𝑦 −1=0 (S2): 4𝑥 + 𝑥 + 4𝑥 𝑥 − 2𝑥 + = Ta biến đổi (S2) dạng (2𝑥 + 𝑥 ) − 2(𝑥 − 2) = Đặt 𝑦 = 2𝑥 + 𝑥 𝑦 =𝑥 −2 hay 𝑥 = 𝑦 +2 𝑥 = 𝑦 −2𝑦 − Khi phương trình chuẩn tắc (S2) 𝑦 − 2𝑦 =