RÚT GỌN MẶT BẬC HAI TRONG MỤC TIÊU AFFINE VÀ MỤC TIÊU TRỰC CHUẨN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH KHOA TỐN – TIN HỌC  BÀI THUYẾT TRÌNH: RÚT GỌN MẶT BẬC HAI TRONG MỤC TIÊU AFFINE VÀ MỤC TIÊU TRỰC CHUẨN Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 11 năm 2017 MỤC LỤC Rút gọn mặt bậc hai A Đặt vấn đề B Rút gọn mặt bậc hai mục tiêu affine trực chuẩn I Rút gọn mặt bậc hai mục tiêu affine 1.Làm số hạng chéo xy, yz, zx 2.Rút gọn mặt bậc hai dạng tắc 3.Các dạng tắc mặt bậc hai 4.Ví dụ II Rút gọn mặt bậc hai mục tiêu trực chuẩn 1.Làm số hạng chéo xy, yz, zx 2.Rút gọn mặt bậc hai dạng chuẩn tắc .8 3.Các dạng chuẩn tắc mặt bậc hai .11 4.Ví dụ 12 Tài liệu tham khảo .13 A Đặt vấn đề Rút gọn mặt bậc hai Chúng ta quan tâm đến bất biến affine siêu mặt bậc hai, tính chất không thay đổi qua phép biến đổi affin (công thức đổi mục tiêu affine) mà gọi tính chất affine Qua cơng thức đổi mục tiêu ta có phương trình siêu mặt bậc hai Cũng mục tiêu affine mục tiêu trực chuẩn vậy, phương trình siêu mặt bậc hai thay đổi qua phép biến đổi để đưa có phương trình bậc hai Qua phép biến đổi này, tức chọn mục tiêu phù hợp chuyển phương trình bậc hai dạng tổng quát dạng đơn giản có tên gọi riêng cho Như vậy, từ phương trình tổng quát siêu mặt bậc hai (trong mục tiêu affine mục tiêu trực chuẩn), khó mà biết tính chất đặc trưng khó nghiên cứu nó; nhiều trường hợp việc chọn mục tiêu thích hợp thay cho mục tiêu cũ giúp ta nghiên cứu siêu mặt bậc hai thuận tiện Trong phần này, chọn mục tiêu thích hợp (gọi rút gọn siêu mặt bậc hai) để đưa phương trình tổng quát siêu mặt bậc hai mục tiêu affine, mục tiêu trực chuẩn dạng tắc B.Rút gọn mặt bậc hai mục tiêu affine trực chuẩn I Rút gọn mặt bậc hai mục tiêu affine Trong không gian affine A3 , cho phương trình S : F(x, y, z)  a 11 2 x222 a y33  a z12  2a 23 xy  2a13 yz  2a xz 2 2a x3  2a y  2a z  a Với a , , a , a , a ,a a 11 22 33 12 23  (1)   0,0,0,0,0,0  13 Tập hợp điểm thỏa mãn P a g e | 13 F(x, y, z)  mặt bậc hai 1.Làm số hạng chéo xy, yz, zx Trường hợp 1: Các hệ số a11 , a22 , hai ba hệ số a33 Khơng tính tổng qt, giả sử a , a   0, a 11 22 a11 , a22 ,a33 12 Ta đổi sang mục tiêu theo công thức: x  x y, y  x y, z  z Khi đó: 2a xy  2a x  y   x   y  2a x2  2a y2 12 12 12 12 Như vậy, phương trình S  mục tiêu có hệ 2a1  chuyển trường số x2 hợp (nếu có) Trường hợp 2: Nếu a11 , a22 , a33 khác Khơng tính tổng qt, giả hệ số a11  a12  Khi đó: sử    a a 2 a2 2 12 a x  2a xy  x  xy  12  12 y x  a a y   11 12 11 a 11 a 1 a    a  Ta đổi sang mục tiêu theo công thức: x  x  12 y, y  y, z  z a11 Như vậy, mục tiêu phương trình S  khơng có số hạng xy Thực tương tự ta có phương trình S  khơng có số hạng yz, zx P a g e | 13 Rút gọn mặt bậc hai | Nhóm 2.Rút gọn mặt bậc hai dạng tắc Với cách làm số hạng chéo khơng tính tổng qt ta ln giả sử phương trình S  có dạng: S : F  x, y, z  a 11 y  2a z  a x222  a 33 y2  a 1z2  2a x  2a  (2) Trường hợp 1:  11 a22 a aa Khi a    a    a x2  x y2  2 y z2  z  a  a a   33  11  22   a11  a22  a33        a 2 a a a2 a2 a2 2 2 a x   y      3 a z a a 11 22 33 a a a  a  a a 33 11 22 33 11   22    a    a  a  a2 a a Đặt x x y a11 , y z , z a22 a33 Khi   11a x2 22  a y2  a k a (4)  a11 a22 a33 z2  k Nế a33 a11 a22 2 2 k  ta có  x  y  z2  (5)   u k k k a33 a11 a22 Đặ k x , y  k y , z  k z  x t     Khi dựa vào dấu a11 , a22 , a33 , k ta đưa phương trình (5) dạng sau đây: STT Phương trình tắc x 2  y 2  z 2  Tên gọi Ellipxoit thực x 2  y 2  z 2  1 Ellipxoit ảo x 2  y 2  z 2  Hypeboloit tầng x 2  y 2  z 2  Hypeboloit hai tầng Nế k  ta a x2  a y2  a (5’) u có z2  11 22 Đặt x   x, y   y, z   33 z Khi dựa vào dấu a11 a22 a33 a ,a  , a ta đưa phương trình (5’) dạng sau đây: 11 22 33 STT Phương trình tắc x 2  y 2  z 2  Tên gọi Nón ảo x 2  y 2  z 2  Nón thực Trường hợp 2: a a 0  0, a   a 11 22 33 a2    a x2  x y 2 y  2a z  a  a  22  11   a11  a22    a2 a2   a 2 a 2 22 a x    2a z    (6) y  a a   11 a     Đặt x x Khi (6’) 11 a a11  22 a   ,y y 6  a 11  a a22    , z z k x2 22  a y2  2a z  k a0 a a a 11  a 2 a11 a22 Rút gọn mặt bậc hai  Nếu a  đặt x  a11 x, y   a22 y, z   a z  k dựa vào dấu a , a ,a 11 2a3 ta có đưa phương trình (6’) dạng sau đây: STT Phương trình tắc x 2  y 2  2z   Tên gọi Elliptic paraboloic x 2  y 2  2z   Hyperbolic paraboloic 22  Nếu a  phương trình (6) đưa a x  a y  k (7)  11 22 Xét k  , đặt x  a11 x, y   a22 y, z   z dựa vào dấu a ,a k k 11 đưa phương trình (7) dạng sau đây: 22 , k ta  STT Phương trình tắc x 2  y 2  Tên gọi Trụ elliptic 10 x 2  y 2  1 Trụ elliptic ảo 11 x 2  y 2  1 Trụ hyperbolic Xé   k , phương trình 7 t y2  a x2  a (8) 11 Đặt x   a11 x, y   a22 y, z   dựa vào dấu a , a ta đưa phương trình 11 22 z (8) dạng sau đây: STT 12 Phương trình tắc x 2  y 2  Tên gọi Cặp mặt phẳng cắt 13 x 2  y 2  Cặt mặt phẳng ảo cắt Trường hợp 3: a  a  0, a 0 11 33 22  a 2 a2 a      a  y2  2 y   2a x  2a z  a  y   2a x  2a z   (9) a 0 a  22 3 a22 a22 a  22   22  a2 a         ,z Đặ x x, y a0 k t y z a a Khi 9  a 22 22 22 y2 12a x  2a (10) z  k   Nếu a , a khơng đồng giả sử a  Khi  a22 a3 k  10  y2   x  z    (11) a1 a1 2a1   a3 k a22 z  , Đặ x   x  a1 y, z   z t y a1 2a1 Khi 11  y 2  2x   STT 14  Phương trình tắc Tên gọi Trụ Parabolic y 2  2x   Nếu a  a  phương trình 10  a y  k  (12) 22 Rút gọn mặt bậc hai  Đặ x   x , y  t   12  Xét k  Khi a22 k y2  (13) a22 k y, z   z Khi (13) trở thành hai dạng sau đây: STT 15 Phương trình tắc y2   16 y2   Xét k  Khi đặt STT 17 x   x, y  Tên gọi Cặp mặt phẳng song song Cặp mặt phẳng ảo song song y, z   z Do (12) trở thành a22 Phương trình tắc y2  Tên gọi Cặp mặt phẳng trùng 3.Các dạng tắc mặt bậc hai Bằng cách chọn hệ trục tọa độ thích hợp, ta đưa phương trình mặt bậc hai tổng quát 17 dạng sau đây: 4.Ví dụ STT Phương trình tắc x2  y2  z2  Tên gọi Mặt ellipxoit x2  y2  z2  1 Mặt ellipxoic ảo x2  y2  z  Mặt hypeboloit tầng x2  y2  z2  Mặt hypeboloit hai tầng x2  y2  z  Mặt nón ảo x2  y2  z  Mặt nón x2  y2  2z  Mặt paraboloit eliptic x2  y2  2z  Mặt paraboloit hypebolic x2  y2  Mặt trụ elliptic 10 x2  y2  1 Mặt trụ elliptic ảo 11 x2  y2  1 Mặt trụ hypebolic 12 x2  y2  13 x2  y2  Cặp mặt phẳng ảo cắt Cặp mặt phẳng cắt 14 y2  2x  Mặt trụ parabolic 15 y2  16 y2  1 17 y2  Cặp mặt phẳng song song Cặp mặt phẳng ảo song song Cặp mặt phẳng trùng Trên thực tế, ta không áp dụng bước rút gọn Bởi phức tạp trình biến đổi mà mục tiêu affine ta sử dụng phép biến đổi miễn đưa dạng tổng quát dạng tắc Như vậy, để rút gọn nhanh mặt bậc hai, ta sử dụng đẳng thức mà học lớp Chẳng hạn: Rút gọn mặt bậc hai  a  b 2  a  2ab  b  a  b  c 2  a  b  c  2  2  2ab  2bc  2ac Ví dụ Trong khơng gian A3 , rút gọn phương trình bậc hai sau dạng chuẩn tắc: a S1 b  : 4x  y  2yz  2z   S  : x  y  9z  2xy  6xz  6yz   2 2 2 Giải: a 4x  y  2yz  2z    4x  y  2yz  z2  z2  2z   2 2  4x   y  z 2   z  12   x   Thực phép đổi tọa X  độ: x Y    Z   y  z 2   z  1 1 x  X  y  z  y  2Y  2Z  2 z  2Z  1  z  1  Khi đó, phương trình tắc của1 X2  Y  Z2  (Hypeboloit tầng) S  : b x  y  9z  2xy  6xz  6yz     x  y  3z 2  2   x  y  3z 2  1 Thực phép biến đổi mục tiêu:  x  y  X  3z Y   y Z   z  x    y  Y z   Z 2X  Y  3Z Khi phương trình tắc của2 S  là: X2  1 (cặp đường thẳng ảo song song) Ví dụ Trong khơng gian A3 , rút gọn phương trình bậc hai sau dạng chuẩn tắc: S : x  5y2  z2  2xy  6yz  2xz  2x  6y  2z  (1) Giải:  1  x  2x  y  z  1   y  z  12   y  z  12  5y  z  6yz  6y  2z  2   x  y  z  12  4y  4yz  8y  4z     x  y  z  12  4y  2.2y  z     z  2   z  2  4z   1   x  y  z  12   2y  z  2  z    x  y  z  12   2y  z  2  z 1 5 Thực phép đổi mục tiêu:  X   x  y  z  1 22y  z  x   5X  Z Y  15 2 5 Y Z2   y 2  5Z z z    Khi phương trình tắc X2  Y  Z2  (hypeboloit tầng) Y   Z   S  Rút gọn mặt bậc hai II Rút gọn mặt bậc hai mục tiêu trực chuẩn Trong không gian E3 với mục tiêu trực chuẩn Phương trình tổng quát mặt bậc hai có dạng: S : F(x, y, z) 11a x222 a y332  a z122  2a 23xy  2a13 yz  2a1 xz 2 2a x3   (1) 2a y  2a z  a Với a , , a , a , a ,a a 11 22 33 12   0,0,0,0,0,0  23 13 Làm số hạng chéo xy, yz, zx Làm số hạng chéo xy Thực phép quay quanh Oz góc  , ta có cơng thức đổi trục: x  xcos  ysin , y  xsin  ycos , z  z (2) Thế (2) (1) ta được: a x2  a y2  a z2  2a xy  2a yz  2a xz  2ax  2a y  (3) 2a z  a  11 22 Trong a  33 12 23 a  a sin 2 22 11 a a sin 2 a 12 12 Để (3) khơng có số hạng xy , ta chọn  cho a  a  cos a 12 13 12 22 hay a22  a11 cos   cot 2  11 2a1 Tương tự ta đổi hệ trục tọa độ để phương trình mặt khơng có số hạng yz, zx Rút gọn mặt bậc hai dạng tắc Với cách làm số hạng chéo khơng tính tổng qt ta ln giả sử phương trình S  có dạng: S : F  x, y, z  a y  2a z  a 11 x222  a 33 y2  a 1z2  2a x  2a  (4) Trường hợp 1:11 a22 a a Khi  a 2   a a a2 a2 a2 2 2 4   x     y     z      (5) a a a a 11 22 33  a a a a  a a 33 11 22 33 11   22    a    a  a  a2 a  a Đặt x x y , y z , z k a  a11 a22 a33 Khi   11a x2 22  a y2  a (6) a11 a22 a33 z2  k x2 y2 z2 Nế k  ta có       (7) u k k k a1 a2 a33 k k Đặt a2  , b2  , c2  k a11 a22 a33  Khi dựa vào dấu a11 , a22 , a33 , k ta đưa phương trình (7) dạng sau đây: STT Phương trình tắc x2 y z2 1   2 a b2 c x2 y z2   1 2 a b c Tên gọi Ellipxoit thực Ellipxoit ảo Rút gọn mặt bậc hai y x2 z2 Hypeboloit tầng 1   a2 b2 c2 x2 y z2 Hypeboloit hai tầng 1   a2 b2 c2 2  Nế 11 a x 22 a y  a z  (8) k  ta có    33 u , a ta đưa 1 Đặ a2  Khi dựa vào dấu phương , b2  , c2  t a , a a11 a22 a33 11 22 33 trình (8) dạng sau đây: STT Phương trình tắc Tên gọi y x2 z2 Nón ảo 0   a2 b2 c2 x2 y z2 Nón thực 0   2 a b c Trường hợp 2: a a 0  0, a 11 22 33   a 2 a a2 a2 2  4  a  x     y   2a z    (9) a a 22  11  a 11   a a a 22 a a a a 11            2 Đặt x x , y y , z z k a0 a11 a22 a11 a22 Khi 9  a 11 x2 22  a y2  2a z  k (10)  Nếu a  10  a x2  a  z k  y2  2a 11  Đặt a2  ,a a11  , b2  p  (11) 2a3   x   x, y   y, z   z  a22 Dựa vào dấu a11 , a22 , a3 STT 22  k 2a3 ta có đưa phương trình (11) dạng sau đây: Phương trình tắc Tên gọi x xa y 2 2pz by Eliptic paraboloit Hyperbolic paraboloit 2        2pz a b 2 Nếu a3  phương trình (10) đưa 11 a x  a y , k ta đưa phương  k (12) 1 , b2   Xét k  , đặt a2  dựa vào dấu a , a a11 a22 11 22 trình (12) dạng sau đây: STT Phương trình tắc x2 y  1   yb xa 2 2 2 a b Tên gọi Trụ elliptic 10 Trụ elliptic ảo Rút gọn mặt bậc hai x2 11 y Trụ hyperbolic  1 a b  Xé 2   k , phương trình 12  a x  a y  t 11 dựa vào dấu a , a ta đưa phương trình (12) , b2  Đặt a2  a11 a2 dạng sau đây: 11 22 STT Phương trình tắc x2 12 Tên gọi y Cặp mặt phẳng cắt  0 a b 2 y x 13 Cặt mặt phẳng ảo  0 2 a b Trường hợp 3: a  a   0, a 11 33 22 a 2 a2   4  a  y   2a x  2a z   (13) a  a a22 22  a      a   2 ,z Đặ x x, y a0 k t y z a a 22 22 13  a Khi 22 y2 12a x  2a z  k  (14) Dùng phép quay quanh Oy theo công thức x  x cos  z sin, y  y , z  xsin  z cos Khi phương trình (14) trở thành: a y 2   a cos  a sin  x   2a a sin  a cos  z   k  (15) 22 3 Chọn  cho a1 sin  a3 cos  Khi 15  a y 2  a cos  a sin  x   k  (16) Đặt b  a cos  a 22  Nếu b  Đặt x   x   2  2b k x 0 b (do a22  ) đặt , y   y , z   z  Khi b p a 22 16  a sin y 2  2bx    y 22 phương trình (17) đưa dạng sau: a22 (17)  STT Phương trình tắc Tên gọi 14 Trụ Parabolic y 2  2px   Nếu b  phương trình 16  a y  (18) k0 2 Ta đưa (18) dạng sau: STT 15 Phương trình tắc y2    16 y2    17 y2  Tên gọi Cặp mặt phẳng song song Cặp mặt phẳng ảo song song Cặp mặt phẳng trùng Rút gọn mặt bậc hai Các dạng tắc mặt bậc hai Bằng cách chọn mục tiêu thích hợp, ta đưa phương trình mặt bậc hai tổng quát 17 dạng sau đây: STT 14 Phương trình tắc y x z 2 2  2 b cz xa y 2 2 2 2 ax by c z 2 2 2 2 a by cz x 2 2 2 2 xa by cz 2 2 2 2 a by cz x 2 2 2 2 y c xa b 2 2  2pz 2 a by x 2 2  2pz a2 x b2 y 2 2 2 b xa y 2 2 ax2 by 2 2 2 a b x2  y a2 b2 y x 2 2 2 a b y2  2px  15 y2    16 y2    17 y2  10 11 12 13 Tên gọi Mặt ellipxoit Mặt ellipxoic ảo Mặt hypeboloit tầng Mặt hypeboloit hai tầng Mặt nón ảo Mặt nón Mặt paraboloit eliptic Mặt paraboloit hypebolic Mặt trụ elliptic Mặt trụ elliptic ảo Mặt trụ hypebolic Cặp mặt phẳng ảo cắt Cặp mặt phẳng cắt Mặt trụ parabolic Cặp mặt phẳng song song Cặp mặt phẳng ảo song song Cặp mặt phẳng trùng Rút gọn mặt bậc hai Ví dụ Ví dụ: Trong không gian với hệ trực chuẩn, rút gọn mặt bậc hai dạng chuẩn tắc a x2  y2  4z2  2xy  4xz  4yz  6z   b x2  y2  2xy  2x  z  Giải: a x2  y2  4z2  2xy  4xz  4yz  6z   *  Thực phép quay quanh Oz góc  x   450 z 2 x  y, y  Khi (*) trở thành 2x2  4z2  2xz  6z   * * 2 x  y, z       3 Thực phép quay quanh Oy góc   arcsin  ,    ;   3    Suy sin   , cos  3 3 Công thức đổi trục x  x z  , y  y  , z    x z 3 3 Khi ** trở thành 6z   3x   6z     2  3x   6 z        2 z x0      3Z2  X  (Trụ Parabolic) Đặt X  x , Y  y , Z  z   Khi đó, 2 2 ta có x  x  y, y  x  y , z  z b x2  y2  2xy  2x  z  (1) 2 2 2 Thực phép quay quanh Oz góc   45  Khi 1  2x2  2x  2y  z   x    Thực phép quay quanh Ox góc   arcsin     2y  z  4  3 2    ,    ,0   Suy sin       , cos  3 Công thức đổi trục x  x  , y   2 y 3 z , z    2 y  z 3 Khi đó, ** trở thành x    3y    x   y 0     12          3 Đặt X  x   ,Y y ,Z  z  Khi X2  Y  (Trụ Parabolic) 12 Rút gọn mặt bậc hai Tài liệu tham khảo 1.TS Nguyễn Hà Thanh, Bài giảng Hình học giải tích 2.Lê Tuấn Hoa – Viện toán học, Viện KH & CN Việt Nam, Đại số tuyến tính qua ví dụ tập, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2006