Tailieumontoan com Điện thoại (Zalo) 039 373 2038 CÔNG PHÁ MÔN TOÁN 8+ ĐỀ THI VÀO 10 (Liệu hệ tài liệu word môn toán SĐT (zalo) 039 373 2038) Tài liệu sưu tầm, ngày 15 tháng 8 năm 2023 https //tai[.]
Tailieumontoan.com Điện thoại (Zalo) 039.373.2038 CƠNG PHÁ MƠN TỐN 8+ ĐỀ THI VÀO 10 (Liệu hệ tài liệu word mơn tốn SĐT (zalo) : 039.373.2038) Tài liệu sưu tầm, ngày 15 tháng năm 2023 Website: tailieumontoan.com Môc lôc Trang PHẦN MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG PHẦN MỘT SỐ SAI LẦM HỌC SINH THƯỜNG MẮC KHI GIẢI TOÁN PHẦN TUYỂN TẬP 50 ĐỀ THI VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 521 Website: tailieumontoan.com PHẦN I MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG I RÚT GỌN VÀ TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC Kiến thức: • A xác định ⇔ A ≥ • A2 = A • Với A.B ≥ B ≠ AB B A A B = B B • Với A ≥ B ≥ A2 B = A B • Với B > • Với A < B ≥ A2 B = − A B • Khử thức mẫu số: • Với A ≥ B ≥ A B = • Với A < B ≥ A B = − A2 B A2 B A = B ( ) ( A ≥ 0, B ≠ 0) ( ) ( A, B ≥ 0, A ≠ B ) C AB C = A − B2 A±B C AB C = A − B2 A±B II PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Phương trình ax + bx + c= ( a ≠ ) (1) ∆ '= b '2 − a.c với b = 2.b ' Biệt thức ∆= b − 4ac • Nếu ∆ < , phương trình vơ ngiệm • Nếu ∆ ' < , phương trình vơ ngiệm • Nếu ∆ =0 , phương trình có nghiệm kép • Nếu ∆ ' =0 , phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = − • b 2a x1 = x2 = − Nếu ∆ > , phương trình có hai nghiệm • phân biệt: = x1 • −b + ∆ −b − ∆ = ; x2 2a 2a b' a Nếu ∆ ' > , phương trình có hai nghiệm phân biệt: = x1 −b '+ ∆ ' −b '− ∆ ' = ; x2 a a Nếu x1 ; x2 hai nghiệm phương trình (1) theo hệ thức Vi-ét: b − x1 + x2 = a xx =c a • Cho phương trình bậc hai: ax + bx + c= ( a ≠ ) ∗ Nếu phương trình có a + b + c = phương trình có nghiệm x1 = x2 = c a ∗ Nếu phương trình có a − b + c = phương trình có nghiệm x1 = −1 x2 = − Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 c a Website: tailieumontoan.com • Nếu hai số có tổng S tích P hai số nghiệm phương trình: với S − P ≥ X − SX + P = • Phương trình quy phương trình bậc hai: Các phương trình chứa ẩn mẫu, phương trình bậc cao (bậc ba trở lên), phương trình chứa ẩn dấu phép biến đổi thích hợp đưa phương trình bậc hai dạng phương trình (1) Giải phương trình bậc hai suy nghiệm phương trình cho • c ax + by = dùng phương pháp phương pháp c' a ' x + b ' y = Hệ phương trình bậc hai ẩn cộng đại số để giải hệ phương trình • Một số hệ phương trình quy phương trình bậc hai: Có số hệ phương trình giải ta thường dùng phương pháp đặt ẩn phụ để quy việc giải hệ phương trình giải phương trình bậc hai III GIẢI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH • Khi giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình, ta thực theo ba bước sau: Bước 1: Lập phương trình hệ phương trình gồm: ∗ Chọn ẩn (đơn vị, điều kiện ẩn) ∗ Biểu thị đại lượng chưa biết biết theo ẩn ∗ Lập phương trình hệ phương trình biểu thị mối quan hệ đại lượng tốn Bước 2: Giải phương trình hệ phương trình vừa tìm Bước 3: So sánh, đối chiếu kết với điều kiện kết luận IV HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ • Hàm số y =ax + b (a ≠ 0) xác định với x ∈ Trên tập số thực hàm số đồng biến a > nghịch biến a < Đồ thị hàm số y =ax + b (a ≠ 0) đường thẳng có hệ số góc a Xét hai đường thẳng ( d ) : y =ax + b (a ≠ 0) ( d ') : y =a ' x + b '( a ' ≠ 0) có mối tương giao: a ' b ≠ b ' ( d ) / / ( d ') ⇔ a = a ' b = b ' ( d ) ≡ ( d ') ⇔ a = ( d ) cắt ( d ') ⇔ a ≠ a ' • Hàm= số y ax ( a ≠ ) xác định với x ∈ ∗ Với a > hàm số đồng biến x > nghịch biến x < ∗ Với a < hàm số đồng biến x < nghịch biến x > • Hàm= số y ax ( a ≠ ) parabol qua gốc tọa độ nhận trục Oy làm trục đối xứng Liên hệ tài liệu word tốn SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com • Cho đường thẳng ( d ) : y =mx + n (m ≠ 0) parabol ( P = ) : y ax ( a ≠ ) Xét phương trình hồnh độ giao điểm ( d ) ( P ) : ax = mx + n ⇔ ax − mx − n = ( d ) khơng có điểm chung với ( P ) ⇔ ( *) phương trình (*) vơ nghiệm ( d ) tiếp xúc với ( P ) ⇔ phương trình (*) có nghiệm kép ( d ) cắt ( P ) ⇔ phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt V HÌNH HỌC Hệ thức tam giác vuông Một tam giác ABC vuông A, đường cao AH (hình 1) Ta có: • AB = BH BC AC = CH BC • AH = HB.HC • AH BC = AB.AC • 1 = + 2 AH AB AC • sin B = AC AB AC AB = ; cos B = ; tan B = ;cot B BC BC AB AC • α góc nhọn sin α + cos α = • sin α cos α , β hai góc nhọn α + β = 90°= = β ; tan α cot β Đường trịn • Đường trịn dây cung: (hình 2) - Trong dây đường trịn, dây lớn đường kính - Trong đường trịn đường kính vng góc với dây qua trung điểm dây - Trong đường trịn, đường kính qua trung điểm dây khơng qua tâm vng góc với dây • Tiếp tuyến đường trịn (hình 3) - AB, AC tiếp tuyến đường tròn (O) B C AB = AC AO phân giác BAC OA phân giác BOC Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com • Vị trí tương đối hai đường trịn (hình 4) - Hai đường trịn ( O; R ) ( O ', r ) với R ≥ r Cắt ⇔ R − r < OO ' < R + r Tiếp xúc ⇔ OO ' =+ R r Tiếp xúc ⇔ OO ' =− R r Các loại góc liên quan đến đường trịn Định nghĩa Tên góc Hình vẽ Cơng thức tính số đo Góc có đỉnh trùng với tâm Góc tâm đường tròn sđ AOB = sđ AmB gọi góc tâm Góc nội tiếp góc có đỉnh Góc nội tiếp nằm đường trịn = sđ BC sđ BAC cạnh chứa hai dây cung đường trịn Góc tạo tia tiếp tuyến = sđ sđ BAx AB dây cung Góc có đỉnh bên = sd BnC + sd AmD sđ BEC đường Liên hệ tài liệu word tốn SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com trịn Góc có đỉnh bên = sd BC − sd AD sđ BEC ngồi đường trịn Cơng thức tính đường trịn Hình vẽ Cơng thức tính Độ dài đường trịn C = 2π R hay C = π d Độ dài cung tròn l= Diện tích hình trịn S = π R2 Diện tích hình quạt S quat = π Rn 180 π R2n 360 hay S quat = lR Chứng minh tứ giác nội tiếp • Tứ giác có bốn đỉnh nằm đường tròn gọi tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt tứ giác nội tiếp) • Một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện 180° tứ giác nội tiếp đường trịn • Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại góc α nội tiếp đường trịn • Tứ giác có bốn đỉnh cách điểm (mà ta xác định được) nội tiếp đường trịn Điểm gọi tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com • Chứng minh phương pháp phản chứng VI BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ • a > b ⇔ a −b > • a > b, c > ⇒ ac > bc • a > b, b > c ⇒ a > c • a > b, c < ⇒ ac < bc • a >b ⇔ a+c >b+c • a > b > 0, c > d > ⇒ ac > bd • a > b ⇔ a−c > b−c • a > b > ⇒ a n > b n ( n ∈ *) • a >b>0⇒ a > b • Bất đẳng thức Cơ-si cho hai số khơng âm a b ta có a + b ≥ ab Dấu đẳng thức xảy a =b • Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất: ∗ Để chứng tỏ max f ( x ) = m, ta chứng minh f ( x ) ≤ m ∀x thuộc tập xác định f ( x ) đồng thời có giá trị x = x0 thuộc tập xác định cho f ( x0 ) = m ∗ Để chứng tỏ f ( x ) = m, ta chứng minh f ( x ) ≥ m ∀x thuộc tập xác định f ( x ) đồng thời có giá trị x = x0 thuộc tập xác định cho f ( x0 ) = m Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com PHẦN II MỘT SỐ SAI LẦM HỌC SINH THƯỜNG MẮC PHẢI KHI GIẢI TOÁN VÀ CÁCH KHẮC PHỤC I LỖI THƯỜNG GẶP KHI LÀM BÀI CẦN TRÁNH Kĩ trình bày • Một số lỗi trình bày thường gặp: Viết chữ xấu, cẩu thả, viết không rõ ràng dễ gây nhầm lẫn số, ký hiệu… Trình bày lộn xộn, không mạch lạc, ý tưởng không rõ ràng gây khó hiểu cho giám khảo • Cách khắc phục: Viết rõ ràng, cẩn thận sẽ, tránh tẩy xóa Giải nháp ngồi bước xếp bước thực cẩn thận Trình bày nội dụng rõ ràng, vẽ hình rõ ràng Khơng đọc kĩ đề • Nhiều học sinh đọc thấy đề cảm thấy đề dễ dàng nên không đọc lại đề kỹ dẫn đến nhầm lẫn giả thiết, không nắm đầy đủ yêu cầu đề bài, chưa hay thiếu kết luận dẫn đến việc bị trừ điểm thành phần 0,25 sai đề, lạc hướng • Cách khắc phục: Hãy ghi nhớ, cho dù bạn có kiến thức tốt đề thi dàng so với bạn đọc kỹ đề, làm cẩn thận nhằm: Xác định xác giả thiết đề bài, đặt điều kiện cần thiết Thực đầy đủ yêu cầu đề Nên làm phần kết luận cho câu để kiểm tra lại xem thực hết yêu cầu câu hỏi chưa So sánh nghiệm với điều kiện đặt Chép kiện đề vào giấy thi sai • Đơi lỗi chủ quan việc chép lại đề vào giấy thi bị sai khiến cho bạn có làm sai lệch không với đề thi chắn điểm thi bạn bị trắng • Cách khắc phục: Dành lại chút thời gian rà soát lại đề thi chép tờ giấy thi trước sử dụng chúng Không quên kiểm tra lại kết bước quan trọng kết sử dụng cho nhiều phần khác làm Lỗi gạch xóa thiếu khoa học • Lỗi thường gặp: Làm sát câu sau với câu trước Gạch bỏ xóa cách cẩu thả Viết chen phần sửa với phần gạch bỏ dẫn tới dễ bị chấm sót Khơng đánh số thứ tự câu làm Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Bỏ trống nhiều chỗ giấy thi, làm câu kéo dài nhiều nơi làm Những điều gây tính thẩm mỹ thi, cảm tình giám khảo, dễ dẫn tới bị chấm sai, chấm sót cộng điểm thiếu • Cách khắc phục: Hãy cố gắng tránh gạch xóa bài, muốn xóa khơng dùng bút xóa hay gạch bỏ cẩu thả Hãy dùng thước gạch chéo phần cần bỏ viết lại phần vào phía thi Không nên viết kế bên chèn lên phần vừa gạch bỏ Tránh bỏ trống giấy thi nhiều (làm từ câu dễ đến khó để tránh việc bỏ đoạn trắng) Sử dụng ký hiệu tùy tiện, khơng giới thiệu • Lỗi thường gặp: Sử dụng ký hiệu mà giải thích trước ký hiệu Làm q vắn tắt, khơng giải thích, thiếu lập luận Làm dài dòng, viết biến đổi lặt vặt vào dẫn tới làm bị rối phức tạp • Cách khắc phục: Cần đảm bảo yêu cầu làm toán cần có lời giải ngắn, đơn giản, dễ hiểu để người đọc hiểu bạn làm Chọn phương pháp giải đơn giản tránh phức tạp cầu kỳ, thời gian Nên đặt ký hiệu diễn giải ký hiệu lần sử dụng II MỘT SỐ LỖI SAI TRONG CÁC DẠNG BÀI CẦN TRÁNH DẠNG 1: Tìm x để biểu thức P ≥ a P ≤ a, P > a, P < a Ví dụ 1: Cho P = x −1 với x ≥ 0, x ≠ Tìm x để biểu thức P ≥ x −1 • Sai sót 1: x −1 ≥ ⇔ x − ≥ x − ⇔ x ≥ ⇔ x ≥ x −1 • Sai sót 2: x −1 x −1 − x +1 ≥1⇔ ≥0 x −1 x −1 ⇔ • ( ) x ≥ ⇔ x > x ≥ ⇔ x > x −1 Cách giải đúng: x −1 x −1 − x +1 >1⇔ ≥0 x −1 x −1 ⇔ x =0 x = x ≥0⇔ ⇔ x − > x > x −1 x > ( ) Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com −6 (3) ⇔ x1 − x2 = −12 (do (1)) ⇔ x1 − x2 = Từ (1) (3) ta có: x1 = m−3 −2, x2 = Thay vào (3) ta được: ( −2 ) = ⇔m= −5 , thỏa mãn điều kiện Vậy m = −5 Câu IV Ta có DA B = sđ D B (góc nội tiếp) BD E = sđ D B (góc tiếp tuyến dây cung) = BDE Suy DAB Xét ∆DMB ∆AMD có: chung, DMA = BDM (chứng minh trên) DAM Nên ∆DMB ∽ ∆AMD (g.g) ⇒ MD MA = hay MD = MA.MB (1) MB MD Tương tự ta có: ∆EMB ∽ ∆AME ⇒ ME MA = hay ME = MA.MB (2) MB ME Từ (1) (2): MD = ME hay M trung điểm DE BDM BEM Ta có DAB = = , EAB + PBQ = + EAB + PBQ = + BEM + DBE = ⇒ PAQ DAB BDM 180° = ⇒ Tứ giác APBQ nội tiếp ⇒ PQB PAB = BDM = BDM suy PQB Kết hợp với PAB Hai góc vị trí so le nên PQ song song với DE Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Câu V Đặt y = 4x + x2 + Khi ta có y ( x + 1) = x + ⇔ y.x − x + ( y − 3) = (1) Ta tìm điều kiện y để (1) có nghiệm Nếu y = (1) có nghiệm x = − Nếu y ≠ , (1) có nghiệm ⇔ ∆=′ 22 − y ( y − 3) ≥ ⇔ y − y − ≤ ⇔ −1 ≤ y ≤ Kết hợp lại (1) có nghiệm ⇔ −1 ≤ y ≤ Theo giả thiết y số nguyên âm ⇔ y = −1 Khi thay vào ta có x = −2 Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com ĐỀ SỐ 48 ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 x Câu I Cho biểu thức A = − + : với x > 0, x ≠ − x − − + x x x x 1 Rút gọn biểu thức A Tính giá trị A khi= x 2 + Câu II Cho phương trình x + ax + b + = với a, b tham số Giải phương trình a = b = −5 Tìm giá trị a; b để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn điều kiện: x1 − x2 = 3 x1 − x2 = Câu III Một thuyền chạy xi dịng từ bến sơng A đến bến sơng B cách 24km Cùng lúc đó, từ A bè trơi B với vận tốc dịng nước 4km/h Khi đến B thuyền quay lại gặp bè địa điểm C cách A 8km Tính vận tốc thực thuyền Câu IV Cho đường tròn ( O; R ) đường thẳng d khơng qua O cắt đường trịn hai điểm A, B Lấy điểm M tia đối tia BA kẻ hai tiếp tuyến MC, MD với đường tròn (C, D tiếp điểm) Gọi H trung điểm AB Chứng minh điểm M, D, O, H nằm đường tròn Đoạn OM cắt đường tròn I Chứng minh I tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD Đường thẳng qua O, vuông góc với OM cắt tia MC, MD thứ tự P Q Tìm vị trí điểm M d cho diện tích tam giác MPQ bé Câu V Cho số thực dương a,b,c thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức abc P= ( a + b )( a + c ) Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com ĐÁP ÁN CHI TIẾT Câu I x −1 : x +1 Ta có A = = x x − x − ( x= 2 + ⇔ x= ) ( ) x +1 x −1 x −1 = x x +1 x 2 +1 ⇔ x= nên A + 1= 2+2 +2 +1 Câu II Khi a = b = −5 ta có phương trình: x + x − = Do a + b + c = nên phương trình có nghiệm x1 = 1, x2 = −4 Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 ⇔ ∆= a − ( b + 1) > (*) −a x + x = Khi theo hệ thức Vi-ét ta có (1) x1 x2= b + x1 − x2 = x1 − x2 = Bài toán yêu cầu ⇔ 3 9 x1 − x2 = ( x1 − x2 ) + x1 x2 ( x1 − x2 ) = x − x = ⇔ (2) x1 x2 = −2 Từ hệ (2) ta có: ( x1 + x2 ) = ( x1 − x2 ) + x1 x2 = 32 + ( −2 ) = , kết hợp với (1) 2 a = a = 1, b = −3 ⇔ −1, b = −3 a = b + =−2 Các giá trị thỏa mãn điều kiện (*) nên chúng giá trị cần tìm Câu III Gọi x (km/h) vận tốc thực thuyền ( x > ) Vận tốc thuyền xi dịng là: x + (km/h) Vận tốc thuyền ngược dòng là: ( x − ) (km/h) Thời gian thuyền từ A đến B 24 (giờ) x+4 Thời gian thuyền quay từ B đến C Thời gian bè Ta có phương trình: 16 (giờ) x−4 = (giờ) 24 16 + = (1) x+4 x−4 Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Biến đổi phương trình: (1) ⇔ 12 ( x − ) + ( x + ) = ( x − )( x + ) ⇔ x − 20 x = x=0 ⇔ x ( x − 20 ) = 0⇔ x = 20 Đối chiếu với điều kiện ta thấy có nghiệm x = 20 thỏa mãn Vậy vận tốc thực thuyền 20km/h Câu IV = 90° Vì H trung điểm AB nên OH ⊥ AB hay OHM = 90° Theo tính chất tiếp tuyến ta lại có OD ⊥ DM hay ODM Suy điểm M, D, O, H nằm đường tròn Theo tính chất tiếp tuyến, ta có MC = MD ⇒ ∆MCD cân M ⇒ MI đường phân giác CMD nên DCI = 1= 1= MCI Mặt khác I điểm cung nhỏ CD sđ DI sđ CI 2 Vậy I tâm đường tròn nội tiếp ∆MCD ⇒ CI phân giác MCD Ta có ∆MPQ cân M, có MO đường cao nên diện tích tính: QM R ( MD + DQ ) = S 2= SOQM .OD= Từ S nhỏ ⇔ MD + DQ nhỏ Mặt khác, theo hệ thức lượng tam giác vng OMQ ta có DM = DQ OD = R không đổi nên MD + DQ nhỏ ⇔ DM =DQ =R Khi OM = R hay M giao điểm d với đường trịn tâm O bán kính R Câu V Từ giả thiết ta có: abc ( a + b + c ) = Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Do đó, áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có: P= ( a + b )( a + c ) = a + ab + ac + bc = a ( a + b + c ) + bc ≥ a ( a + b + c ) bc = a ( a + b + c ) = bc a ( a + b + c ) = Đẳng thức xảy ⇔ ⇔ bc = a+b+c = abc Hệ có vơ số nghiệm dương, chẳng hạn ta chọn b =c =1 ⇒ a = − Vậy giá trị nhỏ biểu thức P Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com ĐỀ SỐ 49 ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 Câu I Cho biểu thức M = x2 − x x2 + x − + x + với x ≥ x + x +1 x − x +1 Rút gọn biểu thức M Tính giá trị M x= + Tìm x để M < M Câu II Giải toán cách lập phương trình hệ phương trình: Theo kế hoạch, hai tổ sản xuất phải làm 700 sản phẩm tháng Nhưng tổ I làm vượt mức kế hoạch 15%, tổ II làm vượt mức kế hoạch 20% nên hai tổ làm 820 sản phẩm Tính số sản phẩm mà tổ phải làm tháng Câu III Cho parabol ( P ) : y = − x đường thẳng ( d ) := y mx − Xác định tọa độ giao điểm (d) (P) m = Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 ; x2 thỏa mãn điều kiện: x12 x2 + x2 x1 = 2018 Câu IV Cho ∆ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn ( O; R ) Ba đường cao AD; BE; CF cắt H Gọi I trung điểm BC, vẽ đường kính AK Chứng minh ba điểm H, I, K thẳng hàng Chứng minh DA.DH = DB.DC =° Cho BAC 60 ; S AEF = 20cm Tính S ABC Cho BC cố định; A chuyển động cung lớn BC cho ∆ABC có ba góc nhọn Chứng minh điểm H ln thuộc đường tròn cố định Câu V Cho x + y + z + yz = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: S = x+ y+z Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com ĐÁP ÁN CHI TIẾT Câu I x2 − x x2 + x − + x + với x ≥ x + x +1 x − x +1 M = ( )− x( x3 + x + x +1 x − x +1 ( )( )− x( x x + x +1 x ( ) x −1 − x )( x −1 x + x +1 = ) + x +1 x3 − x ( ) + x +1 x +1 x − x +1 x − x +1 ) x +1 + x +1 =x − x − x − x + x + = x − x +1 = ( ) x −1 ) ( 2 Ta có: x =6 + = + ⇒ x = + Khi đó: M= ( ) +1−1 = Ta có: M < M ⇔ ( x −1 < ) Với x ≥ (*) ⇔ ( ( ) ) x −1 ⇔ ( ) x −1 < x − (*) x −1 < x −1 ⇔ x − x −1− x +1 < ⇔ x −3 x < ⇔0< x 0; a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức: P= ab ac bc + + c ( a + b ) b ( a + c ) a (b + c ) Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com ĐÁP ÁN CHI TIẾT Câu I ĐKXĐ: x > = + P : x +1 x +1 x+ x + x x +1 x ( ) ( x +1 x +1 = x x +1 ( ) Để P = : x +1 x +1 x ) x +1 x x +1 = ⇔ x + = x ⇔ x = (TMĐK) x Vậy x = giá trị thỏa mãn toán x +1 − x Xét hiệu P −= = = Vậy P > x +1 x − x x x > 0, ∀x > Câu II Gọi vận tốc thật tàu thủy x ( x > , km/h) Vận tốc tàu thủy xi dịng là: x + (km/h) Thời gian tàu thủy xuôi dòng 72km là: 72 (giờ) x+3 Thời gian tàu thủy ngược dịng 54km là: Theo ta có phương trình: 54 (giờ) x −3 (TMĐK ) x = 21 72 54 + = 6⇔ x +3 x −3 x = ( Không TMĐK ) Vậy vận tốc thật tàu thủy là: 21km/h Câu III x + y = Khi m = ta có hệ phương trình: x + y = Vậy hệ có vơ số nghiệm m = Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com ( ) Từ (2) ⇒ y= 3m − − mx , thay vào (1) ta − m x = −3m + 2m + (3) Hệ có nghiệm (3) có nghiệm ⇔ − m ≠ Suy m ≠ ±1 m −1 3m + 3m + m − Khi x = = (*) = y ⇔ ;y ; x = m +1 m +1 m +1 m +1 m − 3m + m + = m + (4) 3m + Với điều kiện ≥ 0, m ≠ ±1 (*) ⇔ m +1 m − − ( 3m + 1) m + = m + (5) + (4) ⇔ m − =3m + ⇔ m =−1 (Không TMĐK) + (5) ⇔ m − =−3m − ⇔ m =0 (TMĐK) Vậy m = giá trị thỏa mãn toán Câu IV Do F thuộc đường trịn đường kính AB nên AFB= 90° = BHE = 90° ⇒ BHFE tứ giác nội tiếp Suy BFE = EFB = 90°; Có ECA AEC chung Nên ∆ECA ∽ ∆EFB ( g g ) ⇒ EC EA = ⇒ EC.EB = EA.EF EF EB Từ chứng minh suy AC, BF, EH đường cao ∆EAB nên chúng cắt I Do EC EA = AEB chung nên ∆ECF ∽ ∆EAB (cạnh – góc – cạnh) EF EB Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com S ECF EC = (1) S EAB EA =° Vì OB 45 = OC = R nên ∆OBC vng cân O ⇒ OBC Do ∆HBE vng cân H ⇒ EH = HB = 3R R R 10 R R 10 R 2 Mà AH = nên AE = AH + HE = + + ⇒ AE = 4 2 9R2 3R Tương tự BE = HB + HE = ⇒ BE = 2 2 Lại có: OC / / EH (cùng ⊥ AB ) nên EC HO R = = ⇒ EC = EB = EB HB 3 2 1 3R EC ⇒ =⇒ S ECF =.S EAB = .EH AB = 5 10 EA ; Các tứ giác BEFH AHCE nội tiếp nên AEB = CHB AEB = AHF ⇒ AHF = CHB = DHB Có HO ⊥ OC , OC = OD nên ∆HCD cân H nên CHB mà = + FHB = Do AHF = DHB AHF + FHB 180° ⇒ DHB 180° Suy F; H; D thẳng hàng Suy FH qua D cố định Câu V Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương: ab a+b bc b+c ac a+c + ≥ ; + ≥ ; + ≥ c ( a + b ) 4ab c a ( b + c ) 4bc a b ( a + c ) 4ac b 11 1 1 11 1 Do P + + + ≥ + + ⇒ P = + + 2a b c a b c 2a b c Mà 1 1 + + ≥ ⇒ + + ≥3⇒ P ≥ a b c a+b+c a b c Dấu “=” xảy a= b= c= Vậy P = a= b= c= Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038