Sách luyện thi thpt quốc gia môn toán hình học đột phá 8+ kì thi thpt quốc gia phần 2

PHẦN 1: LỚP 12 CHƯƠNG 1: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN CHUYÊN ĐỀ 1: KHỐI ĐA DIỆN PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Hình đa diện Hình đa diện (gọi tắt đa diện) hình tạo số hữu hạn đa giác phẳng thỏa mãn hai điều kiện sau: • Hai đa giác phân biệt khơng có điểm chung có đỉnh chung có cạnh chung • Mỗi cạnh đa giác cạnh chung hai đa giác Khối đa diện Khối đa diện = hình đa diện + phần khơng gian Các hình khối đa diện: giới hạn hình đa diện Chú ý: • Mỗi khối đa diện ln phân chia thành khối tứ diện • Mỗi đỉnh hình đa diện đỉnh chung cạnh • Mỗi hình đa diện có cạnh Các hình khơng phải khối đa diện: • Khơng tồn hình đa diện có cạnh • Khơng tồn hình đa diện có: + Số mặt lớn số cạnh + Số đỉnh lớn số cạnh Khối đa diện Khối đa diện khối đa diện lồi có hai tính Gọi Đ tổng số đỉnh, C tổng số cạnh M chất sau đây: tổng mặt khối đa diện loại n; p Ta • Các mặt đa giác n cạnh có: • Mỗi đỉnh đỉnh chung p cạnh Khối đa diện gọi khối đa diện loại n; p pĐ = 2C = nM Trang PHẦN 2: CƠNG THỨC TÍNH NHANH Khối đa diện Khối đa diện Số đỉnh Số cạnh Số mặt Loại Tứ diện 3;3 Khối lập phương 12 4;3 Bát diện 12 3; 4 Mười hai mặt 20 30 12 5;3 Hai mươi mặt 12 30 20 3;5 Mặt phẳng đối xứng Hình Số mặt phẳng đối xứng Tứ diện Hình lập phương Hình chóp tứ giác Hình hộp chữ nhật Bát diện PHẦN 3: CÁC DẠNG BÀI TẬP Ví dụ 1: Hình đa diện khơng có tâm đối xứng? Trang A Tứ diện B Bát diện C Hình lập phương D Lăng trụ lục giác Hướng dẫn Hình tứ diện khơng có tâm đối xứng → Chọn A Ví dụ 2: Cho hình khối sau: Hình Hình Hình Hình Mỗi hình gồm số hữu hạn đa giác phẳng (kể điểm nó), số đa diện lồi là: A B C D Hướng dẫn Khối đa diện gọi khối đa diện lồi với hai điểm A B điểm thuộc đoạn thẳng AB thuộc khối Có hai khối đa diện lồi là: Hình hình → Chọn B Ví dụ 3: Trong phát biểu sau, phát biểu sai: A Hình chóp hình chóp có tất cạnh bên đáy đa giác B Trong hình chóp góc cạnh bên mặt đáy C Hình chóp hình chóp có đáy đa giác chân đường cao trùng với tâm đáy D Hình chóp hình chóp có tất cạnh Hướng dẫn Hình chóp thỏa mãn hai điều kiện sau: + Đáy đa giác + Chân đường cao hình chóp tâm đáy Các mặt bên hình chóp tam giác cân nên cạnh bên hình chóp chưa cạnh đáy đáp án D phát biểu sai → Chọn D Trang Ví dụ 4: Một hình chóp có 46 cạnh có mặt? A 24 B 46 C 69 D 25 Hướng dẫn Giả sử đa giác đáy có n cạnh, n đỉnh, Hình chóp có 2n cạnh Ta có: 2n  46  n  23 Suy hình chóp có 23 cạnh, từ có 23 mặt bên mặt đáy Vậy tổng cộng hình chóp có 24 mặt → Chọn A Ví dụ 5: Khối tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm BC BD Mặt phẳng (AMN) chia khối tứ diện ABCD thành: A Hai khối tứ diện khối chóp tứ giác B Hai khối tứ diện C Một khối tứ diện khối chóp tứ giác D Hai khối chóp tứ giác Hướng dẫn Mặt phẳng (AMN) chia khối tứ diện ABCD thành khối tứ diện ABMN khối chóp tứ giác A.MNDC → Chọn C PHẦN 4: BÀI TẬP TỔNG HỢP Câu 1: Số mặt phẳng đối xứng hình tứ diện là: A 10 B C D Câu 2: Số mặt phẳng đối xứng hình đa diện loại 4;3 là: A B C D Câu 3: Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A Tồn hình đa diện có số cạnh B Tồn hình đa diện có số cạnh nhỏ C Số cạnh đa diện luôn lớn D Tồn hình đa diện có số cạnh lớn Câu 4: Tổng độ dài  tất cạnh khối mười hai mặt cạnh A   B   16 C   24 D   60 Câu 5: Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? Trang A Tồn hình đa diện có số cạnh số đỉnh B Tồn hình đa diện có số cạnh mặt C Số đỉnh số mặt hình đa diện ln D Tồn hình đa diện có số đỉnh số mặt Câu 6: Gọi m số mặt đối xứng hình lập phương, n số mặt đối xứng hình bát diện Khi đó: A Khơng thể so sánh m n B m  n C m  n D m  n Câu 7: Chọn mệnh đề mệnh đề sau? A Hình chóp có đáy tứ giác có mặt cầu ngoại tiếp B Hình chóp có đáy hình thang cân có mặt cầu ngoại tiếp C Hình chóp có đáy hình thang vng có mặt cầu ngoại tiếp D Hình có đáy hình bình hành có mặt cầu ngoại tiếp Câu 8: Phát biểu sau đúng? A Hình hai mươi mặt có 30 đỉnh, 12 cạnh, 20 mặt B Hình hai mươi mặt có 20 đỉnh, 30 cạnh, 12 mặt C Hình hai mươi mặt có 12 đỉnh, 30 cạnh, 20 mặt D Hình hai mươi mặt có 30 đỉnh, 20 cạnh, 12 mặt Câu 9: Một hình đa diện có mặt tam giác số mặt M số cạnh C đa diện thỏa mãn A 3C  M B C  M  C M  C D 3M  C C 20 D 24 Câu 10: Số đỉnh hình mười hai mặt là: A 12 B 19 Câu 11: Trung điểm cạnh tứ diện tạo thành A đỉnh hình tứ diện B đỉnh hình bát diện C đỉnh hình mười hai mặt D đỉnh hình hai mươi mặt Câu 12: Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A Tồn khối tứ diện khối đa diện B Tồn khối lăng trụ khối đa diện C Tồn khối hộp khối đa diện D Tồn khối chóp tứ giác khối đa diện Câu 13: Hình chóp tứ giác có mặt phẳng đối xứng? A B C D Câu 14: Tổng góc đỉnh tất mặt khối đa diện loại 3;5 là: A 12 B 16 C 20 D 24 Câu 15: Số mặt phẳng đối xứng hình tứ diện là: A 10 B C Trang D Câu 16: Cho hình bát diện cạnh a Gọi S tổng diện tích tất mặt hình bát diện Tính S A S  3a B S  3a C S  3a D S  8a Câu 17: Hình đa diện hình vẽ bên có mặt? A 11 B 12 C 13 D 14 Câu 18: Cho hình sau: Hình Hình Hình Hình Mỗi hình gồm số hữu hạn đa giác phẳng (kể điểm nó), số hình đa diện là: A B C D Đáp án: 1-C 2-A 3-A 4-D 5-D 6-D 7- B 8-D 11 - B 12 - D 13 - D 14 - C 15 - C 16 - C 17 - B 18 - C Trang 9-C 10 - C 10 CHUN ĐỀ 2: THỂ TÍCH KHỐI CHĨP PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Thể tích khối chóp V  B.h Trong đó: B: diện tích đáy h: chiều cao hình chóp Các cơng thức hình học phẳng hay sử dụng a Hệ thức lượng tam giác vuông Cho  ABC vuông đường cao AH ta có: • Định lý Pitago: BC2  AB2  AC2 • BA  BH.BC ; CA  CH.CB • AB.AC  BC.AH • 1   2 AH AB AC2 b Hệ thức lượng tam giác thường  Định lý côsin: a  b  c  2bc.cosA b  a  c  ac.cosB c  a  b  ab.cosC  Định lý sin: a b c    2R sin A sin B sin C  Định lý đường trung tuyến: 2b  2c  a m  a m 2b  2a  2c  b 2a  2b  c m  c c Các cơng thức tính diện tích  Cơng thức tính diện tích tam giác: 1 a.b.c S  a.h a  a.b sin C   p.r  p  p  a  p  b  p  c  2 4R Trong đó: R r bán kính đường trịn ngoại tiếp nội tiếp p abc nửa chu vi Trang 11 Đặc biệt:  ABC vuông A: S  AB.AC  ABC cạnh a: S  a2  Diện tích hình vng: S = cạnh  cạnh  Diện tích hình chữ nhật: S = chiều dài  chiều rộng  Diện tích hình thoi: S  đường chéo  đường chéo  Diện tích hình thang: S  (đáy lớn + đáy nhỏ)  chiều cao  Diện tích hình bình hành: S = đáy  chiều cao  Diện tích hình trịn: S  .R d Các hệ thức quan trọng tam giác PHẦN 2: CÔNG THỨC TÍNH NHANH Bài tốn Hình vẽ Thể tích VABCD  Thể tích tứ diện ABCD cạnh a Thể tích hình chóp S.ABC với mặt (SAB), (SAC), (SBC) vng góc với đơi một, diện tích tam giác S1 , S2 , S3 VS.ABC  a3 12 2S1.S2 S3 Thể tích tứ diện ABCD gần (các cặp cạnh đối tương ứng nhau) AB  BC  a , AC  BD  c BC  AD  b , Trang 10 12 VABCD  12 a  b  c  a  c  b  c  b  a  Thể tích hình chóp biết ba cạnh bên ba góc đỉnh SA  a , SB  b ,   x , BSC   y, SC  c , ASB z CSA VABCD  abc  cos x.cos y.cos z  cos x  cos y  cos z Thể tích hình chóp tam giác cạnh đáy a, cạnh bên b VS.ABC  Thể tích hình chóp tam giác cạnh đáy a, mặt bên tạo với đáy góc  a 3b  a 12 VS.ABC  Thể tích hình chóp tam giác cạnh bên b, cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc  VS.ABC Thể tích hình chóp tam giác cạnh đáy a, cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc  a tan  24 3a sin .cos   VS.ABC VS.ABCD  a tan   12 a 4b  2a Khi hình chóp tứ giác có tất cạnh a Thể tích hình chóp tứ giác có cạnh đáy a, cạnh bên b VS.ABCD  Thể tích hình chóp tứ giác có cạnh đáy a, góc tạo mặt bên   mặt đáy góc SMO VS.ABCD Thể tích hình chóp tứ giác có    với cạnh đáy a, SAB VS.ABCD  Trang 11 a3 a tan   a tan   13    ;  4 2 Thể tích hình chóp tứ giác có cạnh bên b, góc tạo mặt    với bên mặt đáy SMO VS.ABCD  4b3 tan       0;   2   tan   PHẦN 3: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Khối chóp có cạnh bên vng góc với đáy Phương pháp giải Thể tích khối chóp có cạnh bên vng góc với Ví dụ: Cho khối chóp S.ABC có SA vng góc với đáy: đáy, SA  4, AB  6, BC  10 CA  Tính thể tích khối chóp S.ABC V  B.h Trong đó: A V  40 B V  192 C V  32 D V  24 B: diện tích đáy Hướng dẫn h = độ dài đường cao = độ dài cạnh bên vng góc với đáy Vì SA vng góc với đáy nên chiều cao h  SA Xét tam giác ABC, ta có: AB2  AC2  62  82  102  BC Suy tam giác ABC vuông A, diện tích tam giác ABC là: B  SABC  1 AB.AC  6.8  24 2 Vậy thể tích khối chóp S.ABC là: 1 VSABC  B.h  SABC SA  24.4  32 3 → Chọn C Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh 2a, cạnh bên SA vng góc Trang 12 14 với mặt đáy SB  a Tính thể tích V khối chóp S.ABC A V  a3 B V  a 3 C V  a3 D V  a3 Hướng dẫn Do tam giác ABC tam giác nên diện tích đáy là:  2a   B  SABC  3a Vì SA vng góc với đáy nên chiều cao hình chóp là: h  SA  SB2  AB2  5a  4a  a Vậy thể tích V khối chóp S.ABC là: 1 a3 VS.ABC  B.h  a 3.a  3 → Chọn A Ví dụ 2: Cho khối chóp S.ABC có SA vng góc với (ABC), đáy ABC tam giác vuông cân A, BC  2a , góc SB (ABC) 30 Tính thể tích khối chóp S.ABC A a3 B V  a3 C V  a3 D V  a3 Hướng dẫn SB   ABC   B mà SA   ABC  nên AB hình chiếu SB lên  ABC  suy góc SB   30  ABC  góc SBA Tam giác ABC vng cân A, BC  2a  AB  AC  a SA  AB.tan 30  a a  3 Diện tích tam giác ABC là: SABC  AB2  a Vậy thể tích khối chóp S.ABC là: 1 a a3 VS.ABC  SA.SABC  a  3 → Chọn C Ví dụ 3: Cho hình chóp SABC có tam giác SBC cạnh a, CA  a Hai mặt  ABC   ASC  vuông góc với  SBC  Thể tích hình chóp là: a3 A V  12 a3 B V  a3 C V  a3 D V  12 Hướng dẫn Trang 13 15  ABC    SBC    AC   SBC  Do  SAC    SBC    ABC    SAC   AC Suy AC chiều cao hình chóp Ta có: AC  a Tam giác SBC cạnh a nên diện tích đáy SABC  a2 Vậy thể tích khối chóp S.ABC là: 1 a2 a3 V  SSBC AC  a 3 12 → Chọn A Ví dụ 4: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB  a , AD  a , SA vng góc với mặt phẳng đáy mặt phẳng (SBC) tạo với đáy góc 60 Tính thể tích khối chóp S.ABCD B V  A V  3a 3a C V  a D V  a3 Hướng dẫn Ta có diện tích đáy là: SABCD  AB.AD  a a  a Ta có: BC  SA  BC  SAB   BC  SB  BC  AB SBC    ABCD   BC Vì BC  AB ; BC  SB   60    SBC  ,  ABCD     SB, AB  SBA Xét tam giác SAB vng A có: tan 60  SA  SA  AB tan 60  a AB Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là: 1 VS.ABCD  SABCD SA  a 3.a  a 3 → Chọn C Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A, BC  a , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy, mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) góc 45 Tính thể tích V khối chóp S.ABC Trang 14 16 A V  a3 12 B V  a3 C V  a3 D V  a3 18 Hướng dẫn Do ABC tam giác vuông cân A, BC  a nên AB=AC  BC a Diện tích tam giác ABC là: SABC  a2 AB.AC  2 Kẻ SM vng góc với BC BC  SA  BC   SAM   BC  SM  BC  SM SBC    ABC   BC Vì BC  SM ; BC  AM   45    SBC  ,  ABC     SM, AM   SMA Do tam giác SAM vng cân A nên ta có SA  AM  a Vậy thể tích khối chóp S.ABC là: 1 a a a3 VS.ABC  SABC SA   3 2 12 → Chọn A Bài tập tự luyện Câu Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a SA vng góc với mặt phẳng (ABC) Góc đường thẳng SB mặt phẳng (ABC) 30 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC A V  a 13 B V  a3 12 C V  3a 13 D V  5a 13  Câu Cho hình chóp S.ABCD có chiều cao SA a Mặt đáy (ABCD) hình thoi cạnh a, góc ABC 60 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a a3 A a3 B a3 C 2a D   60 Cạnh bên SA Câu Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B, AB  2a, BAC vng góc với mặt phẳng (ABC) SA  a Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC A V  a B V  3a C V  2a D V  4a Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng có cạnh a SA vng góc đáy ABCD mặt bên (SCD) hợp với đáy góc 60 Thể tích hình chóp S.ABCD là: Trang 15 Trang 17 A a3 B a3 C 3a 3 D a3 Đáp án 1-B 2-A 3-C 4-D Dạng 2: Khối chóp có mặt bên vng góc với đáy Phương pháp giải Thể tích khối chóp có mặt bên vng góc với Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD đáy: hình vng có cạnh a Mặt bên (SAB) tam giác đều, nằm mặt phẳng vng góc với đáy V  h.B ABCD Tính thể tích khối chóp S.ABCD Trong đó: B: diện tích đáy A a3 B h = độ dài đường cao = độ dài đường cao hạ từ đỉnh a3 C chóp mặt bên vng góc với cạnh đáy a3 D a 3 Hướng dẫn Chú ý: Cho mặt phẳng hai mặt phẳng (P) (Q) Mặt bên (SAB) tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy ABCD  P    Q   SAB    ABCD   AB  P    Q   a Gọi H trung điểm AB Khi đó: b   P   b   Q  b  a ABC  SH  AB Do SH   ABCD  Đường cao hình chóp SH Diện tích đáy ABCD là: B  SABCD  a Tam giác SAB nên h  SA  a Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là: 1 a3 V  h B  SH.SABCD  3 → Chọn B Trang 16 18 Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có SA  a , tam giác ABC đều, tam giác SAB vuông cân S nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Thể tích khối chóp S.ABC A 6a 6a 24 B 6a C 12 D 6a Hướng dẫn Tam giác SAB vuông cân S SA  a nên AB  a Gọi M trung điểm AB, ta có SM  AB SM  AB a  (SM đường trung tuyến tam giác 2 SAB vuông cân S) Mặt khác  SAB    ABC  , SM  AB  SAB    ABC   AB nên SM   ABC  Suy SM đường cao hình chóp S.ABC ứng với đáy tam giác ABC Diện tích tam giác ABC là: a   SABC Thể tích khối chóp S.ABC là: VS.ABC 1 a  SM.SABC  3 2 a  a3  12 → Chọn C Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB  2a , AD  a Hình chiếu S lên mặt phẳng (ABCD) trung điểm H cạnh AB, đường thẳng SC tạo với đáy góc 45 Tính thể tích V khối chóp S.ABCD A V  2a B V  a3 C V  2a D V  3a Hướng dẫn Ta có diện tích hình chữ nhật ABCD là: SABCD  AB.AD  a a  2a Ta có: SC  ABCD   C SH   ABCD    45 Do  SC,  ABCD    SCH Do tam giác SHC vng cân H nên SH  HC Mà HC  BH  BC2  a  a  a  SH Trang 17 19 ... 30 đỉnh, 12 cạnh, 20 mặt B Hình hai mươi mặt có 20 đỉnh, 30 cạnh, 12 mặt C Hình hai mươi mặt có 12 đỉnh, 30 cạnh, 20 mặt D Hình hai mươi mặt có 30 đỉnh, 20 cạnh, 12 mặt Câu 9: Một hình đa diện... 17: Hình đa diện hình vẽ bên có mặt? A 11 B 12 C 13 D 14 Câu 18: Cho hình sau: Hình Hình Hình Hình Mỗi hình gồm số hữu hạn đa giác phẳng (kể điểm nó), số hình đa diện là: A B C D Đáp án: 1-C 2- A... D phát biểu sai → Chọn D Trang Ví dụ 4: Một hình chóp có 46 cạnh có mặt? A 24 B 46 C 69 D 25 Hướng dẫn Giả sử đa giác đáy có n cạnh, n đỉnh, Hình chóp có 2n cạnh Ta có: 2n  46  n  23 Suy hình