Giáo trình vật lý thống kê và nhiệt động lực phần 2 ts đỗ xuân hội

Chương IV NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC THỐNG KÊ IV.A Các đại lượng nhiệt động lực IV.B Cơ sở nhiệt động lực học IV.C Khảo sát nhiệt động lực học hệ khí lý tưởng IV.A Các đại lượng nhiệt động lực IV.A1 Công nhiệt lượng Ta xét hệ có tham số ngoại thể tích, thể tích biến thiên từ giá trị V đến giá trị V+dV Nếu trình biến đổi hệ chuẩn tónh để áp suất hệ có giá trị xác định p công vó mô nguyên tố mà hệ thực δW = pdV (IV.1) Nếu thể tích lúc đầu lúc sau hệ sau trình Vi Vf công thực hệ sau trình biến đổi tính Wif = Vf Vf Vi Vi ∫ δW = ∫ pdV (IV.2) Một cách tổng quát Wif phụ thuộc vào trình biến đổi (tức δW vi phân xác), gọi E lượng hệ E hàm trạng thái vó mô, tức giá trị f ∫ dE (IV.3) i không phụ thuộc trình mà phụ thuộc trạng thái đầu i trạng thái cuối f hệ (dE vi phân xác) Bây ta xét hai hệ vó mô tương tác với nhau, lượng hệ thay đổi thay đổi tham số ngoại biến thiên mà Do đó, ta phân biệt độ biến thiên lượng làm hai phần: phần thứ tham số ngoại biến thiên, công mà hệ nhận −W, phần thứ nhì lượng mà hệ nhận tham số ngoại không đổi nhiệt lượng Q Vậy độ biến thiên lượng ΔE hệ viết ΔE = − W + Q (IV.4) hay: Q = ΔE + W , (IV.5) độ biến thiên lượng không tham số ngoại Từ công thức trên, ta nhận xét δQ vi phân xác IV.A.2 Khái niệm nhiệt độ Từ định nghóa nhiệt độ: ∂S = , T ∂E với S = k ln Ω entropi Ω số trạng thái vi mô khả dó hệ, ta có: ∂ ln Ω β= = kT ∂E Nhưng Ω hàm tăng nhanh theo lượng: Ω ∝ E f , với f số bậc tự hệ (thường lớn hệ vật lý ta xét hệ vó mô) nên ta suy rằng: β>0 ⇒ T>0, (IV.6) tức nhiệt độ dương (Tuy nhiên, ta ý đến bậc tự spin mà không để ý đến chuyển động tịnh tiến ta có khái niệm nhiệt độ âm- Xem vấn đề II.A) Xét hai hệ S (E) S (E’) có nhiệt độ ban đầu đặc trưng βi β ′i ≠ β i Để hai hệ tương tác nhiệt với Gọi lượng lúc đầu lúc sau hệ S S’’ E i , E f vaø E ′i , E ′f Xác suất E + dE tính: để hệ S có lượng khoảng E ′ ′ P( E) = CΩ( E)Ω ( E ) ⇒ ln P( E ) = ln C + ln Ω( E ) + ln Ω ′( E ′) Vì xác suất P(E) phải tăng suốt trình nên: ′ ′ ∂ ln Ω( E) (E f − E i ) + ∂ ln Ω ( E ) ≥ ∂E ∂E ′ Vậy, từ định nghóa nhiệt lượng: Q = E f − E i ; Q ′ = E ′f − E ′i , ta coù β i Q + β ′i Q ′ ≥ , vaø từ Q + Q ′ = , ta có kết (β i − β ′i )Q ≥ (IV.7) Từ hệ thức trên, ta suy kết quan trọng hệ S nhận nhiệt, tức Q > (vì Q = Ef -Ei nên hệ nhận nhiệt: Ef > Ei ), ta phải coù β i > β ′i ⇒ Ti > Ti′ (IV.8) tức nhiệt lượng truyền từ S ’ sang S nhiệt độ S ’ lớn nhiệt độ hệ S Ta nói hệ S ’ “nóng hơn” hệ S Vậy khái niệm nhiệt độ chiều truyền nhiệt lượng Để đo lường nhiệt độ, ta thường dùng phương trình traạng thái khí lý tưởng Theo quy ước quốc tế, nhiệt độ tuyệt đối chọn điểm ba nước 273,16 tính độ Kelvin Nhiệt độ bách phân (độ Celcius) tính: θ = ( t − 273,16) C IV.A.3 Khái niệm entropi Xét hệ S tương tác nhiệt tương tác với hệ S ’ cho hệ S thực trình chuẩn tónh từ trạng thái có lượng tham số ngoại E x α đến trạng thái có E+dE x α + dx α Vì số trạng thái vi mô khả dó phụ thuộc E x α : Ω = Ω( E, x α ) neân d ln Ω = n ∂ ln Ω ∂ ln Ω dE + ∑ dx α ∂E α =1 ∂x α Với lực suy rộng X α liên kết tới tham số ngoại x α định nghóa ∂ ln Ω βX α = (IV.9) ∂x α vaø β= ∂ ln Ω , ∂E (IV.10) Ta coù n ⎡ ⎤ d ln Ω = β⎢dE + ∑ X αdx α ⎥ α =1 ⎣ ⎦ Nhưng công thực hệ δW = ∑ X α dx α nên α d ln Ω = β[dE + δW ] = βδQ δΩ = dE + δW nhiệt lượng thu hệ S Vậy δQ = d(ln Ω) = TdS β Từ dS = vậy: δQ , T (IV.11) dE = δQ − δW = TdS − δW Chú ý rằng, mặt dù δQ vi phân xác ta có dS vi phân xác, S tham số đặc trưng cho trạng thái hệ: f f δQ (IV.12) S f − S i = ∫ dS = ∫ T i i IV.A.4 Khái niệm nhiệt dung Xét trạng thái vó mô hệ vật lý khảo sát mô tả nhiệt độ T tham số vó mô khác ký hiệu y Nhiệt dung hệ định nghóa ⎛ ∂Q ⎞ ⎛ δQ ⎞ Cy ≡ ⎜ (IV.13) ⎟ = lim ⎜ ⎟ , ⎝ ∂T ⎠ y ΔT →0⎝ ΔT ⎠ y nghóa ta giữ y không đổi, cung cấp cho hệ nhiệt lượng nhỏ δQ xét thay đổi nhiệt độ hệ Vì δQ = TdS nên ⎛ ∂S ⎞ C y ≡ T⎜ ⎟ (IV.14) ⎝ ∂T ⎠ y Từ hệ thức tổng quát trên, ta định nghóa nhiệt dung đẳng tích Cv hệ thể tích V giữ không đổi: ⎛ δQ ⎞ ⎛ ∂S ⎞ CV ≡ ⎜ (IV.15) ⎟ = T⎜ ⎟ , ⎝ ∂T ⎠ V ⎝ ∂T ⎠ V nhiệt dung đẳng áp Cp hệ giữ áp suất p hệ không đổi: ⎛ ∂S ⎞ ⎛ δQ ⎞ Cp ≡ ⎜ (IV.16) ⎟ = T⎜ ⎟ ⎝ ∂T ⎠ p ⎝ ∂T ⎠ p IV.B Cơ sở nhiệt động lực học IV.B.1 Các nguyên lý nhiệt động lực học Nhắc lại ta có hệ thức thống kê entropi S số trạng thái vi mô khả dó Ω: S = k ln Ω , hệ thức thiết lập mối liên hệ tính vi mô (đặc trưng Ω) tính vó mô (đặc trưng S) hệ vật lý thông qua số Boltzmann k • Xét ba hệ A, B C Khi hai hệ A B tiếp xúc nhiệt trạng thái cân bằng, ta có hệ thức nhiệt độ TA TB A B: TA = TB Nếu A C tiếp xúc nhiệt trạng thái cân bằng, gọi TC nhiệt độ hệ C, ta có: TA = TC Vậy: TB = TC Từ nhận xét ta phát biểu “nguyên lý thứ nhiệt động lực học” “Khi hai hệ cân nhiệt với hệ thứ ba hai hệ cân nhiệt với nhau” • Khi hệ tương tác nhiệt tương tác với hệ khác hệ thay đổi trạng thái vó mô lượng E, đại lượng đặc trưng cho trạng thái vó mô hệ, biến thiên lượng ΔE = − W + Q , (IV.17) đó, W công hệ thực Q nhiệt hệ nhận Vậy, hệ cô lập: W = Q = 0, ta có: ΔE = tức là: ΔE = const Vậy, ta có nội dung nguyên lý thứ nhiệt động lực học sau: “Một trạng thái cân vó mô đặc trưng đại lượng nội E hệ, có tính chất sau: Đối với hệ cô lập: E = const Và hệ tương tác từ trạng thái vó mô chuyển sang trạng thái vó mô khác: ΔE = − W + Q với W công hệ thực Q nhiệt lượng thu hệ” Theo nhận xét phần IV.A.3 entropi, ta phát biểu nguyên lý thứ hai nhiệt động lực học sau: “Với entropi S đại lượng đặc trưng cho trạng thái cân vó mô hệ, ta có: Khi hệ đoạn nhiệt (không tương tác nhiệt với hệ khác) thực trình từ trạng thái vó mô đến trạng thái vó mô khác, entropi hệ tăng: ΔS ≥ Nếu hệ thực trình chuẩn tónh vô bé nhận lượng nhiệt δQ , độ biến thiên entropi tính: δQ dS = T với T đại lượng gọi nhiệt độ tuyệt đối hệ.” • Ta biết với f số bậc tự hệ có lượng E, số trạng thái vi mô khả dó hệ tính: Ω = E f Vậy: ln Ω = f ln E ∂ ln Ω f = , β= ∂E E vaäy: ∂β f = , ∂E E tức là: ∂β < ∂E Nếu gọi E0 mức lượng (mức lượng thấp nhất), tương ứng với E0, có trạng thái vi mô (nếu mức lượng suy biến) Có nghóa lượng E tiến E0 Ω trở nên nhỏ: ln Ω → , tức S → Ta có ∂T ∂β ∂β ∂T =− = ∂E ∂T ∂E kT ∂E ∂β < , nên ta phải có Theo trên: ∂E ∂T >0 (IV.19) ∂E Có nghóa lượng E giảm mức E0, nhiệt độ T hệ giảm nhanh Từ ta phát biểu nguyên lý thứ ba nhiệt động lực học: “Khi nhiệt độ tuyệt đối T giảm 0, ta có entropi S hệ giảm 0” Chú ý ta phải thận trọng xét hệ nhiệt độ thấp, hiệu ứng lượng tử xuất rõ, spin hạt nhân bắt đầu có ảnh hưởng giá trị entropi hệ định hướng spin hạt nhân Vì vậy, ta cho giá trị entropi S0, với S0 độc lập với tham số heä: S = k ln Ω S , (IV.20) đó, ΩS số trạng thái vi mô liên quan đến spin hạt nhân nguyên tử IV.B.2 Hệ thức nhiệt động lực học Vì số trạng thái vi mô khả dó Ω hàm lượng E tham số ngoại xα: Ω = Ω(E, xα), ∂ ln Ω , neân ta thiết lập hệ thức đại lượng theo hệ thức tính lực suy rộng: X α = β ∂x α Xα, xα ,và nhiệt độ T Cụ thể tham số ngoại thể tích V hệ: xα ≡ V, ta có công thức tính áp suất: ∂ ln Ω (IV.21) p= β ∂V laø haøm theo T vaø V: p = p(T,V) Từ đó, ta thiết lập hệ thức p, V, T: f(p,T,V) = (IV.22) gọi phương trình trạng thái hệ vật lý ta xét Khi hệ thực trình chuẩn tónh vô bé, ta có độ biến thiên lượng dE = δQ − δW Với xα ≡ V tham số ngoại: δW = pdV , Đồng thời, vì: δQ = TdS , ta có hệ thức nhiệt động lực học: (IV.23) dE = TdS − pdV Mặt khác, ta có công thức tính độ biến thiên hàm: E = E(S,V) theo hai biến độc lập S V ⎛ ∂E ⎞ ⎛ ∂E ⎞ dE = ⎜ ⎟ dS + ⎜ ⎟ dV ⎝ ∂V ⎠ S ⎝ ∂S ⎠ V Như vậy: ⎛ ∂E ⎞ ⎛ ∂E ⎞ T = ⎜ ⎟ , vaø p = −⎜ ⎟ ⎝ ∂S ⎠ V ⎝ ∂V ⎠ S III.B.3 Caùc hàm nhiệt động lực • Ta xét trường hợp (S,p) hai biến độc lập Vì d( pV) = pdV + Vdp , neân dE = TdS − d( pV) + Vdp ⇒ d( E + pV) = TdS + Vdp Ta đặt H = E + pV (IV.24) entalpi hệ Như dH = TdS + Vdp Mặt khác, H = H(S,p), nên ⎛ ∂H ⎞ ⎛ ∂H ⎞ dH = ⎜ ⎟⎟ dp ⎟ dS + ⎜⎜ ⎝ ∂S ⎠ p ⎝ ∂p ⎠ S Vaäy ⎛ ∂H ⎞ ⎛ ∂H ⎞ T=⎜ ⎟⎟ ⎟ , vaø V = ⎜⎜ ⎝ ∂S ⎠ p ⎝ ∂p ⎠ S • Bây ta xét trường hợp (T,V) biến độc lập Vì d ( TS ) = TdS + SdT , neân : dE = d ( TS ) − SdT − pdV ⇒ d ( E − TS ) = −SdT − pdV Nếu ta đặt (IV.25) F = E − TS lượng tự hệ, ta có d( F) = −SdT − pdV Nhưng F hàm theo biến (T,V): ⎛ ∂F ⎞ ⎛ ∂F ⎞ dF = ⎜ ⎟ dT + ⎜ ⎟ dV , ⎝ ∂T ⎠ V ⎝ ∂V ⎠ T nên ta có: ⎛ ∂F ⎞ ⎛ ∂F ⎞ S = −⎜ ⎟ , vaø p = − ⎜ ⎟ ⎝ ∂V ⎠ T ⎝ ∂T ⎠ V • Cuối cùng, ta xét trường hợp biến độc lập (T,p): dE = TdS − pdV = d(TS) − SdT − d( pV) + Vdp ⇒ d( E − TS + pV) = −SdT + Vdp Với lïng tự Gibbs định nghóa là: , (IV.26) G,= E − TS + pV ta có dG = −SdT + Vdp Và G = G(T,p), ta suy ⎛ ∂G ⎞ ⎛ ∂G ⎞ S = −⎜ ⎟⎟ ⎟ , vaø V = −⎜⎜ ⎝ ∂T ⎠ p ⎝ ∂p ⎠ T IV.B.4 Các hệ số nhiệt Nếu ta định nghóa hệ số nở thể tích đẳng áp: ⎛ ∂V ⎞ α= ⎜ ⎟ , V ⎝ ∂T ⎠ p hệ số nén đẳng nhiệt ⎛ ∂V ⎞ κ = − ⎜⎜ ⎟ , V ⎝ ∂p ⎟⎠ T (IV.27) (IV.28) ta chứng minh biểu thức liên hệ nhiệt dung đẳng áp Cp nhiệt dung đẳng tích CV sau: α2 C p − C V = VT (IV.29) κ IV.C Khảo sát nhiệt động lực hệ khí lí tưởng cổ điển IV.C.1 Khái niệm Khí lí tưởng hệ gồm N phân tử đồng nhất, độc lập (tức tương tác phân tử không đáng kể so với tổng lượng chuyển động tịnh tiến nội phân tử) Khi hệ khí khảo sát học thống kê cổ điển, ta có hệ khí lí tưởng cổ điển (hay gọi hệ khí lí tưởng không suy biến) Ta khảo sát khí lí tưởng lượng tử chương cuối Chú ý phân tử đơn nguyên tử (trường hợp khí He, Ne, Ar, …) hai nguyên tử (trường hợp khí H2, N2, HCl, …), ba nguyên tử (trường hợp khí CO2, H2O, …), … Nếu phân tử đa nguyên tử, nội phân tử phải gồm lượng chuyển động quay lượng chuyển động dao động Để phân tử xem độc lập nhau, khoảng cách trung bình phân tử phải đủ lớn, tức hệ khí phải đủ loãng IV.C.2 Khảo sát thống kê cổ điển Trong phép tính gần cổ điển, số trạng thái vi mô khả dó Ω(E) để hệ có lượng khoảng (E, E+dE) tỉ lệ với thể tích pha không gian pha tương ứng với lượng khoảng (E, E+dE): E + dE r r r Ω( E ) ∝ ∫ d r1d r2 d rN dQ 1dQ dQ N dP1dP2 dPN E đó, dQi, dPi độ biến thiên tọa độ động lượng tương ứng với chuyển động nội phân tử phân tử đơn nguyên tử Vì ta có: r ∫ d ri = V thể tích bình chứa khí nên Ω ( E ) ∝ V N ϕ( E ) , với: E + dE r r r ϕ( E) = ∫ dp1dp dp N dQ1dQ dQ N dP1dP2 dPN E độc lập thể tích V Vậy: ln Ω( E) = N ln V + ln ϕ( E) + ln C , với C số tỉ lệ Từ công thức tính áp suất p liên kết với tham số ngoại thể tích V: ∂ ln Ω , p= β ∂V ta coù 1N p= βV Ta suy phương trình trạng thái khí lí tưởng: (IV.30a) pV = NkT Đối với mol khí lí tưởng, N = NA số Avogadro, ta coù: pV = N A kT (IV.30b) pV = RT đó, R số chất khí, tính: R = 8,31 J/K Ta viết phương trình trạng thái dạng: pV = ηRT , với η số mol khí hệ IV.C.3 Các định luật thực nghiệm khí lí tưởng Từ phương trình trạng thái trên, ta tìm lại định luật xây dựng từ thực nghiệm khí thực đủ loãng: • Định luật Boyle-Mariotte: Ở nhiệt độ không đổi, tích số áp suất thể tích số: pV = const • Định luật Gay-Lussac: Ở áp suất không đổi, thể tích chiếm khối khí định tỉ lệ thuận với nhiệt độ: V ∝ T • Định luật Charles: Ở thể tích không đổi, áp suất khối khí tỉ lệ thuận với nhiệt độ: p ∝ T • Định luật Dalton: Xét hỗn hợp gồm hai chất khí lí tưởngtrong thể tích V, nhiệt độ T Ta viết cho chất khí: p1V = η1RT vaø p V = η2 RT Khi tương tác phân tử bỏ qua, hỗn hợp khí tạo nên hệ khí lí tưởng nên pV = (η1 + η2 )RT Từ p RT p1 p p1 + p = = = = V η1 η2 η1 + η2 η1 + η2 Vaäy: p = p1 + p Tức áp suất hỗn hợp khí tổng áp suất riêng phần IV.C.4 Nội khí lý tưởng Theo công thức (IV.26): Ω( E) = CV N ϕ( E) , từ công thức: β = ∂ ln ϕ( E ) ∂E Tức β hàm lượng E: β= ∂ ln Ω , ta có ∂E (IV.31) (IV.32) β = β( E ) ngược lại, ta có lượng E hàm nhiệt độ T: (IV.33) E = E(T ) Để có biểu thức rõ phụ thuộc lượng E nhiệt độ T hệ, ta nhớ lại chương I, ta thiết lập biểu thức (I.7b) cho khí lí tưởng đơn nguyên tử (không tính đến chuyển động nội phân tử) Ω( E ) = AV N E 3N Khi naøy ∂ ln Ω 3N , β= = ∂E E hay (IV.34) E = NkT Ta liên hệ đến định lí phân bố để tìm lại biểu thức trên, phân tử có ba bậc tự chuyển động tịnh tiến nên lượng trung bình phải kT Và hệ có N phân tử nên ta tìm lại hệ thức Đối với khí lí tưởng nói chung, ta có: E = αNkT , (IV.35) với α = khí lí tưởng đơn nguyên tử, α = khí hai nguyên tử 2 Khi này, ta chứng minh hệ thức nhiệt dung đẳng áp Cp nhiệt dung đẳng tích CV (hệ thức Robert-Mayer): (IV.36a) C p − C V = Nk mol khí: Cp − CV = R , (IV.36b) chứng tỏ hiệu số Cp CV độc lập nhiệt độ T Hệ thức Robert-Mayer trường hợp cụ thể khí lí tưởng trường hợp tổng quát mà ta thấy (công thức (IV.25) ) IV.D Lý thuyết động học chất khí Trong phần chương, ta khảo sát phân bố vận tốc phân tử hệ khí lí tưởng cổ điển trạng thái cân Nên biết từ năm 1860, với nhận xét tổng quát tính đối xứng, Maxwell khám phá định luật phân bố vận tốc phân tử khí lí tưởng trạng thái cân Đến năm 1872, Boltzmann đặt giả thiết tán xạ phân tử không ảnh hưởng đến phân bố cân chứng minh định luật Ở đây, ta khảo sát phân bố vận tốc kết trực tiếp phân bố tắc Cũng cần hiểu định luật áp dụng cho tất lưu chất cổ điển, khí thực chất lỏng IV.D.1 Phân bố Gauss vận tốc Xét lưu chất gồm N phân tử đồng có khối lïng m, chiếm thể tích V cân nhiệt với hệ điều nhiệt có nhiệt độ T Giả sử chuyển động phân tử hệ mô tả học cổ điển r r Khi đó, trạng thái vi mô hệ đặc trưng vị trí ri vận tốc v i phân tử Năng lượng hệ tính N r r r r r r r r r r E( ri , r2 , , rN , v , v , , v N ) = ∑ mv i + U (ri , r2 , , rN ) , (IV.37) i =1 r r r U ( ri , r2 , , rN ) tương tác hạt (và với trường lực ngoài) Trong không gian pha 6N chiều, phân bố tắc cho ta tính xác suất tìm thấy hệ thể tích pha nguyên tố quanh điểm pha biểu diễn trạng thái N r r r r r r r dP( ri , r2 , , rN , v , v , , v N ) = A exp[−β∑ mv i2 + (IV.38) i =1 r r r r r r r r r + U ( ri , r2 , , rN )] d ri d r2 d rN dv 1dv dv N r Lấy tích phân biểu thức theo tất giá trị ri N phân tử, ta tính xác suất để r r r phân tử có vận tốc khoảng ( ri , ri + d ri ) N r ⎤ r r ⎡ r r r r dP( v , v , , v N ) = B exp ⎢ − β∑ mv i2 ⎥dv 1dv dv N ⎣ i =1 ⎦ (IV.39) ∞ ε / dε J = − α′ ∫ − eβ( ε − μ ) (IX.26) So sánh biểu thức với (IX.23), ta thấy: J=− E (IX.27) c) Áp suất Để tìm công thức tổng quát tính áp suất hệ khí Fermi, ta xét hệ S phần hợp hai hệ nhỏ S S 2: S = S ∪S Vì lớn đại lượng cộng tính nên gọi J lớn S J1, J2 lớn S 1, S 2, ta có J = J1 + J Do đó, ta tích V’ hệ phân làm α phần nhỏ, phần tích V, ta coù J (T, μ, V ′) ≡ J (T, μ, αV) = αJ (T, μ, V) Vaäy ∂J (T, μ, V ′) ∂ (IX.28) = [αJ (T, μ, V )] = J (T, μ, V ) ∂α ∂α Mặt khác, ta có ∂J (T, μ, V ′) ∂J (T, μ, V ′) ∂V ′ ∂J (T, μ, V ′) = = V′ ∂α ∂V ′ ∂α ∂V ′ Nhưng ta biết áp suất tắc lớn tính theo công thức: ∂J (T, μ, V ′) , p=− ∂V ′ neân ∂J (T, μ, V ′) (IX.29) = − pV ∂α So sánh (IX.28) với (IX.29), ta có: p=− J V (IX.30a) Vậy, từ hệ thức tính lớn theo lượng (IX.27), ta có p= 2E 3V (IX.30b) cho phép tính áp suất hệ lượng hệ xác định d) Giới hạn cổ điển hệ khí Fermi Cần nhớ hiệu ứng lượng tử hệ hạt fermion biểu rõ nhiệt độ thấp, với điều kiện nhiệt độ cao, ta phải tìm lại kết hệ khí cổ điển Thật vậy, trường hợp e β( ε −μ ) >> với giá trị ε > 0, từ công thức (IX.21) tính số hạt hệ: +∞ N = α′ ∫ ε0 ta có được: ε1 / dε eβ ( ε − μ ) + , +∞ +∞ ε0 ε0 N = α′ ∫ eμβ ε1 / e −βε dε = α′eμβ ∫ ε1 / e −βε dε (IX.31) Ta giả sử phép tính có độ xác đủ lớn với ε0 = Khi này, cách đặt biến số phụ: y = (βε ) , tích phân biểu thức tính: I= +∞ / − βε ∫ ε e dε = ε0 +∞ β 3/ ∫ y e − y dy ε0 Sử dụng tích phân Poisson, ta có π I = 3/ β Vaäy N= α′eμβ π 2β / Công thức cho phép ta tính hóa học: 2β / eμβ = N , (IX.32a) α′ π 3/ ⎡V ⎛ m ⎞ ⎤ μ = − kT ln ⎢ ( 2s + 1)⎜ (IX.32b) ⎟ ⎥ ⎝ 2πh ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ N cách thay giá trị α’ từ công thức (IX.19a), với g = 2s+1 Tương tự trên, ta tính lượng E từ công thức (IX.23): +∞ E = α′eμβ ∫ ε / e −βε dε (IX.33) Các công thức tích phân Poisson cho: +∞ / − βε ∫ ε e dε = E= +∞ β 5/ πα′e βμ 4β5 / ∫ 2 y e − y dy = β 5/ π (IX.34) Sử dụng hệ thức (IX.34a) e βμ , ta coù π 2β / N E = / α′.N , = π α′ β 4β tức NkT , kết mà ta biết học thống kê cổ điển E= (IX.35) Đồng thời, từ hệ thức tổng quát (IX.30b) tính áp suất p theo E: p = trình trạng thái khí lí tưởng: pV = NkT (IX.36) 2E , ta suy lại phương 3V IX.B Khí Fermi lí tưởng nhiệt độ thấp Ta thấy trường hợp nhiệt độ cao, thống kê Fermi-Dirac trở thành thống kê Maxwell-Boltzmann, tức trở thành khí lí tưởng cổ điển, mà ta tìm lại kết trùng hợp với kết có với học thống kê cổ điển Để thấy rõ hiệu ứng lượng tử, ta cần xét hệ khí nhiệt độ thấp Đầu tiên , ta xét trường hợp giới hạn nhiệt độ tuyệt đối nhỏ, xem không, sau xét trường hợp nhiệt độ thấp IX.B.1 Khí Fermi lí tưởng hoàn toàn suy biến a) Mức lượng Fermi Ta xét trường hợp nhiệt độ đủ thấp (β đủ lớn) để xem thừa số Fermi e β( ε −μ ) → +∞ ε > μ , e β( ε −μ ) → −∞ ε < μ , tức số hạt trung bình trạng thái (λ) tính: N λ → + neáu ε > μ , Nλ →1 ε < μ Khi đường biểu diễn N λ ( ε) theo lượng ε có dạng bậc thang giá trị ε = μ Giá trị đặc biệt hóa học, hàm N λ ( ε) gián đoạn, gọi mức Fermi Vậy, mức Fermi định nghóa hóa học nhiệt độ không tuyệt đối Và này, hệ khí Fermi gọi khí Fermi hoàn toàn suy biến Ýù nghóa vật lí tượng hiểu nhiệt độ không, tất mức lượng nhỏ ε F = μ bị chiếm, tất mức lượng lớn ε F bỏ trống Và nhiệt độ tăng lên số hạt bắt đầu chiếm mức lượng lớn mức Fermi Vậy, số hạt tổng cộng hệ tính theo công thức (IX.19b): ∞ μ0 μ0 0 N = ∫ NdΩ( ε) = 1/ ∫ dΩ(ε) = α′ ∫ ε dε (IX.37a) Tích phân vế phải phương trình tính dễ dàng cho N = α′μ 30 / (IX.37b) Từ công thức tính α’ (IX.19a), ta có công thức tính mức Fermi: 2/3 h ⎛⎜ 6π N ⎞⎟ 2m ⎜ 2s + V ⎟ Ta thường dùng⎝công thức ⎠sau: μ0 = (IX.38) 1/ ⎛ 6π N ⎞ KF = ⎜ ⎟ , ⎜ 2s + V ⎟ ⎝ ⎠ đó, KF vectơ sóng Fermi định nghóa (IX.39a) μ0 = h K 2F 2m (IX.39b) Chú thích: r Ta hiểu khái niệm vectơ sóng K sau: Xét hạt chuyển động tự (không tương tác với hạt khác) thể tích V Đầu tiên, ta không xét đến tác dụng trường Giả sử hạt phi tương đối tính có khối lượng m r r động lượng p Khi này, hàm sóng Ψ ( r , t ) hạt phải có dạng sóng phẳng: rr r r Ψ ( r , t ) = Ae i( Kr − ωt ) = Ψ ( r ).e −iωt (IX.40) r truyền theo phương vectơ sóng K có biên độ A Năng lượng ε hạt liên hệ với tần số góc ω qua biểu thức: ε = hω (IX.41) r Thật vậy, hàm sóng Ψ ( r , t ) phải thỏa phương trình Schrưdinger: ∂Ψ ˆ = HΨ (IX.42) ih ∂t ˆ liên hệ đến Vì ta xem thể tích V không, toán tử Hamilton H động hạt: ˆ = pˆ = ( − ih∇ ) = − h Δ , (IX.43) H 2m 2m 2m với ∂2 ∂2 ∂2 Δ = ∇2 = + + (IX.44) ∂x ∂y ∂z Đặt r Ψ( r , t ) = Ψe −iωt = Ψe −(i h)εt (IX.45) đó, Ψ không phụ thuộc thời gian t Khi đó, phương trình Schrưdinger (IX.42) cho ta phương trình Schrưdinger không phụ thuộc thời gian: ˆ Ψ = εΨ , H (IX.46) hay mε ΔΨ + Ψ = (IX.47) h Phương trình (IX.46) chứng tỏ đại lượng ε tương ứng với giá trị riêng có ˆ H đó, lượng hạt Phương trình (IX.47) có nghiệm tổng quát: i( K x + K y + K z ) rr y z Ψ = Ae x = Ae iK r , (IX.48) r với K vectơ (có thành phần Kx, Ky Kz) gọi vectơ sóng Thay (IX.48) vào (IX.47), ta thấy (IX.47) thỏa nếu: mε − ( K 2x + K 2y + K 2z ) + = h tức là: h2K2 ε= (IX.49) 2m Bởi r pˆΨ = −ih∇Ψ = hKΨ , ta coù r (IX.50) pˆ = hK r Toùm lại, hạt tự có lượng ε động lượng p tương ứng với sóng phẳng có tần r r số góc ω vectơ sóng K liên hệ với ε p qua hệ thức Planck-Einstein sau: ε = hω r pˆ = hK , tức h2K2 p2 ε= = (IX.51) 2m 2m Chính hệ thức cho phép ta định nghóa vectơ sóng Fermi biểu thức (IX.39a) r Theo nhận xét mức Fermi μ , ta thấy không gian K , vectơ sóng có độ lớn nhỏ KF tương ứng với tất trạng thái riêng lẻ bị chiếm đóng nhiệt độ T = 0, r vectơ sóng có độ lớn lớn KF tương ứng với trạng thái trống Vậy, không gian K này, ta vẽ mặt cầu bán kính KF, mặt cầu phân chia trạng thái bị chiếm với trạng thái trống Hình cầu bán kính KF gọi hình cầu Fermi Động lượng Fermi, đương nhiên định nghóa: p F = hK F Từ định nghóa mức Fermi μ , ta định nghóa nhiệt độ Fermi TF (hay nhiệt độ suy biến) hệ thức: kTF = μ (IX.52) Ta thấy phép tính gần nhiệt độ không tuyệt đối nghiệm nhiệt độ hệ nhỏ nhiệt độ Fermi: (IX.53) T a ) IX.C.2 Các đại lượng đặc trưng Gọi ZV số electron hóa trị nguyên tử kim loại, số electron trở thành electron dẫn tạo thành hệ khí Fermi Gọi A khối lượng nguyên tử ρ khối lượng riêng kim loại, vậy, đơn vị thể tích có chứa ρ/A mol Mỗi mol lại có N A = 6,02.10 23 nguyên tử nguyên tử cung cấp ZV electron dẫn nên mật độ electron ρ (IX.69) n = ZV N A A Độ lớn n vào khoảng 1023 cm-3 (xem bảng IX.1), tức khoảng 1000 lần lớn mật độ khí cổ điển điều kiện thông thường Nguyên tố Li Na K Cu Ag Au Mg Fe Al Pb ZV n (10 cm-3) 4,7 2,6 1,4 8,5 5,8 5,9 8,6 17,0 18,1 13,2 22 1 1 1 2 rs (Å) 1,7 2,1 2,6 1,4 1,6 1,6 1,4 1,1 1,1 1,2 vF (10 cm/s) 1,3 1,1 0,9 1,6 1,4 1,4 1,6 2,0 2,0 1,8 μ0 (eV) 4,7 3,2 2,1 7,0 5,5 5,5 7,1 11,1 11,7 9,5 TF (104 K) 5,5 3,8 2,5 8,2 6,4 6,4 8,2 13,0 13,6 11,0 Baûng IX.1 (B.Diu et al) Trong bảng trên, ta thấy có nêu đại lượng rs, định nghóa bán kính khối cầu chứa trung bình electron, tức tích baèng 1/n: 1/ ⎛ ⎞ (IX.70) rs = ⎜ ⎟ ⎝ πn ⎠ Độ lớn rs hệ khí electron kim loại vào khoảng vài Å Đại lượng vF vận tốc Fermi, tức vận tốc electron có lượng Fermi tính bởi: hK F vF = , (IX.71) me có độ lớn đáng kể, khoảng 1% vận tốc ánh sáng chân không Các giá trị mức Fermi nhiệt độ Fermi tính theo công thức: h K 2F , (IX.72) μ0 = 2m e vaø μ h K 2F TF = = k 2km e (IX.73) Ta thấy kim loại, TF có giá trị nhỏ vào khoảng 104 Tức nhiệt độ T thông thường, ta có T > ⇔ ln⎜1 + ⎟ ≅ = eβ(μ − ε x ) ⎝ A⎠ A Vậy, phương trình (IX.94) trở thành J sat = J sat 4πemkT +∞ ∫e β (μ − ε x ) dε x h −W ∞ πemkT = − e β (μ − ε x ) − W β h [ J sat = 4πemk h (IX.97) ] T e β(μ + W ) (IX.98) Nhöng − W = μ0 + Φ , (IX.99) với Φ công thoát, nên ta có J sat = 4πemk h T 2e − Φ kT (IX.100) Công thức chứng tỏ mật độ dòng điện tích bão hòa Jsat tỉ lệ với T 2e − Φ kT Đó nội dung định luật Richardson-Dushman tượng nhiệt ion BÀI TẬP BT IX.1 Chứng minh đường biểu diễn hàm Fermi theo lượng ε với tham số T vaø μ: N ( ε, T, μ) = e β ( ε −μ ) + nhận điểm I(μ,1 / 2) làm tâm đối xứng BT IX.2 Hãy chứng minh hệ thức (IX.10): S = − k ∑ [(1 − N λ ) ln(1 − N λ ) + N λ ln N λ ] (λ ) cho entropi phân bố tắc lớn BT IX.3 Hãy chứng minh hệ thức (IX.64 67) cho hóa học lượng khí Fermi suy biến: ⎡ π ⎛ kT ⎞ ⎤ ⎜⎜ ⎟⎟ + O(T )⎥ 1) μ = μ ⎢1 − ⎢ 12 ⎝ μ ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ 2 ⎡ ⎤ 3 5π ⎛ kT ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ + O(T )⎥ , với E = Nμ 2) E = Nμ ⎢1 + 12 ⎝ μ ⎠ 5 ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ r BT IX.4 Biết lượng hạt tương đối tính có khối lượng tónh m0 động lượng p tính: ε = c m 02 c + p r Xét trường hợp vận tốc hạt lớn: p >> m c (chuyển động siêu tương đối tính) Hãy tính: Mức lượng Fermi μ = ε F lượng toàn phần E0 hệ khí Fermi lí tưởng hoàn toàn suy biến BT IX.5 Xét electron dẫn đồng xem hệ khí Fermi lí tưởng hoàn toàn suy biến 1) Dùng công thức tính số trạng thái dΩ( p) có độ lớn động lượng khoảng (p, p+dp) để tính trực tiếp động lượng Fermi pF Suy công thức tính mức Fermi μ = ε F 2) Các định giá trị số μ = ε F electron dẫn đồng Cho biết khối lượng riêng đồng ρ = × 10 kg / m Khối lượng nguyên tử đồng 63,6 g/mol, nguyên tử đồng cho electron dẫn Cho biết: h = 6,62 × 10 −34 J.s, k = 1,38 × 10 −23 J/K 3) Giải thích nhiệt độ 103 K, thống kê Maxwell-Boltzmann áp dụng cho electron dẫn đồng, ta giả sử mức Fermi μ = ε F không thay đổi theo nhiệt độ VẤN ĐỀ IX.A Áp dụng thống kê Fermi-Dirac vật lý thiên văn: tính áp suất lượng tử lùn trắng (Đề thi học kỳ môn Vật lý Thống kê, Lý 4, năm học 2000-2001) N ≈ 1.5 × 1030 cm − V khí gồm ion với mật độ hạt có độ lớn tương đương Nhiệt độ vào khoảng T ≈ 107 K Do mật Sao lùn trắng (LT) gồm hai khí xem tách biệt nhau: khí électron có mật độ hạt độ hạt có độ lớn đáng kể trên, áp suất lực hấp dẫn có khuynh hướng làm cho thể tích co rút lại lớn Những nghiên cứu gần cho thấy áp suất cân với áp suất lượng tử khí électron tạo nên làm cho LT bền vững (S Chandrasekhar, giải Nobel Vật lý 1983) Trong phần sau, ta xét mô hình đơn giản LT nhằm giải thích bền vững Ta để ý đến khí électron, với spin électron s = A/ Khí electron hoàn toàn suy biến LT Giả sử hệ khí électron khí lý tưởng có phổ lượng liên tục 1/ Chứng minh số trạng thái tương ứng với độ lớn động lượng électron khoảng p p+dp dΩ ( p ) = πVg h p dp (*), với g = 2s + bậc suy biến électron h số Planck 2/ Xét trường hợp électron hạt phi tương đối tính có khối lượng m a/ Từ (*), suy số trạng thái tương ứng với lượng có giá trị khoảng ε ε + dε là: dΩ( ε) = πVg h (2m )3 / ε1 / 2dε b/ Từ công thức tính số hạt toàn phần N hệ khí Fermi, tìm lại biểu thức sau cho nhiệt độ Fermi: h2 ⎛ N ⎞ TF = ⎜ 3π ⎟ mk ⎝ V⎠ 2/3 , m = 9.1 × 10 −31 kg h = 1.06 × 10 −34 J.s Hãy tính giá trị số TF 3/ Xét trường hợp électron hạt siêu tương đối tính, nghóa động lượng électron p >> mc , c vận tốc ánh sáng chân không: c = × 108 m / s , đó, lượng électron tính ε = pc Chứng minh nhiệt độ Fermi laø: 1/ hc ⎛ N ⎞ ⎟ ⎜ 3π k ⎝ V⎠ Tính giá trị số TF trường hợp TF = Kết luận: từ giá trị TF tính hai trường hợp phi tương đối tính siêu tương đối tính, ta co T / TF > mc F ⎢1 − 12π h p 2F ⎥⎦ ⎢⎣ c 3/ Dùng công thức tính số électron toàn phần N để tính động lượng Fermi p F theo N/V Từ đó, chứng minh rằng: P≈ hc α4 / ⎡ m 2c R ⎤ ⎢1 − 2 / / ⎥ , α R ⎢⎣ h π ⎥⎦ 12π / 9M với α = , M khối lượng xem khối cầu bán kính R, m p khối lượng proton, liên hệ với 8m p số électron N qua hệ thức N = M 2m p Chính áp suất lượng tử P cân với áp suất hấp dẫn PG : P + PG = , để tạo nên bền vững LT Chú ý từ kết trên, ta tìm công thức tiếng giới hạn Chandrasekhar, xác định giai đoạn cuối trình tiến hóa sao; có khối lượng lại (sau cạn hết nhiên liệu cho phản ứng hạt nhân) nhỏ giới hạn Chandrasekhar trở thành LT, vượt giới hạn trở thành neutron hay lỗ đen vũ trụ