Giáo trình vật lý thống kê phần 2 ts nguyễn bá đức

Chương PHÂN BỐ GIBBS 5.1 Phân bơ tắc Gibbs 5.1.1 Nguyên tác lý đảng xác suất, phản bố khơng Khi hệ lập trạng thái cân nhiệt động trạng thái vi mơ cấu thành hệ có nãng lượng thỏa mãn hệ thức: En e [ E E + ỐE} (5.1) Tổng số trạng thái lượng tử thỏa mãn điều kiện (5.1) gọi trọng sô' thống kê hệ cô lập Nguyên lý đáng xác suất: Khi hệ cồ lập trạng thái cân nhiệt động trạng thái vi mõ dĩ đểu có xác suất Hệ thức mô tá nguyên 78 79 Vật lỷ thõng kẽ lý dẳng xác suảt có dạng: -U-, = —= = const AT Trong hệ thúc (5.2) *•, xác suất trạng thái vi mò thứ I AF trọng số thóns kẽ hệ Xét tham số nhận nhữns giá trị rùy thuộc trạng thái vi mơ hệ ngẫu nhiên xác suảt tham số thứ I là: Õ 3i trons T tham số Ar, ưọng số thống kẽ trạns thái vi mò trọns số thống kẽ A r hệ Vì A r = const nên (5.3) có the viết lại thành: (5.4) Như xác suát £Ĩá trị T ị tham so J- ti lệ với số trạns t h i VI mò cho phép J nhận giá trị Biểu thúc (5.2) (5.4) gọi biếu thúc phân bõ khịng tắc 5.1.2 Phàn bị' Gibbs Trong thục tế hệ vĩ mỏ hệ mở hẽ kháo sát coi hệ hệ cò lập bao gồm cá vũ trụ Khi càn bans nhiệt dộng, nãng lượng hệ cô lập Eo = const với độ xác 6E Bài toán đặt xác định Tác suất để hệ trạng thái VI mô với nãna lượng Et Khi hệ cân bang với môi trườn ta có: Et ~ E n = Eũ = const Vật lý thống tó 80 Trong En lượng mơi trường ngồi Nếu Ei « dĩ nhiên E n < Eo ta có: Et « Eo En (5.6) Theo nguyên lý đẳng xác suất xác suất trạng thái lượng tử với lượng Et hộ tí lệ với số trạng thái lượng tử tưng ứng môi trường Ký hiệu A r(E t) sô' trạng thái lượng tử tương ứng, uiị(Eị) xác suất trạng thái lượng tử với lượng E ị, ta có: Ut(E>) ~ A r {En) - A T ( E - Et) (5.7) Nếu mơi trường có entropi s ta có: A r(£ũ - E t ) = exp | Ì ố ’(Eo - E t ) | (5.8) Trong (5.8) S(Eo — Et) giá trị entropi mơi trường ứng với lượng ngồi E n Từ (5.7) (5.8) ta có: u)t { E t ) ~ ex p ị^ ò X E o - E ,) j (5.9) Theo (5.6) ta khai triển: ò '(£ o - =s( E„ ) - ậ E ,) * A '( ío ) \ với ^ l (5.10) 71 / E n =Eo nghịch đảo nhiệt độ môi trường nhiệt độ xấp xỉ nhiệt độ En = E0 — E) Thay (5.10)vào (5.9) Vật lý thống kẽ 81 ý S(Eo) số, ta được: „ ,(£ ,) ~ e x p Ị ^ - ậ Ị ~ e x p j - |ì j = /le x p Ị - ^ Ị (5.11) Hệ sô' tỉ lệ A chọn cho Uị{Eị) thỏa măn điều kiện chuẩn hóa Y^ịUị{Et) = Từ ta có hệ thức xác định số A: A E '“ P{ - ế } = - A■' = E ' “ P { - ệ f } Gọi số trạng thái lượng tử có chung lượng Eị m ( E t), ta có: A~l = £ e x p | - | i j = ] T m ( E , ) e x p | - - ^ j = z (5.12) Hệ thức (5.12) xác định tổng thống kê hệ z ký hiệu đại lượng tổng thống kê Từ đó, hệ thức (5.11) viết lại dư # dạng: aJt{Et) = ^ ex p Ị - ^ l (5.13) Biểu thức (5.13) gọi biểu thức phân bố tắc Gibbs Phàn bố tắc Gibbs xác định xác suất trạng thái lượng tứ hệ có lượng E t hộ trạng thái cân nhiệt động với mòi trường Hàm phân bố Gibbs cho thấy lượng Eị tăng xác suất UỈỊ giảm theo qui luật hàm mũ Đồng thời, từ phân bố Gibbs ta tính giá trị trung bình đại lượng vật lý đặc trưng cho hộ vĩ mõ I 82 5.2 Vậ/ lý thống tí Phân bơ Gibbs cổ điển iHk 5.2.1 Điều kiện áp dụng phép gần cổ điển Trong điều kiện định ta mơ tả hệ học cổ điến thay cho học lượng tử Trong trường hợp trạng thái vi mô hệ ứng với điểm pha (p , q) không gian pha Nếu u(p, q) ỉà hàm phân bố xác suất xác suất để điểm pha hệ nằm yếu tố pha thể tích dpdq chứa điểm (p , q) u(p, q)dpdq Nghĩa thực phép chuyển gần đúng: u,{Eị) -* u ( p , q)dpdq (5.14) Điều kiện cho phép chuyển điều kiện áp dụng học cổ điển cho hệ vĩ mô Mỗi hạt vật chất hệ cô lập có lượng £, xung lượng P tuơiìg ứng với sóng Đơbrơi có tần số u vectơ sóng k xác định theo hệ thức £ = hu, h số Planck Bước sóng A viết theo hệ thức liên hệ với xung lượng p với p = y/ĩrnẽ ta có: ĩĩ A = TK = iĩh ĩĩh p„ - - v/ p2 m =e Gọi khoảng cách trung bình hạt hệ vĩ mơ a ap dụng thống kê cổ điển, ta phải có điều kiện A < < a hiệu ứng lượng tứ không đáng kể ta có: a » h - 7= s/me (5.16) 83 Iỉậl tý thốn e kẽ Nếu thè tích hẻ V' sị hat A' khoảng cách trung bình hạt ỉà: / (5.17) ■ -(£ ) ĐỘĨ1S trang hình gẨn đáp2 hat nhiệt độ T hệ '5.18) -: = k T Từ hệ ihức t5 ỉ6 j, - 5.17; ( ĩ ì i ị ta có ihè chấy dieu kiện áp dụng thóns kẽ điển ìà: l ' V \ 13 \ X ỉ t '2 >> Ó -19) Từ (5.19) ta có: n / \ r>>t ĩ { v ) 15 201 Từ hè thức (5.20) cho tháV truờna họp nhiệt độ cao mật độ hạt loãng ta có thê áp đuns thốna kê cố điển Mậl độ hạt ỮOP2 met đơn vi thè" tích yr nhiêĩ độ T; = ,y ) 201 nhiệt độ suy biến hệ Như ;heo (5 20' phải co điều tiện nhiệt độ T hệ 1cm so với nhiệt độ suy biến T; áp đụn® phép 2ẩn điír.2 cổ điển 52.2 B iể u thức phàn bỏ G ib b s cổ điên Theo hoc lương từ 1’á ọns bất định toa đê luợn^ p liẻn hệ vón thec hẻ thức Heisenberg: xung l _t Vật lý thống ké 84 Như vậy, hộ có bậc tự yếu tơ pha n h tương ứng với trạng thái lượng tử Nếu có / bậc tự yếu tơ' pha tương ứng tích ( ĩ ĩ h ) l Đối với yếu tơ' pha dpdq số trạng thái lượng tử là: với dpdq = dpidp - dpjdq\dq2 -dqỊ ý tới nguyên lý khong phân biệt hạt đồng số trạng thái lượng tử khác yếu tố pha là: Hàm phân bơ' xác suất tắc Gibbs thống kê lượng tứ có dạng là: Nếu chuyên sane thống kê cổ điển hàm phân bố xác suất có dạng biếu diễn qua Hamiltonian cổ điển H(p.q): (5.22) Xác suất đê’ trạng thái hệ nằm yếu tố pha dpdq có chứa điểm [ p , q) là: võ(p, q)dpdq — A exp Với điều kiện chuẩn hóa: (5.23) 85 Vật lý ihốnẹ kẽ T h a y ( ) v o (5 -2 ) ta c ó : Ax ĩỊầ n õ T j* x p ( - !ỉP 1) ,lpdq = i Đặt ^ = \ \ L h \ ỉ / exP ^ — = Z -1 ta xác suấĩ có chứa điểm (p q): -■(*,) = ì (5.24) z tons thốns kẽ cổ điển * Chú ý: • Đốĩ với hạt số trạna thái trona yếu tơ pha dpdạ có chứa điểm (p q) là: (/r = với xun2 lượn2 dp tron£ khòns gian ba chiều cổ điển dp = dpz dpydpz • Nếu chi quan tăm tới sơ trạng thái tron2 khoans xuna lượng [p.p - (ỉp) tọa độ q tùy ý sỏ' tran2 thái xác định bằns cỏns thức: ’■ - / * « ■ -" • Trong hệ tọa độ cầu thể n'ch n'nh bàna Còn2 thức: dp = dpxdpydpz — p2 sin Odởdsdp - 87 Xác suất hệ có nãng lượng E, sỏ' hạt A* cân với mịi tnrờns có nhiệt độ T có dạng: M N) ~ A r nịEo - E, Xo - V ) (5.32) Trons hệ thúc (5.32),Ar„ sò' trạng thái vi mò (trọna sò' thõng kẽ) ứna với nãn2 lượng sị' hạt mịi rruờns naồi Hệ thúc entropì mịi trườn2 nsồì ta cũns viết dạng: ị’„ = ẢrlnAr,, (5.33) Từ (532) (5.33) ta có: : r { S n{ E o - F t \ a - \ ) \ E , A ) ~ cxp (5.34) Hệ thúc S„(Eù — E t A*o — -V) entropi mõi trườns naoài hệ trạna thái cản Khai triển gần đúns hộ thức với điéu kiện (5.30) (5.31) ta có: S n(E - E t Xo - -Vì = S n( E .Vo)- E, Tron® hệ thúc (535) đại 1irons (4Ệ-}E=F - J T nhiệt độ mơi trườn2 ngồi (fy -} Y=v = —J- v’ới p hóa mịi trườns cũna dộ biến thiên nãns luợns truns bình sị hạl truns bình thay đổi đơn vị Do (5.35) viết sọn lại dans: 5,rvEo - Ft- Vo - -V) = s„i E0 \'o j - y - - (5.36) 153 nÊn n ị = n* biếh đổi ta có: t ^ ( f i i n ,n * n , - ,njv) = = n*¥(r»i n , nfcl - n , - n*f) (9.19) Theo (9.16) ta thấy toán lử n t = âfcâfc toán tử số hại đại hiọng rik = 0.1 $ ( n i r i 2, n* n i , r i f ỉ ) t r ị riêng hàm riêng toán lử số hạt - Giũa toán tử àfc tồn hộ thúc phân giao hoán: { i ã * } = {àì- ât} = 0: 92 ỏ 'b (9.20) { â j\â £ } = (9.21) ãià £ + â* à, = Hệ dao động tử điều hồ Dao động mạng tình thể đuạc xem nhũn2 giả hạt gọi phonon Dao động mạng tinh the có thê coi hệ dao động tử điều hoà- Hamiltonian hệ dao động lử điều hoà (dao động mạng) có dạng: (9.22) Trons Pk tốn tử xuns lượng có giá trị là: h d = - , h ê 71 Vật lý thống ké < 154 Xk toán tử toạ độ Hk Hamiltonian dao động tử < điều hoà Để xác định trị riêng, ta giải phương trình Shrodinger với Hamiltonian dao động tử điều hòa cách thay đổi biến hàm sóng qua số lấp đầy biểu diễn Hamiltonian qua toán tử sinh hạt hủy hạt 9.2.1 Xác định trị riêng cách giải phương trình Shrodinger với Hamiltonian Hk dao động tử điều hoà HlcVnk{Xk) = E nktynk(x k) (9.23) *„»(**) = (9.24) Enk = hwk {nk + - ) ; n k = 0, 1,2, (9.25) 155 Vật lý thống kê 92*2 Xác định trị riêng cách thay đổi biến hàm sóng qua số lấp đầy biểu diễn Hamil­ tonian qua toán tử ảnh hạt hủy hạt l c ó th ể đ ặ tc c to n tử s ìn h h t v h ủ y h i th e o c c to n tử tọ a độ ì k xung lượng pkdưới dạng: ; = ( ^ ~ y 2{ - \ ỉ k - I— 2/L.V m à* = 2/L.ìt T (9 -2 ) ( ) ta c ó h ệ ) ( ) + •— ) m í9-27) th ứ c c ủ a c c to n tử tọ a đ ộ xung loạng Ìk-Pk dạng: nr x t = V HL.Ìt pk = y / ĩứ n ^ t T h a y c c h ệ th ú c V2 X yắk ~-S Ìv ( ) (9 ) v o h ệ th ứ c H a m ilto n ia n (9.29) hệ dao động tử điều hòa Hk (9-22) ta có: H k = — (õ^ãt + àt ỏ ĩ) (9 ) D ọ a th e o h ệ th ứ c g ia o h o n g iữ a c c to n từ to đ ộ v to n tử x u n g toọng jrp —p ỉ = ih ta thu đuợc hệ thúc hệ thúc giao hoán toán tử àK à~ tốn tử huỷ hạt sinhhạt boson: àkàị —à^ã* = (.9.31) Vật lý thống ki 156 Thay (9.31) vào (9.30), ta có: H k = ^ p (2â+ â* + 1) = h L Jk ( + k + 1/2) (9.32) Đại lượng à^àk hộ thức (9.32) tốn tủ số hạt nil Giả sử $ n k hàm riêng chuẩn hoá Hamiltonian Hk biến số chất đầy hàm sóng hàm riêng toán tử số hạt fik, tức là: H k $ n k n k $ n k = = (9.33) E nk$ n k £ k $ n k = n k $ niỊ (9.34) Từ hệ thức Hamiltonian hệ dao động điều hoà (9.22) hộ thức giao hốn (9.31), ta viết Hamiltonian hệ dao động tử điều hồ thơng qua toán tử sinh huỷ hạt boson dạng: H = ^ k { â k + â k + 1/2) Từ hệ thức(9.32), (9.33) (9.34) ta có trị riêng thức (9.25): (9.35) Enk hệ Hk$ nk = h u k {à^ầk + 1/2 ) $ nfc = hhJk{nk + /2 ) $ nfc = hay: E n, = h h jk ( n k + 1/2); n k = 0,1, 2, Để dễ tính tốn, ta chọn gốc tính nãng lượng cho lượng trạng thái không, có độ biến thiên lượng (tức hiệu lượng) có ý nghĩa vật lý Khi đó, Hamiltonian hệ dao động tử điều hoà viết dạng: H = ^ h j j kà l ầ k k (9.36) Nhu đề cập đến dao động cùa mạng tình thể xem giả hạt đuọc gọi phonon Năng lượng phonon không liên tục nãng lượng rời rạc hu:, xung lượng phonon h k 93 Hamiltonian hệ điện tử Ta xét hệ điện tử gồm N hạt fermion đồng biểu diễn Hamiltonian hệ N điện tử thông qua toán tử sinh hạt huỷ hạ! fermion hai trường hợp: điện từ khịns có tương tác chún? có tương tác điện tử - điện tử 93.1 Trường hợp hạt điện tử khòng tương tác Phương trình Shrodinger hệ có dạng: - - -Of) = £ » # (& > X v ) (9.37) Với Ho = =1 H toán tử Hamiltonian hệ tương ứng trị riêng Eo = Y lk E k n k hà™ riêng ^(^1 £y) Đại lượng n* = 0.1 số điện tử trạng thái đơn hạt Toán tử H tốn tử Hamiltonian điện tử, ta có phương trình Shrodinger cho điện tử với Ek tương ứnglà hàm riêng trị riêng toán tử H là: H o * k ( = E kk( (9.38) Sử đụns phươns pháp toán tử sinh huỷ hạt fermion với điều kiện trị riêns Eo (9.37) khơns thay đổi ta thay biến Vật lý thống ké -158 hàm sóng \&(£i _£fỉ) qua hàm $ ( n i , -, n s ) dạng; 'M C - - , &v) — $ ( n i, n l , n k, , n i , , n N) (9.39) sau biểu diễn tốn tử Ho qua tốn tử sinh huỳ hạt fermion ơ^, àk, sử dụng (9.39) ta có: / / o $ ( n i n , - rỉ j, l ĩ s ) = = E 0$ { ĩ i i = ^ T ì -, n k .n , n N ) = E k n k$ { i ĩ i , n 2, -, nj t , , 7ij, , n N ) = k = ^ E kà*(ni, n2, O i , , nyv) (9.40) k đó: H0 = Y , E kà t k k (9.41) Biểu thức (9.41) Hamiltonian hệ AThạt điện tử khịng tương tác biểu diễn qua tốn tử sinh hạt huỷ hạt fermion Trong biểu thức (9.41) ta thay đại lượng vật lý toán tử, cụ thể thay xung lượng toán tử xung lượng, thay toạ độ tốn tử toạ đơ, thay nãng lượng tốn tử Hamilton, sau ta giải phương trình Shrodinger tìm nãng lượng hàm sóng biểu diễn Hamiltonian Phép biến đổi gọi phép lượng từ hố lần thứ Ta biểu diễn hệ thức (9.41) phép lượng tử hoá lần thứ hai: phép lượng tử hoá lần thứ hai ta coi hàm sóng trường cổ điển thay hàm sóng tốn từ trường Thực khai triển hàm riêng toán tử H (tương ứng với trị riêng E k) theo * Vật lý thống kẻ 159 hệ hàm riêng trực chuẩn: (9.42) k Trongđó Ck hệ số khai triển Tính giátrị trung bình lượng điện tử trạng thái \I>(£) biến đổi ta có kết thu hệ thức (9.41) 9.3.2 Trường hợp hạt điện tử tương tác với Hamiltonian N hạt điện tử tương tác tổng Hamiltonian hệ điện tử không tương tác Ho Hamiltonian hộ điện tử tương tác (interaction) với H i n t, có dạng: H = Ho + Hint (9.43) Trong đó, Hamiltonian hệ điện tử tương tác có dạng: H in t = ị j W (9-44) ^ ù Đại lượng W(£i£j) tương tác cặp hai hạt i J Trong trạng thái '!'(£,), giá trị trung bình tươngtác cập ứng với hạt điện tử là: ịw=ị Ị **(&) [J w o d C i] tương tự (9.42), ta đặt: p q (9.45) 160 V ật lý thống kê **«#) = £ « & ) ; * ♦ ( £ ) = £ c W ; k I thay hệ thức vào hộ thức (9.45) ta thu được: ' ị w= ị E / k,l,p,q (9.46) Để viết gọn hệ thức (9.46), ta ký hiệu: (kl\ w\pq) = Ị 'bĩ(Zi ) % ( t >j)w{ịjZi)ýp{Ẹ,j)'l!q{ịi)d£idịj Hệ thức (9.46) trở thành: ịw= s (kl\w\pq)c*kcìcpcq (9.47) k,l,p,q Nếu thay hệ số khai triển c toán tử sinh, huỷ hạt hàm sóng 'I' tốn tử tương ứng: Ck * ^k ỉ ^7 * ĩ * (6 ) - * (6 ); * « , ) - *(&); ^