Chöông IV NHIEÄT ÑOÄNG LÖÏC HOÏC THOÁNG KEÂ IV A Caùc ñaïi löôïng nhieät ñoäng löïc IV B Cô sôû cuûa nhieät ñoäng löïc hoïc IV C Khaûo saùt nhieät ñoäng löïc hoïc cuûa heä khí lyù töôûng IV A Caùc ñaï[.]
Chương IV NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC THỐNG KÊ IV.A Các đại lượng nhiệt động lực IV.B Cơ sở nhiệt động lực học IV.C Khảo sát nhiệt động lực học hệ khí lý tưởng IV.A Các đại lượng nhiệt động lực IV.A1 Công nhiệt lượng Ta xét hệ có tham số ngoại thể tích, thể tích biến thiên từ giá trị V đến giá trị V+dV Nếu trình biến đổi hệ chuẩn tónh để áp suất hệ có giá trị xác định p công vó mô nguyên tố mà hệ thực δW = pdV (IV.1) Nếu thể tích lúc đầu lúc sau hệ sau trình Vi Vf công thực hệ sau trình biến đổi tính Wif = Vf Vf Vi Vi ∫ δW = ∫ pdV (IV.2) Một cách tổng quát Wif phụ thuộc vào trình biến đổi (tức δW vi phân xác), gọi E lượng hệ E hàm trạng thái vó mô, tức giá trị f ∫ dE (IV.3) i không phụ thuộc trình mà phụ thuộc trạng thái đầu i trạng thái cuối f hệ (dE vi phân xác) Bây ta xét hai hệ vó mô tương tác với nhau, lượng hệ thay đổi thay đổi tham số ngoại biến thiên mà Do đó, ta phân biệt độ biến thiên lượng làm hai phần: phần thứ tham số ngoại biến thiên, công mà hệ nhận −W, phần thứ nhì lượng mà hệ nhận tham số ngoại không đổi nhiệt lượng Q Vậy độ biến thiên lượng ΔE hệ viết ΔE = − W + Q (IV.4) hay: Q = ΔE + W , (IV.5) độ biến thiên lượng không tham số ngoại Từ công thức trên, ta nhận xét δQ vi phân xác IV.A.2 Khái niệm nhiệt độ Từ định nghóa nhiệt độ: ∂S = , T ∂E với S = k ln Ω entropi Ω số trạng thái vi mô khả dó hệ, ta có: ∂ ln Ω β= = kT ∂E Nhưng Ω hàm tăng nhanh theo lượng: Ω ∝ E f , với f số bậc tự hệ (thường lớn hệ vật lý ta xét hệ vó mô) nên ta suy rằng: β>0 ⇒ T>0, (IV.6) tức nhiệt độ dương (Tuy nhiên, ta ý đến bậc tự spin mà không để ý đến chuyển động tịnh tiến ta có khái niệm nhiệt độ âm- Xem vấn đề II.A) Xét hai hệ S (E) S (E’) có nhiệt độ ban đầu đặc trưng βi β ′i ≠ β i Để hai hệ tương tác nhiệt với Gọi lượng lúc đầu lúc sau hệ S S’’ E i , E f vaø E ′i , E ′f Xác suất E + dE tính: để hệ S có lượng khoảng E ′ ′ P( E) = CΩ( E)Ω ( E ) ⇒ ln P( E ) = ln C + ln Ω( E ) + ln Ω ′( E ′) Vì xác suất P(E) phải tăng suốt trình nên: ′ ′ ∂ ln Ω( E) (E f − E i ) + ∂ ln Ω ( E ) ≥ ∂E ∂E ′ Vậy, từ định nghóa nhiệt lượng: Q = E f − E i ; Q ′ = E ′f − E ′i , ta coù β i Q + β ′i Q ′ ≥ , vaø từ Q + Q ′ = , ta có kết (β i − β ′i )Q ≥ (IV.7) Từ hệ thức trên, ta suy kết quan trọng hệ S nhận nhiệt, tức Q > (vì Q = Ef -Ei nên hệ nhận nhiệt: Ef > Ei ), ta phải coù β i > β ′i ⇒ Ti > Ti′ (IV.8) tức nhiệt lượng truyền từ S ’ sang S nhiệt độ S ’ lớn nhiệt độ hệ S Ta nói hệ S ’ “nóng hơn” hệ S Vậy khái niệm nhiệt độ chiều truyền nhiệt lượng Để đo lường nhiệt độ, ta thường dùng phương trình traạng thái khí lý tưởng Theo quy ước quốc tế, nhiệt độ tuyệt đối chọn điểm ba nước 273,16 tính độ Kelvin Nhiệt độ bách phân (độ Celcius) tính: θ = ( t − 273,16) C IV.A.3 Khái niệm entropi Xét hệ S tương tác nhiệt tương tác với hệ S ’ cho hệ S thực trình chuẩn tónh từ trạng thái có lượng tham số ngoại E x α đến trạng thái có E+dE x α + dx α Vì số trạng thái vi mô khả dó phụ thuộc E x α : Ω = Ω( E, x α ) neân d ln Ω = n ∂ ln Ω ∂ ln Ω dE + ∑ dx α ∂E α =1 ∂x α Với lực suy rộng X α liên kết tới tham số ngoại x α định nghóa ∂ ln Ω βX α = (IV.9) ∂x α vaø β= ∂ ln Ω , ∂E (IV.10) Ta coù n ⎡ ⎤ d ln Ω = β⎢dE + ∑ X αdx α ⎥ α =1 ⎣ ⎦ Nhưng công thực hệ δW = ∑ X α dx α nên α d ln Ω = β[dE + δW ] = βδQ δΩ = dE + δW nhiệt lượng thu hệ S Vậy δQ = d(ln Ω) = TdS β Từ dS = vậy: δQ , T (IV.11) dE = δQ − δW = TdS − δW Chú ý rằng, mặt dù δQ vi phân xác ta có dS vi phân xác, S tham số đặc trưng cho trạng thái hệ: f f δQ (IV.12) S f − S i = ∫ dS = ∫ T i i IV.A.4 Khái niệm nhiệt dung Xét trạng thái vó mô hệ vật lý khảo sát mô tả nhiệt độ T tham số vó mô khác ký hiệu y Nhiệt dung hệ định nghóa ⎛ ∂Q ⎞ ⎛ δQ ⎞ Cy ≡ ⎜ (IV.13) ⎟ = lim ⎜ ⎟ , ⎝ ∂T ⎠ y ΔT →0⎝ ΔT ⎠ y nghóa ta giữ y không đổi, cung cấp cho hệ nhiệt lượng nhỏ δQ xét thay đổi nhiệt độ hệ Vì δQ = TdS nên ⎛ ∂S ⎞ C y ≡ T⎜ ⎟ (IV.14) ⎝ ∂T ⎠ y Từ hệ thức tổng quát trên, ta định nghóa nhiệt dung đẳng tích Cv hệ thể tích V giữ không đổi: ⎛ δQ ⎞ ⎛ ∂S ⎞ CV ≡ ⎜ (IV.15) ⎟ = T⎜ ⎟ , ⎝ ∂T ⎠ V ⎝ ∂T ⎠ V nhiệt dung đẳng áp Cp hệ giữ áp suất p hệ không đổi: ⎛ ∂S ⎞ ⎛ δQ ⎞ Cp ≡ ⎜ (IV.16) ⎟ = T⎜ ⎟ ⎝ ∂T ⎠ p ⎝ ∂T ⎠ p IV.B Cơ sở nhiệt động lực học IV.B.1 Các nguyên lý nhiệt động lực học Nhắc lại ta có hệ thức thống kê entropi S số trạng thái vi mô khả dó Ω: S = k ln Ω , hệ thức thiết lập mối liên hệ tính vi mô (đặc trưng Ω) tính vó mô (đặc trưng S) hệ vật lý thông qua số Boltzmann k • Xét ba hệ A, B C Khi hai hệ A B tiếp xúc nhiệt trạng thái cân bằng, ta có hệ thức nhiệt độ TA TB A B: TA = TB Nếu A C tiếp xúc nhiệt trạng thái cân bằng, gọi TC nhiệt độ hệ C, ta có: TA = TC Vậy: TB = TC Từ nhận xét ta phát biểu “nguyên lý thứ nhiệt động lực học” “Khi hai hệ cân nhiệt với hệ thứ ba hai hệ cân nhiệt với nhau” • Khi hệ tương tác nhiệt tương tác với hệ khác hệ thay đổi trạng thái vó mô lượng E, đại lượng đặc trưng cho trạng thái vó mô hệ, biến thiên lượng ΔE = − W + Q , (IV.17) đó, W công hệ thực Q nhiệt hệ nhận Vậy, hệ cô lập: W = Q = 0, ta có: ΔE = tức là: ΔE = const Vậy, ta có nội dung nguyên lý thứ nhiệt động lực học sau: “Một trạng thái cân vó mô đặc trưng đại lượng nội E hệ, có tính chất sau: Đối với hệ cô lập: E = const Và hệ tương tác từ trạng thái vó mô chuyển sang trạng thái vó mô khác: ΔE = − W + Q với W công hệ thực Q nhiệt lượng thu hệ” Theo nhận xét phần IV.A.3 entropi, ta phát biểu nguyên lý thứ hai nhiệt động lực học sau: “Với entropi S đại lượng đặc trưng cho trạng thái cân vó mô hệ, ta có: Khi hệ đoạn nhiệt (không tương tác nhiệt với hệ khác) thực trình từ trạng thái vó mô đến trạng thái vó mô khác, entropi hệ tăng: ΔS ≥ Nếu hệ thực trình chuẩn tónh vô bé nhận lượng nhiệt δQ , độ biến thiên entropi tính: δQ dS = T với T đại lượng gọi nhiệt độ tuyệt đối hệ.” • Ta biết với f số bậc tự hệ có lượng E, số trạng thái vi mô khả dó hệ tính: Ω = E f Vậy: ln Ω = f ln E ∂ ln Ω f = , β= ∂E E vaäy: ∂β f = , ∂E E tức là: ∂β < ∂E Nếu gọi E0 mức lượng (mức lượng thấp nhất), tương ứng với E0, có trạng thái vi mô (nếu mức lượng suy biến) Có nghóa lượng E tiến E0 Ω trở nên nhỏ: ln Ω → , tức S → Ta có ∂T ∂β ∂β ∂T =− = ∂E ∂T ∂E kT ∂E ∂β < , nên ta phải có Theo trên: ∂E ∂T >0 (IV.19) ∂E Có nghóa lượng E giảm mức E0, nhiệt độ T hệ giảm nhanh Từ ta phát biểu nguyên lý thứ ba nhiệt động lực học: “Khi nhiệt độ tuyệt đối T giảm 0, ta có entropi S hệ giảm 0” Chú ý ta phải thận trọng xét hệ nhiệt độ thấp, hiệu ứng lượng tử xuất rõ, spin hạt nhân bắt đầu có ảnh hưởng giá trị entropi hệ định hướng spin hạt nhân Vì vậy, ta cho giá trị entropi S0, với S0 độc lập với tham số heä: S = k ln Ω S , (IV.20) đó, ΩS số trạng thái vi mô liên quan đến spin hạt nhân nguyên tử IV.B.2 Hệ thức nhiệt động lực học Vì số trạng thái vi mô khả dó Ω hàm lượng E tham số ngoại xα: Ω = Ω(E, xα), ∂ ln Ω , neân ta thiết lập hệ thức đại lượng theo hệ thức tính lực suy rộng: X α = β ∂x α Xα, xα ,và nhiệt độ T Cụ thể tham số ngoại thể tích V hệ: xα ≡ V, ta có công thức tính áp suất: ∂ ln Ω (IV.21) p= β ∂V laø haøm theo T vaø V: p = p(T,V) Từ đó, ta thiết lập hệ thức p, V, T: f(p,T,V) = (IV.22) gọi phương trình trạng thái hệ vật lý ta xét Khi hệ thực trình chuẩn tónh vô bé, ta có độ biến thiên lượng dE = δQ − δW Với xα ≡ V tham số ngoại: δW = pdV , Đồng thời, vì: δQ = TdS , ta có hệ thức nhiệt động lực học: (IV.23) dE = TdS − pdV Mặt khác, ta có công thức tính độ biến thiên hàm: E = E(S,V) theo hai biến độc lập S V ⎛ ∂E ⎞ ⎛ ∂E ⎞ dE = ⎜ ⎟ dS + ⎜ ⎟ dV ⎝ ∂V ⎠ S ⎝ ∂S ⎠ V Như vậy: ⎛ ∂E ⎞ ⎛ ∂E ⎞ T = ⎜ ⎟ , vaø p = −⎜ ⎟ ⎝ ∂S ⎠ V ⎝ ∂V ⎠ S III.B.3 Caùc hàm nhiệt động lực • Ta xét trường hợp (S,p) hai biến độc lập Vì d( pV) = pdV + Vdp , neân dE = TdS − d( pV) + Vdp ⇒ d( E + pV) = TdS + Vdp Ta đặt H = E + pV (IV.24) entalpi hệ Như dH = TdS + Vdp Mặt khác, H = H(S,p), nên ⎛ ∂H ⎞ ⎛ ∂H ⎞ dH = ⎜ ⎟⎟ dp ⎟ dS + ⎜⎜ ⎝ ∂S ⎠ p ⎝ ∂p ⎠ S Vaäy ⎛ ∂H ⎞ ⎛ ∂H ⎞ T=⎜ ⎟⎟ ⎟ , vaø V = ⎜⎜ ⎝ ∂S ⎠ p ⎝ ∂p ⎠ S • Bây ta xét trường hợp (T,V) biến độc lập Vì d ( TS ) = TdS + SdT , neân : dE = d ( TS ) − SdT − pdV ⇒ d ( E − TS ) = −SdT − pdV Nếu ta đặt (IV.25) F = E − TS lượng tự hệ, ta có d( F) = −SdT − pdV Nhưng F hàm theo biến (T,V): ⎛ ∂F ⎞ ⎛ ∂F ⎞ dF = ⎜ ⎟ dT + ⎜ ⎟ dV , ⎝ ∂T ⎠ V ⎝ ∂V ⎠ T nên ta có: ⎛ ∂F ⎞ ⎛ ∂F ⎞ S = −⎜ ⎟ , vaø p = − ⎜ ⎟ ⎝ ∂V ⎠ T ⎝ ∂T ⎠ V • Cuối cùng, ta xét trường hợp biến độc lập (T,p): dE = TdS − pdV = d(TS) − SdT − d( pV) + Vdp ⇒ d( E − TS + pV) = −SdT + Vdp Với lïng tự Gibbs định nghóa là: , (IV.26) G,= E − TS + pV ta có dG = −SdT + Vdp Và G = G(T,p), ta suy ⎛ ∂G ⎞ ⎛ ∂G ⎞ S = −⎜ ⎟⎟ ⎟ , vaø V = −⎜⎜ ⎝ ∂T ⎠ p ⎝ ∂p ⎠ T IV.B.4 Các hệ số nhiệt Nếu ta định nghóa hệ số nở thể tích đẳng áp: ⎛ ∂V ⎞ α= ⎜ ⎟ , V ⎝ ∂T ⎠ p hệ số nén đẳng nhiệt ⎛ ∂V ⎞ κ = − ⎜⎜ ⎟ , V ⎝ ∂p ⎟⎠ T (IV.27) (IV.28) ta chứng minh biểu thức liên hệ nhiệt dung đẳng áp Cp nhiệt dung đẳng tích CV sau: α2 C p − C V = VT (IV.29) κ IV.C Khảo sát nhiệt động lực hệ khí lí tưởng cổ điển IV.C.1 Khái niệm Khí lí tưởng hệ gồm N phân tử đồng nhất, độc lập (tức tương tác phân tử không đáng kể so với tổng lượng chuyển động tịnh tiến nội phân tử) Khi hệ khí khảo sát học thống kê cổ điển, ta có hệ khí lí tưởng cổ điển (hay gọi hệ khí lí tưởng không suy biến) Ta khảo sát khí lí tưởng lượng tử chương cuối Chú ý phân tử đơn nguyên tử (trường hợp khí He, Ne, Ar, …) hai nguyên tử (trường hợp khí H2, N2, HCl, …), ba nguyên tử (trường hợp khí CO2, H2O, …), … Nếu phân tử đa nguyên tử, nội phân tử phải gồm lượng chuyển động quay lượng chuyển động dao động Để phân tử xem độc lập nhau, khoảng cách trung bình phân tử phải đủ lớn, tức hệ khí phải đủ loãng IV.C.2 Khảo sát thống kê cổ điển Trong phép tính gần cổ điển, số trạng thái vi mô khả dó Ω(E) để hệ có lượng khoảng (E, E+dE) tỉ lệ với thể tích pha không gian pha tương ứng với lượng khoảng (E, E+dE): E + dE r r r Ω( E ) ∝ ∫ d r1d r2 d rN dQ 1dQ dQ N dP1dP2 dPN E đó, dQi, dPi độ biến thiên tọa độ động lượng tương ứng với chuyển động nội phân tử phân tử đơn nguyên tử Vì ta có: r ∫ d ri = V thể tích bình chứa khí nên Ω ( E ) ∝ V N ϕ( E ) , với: E + dE r r r ϕ( E) = ∫ dp1dp dp N dQ1dQ dQ N dP1dP2 dPN E độc lập thể tích V Vậy: ln Ω( E) = N ln V + ln ϕ( E) + ln C , với C số tỉ lệ Từ công thức tính áp suất p liên kết với tham số ngoại thể tích V: ∂ ln Ω , p= β ∂V ta coù 1N p= βV Ta suy phương trình trạng thái khí lí tưởng: (IV.30a) pV = NkT Đối với mol khí lí tưởng, N = NA số Avogadro, ta có: pV = N A kT (IV.30b) pV = RT đó, R số chất khí, tính: R = 8,31 J/K Ta viết phương trình trạng thái dạng: pV = ηRT , với η số mol khí hệ IV.C.3 Các định luật thực nghiệm khí lí tưởng Từ phương trình trạng thái trên, ta tìm lại định luật xây dựng từ thực nghiệm khí thực đủ loãng: • Định luật Boyle-Mariotte: Ở nhiệt độ không đổi, tích số áp suất thể tích số: pV = const • Định luật Gay-Lussac: Ở áp suất không đổi, thể tích chiếm khối khí định tỉ lệ thuận với nhiệt độ: V ∝ T • Định luật Charles: Ở thể tích không đổi, áp suất khối khí tỉ lệ thuận với nhiệt độ: p ∝ T • Định luật Dalton: Xét hỗn hợp gồm hai chất khí lí tưởngtrong thể tích V, nhiệt độ T Ta viết cho chất khí: p1V = η1RT vaø p V = η2 RT Khi tương tác phân tử bỏ qua, hỗn hợp khí tạo nên hệ khí lí tưởng nên pV = (η1 + η2 )RT Từ ñoù p RT p1 p p1 + p = = = = V η1 η2 η1 + η2 η1 + η2 Vaäy: p = p1 + p Tức áp suất hỗn hợp khí tổng áp suất riêng phần IV.C.4 Nội khí lý tưởng Theo công thức (IV.26): Ω( E) = CV N ϕ( E) , từ công thức: β = ∂ ln ϕ( E ) ∂E Tức β hàm lượng E: β= ∂ ln Ω , ta coù ∂E (IV.31) (IV.32) β = β( E ) ngược lại, ta có lượng E hàm nhiệt độ T: (IV.33) E = E(T ) Để có biểu thức rõ phụ thuộc lượng E nhiệt độ T hệ, ta nhớ lại chương I, ta thiết lập biểu thức (I.7b) cho khí lí tưởng đơn nguyên tử (không tính đến chuyển động nội phân tử) Ω( E ) = AV N E 3N Khi naøy ∂ ln Ω 3N , β= = ∂E E hay (IV.34) E = NkT Ta liên hệ đến định lí phân bố để tìm lại biểu thức trên, phân tử có ba bậc tự chuyển động tịnh tiến nên lượng trung bình phải kT Và hệ có N phân tử nên ta tìm lại hệ thức Đối với khí lí tưởng nói chung, ta coù: E = αNkT , (IV.35) với α = khí lí tưởng đơn nguyên tử, α = khí hai nguyên tử 2 Khi này, ta chứng minh hệ thức nhiệt dung đẳng áp Cp nhiệt dung đẳng tích CV (hệ thức Robert-Mayer): (IV.36a) C p − C V = Nk mol khí: Cp − CV = R , (IV.36b) chứng tỏ hiệu số Cp CV độc lập nhiệt độ T Hệ thức Robert-Mayer trường hợp cụ thể khí lí tưởng trường hợp tổng quát mà ta thấy (công thức (IV.25) ) IV.D Lý thuyết động học chất khí Trong phần chương, ta khảo sát phân bố vận tốc phân tử hệ khí lí tưởng cổ điển trạng thái cân Nên biết từ năm 1860, với nhận xét tổng quát tính đối xứng, Maxwell khám phá định luật phân bố vận tốc phân tử khí lí tưởng trạng thái cân Đến năm 1872, Boltzmann đặt giả thiết tán xạ phân tử không ảnh hưởng đến phân bố cân chứng minh định luật Ở đây, ta khảo sát phân bố vận tốc kết trực tiếp phân bố tắc Cũng cần hiểu định luật áp dụng cho tất lưu chất cổ điển, khí thực chất lỏng IV.D.1 Phân bố Gauss vận tốc Xét lưu chất gồm N phân tử đồng có khối lïng m, chiếm thể tích V cân nhiệt với hệ điều nhiệt có nhiệt độ T Giả sử chuyển động phân tử hệ mô tả học cổ điển r r Khi đó, trạng thái vi mô hệ đặc trưng vị trí ri vận tốc v i phân tử Năng lượng hệ tính N r r r r r r r r r r E( ri , r2 , , rN , v , v , , v N ) = ∑ mv i + U (ri , r2 , , rN ) , (IV.37) i =1 r r r U ( ri , r2 , , rN ) tương tác hạt (và với trường lực ngoài) Trong không gian pha 6N chiều, phân bố tắc cho ta tính xác suất tìm thấy hệ thể tích pha nguyên tố quanh điểm pha biểu diễn trạng thái N r r r r r r r dP( ri , r2 , , rN , v , v , , v N ) = A exp[−β∑ mv i2 + (IV.38) i =1 r r r r r r r r r + U ( ri , r2 , , rN )] d ri d r2 d rN dv 1dv dv N r Lấy tích phân biểu thức theo tất giá trị ri N phân tử, ta tính xác suất để r r r phân tử có vận tốc khoảng ( ri , ri + d ri ) laø N r ⎤ r r ⎡ r r r r dP( v , v , , v N ) = B exp ⎢ − β∑ mv i2 ⎥dv 1dv dv N ⎣ i =1 ⎦ (IV.39) Laïi lấy tích phân theo vận tốc tất phân tử trừ phân tử ta xét, ta có xác suất để phân tử r r r có vận tốc khoảng ( v i , v i + d v i ): r ⎡ r mv ⎤ dP( v ) = C exp ⎢ − β ⎥ ⎦⎥ ⎣⎢ Hằng số C tính từ điều kiện chuẩn hóa: ⎛ mβ ⎞ C=⎜ ⎟ ⎝ 2π ⎠ 32 Tức ⎡ mvr ⎤ (IV.40) exp ⎢ − ⎥ ⎢⎣ 2kT ⎥⎦ r r r r Vậy, số phân tử dN ( v ) hệ có vận tốc khoảng ( v i , v i + d v i ) tính: r r dN ( v ) = NdP ( v ) r ⎛ m ⎞ dP( v ) = ⎜ ⎟ ⎝ 2πkT ⎠ r ⎛ m ⎞ dN( v) = N⎜ ⎟ ⎝ 2πkT ⎠ 32 32 ⎡ m( v 2x + v 2y + v 2z ) ⎤ ⎥.dv x dv y dv z (IV.41) exp⎢− 2kT ⎥⎦ ⎢⎣ Công thức biểu thị định luật phân bố Maxwell vận tốc Số phân tử dN ( v x ) hệ có thành phần vận tốc theo trục Ox khoảng ( v x , v x + dv x ) có cách tích phân biếu thức (IV.41) theo v y v z : ⎛ mv 2x ⎞ m ⎟ dv (IV.42) exp ⎜ − ⎜ kT ⎟ x π kT ⎝ ⎠ dN ( v x ) phân bố Gauss đối xứng quanh v x = Ta có Đường biểu diễn hàm: ϕ1 ( v x ) = Ndv x dN ( v x ) = N kết sau cho giá trị trung bình v x độ thăng giáng σ = (Δv x ) : vx = (IV.43a) kT (IV.43b) m Chú ý kết (IV.43b) hoàn toàn phù hợp với định lí phân bố cho lượng: 1 E đ x = mv 2x = kT (IV.44) 2 Trên hình vẽ, ta có đường biểu diễn ϕ1 ( x ) cho khí O2 100 K 400 K σ = ( Δv x ) = v 2x = IV.D.2 Phân bố thống kê độ lớn vận tốc Từ phương trình (IV.41), ta viết tọa độ cầu vận tốc: 3/ ⎡ mv ⎤ r ⎛ m ⎞ dN ( v ) = N ⎜ ⎟ exp ⎢ − ⎥ v sin θdvdθdϕ ⎝ 2πkT ⎠ ⎣⎢ kT ⎦⎥ Khi lấy tích phân theo tất phương: θ ∈ ( 0, π ), vaø ϕ ∈ ( 0, π ), ta có hàm phân bố dN(v) phân tử có độ lớn vận tốc khoảng (v, v+dv): 3/ ⎡ mv ⎤ ⎛ m ⎞ dN ( v ) = N ⎜ (IV.45) ⎟ 4πv exp ⎢ − ⎥dv ⎝ 2πkT ⎠ ⎣⎢ 2kT ⎦⎥ dN ( v ) Đó hàm phân bố Maxwell cho Trên hình vẽ, ta có đường biểu diễn hàm ϕ ( v ) = Ndv khí O2 nhiệt độ 100K 400K Ta kiểm chứng đường biểu diễn đạt giá trị cực đại 8m / kT kT độ lớn vận tốc có giá trị v m = e m Ta tính giá trị trung bình v v2: 1∞ 2kT v = ∫ vdN( v ) = , (IV.46a) N0 πm v2 = 3kT 1∞ v dN ( v ) = ∫ m N0 (IV.47b) So sánh (IV.47b) với (IV.43b), ta nhận xét v = 3v 2x Điều hoàn toàn đương nhiên, ta có: v = v 2x + v 2y + v 2z , tất phương không gian tương đương (đẳng hướng) • Các kết lý thuyết phân bố Maxwell đối chứng với thực nghiệm, chẳng hạn phương pháp đo bề rộng Doppler vạch quang phổ phát xạ phân tử chất khí (vì phân tử chuyển động nên phân tử phát vạch quang phổ có tần số ν0, ta lại quan sát vạch phổ có tần số ν hiệu ứng Doppler− Xem lại giáo trình học đại cương) BÀI TẬP BT IV.1 Chứng minh hệ S tương tác nhiệt tương tác với hệ S ’ cho tích V hệ S thay đổi, ta có công thức tính độ biến thiên lượng dE = TdS − pdV BT IV.2 1) Hãy chứng minh hệ thức (IV.29): C p − C V = VT 2) Hãy chứng minh hệ thức Robert-Mayer (IV.36a): α2 κ C p − C V = Nk cho hệ khí lí tưởng BT IV.3 Hãy chứng minh hệ thức sau cho hệ nhiệt động lực (p, V, T): ⎛ ∂T ⎞ ⎛ ∂p ⎞ ⎛ ∂V ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = −1 ⎝ ∂p ⎠ V ⎝ ∂V ⎠ T ⎝ ∂T ⎠ p BT IV.4 Xét hệ khí lí tưởng có nội năng: E = αNkT Chứng minh : Cp α + γ= = CV α γ gọi hệ số Poisson BT IV.5 Xét khối không khí có khối lượng 10 kg xem khí lí tưởng hai nguyên tử, thực trình nhiệt động học nhận nhiệt lïng 10 kJ cung cấp công kJ Đồng thời, thực trình, vận tốc khối khí thay đổi từ m/s đến 15 m/s Hãy tính độ biến thiên nhiệt độ khối khí BT IV.6 Một khối khí lí tưởng đơn nguyên tử giữ áp suất 1,2 bar nhiệt độ 300K bình chứa hình trụ tích ban đầu : Vi = l , nhờ khối lượng M đặt piston có khối lượng m = kg Piston có độ cao ban đầu hi = 50 cm Khi lấy M đi, khối khí giãn nở theo trình chuẩn tónh áp suất thể tích trạng thái cân pf Vf Biết áp suất p0 = bar áp suất khí 1) Hãy tính khối lượng M áp suất pf trạng thái cuối 2) Tính tỉ số Vf/Vi Tf/Ti Tf Ti nhiệt độ lúc sau nhiệt độ lúc đầu khối khí Suy công nhận hệ khí VẤN ĐỀ IV.A Khảo sát nhiệt động lực Quá trình co rút hấp dẫn (gravitational contraction) Lực hấp dẫn nguyên nhân co rút Sau đây, ta khảo sát biến thiên khối lượng riêng, áp suất, nhiệt độ trình co rút Ta giả sử trình chuẩn tónh Gọi λ ( t ) thừa số co rút định nghóa bởi: R ( t ) = R λ( t ) , với R0 bán kính thời điểm t = 0, R bán kính thời điểm t Gọi u = r khoảng cách rút gọn đến tâm, với r bán kính Khối lượng riêng R thời điểm t tính: ρ( t, u ) = 3M πR f (u) , thời điểm ban đầu: ρ(0, u ) = 3M 4πR 30 f (u) Gọi số vạn vật hấp dẫn G 1) Tính ρ( t, u ) theo ρ(0, u ) vaø λ( t ) 2) Sử dụng cân áp suất lực trường hấp dẫn, từ định lí Gauss-Ostrogradski, viết biểu thức áp suất p( t, u ) theo p(0, u ) vaø λ ( t ) Giả sử áp suất hoàn toàn lực hấp dẫn 3) Tính nhiệt độ T ( t, u ) theo T (0, u ) vaø λ ( t ) Giả sử tạo chất khí mà ta xem khí lí tưởng VẤN ĐỀ IV.B Chu trình Carnot với tác nhân khí lý tưởng (KLT) Biểu thức entropi nhiệt động lực nguyên lý II NĐLH p Một động nhiệt (là máy biến nhiệt thành công) mà tác nhân KLT, thực chu trình Carnot (12341) nguồn nóng (nhiệt độ T1 ) nguồn lạnh (nhiệt độ T2 < T1 ), gồm hai trình đẳng nhiệt thuận nghịch (1,2) (3, 4) hai trình đoạn nhiệt thuận nghịch (2, 3) (4, 1) Chu H.IV.3 trình trình bày đồ thị (V, p) hình veõ (T1) (T2) V V1 V2 V3 Q1 + Q với Q1 : nhiệt lượng mà tác nhân nhận vào từ nguồn Q1 nóng Q : nhiệt lượng mà tác nhân nhả cho nguồn lạnh (vậy theo qui ước, Q1 < Q > ) Hiệu suất động định nghóa: η = 1/ Xét hai trình (1, 2) (3, 4) Dùng phương trình trạng thái KLT biểu thức công nguyên tố δW = -pdV để chứng minh rằng: Q1 = NkT1 ln V2 V vaø Q = NkT2 ln , V1 V3 với N số phân tử khí k số Boltzmann Suy biểu thức η theo T1 , T2 thể tích V1 , V2 , V3 V4 Nhận xét giá trị η 2/ Biết nội U KLT phụ thuộc theo nhiệt độ T theo hệ thức U = αNkT (*) với α tham số phụ thuộc vào tính chất phân tử khí, chứng tỏ nhiệt dung đẳng tích C v nhiệt dung đẳng áp C p KLT không phụ thuộc vào nhiệt độ Tìm lại hệ thức Robert-Mayer: C p − C v = Nk công thức hệ số Poisson: γ = Cp Cv =1+ α 3/ Bằng cách so sánh độ biến thiên nguyên tố nội dU tính theo hệ thức (*) theo nguyên lý I NĐLH: dU = δQ − pdV , chứng minh trình đoạn nhiệt, VT α = const Từ đó, chứng tỏ hiệu suất η chu trình Carnot phụ thuộc vào nhiệt độ T1 , T2 hai nguồn nhiệt Suy rằng: Q1 Q + = T1 T2 4/ Xét chu trình thuận nghịch Bằng cách phân chu trình làm vô số chu trình Carnot thuận nghịch, chứng minh đường lấy tích phân Như vậy, δQ ∫ T = Suy tích phân đường B δQ không phụ thuộc vào dạng T A ∫ δQ phải vi phân toàn phần hàm số Đó hàm nhiệt động lực T nào? Xét trình bất thuận nghịch để rút biểu thức vi phân nguyên lý II NĐLH VẤN ĐỀ IV.C Định thức Jacobien Hệ thức Robert-Mayer trường hợp tổng quát I/ Định thức Jacobien Giả sử u(x, y) v(x, y) hàm khả vi vùng Jacobien u v x, y định thức hàm bậc hai định nghóa bởi: ∂u ∂ ( u, v ) ∂x = ∂ ( x, y) ∂v ∂x ∂u ∂y ∂v ∂y Hãy chứng thực biểu thức sau: ∂ (v, u) ∂ (u, v) =− ∂ (x, y) ∂ (x, y) ∂ (u, y) ⎛ ∂u ⎞ =⎜ ⎟ ∂ (x, y) ⎝ ∂x ⎠ y ∂ (u, v) ∂ (u, v) ∂ (t,s) = ∂ (x, y) ∂ (t,s) ∂ (x, y) II/ Ứng dụng phép tính vi phân hàm nhiệt động lực 1/ Từ biểu thức vi phân nhiệt động Gibbs: dΦ = Vdp – SdT, chứng minh: ⎛ ∂S ⎞ ⎛ ∂V ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = − ⎜ ⎟ ⎝ ∂T ⎠ p ⎝ ∂p ⎠T 2/ Từ công thức định nghóa nhiệt dung đẳng tích CV nhiệt dung đẳng áp Cp,, dùng tính chất Jacobien để tính CV theo Cp biểu thức vi phân S V theo biến số độc lập (T, p) Suy công thức tính CV biết Cp Tìm lại hệ thức Robert-Mayer khí lý tưởng 3/ a/ Biết trình chuẩn tónh, entropi hệ nhiệt động không đổi, từ biể thức vi phân lượng tự Helmholtz dF, chứng minh: Tìm lại hệ thức: ⎛ ∂S ⎞ ⎛ ∂p ⎞ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎝ ∂V ⎠ T ⎝ ∂T ⎠ V T ⎛ ∂p ⎞ ⎛ ∂T ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ =− ⎟ C V ⎝ ∂T ⎠ V ⎝ ∂V ⎠S b/ Tìm lại hệ thức: C ⎛ ∂V ⎞ ⎛ ∂V ⎞ ⎟⎟ , ⎜⎜ ⎟⎟ = V ⎜⎜ ⎝ ∂p ⎠S C p ⎝ ∂p ⎠ T ⎛ ∂V ⎞ ⎟⎟ độ nén trình chuẩn tónh ⎝ ∂p ⎠S đó, ⎜⎜ VẤN ĐỀ IV.D Sự tiến hóa Trong vấn đề này, ta khảo sát hình thành Giả sử tạo chất khí gồm N nguyên tử hidrô có khối lượng mH Các điều kiện nhiệt độ áp suất làm cho hidrô tồn dạng nguyên tử ion mà không tạo thành phân tử Ngôi hấp dẫn E p ( R ) phụ thuộc bán kính R0 sao: M2 , E p (R ) = − G R0 với G số hấp dẫn M khối lượng sao: M = NmH A/ Dùng định lí virial để tính động trung bình nguyên tử Giả sử chất khí xem khí lí tưởng gồm nguyên tử trung hòa điện Suy nhiệt độ khối khí B/ Khi động chất khí đạt đến giá trị đó, va chạm nguyên tử gây ion hóa nguyên tử hidrô trở thành khối khí gồm hạt mang điện (proton electron) mà ta gọi plasma Để đơn giản vấn đề, ta chấp nhận tượng bắt đầu xảy động trung bình nguyên tử lượng ion hóa nguyên tử hidrô: E i = 13,6 eV 1/ Hãy tính nhiệt độ phân hóa tương ứng Suy bán kính tới hạn Rp (ở giới hạn Rp này, plasma bắt đầu hình thành) Tính Rp trường hợp Mặt Trời (M = 2.1030 kg) 2/ Giả sử khối plasma hoàn toàn bị ion hóa, ta xem khối khí khí lí tưởng Hãy tính nhiệt độ T’ hệ theo bán kính R0 3/ Biết nhiệt độ khối khí nhỏ nhiệt độ tới hạn Tc = 2.106 K, phản ứng nhiệt hạt nhân proton phát sinh plasma Hãy tính bán kính tới hạn Rc tương ứng Tính giá trị số M = 2.1030 kg Biết bán kính Mặt Trời R0 = 0,7.109 m Hãy chứng minh phép tính đơn giản cho ta hiểu làm phát sáng Chương V PHÂN BỐ CHÍNH TẮC LỚN CÁC THỐNG KÊ LƯNG TỬ V.A V.B V.C V.D Phân bố tắc lớn Phân bố tắc lớn giới hạn nhiệt động lực Hệ hạt đồng nhất, độc lập, không phân biệt Các phân bố lượng tử V.A Phân bố tắc lớn V.A.1 Khái niệm hệ trữ hạt Xét hệ S gồm hạt đồng hệ mở, nghóa trao đổi tự hạt với hệ lớn R gồm hạt giống hạt cấu tạo nên S Tất hạt không phân biệt (tức hạt hệ S thay hạt hệ R trạng thái S không thay đổi) Chú ý trao đổi hạt hai hệ S R trình trao đổi lượng hạt mang theo động năng, lại phụ thuộc số hạt Ta xét hệ tổng hợp S ∪R cô lập trạng thái cân bằng, có lượng Etc có số hạt tổng cộng Ntc Gọi E, N lượng số hạt hệ S , ER, NR lượng số hạt hệ R Giả sử tương tác hai hệ S R đủ yếu để ta có E tc = E + E R , N tc = N + N R , với E