Giáo trình vật lý thống kê phần 1 ts nguyễn bá đức

TS NGUYỄN BÁ ĐỨC GIÁO TRÌNH VẬT LÝ THỐNG KÊ ĐẬIHỌCTHẤINGUĨÊN n r a t ìĩ H H ọ c iiiu — , i NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC THẢI NGUYÊN NĂM 2012 Mã số: 02 ĐHTN - TS Nguyen Bớ Đức LỜI NĨI ĐẦƯ Giáo trình Vật lý thốns kẽ biên soạn theo chươns trình dành cho sinh viên học viên cao học chuvên naành Vật lý lý thuyết cùa trường đại học Giáo trình cũna tài liệu tham khảo bổ ích cho đội nsũ aiáo viên trườn2 cao đảns truns học phị thịns Nội dune ciáo trình trình bày nhữns sờ vật lý thòns kè cổ điển thòns kẽ lượri2 từ đồns thời áp dụns để nshièn cứu tính chất hệ thực, tượns neưns tụ Bose suy biên cùa khí Fecmi Tài liệu cũna xét đến lý thuyết trình càn bằna khõna càn bàns hệ nhiều hạt Tác 2Ĩã xin chăn thành càm Ofn GS TSKH Nsuvễn Vãn Hùns đọc sóp ý sửa chữa, bo suns cho tài liệu hoàn chinh: cảm ơn GS TS Nguyễn Quana Báu GS TS Vũ Hùng trons trình biên soạn tài liệu, tác sià tham khào sừ dụna sò nội duns trons tài liệu, siáo trình cdc aiáo sư chủ biên Lán siáo trình xuất bàn chán khòns tránh khỏi khiếm khuyết Tác eĩả mons nhận nhữne V kiến đóng góp đồns nshiệp độc siả để sĩáo trình hồn thiện hon trone lần tái sau Xin chân thành căm ơn! Titxẽii Ouiino Hãm 2012 TÁC GIÀ MỤC LỤC TRẠNG THÁI NHIỆT ĐỘNG QUA TRÌNH THAY Đ ổ i TRẠNG THÁI 1.1 Trạng thái nhiệt độns phươns pháp thống kê 1.2 1.1.1 Trạng thái vi mô trạns thái vĩ mô 1.1.2 Nghiên cứu hệ vĩ mô phương pháp thống k ê 12 Các đặc điểm trạng thái cân nhiệt độna 14 1.2.1 Trạng thái cân nhiệt độns thời sian 14 1.2.2 Trạng thái cân nhiệt động trạng thái ban đầu cùa hệ vĩ m ô 15 Mức độ ngẫu nhiên ưạna thái cân bằns nhiệt động 15 1.3 Tưcms tác hệ vĩ mơ q trình thav đổi trạns t h i 17 1.2.3 1.3.1 Tươno tác n h iệ t 17 1.3.2 Tương tác học c ô n g 18 ~) TS Nguyễn Bá Đức 1.3.3 Tương tác thông qua trao đổi vật c h ấ t 19 ĐỊNH LÝ LIOUVILLE MA TRẬN MẬT ĐỘ PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG CỦA MA TRẬN MẬT ĐỘ 22 2.1 2.2 2.3 Định lý L io u v ille ■ 22 2.1.1 Hàm phân bố xác s u ấ t 22 2.1.2 Định lý L iouville 24 2.1.3 Hệ q u ả 27 2.1.4 Vai trò lư ợ n g 27 Ma trận mật đ ộ 29 2.2.1 Ma trận mật đ ộ 29 2.2.2 Các tính chất ma trận mật đ ộ 30 Phương trình chuyển độns ma trận mật độ 32 2.3.1 Phương trình chuyển động ma trận mật độ 32 2.3.2 Hệ q u ả 33 2.3.3 So sánh khái niệm thống kê cổ điển thống kê lượng t 35 TRỌNG SỐ THỐNG KÊ - ENTROPI - NHIỆT ĐỘ 37 Trọng sô' thống kê trạng thái vĩ m ô 37 3.1.1 Trọng số thống k ê 37 3.1.2 Liên hệ nãng lượng trọng sô'thống kê 39 44 3.2.1 E n t r o p i 44 3.2.2 Các tính chất entropi 44 3.1 3.2 Entropi TS Nguyền Bá Đức 3.3 Nhiệt đ ộ 3.3.ỉ Sự phân bố lượng hệ cấu thành hệ cô l ậ p 48 3.3.2 Nhiệt độ tuyệt đ ố i 49 3.3.3 Các tính chất nhiệt độ tuyệt đối 51 3.3.4 Sự truyền nhiệt lượng hai vật tiếp xúc 52 3.3.5 Biến thiên entropi trao đổi nhiệt 54 VẬT LÝ THỐNG KÊ VÀ NHIỆT ĐỘNG HỌC 4.1 Vật lý thống kê đại lượng nhiệt đ ộ n g 4.1.1 4.1.2 4.2 4.3 48 56 56 Quan hệ nhiệt động học với vật lý thống kê 56 Các đại lượng nhiệt đ ộ n g Các nhiệt đ ộ n g 57 57 4.2.1 Hàm nhiệt ( e n ta n p i) 57 4.2.2 Năng lượng tự nhiệt động 59 Đạo hàm đại lượng nhiệt đ ộ n g 61 4.4 Quá trình Joule - T ho m so n 67 4.5 4.4.1 Quá trình Joule - Thomson 67 4.4.2 Quá trình thuận nghịch 68 Các bất đẳng thức nhiệt đ ộ n g 69 4.6 Nguyên lý độ không tuyệt đ ố i 72 4.6.1 Nguyên lý độ không tuyệt đ ố i 72 4.6.2 Tính chất số đại lượng nhiệt động độ không tuyệt đ ố i 72 TS Nguyễn Bá Đ ứt 4.7 Các đại luọns nhiệt động sô’ h t PHÂN BỐ GIBBS 5.1 5.1.2 5.2 78 Phản bỏ' tắc G i b b s 1.1 74 78 Neuyẽn lý đans xác suất, phản bố khône t c 78 Phàn bò G i b b s 79 Phân bỏ Gibbs cò đ i ể n 82 5.2.1 Điều kiện áp dụns phép gần cổ điển 82 5.2.2 Biểu thức phàn bô Gibbs cổ đ i ể n 83 5.3 Phàn bô Gibbs suy r ộ n a 86 5.4 Nãns lượng tự trons phản bô G i b b s 89 5.4.1 5.4.2 Hệ thức lượna tự nội nãna cùa hệ Irons phàn bò G i b b s 89 Hệ thức siữa nãna lượns truna bình, nãns lượns tự entropi trons phàn bò G ib b s 90 PHÀN BỘ MAXWELL - BOLTZMANN PHÀN BỌ FERMI - DreAC PHÀN BỐ BOSE - EINSTEIN 6.1 6.2 92 Phàn bò Maxwell - B oltzm ann 92 ỉ Phàn bõ Maxwell - Boltzmann 9- 6.1.2 Còns thức phân bò M axw ell 9- 1.3 Còns thức phân bỏ Boltzm ann 9Í Hệ hạt khõns tươne tác TS Nguyen Bá Đức 6.3 6.4 6.2.1 Hàm sóng hệ lý tư n g 97 ó.2.2 Đối với hệ hạt fermion độc l ậ p 98 6.2.3 Đối với hộ hạt boson độc l ậ p 99 Phân bố Bosẽ - Eisntein, phân bố Fermi - Dirac phân bô B o ltzm a n n 99 6.3.1 Sơ hạt truns b ì n h 100 6.3.2 Phàn bố Bose - E is te in 102 6.3.3 Phân bô Fermi - D ir a c 103 6.3.4 Phân bố B oltzm ann 106 Khí điện tử tự trona kim l o i 107 6.4.1 107 Đặc điểm cùa khí điện từ tự d o 6.4.2 Khí điện từ tự độ khơng tuyệt đối 6.5 107 6.4.3 Khí điện tử tự nhiệt độ t h ấ p 109 Hệ hạt boson nhiệt độ t h ấ p 113 Q TRÌNH KHƠNG CÂN BANG THEO LÝ THUYẾT CỔ ĐIỂN 117 7.1 Hàm phân bỏ' khôna cân b ằ n g 117 7.2 Phương trình B oaoliubov 119 7.3 Hệ phươns trình V l a s o v 124 7.4 Phươna trình độna học Boltzmann Phương pháp 2ần theo thời g i a n 128 7.4.1 Phươr»2 trình động học B oltzm ann 128 7.4.2 Phươno pháp aần đúns theo thờis i a n 130 Vật lý thốn ? kê r 9* 5? Q TRÌNH KHƠNG CÂN BANG THEO LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ 136 8.1 Phươna trình Liouvillelượng t 136 8.2 Lý thuyết phản ứng tuyến t í n h 138 8.3 Lý thuyết phản ứng khôns tuyến t í n h 143 PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬSINH HẠT VÀ HỦY HẠT 148 9.1 9.2 Phươno pháp toán tử sinh hạt huỷ hạt boson fermion 148 9.1.1 Khái niệm 148 9.1.2 Toán tử sinh hạt huỳ hạt b o s o n 150 9.1.3 Toán tử sinh hạt huỷ hạt ferm io n 151 Hệ dao độna tử điều h o 153 9.2.1 9.2.2 9.3 Xác định trị riêng cách aiải phươns trình Shrođinger với Hamiltonian Hk dao động tử điều h o 154 Xác định trị riêng cách thay đổi biến hàm sóng qua số lấp đầy biểu diễn Hamiltonian qua toán tử sinh hạt hủy hạt 155 Hamiltonian hệ điện t 157 9.3.1 Trường hợp hạt điện tử khôna tuơng tác 157 9.3.2 Truờns hợp hạt điện tử tươne tác với 159 9.4 Hamintonian hệ điện tử - p h o n o n 161 9.4.1 Tương tác điện tử p h o n o n 161 9.4.2 Hamintonian hệ điện tử - p h o n o n 163 Vợ/ lý thôn %ké 63 thúc vi phân đại luạng nhiệt động Ta có: \d v )T - e v \a r )v - T {dp)T (4.20! Tương tự ta có: / ds \ (3$ \ d ị ỡ\ VãpJT = ~dP [âfjp = ~ãĩ [dp)T Ị Dựa vào đẳns thức d E = T d S — P d \ ' ta tính đạo hàm: ( § a - ( § a ,p (4 :: Hoặc thay (4.20) vào biểu thức (4.22) ta có: (3 r X = r ( i f ) - p Tươna rự ta suy cơn2 thức sau: 14 2? Vật lý thống ké 64 (ỉa -(§ a -m ( ) , — « ( » ) , Ta tính nhiệt dung đẳng tích c v theo nhiệt dung đẳng áp Cp phương trình trạng thái dùng đại lượng nhiệt động T p biến số độc lập Vì C v — T ( f ậ ) v- nên dựa vào phép biến đổi Jacobien ta biến đổi đạo hàm (§ f ) v sang biến số độc lập khác Ta viết biểu thức nhiệt dung đẳng tích theo phương trình trạng thái vật nhiệt dung đẳng áp nó: ^ _ - r r f d s \ _ rrd(s,v) ^ Ỉ Ị S Ị v “ T {dT )v - Tt r M =TẸ Ể rp\ d T j p \ d P J T \dPJT\dTJr \dp)r C \’ = (ậS) Cp — T V dp) T \arJ p (\dPÌT &) Vật tỹ thốn %ké 65 Thay (4.21) vào biểu thức trẽn ta có cơng thức phải tìm: (ỄL)2 Cp - C v = - T ' t Ễ y E (4.29) \àp>T Tuơns tự biến đổi Cp = T ( § ậ ) p sana biến sỏ T \ thu cơns thúc: (M r C p-C v = - T ^ ± tă i-ị.30í íf»r Đạo hàm ( ! £ ) < dãn đẳng nhiệt áp suất vật ln siám từ (4.30) ta thấy đốivới vật nhiệt dung đãna áp lỏn nhiệt duna đẳna tích: Cp > (TY (4.3 1) Vì entropi vật khơn2 đổi q trình dãn co đoạn nhiệt nên siữa áp suất, thể tích nhiệt độ vật xác định bans đạo hàm khác Đối với đạo hàm nhiệt độ theo thể tích, chuyển sane nhữna biến số độc lập \ T ta có: ỊoT \ 1, ứ ) , r ,-j à T T ■: J # Thav (4.20) vào i.4.32) ta có: r , ịf)T_ i v CV u - T ! - - 21 V ật lý thống kí 66 Tương tự ta suy cơng thức: = ĩ (Ẽ K ) (ễ l) ,4.34, Từ công thức ta thấy hệ số dãn nở nhiệt ( I Ịf)p > dãn đoạn nhiệt, nhiệt độ vật hạ xuống, hệ số dãn nở nhiệt ( | ^ ) p < dãn đoạn nhiệt, nhiệt độ vật tăng lên Hệ số co đoạn nhiệt ( § p ) s vật tính theo hệ thức: fdv\ U-fVs d(K S) jg jjg tK T ) 9(P,S) ệ^aịP.T) ( § ) y (dv\ (Iệ)j,\dp)T (dV\ Cv [dV\ {ap)s ~ CP \dp)T tÁ^ Từ (4.35) (4.31) ta suy độ co đoạn nhiệt nhỏ độ co đẳng nhiệt giá trị tuyệt đối Sứ dụng hệ thức (4.29), (4.30) (4.35) ta thu hệ thức sau: fdv\ (dv\ T (d v \ \ 8p ) s ~ \ d p ) T + Cp \dT J p (ỞP\ w ) (dP\ s ~ w ) T fdP\ t C v \Ò t ) v (437) 67 Vật tỹ thốn ° ké 4.4 Quá trình Joule - Thomson 4.4.1 Quá trình Joule - Thomson Quá trình Joule-Thomson mộc q trình tron2 vật chất áp suất Pi chảy chậm vào nơi có áp suát Pọ cho rrons suổt trình áp suất P\ Ạ vẵn khôn2 thay đổi (soi q trình dims) Q trình q Rình khịns thuận nahịch Giả sử luọng khí cách nhiệt tích l ị áp st Pị chuyển trạng thái san2 the tích lộ có áp suất p2, độ biến thiên nãns luợna A E = E? — Ei cịng khối khí sản tron2 q trình biến đổi the tích khỏna có trao đổi nhiệt A.4 = P; \ ĩ — p>ỉ nghĩa là; A E = A-4 —* E l — P\ \ = E -2 ■+- P ì \ :2~ đóns thời hàm nhiệt H' = E — P Y nên ta có: li', = \V; (4.38) Như tron2 trình Joule - Thomson, hàm nhiệt chát khí đuạc bảo tồn Khi hàm nhiệt khơng đổi biến thiên nhiệt độ áp suất biến thiên nhỏ trình Joule - Thomson xác định bỡi đạo hàm ( f p ) u- biến đổi chuyển sans biến sơ độc lập p T ta có: Thay Cp = ( f £ ) r ( f £ ) r = V - T ( ^ ì p từ còng thức (4.8) (4.26t vào (4_39) ta được: Vật lý tlĩống kị 68 Sự biến t h i ê n entropi trình c h u y ể n từ áp suất p | tới áp suất xác định đạo hàm ( f p ) W/- Từ hệ thức vi phân toàn phần hàm nhiệt d\v = TdS + VdP hay d s = —Y Đe thuận tiện, ta bó chi sơ khồna ưong đại lượng p T coi siá trị cãn bằna (4.-14) trớ thành: (4.45) ỔE — TỐS — Pỗ\ > Khai triển ỔE thành chuỗi theo ị’ \ ' với độ xác đèn sò" hạng bậc hai ta thu được: jY'~ '1 Vật lý tliống kị 70 ^ § = T , § = - p , nên: Í E = TỔS - PSV + ỉ ( S # - ^ * * • * p í v * ) (4.46) Thay (4.46) vào (4.45) ta thu điều kiện: Để bất đẳng thức (4.47) với ÓS ỖV tuỳ ý cần phải có hai điéu kiện: - Điều kiện 1: d 2E > ds (4.48) ữ-F, Với Ệ ậ — ( § ^ ) v- = ỊT-, VÌ vậy, điéu kiện (4.48) có dạng ỵỊ- > 0, đồng thời T > nhiệt dung đẳng tích ln dương: Cv > (4.49) - Điều kiện 2: d 2E d 2E ( d 2E \ _„ d S2 dV2 \dV dS) > Ta viết điều kiện (4.50) dạng Jacobian: 8(6' r ) ° (4 '50) 71 Vạ/ /ỹ thôn ẹ te (i-.r) d(s.v) ( ôĐ )), c, a u -)T c v > nẽn bất đản2 thúc tươns đươns với điểu kiện (4.51) Hệ thúc (4.51) cho thấy nhiệt độ khơne địi nẽu thè tich tãns lèn áp suất siãm nsược lại Các điểu kiện (4.49) (4.51 I đuọc 2ỌÌ nhữn2 bất đầns thức nhiệt động Nhữns trạne thái khỏns thỏa man điéu kiện nhữns trạns thái khòng khỏns thê tồn Theo (4.51) (4.31) (4.49) kết luận rẳns ln ln có: Tính dươne c v Cp chi rõ: - Năns lượn2 hàm nhiệt độ hàm tãne đơn điệu thể tích khõns đổi - Hàm nhiệt cũns hàm cũa nhiệt độ hàm tảng đơn điệu áp suất khòns đổi - Entropi hàm tãna đơn điệu với nhiệt độ thể tích khịng dổi áp suất khịng đổi Vật lý thống ki 72 4.6 Nguyên lý độ không tuyệt đối 4.6.1 Nguyên lý độ không tuyệt đơi Ta biết, nhiệt dung đẳng tích C v > lượng hàm tăng đơn điệu nhiệt độ nhiệt độ giảm lượng giảm đơn điệu, độ không tuyệt đối, vật phải trạng thái với lượng thấp Đồng thời, lượng vật vĩ mơ coi tổng nãng lượng phần vĩ mô nhỏ cấu tạo nên nó, lượng cực tiểu tất thành phần phái tương ứng với giá trị cực tiểu cúa tổng Như vậy, độ khơng tuyệt đối, phần vật có trạng thái lượng tử bán định, trọng số thống kê A r phần đơn vị tích chúng đơn vị, nghĩa trọng số thống kê trạng thái vĩ mơ tồn vật đơn vị, theo định nghĩa ta có entropi s = k ln Ar, entropi cúa vật không Nguyên lý độ không tuyệt đối: độ không tuyệt đối, entropi vật không, hay nói cách khác trạng thái hệ khơng thay đổi nhiệt độ không tuyệt đối Nguyên lý độ khơng tuyệt đối cịn gọi ngun lý Nernst 4.6.2 Tính chất sơ đại lượng nhiệt động độ khơng tuyệt đối Khi T —* nhiệt dung đẳng tích nhiệt dung đẳng áp đề khơng 73 Vộ/ /ý rhịn° ké Theo định nshĩa nhiệt dung ta có: c Khi T —>■0 s —» —oc entropi —* nên — - Khi — hệ sỏ' dãn nờ nhiệt = - S d T - V d P - ụ d S 1,4.641 Tương tự ta có: Vật ly thống kê 76 Trong hộ thức trên, hệ số /z gọi hoá cùa vật đạo hàm riêng đại lượng nhiệt động E H F cụ thê nhu sau: Như nghĩa hố thu phép đạo hàm tfong đại lượng E, w , F, $ theo số hạt N , nhiên biểu thị qua biến số khác Lấy vi phân 3> theo dạng (4.60), ta thấy ịi — ( ^ ) = f ( P ,T ) , nghĩa là: $ = Nụ, (4.66) Như vậy, hố vật khiết khơng khác nhiệt động ĩ> ứng với phân tử Qua biểu thức cho thấy hóa ịi khơng phụ thuộc vào số hạt /V Do đó, vi phân cùa hoá // viết cho hạt, với s entropi thể tích ứng với hạt là: dụ, = —s d T + v d P (4.67) Nếu xét lượng vật chất xác định số hạt N đại lượng khơng đổi, cịn thê tích V đại lượng biến đổi Nhưng xét tích V xác định với lượng vật chất chứa tích đại lượng biến đổi !à số hạt /V cịn thể tích V khơng đổi, d V — đẳng thức hàm nhiệt dộng từ (4.61) đến (4.64) với biến độc lập S', T, p, V N tùy theo hàm nhiệt động viết dạng: - Nãng lượng: d E = T d S + ịid N (4.68) Vật lý thòng kẽ - Hàm nhiệt: đ \ v = Tdò' + \ 'd P T Ị id X (4.69) - Nãns lượng tự do: d F = - S d T + ịiđ X (4.70) = —S d T -r \ ' (ỈP + /irf.Y (4.71) - Thế nhiệt động: