PHẦN II
Trang 2Vật lý thông kê 159
1 XAC SUAT VA ENTROPY THONG KE (2001-2013) 2001
Một đao động tử diều hoà cổ điển khối luong m va dé cling k co nang lượng toàn phẩn #, nhưng hồn tồn khơng biết thời điểm ban đầu của nó
Tim hàm mật độ xác suất p(z) sao cho ụ(z)dz là xác suất để khối lượng
nam trong khoang cach x mot doan dr (MIT ) Lời giải: Từ định luật bảo toàn năng lượng, ta có ky kẻ E=-l= gf = at +a Ở 7? , m trong do ¡ là biên độ đao động Suy ra chu kì đao động là I dx m T=2| ỞỞỞ=\( _ I, J2E~kz2 k m Do đó ta có 1 2dt 2 m 2 Molde =F = Pp (GP) ar 1 1 k \2 te) = > (aps) hay 2002
Giả thiết có hai loại (vi khuẩn) E coli, ỘđỏỢ và ỘxanhỢ, Mỗi loại vi khuẩn sinh sản giống hệt như nhau (vô tắnh) bằng cách phân đôi, đỏỞỈđỏ+ đỏ hoặc
Trang 3160 Bài tập và lời giải Nhiệt động lực học và Vật lý thống kê
Ộdân sốỢ đám vi khuẩn vào khoảng 10.000 bằng cách ăn những con vắ khuẩn (một cách ngâu nhiên)
(a) Sau một thời gian rất dài, xác định phân bó xác suất của sô vì khuẩn
ỘdoỢ,
(b) Phải đợi khoảng chừng bao lâu để câu trả lời này là chắnh xác?
(c) Nếu động vật ăn thịt ưa ăn những vi khuẩn ỘđỏỢ hơn là vi khuẩn ỘxanhỢ khoảng 1% thì điều đó ảnh hưởng như thê nào đôi với các kết quả câu (a) và
câu (b)? -
(Princeton)
Lời giải:
(a) Sau một thời gian đủ dài, những vi khuẩn sẽ tăng lên tới một con số
khổng lồ W > 10.000 nêu không có động vật ăn thịt Việc động vật ăn thịt ăn những con vắ khuẩn một cách ngẫu nhiên về mặt toán học là tương đương với sự chọn z+ = 10.000 vi khuẩn từ W con, như những con còn sông sót W >> n có nghĩa là trong mỗi sự lựa chọn xác suất để E coli ỘđỏỢ và ỘxanhỢ sống sót là như nhau Có 2" cách lựa chọn, và có C? cách để rw vi khuẩn ỘđỏỢ sông sót vr 2 A A z Ấ 2 & Ổ 5 ` Do đó phân bô xác suất cua so E coli ỘdoỢ la Là 1 n! gn Cm = On Ộ mÌ(n ể m)i ` m=0,1l, ,n.- (b) Chting ta doi héi N > n Thực tế chỉ cần W/n + 102 là đủ Vì W = 2n, nén t = 6 dén 7 gid sẽ là đủ Z Âu x - : ~ 24 1 ` ; Aly ~
Trang 4Vật lý thỗng kê 161
2003
(a) Ma trận mật độ rút gọn trong không gian toạ độ và xung lượng là ụ1? (b) Kắ hiệu ma trận mật độ rút gọn trong không gian xung lượng bằng ở(P4, pƯ) Chứng tổ rằng nếu Ư là chéo, tức là, %(PI, P2) = (P1)p:p; Ỉ thì những yếu tô chéo của ma trận mật độ toạ độ là hằng số (SUNY, Buffalo) Ldi giai:
(a) Ma tran mật độ rút gọn là biểu thức ma trận của toán tử mat dé A(t)
trong một tập hợp trực giao đây đủ của các trạng thái đơn tuyến, trong đó toán tử mật độ p(t) được định nghĩa sao cho giá trị kì vọng của một toán tử bắt kì Ô là (Ô) = tr(Ô2(0)] Ta biết rằng tập hợp trực giao đây đủ của các trạng thái đơn tuyến trong không gian toạ độ là {Ir)}), từ đó ta có thể nhận được ma trận mật độ rút gọn trong không gian toa độ là (r|ô(ặ)|r) Tương tự, ma trận mật độ rút gọn trong không gian xung lugng la (pỖ|6(t)|p), trong do {|p)} là tập trực giao dây đủ của các trạng thái đơn tuyến trong không gian xung lượng, (b) (r12(0)jr) = Đ `('Ip)(p']2()|p)(p|r) pỖp 1 = 7 OPỖ p) exp(i(rỖ - p! - r- p)) pỖp 7S (Pip exvlir! Ở 1) +p) I| P'P CFP) exp (ile! Ở 1) -p) p Ly Ả , 1 2 tx ay pk Khi đó những yêu tô chéo (r|ô(0)|r) = Ù >pẶ(p) hiển nhiên là hãng sỐ 2004
(a) Xét một số lớn hạt W được đặt trong từ trường ngoài H Mỗi hạt có
spin 1/2 Tìm số trạng thái khả đĩ đối với hệ như là một hàm số của A/;, thành
Trang 5162 Bài tập và lời giải Nhiệt động lực học và Vật lý thông kê
cực đại
(b) Định nghĩa không độ tuyệt đối của nhiệt độ nhiệt động lực học Giải
thắch ý nghĩa của nhiệt độ tuyệt đôi âm, và cho một thắ dụ cụ thể để chỉ ra nhiệt độ tuyệt đôi âm có thể đạt tới như thê nào
(SUNY, Buffalo)
Lời giải: ;
(a) Spin của một hạt có hai định hướng khả đĩ 1⁄2 và Ở1⁄2 Gọi số hạt có spin 1⁄2 mà hướng của chúng cùng chiều với H là N; và số hạt có spin Ở1⁄2 ngược hướng với H là N¡; khi đó thành phân của spin toàn phần theo hudng cua H la M, = aM Ở~N\) ViNy +N, =N, ta dude N; = ầ + Mẹ và N No = 57 M, Số trạng thái của hệ là d N! XI NIM TN HAI l5 + Mel! l5 - MỊh N Q= Dùng công thức Stiring, ta nhận được = Nia Ny In Ny Ở Ni In Ny = NinN ~ Nein Ny, - (NỞ Ny)In(NV Ở Ny) Vi đliQ ON; = ỞInN; +In(N Ở- Ny) =0, T Ộ N , ` - oe k a ` ' taco N; = 3 tức là khiA/, = 0 số trạng thái của hệ là cực đại (b) Xem bài 2009 2005
Có một mạng (nguyên tử - ND) một chiều với hằng sô mạng ụ như trên hình 2.1 Cứ mỗi r giây một nguyên tử lại địch chuyển từ một vị trắ đến vị trắ gần nhất bên cạnh Xác suất dịch chuyển sang phải và trái tương ứng là p và
Trang 6Vật lý thông kê 163
Hình 2.1
(a) Tắnh vị trắ trung bình # của nguyên tử ở thời diém t = Nr, voi N > 1;
(b) Tắnh giá trị toàn phương trung bình (z Ở #)? 6 thai diém ¡ (MIT) Lồi giải: (a) Chon vi tri ban dau của nguyền tử ở gốc z = 0, với trục-z hướng sang phải Ta có >= e = Ừ nN =nỢ Ở N)aphqỲ" VỊ TL n 0 = 2q 0 Sàn N! n Nn] _ Na Pap 4 CN Ở nyt? 3 SỐ 8 ; = 2apỞ_(p + q)Ợ -Na= Na(p Ở 4) , P N = ND (b) 2? = 2~nỳ[N= ay Ởw(2n Ở N)?a?phgX~"ệ n=0 Ừ 9 & a = 4a*pỖ sp +a)Ợ ~ 4(N~ 1)a p 0039) q)Ỳ + NỢa? = Na*\(N - 1)(pỞq)? + 1] ,suy ra (x Ở #)? = 2? Ở # = 4NaỖpq 2006
(a) Nêu định nghĩa của entropy trong vật lý thông kê
Trang 7164 Bài tập và lời giải Nhiệt động lực học và Vật lý thông kê
thể giả thiết rằng 4 có thể được chia ra thành hai hệ con B và Ể có tiếp xúc yêu với nhau, nhưng mỗi hệ con vẫn còn ở trạng thái cân bằng nhiệt động nội
tại
(UC, Berkeley)
Lời giải:
(a) S = kin, trong đó k là hằng sô Boltzmann và $2 la tổng sô các trạng
thải vi mô của trạng thái vĩ mô đã cho
(b) Giả thiết rằng nhiệt độ của hai hệ con tương ứng là 7Ừ và Tc với
Tu > Tịc Theo định nghĩa của entropy, nêu có một năng lượng nhỏ A > 0
trao đổi giữa chúng (ttt B dén C), thi
A A
ASzg=-Ở ASo=Ở SB Ts Sc ToỖ
TT
AS=<ASg+AsSe= TP ỞÍA >0 Talc
Khi 7; > 7c, không có cân bằng nhiét giita hai hé con, va AS > 0 Khi 73 = To, tttc 1a hai hé con 6 trang thai can bang, AS = 0
2007
Nêu định nghĩa thống kê của entropy của Boltzmann và trình bay ngắn gọn nhưng rõ ràng ý nghĩa vật ly của nó Một hệ có hai mức (năng lượng -
ND) gom N = nj + ny hat được sắp xếp vào hai trạng thái 1 và 2 tương ứng
với năng lượng E và #; Hệ tiếp xúc với một bình điều nhiệt ở nhiệt độ 7 Nếu xảy ra một phát xạ lượng tử đơn lẻ vào bình điều nhiệt, số hạt trong các trạng thái sẽ thay đổi nạ Ở mạ Ở 1 và mị Ở mị + L Đôi với nị Ừ> 1 và nạ >> l1, hãy rút ra biểu thức cho độ biên thiên entropy của
(a) hệ hai mức, và của
(b) bình điều nhiệt, và cuỗi cùng
(c) từ (a) và (b) nhận được hệ thức Boltzmann dối với tỉ số n/N
(UC, Berkeley)
Lời giải:
Trang 8Vật lý thông kê 165
là thước đo sự hỗn loạn của hệ
(a) Độ biến thiên entropy của hệ hai mức là NI kl NI Ộ= ` ` n re (mạ Ở 1)!{m + ĐI nh! 2 kin Trị + Ì ny AS; =kin ~ kin (b) Độ biến thiên entropy của bình điều nhiệt là EạỞ=b AS> = FF (c) TY AS; + ASỪ = 0, ta có n Ở và(_Ea= Eìị mm P kT 2008
Xét một hệ gồm một sô rất lớn W nguyên tử có thể phân biệt được, không chuyển động và giữa chúng không có tương tác, mỗi nguyên tử chỉ có hai mức năng lượng (không suy biến): 0, > 0 Goi B/N là năng lượng trung bình trên mỗi nguyên tử trong giới hạn Ở oo
(a) Xác định giá trị cực dai kha di cha E/N néu hệ không nhất thiết ở
trong trạng thái cân bằng nhiệt động? E/N có thể đạt giá trị cực đại bằng bao
nhiêu, nếu hệ ở trạng thái cân bằng (tất nhiên, với nhiệt độ đương)?
(b) Đôi với trường hợp cân bằng nhiệt động, tắnh entropy trên mỗi nguyên tử, S/N, như là một hàm của ặ/N
(Princeton)
Lời giải:
(a) Nêu hệ không nhất thiết ở trạng thái cân bằng nhiệt động, giá trị cực
đại kha di cha E/N 1a c; néu hé 6 trạng thái cân bằng (với nhiệt độ đương),
giá trị cực đại khả dĩ của E/N là z/2 tương ứng với 7 ỞỈ Ủ
(b) Khi năng lượng trung bình trên mỗi nguyên tử là ặ/N, thì có Z/ hạt ở mức năng lượng e và số trạng thái vi mô là
Ị
Trang 9166 Bài tập và lời giải Nhiệt động lực học và Vật lý thỗng kê Do đó entropy của hệ là NI 8-klin==Ởz Ủ5 Nếu E/z Ừ 1,4 Ở Ƒ/z > 1, ta có S Ble ok E/e EN Ộ=i No - 2/2 yy 2 ểỞ= N= N k In ứ In = ụ ni ) m ( - | BEN E 1 =k Ants (1 ve} rÌ : N E Ne 1 _Ở eX 2009
Xét một hệ có W hạt không tương tác, mỗi hạt được cô định tại một vị trắ
và có mômen từ /, hệ được đặt trong từ trường ?7 Khi đó môi hạt có thể tồn tại ở một trong hai trang thái năng lượng 7? = 0 hoặc #; = 2/:H Xem như các hạt có thể phân biệt được
(a) Entropy Ế của hệ có thể được việt đưới đạng 8$ = klnO(Ƒ), với k là hằng số Boltzmann và ặ là năng lượng toàn phần của hệ Giải thắch ý nghĩa
của O(ƑE)
(b) Viết một công thức cho 5(Ỉ), trong đỏ ụ là số hạt trong trạng thái trên,
Vé phac dé thi ham S(7)
(c) Rút ra công thức gan dung Stirling đôi với n lồn:
lì! = nhìn Ởn
bang cach thay gan dung Inn! bang mot tich phan
(d) Dùng kết quả ctia (c) viét lai két qua ctia (b) Tìm giá trị của ¡ sao cho
S(n) là cực đại
(e) Xem như F 1a liên tục, chứng tỏ rằng hệ này có thể có nhiệt độ tuyệt
đôi âm,
(Đ Tại sao nhiệt độ tuyệt đổi âm lại có thể có ở đây nhưng lại không thể có đôi với một khôi khắ trong hộp?
Trang 10Vật lý thông kê 167 Lời giải: (a) Q(E) là tồn bộ sơ các trạng thải vi mô khả đĩ của hệ khi năng lượng của nỏ là #, trong do O<E<Ne, :Ư=2uH (b) Vì các hạt có thể phân biệt được, nên Nt Q= HI(N Ở n)t Do đó S= kìn CH ae = S(n)
Chú ý rang S(n = = Sắn = N) = 0, và ta chờ đợi Sạax xuất hiện tại
n= ứ /2 (sẽ chứng mình trong câu (d) dưới đây) Đề thị của 5(Ừ) được biểu điên ở hình 2.2 (c) Inn! = SO Inm & fr Inedz =ninnỞ-n+1 2 nlnnỞn, (Abi voi n ]ón) NT , N Tt (2s Non NonỢ In Noon: is =0 dẫn đến dn N nl roy N aT) Inn Ở Ở, tints Ởn)=0 Vi thé, S = Swax khin = N/2, S(n) Ộ1N N/2 N , Hình 2.2 ^ 1 _ 1 (e) VÌ / = ne, nén S = Spa, khi E = ge Khi # > 2À, $e < 0 (xem | as
h 2.2) , VÌ - lớn = ỞỞ ip ta có 7 < 0 khi E > Áe/2 Ỗ i Ne/2,
Trang 11168 Bài tập và lời giải Nhiệt động lực học và Vật lý thông kê
một hàm tăng của năng lượng Z; vì vậy nhiệt độ tuyệt đôi âm không thể xảy ra,
Theo quan điểm về năng lượng, ta có thể nói rằng một hệ với nhiệt độ
tuyệt đôi âm là ỘnóngỢ hơn bất kì một hệ nào có nhiệt độ đương
2010
Một vật rắn bao gồm W nguyên tử từ tắnh có spin Với nhiệt độ đủ cao mỗi
spin được định hướng hoàn toàn hỗn loạn Khi nhiệt độ đủ thấp tat cả các spin trở nên hướng đọc theo một chiêu như nhau (thắ dụ, sắt từ) Ta hãy biểu điễn
gan đúng nhiệt dung như là một hàm của nhiệt độ 7' bởi cự) - ự (#- ) khi 7\/2< 7 < Tì 0 khi trong đó T¡ là một hằng số Tìm giá trị cực đại của nhiệt dung riêng c¡ (bằng cách xét entropy) (ÚC, Berkeley) Lời giải: Ty C =T#, ta có ỘoC S(oo) Ở S(0) = | Ở=đT = c¡(1ỞIn2) Ũ T Mặt khác, từ định nghĩa của entropy S(0} = 0, S(oc) = WMkIn2; do đó _ Nkin2 _ 1-2'` CỊ 2011
Tắnh đàn hồi của một dải cao su có thể được mô tả bằng mô hình polymer
một chiều bao gồm W nguyên tử được nói liền thành một dãy Góc giữa các liên kết kế tiếp có thể bằng 0ồ hoặc 180ồ
(a) Chứng tỏ rằng số những cách sắp xếp được thực hiện trên toàn độ dài
L = 2md được cho bởi
2N!
N + N '
Ở+m)!|[-Ở 2 3 m !
Trang 12Vật lý thông kê 169
Hãy nêu rõ lập luận mà bạn dùng để thu được kết quả này
(b) Đỗi với ra < N, biểu thức trên trở thành
g(N,m) 3% g(N,0) exp(Ở2m?/N)
Tim enrropy của hệ như là một hàm s6 cha L khi N Ừ 1,1 < Nd
(c) Tìm lực cần có để đuy trì độ đài L khi L < Nd
(đ) Tìm hệ thức giữa lực và độ dài, mà không đùng điều kiện trong câu (c), tức là, đổi với mọi giá trị khả dĩ của , nhưng N > 1 (UC, Berkeley) ỞỞdỞ~ N phân tử N= hằng số) Q o-SỞSa= = chiều dài một liên kết @Ở >@ỞỞỪx@Ở> Hình 2.3 Lời giải: (a) Giả thiết rằng có M+ liên kết với góc 0ồ và N_ liên kết với góc 180ồ khi đó N.ỞN = 2m N.+N_ Ở Do đó N N N.=Ở + 5 +m, N_=_Ở_-rm, 5 m
Trang 13170 Bài tập và lời giải Nhiệt động lực học và Vật lý thông kê (c) Từ các hệ thức nhiệt động đU = TdS + ẶdL và F' = U Ở TS ta được dF = ỞSdT + fdL Do dé %\ _ _ fOS\ _ kb OT), = \OL)/, Nữ ` f = NdỀ + Ể Vì Ặ = 0 khi 7 = 0, suy ra krkL f= Nd? `
(đ) Xét chỉ một liên kết Khi dùng ngoại lực Ặ xác suật để góc là 0ồ hoặc 180Ợ tương ứng tỷ lệ với e? hoặc eỞ#, ở đây a = fd/kT Do dé dé dai trung bình trên mỗi liên kết là e* Ở-e % 1 = dỞỞỞ_=dtanha e= + caỘ Khi đó độ dài toàn bộ của polymer là L= NĨ= Ndtanh(fd/kT) 2012
Xét một chuỗi một chiều bao gồm nự >> 1 mắt xắch như được minh hoạ trên hình 2.4 Gọi độ dài của mỗi mắt xắch là ụ khi chiều dài của mắt xắch song song với chuỗi và bằng 0 khi mắt xắch là thẳng đứng (tức là, chiều đài của
mắt xắch vuông góc với hướng của chuỗi) Mỗi mắt xắch chỉ có hai trang thai,
hướng nằm ngang và hướng thẳng đứng, và mỗi trạng thái đó đều là không suy biên Khoảng cách giữa hai đầu mút của chuỗi là nz
` > Ke ` a ` A 7 (a) Tìm entropy của chuôi như là một hàm số của z
(b) Tìm một hệ thức giữa nhiệt độ 7 của chuỗi và sức căng Ƒ cần thiết để
duy trì khoảng cách nz, bằng cách đảm bảo cho các mối nồi quay tự do (c) Với những điều kiện nào câu trả lời của bạn dẫn tới định luật Hooke?
Trang 14Vật lý thông kê 171 nx Hinh 2.4 Lời giải: + wk va 2 Keay , ` Ổ ề Ổ
(a) Khắ chiếu dài của chudi 1a nz, tic la cO m = naz/a mat xắch song song
với chuôi; do đó tông các trạng thái vi mô là n! Q=CR = rnÌ(n Ở rn)} ` Từ đó, ta có S=klnĐ | = kn (4n)! (n Ở Zn)!
(b) Dudi tac dung cha tng svat F, hiéu nang lượng giữa các trạng thái thẳng đứng và song song của mắt xắch là Ƒụ Chiều dài trung bình của một mắt xắch là , ach a/kT ~ Ly Fare ` Sao cho naeFa/KT ma
(c) Khi nhiệt độ cao,
Đây chắnh là định luật Hook
2013
Trang 15172 Bài tập và lời giải Nhiệt động lực học và Vật lý thông kê năng lượng cần thiết để di chuyển một nguyên tử từ một nút mạng đến một vị trắ trông và gọi ụ là sô nguyên tử chiêm các vị trắ trồng khi cân bằng
(a) Xác định nội năng của hệ?
(b) Xác định entropy S? Suy ra công thức tiệm cận dùng được cho trường
hop n> 1?
as x 2 oA a ặ oA z Ậ A A
(c) Khi cân bằng ở nhiệt độ 7, có bao nhiêu các khuyêt tật như vậy trong
vật rắn, tức là ; bằng bao nhiêu? (Giả thiết n > 1.)
(Princeton)
Lời giải:
(a) Gọi Uo là nội năng khi không có nguyên tử nào chiếm các vị trắ trồng Khi ụò vị trắ trông bị chiếm chỗ, nội năng của hệ là
U =Ua+nE
(b) Có CỮ' cách lựa chọn n nguyên tử từ N nuit mang, va CệỖ cach dat chúng vào X vị trắ trong, do đó số trạng thái vì mô là O = (CY) Do dé
ậ = kin = 2kIn ~ Somes "AWN Ởn)!
Khắ n > 1 va (N Ở n) > 1, tacé In(n!) = ninn Ở n, do dé S = 23k[Nln N Ở nìÌng Ở (N Ở n)]n(N Ở n)} (c) Với nhiệt độ và thể tắch có định, năng lượng tự do là cực tiểu khi cân bằng Từ Ƒ' = Ứo +nE Ở TS và 8F/đn = 0, ta có N ` nn 2 THÔNG KE MAXWELL-BOLTZMANN (2014-2062) 2014
(a) Giải thắch thông kê Boltzmamn, thông kê Fermi và thông kê Bose, đặc
Trang 16Vật lý thông kê 173 (b) Hãy giải thắch về mặt vật lý vì sao sự khác biệt của ba dạng thông ké
trên trỏ nên không quan trọng nữa khi ở giới hạn nhiệt độ cao (nhiệt độ như
thế nào là cao)? Không chỉ đơn thuần trắch dẫn các công thức
(c) Trong phạm vi nhiệt độ nào sẽ phải áp dụng thông kê lượng tử cho một tập hợp các nơtron được đàn trải trên một mặt phẳng hai chiều với số nơtron trên một đơn vị diện tắch là ~ 10!2/em2?
(SUNY, Buffalo)
Lời giải:
(a) Thông kê Boltzmann Đôi với một hệ định xứ, các hạt có thể phân biệt
được và số hạt chiếm một trạng thái lượng tử đơn không bị hạn chế Số hạt trung bình chiếm mức năng lượng c; là
aj = wyexp(Ởa Ở fey) , trong dé w, 14 dé suy bién cha mitc nang lugng thir J
Thông kê Fermi Đôi với một hệ gồm các fermion, các hạt không thể phan biệt được và tuân theo nguyên lý loại trừ Pauli Sô hạt trung bình chiêm mức năng lượng ề; là
wr
a, = eather 41 T1
Thông kê Bose Đôi với một hệ hạt gồm các boson, các hạt không thể phân biệt được và số hạt chiếm một trạng thái lượng tử đơn không bị hạn chê Số hạt trung bình chiếm mức năng lượng z; là Ol Catber | (b) Từ (a) ta thấy rang khi eệ >> 1, hodc exp(Ởa) <1, WwW) ỞỞỞỞỞỞ ^ể ca+8&¡ +1 we oF `
và sự khác biệt của ba loại thống kê trên biến mắt
Tre *=n (ster) (n là mật độ số hạt), ta thây rằng điều kiện trên được thoả mãn khi 7 > # *Ộ, Do đó sự khác biệt theo ba loại thông kê trên
trỏ nên không quan trọng nữa ở giới hạn nhiệt độ cao
Trang 17174 Bài tập và lời giải Nhiệt động lực học và Vật lý thông kê
lớn, lớn hơn nhiều so với tổng số hạt Do vậy xác suất để hai hạt chiếm cùng một trạng thái lượng tử là rầt nhỏ và nguyên lý loại trừ Pauli được thoả mãn
một cách tự nhiên Do đó, sự phân biệt giữa thông kê Fermi và thông kê Bose
không còn nữa
(c) Sự cần thiết phải sử dụng các thông kê lượng tử nảy sinh ra từ hai điểm sau đây Thứ nhất là tắnh không thể phân biệt được của các hạt và nguyên lý loai triy Pauli, vi thé ma e~* = n (bar ) không phải là rất nhỏ hơn 1 (suy biến) Thứ hai là sự lượng tử hoá các mức năng lượng, tức là AE/k7, ở đây AE là khoảng cách giữa các mức năng lượng, không phải là rất nhỏ hơn 1 (gián đoạn)
Dối với hệ nơtron hai chiều,
AE_ kh kT Ở 2mkTL2 `
Lay L = 1 cm, ta có 7 10~13 K Do đó các mức năng lượng là gần như liên tục ở nhiệt độ thông thường Vì vậy sự cần thiết phải sử dụng các thông kê lượng tử thực tế là do điểu kiện suy biến mạnh quyết định
h2
2 Ộae Ở 1 " (7) x
Thay giá trị các đại lượng vào biểu thức trên, ta thây rằng phải sử dụng các thông kê lượng tử khắ 7 < 1072 K
2015
(a) Trình bày những khác biệt căn bản trong các giả thuyết làm cơ sở cho
các thông ké Maxwell-Boltzmann (MB) va Fermi-Dirac (FD)
(b) Vẽ phác đồ thị của hàm phân bó năng lượng ở hai nhiệt độ khác nhau đói với hệ hạt tự do tuân theo thông kê MB và hệ hạt tuân theo thông kê FD Chỉ ra đường cong nào ứng với nhiệt độ cao hơn
(c) Giải thắch ngắn gọn sự không phù hợp giữa những giá trị thực nghiệm của nhiệt dung riêng của kim loại và tiên đoán của thông kê MB Thông kê FD ca khắc phục khó khăn đó như thê nào?
(Wisconsin)
Lai giai:
Trang 18Vật lý thông kê 175
1) Nguyén ly vé tinh khéng thé phan biét: cac hat đồng, nhất không thể phân biệt được với nhau
2) Nguyên lý loại trừ Pauli: không thể có quá một hạt chiêm một trạng thai lượng tử
Trong giới hạn không suy biên, thông kê FD từ từ trở thành thống kê MB (b) p() cho số hạt trong khoảng đơn vị năng lượng hoặc ở mức năng lượng
z Hình 2.5 cho phác thảo của các phân bỗ năng lượng ((a) MB, (b) FD) (E) l (E) p I p reo h>n ` h Ty > h E Er E {a) Thống kê MB (b) Thống kê FD Hình 2.5
(c) Căn cứ vào thống kê MB (hoặc nguyên lý phân bố đều năng lượng), đóng góp của một êlectron vào nhiệt dung riêng của kim loại sẽ là 1,5 K Điều này không được thực nghiệm xác nhận, nó chỉ ra rằng đóng góp của các êlectron trong kim loại vào nhiệt dung riêng thường có thể bỏ qua trừ trường hợp ở những nhiệt độ rất thấp Ở những nhiệt độ thắp đóng góp của các êlectron vào nhiệt dung riêng tỉ lệ với nhiệt độ T Thông kê FD kết hợp với nguyên lý loại trừ Pauli có thể giải thắch kết quả này
2016
Nói rõ thông kê nào (Maxwell-Boltzmann cổ điển, Fermi-Dirac hay Bose-
Einstein) là thắch hợp trong những bài toán sau và giải thắch vì sao (bản định
lượng):
(a) Mật độ của khắ He! ở nhiệt độ và áp suất phòng
- (b) Mật độ của các êlectron trong đồng ở nhiệt độ phòng
(c) Mật độ của các êlectron va lỗ trông trong bán dẫn Ge ở nhiệt độ phòng (khe năng lượng của ~ 1 von)
Trang 19176 Bài tập và lời giải Nhiệt động lực học và Vật lý thông kê Lời giải: (a) Thống kê Maxwell-Boltzmann cổ điển là thắch hợp vì 2 3/2 nà (ng) 3x 10 8ề& 1,
(b) Thống ké Fermi-Dirac la thắch hop vì các êlectron là các fermion và
năng lượng Fermi của khắ êlectron trong đồng khoảng 1 eV tương đương với nhiệt độ cao 10 K Ở nhiệt độ phòng (nhiệt độ thấp), khắ êlectron suy biễn mạnh
(c) Thống kê Maxwell-Boltzmamn cổ điển là thắch hợp vì ở nhiệt độ phòng các êlectron và các lỗ trông không có đủ năng lượng trung bình để vượt qua khe năng lượng 1 eV với số lượng đáng kể
2017
Chứng tỏ rằng công thức À = exp(u/k7) = ụVọ đối với một khắ lý tưởng chỉ đúng khi À < 1; ở đây Ư là thê hoá học, mỦ là mật độ khắ và
Vạ = (h2/2mmkT)ệ$2
là thể tắch lượng tử Thậm chắ nêu bạn không thể chứng minh được điều đó, kết quả này cũng sẽ có ắch trong những bài toán khác (UC, Berkeley) Lời giải: Khi À < 1, hai thống kê Fermi-Dirac và Bose-Einstein qui về thông kê Maxwell-Boltzmann 1 (Ở) +
exp ỘEr > el /kT e E/kT -
Trang 20Vật lý thống kê 177
2018
Một hạt bụi dài mảnh (tức là hình kim) lơ lửng trong một cải hộp chứa
đây khắ ở nhiệt độ không đổi 7' Về trung bình, vectơ momen xung lượng gan
như song song hay vuông góc với trục dài của hạt? Giải thắch
(MIT ) Loi giải:
Đặt trục đài của hạt trùng với trục z Hình dạng của hạt chỉ ra rằng các momen quán tắnh chắnh thoả mãn 7, < 1;, ỉẤ Khi đạt được cân bằng nhiệt, ta có ểi1;U 1Ừ 1 = alas = 21g 3 1y Ư sao cho |w,| = (ặ)Ợ [we | = (gỘỢ l2y| Do đó |Jzề2;| Ở V 1,/1,|1;ằỦz| < [Tru : tương tự |lzƯz| < || : Vậy vectd momen xung lượng gần như vuông góc với trục đài của hạt 2019
Một bình có dạng hình lập phương với cạnh dài 20 cm chứa khắ lưỡng
nguyên tứ Hạ ở nhiệt độ Mỗi phân tử Hạ gồm hai nguyên tử hiđrô với khối
lượng mỗi nguyên tử là 1,66x 10? g và cách nhau khoảng ~ 10 cm Giả
thiết rằng chất khắ ở đây được coi như là khắ lý tưởng Bỏ qua bậc tự do dao
động
(a) Tắnh vận tốc trung bình của phân tử?
Trang 21178 Bài tập và lời giải Nhiệt động lực học và Vat ly thong kê do đó è x VỀ = oar ~ 2x 10ồ m/s (b) Số bậc tự đo quay là 2 Vi thé =3 Tu2 = SkT 2 > cài Ở Ổ " 1 2 ` , Z > A 2 `
trong dé J = m- (5)ồ -Q= amr la momen quan tinh cua phan tv Hp, m là khéi luong ctia nguyén ttỖ H var 1a khoang cach gitta hai nguyén tu hidré Vi vay ta tinh dudc Vw? ~ 3.2 x 10)3/s (c) Nhiệt dung phân tử tương ứng là C, = 5 =21 J/mol -K Cy = 5 R= 29 mol K, 2020
Mạch điện trên hình 2.6 cân bằng nhiệt với xung quanh ở nhiệt độ 7' Tìm biểu thức cổ điển đổi với cường độ hiệu dụng của đòng điện hiệu dụng qua cuộn cảm (MIT) LÍ) Hình 2.6 Lời giải:
Những thăng giáng trong chuyển động của các êlectron trong dây dẫn làm tăng thêm những dòng thăng giáng Nếu dòng qua cuộn cảm là !(), khi đó năng lượng trung bình của cuộn cảm là W = X1, ở đây 72 là dòng bình phương trung bình Theo nguyên lý phân bố đều của năng lượng, ta có
W= 2kT Do đó
Trang 22Vật lý thông kê _179
2021
Xác suất năng lượng
Tìm mật độ xác suất AE), dỗi với năng lượng E cia mét nguyén tty trong một chất khắ cổ điển đơn nguyên tử không tương tác ở cân bằng nhiệt Vẽ phác đồ thị của mật độ xác suất đỏ
(MIT)
Lời giải:
Khi số nguyên tử khắ rất lớn, ta có thể biểu diễn những trạng thái của hệ
bằng một phân bồ liên tục Khi hệ đạt được cân bằng nhiệt, xác suất để một
nguyên tử có năng lượng # tỉ lệ với exp(Ở F/k7), ỏ đây FE = p*/2m, pla xung lượng của nguyên tử Do đó xác suất để một nguyên tử có xung lượng nằm giữa p và p + đp là Aexp(ỞpỢ/2mkT)d*p Từ A | ep(Ởpồ/2mkT)êp =1, ta nhận được Am (2mmnkT) 32, Do đó, 2? su 2m oc ` " A Ởp2/2mkT a Ở Ỉ pile ỪỞ be {kl dE / P~ GETS? Jy ề oo = Í p(E)AE, 0 Suy ra 2 BE) = -_ E12 ỞE/KT_ ph) = apse Ởồ 2022
Giả thiết rằng năng lượng của một hạt có thể biểu diễn bằng biểu thức E(z) = az2 ỏ đây z là một toạ độ hoặc xung lượng và có thể nhận mọi giá trị từ Ởoo đên +oo
(a) Chứng tỏ rằng năng lượng trung bình mỗi hạt đối với một hệ gồm các
Trang 23180 Bài tập và lời giải Nhiệt động lực học và Vật lý thông kê
(b) Phát biểu nguyên lý phân bô đều năng lượng và thảo luận ngắn gọn về
môi quan hệ của nó với các tắnh toán trên (Wisconsin) Lời giải: (a) Theo thống kê Boltzmann, dù cho z là vắ trắ hoặc xung lượng, hàm phân bồ của nó là f(z) x exp (- a) Do đó năng lượng trung bình của một hạt là
_ +00 pre exp (-4%) E(z)dz
B= f(2)E(z)dz = Too Bệ
_m Soom ệXP (- kT ) de Dat E(z) = az? vao, ta thu dude F = 2ÉT
(b) Nguyên lý phân bô đều năng lượng: Đối với một hệ hạt cổ điển cân bằng nhiệt ở nhiệt độ 7, năng lượng trung bình của mỗi bậc tự do của một s 1 hat bang 5 KT Trong bài toán này chắ có một bậc tự do, do vậy năng lương trung bình là 1 ỘkD 2 2023
Mét hé co hai mtfc nang luong Fy va E, gdm N hat 6 nhiét do 7 Cac hat chiếm các mức năng lượng theo định luật phân bố cổ điển
(a) Tìm biểu thức đôi với năng lượng trung bình tắnh trên mỗi hạt
(b) Tắnh năng lượng trung bình tắnh trên mỗi hạt theo nhiệt độ khi 7' Ở 0
va T > Ủ
(c) Tìm biểu thức đôi với nhiệt dung riêng của hệ gồm N hat (d) Tắnh nhiệt dung riêng tại những giới hạn 7' Ở+ 0 và 7` Ở oc
(Wisconsin)
Lời giải:
(a) Năng lượng trung binh của một hạt là
Trang 24Vật lý thông kê 181 Giả thiết ặ) > Ey > Ova dat AE = E, Ở Ep, ta có Eo + Bye B48" Ở lte BAE -
(b) Khi T = 0, utc la, 8 = 1/kT Ở Ủ, ta có
u (lạ + EìcỢ 2A'1(1 Ở e JAE) = Fy + AEe BAF
Khi 7' -+ oỏ, hoặc ử ỞỈ 0, ta có 3 1 1 và CÁ (Ey + E, ~ BE\AE) (1 + 5008 m5 (Bo + Ei) Ở F(AE)Ỗ ~ i ~ 2
(c) Nhiệt dung riêng (mỗi mol) là
ửu du đử _ ary cỞAF/KT OT Ộ93 aT ( YOON, OS Ở ỞỞỞỞỞỞỞỞ C= NA N kT 1+e-AE/KP)2 (d) Khi 7 Ở 0, ta có Khi 7' Ởể x, 2024 Xét một khối thủy tinh trong đó một phần của nó gồm những nguyên tử r a zh a * oe + - Ổ x a ỘA : z Ộ
có thê chiêm một trong hai vị trắ hơi khác nhau làm xuất hiện hai mức năng
lượng A, > 0 và ỞA; đôi với nguyên tử thứ ¡
(a) Nêu mỗi nguyên tử tham gia có những mức A và ỞA như nhau, hãy tắnh đóng góp của những nguyên tử này vào nhiệt dung (Bỏ qua nhiệt dung
riêng Debye thông thường vôn có mặt trong một vật rắn thực.)
Trang 25182 Bài tập và lời giải Nhiệt động lực học và Vat ly thong ké
kT < Ao (Không cần phải tắnh các tắch phân xác định với điều kiện là chủng không được phụ thuộc vào bắt kì tham số nào)
(Princeton)
Lời giải:
(a) Năng lượng trung bình mỗi nguyên tử là ặ = -A tanh (=) Dong gop của nó vào nhiệt dung là
đề A\? 1
Cy = a =~ 4K | TW) aT kT} aero (cA/kT 4 e-A/kT) aAET YD Tổng các số hạng đó đối với tật cả các nguyên tử như vậy, ta có
A\? 1
ce = ANk ( " (eA/KT 4 A/KT)2 '
(b) Đóng góp vào nhiệt dung riêng của nguyên tử thứ ; là
A,\? }
c= 4k (=) (eA JET yg ARF - Khi kT < A,, taco Ở A, ; 2A,/kT Ạy Ở 4k (Ei) ec Lây tổng các số hạng đó đôi với các nguyên tử như vậy, ta có - A " c= 4k N ` =t } c73A.KT ầ (ir) A\? +, =a [() e PAIRT A A)dA ' trong đó ụ(A) là mật độ trạng thải của phân bố A, 2025
Ba mức năng lượng thập nhất của một phân tử nào đó là E¡ = 0ử; = ặ, Es = 10c Chứng tỏ rằng ở nhiệt độ đủ thấp (thấp như thê nào?) chỉ có các
mức E\, Ặ; là bị chiếm chỗ Tìm năng lượng trung bình ặ của phân tử ở nhiệt
Trang 26Vật lý thống kê 183
phác đỗ thị của ỂẤ như là một hàm sô của 7
(Wisconsin)
Lời giải:
Chúng ta không can xét các mức năng lượng cao hơn ba mức năng lượng
thập nhật dối với nhiệt độ thấp Giả sử hệ có W hạt và theo thông kê Boltz- mann, ta có Ny +tNotNg=N, No _ cTặ/kT Ny Na _ eo le/kT Ny Suy ra | N Ng ~ 4 ede/kT + Ư106/kT `
Khi V3 < 1, mttc nang luong ặ; không bị chiêm Điều đó có nghĩa là, khắ
T <7T,, chỉ có các mức ặ; và #; là bị chiếm, trong đó 7y thoả mãn N + 1+ e9/ETc 4 gl0e/kT - LỈ Nếu > I1, ta có 10z kin N , Nãng lượng trung bình của phân tử là 1.Ộ zắc efkT + 10e7 106 /k 1") 1+e-ặ/ET + Ủ 10e/ET Nhiệt dung phân tử (trên mol) là
Trang 27184 Bài tập và lời giải Nhiệt động lực học và Vật lý thông kê cy Hinh 2.7 Sự biến thiên của ỂẤ theo 7 được biểu diễn trên hình 2.7 2026
Trang 28Vật lý thông kê 185
2027
Tìm nhiệt độ của mỗi hệ sau:
(a) 6.0 x 102? nguyên tử khắ hêli chiêm 2,0 lắt ở áp suất khắ quyển Xác
định nhiệt độ của khi
(b) Một hệ hạt chiếm những mức một hạt và tuân theo thông kê Maxwell-
Boltzmamn tiếp xúc nhiệt với một bình điều nhiệt ở nhiệt độ 7 Xác định nhiệt
độ của hệ, nếu phân bồ các hạt theo các mức năng lượng không suy biến như sau Năng lượng (eV) Độ cư trú 30,1 x 103 3,1% 21,5 x 103 8,5% 12,9 x 1073 23% 4,3 x 107-3 63%
Trang 29186 Bài tập và lời giải Nhiệt động lực học và Vật lý thẳng kê (c) Tốc độ cung cấp nhiệt là ạ = 4 = T48, dẫn tới a dS\ 7 (ar) Ta sẽ ước lượng # bằng sai phân trung bình tại Ư = 500s, và có được dậ _ (3.20-Ở 3,00 dt ` \ 600 Ở 400 Do đó 7' = 10 K TỞ ) = L,0x 1073J⁄sec.K 2028
Giả thiết rằng phản ứng HỞ=p+e xảy ra ở trạng thái cân bằng nhiệt ở rhiệt
độ 7 = 4000 K trong một chất khắ có mật độ rất thấp (không suy biến) của
mỗi loại với tông điện tắch băng 0
(a) Hãy viết thê hoá học của mỗi loại khắ qua mật độ sô hạt [H], [p], hoặc [e] của chúng Để đơn giản có thể bỏ qua phổ các trạng thái liên kết kắch thắch của H và chỉ xét trạng thái cơ bản Hãy biện mỉnh cho giả thiết này
(b) Dẫn ra điều kiện cân bằng nhiệt và tắnh giá trị cân bằng của [e] như là một hàm của [H] và 7
(c) Đánh gid mat dé nucleon ma déi với nó một nửa chất khắ bị ion hoá ở
nhiệt độ 7 = 4000 K (Lưu ý rằng đây là bức tranh gần đúng về vũ trụ vào lúc - độ dịch chuyển về phắa đỏ z = 10.) (UC, Berkeley) Lời giải: (a) Theo thông kê Boltzmann, đối với chất khắ lý tưởng không có spin n = ehÍ*T (2xmkT'/h2)3/2- Cả proton và êlectron đều có spin, do đó [p] = 2(2xmpkT'/h2)3/2e"p/kf (e] = 2(2mmekT /h?)3/2ete/ kT
Đối với nguyên tử hiđrô, p và e có thể tạo thành bốn cấu hình spin với năng lượng ion hoá #Ư Do đó
Trang 30Vật lý thông kê 187 Cac thé hoá học tp He Và ựị: cho bởi những hệ thức trên với các mật độ SỐ hạt (b) Diéu kién can bang 18 jy = fe + tp Chu ý rang vi my % Mp va [e] = [p] ta có
le] = vIHỊ - (2rmakT/h?)3/2 - exp(Ở Ea/2kT) (c) Khi một nửa chất khắ bị ion hoá, [e] = {p] = {H] = n Khi đó
n = (2mmekT/hÈ)3/2 - exp(Ở EƯ/kT) = 3,3 x 1018 m' Ậ
2029
Một mẩu kim loại có thể được xem như một bình chứa các êlectron; cơng
thốt êlectron (năng lượng cân thiết để bứt một êlectron ra khỏi kim loại)
là 4 eV Chỉ xét quỹ đạo thứ nhật (mà nó có thể không có, có một hoặc hai êlectron chiếm chỗ) và biết rằng nguyên tử hiđrô cỏ năng lượng ion hoá là 13,6 eV và một ái lực êlectron là 0,6 eV, hãy xác định các xác suất tìm thấy ' = 300 K ở lân cận một kim loại đôi với nguyên tử hiđrô trong cân bằng hoá
học ở HT, HĐ và H_ Chỉ lây tới một chữ số có nghĩa
Trang 31188 Bài tập và lời giải Nhiệt động lực học và Vat ly thông kê e,H" WwW Ạ, biển Fermi H Đại H" Hình 2.8
ỏ đây thừa số 2 xuất hiện do bậc tự đo nội tại spin Đối với nguyên tử hiđrô,
các spin của êlectron và proton có thể có bồn trang thai spin khả di, vì vậy
2mmẤkT 3⁄2
0 kT p kT
[H ] = 4eHnoÍ (=) eft! '
Trang 32Vật lý thống kê 189 Nếu Hị = PẤ-, hoặc [H9] = [H-], ta có W = Ởjhạ = ỞặƯ + kƑ'ln2 0,6 eV 2030
Thê năng V giữa hai nguyên tử (mạn = 1,672x 10?! g) trong một phân tử hiđrô được cho bởi biểu thức thực nghiệm V= D{e-2ur-ro) Ở ge~4Ởrụ)\ trong đó r là khoảng cách giữa các nguyên tử Cho D=7x 10" erg, a=2~x 10ồ em}, rg = 8x 10-9 em
Xác định nhiệt độ mà ở đó chuyển động quay (7a) và đao động (7v) bắt đầu
đóng góp vào nhiệt dung riêng của khắ hiđrô Tắnh các giá trị gần đúng của CẤ và Ể, (nhiệt dung riêng mol đẳng tắch và đẳng áp) dối với các nhiệt độ sau: Tạr=25K, T, = 250K, 73 = 2500K, 74 = 10000 K Bỏ qua sự ion hoá va sự phân ly (UC, Berkeley) Lời giải: Khoảng cách trưng bình giữa hai nguyên tử gần đúng là khoảng cách cân bằng Từ Be Or r=d
ta nhận được ở = rọ Tần số dao động xuyên tâm của hai nguyên tử là
trong đó = rnx/2 là khôi lượng rút gọn và a2
~_0V Ở 2 =
Trang 33190 Bài tập và lời giải Nhiệt động lực học và Vật lý thông kê Do đỏ, 4a?D Tre Năng lượng đặc trưng của mức độ chuyển động quay là h2? ROR = 5p Khi do h? K Og = = 75 R= kmyre |
Năng lượng đặc trung cha dao dong la kOy = hw, do đó
Vậy, chuyển động quay bắt đầu đóng góp vào nhiệt dung riêng ở 7' = 75 K, va dao déng 6 T = 6250 K Khi T, = 25 K, chi co chuyén động tịnh tiên đóng góp vao C, do dé 3 5 Cy = gft= 12,5 J/K, Cy = gh = 20,8 J/K Khi 7; = 250 K, chi cé chuyén déng tinh tién va quay déng gop vao C, do dé Cy = wR = 20.8 J/K, Cy = BR = 29.1 U/K
Khi 7; = 2500 K, cac két qua giéng nhu khi T> = 250 K
Khi 7, = 10000 K, dao động cũng đóng góp vào C', do đó
Cy = "R= 29.1 J/K, Cy= SR= 37,4 J/K
2031
Rút ra biểu thức tắnh nhiệt dung riêng do dao động của một chất khắ lưỡng
nguyên tử như là một hàm số của nhiệt độ ( Đặt hềg/k = 0.) Xuất phát từ biểu thức cho hàm phân bố dao động, đánh giá nó và dùng kết quả đó để tắnh
Trang 34CVip-Vật lý thông kê 191 a > + ore > 2 A x ` Ầ Mô tả các giới hạn của T ở nhiệt độ Ctịp cao và thập (Wisconsin) Lời giải: Các mức năng lượng dao động của khắ lưỡng nguyên tử là ặy = hỦo(U + 1/2), v=0,1,2, Hàm phân bồ là Ủ _Ể*# , 1 6 2 Zum = Đ _exp [ahve (+ 5) | = = Ỉ v=0 trong do x = Ghwo Nang lượng tu do của 1 mol khắ là N N
F = ỞNagkT In Zyp = hwo + a In[l Ở exp(Ở/ửo)] ; và nội năng của nó là
Ở OF Na Nahwo
U=F lor ~ gO exp(Ghwo) Ở 1 Nhiệt dung riêng mol là
dU reer hwo 8
C - Ở ỞỞỞỞỞỞ 4+ =_Ở_ỞỞ =_Ở
oop Recipe? Ter T7
(a) Tại giới hạn của nhiệt độ cao, 7' > 6, hoặc z < 1, ta có
Cy eR
(b) Tại giới hạn của nhiệt độ thập, 7 < 6, hoặc z > 1, ta có
Trang 35192 Bài tập và lời giải Nhiệt động lực học và Vật lý thống kê
2032
Một đao động tử điều hoà lượng tử một chiểu (mà năng lượng trạng chải cơ bản là hƯ/2) ở trong trạng thái cân bằng nhiệt với một bình điều nhiệt tại nhiệt độ 7
(a) Xác định giá trị năng lượng trung bình của đao động tử, (#), xem như là một hàm của 7?
(b) Xác định giá trị của AZ, tức độ lệch căn quân phương về năng lượng xung quanh giá trị (E)?
Trang 36Vật lý thông kê 193
2033
Xét một hệ gồm Nụ đao động tử lượng tử không tương tác trong trạng thái cân bằng ở nhiệt độ 7 Các mức năng lượng của một dao động tử riêng rẽ là
Ea = (m+1/2)3/V_ với m = 0,1,2
(+ là một hằng số, các dao động tử và thể tắch V là một chiều)
(a) Tìm và CẤ như là một hàm của 7'
(b) Vẽ phác đỗ thị U(7) và ỂẤ(7)
(c) Xác định phương trình trạng thái của hệ
(d) Tỷ phần các hạt ở mức năng lượng thứ rr là bao nhiêu? (SUNY, Buffalo) Lời giải: (a) Ham phan bé 1a Ủ ỞBy/2V Ở -đ8(m+1/2+VỞ! _ ỞẠặ z= die Ở 1Ởe-đ8" m=0 1 seh28 2 csch Nội năng của hệ là Ẽ 8 Nov +8 =ỞNnỞ x= ỞỞ ỞỞ U oag lmz BV coth 55 _ Noy 3 =sy ch Ee
Nhiệt dung riêng đẳng tắch là
a= (SE) = (aie) oeỢ (avin)
Trang 37194 Bài tập và lời giải Nhiệt động lực học và Vật lý thông kê Cy NạY/2V {a} {b) Hinh 2.9 (d) Tỷ phần các hạt ở mức thứ m là J & =J](Ểm=17/2)YV Ở~ L No c_Ởử0n+1/2)+V 1 zx = AWNoe MAW vịnh (3) 2V 2034
Các phân tử của một chất khắ nào đó gồm hai nguyên tử khác nhau liên kết với nhau, mỗi nguyên tử đều có spin hạt nhân bằng 0 Kết quả đo nhiệt dung riêng của chật khắ này trên một vùng nhiệt độ rộng được biểu điễn trên
Trang 38Vật lý thống kê 195 Ộđoạn bằngỢ của đồ thị) (a) Giải thắch những kết quả khác nhau ở mỗi vùng nhiệt độ: trên 73; giữa Tạ và Tạ; giữa 11 và Tạ; đưới 7ì
(b) Cho biết rằng trạng thái kắch thắch thứ nhất của phổ quay của phân tử này ở mức năng lượng cao hơn năng lượng của trạng thái quay cơ ban la kT, với 7Ấ = 64 K, Từ lý thuyết cơ bản này, hãy tắnh phần đóng góp của chuyển động quay vào nhiệt dung đẳng tắch của chất khắ này ở 20 K, 100 K, 300 K
(UG, Berkeley) Ldi giai:
(a) Khi 7' > 7x, tất cả các chuyển động tỉnh tiễn, quay và dao động đều bị kắch thắch, và C'Ấ Ở 7k/2 Khi 7Ư < 7' < 7;, dao động không bị kắch thắch và CƯ = 5È/2 Khi 7 < 7 < 7Ư, chỉ chuyển động tịnh tiễn đóng góp vào nhiệt dung riêng và ỂẤ -: 3&/2 Khi 7< T¡, xảy ra sự chuyển pha, và pha khắ không
con ton tại nữa
Trang 39196 Bài tập và lời giải Nhiệt động lực học và Vật lý thông kê
2035
Các mức năng lượng lượng tử của một quay tử rắn là ặ;¡ = 70 + L)h2/8x?ma? ,
ở đây j = 0,1,2, Độ suy biến của mỗi mức năng lượng là g =2j +1 (a) Tìm biểu thức tổng quát của hàm phân bỏ, và chứng tỏ rằng ở nhiệt độ
cao nó có thể được biểu diễn gần đúng bằng một tắch phân
(b) Đánh giá năng lượng và nhiệt dung ở nhiệt độ cao
Trang 40Vật lý thống kê 197 Nhiệt dung là _ OU _ ap a Cy
(c) Đối với nhiệt độ thấp, ta chỉ cẦn lẫy hai số hạng đầu của z, tức là z^1+ 3e~?/T, ả đây 6 = h2/4n?ma?k Do đó Ở gk0e-9/T Ở1+ac 9F _ 3k(0/T)2e-9/T ~ C4 BT U 2036 Các mức năng lượng lượng tử của một quay tử rắn là ặ¡ = j + 1)h?/8n?ma?, trong dé j = 0,1,2, ,m va ụ là hằng số đương Độ suy biến của mỗi mức năng lượng là ụ; = 2j + 1
(a) Tìm biểu thức tổng quát cho hàm phân bố zọ
(b) Chứng tỏ rằng ở nhiệt độ cao hàm phân bỏ có thể coi gần đúng là một tắch phân
(c) Ước lượng nội năng và nhiệt dung ỂẤ ở nhiệt độ cao