Bài tập và lời giảng nhiệt động lực học và vật lý thống kê phần 2

PHẦN II VAT LY THONG KE Vật lý thông kê 159 XAC SUAT VA ENTROPY THONG KE (2001-2013) 2001 Một đao động tử diều hoà cổ điển khối luong m va dé cling k co nang lượng toàn phẩn #, hồn tồn khơng biết thời điểm ban đầu Tim hàm mật độ xác suất p(z) cho ø(z)dz xác suất để khối lượng nam khoang cach x mot doan dr (MIT ) Lời giải: Từ định luật bảo tồn lượng, ta có ky kẻ E=-l= m — 7? , gf = at +a ¡ biên độ đao động Suy chu kì đao động T=2| I I, dx m ———=\( _ J2E~kz2 k m Do ta có 2dt hay m Molde =F = Pp (GP) k te) = > (aps) ar \2 2002 Giả thiết có hai loại (vi khuẩn) E coli, “đỏ” “xanh”, Mỗi loại vi khuẩn sinh sản giống hệt (vơ tính) cách phân đơi, đỏ—›đỏ+đỏ xanh—›xanh+xanh, với thời gian sinh sản Ngoại trừ dấu hiệu “đỏ” “xanh”, cịn khơng có khác biệt chúng Một đám E coli gồm 5.000 “đỏ” 5.000 “xanh” nuôi dưỡng sinh sản Để giữ cho “dân số” đám ví khuẩn khơng tăng lên, động vật ăn thịt đưa vào để giữ 160 Bài tập lời giải Nhiệt động lực học Vật lý thống kê “dân số” đám vi khuẩn vào khoảng 10.000 cách ăn ví khuẩn (một cách ngâu nhiên) (a) Sau thời gian dài, xác định phân bó xác suất sơ khuẩn “do”, (b) Phải đợi khoảng chừng để câu trả lời xác? (c) Nếu động vật ăn thịt ưa ăn vi khuẩn “đỏ” vi khuẩn “xanh” khoảng 1% điều ảnh hưởng thê đôi với kết câu (a) câu (b)? - (Princeton) Lời giải: (a) Sau thời gian đủ dài, vi khuẩn tăng lên tới số khổng lồ W > 10.000 nêu khơng có động vật ăn thịt Việc động vật ăn thịt ăn ví khuẩn cách ngẫu nhiên mặt tốn học tương đương với chọn z+ = 10.000 vi khuẩn từ W con, cịn sơng sót W >> n có nghĩa lựa chọn xác suất để E coli “đỏ” “xanh” sống sót Có 2" cách lựa chọn, có C?vr cách để rw vi khuẩn “đỏ” sơng sót A A z Ấ & ‘ ` Do phân bơ xác suất cua so E coli “do” la Là gn Cm = On “ mÌ(n n! ¬ m)i ` m=0,1l, ,n.- (b) Chting ta doi héi N > n Thực tế cần W/n + 102 đủ Vì W = 2n, nén t = dén gid đủ Z Âu x - : ~ 24 ` ; Aly ~ (c) Nêu xác suất ăn vi khuẩn đỏ € + ?) xác suât ấn vi khuẩn xanh G — ?) n , kết câu (a) trở thành Cin (5 m +p) n-—m (5 n! -») “mm ny(2*°) Kết câu (b) không thay đổi r m TP) 7—trt - Vật lý thỗng kê 161 2003 (a) Ma trận mật độ rút gọn không gian toạ độ xung lượng ø1? (b) Kí hiệu ma trận mật độ rút gọn không gian xung lượng ở(P4, p¿) Chứng tổ ¿ chéo, tức là, %(PI, P2) = (P1)p:p; › yếu tơ chéo ma trận mật độ toạ độ số (SUNY, Buffalo) Ldi giai: (a) Ma tran mật độ rút gọn biểu thức ma trận toán tử mat dé A(t) tập hợp trực giao đủ trạng thái đơn tuyến, tốn tử mật độ p(t) định nghĩa cho giá trị kì vọng tốn tử bắt kì Ơ (Ô) = tr(Ô2(0)] Ta biết tập hợp trực giao đủ trạng thái đơn tuyến ma trận mật độ trận mật độ rút tập trực giao khơng gian toạ độ {Ir)}), từ ta nhận rút gọn khơng gian toa độ (r|ô(£)|r) Tương tự, ma gọn không gian xung lugng la (p’|6(t)|p), {|p)} dây đủ trạng thái đơn tuyến không gian xung lượng, (b) (r12(0)jr) = Ð `('Ip)(p']2()|p)(p|r) p’p = - r- p)) OP’ p) exp(i(r’ - p! p’p I| (Pip exvlir! — 1) +p) 7S P'P CFP) exp (ile! — 1) -p) p Ly Ä , tx ay pk Khi u tơ chéo (r|ơ(0)|r) = Ù >pƒ(p) hiển nhiên hãng sỐ 2004 (a) Xét số lớn hạt W đặt từ trường ngồi H Mỗi hạt có spin 1/2 Tìm số trạng thái khả đĩ hệ hàm số A/;, thành phẳn-z spin toàn phân hệ Xác định giá trị A⁄ để số trạng thái 162 Bài tập lời giải Nhiệt động lực học Vật lý thông kê cực đại (b) Định nghĩa không độ tuyệt đối nhiệt độ nhiệt động lực học Giải thích ý nghĩa nhiệt độ tuyệt đơi âm, cho thí dụ cụ thể để nhiệt độ tuyệt đơi âm đạt tới thê (SUNY, Buffalo) Lời giải: ; (a) Spin hạt có hai định hướng khả đĩ 1⁄2 —1⁄2 Gọi số hạt có spin 1⁄2 mà hướng chúng chiều với H N; số hạt có spin —1⁄2 ngược hướng với H N¡; thành phân spin tồn phần theo hudng cua H la M, = aM No = 57 N d —~N\) ViNy +N, =N, ta dude N; = ¥ + Mẹ M, Số trạng thái hệ N! XI NIM HAI TN l5 + Mel! l5N - MỊh Q= Dùng công thức Stiring, ta nhận = Nia Ny In Ny = NinN Vi ðliQ ON; — Ni In Ny ~ Nein Ny, - (N— Ny)In(NV — Ny) = —InN; +In(N —- Ny) =0, T taco N; = “ N tức khiA/, = số trạng thái hệ cực đại , ` - oe k a ` ' (b) Xem 2009 2005 Có mạng (nguyên tử- ND) chiều với sơ mạng ø hình 2.1 Cứ r giây nguyên tử lại địch chuyển từ vị trí đến vị trí gần bên cạnh Xác suất dịch chuyển sang phải trái tương ứng p g=1-p Vật lý thông kê 163 Hình 2.1 (a) Tính vị trí trung bình # nguyên tử thời diém t = Nr, voi N > 1; (b) Tính giá trị tồn phương trung bình (z — #)? thai diém ¡ (MIT) Lồi giải: (a) Chon vi tri ban dau nguyền tử gốc z = 0, với trục-z hướng sang phải Ta có e = »nN >= (b) =2? = 2q = 2ap—_(p Pap P =n” — N)aphqŸ" VỊ Sàn CN + q)” ; TL N! — nyt? -Na= n n Nn] Na(p _ — 4) Na SỐ , ND N = 2~nÏ[N= ay —w(2n — N)?a?phgX~"® n=0 » & a = 4a*p’ sp +a)” ~ 4(N~ 1)a p 0039)q)Ÿ + N”a? = Na*\(N - 1)(p—q)? + 1] ,suy (x — #)? = 2? — # = 4Na’pq 2006 (a) Nêu định nghĩa entropy vật lý thơng kê (b) Trình bày lý lẽ tổng qt để giải thích dựa vào kiện entropy hệ kín A khơng đổi, tăng Để thuận tiện bạn có 164 Bài tập lời giải Nhiệt động lực học Vật lý thông kê thể giả thiết chia thành hai hệ B Œ có tiếp xúc yêu với nhau, hệ trạng thái cân nhiệt động nội (UC, Berkeley) Lời giải: (a) S = kin, k sơ Boltzmann $2 la tổng sô trạng thải vi mô trạng thái vĩ mô cho (b) Giả thiết nhiệt độ hai hệ tương ứng 7» Tc với Tu > Tịc Theo định nghĩa entropy, nêu có lượng nhỏ A > trao đổi chúng (ttt B dén C), thi A ASzg=-— SB Ts AS=0 Talc Khi 7; > 7c, khơng có cân nhiét giita hai con, va AS > Khi 73 = To, tttc 1a hai trang thai can bang, AS = 2007 Nêu định nghĩa thống kê entropy Boltzmann trình bay ngắn gọn rõ ràng ý nghĩa vật ly Một hệ có hai mức (năng lượng ND) gom N = nj + ny hat xếp vào hai trạng thái tương ứng với lượng E #; Hệ tiếp xúc với bình điều nhiệt nhiệt độ Nếu xảy phát xạ lượng tử đơn lẻ vào bình điều nhiệt, số hạt trạng thái thay đổi nạ — mạ — mị — mị + L Đôi với nị »> nạ >> l1, rút biểu thức cho độ biên thiên entropy (a) hệ hai mức, (b) bình điều nhiệt, cuỗi (c) từ (a) (b) nhận hệ thức Boltzmann dối với tỉ số n/N (UC, Berkeley) Lời giải: S = kinQ, Q số trạng thái vi mô hệ VỀ mặt vật lý, entropy Vật lý thông kê 165 thước đo hỗn loạn hệ (a) Độ biến thiên entropy hệ hai mức AS; =kin ~ kin NI ` “= (mạ — 1)!{m + ĐI kl ` kin Trị + Ì n NI re nh! ny (b) Độ biến thiên entropy bình điều nhiệt AS> = (c) TY AS; + AS» Eạ—=b FF = 0, ta có n— và(_Ea= ị mm P kT 2008 Xét hệ gồm sơ lớn W ngun tử phân biệt được, không chuyển động chúng khơng có tương tác, ngun tử có hai mức lượng (không suy biến): 0, > Goi B/N lượng trung bình nguyên tử giới hạn — oo (a) Xác định giá trị cực dai kha di cha E/N néu hệ không thiết trạng thái cân nhiệt động? E/N đạt giá trị cực đại bao nhiêu, hệ trạng thái cân (tất nhiên, với nhiệt độ đương)? (b) Đôi với trường hợp cân nhiệt động, tính entropy nguyên tử, S/N, hàm £/N (Princeton) Lời giải: (a) Nêu hệ không thiết trạng thái cân nhiệt động, giá trị cực đại kha di cha E/N 1a c; néu trạng thái cân (với nhiệt độ đương), giá trị cực đại E/N z/2 tương ứng với —› œ (b) Khi lượng trung bình nguyên tử £/N, có Z/ hạt mức lượng e số trạng thái vi mô Q= MNIỊ 166 Bài tập lời giải Nhiệt động lực học Vật lý thỗng kê Do entropy hệ œ5 8-klin==—z NI Nếu E/z » 1,4 — Ƒ/z > 1, ta có S N“=i k In =k : ok No - Ble 2/2 Ñ yyIn 2= BEN Ants N E (1 E/e EN ụ ¬—= ni ) m ( N= - | E ve} Ne rÌ _— eX 2009 Xét hệ có W hạt khơng tương tác, hạt định vị trí có mơmen từ /, hệ đặt từ trường ?7 Khi mơi hạt tồn hai trang thái lượng 7? = #; = 2/:H Xem hạt phân biệt (a) Entropy Š hệ việt đưới đạng 8$ = klnO(Ƒ), với k số Boltzmann £ lượng toàn phần hệ Giải thích ý nghĩa O(ƑE) (b) Viết công thức cho 5(›), đỏ ø số hạt trạng thái trên, Vé phac dé thi ham S(7) (c) Rút công thức gan dung Stirling đôi với n lồn: lì! = nhìn —n bang cach thay gan dung Inn! bang mot tich phan (d) Dùng kết ctia (c) viét lai két qua ctia (b) Tìm giá trị ¡ cho S(n) cực đại (e) Xem F 1a liên tục, chứng tỏ hệ có nhiệt độ tuyệt đơi âm, (Ð Tại nhiệt độ tuyệt đổi âm lại có lại khơng thể có đơi với khơi khí hộp? (CUSPEA) Vật lý thơng kê 167 Lời giải: (a) Q(E) tồn sơ trạng thải vi mô khả đĩ hệ lượng nỏ #, O 2À, $e < (xem Ne/2, Áe/2 (f) Ly mức lượng hạt có giới hạn Đối với hệ khí, mức lượng hạt khơng có giới hạn trên, entropy ... cho “dân số” đám ví khuẩn khơng tăng lên, động vật ăn thịt đưa vào để giữ 160 Bài tập lời giải Nhiệt động lực học Vật lý thống kê “dân số” đám vi khuẩn vào khoảng 10.000 cách ăn ví khuẩn (một cách... toàn 2mnd Do “(mì (b) Khim thành 128 74L6 WW THỐNG KẾ < N,g(N,m) 2MNI Ÿ mỆU + g(N,0)exp(—2m?/N), entropy hệ trở , S=king(N,m) = klng(N,0) - - kL? 2Nd 170 Bài tập lời giải Nhiệt động lực học Vật lý. .. tập lời giải Nhiệt động lực học Vật lý thông kê cực đại (b) Định nghĩa không độ tuyệt đối nhiệt độ nhiệt động lực học Giải thích ý nghĩa nhiệt độ tuyệt đôi âm, cho thí dụ cụ thể để nhiệt độ tuyệt