Giáo trình vật lý thống kê và nhiệt động lực phần 1 ts đỗ xuân hội

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH KHOA LÝ TS ĐỖ XUÂN HỘI TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ 2003 LỜI NÓI ĐẦU Cuốn sách viết xuất phát từ giáo trình vật lý thống kê giảng cho lớp sinh viên năm thứ tư khoa Vật lý, trường ĐHSP TP.HCM từ vài năm qua Tuy soạn theo tinh thần chương trình hành khoa Vật lý, trường ĐHSP TP HCM, nội dung sách mở rộng thêm, nhằm cung cấp tư liệu cho sinh viên Sách trình bày với nỗ lực lớn mặt sư phạm: Ngoài phần tập kèm theo chương để củng cố để đào sâu thêm kiến thức phân tích phần lý thuyết, số đề tài lớn soạn dạng “vấn đề” để sinh viên tập làm quen với việc nghiên cứu đề tài khoa học trọn vẹn sinh viên thấy lónh vực áp dụng vật lý thống kê, ví dụ vật lý thiên văn Phần dùng để gợi ý cho sinh viên làm seminar năm học, luận văn tốt nghiệp, nâng cao thêm để chuẩn bị cho luận văn Thạc só vật lý Nhận thức việc nắm vững ngoại ngữ để tự nâng cao trình đào tạo điều thiết phải có sinh viên nên phần phụ lục có kèm theo danh mục từ ngữ đối chiếu Việt-Anh-Pháp thường sử dụng môn vật lý thống kê Hy vọng phần giúp ích cho sinh viên sử dụng ngoại ngữ học tập Cũng cần nhấn mạnh theo ý kiến số nhà vật lý có uy tín giới phần nhiệt động lực học phải xem hệ môn học thống kê, trình bày môn vật lý lý thuyết thực sự, có nghóa phát xuất từ tiên đề, tương tự môn học lượng tử chẳng hạn Phần khác, ta nên nhớ môn học thống kê, với học lượng tử lý thuyết tương đối, tạo nên trụ cột vật lý đại Cuốn sách xây dựng tinh thần Một cách tóm tắt vật lý thống kê hiểu môn học khảo sát tính chất vó mô hệ vật lý xuất phát từ đặc tính vi mô hạt cấu tạo nên hệ Nhưng đặc tính vi mô mô tả xác học lượng tử Vì vậy, để hiểu sở vật lý thống kê, điều tự nhiên phải nắm vững tính chất lượng tử hạt vi mô Tuy nhiên, sách này, kiến thức học lượng tử yêu cầu mức tối thiểu Những điều cần thiết nhắc lại suốt giáo trình Cũng nên nói thêm đáng tiếc số phần quan trọng vật lý thống kê khảo sát từ tính vật chất, tượng chuyển pha, tượng vận chuyển, không đề cập đến sách Tác giả hy vọng lần tái sau có điều kiện trình bày vấn đề Do kinh nghiệm ít, thời gian lại hạn hẹp nên chắn sách nhiều thiếu sót, mong bạn đọc vui lòng lượng thứ dẫn để sách hoàn thiện lần tái sau Tác giả xin trân trọng ngỏ lời cảm tạ đến thầy Hoàng Lan, nguyên Trưởng khoa, thầy Lý Vónh Bê, Trưởng khoa Vật lý, trường ĐHSP TP HCM tạo tất điều kiện thuận lợi để nội dung sách truyền đạt đến sinh viên vài năm vừa qua Đồng thời, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến PGS-TS Nguyễn Khắc Nhạp thầy Đặng Quang Phúc vui lòng để q báu đọc thảo sách góp ý cho tác giả Ngoài ra, tác giả ghi lại lời cám ơn đến GV Nguyễn Lâm Duy SV Nguyễn Trọng Khoa nỗ lực đánh máy vi tính thảo với lòng nhiệt tình tận tụy Cuối cùng, tác giả bày tỏ lòng cám ơn đến Phòng Ấn trường ĐHSP TP.HCM làm việc tích cực để sách mau chóng in đến tay bạn đọc TÁC GIẢ Chương I MÔ TẢ THỐNG KÊ HỆ VĨ MÔ IA IB IC ID Những trạng thái vi mô khả dó Phương pháp thống kê cho hệ vó mô Tập hợp thống kê Nguyên lý ergodic Entropi thống kê lý thuyết thông tin Vật lý thống kê có đối tượng nghiên cứu hệ vó mô, hệ chứa số lớn hạt (như electron, photon, nguyên tử, phân tử,…); hệ tồn trạng thái vật lý khác : khí, lỏng, rắn, plasma xạ điện từ Về phương diện đo lường, kích thước lượng hệ vó mô xác định mét (và bội số ước số mét) Joule Trong đó, hệ vi mô hệ có kích thước so sánh với kích thước nguyên tử, phân tử, … tức đo lường Å ( = 10-10 m ), lượng hệ vi mô đo đơn vị eV ( ≈ 1,6.10-19 Joule ) Một cách đơn giản để thiết lập mối quan hệ hệ vó mô hệ vi mô thông qua số Avogadro NA≈6,023.1023 hạt.mol-1 Độ lớn số NA cho thấy mức độ phức hợïp lớn hệ vó mô Chính mà để khảo sát hệ vó mô, ta cần phải dùng phương pháp thống kê, để có đại lượng vó mô phát xuất từ tính chất hệ vi mô Trong chương thứ này, ta gặp khái niệm sử dụng vật lý thống kê Điều phân biệt trạng thái vó mô trạng thái vi mô khả dó đạt (accessible microstates) hệ vó mô, ta thấy rõ khác biệt hai khái niệm qua thí dụ minh họa hệ có hai hạt Với thí dụ này, ta đưa vào khái niệm hạt phân biệt hạt không phân biệt được; hai khái niệm cần phải nắm vững việc khảo sát hệ nhiều hạt Sau đó, phương pháp thống kê giới thiệu để đưa định nghóa hàm phân bố thống kê Trong phần tiếp theo, nguyên lý ergodic trình bày khái niệm entropi thống kê đưa dựa lý thuyết thông tin trường hợp tổng quát I.A Những trạng thái vi mô khả dó I.A.1 Trạng thái vó mô hệ vật lý Trạng thái hệ vật lý mà ta mô tả đại lượng vó mô, cảm nhận trực tiếp người gọi trạng thái vó mô hệ Ví dụ ta xét khối khí đại lượng vó mô thể tích, nhiệt độ, … khối khí Như vậy, trạng thái vó mô hệ xác định điều kiện mà hệ phụ thuộc Chẳng hạn hệ không tương tác với môi trường bên (hệ cô lập), lượng số hạt tạo thành hệ có giá trị xác định I.A.2 Trạng thái vi mô lượng tử hệ vật lý Theo quan điểm học lượng tử, trạng thái vật lý hạt thời điểm t biểu diễn vectơ không gian trạng thái, vectơ trạng thái ket ψ( t ) Sự tiến hóa theo thời gian trạng thái vi mô mô tả phương trình Schrưdinger d ˆ ψ( t ) , ih ψ( t ) = H (I.1) dt ˆ toán tử Hamilton, toán tử liên kết với lượng, tổng toàn tử động H ˆ: Tˆ toán tử tương tác U ˆ = Tˆ + U ˆ (I.2) H r Nếu gọi r vectơ riêng tương ứng với vị trí r hạt, tích vô hướng r r ψ( t ) = ψ( r , t ) (I.3) cho ta hàm sóng, đặc trưng đầy đủ cho trạng thái vật lý hệ ˆ độc lập thời gian t), lïng El hệ trạng thái l Trong trường hợp hệ bảo toàn ( H xác định phương trình trị rieâng: ˆ ϕ il = E l ϕ il H với i = 1, 2, …, gl cho biết suy biến hệ Tổng quát hơn, đối tượng nghiên cứu hệ nhiều hạt hàm sóng Ψ( q1, q2, …, qf ) theo biến số tọa độ qi đặc trưng đầy đủ cho hệ hạt Ở đây, f số lượng tử hệ Chú ý ta nói đến trạng thái vi mô hệ vó mô ta ngầm hiểu trạng thái vi mô lượng tử Còn ta nhấn mạnh đến trạng thái vi mô cổ điển có nghóa tính chất hệ khảo sát thông qua học cổ điển Newton ta thấy Dó nhiên này, kết thu gần mà Thông thường hệ vó mô đặt số điều kiện (vó mô) gọi hạn chế (constraint), chẳng hạn khối khí cô lập, không tương tác với môi trường bên lượng số hạt hệ xem điều kiện môi trường bên áp đặt cho hệ, dó nhiên hai đại lượng không đổi Khi tồn số trạng thái vi mô khác hệ tương ứng với trạng thái vó mô Số trạng thái vi mô thường kí hiệu Ω, đóng vai trò trọng yếu việc nghiên cứu vật lý thống kê Ví dụ: Để dễ hiểu vấn đề, ta xét hệ nhiều hạt đơn giản gồm hai hạt phân biệt được, tức đánh dấu hạt A hạt B Hai hạt phân bố ba mức lượng cách laø ε0 = , ε1 = ε , vaø ε2 = 2ε Giả sử lượng toàn phần hệ ấn định bằng: E = 2ε Ta xét trạng thái vi mô khả dó hệ tương ứng với trạng thái vó mô ε2 = 2ε B ε ε1 = ε ε ε0 = A AB A B (1) (2) (3) H.I.1 Ta coù thể đếm số trạng thái vi mô cách dùng sơ đồ hình trên: hạt A B xếp mức lượng cho tổng lượng hai hạt 2ε Vậy, có tất trạng thái vi mô khả dó: (1), (2), (3); Ω = Vì hai hạt A B phân biệt nên hai trạng thái vi mô (1) (2) phải xem khác Nếu ta giả sử hai hạt tạo thành hệ không phân biệt ta có sơ ñoà sau: ε2 = 2ε ε1 = ε ε0 = • ε •• ε • (1’) (2’) H.I.2 Vậy ta có Ω = 2, nhỏ so với trường hợp hệ hạt phân biệt Bây ta giả sử mức lượng ε1 suy biến bậc (tức mức lượng ε1, có hai trạng thái lượng tử khác nhau) Khi hai hạt phân biệt được, ta có Ω = biểu diễn sơ đồ sau: ε2 = 2ε ε ε1 = ε ε ε0 = A B A B B A (1) (2) (3) B A AB (4) AB (5) (6) H.I.3 (Ở đây, ta giả thiết hai hạt trạng thái lượng tử) Còn hai hạt không phân biệt được, ta có Ω =4 ε2 = 2ε ε ε1 = ε ε ε0 = • • (1’) • • • • •• (2’) (3’) H.I.4 (4’) I.A.3 Trạng thái vi mô cổ điển Ở mức độ gần đó, trạng thái vi mô hệ vó mô mô tả học cổ điển Ta xét trường hợp đơn giản trường hợp hạt chuyển động chiều mở rộng cho trường hợp tổng quát a) Một hạt chuyển động chiều Với khái niệm bậc tự số tọa độ cần thiết để xác định vị trí hạt trường hợp đơn giản hệ có bậc tự Ta biết học cổ điển, trạng thái học hạt mô tả tọa độ suy rộng q động lượng suy rộng p, nghiệm hệ phương trình Hamilton: ( I.5a ) ∂H ⎧ ⎪q& = ∂p ⎪ ⎨ ⎪p& = − ∂H ⎪⎩ ∂q ( I.5b) với H hàm Hamilton hệ Như vậy, ta nói trạng thái học (cổ điển) hạt thời điểm t biểu diễn điểm có tọa độ (q, p) gọi điểm pha không gian tạo hai trục tọa độ Oq Op gọi không gian pha μ, không gian hai chiều Vì đại lượng q p biến thiên theo thời gian nên điểm pha (q, p) vạch thành đường không gian pha; q đạo pha Ví dụ: Xét dao động tử điều hòa tuyến tính có động T = p2 U = mω2 q , 2m với m ω khối lượng tần số góc dao động tử Ta có hàm Hamilton: H=T+U= p2 + mω2 q , 2m ∂H p = , ∂p m ∂H p& = − = − mω2 q , ∂q p& q&& = = − ω2 q m Ta có phương trình vi phaân theo q: q&& + ω2q = ⇒ q = q sin(ωt + ϕ) , với q0, φ hai số phụ thuộc điều kiện ñaàu q& = ⇒ p = mq& = p cos(ωt + ϕ), p = mωq Để tìm q đạo pha, ta thiết lập hệ thức q p độc lập với t: q p2 + = q 02 p 02 Vậy q đạo pha ellip có bán trục q0 p = mωq q đạïo pha p • p σ = πh p0 • (q,p): ñieåm pha -q0 q0 δp q O δq q H.I.5 H.I.6 Để đếm số trạng thái vi mô khả dó hạt trạng thái học hạt biểu diễn không gian pha, ta chia trục Oq Op thành lượng nhỏ δq δp Như vậy, không gian pha trường hợp mặt phẳng phân thành ô chữ nhật nhỏ, ô có diện tích σ = δqδp Một trạng thái học hạt tương ứng với điểm pha nằm ô Cách mô tả xác σ nhỏ: học cổ điển, σ chọn nhỏ tùy ý, tức ô trở thành điểm điểm pha Chú ý theo học lượng tử, nguyên lý bất định Heisenberg cho ta hệ thức: δq.δp ≥ 2πh , với h h= (h số Planck) Tức không tồn trạng thái học với đại lượng q p 2π xác định với độ xác tùy ý Vậy trạng thái vi mô hạt phải biểu diễn ô có diện tích σ = δqδp = πh , điểm pha học cổ điển -p0 b) Trường hợp hệ có f bậc tự Tức này, hệ mô tả f tọa độ suy rộng (q1, q2, …, qf ) f động lượng suy rộng ( p1, p2, …, pf ) Ví dụ: - Hệ gồm hạt chuyển động không gian ba chiều có vị trí xác định ba tọa độ ( q1 ≡ x , q2 ≡ y , q3 ≡ z ), hệ có ba bậc tự do: f = Không gian pha tương ứng không gian pha chiều: ( q1, q2, q3, p1, p2, p3 ) Mỗi ô đặc trưng cho trạng thái vi mô tích (δqδp )3 - Hệ có N hạt: hạt có ba bậc tự nên hệ có số bậc tự là: f = 3N Hệ tương ứng với không gian pha 6N chiều Vậy tập hợp đại lượng (q1, q2, …, qf, p1, p2, …, pf) tương ứng với điểm pha không gian pha 2f chiều, gọi không gian K, để phân biệt với không gian pha μ có hai chiều Tương tự trên, trạng thái học hệ có f bậc tự biểu diễn “ô” tích thỏa điều kiện: δq1δq δq f δp1δp δp f = σ f với σ nhỏ tùy ý theo học cổ điển Nhưng theo học lượng tử, trạng thái vi mô hệ biểu diễn “ô” tích thỏa điều kiện: δq1δq δq f δp1δp δp f ≥ ( πh) f tuân theo nguyên lý bất định Heisenberg Vậy, hệ N hạt chẳng hạn, trạng thái tương ứng với ô không gian pha tích (2 πh )3N = h 3N I.A.4 Mật độ trạng thái Xét trường hợp lượng E hệ vó mô có phổ liên tục Ta chia lượng E phần nhỏ δE cho δE chứa số lớn trạng thái vi mô khả dó Gọi Ω( E) số trạng thái vi mô khả dó có lượng khoảng E E + δE Khi δE đủ nhỏ mà Ω( E) viết: Ω( E) = ρ( E).δE , (I.6) (với δE đủ nhỏ, ta giữ lại số hạng đầu) ρ( E) độc lập với độ lớn δE , ρ( E) gọi mật độ trạng thái, thực chất theo công thức trên, ρ( E ) số trạng thái vi mô có đơn vị lượng I.A.5 Sự phụ thuộc số trạng thái vi mô khả dó theo lượng Xét trường hợp khối khí gồm N phân tử giống chứa bình tích V Năng lượng toàn phần khối khí E = K + U + E int , đó, K động chuyển động tịnh tiến phân tử khí tính theo động lượng pi khối tâm phân tử; K phụ thuộc động lượng này: r r r Nr K = K ( p1 , p , , p N ) = ∑ pi 2m i =1 r r r Đại lượng U = U( r1 , r2 , , rN ) biểu thị tương tác phân tử, phụ thuộc khoảng cách tương đối phân tử, tức phụ thuộc vào vị trí khối tâm phân tử Cuối phân tử đơn nguyên tử, nguyên tử phân tử quay dao động khối tâm, chuyển động nội đặc trưng tọa độ nội Q1, Q2, …, QM động lượng nội P1, P2, …, PM Như vậy, Eint lượng chuyển động nội phụ thuộc vào Qi Pi (nếu phân tử đơn nguyên tử Eint = 0) Trường hợp đặc biệt đơn giản U ≅ : tương tác phân tử nhỏ so với số hạng khác, bỏ qua Khi đó, ta có hệ khí lý tưởng Trường hợp xảy mật độ phân tử N/V nhỏ làm cho khoảng cách trung bình phân tử trở nên lớn Giả sử ta xét khối khí lý tưởng giới hạn cổ điển Khi này, số trạng thái vi mô khả dó Ω( E) có lượng khoảng ( E , E + δE ) số điểm pha không gian pha giới hạn E E + δE : E + δE r r r r r r r d ri = dx i dy i dz i đó: Ω ( E ) ∝ ∫ ∫ d r1d r2 d rN dp1dp dp N dQ1dQ dQ M dP1dP2 dPM , E r dp i = dp ix dp iy dp iz r Vì ∫ d ri = V neân: Ω( E) ∝ V N Ω1 ( E) , (I.7a) với: Ω i ( E) ∝ E + δE r r r ∫ ∫ dp1dp dp N dQ1dQ dQ M dP1dP2 dPM độc lập V E Hơn nữa, trường hợp khí đơn nguyên tử: Eint = 0, N E= ∑ ∑ p iα , m i =1 α=1 gồm 3N = f số hạng toàn phương Vậy không gian f-chiều động lượng, phương trình E = const biểu diễn mặt cầu bán kính R ( E) = (2mE)1 / Số trạng thái số điểm pha nằm hai mặt cầu có bán kính R(E) R(E+δE) Mà số trạng thái Φ chứa khối cầu bán kính R(E) tính: Φ( E) ∝ R f = (2mE) f / , neân ∂Φ Ω( E) = Φ( E + δE) − Φ( E) = dE ∂E Vaäy: Ω( E) ∝ E f 2−1 = E 3N 2−1 ≅ E 3N Phối hợp kết với (I.7a), ta có: Ω( E ) = AV N E 3N , (I.7b) với N có độ lớn khoảng số Avogadro Tức Ω( E ) tăng nhanh theo N Tổng quát trường hợp đặc biệt trên, ta chứng minh rằng: (I.7c) Ω( E ) ∝ E f Tức số trạng thái vi mô khả dó hàm tăng nhanh theo lượng, tính chất quan trọng học thống kê hệ vó mô Chú ý công thức (I.7c) trên, điều ta cần ý độ lớn giá trị xác Ω( E) , đó, ta không quan tâm đến số mũ E f số hạng độ lớn với f I.B Phương pháp thống kê cho hệ vó mô I.B.1 Hàm phân bố thống kê Trước đưa vào định nghóa hàm phân bố thống kê, ta nhắc lại ngắn gọn vài khái niệm lý thuyết xác suất: Một biến cố gọi ngẫu nhiên ta đủ thông tin để biết trước kết Kết biến cố gọi biến ngẫu nhiên Ví dụ: Kết việc ném xúc sắc, hoặc: Vận tốc phân tử khí sau lần va chạm với phân tử khác biến ngẫu nhiên Gọi tập hợp biến cố {em; m = 1, 2, …}, gọi Nm số lần biến cố em xuất sau N phép thử đồng (tức phép thử thực điều kiện giống nhau) Xác suất biến cố em định nghóa là: Nm , , N →∞ N Pm = lim Nm gọi số biến cố thuận lợi Vì Nm , N ≥ Nm ≤ N, ta có tính chất Pm: ≤ Pm ≤ Trong đó, Pm = cho ta biến cố chắn Pm = biến cố bất khả (không thể xảy ra) Trường hợp biến ngẫu nhiên có giá trị thực, liên tục khoảng (x1, x2) với x giá trị khoảng này: x ∈ (x1,x2), Δx gia số x, ta gọi ΔN(x) số lần biến cố cho ta kết khoảng (x, x+Δx), xác suất để điều xảy laø: ΔN ( x ) , (I.8) ΔP( x ) = lim N →∞ N Khi đó, tồn hàm số thực ρ(x) cho: ΔP( x ) ρ( x ) = lim , (I.9) Δx → Δx hàm ρ(x) gọi mật độ xác suất, hay hàm phân bố thống kê tính x ΔP(x) + O + x1 x + x+Δx + + Δx x2 H.I.7 Ta viết biểu thức xác suất nguyên tố là: dP( x ) = ρ( x ).dx (I.10) (Ta hiểu ta khai triển Taylor dP(x) theo dx chi giữ lại số hạng đầu) Trong trường hợp ta có ba biến ngẫu nhiên liên tục, độc lập ( x, y, z ), ta có hàm phân bố thống kê hàm theo (x, y, z): ρ(x, y, z) Xác suất nguyên tố để x, y, z khoảng (x, x+dx), (y, y+dy), (z, z+dz) viết: dP( x , y, z ) = ρ( x , y, z ).dxdydz (I.11a) Ta viết ngắn gọn hơn: r r r dP( r ) = ρ( r ).d r , (I.11b) r r r r r đó, r = x i + y j + zk , d r = dxdydz vectơ tọa độ thể tích nguyên tố không gian ba chiều qui hệ trục tọa độ Descartes • Cộng xác suất: Nếu hai biến cố e1 e2 hai biến cố xung khắc (không thể xảy đồng thời), xác suất để e1 e2 xảy P( e1 hoaëc e2 ) = P( e1 ) + P( e2 ), (I.12) với P( e1 ) P( e2 ) xác suất để xảy e1 xác suất để xảy e2 Từ công thức (I.12) trên, ta suy điều kiện chuẩn hóa: (I.13) ∑ Pm = , m biến ngẫu nhiên liên tục, xác suất để x khoảng (a, b) để (x, y, z)∈D vieát: P (a ≤ x ≤ b) = r P( r ∈ D ) = b ∫ ρ ( x ) dx a r r ∫ ρ ( r ) d r (I.14a) (I.14b) D • Nhân xác suất: Khi hai biến cố e1 e2 độc lập (tức việc xảy biến cố không ảnh hưởng đến việc xảy biến cố khác), xác xuất để e1 e2 xảy đồng thời là: P( e1 vaø e2 ) = P( e1 ).P( e2 ) (I.15) Khi hai biến liên tục, độc lập x y có hàm phân bố thống kê ρ(x) ρ(y), xác suất nguyên tố để ta có đồng thời x∈(x, x+dx) y∈(y, y+dy) dP( x , y ) = dP1 ( x ).dP2 ( y) = ρ1 ( x )dx.ρ ( y)dy = ρ1 ( x ).ρ ( y ).dxdy, dP1(x) dP2(y) xác suất nguyên tố để x∈(x, x+dx) y∈(y, y+dy) Vậy, ta định nghóa hàm phân bố thống kê hai biến (x,y): ρ( x, y ) = ρ1 ( x ).ρ ( y ) , (I.16) để có dP( x, y) = ρ( x, y).dxdy (I.17) Một trường hợp quan trọng mà ta thường gặp phải tính ρ(x) biết ρ(x, y) Khi đó, ta sử dụng tính chất sau: (I.18a) dP1 (x) = ρ1 (x)dx = ∫ ρ(x, y).dxdy Dy ⇒ ρ( x ) = ∫ ρ( x, y).dy Dy Ví dụ 1: Hàm phân bố thống kê tọa độ cực (r, ϕ) Vì dP( x, y) = ρ( x, y).dxdy → dP( r, ϕ) = ρ( r, ϕ).dσ (I.18b) III.D Ứng dụng cho hệ lượng tử III.D.1 Hệ dao động tử điều hòa lượng tử tuyến tính Theo kết học lượng tử, mức lượng dao động tử điều hòa tuyến tính có tần số góc ω cho bởi: E n = ( n + )hω , (III.74) với trạng thái khả dó dao động tử đặc trưng số lượng tử n có giá trị nguyên, dương hay không: n= 0, 1, 2, … Hàm tổng thống kê dao động tử tính: ∞ ∞ ⎤ ⎛ βhω ⎞ ∞ ⎡ Z = ∑ e −βE n = ∑ exp ⎢ − βh( n + )⎥ = exp⎜ − ⎟ ∑ exp(− βhωn ) Nhưng ta có ⎦ ⎠ n =0 ⎝ ⎣ n =0 n =0 ∞ ∑ exp (− β h ω n ) = + e − β h ω +e − β h ω + n =0 tổng vô hạn số hạng cấp số nhân có số hạng đầu có công bội q = e −βhω < Tổng hội tụ về: − e −β hω Vậy: e − β hω / e βhω / (III.75) Z= = − e −βhω e βhω − Áp dụng công thức tính lượng trung bình (III.20): ∂ E= (ln Z) , ∂β ta coù hω hω (III.76) E= + βhω e −1 Vậy, hệ có N dao động dao động tử, ta có lượng trung bình hệ: Nhω Nhω E N = NE = + βhω e −1 • Xét trường hợp giới hạn nhiệt độ T đủ lớn để kT >> hω , tức lượng đặc trưng lớn hai mức lượng liên tiếp dao động tử Vì βhω >> nên ta dùng β hω công thức khai triển Taylor cho hàm mũ e : β hω e ≈ + βhω hω ⇒E= + kT ≈ kT (III.77a) Ta tìm kết phép tính cổ điển Quả thật vậy, kT >> hω , nên ta thấy, phép tính xấp xỉ cổ điển phải đem lại kết tương đối xác • Xét trường hợp nhiệt độ thấp: kT > Khi naøy, phép tính gần cho: hω E= + hωe −βhω (III.77b) Khi T đủ nhỏ để ta bỏ qua số hạng thứ nhì, lượng trung bình dao động tử tiến đến mức hω III.D.2 Hệ Rotato lượng tử a) Rotator cổ điển Xét hai hạt M1 M2 có khối lượng m1 m2, cách khoảng re Khối tâm G hệ xác định toạ độ Descartes: r r m1 OM1 + m OM m1 r1 + m r2 = OG = m1 + m m1 + m Nếu chọn gốc toạ độ O trùng với khối tâm G: re r r r r r m r1 + m r2 = ⇒ m1 r1 = m r2 ⇒ = = m1 m m1 + m Moment quán tính hệ O là: I = m1 r12 + m r22 tính sau: I = μre2 , m1 m , gọi khối lượng rút gọn hệ với μ = m1 + m Moment động lượng hệ gốc O: r r r r r L = r1 ∧ m1v1 + r2 ∧ m v r Nếu lực tác dụng lên hệ, L = const , hệ quay quanh trục Oz mặt phẳng r vuông góc với L với vận tốc góc ω không đổi Ta có: r L = m1 (r1 v ) + m (r2 v ) = m1 (r1 r1ω) + m (r2 r2 ω) ( ) = m1 r12 + m r22 ω r L = Iω = μre2 ω Khi này, toàn phần hệ tổng động hai hạt: 1 E = m1 v 12 + m v 22 = Iω2 2 r Tức hàm Hamilton liên kết với lượng đïc tính theo moment động lựơng L : L2 L2 = H= (III.78) 2I 2μre2 (Ta thấy toán Rotator cổ điển rút toán chuyển động quay hạt ảo khối lượng μ , cách gốc O khoảng re) b) Rotator lượng tử Để khảo sát lượng tử hệ Rotator, ta chuyển đại lượng L H thành toán tử moment động lượng toán tử Hamilton theo nguyên lí tương ứng: ˆ L → Lˆ ; H → H Vậy, hệ thức (III.78) cho: ˆ2 ˆ =L , (III.79) H 2I với kết cóù theo học lượng tử: Lˆ2 l, m = h l( l + 1) l, m , (III.80) vectơ ket l, m vectơ liên kết với hàm điều hòa cầu Ylm (θ, ϕ ), với l nguyên dương nguyên âm, m nhận l +1 giá trị m = - l, - l +1,…,0,…, l +1, l Như vậy: ˆ2 ˆ l, m = L l, m = h l( l + 1) l, m = E l, m , H l 2I 2I với El giá trị mức lượng: h l( l + 1) , 2I mức có bậc suy biến l +1 Hàm tổng thống kê (III.81) El = Z = ∑e (l ) −βE l = ∑ (2l + 1)e (E l ) −βE l cuûa = ∑ (2l + 1)e (l ) phân bố −βh 2l( l +1) / I (III.82) tắc viết: Trừ trường hợp phân tử H2 có moment quán tính nhỏ, phân tử lưỡng nguyên tử khác, khoảng cách hai mức lượng quay liên tiếp tính từ (III.81) vào khoảng 10-4eV Do nhiệt độ T đủ lớn, ta có β h l( l + 1) (III.83) βE l = > Trot bậc tự quay có đóng góp vào giá trị nhiệt dung Ta có bảng sau cho ta nhiệt độ đặc trưng Tvib Trot : Phân tử H2 Cl2 Br2 O2 N2 CO HCl HBr Tvib (K) 6215 808 463 2256 3374 3103 4227 3787 Trot (K) 85,3 0,35 0,12 2,1 2,9 2,8 15,0 12,0 Vậy, chuyển động dao động, T > Tvib , kết (III.77a) cho: E vib ≅ N A kT ⇒ CV = R Và hệ gồm NA rotator, ta có, theo (III.86): E = N A kT = RT nhiệt dung riêng đẳng tích tính: CV = R Vậy, nhiệt độ T mà bậc tự dao động quay có đóng góp vào nhiệt dung, ta có, kể chuyển động tịnh tiến: CV = R + R + R = R 2 Và nhiệt độ T TE, (III.99) kết hoàn toàn phù hợp với định luật thực nghiệm Dulong Petit Tuy nhiên, nhiệt độ T