Bài giảng cơ học kỹ thuật (phần động học) chương 4 nguyễn quang hoàng

Chương Động học vật rắn không gian – 3D Kinematics of a Rigid Body Cơ học kỹ thuật: ĐỘNG HỌC CHAPTER Engineering Mechanics: KINEMATICS Động học vật rắn không gian Nguyễn Quang Hồng Bộ mơn Cơ học ứng dụng Chương Động học vật rắn không gian – 3D Kinematics of a Rigid Body -2- Nội dung I Động học vật rắn quay quanh điểm cố định Định nghĩa, thí dụ mơ hình Thơng số định vị - Các góc quay Ơle [Euler-angles] Véc tơ vận tốc góc - Gia tốc góc vật Vận tốc gia tốc điểm thuộc vật Trục quay tức thời Chuyển động quay tiến động II Động học vật rắn chuyển động không gian Phân tích thành chuyển động tịnh tiến quay quanh điểm Các đặc trưng động học: Vận tốc gia tốc điểm cực; vận tốc góc gia tốc góc vật Vận tốc gia tốc điểm thuộc vật Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học vật rắn không gian – 3D Kinematics of a Rigid Body -3- Chương Động học vật rắn không gian – 3D Kinematics of a Rigid Body -4- Định nghĩa, ví dụ, mơ hình Định nghĩa Chuyển động vật rắn gọi chuyển động quay quanh điểm cố định q trình chuyển động có điểm thuộc vật đứng yên I ĐỘNG HỌC VẬT RẮN QUAY QUANH ĐIỂM CỐ ĐỊNH Định nghĩa, thí dụ mơ hình Thơng số định vị - Các góc quay Ơle [Euler-angles] Véc tơ vận tốc góc - Gia tốc góc vật Vận tốc gia tốc điểm thuộc vật Trục quay tức thời Chuyển động quay tiến động Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME  điểm thuộc vật giữ khoảng cách cố định đến điểm cố định, chuyển động cịn gọi chuyển động cầu  ez Ví dụ - Một vật thể hình nón hay hình lăn khơng trượt mặt phẳng cố định - Chuyển động bánh xe ô tô ô tô chuyển động cung đường tròn - Các bánh hộp truyền động vi sai nón - Chuyển động quay đặt giá  ez  1 Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME  2 Chương Động học vật rắn không gian – 3D Kinematics of a Rigid Body -5- Định nghĩa, ví dụ, mơ hình z0 B z D 1 C  K1 1 2 C M P A r  B C 1 M  A y  B A  O A A C O Mơ hình Trong chuyển động quay quanh điểm cố định, vị trí vật hồn tồn xác định ta biết vị trí hai điểm thuộc vật không trùng với điểm cố định Do ta chọn mơ hình cho toán phẳng chứa điểm cố định hai điểm khác thuộc vật Như mơ hình khảo sát chọn phẳng thuộc vật chứa điểm cố định O R z0  O O B 0 C K2 O O z Chương Động học vật rắn không gian – 3D Kinematics of a Rigid Body -6- Định nghĩa, ví dụ, mơ hình x Nguyễn Quang Hồng-Department of Applied Mechanics-SME Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học vật rắn không gian – 3D Kinematics of a Rigid Body -7- Ba góc Euler phương trình chuyển động    Hệ trục cố định: R0={Ox0y0z0} {ex , ey , ez }    Hệ trục gắn liền vào vật: R = {Oxyz} {ex , ey , ez } z  ez rot(z , ), Phương trình chuyển động    (t ),   ex y’  y0 ey  x0 y’’  O Chuyển động vật rắn quanh điểm cố định O xem tổng hợp ba chuyển động quay quanh ba trục giao Oz0, OK Oz Véc tơ vận tốc góc vật:  ey   rot(OK ,  ), rot(z ,  ) Ba góc (, , ) gọi ba góc Euler, cho biết vị trí vật rắn hệ qui chiếu cố định -góc quay tiến động,  - góc quay chương động,  - góc quay riêng  z0 ez y Dựng trục OK (giao Oxy Ox0y0) Xác định góc quay: , ,  Thực chuyển động quay để R0 trùng R Chương Động học vật rắn không gian – 3D Kinematics of a Rigid Body -8- Vận tốc góc vật rắn tính theo ba góc Euler  K    (t ), Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME  x ex                  ez  eK  ez Biểu diễn hệ qui chiếu R0 cố định          Biểu diễn hệ qui chiếu R gắn liền vật {ex , ey , ez }          ez  eK  ez  xex  yey  zez  ey    y’’  O   (0)  [ x(0) y(0) z(0) ]T  ez y’     {ex 0, ey 0, ez }   ez  eK  ez  x(0)ex  y(0)ey  z(0)ez z0 y  x’, x’’   (t )  ez z   x0    ex K x x’, x’’   [ x y z ]T Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME  ex y0 e y0 Chương Động học vật rắn không gian – 3D Kinematics of a Rigid Body -9- Vận tốc góc vật rắn tính theo ba góc Euler    {ex 0, ey 0, ez } Biểu diễn hệ qui chiếu R0 cố định          ez  eK  ez  x(0)ex  y(0)ey  z(0)ez      Cần tính eK , ez theo véc tơ đơn vị {ex , ey , ez }       eK  cos ex  sin  ey , ez  cos  ez  sin  eT    [OT  z0 thuộc mặt (z0, z), eT  sin  ex  cos ey , ngược Oy’, thuộc x0y0]     ez  cos  ez  sin  sin  ex  sin  cos ey ,        Biểu diễn hệ qui chiếu R gắn liền vật {ex , ey , ez } z0 e  ez z   z0    O y0  x0    ez  eK  ez y’  K  ex x  ey  ex  x’, x’’           y   sin  cos    sin        ez  eK  ez z   cos    Trong hệ qui chiếu R0 cố định  (0)   cos    sin  sin          sin     y0   K x  x’, x’’      Chương Động học vật rắn không gian – 3D Kinematics of a Rigid Body -12- Véc tơ gia tốc góc     sin    sin  cos       cos  (0) y      x (0) z cos        sin          O Gia tốc góc vật  sin    cos  sin    cos  sin   cos   x     sin  sin   y   cos  cos   z    z0  z   d   dt y   d dt d  dt d  dt y(0)  y(0)  (0) z   (0) z   sin     cos       cos    O y0  x0  K  x’, x’’  Phương trình vi phân động học quay Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME y’   cos   sin  sin    sin   sin  cos   y’’  hệ qui chiếu cố định R0  x(0)   x(0)     sin  sin   x  y   sin  cos     cos   z  y’  Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học vật rắn không gian – 3D Kinematics of a Rigid Body -11- x          cos ez   sin  sin ex   sin  cos ey   cos ex   sin ey  ez      sin  sin    cos  ex   sin  cos    sin  ey     cos  ez Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME Trong hệ qui chiếu R gắn liền vật    sin  sin    cos  y’’, E  x0  y    ez  eK  ez  Vận tốc góc vật rắn tính theo ba góc Euler       Cần tính eK , ez theo véc tơ đơn vị {ex , ey , ez }       eE  sin ex  cos ey , eK  cos ex  sin ey , [OE trục Oy’’]       ez  cos ez  sin eE  cos ez  sin  sin ex  sin  cos ey         ez  (cos ex  sin  ey )  (cos  ez  sin  sin  ex  sin  cos ey )      cos   sin  sin  ex   sin    sin  cos ey     cos  ez             ez  eK  ez  xex  yey  zez y’’ z0 z’,z   ey y  T Chương Động học vật rắn không gian – 3D Kinematics of a Rigid Body -10- Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME x Chương Động học vật rắn không gian – 3D Kinematics of a Rigid Body -13- Vận tốc gia tốc điểm thuộc vật Vận tốc điểm P thuộc vật trục quay tức thời M  d    vP = r = w ´ r dt  w P  r  a Gia tốc điểm P thuộc vật d        a P = v P = a ´ r + w ´ (w ´ r ) dt B [Trục quay tức thời qua điểm cố định O] Tất điểm thuộc trục quay tức thời có vận tốc Véc tơ vận tốc góc nằm trục quay tức thời C O 0 O O Mọi điểm thuộc vật nằm trục chứa véc tơ vận tốc góc có vận tốc Trục chứa véc tơ vận tốc góc gọi trục quay tức thời [Trục quay tức thời qua điểm cố định O] Đường tiếp xúc OA trục quay tức thời  Bánh cố định z0 A b A C z O         w  rM = k w  vM = w ´ rM = w ´ k w = A Mặt cố định B Trục quay tức thời (Instantaneous axis of rotation) Khi M nằm trục qua O chứa Chương Động học vật rắn không gian – 3D Kinematics of a Rigid Body -14- Trục quay tức thời (Instantaneous axis of rotation) C OC trục quay tức thời B OB trục quay tức thời Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học vật rắn không gian – 3D Kinematics of a Rigid Body -15- Định nghĩa: chuyển động quay quanh điểm cố định gọi quay tiến động     y   y’’   O y’ y0  x0     const,       0, [  const ]     const   z 0 z  K      12  22  212 cos      vN z d  d        (   )      vN dt dt 1   2   O 1    const, 2    const   có chiều dài không đổi quay quanh trục z0 cố định   12 sin  Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME Trụ quay quanh trục thẳng đứng z0 với vận tốc góc  Thanh OB dài L quay quanh trục ngang x (gắn vào trụ 1), với vận tốc góc 2 Hãy tính biểu diễn theo véc tơ đơn vị  hệ trục Oxyz i, j, k z0, z  w  Phân tích CĐ: Thanh OB tham gia hai chuyển động quay: quay quanh z0 quay quanh Ox x i  w2 i (a) vận tốc góc OB, vận tốc điểm B      w = W + w2 = W k + w2 i    rB = L cos j j + L sin jk        vB = w ´ rB = w2i + Wk ´ L cos j j + L sin jk    = -LW cos ji - L w2 sin j j + L w2 cos jk ( ) (  k  Wk 2 ) Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME B  O (a) vận tốc góc OB, vận tốc điểm B (b) gia tốc góc OB gia tốc điểm B               1ez  2ez x x’, x’’  z0  N Véc tơ vận tốc góc gia tốc góc vật  Chương Động học vật rắn không gian – 3D Kinematics of a Rigid Body -16- Ví dụ Chuyển động quay tiến động y  j    i ´j = k    j ´k = i    k ´i = j Chương Động học vật rắn không gian – 3D Kinematics of a Rigid Body -17- Chương Động học vật rắn không gian – 3D Kinematics of a Rigid Body -18- Ví dụ        d  d a= w = (Wk + w2i ) = W´ w2 = Ww2 j dt dt II ĐỘNG HỌC VẬT RẮN CHUYỂN ĐỘNG KHÔNG GIAN B 2  O    rB = L cos j j + L sin jk     vB = -LW cos ji - L w2 sin j j + L w2 cos jk y 1 Phân tích thành chuyển động TT quay quanh điểm Các đặc trưng động học: Vận tốc gia tốc điểm cực; vận tốc góc gia tốc góc vật  j Vận tốc, gia tốc điểm thuộc vật x i           a B = a ´ rB + w ´ (w ´ rB ) = a ´ rB + w ´ vB  i    = Ww2 j ´ L cos j j + L sin jk + w2 (  k z0, z (b) gia tốc góc OB gia tốc điểm B  k W  j ) -LW cos j -L w2 sin j L w2 cos j    2 = 2L w2W sin ji - L cos j w2 + W j - L w22 sin jk ( ) Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học vật rắn không gian – 3D Kinematics of a Rigid Body -19- Phân tích thành chuyển động tịnh tiến quay quanh điểm    Xét vật rắn CĐ không gian HQC cố định R0 {ex 0, ey 0, ez } R0=(Oxyz)0 Tại điểm A thuộc vật ta dựng hai hệ qui chiếu: • Hệ qui chiếu Ax’y’z’ có x’ // x0, y’ // y0, z’ // z0 • Hệ qui chiếu R = Axyz gắn liền với vật (xem A có khớp cầu) Khi vật chuyển động, điểm A chuyển động hệ Ax’y’z’ chuyển động tịnh tiến điểm A, đứng hệ Ax’y’z’ ta thấy vật rắn quay quanh điểm A Điểm A gọi điểm cực (tùy ý thuộc vật) z0 O x0 [x A, yA, z A ]T Chuyển động quay quanh điểm cực A (3 góc le) [ ,  ,  ]T Vận tốc gia tốc điểm cực A z’      vA  rA  xAex  yAey  zAez  rP y0 z  rA x’ Các thông số định vị vật rắn không gian Chuyển động điểm cực A Chương Động học vật rắn không gian – 3D Kinematics of a Rigid Body -20- Các đặc trưng động học  u A x P z0      a A  rA  xAex  yAey  zAez y y’    R{ex , ey , ez } Véc tơ tọa độ suy rộng (vị trí A góc le) q  [x A, yA, z A, ,  ,  ]T Véc tơ vận tốc suy rộng q  [xA, yA, zA, , ,  ]T Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME    R0 {ex 0, ey 0, ez } Véc tơ vận tốc góc gia tốc góc vật rắn  ,    d   dt O x0 z’  a y0 z  rA x’ Tính từ góc le (như trường hợp quay quanh điểm cố định) Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME  w  u A x P y y’    R{ex , ey , ez } Chương Động học vật rắn không gian – 3D Kinematics of a Rigid Body -21- Vận tốc gia tốc điểm thuộc vật    R0 {ex , ey , ez } Vận tốc điểm P thuộc vật z0 d  d  d     rP  rA  u  rP  rA  u dt dt dt            vP  vA    u vP  u  vA  u  (  u )  u  z y0  rA x0 0 Gia tốc điểm P thuộc vật z’  rP O Chương Động học vật rắn không gian – 3D Kinematics of a Rigid Body -22- Ví dụ P  u y A x’ d  d  d   vP  vA  (  u ) dt dt dt Tay quay QO nằm ngang quay quanh trục thẳng đứng với vận tốc góc  (rad/s) Đĩa bán kính r quay quanh trục ngang ( QO) qua O với vận tốc góc p (rad/s) Hệ trục Oxyz gắn với tay quay, hệ trục x0y0z0 cố định Các điểm A B vành đĩa Tại vị trí hình vẽ, xác định vận tốc góc, gia tốc góc đĩa, vận tốc, gia tốc điểm A B    R{ex , ey , ez } Vận tốc góc tay quay vận tốc góc đĩa     2/1  pex    2  1  2/1  ez  pex  y B O x y’ x0    Oxyz {ex , ey , ez } y0 Gia tốc góc tay quay đĩa   1  1  0,         1   2/1       1  2/1  ez  pex  pey Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học vật rắn không gian – 3D Kinematics of a Rigid Body -23- Ví dụ Chương Động học vật rắn không gian – 3D Kinematics of a Rigid Body -24- Ví dụ       vO  1  rO  ez  ley  lex         aO  1  rO  1  (1  rO )  1  vO     ez  (lex )  l 2ey Vận tốc gia tốc điểm A   1  ez , Lưu ý triển khai tính tốn ta biểu diễn véc tơ hệ R0 R, tương ứng với véc tơ đơn vị       R0 {ex , ey , ez } R{ex , ey , ez } Vận tốc gia tốc điểm O Q p t Các tính tốn sau thực hệ trục tọa độ Oxyz z A y’ x        a P  a A    u    (  u ) l z0    rO  hez  ley   uOA  rez z0 z l A Q  p y B O h x t x0       vA  vO  vA/O  vO  2  uOA,       2  uOA  (ez  pex )  rez  r pey        vA  lex  (ez  pex )  rez  lex  prey y0 Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME y’    Oxyz {ex , ey , ez }        z0 aA  aO    uOA  2  (2  uOA ),        l 2ey  pey  rez  (ez  pex )  (r pey )    Q  2r pex  l 2ey  r p2ez    uOB  rey Vận tốc gia tốc điểm B       vB  vO  vB /O  vO  2  uOB , x0        2  uOB  (ez  pex )  rey  r ex  r pez       vB  l ex  r ex  r pez  (l  r )ex  r pez z l A p y B O x t y0 y’    Oxyz {ex , ey , ez }        aB  aO    uOB  2  (2  uOB ),          l 2ey  pey  rey  (ez  pex )  [  r (ex  pez )]  [(l  r )2  r p2 ]ey Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học vật rắn không gian – 3D Kinematics of a Rigid Body -25- I Động học vật rắn quay quanh điểm cố định Định nghĩa, thí dụ mơ hình Thơng số định vị - Các góc quay Ơle [Euler-angles] Véc tơ vận tốc góc - Gia tốc góc vật Vận tốc gia tốc điểm thuộc vật Trục quay tức thời Chuyển động quay tiến động II Động học vật rắn chuyển động khơng gian Phân tích thành chuyển động tịnh tiến quay quanh điểm Các đặc trưng động học: Vận tốc gia tốc điểm cực; vận tốc góc gia tốc góc vật Vận tốc gia tốc điểm thuộc vật Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME