Bài giảng cơ học kỹ thuật (phần động học) chương 2 nguyễn quang hoàng

Chương Động học vật rắn–Kinematics of a Rigid Body CHAPTER Cơ học kỹ thuật: ĐỘNG HỌC Engineering Mechanics: KINEMATICS Cơ sở động học vật rắn Nguyễn Quang Hoàng Bộ mơn Cơ học ứng dụng Nguyễn Quang Hồng-Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học vật rắn–Kinematics of a Rigid Body -2- Nội dung  Tổng quan chuyển động vật rắn  Chuyển động tịnh tiến: định nghĩa, ví dụ, tính chất  Chuyển động quay: • vận tốc góc gia tốc góc vật rắn  Chuyển động khơng gian tổng qt • Phân tích chuyển động tổng quát thành chuyển động tịnh tiến chuyển động quay quanh điểm • Các đặc trưng động học vật chuyển động không gian tổng quát • Liên hệ vận tốc gia tốc điểm thuộc vật  Chuyển động quay quanh trục cố định  Một số truyền chuyển động khí đơn giản  Một số ví dụ Nguyễn Quang Hồng-Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học vật rắn–Kinematics of a Rigid Body -3- Tổng quan chuyển động vật rắn Quan sát chuyển động vật không gian, vị trí vật xác định vị trí điểm A hướng (hay tư thế) vật z Nếu trình chuyển động hướng (tư thế) vật khơng thay đổi ta nói vật tịnh tiến O B rA x A y Nếu trình chuyển động điểm A khơng thay đổi vị trí (A cố định) ta nói vật quay quanh điểm A cố định Nếu vị trí A hướng vật thay đổi tùy ý, ta nói vật chuyển động tổng quát (chuyển động khơng gian tổng qt) Nguyễn Quang Hồng-Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học vật rắn–Kinematics of a Rigid Body -4- Tổng quan chuyển động vật rắn chuyển động điểm z chuyển động vật rắn rP O rA y x B z P x • Chuyển động mặt phẳng, chuyển động khơng gian • Quĩ đạo thẳng, quĩ đạo cong • Vận tốc gia tốc điểm • Tối đa cần thông số định vị (3 bậc tự do) A O y • • • • Tịnh tiến Quay quanh điểm cố định/ trục cố định Chuyển động không gian tổng quát Chuyển động phẳng tổng quát (CĐ song phẳng) • Chuyển động đinh ốc • Vận tốc gia tốc điểm A / Vận tốc góc gia tốc góc vật • Tối đa cần thơng số định vị (6 bậc tự do) Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học vật rắn–Kinematics of a Rigid Body -5- Tổng quan chuyển động vật rắn B B Chuyển động tịnh tiến Chuyển động quay quanh trục cố định Chuyển động song phẳng (chuyển động phẳng tổng quát) B j rA O z (t ) Chuyển động quay quanh điểm cố định Chuyển động đinh ốc A Chuyển động tổng quát Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học vật rắn–Kinematics of a Rigid Body -6- Chuyển động tịnh tiến: Định nghĩa – Ví dụ - Tính chất Định nghĩa: CĐTT chuyển động mà hướng vật không thay đổi chuyển động [Đoạn thẳng gắn vào vật không thay đổi phương vật chuyển động] B rA O A D Chuyển động tịnh tiến B A Tính chất: Quĩ đạo điểm Tại thời điểm: vận tốc điểm gia tốc điểm A D C B Sử dụng mô hình điểm cho vật rắn tịnh tiến Nguyễn Quang Hồng-Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học vật rắn–Kinematics of a Rigid Body -7- Chuyển động quay – véc tơ vận tốc góc Trong chuyển động quay, điểm vật chuyển động quanh trục quay chung Nếu vị trí trục quay khơng thay đổi khơng gian, ta nói vật rắn quay quanh trục cố định Nếu trục quay thay đổi hướng có điểm cố định chuyển động vật chuyển động quay quanh điểm cố định   d  d e   d  d e d P    Pdr e  e r trục quay tức thời d P   Pdr r  A A cố định A Quay quanh điểm cố định trục quay cố định Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học vật rắn–Kinematics of a Rigid Body -8- Chuyển động quay – véc tơ vận tốc góc Xét vật quay quanh điểm A cố định Trong   khoảng thời gian dt, điểm P thuộc vật vẽ nên d  d e cung PP’ mặt cầu tâm A (cung coi cung tròn phẳng tâm N, bán kính  = NP) Véc tơ dịch chuyển điểm P thuộc vật  r,  AP  dr  NP dr  d  r sin d     dr  ed  r  dr  d     e r   r dt dt AN - trục quay tức thời N d  e P  P dr r  A A cố định   r  r  r  const      r  dr   dr  r Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học vật rắn–Kinematics of a Rigid Body -9- Chuyển động quay – véc tơ vận tốc góc   dr dc        r     c , c  B dt dt  Thật vậy, xét hai điểm tùy ý P Q thuộc vật, ta có  drP dt B       rP ,   d (rQ  rP ) dt  drQ dt      rQ       (rQ  rP )    e Q  rQ  c trục quay tức thời P P  r dr A P    c  rQ  rP Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học vật rắn–Kinematics of a Rigid Body -10- Chuyển động quay – véc tơ vận tốc góc, gia tốc góc Định nghĩa Véc tơ vận tốc góc vật rắn B hệ qui chiếu R, kí hiệu  , véc tơ  mà đạo hàm theo thời gian véc tơ c thuộc vật rắn tích có hướng véc tơ vận tốc góc vật với véc tơ  dc       c , c  B dt   B    c z R y x Định nghĩa. Véc tơ gia tốc góc vật rắn B hệ qui chiếu R, kí hiệu  , đạo hàm theo thời gian véc tơ vận tốc góc   vật   d , dt  d or   dt Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học vật rắn–Kinematics of a Rigid Body -11- Chuyển động quay – véc tơ vận tốc góc, gia tốc góc Vận tốc góc vật rắn có tính chất quan trọng sau:  ez   ez  1  ez  2   1      1  2    1ez  2ez  ez    2   (1  2 cos  )2  (2 sin  )2   12  22  212 cos  Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học vật rắn–Kinematics of a Rigid Body -12- Chuyển động không gian tổng quát: đặc trưng động học - Chuyển động tổng quát vật rắn coi chuyển động điểm A chuyển động quay quanh điểm A Điểm A gọi điểm cực - Đặc trưng động học vật chuyển động không gian tổng quát z rA O Vận tốc gia tốc điểm cực A (có thể lấy A tùy ý thuộc vật)  vA ,  aA A y x Vận tốc góc gia tốc góc vật  ,   Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học vật rắn–Kinematics of a Rigid Body Liên hệ vận tốc gia tốc hai điểm thuộc vật Vận tốc điểm thuộc vật rắn P Định lý Nếu biết vận tốc góc vật rắn vận tốc điểm A thuộc vật rắn B, vận tốc điểm P thuộc vật rắn B xác định     v P = vA + w ´ u Chứng minh    rP = rA + u  drP R  dt Theo định nghĩa vận tốc góc: Hệ  rP -13-  w  u A  rA O  R drA d  + u dt dt R d    u    u ta suy công thức dt R =   hcAP (vP ) = hcAP (vA )        vP ⋅ u = (vA + w ´ u ) ⋅ u Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học vật rắn–Kinematics of a Rigid Body Liên hệ vận tốc gia tốc hai điểm thuộc vật Gia tốc điểm thuộc vật rắn Định lý Nếu biết vận tốc góc, gia tốc góc vật rắn B gia tốc điểm A thuộc vật rắn đó, gia tốc điểm P thuộc vật rắn B xác định hệ thức sau        a P = a A + a ´ u + w ´ (w ´ u )  a P  rP -14-  w  u A  rA O Chứng minh Đạo hàm quan hệ vận tốc theo thời gian ta suy ra:  dvP R dt  dvA R = dt  d w   Rd  u ´u + w ´ dt dt R + Theo định nghĩa vận tốc góc gia tốc góc ta suy cơng thức Nguyễn Quang Hồng-Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học vật rắn–Kinematics of a Rigid Body Vật rắn quay quanh trục cố định -15- z  k A0 q Góc định vị PT chuyển động q = q(t ) Véc tơ vận tốc góc gia tốc góc   w = q(t )k , w = q(t )    a = w = q(t )k , a = q(t ) A0 O  A w[rad/s] = pn [v/ p ] 30 Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học vật rắn–Kinematics of a Rigid Body -16- Vật rắn quay quanh trục cố định Một số chuyển động quay đặc biệt Chuyển động quay đều, vận tốc góc = const dq = w0  dt d q = w 0dt  q(t ) = q0 + w 0t Chuyển động quay biến đổi đều, gia tốc góc = const d w = a  d w = a 0dt  w(t ) = w + a 0t dt d q = w = w + a 0t  d q = (w + a 0t )dt dt  q(t ) = q0 + w 0t + a 0t 2 Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học vật rắn–Kinematics of a Rigid Body -17- Vật rắn quay quanh trục cố định: Chuyển động điểm thuộc vật z -Quĩ đạo đường tròn, tâm O thuộc trục quay -Vận tốc, gia tốc điểm O  k  r M -Vận tốc, gia tốc phương pháp tọa độ cực phương pháp tọa độ tự nhiên   r  OM y O     a  re  r2er    at  a n   v  re y   r er  eq       a  k  r  2k  (k  r )    k  r  2r    v    r   k  r  v M  x O  aq y  ar M M  x O x Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học vật rắn–Kinematics of a Rigid Body -18- Truyền động khí đơn giản Động Cơ cấu truyền động Bộ phận công tác Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học vật rắn–Kinematics of a Rigid Body -19- Truyền động khí đơn giản Truyền động bánh trụ Ăn khớp v1=v2 1 Ăn khớp v1=v2 1 2 v1  v2 2 r11  r22  i12  1 r2 z   2 r1 z1 Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học vật rắn–Kinematics of a Rigid Body -20- Truyền động khí đơn giản Truyền động bánh nón (cơn) R1 r11  r22   r z i12    2 r1 z1 w1 w2 R2 Truyền động bánh –thanh  v1=v2 v1  v2  r  Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học vật rắn–Kinematics of a Rigid Body -21- Truyền động khí đơn giản Truyền động đai (xích) v1 1 v1 1 2 v2 v2 v1  v2 , 2 Bỏ qua trượt đai dây đai i12  r11  r22 1 r2 z   2 r1 z1 Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học vật rắn–Kinematics of a Rigid Body -22- Truyền động khí đơn giản Truyền động cấu cam v1 v2 v1 Cần Cần  Cam Cam Truyền động tay quay-thanh truyền A  O B v Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học vật rắn–Kinematics of a Rigid Body -23- Ví dụ Mơ hình thang máy hình Động nối vào bánh (r1, z1), truyền động sang bánh (r2, z2) Tang bán kính r gắn liền bánh Trong giai đoạn mở máy, bánh quay nhanh dần q1 = 12 a 0t , a = const 2 r 1 1 B r1 r2 A Hãy xác định vận tốc gia tốc cabin A thời điểm t (dây khơng giãn) Lời giải Phân tích chuyển động: Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học vật rắn–Kinematics of a Rigid Body -24- Ví dụ Tính vận tốc vB w1 = q1 = a0t w1 r z z z = =  w = w1 = a 0t w2 r1 z1 z2 z2 v A = v B = r w2 = r z1 z2 a0t 2 r B r2 A K 1 1 r1 v1=v2 vA Tính gia tốc a A = vA = r w = r z1 z2 a0 Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học vật rắn–Kinematics of a Rigid Body -25- Ví dụ Hệ thống tời hình Số bánh tương ứng z1, z2, z3, z4 Tang đường kính d gắn liền bánh Trong giai đoạn mở máy, động quay nhanh dần đều: q1 = 12 a 0t , Z4 A a = const B Z1 d Z2 Z3 C Hãy xác định vận tốc gia tốc vật nâng C thời điểm t (dây khơng giãn) Lời giải Phân tích chuyển động: Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học vật rắn–Kinematics of a Rigid Body -26- Ví dụ Tính vận tốc Z4 w1 = q1 = a0t w1 z2 w3 z4 = , = , w2 z1 w4 z3 w º w2 w z z  = w4 z1 z z1 z z z  w4 = w = a 0t z2 z4 z2 z4 vC = d d z1 z w = at z2 z4 B Z1 A d Z2 Z3 C Tính gia tốc aC = vC = d d z1 z w = a z2 z4 Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học vật rắn–Kinematics of a Rigid Body -27- Ví dụ vA Hệ thống truyền động hình Số bánh tương ứng z1, z2, A z3, z4, bánh có bán kính r5 Bánh gắn cứng bánh 5, bánh gắn cwsg bánh Tìm liên hệ độ lớn vận tốc hai điểm A B l O B vB Lời giải Phân tích chuyển động: Tính tốn: w1 = v B / l , w = v A / r5 , w º w w1 z2 w3 z = , = 4, w º w2 w2 z1 w4 z3 w z z z z  =  w = w = w1 w4 z1 z z2 z4  vA = z1 z r v z2 z4 l B Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME