Bài giảng cơ học kỹ thuật (phần động học) chương 1 nguyễn quang hoàng

Chương Động học điểm - Chapter Kinematics of a Particle Chương Cơ học kỹ thuật: ĐỘNG HỌC Engineering Mechanics: KINEMATICS Động học điểm Nguyễn Quang Hoàng Bộ môn Cơ học ứng dụng Chương Động học điểm - Chapter Kinematics of a Particle -2- Nội dung Hai đại lượng đặc trưng động học điểm • Vận tốc gia tốc điểm Phương pháp tọa độ đề-các khảo sát động học điểm • Vận tốc gia tốc điểm hệ tọa độ đề-các • Khảo sát chuyển động thẳng điểm Phương pháp tọa độ tự nhiên • Một số thơng số hình học quĩ đạo (mặt phẳng mật tiếp, độ cong, bán kính cong quĩ đạo) • Hệ tọa độ tự nhiên • Vận tốc gia tốc điểm Phương pháp tọa độ cực / tọa độ trụ / tọa độ cầu Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học điểm - Chapter Kinematics of a Particle -3- Vận tốc gia tốc điểm Xét chuyển động điểm P khơng gian, vị trí P so với O cố định   r = r (t ) – véc tơ định vị Quĩ đạo chuyển động đường mà điểm P vẽ không gian (quĩ tích điểm P) Quĩ đạo thẳng Chuyển động thẳng Quĩ đạo O P  r (t ) Quĩ đạo cong Chuyển động cong Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học điểm - Chapter Kinematics of a Particle -4- Vận tốc gia tốc điểm  Véc tơ vận tốc: đặc trưng cho thay đổi vị trí điểm theo thời gian P r Giả sử chuyển động điểm khoảng thời gian t r (từ P sang P’), vận tốc trung bình điểm khoảng thời gian t này:   Dr vtb = Dt r(t) r+r O - Đơn vị [m/s] v P Vận tốc thời điểm t r(t)    Dr dr  v = lim = = r Dt  Dt dt Véc tơ vận tốc tiếp tuyến với quĩ đạo O Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học điểm - Chapter Kinematics of a Particle -5- Vận tốc gia tốc điểm  Véc tơ gia tốc – đặc trưng cho thay đổi vận tốc theo thời gian Giả sử vận tốc điểm thay đổi khoảng thời gian t v, gia tốc trung bình v(t) khoảng thời gian t P v(t+t)    Dv v (t + Dt ) - v (t )  [m/s2] r(t) atb = = Dt Dt O Gia tốc thời điểm t     Dv dv  a = lim = = v = r Dt  Dt dt   d 2 v = 2v ⋅ a dt Dấu hiệu nhanh dần / chậm dần v Véc tơ gia tốc hướng phía lõm quĩ đạo ìï> ï í ï< ïỵ Nhanh dần Chậm dần Nguyễn Quang Hồng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học điểm - Chapter Kinematics of a Particle -6- Phương pháp tọa độ đề - Phương trình chuyển động z x = x (t ), y = y(t ), z = z (t ) - Véctơ định vị  ez     r  xe x  ye y  ze z  ex - Vận tốc     v = xe x + y e y + ze z v = x + y + z - Gia tốc O P r(t)  ey Dấu hiệu nhanh dần / chậm dần ìï>      z v ⋅ a = xx a = xe x + ye y + ze  + yy  + zz  ïí a = x2 + y2 + z2 y x ï< ïỵ Nhanh dần Chậm dần Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học điểm - Chapter Kinematics of a Particle -7- Ví dụ (xét chuyển động parabol điểm mặt phẳng đứng) Xét chuyển động không cản viên đạn mặt phẳng đứng x = v0t cos a y y = v 0t sin a - 21 gt P v 0, a, g = const  ey v0 Xác định phương trình quĩ đạo, độ cao cực đại tầm xa viên đạn O Lời giải   ex x Khử biến thời gian t hai phương trình chuyển động x y ta nhận t= x  v cos a y= sin a g x- x2 cos a 2v cos2 a Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học điểm - Chapter Kinematics of a Particle -8- Ví dụ (tiếp) Xác định vận tốc gia tốc điểm x (t ) = v 0t cos a d dt d dt P  ey v0 y(t ) = v 0t sin a - gt 2 vx = vy = y O  ax = x = v cos a y = v0 sin a - gt ay = -g  ex xmax Xác định độ cao tầm xa từ phương trình quĩ đạo y(x max ) =  x max = 2v 02 y max = y( 21 x max ) = sin a cos a v = sin 2a g g sin a g ( x )- ( x max )2 = cos a max 2v0 cos2 a Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học điểm - Chapter Kinematics of a Particle -9- Phương pháp tọa độ đề các: Chuyển động thẳng điểm - Phương trình chuyển động x = x (t ), O - Vận tốc   v = xe x x   r (t ) = x (t )ex M x v = x Chuyển động - Gia tốc   a = xe x a = x Dấu hiệu nhanh dần / chậm dần ì Nhanh dần ï>    ï v ⋅ a = xx í ï< Chậm dần ï ỵ v = const, x = x + vt Chuyển động biến đổi a = const, v = v + at x = x + v 0t + 12 at Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học điểm - Chapter Kinematics of a Particle -10- Ví dụ Ví dụ Xe tơ chuyển động đường thẳng có vận tốc thay đổi theo thời gian Xác định gia tốc xe quãng đường xe sau s d v(t )  6t  2, m/s2 dt d v(t )  s(t )  (3t  2t ), dt v  3t  2t [m/s] a(t  3)  20, m/s2 a(t )  ds(t )  v(t )dt  (3t  2t )dt s(t )  s  t  t  s(t )  t  t s(t  3)  27   36 m Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học điểm - Chapter Kinematics of a Particle -11- Ví dụ Ví dụ Tìm phương trình quỹ đạo, vận tốc, gia tốc phương trình chuyển động điểm dạng tọa độ Descartes x  t3  2, y   t3 Lời giải Quĩ đạo nhận cách khử biến thời gian t x  y  Quĩ đạo điểm đoạn thẳng Vận tốc gia tốc điểm vx  x  3t2, vy  y  3t2  v  vx2  vy2  2t2 ax  x  6t, ay  y  6t  a  ax2  ay2  2t Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học điểm - Chapter Kinematics of a Particle -12- Phương pháp tọa độ tự nhiên khảo sát chuyển động cong Các khái niệm liên quan đến đường cong: mặt phẳng mật tiếp, độ cong, bán kính cong, hệ trục tọa độ tự nhiên Mặt phẳng mật tiếp quĩ đạo P Trong trường hợp tổng quát, quĩ đạo đường cong không gian Gọi P P’ hai vị trí khác điểm quĩ đạo  đủ nhỏ, Nếu khoảng cách s  PP  coi cung PP phẳng Mặt phẳng chứa cung mặt phẳng mật tiếp với quĩ đạo P  e n  en s  e  Đối với đường cong phẳng: Mặt phẳng mật tiếp mặt phẳng chứa đường cong Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học điểm - Chapter Kinematics of a Particle -13- Phương pháp tọa độ tự nhiên khảo sát chuyển động cong Độ cong quĩ đạo P k  lim s 0  e  d  s ds  e Bán kính cong quĩ đạo P:  k r Ví dụ, quĩ đạo trịn bán kính r có độ cong k  const r Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học điểm - Chapter Kinematics of a Particle -14- Phương pháp tọa độ tự nhiên khảo sát chuyển động cong Hệ trục tọa độ tự nhiên Trên mặt phẳng mật tiếp với quĩ đạo P:  • Trục tiếp tuyến  (véctơ đơn vị e )  • Trục pháp tuyến n (véctơ đơn vị en ) n  e  en  e s   • Trục trùng pháp tuyến b (véc tơ đơn vị eb )    eb  et  e n Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học điểm - Chapter Kinematics of a Particle -15- Phương pháp tọa độ tự nhiên khảo sát chuyển động cong  eb Phương trình chuyển động s(t) s  s(t ) Tính tốn vận tốc điểm   dr ds    t, v   et  se dt dt P0 v  s P ds  det dt P  ???  en  en   dr  etds   dr / ds  et Tính tốn gia tốc điểm   de d   dv   t )  se  t  s t a   (se dt dt dt r+dr r O  et  et P‘  et ' Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học điểm - Chapter Kinematics of a Particle -16- Phương pháp tọa độ tự nhiên khảo sát chuyển động cong Tính tốn gia tốc điểm    t  s a  se  det dt     t  (s2 /  )en a  se    a  at  a n    t , at  se   an  (s2 /  )en  det dt P‘  et '     en d  det  et   et det   1d en  det d  d ds     e  e  se dt dt n ds dt n  n  at P at  s  v, an  s2 / ,  et P  ???  a  an ab  Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học điểm - Chapter Kinematics of a Particle Ví dụ  et Điểm P chuyển động cung trịn bán kính R theo luật s(t) = at2/2 Xác định vận tốc gia tốc điểm t = s v P R s(t) Lời giải -17-     t  atet , v  se   v (t  2)  2aet m/s  en P0  at    s2   (at )2   t  en  aet  a  v  se e , R R n   4a  a (t  2)  aet  e , m/s2 R n P R P0  an Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học điểm - Chapter Kinematics of a Particle -18- Ví dụ: Chuyển động theo đường đinh ốc điểm P cho tọa độ đề sau x  r cos t, y  r sin t, z  pt r , , p  const Hãy xác định: • vận tốc, gia tốc tiếp, gia tốc pháp điểm • bán kính cong quĩ đạo P Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học điểm - Chapter Kinematics of a Particle -19- Ví dụ Lời giải x  r  sin t, y  r  cos t, z  p Tính vận tốc: v  x  y  z2  r 2  p  const Tính gia tốc: x  r  cos t, y  r  sin t, z  a  x  y  z  r   const 2 2  a  at2  an2 at  v   an  a  v /  Bán kính cong quĩ đạo   v / an  r 2  p r2 Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học điểm - Chapter Kinematics of a Particle -20- Phương pháp tọa độ cực Thông số định vị r  r (t ),   (t ) M   Sử dụng véc tơ đơn vị er , e Véc tơ định vị  er  e   r  r (t )er r  x O Vận tốc   de  1der  d  d  v  r  [r (t )er ] dt dt de   r r r  re dt       r  re  vr  v , v  re   der  1de  e d O  der d  er d   e  e  dt dt  Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học điểm - Chapter Kinematics of a Particle -21- Phương pháp tọa độ cực  d   er  e  e dt d    e   e  er dt r   de  1der   der  1de  e d  er d O  v Gia tốc   d     r e ) a  v  (re dt r       r  re  r  re  re  r e  re    (r  r  )er  (r  2r )e  a  e e r M r  O x Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học điểm - Chapter Kinematics of a Particle -22- Phương pháp tọa độ cực r  const  r  0, Xét chuyển động tròn r       r  r e  r e v  re y y  er  e  rM M  aj  ar M  O y  v  x M  O O x x    a  (r  r  )er  (r   2r )e    a  (r )er  (r)e    a n  at Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học điểm - Chapter Kinematics of a Particle -23- Phương pháp tọa độ cực y Liên hệ tọa độ cực – tọa độ đề   r  r (t )er M yM x M  r cos  yM  r sin   er  e r  O xM  r cos   r  sin  yM  r sin   r  cos  xM x xM  (r  r  ) cos   (r   2r ) sin  yM  (r  r  ) sin   (r   2r ) cos  Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học điểm - Chapter Kinematics of a Particle -24- Phương pháp tọa độ trụ Thông số định vị r  r (t ), z  z (t )   (t ), Vận tốc M  ez Véc tơ định vị    r  rer  zez zM xM O   er   v  r      r  rer  ze  z  zez  re     r  r e  ze z  re r  e z r  yM   er  e ,   e  er ,  ez  Gia tốc       z a  v  (r  r  )er  (r   2r )e  ze Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học điểm - Chapter Kinematics of a Particle -25- Phương pháp tọa độ trụ Liên hệ tọa độ trụ – tọa độ đề zM x M  r cos  yM  r sin  zM  z M r  ez xM  r cos   r  sin  yM  r sin   r  cos  zM  z  e O z r   er xM yM xM  (r  r  ) cos   (r   2r ) sin  yM  (r  r  ) sin   (r   2r ) cos  zM  z Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học điểm - Chapter Kinematics of a Particle -26- Phương pháp tọa độ cầu Thông số định vị r  r (t ), z    (t ),    (t ) P  Chuyển sang tọa độ đề r x M  r sin  cos  yM  r sin  sin  z M  r cos   x y Các thành phần vận tốc xM  r sin  cos   r cos  cos   r sin  sin  yM  r sin  sin   r cos  sin   r sin  cos  zM  r cos   r sin  x   M  yM  zM   Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học điểm - Chapter Kinematics of a Particle -27- Phương pháp tọa độ cầu Thông số định vị r  r (t ),    (t ), zM    (t ) Chuyển sang tọa độ đề x M  r sin  cos  yM  r sin  sin  z M  r cos  M  O xM r  yM Các thành phần vận tốc xM  r sin  cos   r cos  cos   r sin  sin  yM  r sin  sin   r cos  sin   r sin  cos  zM  r cos   r sin  xM  x(r , ,  , r, , , r, , ) Các thành phần gia tốc yM  y(r , ,  , r, , , r, , ) z  z(r , ,  , r, , , r, , ) M Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học điểm - Chapter Kinematics of a Particle -28- Tóm tắt nội dung chương Hai đại lượng đặc trưng động học điểm • Vận tốc gia tốc điểm Phương pháp tọa độ đề-các khảo sát động học điểm • Vận tốc gia tốc điểm tọa độ đề • Khảo sát chuyển động thẳng điểm Phương pháp tọa độ tự nhiên • Một số thơng số hình học quĩ đạo (mặt phẳng mật tiếp, độ cong, bán kính cong quĩ đạo) • Hệ tọa độ tự nhiên • Vận tốc gia tốc điểm Phương pháp tọa độ cực / tọa độ trụ / tọa độ cầu Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME 10