Bài giảng cơ học kỹ thuật (phần tĩnh học) chương 5 nguyễn quang hoàng

Chương Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity Chương Cơ học kỹ thuật: TĨNH HỌC Engineering Mechanics: STATICS Trọng tâm vật rắn Nguyễn Quang Hồng Bộ mơn Cơ học ứng dụng Chương Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -2- Nội dung • Trọng tâm hệ chất điểm • Trọng tâm vật rắn     Công thức xác định Trọng tâm vật rắn đồng chất Trọng tâm vật rắn đồng chất đối xứng Trọng tâm vật ghép • Các cơng thức Pappus Guldinus • Xác định trọng tâm thực nghiệm  Phương pháp vẽ xác định trọng tâm phẳng dạng chữ L  Phương pháp treo vật - phương pháp đường dọi  Phương pháp cân Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -3- Mở đầu b c ?Qmax P A ?Wmax B a G Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -4- Trọng tâm hệ chất điểm z Từ điều kiện tương đương mô men trục, ta nhận công thức W  Wn n W G k k 1  my (W )   m (W )  x W   x W   mx (W )   m (W )  y W n y k 1 n n k G  x k 1 k k k 1 O k n   ykWk G k 1 Quay hệ với hệ trục tọa độ 90o quanh trục x y  mx (W )   n G n k 1 k G k 1 y W1  m (W )  z W  W z x y xG yG x W1 zG W2 k k Cơng thức xác định vị trí trọng tâm G  x kWk  ykWk  z kWk , yG  , zG  xG  Wk Wk Wk W2 Wn O z zG xG x Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -5- Trọng tâm vật rắn: công thức xác định Trọng lượng vật z W   dW  mg dV Vị trí trọng tâm vật    my (W )  xGW   my (dW )   xdW xG  z x y xG yG x yG  zG O 1  xdW , W  W y     xdW  xG  W G=C dW  ydW , W  zG   zdW W  Khi gia tốc trọng trường g = const, trọng tâm G khối tâm C vật trùng Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -6- Trọng tâm vật rắn đồng chất Đối với vật thể đồng chất dạng khối dW  g  dm  g    dV , g  const,  [kg/ m ] g [m/ s2 ], z   const V G z O Trọng tâm vật thể đồng chất dạng khối (3D) x xG  V  V  , xdV yG  V  V  , ydV zG  dV x y V  V y  zdV Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -7- Trọng tâm vật rắn đồng chất Đối với vật thể đồng chất dạng vỏ dW  g  dm  g    dA, g [m/ s2 ], z A dA  [kg/ m2 ] z Đối với vật thể dạng (vỏ) bề dày không đổi (phẳng, cong) xG  x y x 1  , yG   ydA  , zG   zdA  xdA A A A A A A z L dL Đối với vật thể dạng (dây) diện tích mặt cắt khơng đổi (phẳng, cong) xG  y z 1  , yG   ydL  , zG   zdL  xdL L L L L L L y x y x Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -8- Trọng tâm vật rắn đồng chất y Đối với phẳng (2D) xC   , xdA A A  ydA A A yC  yC y O dA C xC x x Đối với vật thể dạng (dây) diện tích mặt cắt khơng đổi (phẳng) xC   , xds L L yC   yds L L Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -9- Trọng tâm vật rắn đồng chất đối xứng Nếu vật rắn có mặt phẳng (trục điểm) đối xứng, trọng tâm vật nằm mặt phẳng (trục điểm) đối xứng Nếu vật có số mặt phẳng (trục) đối xứng, trọng tâm vật rắn nằm giao mặt phẳng (trục) đối xứng y O x Nguyễn Quang Hồng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -10- Xác định trọng tâm công thức tích phân Ví dụ Xác định trọng tâm dây cung trịn bán kính R, góc mở 2α y L Lời giải Dựng hệ Oxy, x trục đối xứng  yC = Chọn phân tố chiều dài dL (xác định , d) dL = Rd j, L= ò a -a ò a O a C Rd j = 2aR A y  = xdL L x R x = R cos j xC = L B B dL sin a ò-a R cos jRdj = R a a O dj j x x R Trường hợp nửa đường tròn α = π/2 A xC = 2R / p < R Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -11- Xác định trọng tâm cơng thức tích phân Ví dụ Xác định trọng tâm hình quạt bán kính R, góc mở 2α Lời giải Dựng hệ Oxy, x trục đối xứng  yC = Chọn phân tố diện tích dA dạng tam giác, (xác định , d) dA = 21 RRd j = 21 R 2d j, A= ò dA = ò a -a x = 23 R cos j R ⋅ Rd j = aR y A  O  x R y A dA O 1 a  = ò 23 R cos j 21 RRd j xdA Aò A -a sin a = 23 R a dj j a x xC = x R xC = 4R / 3p Trh nửa đĩa trịn, α = π/2 Nguyễn Quang Hồng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -12- Xác định trọng tâm công thức tích phân Trọng tâm phẳng xác định hai hàm y1(x) y2(x) y y2 = f2(x) Xác định miền giới hạn y1(x) = y2(x)  x1 & x2 d A y Chọn phân tố diện tích dạng hình chữ nhật vị trí x có bề rộng dx y1 = f1(x) dx O x1 x2 x x dA = [f2 (x ) - f1(x )]dx , x = x , y = 21 [f2 (x ) + f1(x )] Tính tích phân  = ị xdA ị x2  = ò ydA ò x2 x1 x1 A = ò dA = ò x2 x1 [f2 (x ) - f1 (x )]dx x [f2 (x ) - f1 (x )]dx [f2 (x ) + f1 (x )][f2 (x ) - f1 (x )]dx  xC = A-1 ò xdA  yC = A-1 ị ydA Nguyễn Quang Hồng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -13- Xác định trọng tâm cơng thức tích phân y Ví dụ: Xác định diện tích trọng tâm phẳng cho hình bên y = 9– x2 HD 9m f2 (x ) = - x , f1(x ) = dA = (9 - x )dx , O x = x , y = 21 y = 21 (9 - x ) y A = ò dA = ò   xdA A   yC   ydA A xC  y = 9– x2 (9 - x )dx = 18 m2 9m y x (9  x )dx  1,125 m A 0 31 (9  x )(9  x )dx  5, m O A 0 x 3m C dA dx x x Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -14- Xác định trọng tâm cơng thức tích phân Ví dụ Xác định vị trí trọng tâm phẳng rộng 2a cao h, đường bao parabol HD Dựng hệ Oxy, với trục y trục đối xứng: xC = Chọn phân tố diện tích dA song song trục x, dA = 2x dy Khoảng cách từ phân tố đến trục x xác định từ phương trình parabol Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -15- Xác định trọng tâm cơng thức tích phân yC = Cần tính yC theo cơng thức A= ị dA =  = 2ò ò ydA h ò 2xdy = ò h ò ydA ò dA a 2y a 2y dy = ⋅ h h a 2y a 2y y dy = ⋅ h h h = ah h = ah Thay vào cơng thức tính yC cho ta kết qủa yC =  ò ydA = h ò dA Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -16- Trọng tâm vật ghép – composite bodies Nếu vật rắn ghép từ nhiều phần, trọng tâm xác định theo xG   x kWk  ykWk , yG  Wk Wk , zG  z G1  z kWk G3 G2 Wk O y Wk , x k , yk , z k trọng lượng tọa độ trọng tâm phần ghép thứ k x Lưu ý: Wk  Vk , Ak , Lk Đối với vật rắn đồng chất: Phần khuyết nằm vật coi có trọng lượng âm Nếu Gk nằm đường (mặt) G nằm đường (mặt) Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -17- Trọng tâm vật ghép – composite bodies Vật ghép đồng chất dạng khối 3D Wk  kVk Wk  Vk xG  yG  zG  Vật ghép đồng chất dạng 2D  x kVk Vk  ykVk Vk  z kVk , xG  , yG  zG  Vk  kVk  yk kVk  kVk  z k kVk Wk  k Ak Wk  Ak  x k kVk , xG  , yG   kVk zG  Vật ghép đồng chất dạng dây (thanh)  x k Ak  Ak  yk Ak  Ak  z k Ak  Ak , xG  , yG  zG  Gi  k Ak  yk k Ak  k Ak  z k k Ak Wk  k Lk Wk  Lk  x k k Ak , ,  k Ak xG  yG  zG   x k Lk  Lk  yk Lk  Lk  z k Lk , xG  , yG   Lk  x k k Lk  k Lk  yk k Lk  k Lk  z k k Lk zG  , ,  k Lk G1 G2 Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -18- Trọng tâm vật ghép – composite bodies y Vi dụ Phần Tam giác b + a/2 r - Phần Đĩa tròn (trọng lượng âm) a/2 a/2 k Area [m2] xk [m] a/2 Phần Vuông x yk [m] xkAk [m3] ykAk [m3] ? ? a /3 a b /3 ?  12  r a /2 a /2 ? a2 a/2 a/2 Ak ab ? xkAk Trọng tâm xC  ? ykAk yC   x k Ak  ?,  Ak  yk Ak  Ak ? Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -19- Trọng tâm vật ghép – composite bodies Ví dụ Một lập phương nhỏ cạnh 2a cắt bỏ từ lập phương lớn cạnh 4a (Hình a) a) Xác định trọng tâm phần cịn lại b) Xác định trọng tâm lập phương lớn, bù chỗ khuyết lập phương nhỏ làm vật liệu khác có khối lượng riêng 2 = 21 (Hình b) Nguyễn Quang Hồng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -20- Trọng tâm vật ghép – composite bodies Trong hai trường hợp ta coi vật thể ghép từ nhiều vật dạng hôp chữ nhật a) PA1 Coi vật thể đồng chất ghép từ vật thể dạng hộp chữ nhật (cùng khối lượng riêng 1) Lập bảng, tính nhận kết Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -21- Trọng tâm vật ghép – composite bodies a) PA2 Coi vật thể đồng chất ghép từ lập phương cạnh 4a cạnh 2a, phần cạnh 2a coi có trọng lượng âm Lập bảng, tính nhận kết Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -22- Trọng tâm vật ghép – composite bodies b) Vật thể ghép từ phần (phần biết từ câu a, khối lượng riêng 1 ) phần lập phương cạnh 2a, khối lượng riêng 2 = 21 : Lập bảng, tính nhận kết quả, Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -23- Các công thức Pappus Guldinus Định lý Diện tích mặt trịn xoay sinh đường cong phẳng L quay quanh trục  đồng phẳng khơng cắt tích chiều dài đường cong với chiều dài đường tròn tạo trọng tâm đường cong quay quanh trục  A  2 yC L  2 yL y C yC dL y x  L dA  2 r  dL  2 y  dL A   dA   2 y  dL  2 yC L Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -24- Các cơng thức Pappus Guldinus Định lý Thể tích khối trịn xoay sinh hình phẳng quay quanh trục đồng phẳng  khơng cắt tích diện tích hình phẳng chiều dài đường trịn tạo trọng tâm hình phẳng quay quanh trục V  2 yC A  2 yA dA C y y yC x  dV  2 r  dA  2 y  dA V   dV   2 y  dA  2 yC A  2 rC A Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -25- Các công thức Pappus Guldinus y Ví dụ Tính diện tích tang trống L  2 R, O d  xC  R 1 sin  A  2 dL  2 R y B O a xC a L sin  L x x R A 2 R  4 R sin      /  A  4 R z a a r Ví dụ Tính thể tích hình xuyến rC = r, A = a  V = 2prC A = 2pra Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -26- Xác định trọng tâm thực nghiệm Phương pháp vẽ xác định trọng tâm phẳng dạng chữ L B A B C E E A D D Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -27- Xác định trọng tâm thực nghiệm Phương pháp đường dọi xác định trọng tâm phẳng B A A B n C A B a) b) n c) m Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -28- Xác định trọng tâm thực nghiệm Phương pháp cân đo l l cân x N2 x N P P cân Sử dụng cân (hai lần cân) Cân lần (cả vật) xác định P Cân lần (một đầu), xác định N N1 cân Sử dụng hai cân (cân lần) Cân hai đầu xác định N1 N2, P = N1 + N2 Đo L x  lN / P Đo L x  lN / P  lN / (N  N ) Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -29- Tóm tắt nội dung • Trọng tâm hệ chất điểm • Trọng tâm vật rắn  Cơng thức xác định  Trọng tâm vật rắn đồng chất/đối xứng  Trọng tâm vật ghép • Các cơng thức Pappus Guldinus  Tính diện tích mặt trịn xoay, tính thể tích hình xuyến • Xác định trọng tâm thực nghiệm  Phương pháp vẽ xác định trọng tâm phẳng dạng chữ L  Phương pháp treo vật - phương pháp đường dọi  Phương pháp cân Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME 10