Luận án Tiến sĩ Dáng điệu nghiệm của một số mô hình ngẫu nhiên trong cơ học chất lỏng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRẦN QUỐC TUẤN DÁNG ĐIỆU NGHIỆM CỦA MỘT SỐ α-MƠ HÌNH NGẪU NHIÊN TRONG CƠ HỌC CHẤT LỎNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2023 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRẦN QUỐC TUẤN DÁNG ĐIỆU NGHIỆM CỦA MỘT SỐ α-MƠ HÌNH NGẪU NHIÊN TRONG CƠ HỌC CHẤT LỎNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã số: 46 01 03 Người hướng dẫn khoa học GS TS Cung Thế Anh Hà Nội, 2023 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan kết nghiên cứu chủ trì GS.TS Cung Thế Anh Các kết cơng trình hồn tồn chưa cơng bố cơng trình khác Nghiên cứu sinh Trần Quốc Tuấn LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tác giả trân trọng hướng dẫn giúp đỡ thầy GS TS Cung Thế Anh Thầy hướng dẫn làm quen với nghiên cứu khoa học từ lúc ban đầu với nhiều bỡ ngỡ tới lúc hoàn thiện luận án Tác giả xin gửi lời cảm tạ tới Seminar Bộ mơn Giải tích, Khoa Tốn-Tin, Trường ĐHSP Hà Nội mang lại cho môi trường học thuật tràn đầy lượng, khơng khí khoa học thân thiện Tơi xin biết ơn Ban Giám hiệu Trường THPT Chuyên Biên Hòa (Hà Nam) đồng nghiệp tạo điều kiện cho thời gian nghiên cứu Tác giả xin cảm tạ người thân bạn bè ln động viên, hỗ trợ để tác giả hồn thành luận án Mục lục LỜI CAM ĐOAN LỜI CẢM ƠN MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN MỞ ĐẦU Tổng quan vấn đề nghiên cứu Mục đích nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Kết luận án Cấu trúc luận án Chương KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Các không gian hàm 1.1.1 Khơng gian hàm tốn tử với miền mở 1.1.2 Khơng gian hàm tốn tử với điều kiện biên tuần hoàn 10 1.2 Các kết Giải tích ngẫu nhiên 11 1.2.1 Một số khái niệm 11 1.2.2 Không gian hàm trình ngẫu nhiên 13 1.2.3 Tích phân ngẫu nhiên khơng gian Hilbert 13 1.2.4 Công thức Itô 16 1.3 Các bổ đề thường dùng 16 Chương DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA HỆ LERAY-α BA CHIỀU NGẪU NHIÊN 18 2.1 Đặt toán 18 2.2 Sự tồn tính ổn định nghiệm dừng hệ Leray-α 3D tất định 20 2.3 Tính ổn định bình phương trung bình theo tốc độ mũ 21 2.4 Tính ổn định hầu chắn theo tốc độ mũ 23 2.5 Ổn định hóa nghiệm dừng 25 2.5.1 Ổn định hóa nhiễu nhân tính Itơ 25 2.5.2 Ổn định hóa điều khiển phản hồi 27 Chương DÁNG ĐIỆU NGHIỆM CỦA HỆ N-S-V BA CHIỀU NGẪU NHIÊN CÓ TRỄ VÔ HẠN 32 3.1 Đặt toán 32 3.2 Tính ổn định bình phương trung bình địa phương 36 3.3 Tính ổn định mũ nghiệm dừng trường hợp trễ phân phối 40 3.3.1 Tính ổn định bình phương trung bình theo tốc độ mũ 40 3.3.2 Tính ổn định hầu chắn theo tốc độ mũ 44 3.4 Tính ổn định đa thức nghiệm dừng trường hợp trễ tỉ lệ 47 3.4.1 Tính ổn định bình phương trung bình theo tốc độ đa thức 47 3.4.2 Tính ổn định hầu chắn theo tốc độ đa thức 50 Chương BÀI TỐN ĐỒNG HĨA DỮ LIỆU LIÊN TỤC CHO HỆ LERAY-α BA CHIỀU VỚI DỮ LIỆU CÓ NHIỄU NGẪU NHIÊN 4.1 Đặt toán 53 53 4.2 Hệ Leray-α ba chiều tất định 55 4.3 Số hạng chứa nhiễu 56 4.4 Thuật tốn đồng hóa liệu liên tục 58 4.4.1 Tính đặt toán 58 4.4.2 Định lí hội tụ 63 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 71 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ 73 MỞ ĐẦU Tổng quan vấn đề nghiên cứu Nhiều trình thực tế mơ tả phương trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên (SPDEs) Vì giá trị khoa học thực tế nó, nên nhà nghiên cứu theo đuổi nhiều hướng nghiên cứu sau • Nghiên cứu tính đặt đúng; • Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm; • Nghiên cứu tốc độ hội tụ nghiệm; • Nghiên cứu vấn đề giải số nghiệm: đề xuất thuật toán chứng minh hội tụ, đánh giá sai số Các vấn đề hướng nghiên cứu thời lí thuyết SPDEs Hệ Navier-Stokes có vai trò đặc biệt quan trọng Mặc dù nghiên cứu nhiều, có nhiều nỗ lực nhiều nhà toán học lớn kết đạt khiêm tốn, đặc biệt trường hợp 3D (trường hợp có ý nghĩa thực tiễn nhất) Nói riêng, tính đặt tồn cục vấn đề mở lớn trường hợp 3D Ngoài ra, hệ số nhớt nhỏ việc tính tốn số trực tiếp nghiệm hệ Navier-Stokes 3D vấn đề khơng khả thi với thuật tốn máy tính tốt Chính ngun nhân trên, nhà tốn học chỉnh hóa hệ Navier-Stokes để phục vụ cho mục đích tính tốn số để thu tính đặt tồn cục Các hệ chỉnh hóa quan trọng sử dụng thường xun α-mơ hình chúng bao gồm: hệ Navier-Stokes-α [38], hệ Leray-α [23], hệ Leray-α cải biên [42] hệ Bardina đơn giản hóa [41], hệ Navier-Stokes-Voigt (N-S-V), hệ chất lưu loại hai [59], Xem thêm [41] số kết tiêu biểu lớp mơ hình trường hợp tất định Sau ta tập trung giới thiệu hệ Leray-α ngẫu nhiên hệ N-S-V ngẫu nhiên • Hệ phương trình Leray-α tất định đưa [23] Một số vấn đề khác liên quan đến hệ Leray-α tính quy, xấp xỉ số, tốc độ hội tụ dáng điệu tiệm cận nghiệm nghiên cứu [30, 36, 37] Độ lệch lớn, tồn hội tụ nghiệm hệ Leray-α ngẫu nhiên khảo sát rộng rãi [24, 39, 48, 49] Trong báo [11, 12, 22] việc ổn định nghiệm PDEs nhiễu ngẫu nhiên điều khiển phản hồi Tuy nhiên, kết dáng điệu nghiệm hệ Leray-α 3D ngẫu nhiên, coi nghiệm dừng nghiệm hệ ngẫu nhiên khảo sát hội tụ nghiệm ngẫu nhiên tới nghiệm dừng thời gian đủ lớn, nghiệm dừng khơng ổn định ổn định hóa chưa nghiên cứu đầy đủ • Đồng hóa liệu phương pháp luận để nghiên cứu dự báo xu hướng q trình, chẳng hạn thời tiết, mơ hình đại dương khoa học môi trường Ý tưởng đồng hóa liệu kết hợp liệu quan sát với nguyên tắc động liên quan đến mô hình tốn học Phương pháp đồng hóa liệu cổ điển chèn liệu quan sát trực tiếp vào mơ hình mơ hình tích hợp kịp thời, xem [33, 47] tham chiếu Tuy nhiên, thuật tốn bộc lộ số khó khăn phép đo thu thập từ tập hợp điểm nút rời rạc, khơng thể tính tốn xác giá trị đạo hàm khơng gian có mơ hình Trong cơng trình tiên phong [9], tác giả giới thiệu phương pháp cho vấn đề đồng hóa liệu, thuật tốn điều khiển phản hồi [10], phương pháp giải hạn chế phương pháp cổ điển Trong thuật toán này, thay chèn trực tiếp phép đo vào mơ hình, tham số di chuyển phép đo quan sát sử dụng để thiết lập mơ hình mà nghiệm gần hội tụ tới nghiệm chưa biết mơ hình ban đầu Cách tiếp cận phát triển sau để đồng hóa liệu cho nhiều phương trình quan trọng, xem [4, 7, 8, 37, 43] Một thuật tốn đồng hóa liệu tương tự cho liệu có nhiễu ngẫu nhiên giới thiệu [13], xét tốn hệ Navier-Stokes hai chiều Gần đây, đồng hóa liệu cho hệ Leray-α 3D nghiên cứu [1, 37], hai trường hợp liệu rời rạc liệu liên tục Có thể nhận thấy hai cơng trình này, liệu quan sát khơng có sai số đo lường Tuy nhiên, chưa có kết luận cho tốn đồng hóa liệu liên tục hệ Leray-α 3D có nhiễu ngẫu nhiên • Oskolkov đưa hệ phương trình N-S-V [57] mơ hình chuyển động số chất lỏng nhớt đàn hồi tuyến tính Hệ phương trình đề xuất Cao, Lunasin Titi (trong [26]) hệ chỉnh hóa phương trình Navier-Stokes 3D với giá trị nhỏ α, để phục vụ cho việc mô số trực tiếp Trong năm qua, tồn dáng điệu nghiệm, tồn tập hút phương trình N-S-V 3D nghiên cứu (xem [4, 21, 44]) Hệ phương trình N-S-V với trễ hữu hạn, vơ hạn có nhớ nghiên cứu gần [2, 17, 40, 54, 61] Trong [3], tác giả C.T Anh cộng sự tồn ổn định nghiệm dừng trường hợp ngẫu nhiên khơng có trễ Tuy nhiên, theo chúng tơi biết, trường hợp trễ vơ hạn chưa nghiên cứu hệ N-S-V 3D ngẫu nhiên Căn phân tích trên, chúng tơi chọn vấn đề "Dáng điệu nghiệm số α-mơ hình ngẫu nhiên học chất lỏng" làm đề tài luận án Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu dáng điệu nghiệm tốn đồng hóa liệu số α-mơ hình ngẫu nhiên học chất lỏng với Y (0) > D+ Y kí hiệu đạo hàm Dini Y t theo nghĩa sau D+ Y = lim sup Y (t + δ) − Y (t) δ δ↓0 Khi tồn số thực C = C(a, b, q) > : Y (t) ≤ C Y (0)(1 + t)µ , ∀t ≥ 0, số µ thỏa mãn a + bqµ = Ta khơng khẳng định ổn định u∞ mà chứng minh ổn định bình phương trung bình theo tốc độ đa thức Định lí 3.5 Giả định giả thiết Định lí 3.1 Định lí 3.2 thỏa mãn Xét số hạng chứa trễ g i (t, u t ) = Gi (u(qt)), < q < 1, i = 1, 2, Gi thỏa mãn (3.6)-(3.7) Giả sử 2ν > L G1 + − 14 2c0 λ1 k f ν − L g1 k∗   + d0 L G1 + L G2 (3.43) Khi với nghiệm u(t) (3.11) u∞ (3.12), đặt m(t) = u(t) − u∞ , ta có € Š € Š E |m(t)|2 + α2 km(t)k2 ≤ CE |m(0)|2 + α2 km(0)k2 (1 + t)µ , (3.44) µ cho sau   d0−1 − −1 2c0 λ1 k f ν − L g1 µ = logq  k∗  − L G1 + 2ν  L G1 + L G2 < Chứng minh Với số δ > 0, áp dụng cơng thức tích phân Itơ cho hàm |m(t)|2 + α2 km(t)k2 lấy kì vọng, m(t) thỏa mãn (3.20) ta thu € Š € Š E |m(t + δ)|2 + α2 km(t + δ)k2 − E |m(t)|2 + α2 km(t)k2 Z t+δ Z t+δ = − 2ν Ekm(s)k ds − E B(u(s), u(s)) − B(u∞ , u∞ ), m(s) ds t t 48 Z t+δ +2 t t+δ Z + t E G1 (u(qs)) − G1 (u∞ ), m(s) ds Ek(G2 (u(qs)) − G2 (u∞ )k2L (K ,H) (3.45) ds Do (1.2) (3.14) ta suy Z t+δ E B(u(s), u(s)) − B(u∞ , u∞ ), m(s) ds −2 ≤ t − 14 2c0 λ1 k f ν − L g1 k∗ t+δ Z (3.46) Ekm(s)k2 ds t Ta đánh giá hai số hạng cuối (3.45) Từ điều kiện (3.16), ta có Z t+δ 2E G1 (u(qs)) − G1 (u∞ ), m(s) ds t t+δ Z ≤ 2E kG1 (u(qs)) − G1 (u∞ )kV ′ km(s)kds t t+δ Z ≤ 2L G1 E Z ≤ L G1 km(qs)kkm(s)kds t t+δ t+δ Z Ekm(qs)k2 ds Ekm(s)k ds + L G1 Mặt khác, (3.7) nên Z t+δ t Ek(G2 (u(qs)) − (3.47) t t t+δ Z G2 (u∞ )k2L (K ,H) ds ≤ L G2 Ekm(qs)k2 ds (3.48) t Thế (3.46), (3.47) (3.48) vào (3.45), ta thu € Š € Š E |m(t + δ)|2 + α2 km(t + δ)k2 − E |m(t)|2 + α2 km(t)k2   Z t+δ − 41   2c0 λ1 k f k∗ Ekm(s)k2 ds + L G1 − 2ν  ≤ ν − L g1 t  + L G1 + L G2 t+δ Z Ekm(qs)k2 ds t Áp dụng (3.3) điều kiện (3.43) vào (3.49), ta có Š Š € € E |m(t + δ)|2 + α2 km(t + δ)k2 − E |m(t)|2 + α2 km(t)k2 49 (3.49)  ≤ − 41  2c0 λ1 k f k∗ d0−1  ν − L g1  + L G1 + L G2  t+δ Z  + L G1 − 2ν  € t Š |m(s)|2 + α2 km(s)k2 ds t+δ Z (3.50) Š € E |m(qs)|2 + α2 km(qt)k2 ds t € Š Đặt Y (t) = E |mt)|2 + α2 km(t)k2 , từ (3.50) ta có  D+ Y (t) ≤ − 41 2c λ  k f k∗ d0−1  ν − L g1     + L G1 − 2ν  Y (t) + L G1 + L G2 Y (qt) (3.51) ‚ Khi đó, sử dụng Bổ đề 3.1 vào (3.51) với a = d0−1 Œ −1 2c0 λ1 k f k∗ ν−L g1 + L G1 − 2ν b = L G1 + L G2 ta có (3.44) 3.4.2 Tính ổn định hầu chắn theo tốc độ đa thức Định lí 3.6 Nếu giả thiết Định lí 3.1, Định lí 3.5 thỏa mãn −1 2ν > L G1 + 2c0 λ1 k f k∗ ν − L g1 + d0  q  L G1 + L G2 , (3.52) nghiệm u(t) (3.11) hội tụ tới u∞ V hầu chắn theo tốc độ đa thức Chứng minh Cho N ∈ Z+ với t ≥ N Sử dụng cơng thức Itơ cho hàm số |m(t)|2 + α2 km(t)k2 , m(t) = u(t) − u∞ thỏa mãn (3.20), ta có |m(t)|2 + α2 km(t)k2 = |m(N )|2 + α2 km(N )k2 Z t +2 −νAm(s) − B(u(s), u(s)) + B(u∞ , u∞ ), m(s) ds Z N t +2 Z N t +2 N Z G1 (u(qs)) − G1 (u∞ ), m(s) ds
G2 (u(qs)) − G2 (u∞ ), m(s) dW (s) t + N G (u(qs)) − G (u )) 2 2 ∞ L (K 50 ,H) ds Theo Bổ đề 1.4 (3.3) ta có – Z t 2E ™
G2 (u(qs)) − G2 (u∞ ), m(s) dW (s) sup N ≤t≤N +1 Z ≤ 8E  1 N +1 2 km(s)k2 G2 (u(qs)) − G2 (u∞ ) L (K N ≤ 8d0 E € sup N ≤t≤N +1 N +1 Z ,H) ds  × N Š |m(t)|2 + α2 km(t)k2 × G (u(qs)) − G (u ) 2 2 ∞ L (K N ds ,H) N +1 Z ≤ 32d0 E 1 G (u(qs)) − G (u ) 2 2 ∞ L (K N ,H) ds € Š |m(t)|2 + α2 km(t)k2 + E sup N ≤t≤N +1 Áp dụng (3.7) vào đánh giá trên, ta có Z N +1 G (u(qs)) − G (u ) 2 E ∞ N L (K0 ,H) Z ds ≤ L G2 E N +1 N km(qs)k2 ds Theo (3.6), ta có t Z 2E sup N ≤t≤N +1 N +1 Z ≤ 2E Z ≤ 2E N N +1 ≤ L G1 E G (u(qs)) − G (u ), m(s) ds 1 ∞ L G1 km(qs)kkm(s)kds N Z N +1 sup ≤ −1 2c0 λ1 k f km(qs)k ds + L G1 E N ν − L g1 −2 k∗ Z N +1 Tương tự (3.23), ta có ‚ Z N ≤t≤N +1 N G1 (u(qs)) − G1 (u∞ ), m(s) ds Z N km(s)k2 ds t Œ E N B(u(s), u(s)) − B(u∞ , u∞ ), m(s) N +1 Ekm(s)k2 ds N Từ đánh giá (3.44), ta có Š € E sup |m(t)|2 + α2 km(t)k2 N ≤t≤N +1 51
ds  € 2 ≤ E |m(N )| + α km(N )k  + L G1 + 32d0 L G2  Z E Š − 14  2c0 λ1 k f + ν − L g1  k∗ Z N +1  + L G1  E N km(s)k2 ds N +1 N km(qs)k2 ds µ ≤ M (qN + 1) ,   M = CE(|φ − u∞ |2 + α2 kφ − u∞ k2 ) 1 + −1 2c0 λ1 k f ν − L g1  k∗  + 2L G1 + 32d0 L G2  Theo Bổ đề 1.3, ta suy   Š € ǫ 2 P ω : sup |m(t)| + α km(t)k > (1 + qN ) ≤ 2M (1 + qN )µ−ǫ , N ≤t≤N +1 ǫ < cho µ − ǫ < −1 Do điều kiện (3.44) nên µ < −1 Áp dụng Bổ đề 1.5 suy ∃N0 = N (ω) ∈ Z+ : sup N ≤t≤N +1 € Š |m(t)|2 + α2 km(t)k2 < (1 + qN )ǫ , ∀N ≥ N0 , hầu chắn Kết luận Chương Trong chương này, ta thu kết hệ N-S-V 3D ngẫu nhiên có trễ vơ hạn sau • Tính ổn định bình phương trung bình địa phương với trễ tổng qt (Xem Định lí 3.2) • Trong trường hợp số hạng có trễ phân phối: chứng minh tính ổn định bình phương trung bình theo tốc độ mũ (Xem Định lí 3.3) hội tụ hầu chắn theo tốc độ mũ (Xem Định lí 3.4) • Trong trường hợp số hạng có trễ tỉ lệ: chứng minh tính ổn định bình phương trung bình theo tốc độ đa thức (Xem Định lí 3.5) tính ổn định hầu chắn theo tốc độ đa thức (Xem Định lí 3.6) 52 Chương BÀI TỐN ĐỒNG HÓA DỮ LIỆU LIÊN TỤC CHO HỆ LERAY-α BA CHIỀU VỚI DỮ LIỆU CÓ NHIỄU NGẪU NHIÊN Trong chương này, tìm hiểu tốn đồng hóa liệu liên tục cho hệ Leray-α 3D với liệu có nhiễu ngẫu nhiên Trước hết xây dựng mơ hình đồng hóa liệu từ liệu quan sát Từ đó, tính đặt tốn Cuối cùng, đánh giá sai số tiệm cận hiệu nghiệm hệ đồng hóa nghiệm hệ gốc ban đầu Chương viết dựa cơng trình [CT3] 4.1 Đặt tốn Trong mục này, ta tìm hiểu thuật tốn đồng hóa liệu liên tục cho hệ Leray-α 3D miền O = [0, L]3 với liệu có nhiễu ngẫu nhiên  ∂v  − ν∆v + (u · ∇)v + ∇p = f, ∂t  ∇ · u = ∇ · v = 0, (4.1) u − α2 ∆u = v,vectơ vận tốc u = (u1 , u2 , u3 ) p = p(x, t) hàm áp suất cần tìm, ν > hệ số nhớt, α > f (x) ngoại lực Giả sử giá trị ban đầu v(x, 0) = v0 (x), u(x + L bi , t) = u(x, t) ∂ O × [0, T ] hàm ngoại lực f = f (x) hàm tuần hoàn với chu kỳ L với trung bình tích phân khơng Ta mơ tả vấn đề đồng hóa liệu nghiên cứu mục Gọi v(t) nghiệm nằm tập hút tồn cục (4.1) Kí hiệu Ih(v(t)), với t ≥ 0, phép đo quan sát xác mà khơng có sai số nghiệm xác v thời điểm t Ta giả sử Ih : V → R D tốn tử tuyến tính, D 53 cấp (L/h)3 , L độ dài cạnh hình hộp miền quan tâm, h độ phân giải kí hiệu Rh(v(t)) nội suy liệu quan sát, tức Rh(v(t)) = Lh ◦ Ih(v(t)), Lh ∈ L(R D , V ) bị chặn Xét toán tử nội suy Rh thỏa mãn kw − Rh(w)k2L ≤ c1 h2 k∇wk2L , với w ∈ V (4.2) Phép chiếu trực giao Fourier phần tử thể tích hữu hạn ví dụ tốn tử nội suy Rh (xem thêm [7, 9]) Trong trường hợp đo lường khơng có sai số, năm 2014, Titi (xem [9]) đưa thuật toán đồng hóa liệu sau: xây dựng nghiệm gần z từ nội suy liệu quan sát Rh(v(t)) z nghiệm hệ phương trình sau  ∂z  − ν∆z + (w · ∇)z +∇p = f − µ(Rh(z) − Rh(v)), ∂t (4.3)  ∇ · z = 0, với z = w − α2 ∆w điều kiện ban đầu tùy ý w(0) = w0 Ở µ > tham số giãn chọn sau Với f ngoại lực, Rh(z) Rh(v) nội suy liệu quan sát tương ứng với z, v Trong thực tế phép đo quan sát xác Ih(v(t)) ln có vài nhiễu ngẫu nhiên Do đó, phép đo quan sát dùng cho tốn đồng hóa phép đo quan sát có nhiễu I˜h(v(t)) sau I˜h(v(t)) = Ih(v(t)) + E (t), (4.4) E : [0, +∞) → R D đại diện cho lỗi đo lường, chẳng hạn lỗi thiết bị Điều nói nội suy liệu quan sát v(t) chứa lỗi ngẫu nhiên cho ˜ h(v(t)) = Lh(I˜(v(t))) = Lh(Ih(v(t))) + Lh(E (t)) = Rh(v(t)) + ξ(t), (4.5) R vectơ ngẫu nhiêu ξ(t) thuộc miền giá trị Rh Khi đó, ta áp dụng lược đồ đồng hóa liệu cho hệ (4.3) nội suy liệu quan sát không ˜ h(v(t)) Trong trường hợp này, theo có nhiễu Rh(v(t)) thay R 54 kết tổng quát [13], thuật toán xây dựng z(t) từ phép đo quan sát I˜h(v(t)) đưa hệ phương trình tiến hóa ngẫu nhiên sau  dz + [−ν∆z + (w · ∇)z + ∇p]d t = f d t − µ[Rh(z) − Rh(v)]d t + µξd t,  ∇ · z = 0, (4.6) z = w − α2 ∆w giá trị ban đầu z(0) = z0 Mục đích ta tìm điều kiện rõ ràng tham số giãn µ độ phân giải h đảm bảo dáng điệu tiệm cận rõ ràng, thời gian đến vô cùng, sai số nghiệm xấp xỉ z nghiệm xác v tương ứng với phép đo này, phương sai nhiễu phép đo Áp dụng phép chiếu trực giao Leray vào hệ Leray-α (4.1) thu hệ phương trình tiến hóa sau  dv + νAv + B(u, v) = f , dt  v(0) = v0 ,  (4.7) v = u + α2 Au, f ∈ H v0 ∈ H Tương tự, phương trình đồng hóa chứa nhiễu ngẫu nhiên (4.6) trở thành dz + [νAz + B(w, z)]d t = [ f − µPRh(z − v)]d t + µdW, (4.8) z = w + α2 Aw dW (t) = Pξ(t)d t số hạng chứa nhiễu Ta nhắc lại kết cho hệ Leray-α 3D tất định 4.2 Hệ Leray-α ba chiều tất định Cho f ∈ H, gọi Gr = |f | 3/4 ν λ1 số Grashof cho không gian 3D Ta nhắc lại kết [23] Định lí 4.1 [23] Nếu f ∈ H v0 ∈ H với T > 0, hệ (4.7) có nghiệm yếu v thỏa mãn v ∈ C([0, T ]; H) ∩ L (0, T ; V ) 55 dv dt ∈ L (0, T ; V ′ ) Ngồi ra, nửa nhóm liên kết S(t) : H → H có tập hút tồn cục A H Khi |v| ≤ M02 := 2ν Gr 1/2 λ1 , ∀v ∈ A (4.9) 4.3 Số hạng chứa nhiễu Bây giờ, ta mô tả số hạng chứa nhiễu E : [0, +∞) → R D cho quan sát có nhiễu I˜h (4.4) theo chuyển động Brown cách sử dụng ˜ h = Lh ◦ I˜ có số hạng chứa nhiễu dW (4.8) R Cho (Ω, F , P) khơng gian xác suất, xác định dãy chuyển động Brown chiều độc lập βd (t), d = 1, 2, , D, tương thích với lọc (F t ) : E(βd (t)) = E(βd2 (t)) = tσ2 cho t ≥ Phép đo sai số cho E (t)d t = (dβ1 (t), dβ2 (t), , dβ D (t)) (4.10) Chú ý σ số thực chọn cho đơn vị phép đo Ih(v(t)) giống đơn vị đo E ˙ (O )]3 sau Biểu diễn toán tử tuyến tính Lh : R D → [H Lh(ζ)(·) = D X ζd ℓd (·), d=1 ˙ (O )]3 ζ ∈ R D ℓd ∈ [H (4.11) Số hạng chứa chứa nhiễu (4.8) trình Wiener có dạng W (t) = D X βd (t)γd , γd = Pℓd (4.12) d=1 Ta không giả sử γd sở trực giao sở độc lập tuyến tính Ta nhận thấy W chuyển động Q-Brown nhận giá trị [ ˙L (O )]3 với E(W (t)) = Theo [32] (tham khảo thêm [31]), ta có   D X tQ = Cov(W (t)) = E  βd (t)γd ⊗ β p (t)γ p  d,p=1 56 Chú ý Q tốn tử với vết hữu hạn, khơng âm, đối xứng Tham khảo [13], ta tính Tr(Q) = D σ2 X d=1 |γd |2 < ∞ Tiếp sau đây, ta trình bày ví dụ tốn tử nội suy quan sát xây dựng theo đơn vị thể tích Giả sử phép đo quan sát đơn vị thể tích Ih : ˙ (O )]3 → R3N cho [H   ¯ ϕ Z Z  3n−2  N   ¯1 , ϕ ¯2 , , ϕ ¯3N ), ϕ Ih(Φ) = (ϕ Φ(x)d x = Φ(x)d x, = ¯ L  3n−1  |Q n | Qn Q ¯3n ϕ n (4.13) cho n = 1, , N , miền O = [0, L]3 chia N = K khối lập phương L L3 đơn vị phân biệt Q n với độ dài cạnh p Định nghĩa tích |Q n | = N N Rh = Lh ◦ Ih, Lh : R3N → [ ˙L (O )]3 với Lh(ζ) hàm tuần hồn với chu kì L miền O cho   ζ ‚ Œ N  3n−2  X h3   Lh(ζ)(x) = ζ3n−1  χQ n (x) − L   n=1 ζ3n Gọi    3 χ (x) − h /L     Qn     3 ℓ3n−2 (x) =   , ℓ3n−1 (x) = χQ n (x) − h /L  ,     0       ℓ3n (x) =  ,   3 χQ n (x) − h /L  (4.14) với n = 1, 2, , N Từ đó, suy D = 3N hàm cần cho biểu diễn (4.11) Mệnh đề 4.1 Cho W (t) trình Wiener (4.12), ℓd giống (4.14) cho d = 1, , 3N Khi W chuyển động Q-Brown nhận giá trị [ ˙L (O )]3 57 với toán tử hiệp phương sai Q thỏa mãn Tr(Q) ≤ σ2 L Chứng minh Ta có Tr(Q) = 3N σ2 X = σ2 d=1 N X n=1 |γd | ≤ 3N σ2 X d=1 |ℓd |2L =σ 1−2 h
L3 N X n=1 6 Z  χQ n (x) + h L6 Z