Dáng điệu nghiệm của một số α mô hình ngẫu nhiên trong cơ học chất lỏng

B GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯ NG ĐẠI HOC SƯ PHẠM HÀ N I TRAN QUOC TUAN DÁNG ĐIfiU NGHIfiM CUA M T SO α-MƠ HÌNH NGȀU NHIÊN TRONG CƠ HOC CHAT LONG LU N ÁN TIEN SĨ TOÁN HOC Hà N i, 2023 B GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯ NG ĐẠI HOC SƯ PHẠM HÀ N I TRAN QUOC TUAN DÁNG ĐIfiU NGHIfiM CUA M T SO α-MƠ HÌNH NGȀU NHIÊN TRONG CƠ HOC CHAT LONG LU N ÁN TIEN SĨ TỐN HOC Chun ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã so: 46 01 03 Ngưài hưáng dȁn khoa hoc GS TS Cung The Anh Hà N i, 2023 L I CAM ĐOAN Tôi cam đoan rang ket qua nghiên c u cua tơi dưỚi s chu trì cua GS.TS Cung The Anh Các ket qua cơng trình hồn tồn mỚi chưa t ng đư c công bo bat kỳ cơng trình khác Nghiên cÉu sinh Tran Quoc Tuan L I CAM ƠN Đau tiên, tác gia trân s hưỚng dȁn giúp đỠ cua thay GS TS Cung The Anh Thay hưỚng dȁn làm quen vỚi nghiên c u khoa hoc t lúc ban đau vỚi nhieu bỠ ngỠ tỚi lúc hoàn thi n lu n án Tác gia xin g i lỜi cam tạ tỚi Seminar B mơn Giai tích, Khoa Tốn-Tin, TrưỜng ĐHSP Hà N i mang lại cho môi trưỜng hoc thu t tràn đay lư ng, m t khơng khí khoa hoc thân thi n Tôi xin đư c biet ơn Ban Giám hi u TrưỜng THPT Chuyên Biên Hòa (Hà Nam) đong nghi p tạo đieu ki n cho thỜi gian nghiên c u Tác gia xin cam tạ ngưỜi thân bạn bè ln đ ng viên, hő tr đe tác gia hồn thành lu n án Mục lục L I CAM ĐOAN L I CAM ƠN M T SO KÍ HIfiU THƯ NG DÙNG TRONG LU N ÁN M ĐAU Tőng quan van đe nghiên c u Mục đích nghiên c u Đoi tư ng phạm vi nghiên c u Phương pháp nghiên c u Ket qua cua lu n án Cau trúc cua lu n án Chương KIEN THÚC CƠ S 1.1 Các không gian hàm 1.1.1 Khơng gian hàm tốn t vỚi mien mƠ 1.1.2 Khơng gian hàm tốn t vỚi đieu ki n biên tuan hoàn 10 1.2 Các ket qua ve Giai tích ngȁu nhiên 11 1.2.1 M t so khái ni m ban 11 1.2.2 Không gian hàm cua trình ngȁu nhiên 13 1.2.3 Tích phân ngȁu nhiên khơng gian Hilbert 13 1.2.4 Công th c Itô 16 1.3 Các bő đe thưỜng dùng 16 Chương DÁNG ĐIfiU TIfiM C N NGHIfiM CUA Hfi LERAY-α BA CHIEU NGȀU NHIÊN 18 2.1 Đ t toán 18 2.2 S ton tính őn định cua nghi m d ng cua h Leray-α 3D tat định 20 2.3 Tính őn định bình phương trung bình theo toc đ mũ 21 2.4 Tính őn định hau chac chan theo toc đ mũ 23 2.5 On định hóa nghi m d ng 25 2.5.1 On định hóa bang nhieu nhân tính Itơ 25 2.5.2 On định hóa bang đieu khien phan hoi 27 Chương DÁNG ĐIfiU NGHIfiM CUA Hfi N-S-V BA CHIEU NGȀU NHIÊN CĨ TRE VƠ HẠN 32 3.1 Đ t toán 32 3.2 Tính őn định bình phương trung bình địa phương 36 3.3 Tính őn định mũ cua nghi m d ng trưỜng h p tre phân phoi 40 3.3.1 Tính őn định bình phương trung bình theo toc đ mũ 40 3.3.2 Tính őn định hau chac chan theo toc đ mũ 44 3.4 Tính őn định đa th c cua nghi m d ng trưỜng h p tre ti l 47 3.4.1 Tính őn định bình phương trung bình theo toc đ đa th c .47 3.4.2 Tính őn định hau chac chan theo toc đ đa th c 50 Chương BÀI TỐN ĐONG HĨA DŨ LIfiU LIÊN TỤC CHO Hfi LERAY-α BA CHIEU V I DŨ LIfiU CÓ NHIEU NGȀU NHIÊN 53 4.1 Đ t toán 53 4.2 H Leray-α ba chieu tat định 55 4.3 So hạng ch a nhieu 56 4.4 Thu t tốn đong hóa d li u liên tục 58 4.4.1 Tính đ t cua tốn 58 4.4.2 Định lí ve s h i tụ 63 KET LU N VÀ KIEN NGH± 71 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HOC CUA TÁC GIA .73 M ĐAU Tőng quan van đe nghiên c u Nhieu trình cua th c te đư c mơ ta bang phương trình đạo hàm riêng ngȁu nhiên (SPDEs) Vì giá trị khoa hoc th c te cua nó, nên nhà nghiên c u theo đuői nhieu hưỚng nghiên c u ve sau • Nghiên c u tính đ t đúng; • Nghiên c u dáng u ti m c n nghi m; • Nghiên c u toc đ h i tụ cua nghi m; • Nghiên c u van đe giai so nghi m: đe xuat thu t toán ch ng minh s h i tụ, đánh giá sai so Các van đe nh ng hưỚng nghiên c u rat thỜi s cua lí thuyet SPDEs H Navier-Stokes có vai trị đ c bi t quan M c dù đư c nghiên c u nhieu, có rat nhieu nő l c cua nhieu nhà toán hoc lỚn ket qua đạt đư c vȁn khiêm ton, đ c bi t trưỜng h p 3D (trưỜng h p có ý nghĩa th c tien nhat) Nói riêng, tính đ t toàn cục vȁn van đe mƠ rat lỚn trưỜng h p 3D Ngoài ra, h so nhỚt nho vi c tính tốn so tr c tiep nghi m cua h Navier-Stokes 3D van đe không kha thi ca vỚi thu t tốn máy tính tot nhat hi n Chính nh ng ngun nhân trên, nhà tốn hoc chinh hóa h Navier-Stokes đe phục vụ cho mục đích tính tốn so ho c đe thu đư c tính đ t tồn cục Các h chinh hóa quan đư c s dụng thưỜng xuyên α-mơ hình chúng bao gom: h Navier-Stokes-α [38], h Leray-α [23], h Leray-α cai biên [42] h Bardina đơn gian hóa [41], h Navier-Stokes-Voigt (N-S-V), h chat lưu loại hai [59], Xem thêm [41] ve m t so ket qua tiêu bieu đoi vỚi lỚp mơ hình trưỜng h p tat định Sau ta t p trung giỚi thi u h Leray-α ngȁu nhiên h N-S-V ngȁu nhiên • H phương trình Leray-α tat định đư c đưa [23] M t so van đe khác liên quan đen h Leray-α tính quy, xap xi so, toc đ h i tụ dáng u ti m c n cua nghi m đư c nghiên c u [30, 36, 37] Đ l ch lỚn, s ton s h i tụ nghi m cua h Leray-α ngȁu nhiên đư c khao sát r ng rãi [24, 39, 48, 49] Trong báo [11, 12, 22] chi đư c vi c őn định nghi m cua PDEs bang nhieu ngȁu nhiên ho c bang đieu khien phan hoi Tuy nhiên, ket qua dáng u nghi m cua h Leray-α 3D ngȁu nhiên, coi nghi m d ng nghi m cua h ngȁu nhiên khao sát s h i tụ cua nghi m ngȁu nhiên tỚi nghi m d ng thỜi gian đu lỚn, nghi m d ng khơng őn định őn định hóa vȁn chưa đư c nghiên c u đay đu • Đong hóa d li u m t phương pháp lu n đe nghiên c u d báo xu hưỚng cua trình, chȁng hạn thỜi tiet, mơ hình đại dương khoa hoc mơi trưỜng Ý tưƠng cua đong hóa d li u ket h p d li u quan sát vỚi nguyên tac đ ng liên quan đen mơ hình tốn hoc ban Phương pháp đong hóa d li u cő đien chèn d li u quan sát tr c tiep vào m t mơ hình mơ hình đư c tích h p kịp thỜi, xem [33, 47] tham chieu Tuy nhiên, thu t tốn b c l m t so khó khăn phép đo đư c thu th p t m t t p h p điem nút rỜi rạc, khơng the tính tốn xác giá trị cua đạo hàm khơng gian có mơ hình Trong cơng trình tiên phong [9], tác gia giỚi thi u m t phương pháp mỚi cho van đe đong hóa d li u, thu t tốn đieu khien phan hoi [10], phương pháp giai quyet đư c nh ng hạn che cua phương pháp cő đien Trong thu t tốn mỚi này, thay chèn tr c tiep phép đo vào mơ hình, m t tham so di chuyen phép đo quan sát đư c s dụng đe thiet l p m t mơ hình mỚi mà nghi m gan cua h i tụ tỚi nghi m chưa biet cua mơ hình ban đau Cách tiep c n v y đư c phát trien sau đe đong hóa d li u cho nhieu phương trình quan trong, xem [4, 7, 8, 37, 43] M t thu t toán đong hóa d li u tương t cho d li u có nhieu ngȁu nhiên đư c giỚi thi u [13], xét tốn đoi vỚi h Navier-Stokes hai chieu Gan đây, đong hóa d li u cho h Leray-α 3D đư c nghiên c u [1, 37], ca hai trưỜng h p d li u rỜi rạc d li u liên tục Có the nh n thay rang hai cơng trình này, d li u quan sát khơng có sai so đo lưỜng Tuy nhiên, hi n vȁn chưa có ket lu n cho tốn đong hóa d li u liên tục đoi vỚi h Leray-α 3D có nhieu ngȁu nhiên • Oskolkov đưa h phương trình N-S-V [57] m t mơ hình chuyen đ ng cua m t so chat long nhỚt đàn hoi tuyen tính H phương trình đư c đe xuat bƠi Cao, Lunasin Titi (trong [26]) m t h chinh hóa cua phương trình Navier-Stokes 3D vỚi giá trị nho α, đe phục vụ cho vi c mô phong so tr c tiep Trong nh ng năm qua, s ton dáng u cua nghi m, s ton t p hút cua phương trình NS-V 3D đư c nghiên c u (xem [4, 21, 44]) H phương trình N-S-V vỚi tre h u hạn, vơ hạn ho c có nhỚ đư c nghiên c u gan [2, 17, 40, 54, 61] Trong [3], tác gia C.T Anh c ng s chi s ton s őn định cua nghi m d ng đoi vỚi trưỜng h p ngȁu nhiên khơng có tre Tuy nhiên, theo nh ng chúng tơi biet, trưỜng h p tre vô hạn chưa đư c nghiên c u đoi vỚi h N-S-V 3D ngȁu nhiên Căn c nh ng phân tích trên, chúng tơi chon van đe "Dáng u nghi m cua m t so α-mơ hình ngȁu nhiên hoc chat long" làm đe tài cua lu n án Mục đích nghiên c u Tìm hieu dáng u nghi m toán đong hóa d li u cua m t so α-mơ hình ngȁu nhiên hoc chat long ≤ −2µ φ + 2µ φ − Rh (φ) φ ≤ −2µ φ + µ φ − Rh (φ) + φ = −µ φ + µ φ − Rh (φ) 2 ≤ −µ φ + µc1 h ǁφǁ ν 2 ≤ −µ φ + ǁφǁ 2 T hai bat đȁng th c (4.24), ta có 21/2 C 2L M 02 d φ + ν ǁφǁ d t ≤ 2 να −µ φ d t + 2µ(dW (t ), φ) + µ Tr(Q)d t ≤ 2µ(dW (t), φ) + µ Tr(Q)dt (4.27) T (4.27), ta suy , t+T 𝖡( φ(t + T ) ) + ν 𝖡(ǁφ(s)ǁ2 )ds ≤ 𝖡( φ(t ) ) + µ2 T Tr(Q) t Do đó, , t+T lim sup ν t→+ 𝖡(ǁφ(s)ǁ2)ds ≤ µTr(Q) + µ2T Tr(Q), t đieu tương đương vỚi , t+T lim sup ν t→+ 𝖡(ǁz(s) − v(s)ǁ2)ds ≤ µTr(Q) + µ2T Tr(Q) t H qua 4.1 Gia sE rang phép đo quan sát đư c cho b i phan tE the tích hẼu hạn (4.13) có thêm so hạng chÉa nhieu (4.10), mői βd chuyen đ ng Brown đ c l¾p m t chieu v i phương sai 𝗒2/3 Goi µ = chon N = K đu l n cho h= L K , ν ≤ 2c1µ Khi nghi m z cua phương trình đong hóa (4.8) thóa mãn lim sup 𝖡 t→+ z(t) − v(t ) 66 ≤ k1ν Gr 𝗒 L4 α3 , 21/2 C 2L M 02 να3 , và , lim sup ν T t→+ k= t+T k1ν Gr2 + k21ν Gr L α3T α6 𝖡(ǁz(s) − v(s)ǁ2)ds ≤ t 21/2 C 2L 𝗒 𝗒2 L4, ChÉng minh Theo M nh đe 4.1 cách chon µ h, ta có 1/2 2 3/2 2 k1ν Gr 𝗒 L4 µTr(Q) ≤ µ𝗒2 L3 = C L M0 𝗒2 L3 = C Lν Gr 𝗒2 L3 = , 3 1/2 να3 α α λ1 tương t , ta thu đư c µ T + µ2 Tr(Q) ≤ = µ + µ2 𝗒2 L3 T 21/2 C 2L M 02 2C L4 M 04 + να3 T ν 2α6 21/2 CL2 2ν 1/2Gr = = = Ơ ta s dụng λ1 = 4𝗒2/L2 λ να T 2 1/2 C L2ν Gr 2L 𝗒2 L3 2C4L νλGr + 4 𝗒2 L3 ν 2α6 2C L4ν 2Gr 4L + α3𝗒T α6𝗒2 k1ν Gr k12ν 2Gr 4L 𝗒2 L4, + α6 α3 T 𝗒2 L 21/2 C L k1 = 𝗒 Chú ý 4.1 Neu quan sát bị ch n sai so cho H qua 4.1 đ c l p vỚi đ phân giai h Đ c bi t, neu tăng m t đ cua phép đo khơng tăng đư c tính xác cua nghi m xap xi Vì vi c tăng đ phân giai cua quan sát không dȁn đen bat kỳ s giam đ sai so cua phép đo có quan sát ˜ h đư c cho bƠi (4.5) Ta khac phục khiem khuyet Ơ mục lien sau n i suy R H qua 4.2 Gia sE rang phép đo quan sát đư c cho b i phan tE the tích hẼu hạn (4.13) có thêm so hạng chÉa nhieu (4.10), βd m t chuyen đ c Brown đ c l¾p m t chieu v i phương sai 𝗒2/3 Cho µ hang so H 67 qua 4.1 ε ∈ (0, 1) Khi ton n i suy cua dẼ li u quan sát dta phan tE the tích v i m¾t đ quan sát h cho ε c ’ Gr L3 c’ = 25/2 c1 C2L L3 2𝗒 3/2 /2α3 ≤ h3 max ε, 64c ’ Gr ≤ , L3 lim sup 𝖡( z(t) − v(t) 2) ≤ µ𝗒2 L3ε (4.28) t→+ ChÉng minh Neu , ν/(2c1µ) ≥ L ta có the lay h = L Định lí 4.3 Trong trưỜng h p v nghi m őn định không can d li u quan sát đe phục hoi v Neu không, đ t M = K 31 Ơ K1 ≥ so nguyên nhat thoa mãn ’ h = L K1 , ≤ ν 2c1µ < L K1 − Goi Q’m khoi l p phương vỚi đ dài cạnh h’, Ơ m = 1, , M Chon h = h’/q, Ơ q so nguyên thoa mãn q3 ≥ > (q − 1)3 ε (4.29) VỚi cách chon K1 q Ơ , ta có , , 2c1 µ K1 2(K1 − 1) 2c1 µ ≤ ’ = ≤