Bài toán đồng hóa dữ liệu đối với một số phương trình tiến hóa trong cơ học chất lỏng

B® GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯ NG ĐẠI HOC SƯ PHẠM HÀ N I ——————— * ——————— BÙI HUY BÁCH BÀI TỐN ĐONG HĨA Dữ LI U ĐOI V I M T SO PHƯƠNG TRÌNH TIEN HĨA TRONG CƠ HOC CHAT LONG LU N ÁN TIEN SĨ TOÁN HOC Hà N i - 2020 B® GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯ NG ĐẠI HOC SƯ PHẠM HÀ N I ——————— * ——————— BÙI HUY BÁCH BÀI TỐN ĐONG HĨA Dữ LI U ĐOI V I M T SO PHƯƠNG TRÌNH TIEN HĨA TRONG CƠ HOC CHAT LONG Chun ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã so: 46 01 03 LU N ÁN TIEN SĨ TOÁN HOC NGƯ I HƯ NG DȀN KHOA HOC GS.TS Cung The Anh Hà N i - 2020 L I CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cáu hướng dan GS.TS Cung The Anh Các ket phát bieu lu¾n án hoàn toàn trung thực chưa tàng cơng bo bat cá m t cơng trình khác Nghiên cfíu sinh Bùi Huy Bách L I CÁM ƠN Lu¾n án hồn thành hướng dan nghiêm khac, t¾n tình, chu đáo GS.TS Cung The Anh Tác giả xin bày tỏ lịng kính biet ơn sâu sac tới GS.TS Cung The Anh, người Thay dan dat tác giả làm quen với nghiên cáu khoa hoc tà nhãng ngày hoc cao hoc Ngoài nhãng dan ve m t khoa hoc, đ ng viên lòng tin tưởng Thay dành cho tác giả đ ng lực lớn giúp tác giả say mê nghiên cáu Tác giả xin trân gải lời cảm ơn đen Ban Giám hi¾u, Phịng Sau Đại hoc, Ban Chủ nhi¾m Khoa Tốn-Tin, Trường Đại hoc Sư phạm Hà N i, đ c bi¾t PGS.TS Tran Đình Ke thay giáo, giáo B mơn Giải tích, Khoa Tốn-Tin, Trường Đại hoc Sư phạm Hà N i giúp đỡ, đ ng viên, tạo mơi trường hoc t¾p nghiên cáu thu¾n lợi cho tác giả Tác giả xin bày tỏ lòng biet ơn đen Sở Giáo dục Đào tạo Hà N i, Ban Giám hi¾u trường THPT Chúc Đ ng, thay cô anh chị đong nghi¾p cơng tác trường THPT Chúc Đ ng ln tạo đieu ki¾n thu¾n lợi, giúp đỡ đ ng viên tác giả suot trình hoc t¾p nghiên cáu Tác giả xin gải đen anh chị em NCS chuyên ngành Phương trình vi phân tích phân Khoa Tốn-Tin, Trường Đại hoc Sư phạm Hà N i, bạn bè gan xa, lời cảm ơn chân thành ve tat nhãng giúp đỡ, đ ng viên mà tác giả nh¾n suot thời gian qua Lời cảm ơn sau cùng, tác giả xin dành cho gia đình, nhãng người ln yêu thương, chia sẻ, đ ng viên tác giả vượt qua khó khăn đe hồn thành lu¾n án Mnc lnc Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục M t so kí hi¾u dùng lu¾n án M ĐAU Lí chon đe tài Tőng quan van đe nghiên cáu Mục đích, đoi tượng phạm vi nghiên cáu 13 Phương pháp nghiên cáu 15 Ket lu¾n án 15 Cau trúc lu¾n án 16 Chương KIEN THÚC CHUȀN B± 17 1.1 M t so α-mơ hình hoc chat lỏng 17 1.2 Toán tả n i suy Ih .18 1.3 T¾p hút toàn cục 20 1.4 Các không gian hàm 22 1.5 Các toán tả 22 1.6 M t so bat đȁng thác sơ cap thường dùng 26 Chương BÀI TOÁN ĐONG HÓA DŨ LINU R I RẠC ĐOI V I HN LERAY-α 27 2.1 Đ t toán 27 2.2 Sự ton nhat h i tụ nghi¾m xap xỉ tới nghi¾m khảo sát 30 Chương BÀI TỐN ĐONG HĨA DŨ LINU R I RẠC ĐOI V I HN NAVIER-STOKES-α 41 3.1 Đ t toán 41 3.2 Sự ton nhat h i tụ nghi¾m xap xỉ tới nghi¾m khảo sát 44 Chương BÀI TỐN ĐONG HĨA DŨ LINU LIÊN TỤC RÚT GON ĐOI V I HN BARDINA ĐƠN GIẢN HÓA 58 4.1 Đ t toán 58 4.2 Sự ton nhat h i tụ nghi¾m xap xỉ tới nghi¾m khảo sát trường hợp toán tả phép đo loại I 62 4.3 Sự ton nhat h i tụ nghi¾m xap xỉ tới nghi¾m khảo sát trường hợp tốn tả phép đo loại II 71 Chương BÀI TỐN ĐONG HĨA DŨ LINU RÚT GON ĐOI V I HN LERAY-α CẢI BIÊN 87 5.1 Bài toán đong hóa dã li¾u liên tục rút gon đoi với h¾ Leray-α cải biên 87 5.1.1 Đ t toán 87 5.1.2 Sự ton nhat h i tụ nghi¾m xap xỉ tới nghi¾m khảo sát 90 5.2 Bài tốn đong hóa dã li¾u rời rạc rút gon đoi với h¾ Leray-α cải biên 104 5.2.1 Đ t toán 104 5.2.2 Sự ton nhat h i tụ nghi¾m xap xỉ tới nghi¾m khảo sát 105 KET LU¾N 118 Ket đạt 118 Kien nghị m t so van đe nghiên cáu tiep theo 118 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HOC 119 TÀI LINU THAM KHẢO 120 M T SO KÍ HI U THƯ NG DÙNG TRONG LU¾N ÁN Ω Ω = [0, L]3 hình h p R3 H, V khơng gian hàm dùng đe nghiên cáu h¾ Navier-Stokes α-mơ hình V′ khơng gian đoi ngau khơng gian V (·, ·), | · | tích vơ hướng chuȁn khơng gian H ((·, ·)), ǁ · ǁ tích vô hướng chuȁn không gian V ⟨ ·, ·⟩ đoi ngau giãa V ′ V V ',V ǁ · ǁV ' chuȁn không gian V ′ A, B, B˜ toán tả dùng đe nghiên cáu h¾ Navier-Stokes α-mơ hình λm giá trị riêng thá m toán tả Stokes A D(A) mien xác định tốn tả A D(A)′ khơng gian đoi ngau không gian D(A) ⟨ ·, ·⟩ D(A)',D(A) đoi ngau giãa D(A)′ D(A) ǁ · ǁD(A)' chuȁn không gian D(A)′ → h i tụ mạnh X Y bao đóng Y X S(t) nảa nhóm liên tục sinh tốn đạo hàm riêng A t¾p hút tồn cục nảa nhóm S(t) µ tham so giãn Ih toán tả n i suy M ĐAU Lí chon đe tài Vi¾c nghiên cáu nhãng lớp phương trình tien hóa hoc chat lỏng có ý nghĩa quan trong khoa hoc cơng ngh¾ Chính v¾y thu hút quan tâm nhieu nhà khoa hoc the giới Sau nghiên cáu tính đ t tốn, vi¾c nghiên cáu tốn đong hóa dã li¾u (data assimilation), tác dự đốn dáng đi¾u nghi¾m tương lai tà nhãng phép đo thu được, rat quan cho phép ta hieu dự đốn xu the phát trien h¾ tương lai; đieu đ c bi¾t quan trong toán dự báo, chȁng hạn toán dự báo khí tượng Đây m t hướng nghiên cáu phát trien mạnh mẽ nhãng năm gan Ve m t tốn hoc, ta có the phát bieu tốn đong hóa dã li¾u sau Giả sả m t q trình phác tạp (chȁng hạn dự báo khí tượng) mơ tả phương trình tien hóa (nói chung rat phác tạp) có dạng dY dt = F (Y ), Y vectơ bieu dien bien trạng thái mà ta muon “dự báo” Mục tiêu tìm m t "xap xỉ tot” Y thời gian đủ lớn đây, không biet “dã ki¾n ban đau” Y m t thời điem trước thời điem t0 đe tính nghi¾m mơ hình dự báo tà thời điem t0 trở đi, nhiên biet “phép đo” (m t phan) Y khoảng thời gian [t0, t0 + T ] ho c m t dãy thời điem {tn}n∈N Bài tốn đong hóa dã li¾u xác định m t xap xỉ W (t) Y (t) tà “phép đo” biet, cho W (t) dan tới Y (t) (theo m t chuȁn thích hợp) thời gian t tien tới vô M t phương pháp cő đien đong hóa dã li¾u liên tục, xem ví dụ [18], thay phép đo quan sát trực tiep vào m t mơ hình sau lay tích phân theo thời gian Chȁng hạn, ta có the thay quan sát che đ thap Fourier vào phương trình cho tien hóa che đ cao Khi giá trị che đ thap che đ cao ket hợp đe tạo m t xap xỉ đay đủ cho trạng thái h¾ Cách tiep c¾n thực hi¾n cho h¾ Navier-Stokes hai chieu [31, 46] m t so h¾ khác hoc chat lỏng [2, 21, 22, 28, 40] Ve m t tốn hoc, cách tiep c¾n dựa ton t¾p hút tồn cục hãu hạn chieu tính chat mode xác định (determining modes) h¾ Navier-Stokes [38], m t tính chat phő bien cho h¾ tiêu hao mạnh, có nhược điem khơng áp dụng dã li¾u thu dạng rời rạc theo khơng gian, ta khơng the lay đạo hàm theo bien không gian điem rời rạc M t cách tiep c¾n hi¾u khác áp dụng cho h¾ tien hóa tuyen tính đe xuat J.P Puel [48] Cách tiep c¾n dựa bat đȁng thác kieu Carleman, tỏ rat háa hen hi¾u quả, phương di¾n lí thuyet tính tốn so, có hạn che áp dụng cho tốn tuyen tính Năm 2014, Titi c ng đe xuat m t phương pháp [5] khac phục nhược điem phương pháp nói Ý tưởng phương pháp sả dụng m t so hạng đieu khien phản hoi cháa dã li¾u quan sát đưa vào h¾ ban đau đe m t h¾ goi h phương trình đong hóa dũ li u Sau ta thiet l¾p đieu ki¾n đe đảm bảo h¾ đong hóa dã li¾u có m t nghi¾m tồn cục nhat h i tụ ve nghi¾m khảo sát h¾ goc ban đau Tuy nhiên, ket nghiên cáu bang phương pháp có tốn đong hóa dã li¾u liên tục cho cho h¾ Navier-Stokes hai chieu [5] m t vài α-mơ hình ba chieu [2, 1]; trường hợp rời rạc có ket đoi với h¾ Navier-Stokes hai chieu [27] H¾ Navier-Stokes đóng vai trị quan trong hoc chat lỏng Tuy 112 ∫ t ≤2 tn 1 ˜ (s)| ˜i (s)| + µ(λ− ν(λ− i + α )|u + α )|Au 1/4 (λ− + α )(ǁu + c4 λ− ˜i (s)ǁ + ǁui (s)ǁ)|Au˜(s)| 1 1/4 (λ− + α )|Au(s)|ǁu +c4 λ− ˜i (s)ǁ ds 1 S dng bat ng thỏc Hăolder, ta cú (vi i = 1, 2) t tn !2 ă d(u i + Au i ) ă (s) ă ă ds D(A)' ds ≤ cκ ∫ t i ϕ (s)ds, (5.46) tn 2 ϕi (s) = ν (λ− ˜i (s)|2 + µ2 (λ1−1 + α2 )2 |u˜i (s)|2 + α ) |Au + λ1−1/2 (λ1−1 + α2 )2 (ǁu˜i (s)ǁ2 + ǁui (s)ǁ2 )|Au˜(s)|2 1/2 (λ− + α )2 |Au(s)|2 ǁu + λ− ˜i (s)ǁ2 1 Ket hợp đánh giá tà (5.19) đen (5.27) (5.29), (5.39), (5.46) vào (5.36) ta có d dt ≤ − |u˜|2 + α2 ǁu˜ǁ2 + 2µ − Σ cµ2κ + να2 c(λ− ∞ + ν α2 )2 ǁu˜ǁ2 + α2 |Au˜|2 |Au|2 ) (|u ˜ H |2 + α2 ǁu˜ H ǁ ) (ǁuǁ + α νλ1/2 α6 Σ ∫ t cµ 2κ χn ϕ1(s)ds + να2 tn n=0 ! ∫ ∞ (5.47) t χn ϕ2(s)ds tn n=0 Với đieu ki¾n (5.31) (5.9), tà (5.47) suy d ν |u˜|2 + α2 ǁu˜ǁ2 + ǁu˜ǁ2 + α2 |Au˜|2 dt 2 (5.48) ≤ − µ(|u˜ H | + α 2ǁu˜ H ǁ ) ∞ Σ ∫ t cµ 2κ Σ + cµ 2κ χn ϕ1(s)ds + να2 να tn n=0 Kí hi¾u R = 2M0 ∫ ∞ χn n=0 t ϕ2(s)ds tn 113 Vì u˜ ∈ C([t0 , ∞); V ) |u˜(t0 )|2 + α2 ǁu˜(t0 )ǁ2 ≤ |u(t0 )|2 + α2 ǁu(t0 )ǁ2 + |u∗ (t0 )|2 + α2 ǁu∗ (t0 )ǁ2 ≤ 2M0 ≤ R, ton τ ∈ (t0, ∞) cho |u˜(t)|2 + α2 ǁu˜(t)ǁ2 ≤ 2R, ∀t ∈ [t0 , τ ] Định nghĩa ( t˜ = sup ) τ ∈ [t0 , ∞) : sup (|u˜(t)|2 + α2 ǁu˜(t)ǁ2 ) ≤ 2R (5.49) t∈[t0,τ ] Giả sả rang ˜t < t1 Khi đó, lay tích phân (5.48) tà t0 tới t ≤ t˜, ta có 2 |u˜(t)| + α ǁu˜(t)ǁ − (|u˜(t0 )| 2+ α ǁu˜(t0 )ǁ ) ∫ ν t + (ǁu˜(s)ǁ2 + α2 |Au˜(s)|2 )ds t0 ∫ t ≤ −µ (|u˜ H (s) |2 + α2 ǁu˜ H (s)ǁ )ds t0 + cµ2κ2 ∫ να2 t t0 cµ2κ2 ϕ1(s)ds + να2 ∫ (5.50) t ϕ2(s)ds t0 Vì |u˜(t)|2 + α2 ǁu˜(t)ǁ2 ≤ 2R với moi t ∈ [t0 , ˜t], ta suy rang (với i = 1, 2) 1/2 α− M )(ǁu ϕi (s) = α−2 (λ1−1 + α2 )2 (ν + 5λ− ˜i (s)ǁ2 + α2 |Au˜i (s)|2 ) 1 2 − 1/2 α− M )(|u + (λ− ˜i (s)|2 + α2 ǁu˜i (s)ǁ2 ) 1 + α ) (µ + λ1 (5.51) 114 Do đó, (5.50) trở thành 2 |u˜(t)|2 + α ǁu˜(t)ǁ − (|u˜(t0 )| 2+ α ǁu˜(t0 )ǁ 2) + ∫ ν 1− cµ2 κ2 (λ−1 + α2 )2 (ν + 5λ−1/2 α−2 M ! 0) ν2α4 × t (ǁu˜(s)ǁ2 + α2 |Au˜(s)|2 )ds t0 ≤ − µ− ∫ cµ2κ2(λ1−1 + α2)2(µ2 + λ1−1/2α−4M1) να2 (5.52) ! × t (|u˜ H (s)|2 + α2 ǁu˜H (s)ǁ2 )ds t0 Với đieu ki¾n (5.32) κ, ta suy tà (5.52) rang |u˜(t)|2 + α2 ǁu˜(t)ǁ −(|u˜(t0 )| 2+ α ǁu˜(t0 )ǁ 2) ∫ ν t + (ǁu˜(s)ǁ2 + α2 |Au˜(s)|2 )ds ≤ 0, t0 hay nói riêng, ta có ∫ t (ǁu˜(s)ǁ2 + α2 |Au˜(s)|2 )ds ≤ (|u˜(t0 )|2 + α2 ǁu˜(t0 )ǁ2 ), ∀t ∈ t0, t˜ (5.53) ν t0 M t khác, ∞ Σ n=0 ∫ ∫ t t ϕi(s)ds ≤ χn tn ϕi(s)ds, ∀t ∈ t0, t˜ , t0 ta suy tà (5.48) rang với moi t ∈ t0, t˜ : d νλ1 |u˜|2 + α2 ǁu˜ǁ2 + (|u˜|2 + α2 ǁu˜ǁ2 ) + µ(|u˜ H |2 + α 2ǁu˜ H ǁ ) dt cµ2κ ∫ t (ϕ1(s) + ϕ2(s))ds ≤ να2 t0 (5.54) Hơn nãa, sả dụng bat đȁng thác Poincaré (1.17) (1.18), tà (5.51) ta suy (với i = 1, 2) ϕi(s) ≤ (λ1−1 + α2)2(α−2ν2 + 5λ1−1/2α−4M + λ1−1µ2 + λ1−3/2α−4M1)× 115 (ǁu˜i (s)ǁ2 + α2 |Au˜i (s)|2 ) Ket hợp (5.53) với (5.54) ta có d |u˜|2 + α2 ǁu˜ǁ2 + νλ1 (|u˜|2 + α2 ǁu˜ǁ2 ) + µ(|u˜ | + α 2ǁu˜ ǁ 2) H H dt −1/2 −3/2 cµ2κ(λ1−1 + α2)2(α−2ν2 + 5λ1 α−4M0 + 11à2 + 4M1) ì 22 (|u(t0 )|2 + α2 ǁu˜(t0 )ǁ2 ) Suy νλ1 d |u˜|2 + α2 ǁu˜ǁ2 + (|u˜|2 + α2 ǁu˜ǁ2 ) dt cµ2κ(λ1−1 + α2)2(α−2ν2 + 5λ1−1/2α−4M0 + λ1−1µ2 + λ1−3/2α−4M1) ≤ × ν2α2 (|u˜(t0 )|2 + α2 ǁu˜(t0 )ǁ2 ) Do đó, sả dụng bat đȁng thác Gronwall [t0, t], t < t˜, ta có |u˜(t)|2 + α2 ǁu˜(t)ǁ2 ≤ (|u˜(t0 )|2 + α2ǁu ˜(t0 )ǁ2)e− + − e− νλ1 (t−t0) γ νλ (t−t0) ˜(t0 )|2 (|u (5.55) + α2 ǁu˜(t0 )ǁ2), cµ2κ(λ−1 + α2)2(α−2ν2 + 5λ−1/2α−4M0 + λ−1µ2 + λ−3/2α−4M1) γ1 = 1 ν3α2λ Vì |u˜(t0 )|2 + α2 ǁu˜(t0 )ǁ2 ≤ R nên (5.55) trở thành | u˜(t)|2 + α2 ǁu˜(t)ǁ2 ≤ Re− νλ1 (t−t0 ) + − e− νλ1 (t−t0 ) γ 1R Sả dụng đieu ki¾n κ cho (5.32) với hang so c thích hợp, ta có γ1 ≤ 1/2 Suy |u˜(t)|2 + α2 ǁu˜(t)ǁ2 ≤ R, ∀t ∈ [t0 , t˜] Nói riêng, |u˜(t˜)|2 + α2 ǁu˜(t˜)ǁ2 ≤ R tà định nghĩa t˜ (5.49) ta suy t˜ ≥ t1 Do đó, ta có |u˜(t1 )|2 + α2 ǁu˜(t1 )ǁ2 ≤ R có the áp dụng lại 116 l¾p lu¾n đe thu t˜ ≥ t2 |u ˜(t2 )|2 + α2 ǁu ˜(t2 )ǁ2 ≤ R Tiep tục quy nạp, ta có t˜ ≥ tn , với moi n ≥ Hơn nãa, ta thu giong (5.55) rang |u˜(t)|2 + α2 ǁu˜(t)ǁ2 ≤ (|u˜(tn )|2 + α2 ǁu˜(tn )ǁ2)e− + − e− νλ (t−tn) γ νλ (t−tn) ˜(tn )|2 (|u (5.56) + α2 ǁu˜(tn )ǁ2), với moi t ∈ [tn, tn+1] với moi n ∈ N Tà (5.56), ta có |u˜(tn+1 )|2 + α 2ǁu˜(tn+1 )ǁ ≤ θ(|u˜(tn )| + α 2ǁu˜(tn )ǁ 2), ∀n ≥ 0, θ = e−νλ1κ/2 + γ1 − e−νλ1κ/2 < Suy |u˜(tn )|2 + α2 ǁu˜(tn )ǁ2 ≤ θn (|u˜(t0 )|2 + α2 ǁu˜(t0 )ǁ2 ), ∀n ≥ (5.57) Ket hợp (5.56) (5.57) ta suy |u˜(t)|2 + α 2ǁu˜(t)ǁ ≤ θ n (|u˜(t0 )| + α 2ǁu˜(t0 )ǁ 2), ∀t ∈ [tn , tn+1 ], ∀n ≥ Bat đȁng thác cuoi suy đieu phải cháng minh KET LU¾N CHƯƠNG Trong chương này, chúng tơi nghiên cáu tốn đong hóa dã li¾u liên tục rời rạc đoi với h¾ Leray-α cải biên ba chieu sả dụng phép đo hai thành phan vectơ v¾n toc Các ket đạt được: 1) Sự ton nhat h i tụ nghi¾m xap xỉ tới nghi¾m khảo sát đoi với tốn đong hóa dã li¾u liên tục rút gon (Định lí 5.2); 2) Sự ton nhat h i tụ nghi¾m xap xỉ tới nghi¾m khảo sát đoi với tốn đong hóa dã li¾u rời rạc rút gon (Định lí 5.3) 117 Các ket chương nhãng ket đau tiên ve toán đong hóa dã li¾u đoi với h¾ Leray-α cải biên, trường hợp phép đo liên tục rời rạc theo bien thời gian Đ c bi¾t, lan đau tiên tốn đong hóa dã li¾u rời rạc mà sả dụng phép đo hai thành phan vectơ v¾n toc nghiên cáu Chúng tơi hy vong rang cách tiep c¾n đe xuat chương có the áp dụng cho mơ hình khác hoc chat lỏng 118 KET LU¾N Ket qua đạt đư c Trong lu¾n án này, chúng tơi nghiên cáu tốn đong hóa dã li¾u rời rạc tốn đong hóa dã li¾u liên tục đoi với m t so α-mơ hình hoc chat lỏng Các ket đạt luắn ỏn: ã Chỏng minh c s ton ti nhat nghi¾m xap xỉ đánh giá ti¾m c¾n theo thời gian hi¾u giãa nghi¾m xap xỉ nghi¾m khảo sát, đoi với tốn đong hóa dã li¾u rời rạc cho h¾ Leray-α ba chieu h¾ Navier-Stokes-α ba chieu trường hợp phép đo có the có sai so • Cháng minh ton nhat nghi¾m xap xỉ h i tụ nghi¾m xap xỉ tới nghi¾m khảo sát, đoi với tốn đong hóa dã li¾u liên tục với phép đo rút gon cho h¾ Bardina ba chieu hai trường hợp toán tả phép đo loại I loại II • Cháng minh ton nhat nghi¾m xap xỉ h i tụ nghi¾m xap xỉ tới nghi¾m khảo sát, đoi với tốn đong hóa dã li¾u liên tục/rời rạc với phép đo rút gon cho h¾ Leray-α cải biên ba chieu Kien nghị m t so van đe nghiên cfíu tiep theo • Nghiên cáu tốn đong hóa dã li¾u rời rạc/liên tục cho trường hợp tốn tả phép đo Ih loại II có the chỏa sai so phộp o ã Nghiờn cỏu viắc xap xỉ so thu¾t tốn đong hóa dã li¾u cho α-mơ hình (xem ket cho h¾ Navier-Stokes hai chieu [45]) 119 DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HOC Cơng trình cơng bo [CT1] C.T Anh and B.H Bach (2018), Discrete data assimilation algorithm for the three-dimensional Leray-α model, Bull Pol Acad Sci Math 66, 143-156 [CT2] C.T Anh, B.H Bach and V.M Toi (2019), Discrete data assimilation algorithm for the three-dimensional Navier-Stokes-α model, Ann Polon Math 122, 201-219 Cơng trình gfii đăng [CT3] C.T Anh and B.H Bach (2019), Continuous data assimilation for the three-dimensional simplified Bardina model utilizing measurements of only two components of the velocity field, submitted [CT4] C.T Anh and B.H Bach (2019), Data assimilation for the three-dimensional modified Leray-α model utilizing measurements of only two components of the velocity field, submitted 120 Tài li u tham khao [1] D.A.F Albanez and M.J Benvenutti (2018), Continuous data assimilation algorithm for simplified Bardina model, Evol Equ Control Theory 7, 3352 [2] D.A.F Albanez, H.J Nussenzveig-Lopes and E.S Titi (2016), Continuous data assimilation for the three-dimensional Navier-Stokes-α model, Asymptot Anal 97, 139-164 [3] H Ali and P Kaplický (2016), Existence and regularity of solutions to the Leray-α model with Navier slip boundary conditions, Electron J Differential Equations, Paper No 235, 13 pp [4] C.T Anh and P.T Trang (2018), Decay characterization of solutions to the viscous Camassa-Holm equations, Nonlinearity 31, 621-650 [5] A Azouani, E Olson and E.S Titi (2014), Continuous data assimilation using general interpolant observables, J Nonlinear Sci 24, 277-304 [6] J Bardina, J.H Ferziger and W.C Reynolds (1980), Improved subgrid scale models for large eddy simulation, American Institute of Aeronautics and Astronautics Paper 80, 80-1357 [7] A Biswas, J Hudson, A Larios and Y Pei (2018), Continuous data assimilation for the 2D magnetohydrodynamic equations using one component of the velocity and magnetic fields, Asymptot Anal 108, 1-43 121 [8] A Biswas and V.R Martinez (2017), Higher-order synchronization for a data assimilation algorithm for the 2D Navier-Stokes equations, Nonlinear Anal Real World Appl 35, 132-157 [9] C Bjorland and M.E Schonbek (2008), On questions of decay and existence for the viscous Camassa-Holm equations, Ann Inst H Poincaré Anal Non Linéaire 25, 907-936 [10] Y Cao, E.M Lusanin and E.S Titi (2006), Global well-posedness of the three-dimensional viscous and inviscid simplified Bardina turbulence models, Commun Math Sci 4, 823-848 [11] Y Cao and E.S Titi (2009), On the rate of convergence of the twodimensional α-models of turbulence to the Navier-Stokes equations, Numer Funct Anal Optim 30, 1231-1271 [12] J Charney, M Halem, and R Jastrow (1969), Use of incomplete historical data to infer the present state of the atmosphere, J Atmos Sci 26, 11601163 [13] S Chen, C Foias, D.D Holm, E Olson, E.S Titi and S Wynne (1999), A connection between the Camassa-Holm equations and turbulent flows in channels and pipes, Phys Fluids 11, 2343-2353 [14] V.V Chepyzhov, E.S Titi and M.I Vishik (2007), On the convergence of solutions of the Leray-α model to the trajectory attractor of the 3D Navier-Stokes system, Discrete Contin Dyn Syst 17, 481-500 [15] A Cheskidov, D.D Holm, E Olson and E.S Titi (2005), On a Leray-α model of turbulence, Proc R Soc Lond Ser A Math Phys Eng Sci 461, 629-649 [16] P Constantin and C Foias (1988), Navier-Stokes Equations, Chicago Lectures in Mathematics, University of Chicago Press, Chicago 122 [17] D Coutand, J Peirce and S Shkoller (2002), Global well-posedness of weak solutions for the Lagrangian averaged Navier-Stokes equations on bounded domains, Commun Pure Appl Anal 1, 35-50 [18] R Daley (1991), Atmospheric Data Analysis, Cambridge Atmospheric and Space Science Series, Cambridge University Press [19] G Deugoué (2017), On the convergence of the uniform attractor for the 2D Leray-α model, Abstr Appl Anal., Art ID 1681857, 11 pp [20] C.R Doering and J.D Gibbon (1995), Applied Analysis of the NavierStokes Equations, Cambridge Texts in Applied Mathematics, Cambridge University Press [21] A Farhat, E Lunasin and E.S Titi (2015), Continuous data assimilation for a 2D Bénard convection system through horizontal velocity measurements alone, Phys D 303, 59-66 [22] A Farhat, E Lunasin and E.S Titi (2016), Data assimilation algorithm for 3D Bénard convection in porous media employing only temperature measurements, J Math Anal Appl 438, 492-506 [23] A Farhat, E Lunasin and E.S Titi (2016), Abridged continuous data assimilation for the 2D Navier-Stokes equations utilizing measurements of only one component of the velocity field, J Math Fluid Mech 18, 123 [24] A Farhat, E Lunasin and E.S Titi (2019), A data assimilation algorithm: The paradigm of the 3D Leray-α model of turbulence, Partial differential equations arising from physics and geometry, 253-273, London Math Soc Lecture Note Ser., 450, Cambridge Univ Press, Cambridge, 2019 123 [25] C Foias, D.D Holm and E.S Titi (2001), The Navier-Stokes-alpha model of fluid turbulence Advances in nonlinear mathematics and science, Phys D 152/153, 505-519 [26] C Foias, D.D Holm and E.S Titi (2002), The three-dimensional viscous Camassa-Holm equations, and their relation to the Navier-Stokes equations and turbulence theory, J Dynam Differential Equations 14, 1-35 [27] C Foias, C.F Mondaini and E.S Titi (2016), A discrete data assimilation scheme for the solutions of the two-dimensional Navier-Stokes equations and their statistics, SIAM J Appl Dyn Syst 15, 2109-2142 [28] M Gesho, E Olson and E.S Titi (2016), A computational study of a data assimilation algorithm for the two-dimensional Navier-Stokes equations, Commun Comput Phys 19, 1094-1110 [29] J.D Gibbon and D.D Holm (2008), Estimates for the LANS-α, Leray-α and Bardina models in terms of a Navier-Stokes Reynolds number, Indiana Univ Math J 57, 2761-2773 [30] M.A Hamed, Y Guo and E.S Titi (2015), Inertial manifolds for certain subgrid-scale α-models of turbulence, SIAM J Appl Dyn Syst 14, 13081325 [31] K Hayden, E Olson and E.S Titi (2011), Discrete data assimilation in the Lorenz and 2D Navier-Stokes equations, Phys D 240, 1416-1425 [32] J Hoke and R Anthes (1976), The initialization of numerical models by a dynamic relaxation technique, Mon Weather Rev 104, 1551-1556 [33] M Holst, E Lunasin and G Tsogtgerel (2010), Analysis of a general family of regularized Navier-Stokes and MHD models, J Nonlinear Sci 20, 523-567 124 [34] A.A Ilyin, E.M Lunasin and E.S Titi (2006), A modified-Leray-α subgrid scale model of turbulence, Nonlinearity 19, 879-897 [35] A.A Ilyin and E.S Titi (2003), Attractors for the two-dimensional NavierStokes-α model: an α-dependence study, J Dynam Differential Equations 15, 751-778 [36] M.S Jolly, V.R Martinez and E.S Titi (2017), A data assimilation algorithm for the subcritical surface quasi-geostrophic equation, Adv Nonlinear Stud 17, 167-192 [37] D.A Jones and E.S Titi (1992), Determining finite volume elements for the 2D Navier-Stokes equations, Phys D 60, 165-174 [38] D.A Jones and E.S Titi (1993), Upper bounds on the number of determining modes, nodes, and volume elements for the Navier-Stokes equations, Indiana Univ Math J 42, 875-887 [39] B.-S Kim and B Nicolaenko (2006), Existence and continuity of exponential attractors of the three dimensional Navier-Stokes-α equations for uniformly rotating geophysical fluids, Commun Math Sci 4, 399-452 [40] P Korn (2009), Data assimilation for the Navier-Stokes-α equations, Phys D 238, 1957-1974 [41] A Kostianko (2018), Inertial manifolds for the 3D modified-Leray-α model with periodic boundary conditions, J Dynam Differential Equations 30, 1-24 [42] W Layton and R Lewandowski (2006), On a well-posed turbulence model, Discrete Contin Dyn Syst Ser B 6, 111-128 [43] P.A Markowich, E.S Titi and S Trabelsi (2016), Continuous data assimilation for the three-dimensional Brinkman-Forchheimer-extended Darcy model, Nonlinearity 29, 1292-1328 125 [44] J.E Marsden and S Shkoller (2001), Global well-posedness for the Lagrangian averaged Navier-Stokes (LANS-α) equations on bounded domains, R Soc Lond Philos Trans Ser A Math Phys Eng Sci 359, 14491468 [45] C.F Mondaini and E.S Titi (2018), Uniform-in-time error estimates for the postprocessing Galerkin method applied to a data assimilation algorithm, SIAM J Numer Anal 56 (2018), 78-110 [46] E Olson and E.S Titi (2003), Determining modes for continuous data assimilation in 2D turbulence, J Statist Phys 113, 799-840 [47] E Olson and E.S Titi (2007), Viscosity versus vorticity stretching: global wellposedness for a family of Navier-Stokes-alpha-like models, Nonlinear Anal 66, 2427-2458 [48] J.P Puel (2009), A nonstandard approach to a data assimilation problem and Tychonov regularization revisited, SIAM J Control Optim 48, 10891111 [49] H Qiu, Y Du and Z Yao (2017), Global Cauchy problem for a Leray-α model, Acta Math Appl Sin Engl Ser 33, 207-220 [50] J.C Robinson (2001), Infinite-Dimensional Dynamical Systems, Cambridge University Press, Cambridge [51] R Temam (1995), Navier-Stokes Equations and Nonlinear Functional Analysis, 2nd ed., CBMSNSF Regional Conference Series in Applied Mathematics, Vol 66, SIAM, Philadelphia [52] M.I Vishik, E.S Titi and V.V Chepyzhov (2007), On the convergence of trajectory attractors of the three-dimensional Navier-Stokes α-model as α → 0, (Russian) Mat Sb 198, 3-36; translation in Sb Math 198 (2007), no 11-12, 1703-1736 126 [53] K Yamazaki (2012), On the global regularity of generalized Leray-alpha type models, Nonlinear Anal 75, 503-515 [54] Y Yu, K Li and A Huang (2007), Gevrey class regularity and exponential decay property for Navier-Stokes-α equations, Acta Math Appl Sin Engl Ser 23, 49-58 [55] Y Zhou and J Fan (2011), Global well-posedness of a Bardina model, Appl Math Lett 24, 605-607 ... xuat m t phương pháp đe nghiên cáu tốn đong hóa dã li¾u [5] Ý tưởng phương pháp sả dụng m t so hạng đieu khien phản hoi đưa vào phương trình đe m t phương trình mới, goi phương trình đong hóa dã... ——————— BÙI HUY BÁCH BÀI TỐN ĐONG HĨA Dữ LI U ĐOI V I M T SO PHƯƠNG TRÌNH TIEN HĨA TRONG CƠ HOC CHAT LONG Chuyên ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã so: 46 01 03 LU N ÁN TIEN SĨ TOÁN HOC NGƯ I... nảa nhóm S(t) µ tham so giãn Ih toán tả n i suy M ĐAU Lí chon đe tài Vi¾c nghiên cáu nhãng lớp phương trình tien hóa hoc chat lỏng có ý nghĩa quan trong khoa hoc cơng ngh¾ Chính v¾y thu hút quan