Dáng điệu nghiệm của một số αmô hình ngẫu nhiên trong cơ học chất lỏng.Dáng điệu nghiệm của một số αmô hình ngẫu nhiên trong cơ học chất lỏng.Dáng điệu nghiệm của một số αmô hình ngẫu nhiên trong cơ học chất lỏng.Dáng điệu nghiệm của một số αmô hình ngẫu nhiên trong cơ học chất lỏng.Dáng điệu nghiệm của một số αmô hình ngẫu nhiên trong cơ học chất lỏng.Dáng điệu nghiệm của một số αmô hình ngẫu nhiên trong cơ học chất lỏng.Dáng điệu nghiệm của một số αmô hình ngẫu nhiên trong cơ học chất lỏng.Dáng điệu nghiệm của một số αmô hình ngẫu nhiên trong cơ học chất lỏng.Dáng điệu nghiệm của một số αmô hình ngẫu nhiên trong cơ học chất lỏng.Dáng điệu nghiệm của một số αmô hình ngẫu nhiên trong cơ học chất lỏng.Dáng điệu nghiệm của một số αmô hình ngẫu nhiên trong cơ học chất lỏng.Dáng điệu nghiệm của một số αmô hình ngẫu nhiên trong cơ học chất lỏng.Dáng điệu nghiệm của một số αmô hình ngẫu nhiên trong cơ học chất lỏng.Dáng điệu nghiệm của một số αmô hình ngẫu nhiên trong cơ học chất lỏng.Dáng điệu nghiệm của một số αmô hình ngẫu nhiên trong cơ học chất lỏng.Dáng điệu nghiệm của một số αmô hình ngẫu nhiên trong cơ học chất lỏng.Dáng điệu nghiệm của một số αmô hình ngẫu nhiên trong cơ học chất lỏng.Dáng điệu nghiệm của một số αmô hình ngẫu nhiên trong cơ học chất lỏng.Dáng điệu nghiệm của một số αmô hình ngẫu nhiên trong cơ học chất lỏng.Dáng điệu nghiệm của một số αmô hình ngẫu nhiên trong cơ học chất lỏng.Dáng điệu nghiệm của một số αmô hình ngẫu nhiên trong cơ học chất lỏng.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRẦN QUỐC TUẤN DÁNG ĐIỆU NGHIỆM CỦA MỘT SỐ α-MƠ HÌNH NGẪU NHIÊN TRONG CƠ HỌC CHẤT LỎNG Chun ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã số: 46 01 03 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2023 Luận án hoàn thành Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Hướng dẫn khoa học: GS.TS Cung Thế Anh Phản biện 1: GS.TSKH Nguyễn Minh Trí Viện Tốn Học Phản biện 2: PGS TS Lê Văn Hiện Trường ĐHSP Hà Nội Phản biện 3: PGS TS Dương Anh Tuấn Đại học Bách Khoa Hà Nội Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Trường họp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội vào hồi ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận án Thư viện Quốc gia, Hà Nội, Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội MỞ ĐẦU Lịch sử vấn đề lí chọn đề tài Phần lớn trình thực tế biểu diễn dạng phương trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên (SPDEs) Bởi ý nghĩa khoa học thực tế nên nhà khoa học nghiên cứu với hướng sau: • Nghiên cứu tính đặt đúng; • Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm; • Nghiên cứu tốc độ hội tụ nghiệm; • Nghiên cứu vấn đề giải số nghiệm: đề xuất thuật toán chứng minh hội tụ, đánh giá sai số Trong năm gần đây, vấn đề hướng nghiên cứu thời lí thuyết SPDEs Lớp hệ phương trình đạo hàm riêng Navier-Stokes có vai trị đặc biệt quan trọng Mặc dù có nhiều nỗ lực nhiều nhà toán học lớn kết đạt khiêm tốn, đặc biệt trường hợp ba chiều (trường hợp có ý nghĩa thực tiễn nhất) Nói riêng, tính đặt tồn cục vấn đề mở lớn trường hợp ba chiều Ngồi ra, hệ số nhớt nhỏ việc tính toán số trực tiếp nghiệm hệ Navier-Stokes ba chiều vấn đề không khả thi với thuật tốn máy tính tốt Chính lí trên, khoảng hai thập kỉ gần đây, nhà toán học đề xuất hệ chỉnh hóa hệ Navier-Stokes để phục vụ cho mục đích tính tốn số để thu tính đặt tồn cục Một lớp hệ chỉnh hóa quan trọng thường sử dụng α-mơ hình học chất lỏng, bao gồm hệ Navier-Stokes-α, hệ Leray-α, hệ Leray-α cải biên hệ Bardina đơn giản hóa, hệ NavierStokes-Voigt (N-S-V), hệ chất lưu loại hai Sau ta tập trung giới thiệu hệ Leray-α ngẫu nhiên hệ N-S-V ngẫu nhiên • Hệ phương trình Leray-α tất định giới thiệu nghiên cứu tác giả A.A Cheskidov cộng Một số tốn khác liên quan đến mơ hình Leray-α tính quy, xấp xỉ số, độ hội tụ dáng điệu tiệm cận nghiệm nhiều nhà toán học: H Ali, V.V Chepyzhov, E.S Titi, G Deugoué, A.A Dunca, nghiên cứu Trong năm qua, độ lệch lớn, tồn hội tụ nghiệm mơ hình ngẫu nhiên Leray-α nhà toán học H Bessaih, I Chueshov, A Millet, S Li, nghiên cứu rộng rãi Các nhà toán học V Barbu C Lefter nghiên cứu có kết khác liên quan đến việc ổn định nghiệm PDEs nhiễu điều khiển phản hồi Tuy nhiên kết dáng điệu nghiệm hệ Leray-α ba chiều ngẫu nhiên: tồn nghiệm dừng, coi nghiệm dừng nghiệm hệ ngẫu nhiên nghiên cứu hội tụ nghiệm ngẫu nhiên tới nghiệm dừng thời gian đủ lớn, nghiệm dừng không ổn định tìm điều kiện nhiễu thiết kế điều khiển phản hồi để ổn định nghiệm chưa nghiên cứu đầy đủ • Bài tốn đồng hóa liệu liên tục Leray-α ba chiều ngẫu nhiên Đồng hóa liệu phương pháp luận để nghiên cứu dự báo xu hướng tượng tự nhiên, chẳng hạn thời tiết, mơ hình đại dương khoa học mơi trường Ý tưởng đồng hóa liệu kết hợp liệu quan sát với nguyên tắc động liên quan đến mơ hình tốn học Phương pháp đồng hóa liệu cổ điển "chèn" liệu quan sát trực tiếp vào mô hình mơ hình tích hợp kịp thời, nhà toán học tiêu biểu cho hướng nghiên cứu : R Daley P Korn Tuy nhiên, thuật tốn bộc lộ số khó khăn phép đo thu thập từ tập hợp điểm nút rời rạc, khơng thể tính tốn xác giá trị đạo hàm khơng gian có mơ hình Năm 2014, nhà tốn học A Azouani cộng giới thiệu cách tiếp cận cho vấn đề đồng hóa liệu, thuật tốn điều khiển phản hồi áp dụng cho đồng hóa liệu phương pháp khắc phục nhược điểm phương pháp cổ điển Trong thuật tốn này, thay "chèn" trực tiếp phép đo vào mơ hình, tham số co dãn (nudging) phép đo quan sát sử dụng để thiết lập mơ hình mà nghiệm gần hội tụ tới nghiệm chưa biết mơ hình ban đầu Cách tiếp cận phát triển sau để đồng hóa liệu nhiều phương trình quan trọng học chất lỏng, cơng trình A.F Albanez (2016); A Farhat (2019) cộng ; Y Pei (2019) Năm 2015, thuật tốn đồng hóa liệu tương tự cho liệu có nhiễu ngẫu nhiên giới thiệu H Bessaih cộng sự, tốn phương trình Navier-Stokes hai chiều nghiên cứu Gần đây, tốn đồng hóa liệu liên tục cho mơ hình Leray-α ba chiều A Farhat cộng nghiên cứu vào năm 2019, việc đồng hóa liệu rời rạc cho mơ hình nghiên cứu gần C.T Anh B.H Bach (2018) Có thể nhận thấy hai cơng trình này, liệu quan trắc khơng có sai số đo lường Tuy nhiên, chưa có kết thức tốn đồng hóa liệu liên tục hệ Leray-α ba chiều có nhiễu ngẫu nhiên • Hệ phương trình N-S-V Oskolkov đưa mơ hình chuyển động số chất lỏng nhớt đàn hồi tuyến tính Hệ phương trình đề xuất Y Cao, Lunasin Titi (2006) hệ phương trình chỉnh sai phương trình Navier-Stokes ba chiều với giá trị nhỏ α, để phục vụ cho việc mô số trực tiếp Khó khăn gặp phải nghiên cứu hệ trên, trước hết xuất số hạng −α2 ∆u t làm tính chất parabolic (giống tính chất hệ Navier-Stokes ban đầu) hệ phương trình áp dụng cơng thức Itơ khó khăn Mơ hình mơ tả tốt thực tế số thuật ngữ chứa độ trễ xuất phương trình Những chậm trễ xuất hiện, chẳng hạn, người ta muốn kiểm sốt hệ thống (theo nghĩa đó) cách tác động lực có tính đến khơng trạng thái mà lịch sử nó, lịch sử thời gian hữu hạn (độ trễ giới hạn) tồn q khứ (khơng giới hạn độ trễ vơ hạn) Hệ phương trình N-S-V với trễ hữu hạn, vơ hạn có nhớ nghiên cứu gần bởi: C.T Anh D.T.P Thanh (2018); T Caraballo, A.M Márquez-Durá (2020); V.M Toi (2021) Các nhà toán học C.T Anh D.T.P Thanh (2018) nghiên cứu tồn ổn định nghiệm dừng trường hợp ngẫu nhiên khơng có trễ Tuy nhiên, theo chúng tơi biết, trường hợp trễ vô hạn chưa nghiên cứu hệ phương trình N-S-V ba chiều ngẫu nhiên có trễ Với phân tích trên, chúng tơi chọn vấn đề Dáng điệu nghiệm số α-mơ hình ngẫu nhiên học chất lỏng làm nội dung nghiên cứu luận án Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu tồn tại, dáng điệu tiệm cận tốn đồng hóa liệu số α-mơ hình ngẫu nhiên học chất lỏng phương pháp Giải tích hàm Giải tích ngẫu nhiên Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu tồn tại, dáng điệu tiệm cận tốn đồng hóa liệu số α-mơ hình ngẫu nhiên học chất lỏng • Phạm vi nghiên cứu: Nội dung 1: Nghiên cứu toán ổn định nghiệm hệ Leray-α ba chiều ngẫu nhiên Nội dung 2: Nghiên cứu tốn ổn định nghiệm hệ phương trình NavierStokes-Voigt ba chiều ngẫu nhiên có trễ vơ hạn Nội dung 3: Nghiên cứu tốn đồng hóa liệu liên tục Leray-α ba chiều với liệu có nhiễu ngẫu nhiên Phương pháp nghiên cứu Các phương pháp nghiên cứu sử dụng luận án sau: • Nghiên cứu tồn nghiệm: Phương pháp xấp xỉ Galerkin, phương pháp compact công cụ Giải tích ngẫu nhiên • Nghiên cứu tốn đồng hóa liệu ngẫu nhiên tốn ổn định hóa: Kết hợp ý tưởng kĩ thuật Giải tích ngẫu nhiên Lí thuyết hệ động lực vơ hạn chiều Lí thuyết điều khiển tốn học Cấu trúc luận án Ngồi phần Mở đầu, Kết luận, Kiến nghị, Danh mục cơng trình cơng bố Danh mục tài liệu tham khảo, luận án gồm chương: • Chương Kiến thức chuẩn bị • Chương Dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ Leray-α ba chiều ngẫu nhiên • Chương Dáng điệu nghiệm Navier-Stokes-Voigt ba chiều ngẫu nhiên có trễ vơ hạn • Chương Đồng hóa liệu liên tục hệ Leray-α ba chiều với liệu có nhiễu ngẫu nhiên Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, ta nhắc lại không gian hàm cần dùng để nghiên cứu phương trình luận án Ta trình bày số khái niệm kết Giải tích ngẫu nhiên không gian Hilbert số kết bổ trợ 1.1 Các không gian hàm 1.1.1 Không gian hàm phụ thuộc thời gian 1.1.2 Không gian hàm tốn tử cho miền mở 1.1.3 Khơng gian hàm tốn tử với điều kiện biên tuần hồn 1.2 Một số kết Giải tích ngẫu nhiên khơng gian Hilbert 1.2.1 Một số khái niệm 1.2.2 Khơng gian hàm q trình ngẫu nhiên 1.2.3 Tích phân ngẫu nhiên khơng gian Hilbert 1.2.4 Cơng thức Itô 1.3 Các bổ đề thường dùng Chương DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA HỆ LERAY-α BA CHIỀU NGẪU NHIÊN Trong chương này, ta nghiên cứu hệ Leray-α ba chiều ngẫu nhiên với điều kiện biên Dirichlet miền bị chặn nhiễu ngẫu nhiên nhân tính Ta tính đặt tốn tồn nghiệm dừng Sau đó, ta nghiên cứu tính ổn định bình phương trung bình theo tốc độ mũ hầu chắn theo tốc độ mũ nghiệm dừng Nếu nghiệm dừng không ổn định, ta ổn định hóa nghiệm dừng nhiễu nhân tính Itơ điều khiển phản hồi có giá miền Nội dung chương viết dựa theo báo [CT1] Danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án 2.1 Đặt toán Xét O ⊂ R3 miền bị chặn với biên trơn ∂ O Xét hệ phương trình Leray-α ba chiều ngẫu nhiên có dạng d v + [−ν∆v + (u · ∇)v + ∇p]d t = f (x)d t + h(v)dW (t), ∇ · u = 0, v = (I − α2 ∆)u, u(x, t) = 0, v(x, t) = 0, u(x, 0) = u0 (x), x ∈ O , t > 0, x ∈ O , t > 0, (2.1) x ∈ ∂ O , t > 0, x ∈ O, u = (u1 , u2 , u3 ), p = p(x, t) tương ứng vectơ vận tốc hàm áp suất cần tìm, ν > hệ số nhớt α > tham số đặc trưng cho tính đàn hồi chất lỏng, f (x) ngoại lực, u0 vận tốc ban đầu, h(v)W (t) nhiễu ngẫu nhiên W (t) trình Wiener Ta viết lại hệ (2.1) dạng phương trình tốn tử sau d v + [νAv + B(u, v)]d t = f (x)d t + h(v)dW (t), x ∈ O , t > 0, v = (I + α2 A)u, x ∈ O , t > 0, u(x, t) = 0, v(x, t) = 0, x ∈ ∂ O , t > 0, u(x, 0) = u0 (x), x ∈ O (2.2) Giả thiết 2.1 (1) v0 := (I + α2 A)u0 phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị H, F0 -đo thỏa mãn E|v0 |4 < ∞; (2) f ∈ H; (3) h : H → L2 (K0 , H) ánh xạ đo tồn số dương γ0 cho kh(w1 ) − h(w2 )k2L (K0 ,H) ≤ γ0 |w1 − w2 |2 , ∀w1 , w2 ∈ H (2.3) Định nghĩa 2.1 Nghiệm yếu hệ phương trình (2.2) khoảng (0, T ) trình ngẫu nhiên u = u(x, t, ω) cho u đo theo tiến trình; v := (I + α2 A)u thuộc không gian C([0, T ]; H) ∩ L (0, T ; V ) hầu chắn; Với t ∈ [0, T ], với hàm thử φ ∈ V P-hầu chắn Z t Z t (v(t), φ) + ν ((v(s), φ))ds + B(u(s), v(s)), φ ds = (v0 , φ) + Z t ( f , φ)ds + Z t φ, h(v(s))dW (s) , (2.4) Định lí 2.1 Giả sử Giả thiết 2.1 thỏa mãn Khi đó, tồn nghiệm yếu hệ phương trình (2.2) khoảng (0, T ) 2.2 Sự tồn tính ổn định nghiệm dừng hệ Leray-α ba chiều tất định Hệ Leray-α ba chiều tất định: ∂ t v + νAv + B(u, v) = f V 0, (2.5) v = (I + α2 A)u = Nα−1 u Nα = (I + α2 A)−1 Định nghĩa 2.2 Giả sử f ∈ H Nghiệm dừng (2.5) hàm u∗ ∈ V cho ν Av ∗ , φ + b(u∗ , v ∗ , φ) = ( f , φ) ∀φ ∈ V, v ∗ = (I + α2 A)u∗ (2.6) where γ0 is the positive constant in (2.2), then any solution u(t) to stochastic model (2.1) converges to the stationary solution u∗ exponentially in the mean square That is, there exist a real number a > and T (a) > such that E|v(t) − v ∗ |2 ≤ E|v(0) − v ∗ |2 e−at , ∀t ≥ T (a) 2.2.3 Pathwise exponential stability Theorem 2.3 Under Assumption 2.1.1, if h(v ∗ ) = and condition (2.7) hold, then any solution u(t) to stochastic model (2.1) converges to the stationary solution u∗ almost surely exponentially 2.3 Stabilization of the stationary solution 2.3.1 Stabilization by a multiplicative Ito noise There exists a constant ρ > such that ∞ X (h(v)ek0 , v(t) − v ∗ )2 ≥ ρ|v(t) − v ∗ |4 , ∀v ∈ V a.s (2.8) k=1 Theorem 2.4 Let Assumption 2.1.1 and (2.8) be satisfied If condition (2.6) and the following inequality 2ν − 2µ2 ν λ1 + 2ρ > γ0 hold, then the stationary solution u∗ is almost sure exponentially stable That is, lim sup t→∞ t log |v(t) − v ∗ |2 < a.s 2.3.2 Stabilization by an internal feedback control We consider the following controlled stochastic Leray-α model d v + [−ν∆v + (u · ∇)v + ∇p − f ]d t = 1O0 X d t + h(v)dW (t), ∇ · u = 0, v = (I − α2 ∆)u, x ∈ O , t > 0, u(x, t) = = v(x, t), u(x, 0) = u0 (x), x ∈ ∂ O , t > 0, x ∈ O , t > 0, x ∈ O, (2.9) where O0 is an open subdomain of O with smooth boundary, 1O0 is the characteristic function of O0 and X = X (x, t) is an adapted controller with respect to natural filtration F t In the first equation in (2.9), consider the feedback controller of the form X = −η(v − v ∗ ), η > 0, and we get the following closed loop system d v + [νAv + B(u, v) + f ]d t + ηP(1O0 (v − v ∗ ))d t = P(h(v)dW (t)) (2.10) Lemma 2.1 For each " > given, there exists an η0 = η0 (") such that for all η ≥ η0 , (νAy + ηP(1O0 ) y, y) ≥ (νλ∗1 (O1 ) − ")| y|2 , ∀ y ∈ V Theorem 2.5 If ν> µ2 ν γ0 , ∗ λ1 (O1 ) + (2.11) then for each v0 ∈ H and η ≥ η0 large enough but independent of v0 , the corresponding solution u to the closed loop system (2.10) with initial condition u(0) = u0 satisfies Z∞ eγt E|v(t) − v ∗ |2 + eγs E|v(t) − v ∗ |2 ds ≤ CE|v0 − v ∗ |2 , (2.12) and lim eγt (|v(t) − v ∗ |2 ) = P − a.s, (2.13) t→∞ for some γ > and C > In particular, system (2.10) is exponentially stabilizable from O0 Remark 2.1 The condition (2.11) is equivalent to λ∗1 (O1 ) > −2 ity, we have λ∗1 (O1 ) ≥ C sup dist(x, ∂ O ) x∈O1 γ0 ν− µ2 ν By the Poincaré inequal- Hence λ∗1 (O1 ) can be made arbitrarily large by making the domain O1 = O \O0 is thin enough Therefore, Theorem 2.5 says that the stochastic perturbation destabilizing effect in systems (2.9) can be compensated by a linear stabilizing feedback controller with support large enough 10 Chapter STABILITY ANALYSIS OF STOCHASTIC 3D NAVIER-STOKES-VOIGT EQUATIONS WITH INFINITE DELAY In this chapter, the asymptotic behavior of stochastic three-dimensional Navier-StokesVoigt equations with infinite delay and nonlinear hereditary noise is analysed The existence and uniqueness of stationary solutions to the corresponding deterministic equation will be proved Then we focus on the stability properties of stationary solutions We first discuss the local stability of stationary solutions for general delay terms by using a direct method and then apply the abstract results to two kinds of infinite delay Then, the exponential stability of stationary solutions is also established in the case of unbounded distributed delay Moreover, we investigate the polynomial asymptotic stability of stationary solutions in the case of proportional delay Eventually, the almost sure exponential/polynomial stability of the stationary solutions is investigated The contents of this chapter is written based on the paper [CT2] in the section of author’s works related to the thesis that has been published 3.1 Problem setting Let O ⊂ R3 be a bounded open set with sufficiently regular boundary ∂ O We consider the following stochastic 3D Navier-Stokes-Voigt equations d(u − α2 ∆u) + −ν∆u + (u · ∇)u + ∇p d t = f + g (t, u ) d t + g2 (t, u t )dW, t ∇ · u = 0, u=0 u(s, x) = φ(s, x) in (0, ∞) × O , in (0, ∞) × O , (3.1) on (0, ∞) × ∂ O , s ∈ (−∞, 0] , x ∈ O , where u = u(t, x) is the unknown velocity vector, u t is the function defined by the relation u t (s) = u(t + s), s ∈ (−∞, 0], p is the unknown pressure, ν > is the kinematic viscosity coefficient, α is a length scale parameter characterizing the elasticity of the fluid, u0 is the initial velocity, f is a given force field, the terms g1 , g2 contain some hereditary characteristics, such as memory, unbounded variable or infinite distributed delay, etc, φ is an initial 11 velocity field defined in (−∞, 0], and {W (t) : t ≥ 0} is a cylindrical Wiener process with value in suitable space Recall the phase space Đ ê C (V ) = ϕ ∈ C((−∞, 0]; V ) : lim eγs ϕ(s) exists in V , where γ > 0, s→−∞ which is a Banach space with the norms kϕkCγ (V ) = sup eγs kϕ(s)k s∈(−∞,0] We have some assumptions on the non-delay external force and delay terms respectively (F) f ∈ V ; φ ∈ Cγ (V ) (G) Let g1 : R × Cγ (V ) → V and g2 : R × Cγ (V ) → L (K0 , H) satisfy the following conditions: (G1) For any η ∈ Cγ (V ), g i (·, η) are measurable, i = 1, (G2) There exists L g1 > such that for all t ∈ R and η, ξ ∈ Cγ (V ), kg1 (t, η) − g1 (t, ξ)kV ≤ L g1 kη − ξkCγ (V ) (G3) There exists L g2 > such that for all t ∈ R and η, ξ ∈ Cγ (V ), kg2 (t, η) − g2 (t, ξ)k L (K0 ,H) ≤ L g2 kη − ξkCγ (V ) For example, if g i (i = 1, 2) are driven by unbounded variable delay, defined by g i (t, ζ) = Gi (ζ(−h(t))), i = 1, 2, where G1 : V → V , G2 : V → L (K0 , H), are Lipschitz continuous, that is kG1 (η) − G1 (ξ)kV ≤ L G1 kη − ξk, (3.2) kG2 (η) − G2 (ξ)k L (K0 ,H) ≤ L G2 kη − ξk (3.3) where h ∈ C ([0, ∞)), h(t) ≥ and sup t≥0 h0 (t) < In this case, the delay terms in our problem become g i (t, u t ) = Gi (u(t − h(t))) If h(t) = (1 − q)t, < q < then g i , (i = 1, 2) are driven proportional delay 12 Another example, the delay terms g i (i = 1, 2) are defined by Z0 g i (t, ζ) = Ti (s, ζ(s))ds, (3.4) −∞ where T1 : (−∞, 0] × V → V and T2 : (−∞, 0] × V → L (K0 , H) are measurable and they are Lipschitz continuous with respect to their second variable, that is, there exists L Ti ∈ L (−∞, 0) (i = 1, 2) with L Ti (·)e−(γ+ρ)· ∈ L (−∞, 0), for certain ρ > 0, such that for all s ∈ (−∞, 0], η, ξ ∈ V, kT1 (s, η) − T1 (s, ξ)kV ≤ L T1 (s)kη − ξk, (3.5) kT2 (s, η) − T2 (s, ξ)k L (K0 ,H) ≤ L T2 (s)kη − ξk (3.6) We rewrite (3.1) in the following abstract equations: d[u(t) + α Au(t)] + [νAu(t) + B(u, u)] d t = f + g (t, u ) dt t +g2 (t, u t )dW, ∀t > 0, u(s) = φ(s), s ∈ (−∞, 0] (3.7) We now have the following definition of weak solutions to (3.7) Definition 3.1 A process u defined on R is called a solution to system (3.7) if u ∈ L (Ω, F , P, C([τ, T ]; V )), ∀T > τ, u(s) = φ(s), ∀s ≤ and P−almost surely Z t (u(t), w) + α ((u(t), w)) + 〈Au(s), w〉 ds + = (φ(0), w) + α ((φ(τ), w)) + Z t 〈B(u(s), u(s)), w〉 ds Z t f + g1 (s, us ), w ds + Z t (g2 (s, us )dW (s), w), for all t ≥ and w ∈ V The deterministic equations of (3.7), i.e, the equations d dt (u + α2 Au) + νAu + B(u, u) = f + g1 (t, u t ) (3.8) Definition 3.2 A function u∞ ∈ V is called a weak stationary solution to (3.8) if νAu∞ + B(u∞ , u∞ ) = f + g1 (t, u∞ ) ∀t ≥ 0, or equivalent to ν Au∞ , ϕ + B(u∞ , u∞ ), ϕ = f , ϕ + g1 (t, u∞ ), ϕ 13 ∀ϕ ∈ V, ∀t ≥ (3.9) From now on, g2 is always assumed that g2 (t, u∞ ) = Theorem 3.1 Let f ∈ V Under above assumptions of g i and if ν > L g1 then, equation (3.9) has at least one solution u∞ satisfying ku∞ k ≤ k f k∗ ν − L g1 (3.10) 2 Moreover, if the following condition holds ν − L g1 > c0 λ− k f k∗ , then u∞ is unique 3.2 Local stability of stationary solution Theorem 3.2 Suppose that the same hypotheses and notations in Theorem 3.1 hold In addition, assume that there exists C g i > (i = 1, 2) such that, for all t ≥ 0, it holds Z t kg1 (s, us ) − g1 (s, vs )k2V ds Z ≤ C g21 t kg2 (s, us ) − g2 (s, vs )k2L (K and ,H) ds ≤ C g22 Z t −∞ Z t ku(s) − v(s)k2 ds, (3.11) ku(s) − v(s)k2 ds, (3.12) −∞ −1 2ν ≥ 2c0 λ1 k f k∗ ν − L g1 + 2C g1 + C g22 (3.13) If u(t) is any solution of (3.7) and u∞ is the unique solution of (3.8), then E |u(t) − u∞ |2 + α2 ku(t) − u∞ k2 ≤ E |φ(0) − u∞ |2 + α2 ku − u∞ k2 + C g1 + C g22 Z Ekφ(s) − u∞ k2 ds (3.14) −∞ Corollary 3.1 Assume that the same hypotheses and notations in Theorem 3.1 and 3.2 hold Let the delay terms g i (t, u t ) = Gi (u(t − h(t))) (i = 1, 2) satisfy (3.2)-(3.3) We assume that −1 2ν ≥ 2c0 λ1 k f k∗ ν − L g1 L G2 2L G1 +p + − h∗ − h∗ (3.15) If u(t) is any solution of (3.7) and u∞ is the unique solution of (3.8) then we have E |u(t) − u∞ |2 + α2 ku(t) − u∞ k2 ≤ E |φ(0) − u∞ |2 + α2 kφ(0) − u∞ k2 !Z L G2 L G1 + p + Ekφ(s) − u∞ k2 ds − h∗ − h∗ −∞ (3.16) 14 Corollary 3.2 Assume that the same hypotheses and notations in Theorem 3.1 and 3.2 hold R0 Let the delay terms g i (t, u t ) = −∞ Ti (s, u(s + t))ds (i = 1, 2) satisfy (3.4)-(3.6) Assuming that −1 2ν ≥ 2c0 λ1 k f k∗ + 2kL T1 k L (−∞,0) + kL T2 k2L (−∞,0) ν − L g1 (3.17) Then if u(t) is any solution of (3.7) and u∞ is the unique solution of (3.8) then we have E |u(t) − u∞ |2 + α2 ku(t) − u∞ k2 ≤ E |φ(0) − u∞ |2 + α2 kφ(0) − u∞ k2 Z + kL T1 k L (−∞,0) + kL T2 k2L (−∞,0) Ekφ(s) − u∞ k2 ds −∞ (3.18) 3.3 Exponential convergence of stationary solution for a case of infinite distributed delay 3.3.1 Exponential convergence of stationary solution Theorem 3.3 Assume that the same hypotheses and notations in Theorem 3.1 and Theorem R0 3.2 hold Let the delay terms g i (t, u t ) = −∞ Ti (s, u(t + s))ds, i = 1, satisfy (3.5)-(3.6), and moreover, the exists a constant < ρ < 2γ such that −1 2ν ≥ 2c0 λ1 k f k∗ + 2(2ρ)− kL T1 (·)e−(γ+ρ)· k L (−∞,0) ν − L g1 ρ + + kL T2 (·)e−(γ+ρ)· k2L (−∞,0) d0 2ρ (3.19) If u(·) is any solutions of (3.7) and u∞ is the unique solution of (3.8) then E |u(t) − u∞ |2 + α2 ku(t) − u∞ k2 ≤ e−ρt CEkφ − u∞ k2C γ (V ) ≤ e−ρt max{1, C}Ekφ − u∞ k2C γ (V ) Eku t − u∞ k2C γ (V ) , (3.20) , (3.21) with C= + α2 λ1 λ1 + 2ρ(2γ − ρ) (2ρ) kL T1 (·)e−(γ+ρ)· k L (−∞,0) + kL T2 (·)e−(γ+ρ)· k2L (−∞,0) 15 3.3.2 Almost sure stability Theorem 3.4 Assume that the same hypotheses and notations in Theorem 3.1 and Theorem 3.3 hold Then any solution u(t) to (3.1) converges to the stationary solution u∞ in V , almost surely at an exponential rate 3.4 Polynomial asymptotic stability for a case of proportional delay 3.4.1 Exponential convergence of stationary solution Theorem 3.5 Assume that the same hypotheses and notations in Theorem 3.1 and Theorem 3.2 hold Let the delay terms g i (t, u t ) = Gi (u(qt), (0 < q < 1) i = 1, 2, where Gi satisfy (3.2)-(3.3) Assume that −1 2ν > L G1 + 2c0 λ1 k f k∗ ν − L g1 + d0 L G1 + L G2 (3.22) Then any solution u(t) to (3.1), we have E |u(t) − u∞ |2 + α2 ku(t) − u∞ k2 ≤ CE |u0 − u∞ |2 + α2 ku0 − u∞ k2 (1 + t)µ , d0−1 − where µ is given by µ = logq −1 2c0 λ1 k f k∗ ν − L g1 (3.23) − L G1 + 2ν < L G1 + L G2 3.4.2 Almost sure stability Theorem 3.6 Assume that the same hypotheses and notations in Theorem 3.1 and Theorem 3.5 hold In addition, we assume that −1 2ν > L G1 + 2c0 λ1 k f k∗ ν − L g1 + d0 q L G1 + L G2 (3.24) Then any solution u(t) to (3.7) converges to the stationary solution u∞ in V , almost surely at a polynomial rate 16 Chapter CONTINUOUS DATA ASSIMILATION FOR THE THREE-DIMENSIONAL LERAY-α MODEL WITH STOCHASTICALLY NOISY DATA In this chaper we study a nudging continuous data assimilation algorithm for the threedimensional Leray-α model, where measurement errors are represented by stochastic noise First, we show that the stochastic data assimilation equations are well-posed Then we provide explicit conditions on the observation density (resolution) and the relaxation (nudging) parameter which guarantee explicit asymptotic bounds, as the time tends to infinity, on the error between the approximate solution and the actual solution which is corresponding to these measurements, in terms of the variance of the noise in the measurements The contents of this chapter is written based on the paper [CT3] in the section of author’s works related to the thesis that has been published 4.1 Problem setting In this chapter we study the continuous data assimilation algorithm with stochastically noisy data for the following three-dimensional Leray-α model ∂v − ν∆v + (u · ∇)v + ∇p = f, ∂t ∇ · u = ∇ · v = 0, (4.1) where v = u−α2 ∆u, and u = u(x, t) is the unknown velocity vector field, p(x, t) is the scalar unknown pressure field, ν > is the kinematic viscosity, and α > is a scale parameter with dimension of length We assume periodic boundary conditions with the fundamental domain D = [0, L]3 and take the initial condition v(x, 0) = v0 (x) and the body forcing f = f (x) to be an L-periodic function with zero spatial average Assume that v(t) is a solution lying on the global attractor of the 3D Leray-α model (3.1) Denote by Oh(v(t)), for t ≥ 0, the exact observational measurements without error of the exact solution v at time t We assume Oh : V → R D to be a linear operator, where V is the function space defined in Section below, D is of the order (L/h)3 , L is a typical large 17 length scale of the physical domain of interest, h is the observation density or resolution, and denote by Rh(v(t)) the interpolation of the observational data, i.e., Rh(v(t)) = Lh ◦ O (v(t)), where Lh : R D → V is a bounded linear operator Here we assume the interpolant operator Rh satisfies the approximating identity property kw − Rh(w)k2L ≤ c1 h2 k∇wk2L , for all w ∈ V (4.2) Suppose the exact measurements Oh(v(t)) are subjected to some random errors Therefore, ˜h(v(t)) given the only observations available for data assimilation are noisy observations O by O˜h(v(t)) = Oh(v(t)) + E (t), (4.3) where E : [0, +∞) → R D represents the measurement error, for example, due to instrumental errors This implies that the measurements of v(t) contain random errors and are given by ˜ h(v(t)) = Lh(O˜(v(t))) = Lh(Oh(v(t))) + Lh(E (t)) = Rh(v(t)) + ξ(t) R (4.4) ˜h(v(t)) is given the algorithm for constructing z(t) from the observational measurements O by the following stochastic evolution equation dz + [−ν∆z + (w · ∇)z + ∇p]d t = f d t − µ[Rh(z) − Rh(v)]d t + µξd t, (4.5) ∇ · z = 0, where z = w − α2 ∆w and with arbitrary initial condition z(0) = z0 Applying the LerayHelmholtz orthogonal projector Π to the Leray-α model (4.1) to obtain the functional evolution equation dv dt v(0) = v0 + νAv + B(u, v) = f , (4.6) where v = u + α2 Au, f ∈ H, and v0 ∈ H Similarly, the stochastic data assimilation equation (4.5) becomes dz + [νAz + B(w, z)]d t = [ f − µΠRh(z − v)]d t + µdW, where z = w + α2 Aw and dW (t) = Πξ(t)d t is the noise term 18 (4.7) 4.1.1 The deterministic Leray-α model Let f ∈ H, we denote the Grashof number in three dimensions by Gr = |f | 3/4 ν λ1 Theorem 4.1 Let f ∈ H and v0 ∈ H Then for any T > 0, problem (4.6) has a unique weak solution v that satisfies v ∈ C([0, T ]; H) ∩ L (0, T ; V ) and dv dt ∈ L (0, T ; V ) Additionally, the associated semigroup S(t) : H → H has a global attractor A in H And for any v ∈ A , we have |v|2 ≤ M02 := 2ν Gr 1/2 λ1 (4.8) 4.1.2 The noise term The measurement errors may now be described by E (t)d t = (dβ1 (t), dβ2 (t), , dβ D (t)) (4.9) ˙ (D)]3 as Writing the linear operator Lh : R D → [H Lh(ζ)(·) = D X ζd `d (·), ˙ (D)]3 , ζ ∈ R D and `d ∈ [H (4.10) d=1 it follows the noise term in (4.7) is the Wiener process W (t) = D X βd (t)γd , γd = Π`d (4.11) d=1 We now give an example for interpolant observable based on volume elements Suppose the ˙ (D)]3 → R3N are given by observations of volume elements Oh : [H ¯ ϕ Z Z 3n−2 N ¯1 , ϕ ¯2 , , ϕ ¯3N ), where ϕ Φ(x)d x = Φ(x)d x, Oh(Φ) = (ϕ ¯3n−1 = L |Q n | Qn Qn ¯3n ϕ (4.12) for n = 1, , N , where the domain D = [0, L]3 has been divided into N = K disjoint equal L L3 cubes with Q n with edges p and so |Q n | = Define Rh = Lh ◦ Oh, where Lh : R3N → N N [ ˙L (D)]3 with Lh(ζ) is the L-periodic function on D given by ζ 3n−2 N X h3 Lh(ζ)(x) = ζ3n−1 χQ n (x) − L n=1 ζ3n 19 Let 0 χQ n (x) − h /L 3 , ` `3n−2 (x) = 0 3n−1 (x) = χΩn (x) − h /L , `3n (x) = 0 χΩn (x) − h3 /L 3 for n = 1, 2, , N We have the following proposition Proposition 4.1 Let W (t) be the Wiener process in (4.11), where `d as in (??) for d = 1, , 3N Then W is an [ ˙L (D)]3 -valued Q-Brownian motion with covariance operator Q that satisfies Tr(Q) ≤ σ2 L 4.1.3 Well-posedness Definition 4.1 A stochastic process (z(t)) t∈[0,T ] is called a weak solution on (0, T ) of the stochastic problem (4.7) if the following conditions holds: (i) z is progressively measurable; (ii) z = w + α2 Aw belongs to C([0, T ]; H) ∩ L (0, T ; V ) a.s.; (iii) for all t ∈ [0, T ] and P-a.s., Z t (z(t), ϕ) + ν = (z0 , ϕ) + (Az(s), ϕ)ds − Z t Z t 〈B(w(s), z(s)), ϕ〉ds ( f , ϕ)ds − µ Z t (Rh(z(s) − v(s)), ϕ)ds + µ Z t (dW (s), ϕ), for all test functions ϕ ∈ V ˙ (D))3 → ( ˙L (D))3 satisfies (3.7) Theorem 4.2 Suppose that the interpolant operator Rh : (H 23/2 C L2 M0 Then for any z0 ∈ H and T > given, there exists a and that 2µc1 h2 ≤ ν with µ ≥ να3 unique stochastic process solution z ∈ C([0, T ]; V ) of problem (4.7) Moreover, E sup (|z(t)|2 ) < ∞, (4.13) kz(t)k2 d t < ∞ (4.14) 0≤t≤T E ZT 20 4.1.4 The convergence theorem ˙ (D))3 → ( ˙L (D))3 is a linear Theorem 4.3 Assume that v is a solution of (4.6) and Rh : (H interpolant operator satisfying assumption (4.2) Assume that µ is large enough and h is small enough such that h2 ≥ 2c1 µ ν ≥ 23/2 c1 C L2 M02 ν α3 , (4.15) where c1 , C L are respectively given in (3.7) and estimate of b(u, v, w) Then the solution z of the data assimilation equation (4.7) given by Theorem 4.2 satisfies lim sup E |z(t) − v(t)|2 ≤ µTr(Q), (4.16) t→∞ lim sup t→∞ ν t+T Z T E(kz(s) − v(s)k2 )ds ≤ µ T Tr(Q) + µ2 Tr(Q) (4.17) t Corollary 4.1 Suppose that the observational measurements are given by finite volume elements in (4.12) plus a noise term as in (4.9), where each βd is an independent one-dimensional Brownian motion with variance σ2 /3 Interpolate these noisy observations using (4.10) where L 21/2 C M `d are given by (??) Let µ = ναL3 , and choose N = K large enough such that h = ≤ K Ç ν Then the solution z to the data assimilation equation (4.7) satisfies 2c1 µ k1 ν G r σ L , lim sup E |z(t) − v(t)|2 ≤ α3 t→∞ Z t+T 21/2 C L2 ν k1 ν Gr k12 ν Gr L lim sup + σ L , where k = E(kz(s) − v(s)k )ds ≤ π α3 T α6 t→∞ T t Corollary 4.2 Suppose that the observational measurements are given by finite volume elements in (4.12) plus a noise term as in (4.9), where each βd is an independent one-dimensional Brownian motion with variance σ2 /3 Let µ be as in Corollary 4.1 and ε ∈ (0, 1) Then, there exists an interpolant observable based on volume elements with observation density h such that c0 G r L3 where c = 25/2 c1 C L2 L 2π1/2 α3 3/2 ≤ ε h3 ≤ max{ε, 64c Gr } L3 , , and lim sup E(|z(t) − v(t)|2 ) ≤ µσ2 L ε t→∞ 21 (4.18) CONCLUSION AND RECOMMENDATION Results of the thesis In this thesis, we study the existence of solutions, long-time behavior and a nudging continuous data assimilation algorithm for some stochastic α-model in fluid mechanics The results of the thesis include: • Proving the existence and uniqueness of stationary solutions to the corresponding deterministic equation We prove that the mean square and pathwise exponential stability of a stationary solution to the model Then we show that one can stabilize an unstable stationary solution by using a multiplicative Itô noise of sufficient intensity or a linear internal feedback control with support large enough • Proving the existence and uniqueness of stationary solutions to the corresponding deterministic equation We prove that the local stability of stationary solutions for general delay terms by using a direct method and then apply the abstract results to two kinds of infinite delay Proving the exponential stability of stationary solutions in the case of unbounded distributed delay Moreover, we prove the polynomial asymptotic stability of stationary solutions in the case of proportional delay Eventually, the almost sure exponential/polynomial stability of the stationary solutions is investigated • Proving the stochastic data assimilation equations are well-posed Then we provide explicit conditions on the observation density (resolution) and the relaxation (nudging) parameter which guarantee explicit asymptotic bounds, as the time tends to infinity, on the error between the approximate solution and the actual solution Future works • Study the continuous data assimilation for the some models with stochastically noisy data or in the case of type interpolation operators • Study behavior of solutions to some stochastic model 22 AUTHOR’S WORKS RELATED TO THE THESIS THAT HAVE BEEN PUBLISHED [CT1] N V Thanh and T Q Tuan (2022), Asymptotic behavior of solutions to the three-dimensional stochastic Leray-α model, Random Oper Stoch Equ 30 (2022), 137-148 DOI: 10.1515/rose-2022-2077 [CT2] C T Anh, V M Toi and T Q Tuan (2022), Stability analysis of stochastic 3D Navier-Stokes-Voigt equations with infinite delay, submitted [CT3] B K My and T Q Tuan (2023), Continuous data assimilation for the threedimensional Leray-α model with stochastically noisy data, Bull Korean Math Soc 60 (2023), 93-111 DOI: 10.4134/BKMS.b210919 Results of the thesis have been reported at: Seminar of Department of Analysis, Faculty of Mathematics, Hanoi National University of Eduacation;