Phương trình elliptic đa kích thước

„I HÅC € NŽNG TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M  NGặ THANH Vễ PHìèNG TRNH ELLIPTIC A KCH THìẻC LUN VN THC S  Nđng - Nôm 2021 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! 16990033734201000000 „I HÅC  NNG TRìNG I HC Sì PHM  NGặ THANH Vễ PHìèNG TRNH ELLIPTIC A KCH THìẻC Chuyản ngnh: ToĂn GiÊi tẵch M số: 8.46.01.02 LUN VN THC S Ngữới hữợng dăn khoa hồc: TS CH VN TIP  Nđng - N«m 2021 Líi cam oan Tỉi xin cam oan, luên vôn ny l cổng trẳnh nghiản cựu cừa tổi dữợi sỹ hữợng dăn trỹc tiáp cừa thƯy giĂo TS Chû V«n Ti»p Nhúng kh¡i ni»m v  sè li»u luên vôn ữủc tờng hủp tứ cĂc ti liằu khoa hồc Ăng tin cêy, v ữủc ch ró nguỗn gốc trẵch dăn õng gõp cừa tổi l tờng hủp cĂc t i li»u, l m rã c¡c k¸t qu£ v  chi ti¸t hõa cĂc vẵ dử Tổi xin chu trĂch nhiằm vợi nhúng cam oan cõa m¼nh T¡c gi£ Ngỉ Thanh Vơ i INFORMATION PAGE OF MASTER THESIS Name of thesis: DIFFERENTIAL EQUATIONS IN MATHEMATICAL MODELLING Major: Mathematical Analysis Full name of Master student: NGO THANH VU Supervisor: PhD CHU VAN TIEP Training institution: Faculty of Math, The University of Danang, University of Science and Education Abstract * The main results of the thesis: After a while researching the topic: Multidimensional Elliptic Equations, we have achieved the following results: Many important problems in materials science are multi-dimensional problems Finding numerical solutions for these problems by traditional methods such as finite element method, finite difference method, finite volume method, etc often leads to discrete problems with very large sizes and therefore very difficult to solve An alternative approach is to study their homogeneous equations and the relationship between the solution of a multidimensional problem and its homogeneity problem From this, we solve the number of homogeneous equations and get an approximate solution of the multidimensional equation * The scientific and practical significance of the topic: The thesis studies multi-dimensional equations and their homogenous equations have both theoretical and practical significance The topic is valuable in terms of theory and application Thesis can be used as reference for math students and other interested parties * The next research direction of the topic: In the future, I will learn more about using the method of variation in finding solutions of multi-dimensional elliptic equations * Keywords: method of variation, multi-dimensional elliptic Supervisor’s confirmation Student TRANG THÔNG TIN LUẬN VĂN THẠC SĨ Tên đề tài: PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC ĐA KÍCH THƯỚC Ngành: Tốn Giải tích Họ tên học viên: NGÔ THANH VŨ Người hướng dẫn khoa học: TS CHỬ VĂN TIỆP Cơ sở đào tạo: Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng Tóm tắt * Những kết luận văn: Sau thời gian nghiên cứu đề tài: Phương trình Elliptic đa kích thước, đạt kết sau: Nhiều toán quan trọng khoa học vật liệu tốn đa kích thước Việc tìm nghiệm số cho tốn theo phương pháp truyền thống phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp thể tích hữu hạn, … thường dẫn đến tốn rời rạc với kích thước lớn khó để giải Một cách tiếp cận thay thể nghiên cứu phương trình chúng mối quan hệ nghiệm tốn đa kích thước tốn Từ đó, giải số phương trình nhận nghiệm xấp xỉ phương trình đa kích thước * Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài: Luận văn nghiên cứu phương trình đa kích thước phương trình chúng có ý nghĩa lí thuyết thực tiễn Đề tài có giá trị mặt lý thuyết ứng dụng Có thể sử dụng luận văn làm tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành Toán đối tượng quan tâm * Hướng nghiên cứu đề tài: Trong thời gian đến, tơi tìm hiểu sâu sử dụng phương pháp biến phân việc tìm nghiệm phương trình elliptic đa kích thước * Từ khóa: phương pháp biến phân , elliptic đa kích thước Xác nhận giáo viên hướng dẫn Người thực ti Lới cÊm ỡn Lới Ưu tiản cừa luên vôn em xin gỷi lới cÊm ỡn sƠu sưc tợi thƯy giĂo hữợng dăn TS Chỷ Vôn Tiằp  tên tẳnh hữợng dăn em suốt quĂ trẳnh thỹc hiằn  em cõ th hon thnh ữủc luên vôn ny Em cụng xin gỷi lới cÊm ỡn chƠn thnh nhĐt án tĐt cÊ cĂc thƯy cổ giĂo  tên tẳnh dÔy bÊo em suốt thới gian hồc têp cừa khõa hồc ỗng thới cụng xin gỷi lới cÊm ỡn án cĂc anh ch lợp ToĂn GiÊi tẵch K37  nhiằt tẳnh giúp ù tổi quĂ trẳnh hồc têp tÔi lợp TĂc giÊ Ngổ Thanh Vụ ii Mửc lửc Mửc lửc Kián thực chuân b 1.1 Kỵ hi»u v  ki¸n thùc phư trđ 5 1.1.1 Mët sè khæng gian h m 1.1.2 Hëi tö y¸u 1.1.3 nh lỵ Lax-Milgram 1.2 Mët sè kh¡i ni»m cì b£n 12 1.3 PhƠn loÔi phữỡng trẳnh Ôo hm riảng tuyán tẵnh cĐp hai 14 ThuƯn nhĐt hõa phữỡng trẳnh elliptic 2.1 Giợi thiằu phữỡng trẳnh elliptic 17 17 2.1.1 Phữỡng phĂp tĂch bián Fourier 20 2.1.2 Nghiằm cho bi toĂn Dirichlet trản hẳnh trỏn ỡn v 23 2.2 Phữỡng trẳnh elliptic tờng quĂt 2.3 Nghi»m y¸u v  b i toĂn bián phƠn cừa phữỡng trẳnh elliptic 27 2.4 25 2.3.1 °t b i to¡n 28 2.3.2 CĂc dÔng song tuyán tẵnh trản khổng gian Hilbert 29 2.3.3 nh lỵ Lax-Milgram 30 2.3.4 B i to¡n bi¶n Dirichlet 33 Sì lữủc và thuƯn nhĐt hõa phữỡng trẳnh Ôo hm riảng 36 2.4.1 Phữỡng phĂp khai trin tiằm cên 36 2.4.2 Hëi tö "two-scale" 38 2.4.3 Phữỡng trẳnh elliptic hai kẵch thữợc 43 2.5 Bi toĂn elliptic a kẵch thữợc 45 2.5.1 46 Hëi tư a k½ch thữợc Mð ¦u Lỵ chồn à ti Thới Ôi cổng nghiằp hõa, x hởi phĂt trin cổng nghằ 4.0, cĂc loÔi vêt liằu tờng hủp nhữ (gộ cổng nghiằp, sủi quang hồc, sủi carbon, xững nhƠn tÔo.v.v ) õng mởt vai trá quan trång nhi·u ng nh khoa håc kÿ thuªt nhữ cỡ hồc, vêt lỵ, hõa hồc, sinh hồc v.v Trong vêt liằu tờng hủp, nhỳng tẵnh chĐt vêt lỵ khổng liản tửc v dao ởng giỳa cĂc thnh phƯn khĂc cĐu tÔo nản vêt liằu õ Khi cĂc thnh phƯn ny ữủc trởn lăn vợi nhau, cĂc tẵnh chĐt ny dao ởng rĐt nhanh dăn tợi cĂc cĐu trúc vi mổ cừa nõ tr lản rĐt phực tÔp Viằc nghiản cựu tẵnh chĐt cừa nhỳng vêt liằu tờng hủp nảu trản dăn án viằc giÊi cĂc phữỡng trẳnh Ôo hm riảng phử thuởc vo nhiÃu kẵch thữợc khĂc Tuy nhiản viằc giÊi cĂc phữỡng trẳnh Ôo hm riảng loÔi ny rĐt phực tÔp vẳ hằ số cừa chóng dao ëng r§t nhanh Mët nhúng c¡ch º khưc phửc khõ khôn õ l dũng lỵ thuyát thuƯn nhĐt hõa  nghiản cựu cĂc tẵnh chĐt vắ mổ cừa vêt liằu thổng qua cĂc cĐu trúc vi mổ õ Và mt toĂn hồc, lỵ thuyát thuƯn nhĐt hõa nghiản cựu giợi hÔn cừa mởt dÂy cĂc bi toĂn v nghiằm cừa chúng mởt tham số dăn tợi Tham số ny l t số giỳa kẵch thữợc vi mổ cừa cĂc thnh phƯn cĐu tÔo nản vêt liằu v kẵch thữợc vắ mổ cừa ton bở khối vêt liằu Trong cĂc phữỡng trẳnh mổ tÊ cĂc tẵnh chĐt cừa vêt liằu tờng hủp, phữỡng trẳnh elliptic l mởt nhỳng phữỡng trẳnh cỡ bÊn v quan trồng cừa lỵ thuyát cĂc phữỡng trẳnh Ôo hm riảng v vêt lỵ toĂn Phữỡng trẳnh elliptic cõ ựng dửng hƯu hát cĂc lắnh vỹc cừa toĂn hồc tứ giÊi tẵch iÃu hỏa án hẳnh hồc cụng nhữ rĐt nhiÃu ựng dửng vêt lỵ Chẵnh vẳ vêy, khõa luên ny chúng tổi chồn à ti nghiản cựu: Phữỡng trẳnh elliptic a kẵch thữợc  0 u (x) u0 (x) −∇ · (aε (x)∇uε (x)) = f (x) − ∇ · (a0 (x)∇u0 (x)) = f (x) Mửc tiảu v nởi dung nghiản cựu Tẳm hiu và nghiằm cờ in v nghiằm yáu cừa phữỡng trẳnh Laplace v phữỡng trẳnh Poisson Tẳm hiu khĂi niằm hởi tử hai kẵch thữợc, hởi tử a kẵch thữợc Tẳm hiu và sỹ thuƯn nhĐt hõa phữỡng trẳnh elliptic a kẵch thữợc Phữỡng phĂp nghiản cựu Nghiản cựu cĂc ti liằu liản quan án à ti, bao gỗm cĂc ti liằu kinh in v cĂc bi bĂo mợi Tờng hủp v th hiằn tữớng minh cĂc kát quÊ nghiản cựu à ti Trao ời, thÊo luên vợi cĂn bở hữợng dăn,  cÊi tián, thiát lêp cĂc kát quÊ tốt hỡn Nởi dung luên vôn Luên vôn gỗm hai chữỡng: Chữỡng 1, trẳnh by cĂc kián thực cƯn thiát cho cĂc chữỡng sau Chữỡng 2, trẳnh by bi toĂn thuƯn nhĐt hõa phữỡng trẳnh elliptic v mởt số tẵnh chĐt 2.3.2 CĂc dÔng song tuyán tẵnh trản khổng gian Hilbert ành ngh¾a 2.3.2 Cho H l  mët khỉng gian Hilbert thüc A map a : H × H R ữủc gồi l dÔng song tuyán tẵnh trản H náu vợi u H v v H bĐt ký cĂc m sau l tuyán tẵnh a(u, Ã) : v ∈ H − → a(u, v) ∈ R a(·, v) : u ∈ H − → a(u, v) R A song tuyán tẵnh a trản H ữủc cho l (1) ối xựng náu a(u, v) = a(v, u), u, v H, (2) dữỡng náu a(u, u) ≥ 0, ∀u ∈ H , (3) bà r ng buëc n¸u câ C > cho u, v ∈ H |a(u, v)| ≤ C∥u∥H ∥v∥H , (2.25) (4) H -elliptic (hoc cữùng chá trản H ) vợi hơng số náu tỗn tÔi a0 > cho a(u, u) ≥ α0 ∥u∥2H , ∀u ∈ H H biºu mët khỉng gian Hilbert thüc Theo ti¶u chuân H ì H q (2.26) (u, v)HìH = u2H + v2H , u, v H DÔng song tuyán tẵnh trản khổng gian Hilbert cõ thuởc tẵnh rơng giợi hÔn trản H tữỡng ữỡng vợi sỹ liản tửc trản H ì H à xuĐt" Cho a : H ì H R l mởt dÔng song tuyán tẵnh Sau õ a b rng buởc trản H náu v ch a liản tửc trản H ì H Chựng minh GiÊ sỷ a ữủc giợi hÔn trản H Sau â, èi vỵi (u, v), (u0 , z0 ) ∈ H × H , ta câ song tuyán tẵnh v giợi hÔn a cho |a(u, v) − a (u0 , v0 )| → as (u, v) (u0 , v0 ) Nhữ vêy a liản tửc tÔi mội im (u0 , v0 ) H × H Cư thº, a li¶n tưc ð mùc (0, 0) ối vợi > 0, tỗn tÔi > cho (w, z)HìH < , thẳ |a(w, z)| < ε (2.27) â ành mùc H × H °t u, v ∈ H/{0} v  x¡c ành w v  z l  29 w=  δ u , ∥u∥H Theo c§u tróc, w ∥H =∥ z∥H = z= δ v ∥v∥H (2.28) δ < δ, ngö þ δ ∥(w, z)∥H×H = √ < δ Do õ, theo tuyán tẵnh v sỷ dửng bĐt ng thùc tr¶n, ta câ   |a(u, v)| v u = |a(w, z)| ≤ ε = a , ∥u∥H [v∥H ∥u∥H ∥v∥H δ δ2 i·u n y chựng tọ rơng a ữủc giợi hÔn vẳ nõ thọa mÂn vợi C = 2.3.3 (2.29) nh lỵ Lax-Milgram Viằc tẳm nghiằm cừa mởt phữỡng trẳnh Ôo hm riảng vợi mởt số iÃu kiằn biản cõ th ữủc bơng cĂch sỷ dửng cổng thực bián phƠn Xt b i to¡n  T¼m u ∈ H cho a(u, v) = ⟨F, v⟩H ′ ,H , ∀v ∈ H, (2.30) â H l  khæng gian Hilbert, a l  dÔng song tuyán tẵnh trản H, v F H Ơy ữủc gồi l cổng thực bián ời cõa PTHR ban ¦u v  c¡c h m v ∈ H thữớng ữủc gồi l cĂc hm thỷ Dữợi cĂc giÊ thiát phũ hủp cừa a, bi toĂn bián phƠn s cõ nghiằm nhĐt Ơy l bÊn chĐt cừa Lax-Milgram Thenrem nh lỵ 2.3.1 (nh lỵ im bĐt ởng Banach) Cho X l  mët khæng gian Banach v  f : X → X thäa m¢n ∥f (u) − f (v)∥X ≤ c∥u − v∥X , ∀u, v ∈ X (2.31) vợi mởt số c (0, 1) Khi õ, tỗn tÔi mởt im nhĐt x X cho f (x) = x 30 nh lỵ 2.3.2 (nh lỵ Lax-Milgram) Let a be a continuous bilin ear ′ form on a Hilbert H v  F ∈ H Náu a l H -elliptic vợi hơng số o, thẳ phữỡng trẳnh bián phƠn cho bi (9.10) cõ nghiằm nhĐt u H Morcover, ữủc tẵnh nhữ sau: uH ≤ ∥F ∥H ′ α0 (2.32) B¬ng chùng Cho u ∈ H v  Au : H 7→ R ÷đc cho bði Au (v) = a(u, v) (2.33) N¸u Au H thẳ Au l mởt hm tuyán tẵnh Vẳ a l mởt dÔng billinear liản tửc, b giợi hÔn Do õ, tỗn tÔi mởt số C > cho cù u v  v ∈ H |⟨Au , v⟩| = |a(u, v)| ≤ C | u ∥H ∥ vH Khi õ Au b giợi hÔn v õ, Au H vợi õ C ởc lêp vỵi u (2.34) ∥Aw ∥H ′ ≤ C∥u∥H p dưng nh lỵ Riesz cho Au v F H Tỗn tÔi (Au ) v (F ) ∈ H, cho t§t c£ v ∈ H , ⟨Au , v⟩H ′ ,H = (τ (Au ) , v)′H ⟨F, v⟩H ′ ,H = (τ (F ), v)H (2.35) Do õ u H thọa mÂn náu v ch¿ n¸u a(u, v) = ⟨F, v⟩H ′ ,H , (τ (Au ) − τ (F ), v)H = 0, T÷ìng ÷ìng nh÷ sau  ∀v ∈ H ∀v ∈ H Tẳm u H nhữ sau (2.36) (Au ) = τ (F ) B¥y gií x¡c ành ¡nh xÔ : H H nhữ (v) = v − ρ (τ (Av ) − τ (F )) , 31 ∀v ∈ H â ρ l  mët h¬ng số ối vợi mởt phũ hủp, Ănh xÔ l mởt sỹ thu hàp, nghắa l tỗn tÔi mởt h¬ng sè < c < cho ∥Φ (w1 ) − Φ (w2 )∥H ≤ c ∥w1 − w2 ∥H , ∀u1 , w2 ∈ H (2.37) Thüc t¸ l  ρ l  mët ¯ng thùc giúa H , H ′ v  H -ellipticity of a, cho ∥v − ρτ (Av )∥2H = (v − ρτ (Av ) , v − ρτ (Av ))H = ∥v∥2H − 2ρ (τ (Av ) , v)H + ρ2 ∥τ (Av )∥2H = ∥v∥2H − 2ρa(v, v) + ρ2 ∥Av ∥2H ′
≤ − 2ρα0 + ρ2 C ∥v∥2H ,  
2a0 vợi mội v H náu ρ ∈ 0, th¼ − 2ρα0 + ρ2 C < 1, â C ∥v − ρτ (Av )∥H ≤ c∥v∥H ′ ∀v ∈ H èi vỵi mët sè c < Do â, stnce
τ (Aw1 ) − τ Awj = τ (Aw1 −v2 ) ối vợi tĐt cÊ w1 , w2 H, suy [Φ (w1 ) − Φ (w2 ) ∥ = ∥w1 − w2 − ρτ (Aw1 −w2 ) ∥ ≤ cw1 w2 Theo nh lỵ im cố nh Banach, tỗn tÔi mởt u H nhĐt cho Φ(u) = u, tùc l , u − ρ (τ (Au ) − τ (F )) = u Vªy u l  nghi»m nh§t Sû dưng H -ellipticity of a vợi khổng ời  lĐy u2H a(u, u) = |⟨F, u⟩H ′ ,H | ≤ ∥F ∥H uH , Nhên xt: Náu a l ối xựng, nh lỵ l hằ quÊ trỹc tiáp cừa nh lỵ Biu diạn Riesz, vẳ dÔng song tuyán xĂc nh mởt tẵch vổ hữợng Ãu trản H Thu ữủc, nghiằm l im nhọ nhĐt cừa mởt hm tuyán tẵnh cho nh lỵ dữợi Ơy nh lỵ 2.3.3 Cho a l mởt dÔng song tuyán liản tửc trản khổng gian Hilbert H cho a l dữỡng v ối xựng Náu F H v J l hm trản H ữủc x¡c ành bði J(v) = a(v, v) − ⟨F, v⟩H ′ ,H , ∀v ∈ H 32 (2.38) thẳ u l mởt nghiằm cừa phữỡng trẳnh bián thiản v  ch¿ u l  mët nghi»m sau  Tẳm u H nhữ vêy (2.39) J(u) = lnf v∈H J(v) Chùng minh Gåi u l  nghi»m cõa ph÷ìng trẳnh (4.10) Khi õ J(u) J(v) vợi mồi v ∈ H Vỵi måi v ∈ H, v câ thº ữủc viát l u + w cho mởt số w ∈ H Ta câ 1 J(u + w) − J(u) = [a(u, w) − F (w)] + a(w, w) = a(w, w) ≥ 2 v¼ a l mởt dÔng t lằ dữỡng, ối xựng v F l tuyán tẵnh Do õ u thọa mÂn Ngữủc lÔi, gi£ sû u l  nghi»m cõa (4.19) èi vỵi v ∈ H v  t ∈ R, tr¶n a v  F ta câ ≤ J(u + tv) − J(u) = t{a(u, v) − F (v)} + t2 a(v, v) Bản phÊi, vợi u v v cố nh, l mởt ối cỹc cõ dÔng At2 + Bt vợi A Vẳ a thực ny l khổng Ơm vợi mồi t, n¶n B = tùc l  a(u, v) − F (v) = 0, nản u thọa mÂn nh lỵ 2.3.4 Náu a l mởt dÔng ối xựng thọa mÂn cĂc giÊ thuyát cừa nh lỵ v J ữủc xĂc nh bi (4.19), thẳ nh lỵ 9.9 cho ta bi toĂn (4.19) thứa nhên mởt nghiằm nhĐt u H 2.3.4 Bi toĂn biản Dirichlet CĂc trữớng hủp iÃu kiằn Dirichlet ỗng nhĐt v khổng ỗng nhĐt cƯn ữủc xỷ lỵ riảng biằt Xt bi toĂn  div(Au) = f f ∈ D u=0 tr¶n ∂D (2.40) â A ∈ M (α, β, D) v  f ∈ H (D) Cổng thực bián phƠn nhữ sau:  RT¼m u ∈ H0 (D)sao cho (2.41) D A∇u∇vdx = ⟨f, v⟩H −1 (D),H01 (D) , ∀v ∈ H0 (D), 33 â Z A∇u∇vdx = D n Z X i,j=1 aij (x) D ∂u ∂v dx ∂xi xj Cổng thực trản cõ ữủc bơng cĂch nhƠn phữỡng trẳnh Ưu tiản (2.40) vợi mởt hm trỡn triằt tiảu trản biản v sau õ tẵch phƠn theo tứng phƯn Sỹ tỗn tÔi v tẵnh nhĐt cừa nghiằm ữủc chựng minh bơng cĂch Ăp dửng nh lỵ Lax-Milgram nh nghắa 2.3.3 (Nghiằm yáu) Mởt nghiằm cừa nghiằm yáu cừa (2.40) (2.41) ữủc gồi l Mởt nghiằm yáu l mët gi£i ph¡p cê iºn t§t c£ c¡c dú li»u câ õ trìn Thªt vªy, ta câ m»nh · sau:
¯ n , f ∈ C (D), Cho D thuởc lợp C Náu A ∈ C (D) ¯ th¼ u l  mët nghi»m cê iºn cõa v  u ∈ C (D), M»nh · 2.3.5  − div(A(x)∇u(x)) = f (x) t§t c£ x ∈ D u(x) = t§t c£ x ∈ ∂D (2.42) v  ch¿ u l  nghi»m cõa (2.41) Chùng minh N¸u u l  nghi»m cõa (2.42) th¼ u thuëc H01 (D) Gåi v l  mët hm tũy ỵ H01 (D) Theo nh nghắa, tỗn tÔi mởt dÂy {vn } D(D) hởi tử thnh v H01 (D) NhƠn phữỡng trẳnh (2.42) vợi v lĐy tẵch phƠn theo tứng phƯn ta ữủc Z Z A∇u∇vn dx = D f dx D Cho n → ∞ ta ÷đc u l  mët nghi»m cừa (2.41) Ngữủc lÔi, náu u l nghi»m cõa (2.41) th¼ C (D) Z Z A∇u∇vdx = D D Tẵch phƠn tứng phƯn, ta ữủc: Z D f vdx, ∀v ∈ D(D) [− div(A∇u) − f ]vdx = 0, ∀v ∈ D(D) 34 Khi â u l mởt nghiằm cừa phữỡng trẳnh (2.42) h.k.n D Vẳ cÊ hai vá cừa phữỡng trẳnh Ãu liản tửc nản iÃu ny úng vợi mồi x D Theo nh lỵ vát, u thọa mÂn iÃu kiằn biản Dirichlet Ta s chựng minh sỹ tỗn tÔi v nhĐt nghiằm bơng cĂch Ăp dửng nh lỵ Lax-Milgram nh lỵ 2.3.6.1Gồi A l mởt trữớng ma M (, ,1 D) ối vợi bĐt ký f H (D), tỗn tÔi mởt nghiằm nhĐt u H0 (D) cõa b i to¡n (2.41) Hìn núa, u thäa m¢n ∥u∥H01 (D) ≤ ∥f ∥H −1 (D) α (2.43) Náu f L2 (), thẳ uH01 () C ∥f ∥L2 (Ω) , α (2.44) â CΩ l  hơng số Poincar Chựng minh Gồi a l dÔng song tuyán tẵnh trản H01 (D) ì H01 (D) cho bi Z a(u, v) = D A∇u∇vdx, ∀u, v ∈ H01 (D) (2.45) p dửng nh lỵ Lax-Milgram cho a, vợi F = f v  H = H01 (D) Rã r ng, a(u, v) l mởt dÔng song tuyán tẵnh p dửng b§t ¯ng thùc CauchySchwarz, ta câ |a(w, v)| ≤ β∥∇w∥L2 (D) ∥∇v∥L2 (D) = β∥w∥H01 (D) ∥v∥H01 (D) (2.46) vỵi måi w v  v H01 (D) Hìn núa, a(v, v) ≥ α∥∇v∥2L2 (D) = α∥v∥2H01 (D) , ∀v ∈ H01 (D) (2.47) Do õ, theo nh lỵ LaxMilgram, cõ sỹ tỗn tÔi v tẵnh nhĐt cừa nghiằm cừa (2.41) cụng nhữ ữợc lữủng (2.43) 35