Kỵ hiằu v kián thực phử trủ
Mởt số khổng gian h m
Trong chữỡng n y ta x²t miãn D l miãn bà ch°n trong khổng gian Eucild n chiãu R n Khi õ, ta kỵ hiằu cĂc khổng gian h m nhữ sau:
Khổng gian Banach cĂc h m liản tửc:
∥u∥L ∞ (D) = ess sup x ∈ D|u(x)| := inf m(D)=0 sup x ∈ D \ D|u(x)| trong õ “m(D) = 0” cõ nghắa l D l têp o ữủc Lebegues vợi ở o 0.
D(D) := C 0 ∞ (D) {u | u : D →R, suppu compact, u cõ Ôo h m theo mồi cĐp }, trong â suppu := {x : x ∈ D, u(x) ̸= 0}.
Khổng gian Hilbert cĂc h m bẳnh phữỡng khÊ tẵch:
Khổng gian Hilbert cĂc h m bẳnh phữỡng khÊ tẵch nhên giĂ trà vec tì.
Khổng gian Sobolev H 0 1 (D) ữủc ành nghắa l bao õng cừa khổng gian C 0 ∞ (D) trong H 1 (D):
H 0 1 (D) =C 0 ∞ (D) ∥ã∥ H1(D) Khi biản ∂D ừ trỡn, mởt h m thuởc H 0 1 (D) s³ triằt tiảu trản biản theo nghắa vát:
H − 1 (D) l khổng gian ối ngău cừa H 0 1 (D) tực l khổng gian cừa cĂc phiám h m tuyán tẵnh liản tửc trản H 0 1 (D), trong õ ối ngău ữủc kỵ hiằu l ⟨ã,ã⟩ H −1 (D),H 0 1 (D) vợi chuân ữủc ành nghắa nhữ sau:
Kỵ hiằu # ch¿ sỹ tuƯn ho n vợi chu ký Y = (0,1) d
C # (Y) = {u | u : Y → R, u liản tửc v tuƯn ho n theo chu ký Y} vợi chuân
Khổng gian h m n y thữớng ữủc ỗng nhĐt vợi khổng gian cĂc h m liản tửc trản R d , tuƯn ho n theo chu ký Y.
L ∞ # (Y) ={u|u : Y →R, u bà ch°n v tuƯn ho n vợi chu ký Y,∥u∥L ∞ (Y ) 0 sao cho
|a(u, u)| ≥ γ∥u∥ 2 V, ∀u ∈ V. ành lỵ 1.1.3 (ành lỵ Lax-Milgram) Cho a(u, v) l mởt dÔng song tuyán tẵnh bực v bà ch°n, khi õ vợi mồi phiám h m f ∈ V ′ , b i toĂn a(u, v) =⟨f, v⟩, ∀v ∈ V cõ duy nhĐt nghiằm.
Chùng minh Xem [8] ành lỵ 1.1.4 Cho A l mởt trữớng ma trên trong M(α, β,Ω) Vợi bĐt ký f ∈ H − 1 (Ω), tỗn tÔi mởt nghiằm duy nhĐt u ∈ H 0 1 (Ω) cừa b i toĂn
A∇u∇vdx = ⟨f, v⟩H −1 (Ω),H 0 1 (Ω),∀v ∈ H 0 1 (Ω) Hỡn nỳa, u thọa mÂn
Chùng minh Xem [8] ành lỵ 1.1.5 Cho 1 ≤ p ≤ +∞ Khi õ D(O) trũ mêt trong L p (O) vợi O ⊂ R n
Chùng minh Xem [8] ành lỵ 1.1.6 (BĐt ¯ng thực Young) Cho p, q thọa mÂn iãu kiằn p > 1;q > 1,1 p + 1 q = 1 chựng minh rơng, mồi a, b dữỡng, ta ãu cõ ab ≤ 1 pa p + 1 qb q
Chùng minh Xem [8] ành lỵ 1.1.7 Gồi Ω l mởt têp con mð bà ch°n cừa R n v kẵ hiằu {λ n } l dÂy khổng giÊm cừa cĂc giĂ trà riảng cừa b i toĂn
Trong không gian riàng tường ựng, nếu có một chuỗi số không âm 0 ≤ λ1 ≤ λ2 ≤ → +∞, và {wn} là một dãy vectơ trong không gian riàng tường ựng, thì {wn} tạo thành một hằng số chuẩn tắc trong L2(Ω), đồng thời {wn} cũng là một cỡ số trực giao trong H01(Ω).
Mằnh ã 1.1.8 (1) Khổng gian W,W1 v W2 l khổng gian Banach vợi chuân cừa ỗ thà ữủc xĂc ành tữỡng ựng, bði
(2) CĂc bao h m thực sau liản tửc:
(4) Cho u v v trong W, phữỡng trẳnh vi phƠn sau cố ành: d dt
Mằnh ã 1.1.9 Ta ành nghắa khổng gian Banach
, cũng vợi chuân vừa ỗ thà Khi õ cĂc tẵnh chĐt sau Ơy úng: i) C¡c ìn ¡nh W ⊂ L 2 (a, b;L 2 (Ω)),W1 ⊂ L 2 (a, b;H − 1 (Ω)) com- pact, ii) Ta câ c¡c bao h m thùc
W ⊂ C([a, b];L 2 (Ω)),W1 ⊂C([a, b];H − 1 (Ω)) vợi X = L 2 (Ω) ho°c X = H − 1 (Ω), kẵ hiằu C([a, b];X) l cĂc h m khổng gian o ữủc trản Ω ì[a, b] sao cho u(ã, t) ∈ X vợi bĐt ký t ∈ [a, b] v sao cho Ănh xÔ t ∈ [a, b] 7→ u(ã, t) ∈ X liản tửc, iii) Vợi mội u, v ∈ W ta cõ d dt
Mởt số khĂi niằm cỡ bÊn
Phương trình ODE (phương trình vi phân thường) là một công cụ quan trọng trong việc mô tả mối quan hệ giữa các biến trong hệ thống Các biến độc lập và phụ thuộc trong phương trình này giúp chúng ta hiểu rõ hơn về các hiện tượng tự nhiên và các quy luật vật lý Việc áp dụng các kỹ thuật giải phương trình ODE cho phép chúng ta tìm ra các giải pháp cho những bài toán phức tạp trong nhiều lĩnh vực khác nhau, từ kỹ thuật đến khoa học tự nhiên.
Bián ởc lêp: x = (x 1 , , x n ) ∈ R n n h m: u(x) =u(x 1 , , x n ). Ôo h m riảng: Sỷ dửng khĂi niằm a ch¿ số α = (α 1 , , α n ) trong õ α i l cĂc số nguyản khổng Ơm, v |α| := α 1 + .+α n , ta kỵ hiằu
Vợi k l mởt số nguyản khổng Ơm, ta kỵ hiằu D k u(x) l Ôo h m riảng cĐp k cừa h m u(x).
ổi khi ta cụng sỷ dửng cĂc kỵ hiằu tữỡng ữỡng u x = ∂u
∂x∂y, Cho k l mởt số nguyản dữỡng v Ω l mởt têp mð trong R n ành nghắa 1.2.1 Phữỡng trẳnh vi phƠn Ôo h m riảng (gồi tưt l phữỡng trẳnh Ôo h m riảng) cĐp k l phữỡng trẳnh cõ dÔng
F(x, u(x), Du(x), D²u(x), , D^k u(x)) = 0, x ∈ Ω (1.2) là một phương trình đa biến thể hiện mối liên hệ giữa các hàm, các biến độc lập và các đạo hàm của hàm, với cấp cao nhất là k Ví dụ, 1.2.1 cung cấp các phương trình sau:
∆u = u xx +u yy = 0. l phữỡng trẳnh Ôo h riảng cĐp hai.
Phữỡng trẳnh truyãn nhiằt (ho°c khuyách tĂn) : u t −∆u = 0.
Phương trình truyền sóng ức D'Alembert được đưa ra vào năm 1752 với biểu thức u_tt - ∆u = 0 Đây là một phương trình quan trọng trong lĩnh vực toán học và vật lý, mô tả sự lan truyền của sóng Hàm u(x) được gọi là nghiệm của phương trình này, trong đó Ω là miền xác định và R^n là không gian kết quả Phương trình này có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật.
F(x, v(x), Dv(x), , D k v(x)) = 0 x ∈ Ω. ành nghắa 1.2.3 (PhƠn loÔi phữỡng trẳnh HR) Ta cõ thº phƠn loÔi phữỡng trẳnh HR nhữ sau. i) Phữỡng trẳnh HR (1.2) ữủc gồi l tuyán tẵnh náu nõ cõ dÔng
| α |≤ k a α (x)D α u = f(x), trong õ a α (x), f(x) l cĂc h m số Â cho Phữỡng trẳnh tuyán tẵnh n y ữủc gồi l thuƯn nhĐt náu f ≡ 0. ii) Phữỡng trẳnh HR (1.2) ữủc gồi l nỷa tuyán tẵnh náu nõ cõ dÔng
| α | =k a α (x)D α u+a 0 (x, u, Du, , D k − 1 u) = 0. iii) Phữỡng trẳnh HR (1.2) ữủc gồi l tỹa tuyán tẵnh náu nõ cõ dÔng X
| α | =k a α (x, u, Du, , D k − 1 u)D α u+ a 0 (x, u, Du, , D k − 1 u) = 0. iv) Phữỡng trẳnh HR (1.2) ữủc gồi l phữỡng trẳnh phi tuyán ho n to n náu nõ phử thuởc khổng tuyán tẵnh v o cĂc Ôo h m bêc cao nh§t.
PhƠn loÔi phữỡng trẳnh Ôo h m riảng tuyán tẵnh cĐp hai 14
Trong phần này, chúng ta sẽ liệt kê ba loại phương trình đạo hàm riêng cấp hai: phương trình elliptic, hyperbolic và parabolic, cùng với các ứng dụng của chúng là phương trình Laplace, phương trình truyền sóng và phương trình truyền nhiệt.
∂x i ∂x j = f(x, u, u x 1 , , u x n ) (1.3) ữủc gồi l phữỡng trẳnh Ôo h m riảng nỷa tuyán tẵnh cĐp hai. °c biằt phữỡng trẳnh (1.3) ữủc gồi l tuyán tẵnh náu nõ viát ữủc dữợi d¤ng n
Trong trữớng hủp n= 2 phữỡng trẳnh (1.3) trð th nh a 11 ∂ 2 u
Sỷ dửng ph²p ời bián sau ξ = ξ(x, y), η = η(x, y), trong õ cĂc h m ξ, η ∈ C 2 (Ω) thọa mÂn:
Mửc ẵch cừa ph²p ời bián trản l ữa phữỡng trẳnh (1.4) vã dÔng mợi trong õ ẵt nhĐt mởt hằ số bơng khổng.
Tẵnh toĂn trỹc tiáp ta cõ
∂y 2 Khi õ phữỡng trẳnh (1.4) trð th nh a 11 ∂ 2 u
. Gồi z = φ(x, y) l mởt ngiằm phữỡng trẳnh HR cĐp mởt sau a 11
Khi xét phương trình biên, ta có các biến ξ = φ(x, y) và η = η(x, y), với điều kiện a11 = 0 Đối với phương trình biên tứ tưởng, ta có ξ = ξ(x, y) và η = φ(x, y), với điều kiện a22 = 0 Một khía cạnh khác, giải phương trình (1.5) liên quan đến giải phương trình vi phân như sau: a11(dy)² - 2a12 dy dx + a22(dx)² = 0 Phương trình này thể hiện rõ mối quan hệ giữa các biến và hệ số a11 trong bối cảnh toán học.
Giải phương trình (1.6) cho phép ta tách phân tường quét φ(x, y) = C, được gọi là đường cong đặc trưng của phương trình (1.5) Khi đặt z = φ(x, y), ta có một nghiệm của phương trình (1.5) Do phương trình (1.6) được gọi là phương trình đặc trưng, việc xác định các hướng cong đặc trưng giúp ta tính thực ∆ = a²₁₂ − a₁₁ a₂₂ Có ba trường hợp xảy ra trong quá trình này.
Náu ∆> 0thẳ phữỡng trẳnh (1.6) cõ hai ữớng cong °c trững thỹc phƠn biằt Khi õ (1.4) ữủc gồi l phữỡng trẳnh hyperbolic.
Náu ∆ = 0 thẳ phữỡng trẳnh (1.6) ch¿ cõ mởt ữớng cong °c trững thỹc Khi õ (1.4) ữủc gồi l phữỡng trẳnh parabolic.
Náu∆ < 0 thẳ phữỡng trẳnh(1.6) cõ hai ữớng cong °c trững phực liản hủp Khi õ (1.4) ữủc gồi l phữỡng trẳnh eliptic.
Ta biện ròng nào mởt hàm liên tục trên giả trà dưỡng, tạo ra một điểm thẳn nhiên trong một lân cận điểm đó Do đó, ta có thể chia toàn bộ một không gian thành ba tập rời nhau Ta gọi miền hyperbolic của phương trình (1.4) là tập các điểm trong một không gian R² mà phương trình đó xác định Phương trình (1.4) là phương trình hyperbolic, và ta có thể nhận nghĩa tương tự cho miền parabolic và elliptic.
ThuƯn nhĐt hõa phữỡng trẳnh elliptic
Trong bài viết này, chúng tôi trình bày về toán học elliptic, đặc biệt là kích thước và sự sử dụng của nó Bài viết sẽ đề cập đến phương trình thuần nhất liên quan đến phương trình elliptic và kích thước của nó Nội dung sẽ được tham khảo từ các tài liệu uy tín.
Giợi thiằu phữỡng trẳnh elliptic
Phữỡng phĂp tĂch bián Fourier
X²t trong R 2 phữỡng trẳnh Laplace trong tồa ở cỹc
Phữỡng phĂp tĂch cĂc bián ữủc Ăp dửng cho phữỡng trẳnh (2.13) bơng cĂch tẳm cĂc nghiằm u = u(r, θ) cõ dÔng u(r, θ) =F(r)G(θ) trong õ F v G l cĂc h m thỹc Thay v o (2.13), ta thu ữủc
F ′′ G + 1 rF ′ G + 1 r 2 FG ′′ = 0 trong õ ′ biºu thà Ôo h m thổng thữớng cho h m mởt bián Phữỡng trẳnh n y ữủc viát dữợi dÔng tữỡng ữỡng sau: r 2 F ′′ +rF ′
Biểu thức đại số của phương trình này mở ra một hướng mới, trong khi biểu thức bên phải phụ thuộc vào biến Điều này cho thấy rằng khi hai biểu thức này bằng nhau, chúng tạo thành một hệ thống phương trình có số C Từ đó, ta có được phương trình 2F′′ + rF′ − CF = 0.
G ′′ + CG = 0 (2.14) trong õ C l mởt hơng số thỹc Phữỡng trẳnh Ưu tiản trong (2.14) cõ hai nghiằm ởc lêp tuyán tẵnh ữủc cho bði
Phữỡng trẳnh thự hai trong (2.14) cụng cõ hai nghiằm ởc lêp tuyán tẵnh
Náu C < 0, cĂc h m trong cĂc cổng thực n y l h m phực, cõ nghắa l phƯn thỹc v phƯn Êo cừa cĂc h m n y s³ l cĂc c°p nghiằm thỹc ởc lêp tuyán tẵnh.
Tách F C (r)G C (θ) là một hàm mô tả trong một tập hợp D thuộc R², khi đó hàm này được xác định tốt trên lớp C² trong D Nếu D chứa các hướng cong quanh điểm gốc, thì rõ ràng rằng các hàm GC(θ) phải tuân hoàn toàn với chu kỳ 2π và cũng phải trở lại giá trị sau khi thực hiện một lượt quanh điểm gốc.
Náu C = 0 thẳ ch¿ h m hơng số 1 thọa mÂn iãu kiằn tuƯn ho n Náu
C ̸= 0, ành nghắa cừa GC(θ) thẳ tẵnh tuƯn ho n ch¿ khÊ thi khi
Do õ, cĂc h m iãu hỏa G c (θ) cõ dÔng
GC(θ) = cos(nθ) ho°c GC(θ) = sin(nθ), n = 0,1,2,
Do â ta câ u n (r, θ) 1, r n cos(nθ), r n sin(nθ), n = 1,2, , logr, r − n cos(nθ), r − n sin(nθ), n= 1,2,
Náu D khổng chựa gốc, tĐt cÊ cĂc h m n y ãu l h m iãu hỏa Náu D chựa gốc, ch¿ cĂc h m tứ dỏng Ưu tiản l h m iãu hỏa.
Ta xem b i toĂn trong R 3 vợi Laplacian trong tồa ở cƯu hẳnh cƯu. X²t b i to¡n
Ta tẳm nghiằm u dữợi dÔng u(r, θ, ϕ) =F(r)G(θ, ϕ)
Bằng cách sử dụng phương trình r 2 F ′ ′ −CF = 0 và 3 (G) +CG = 0, chúng ta có thể thu được các nghiệm của phương trình phi tuyến Phương trình này có hai nghiệm ở lớp tuyến tính r α 1 và r α 2, trong đó α 1 và α 2 là nghiệm của phương trình α(α+ 1)−C = 0.
Việc nghiên cứu cự phưỡng trần thứ hai trong không gian phức tạp hơn Nếu ta muốn tìm hiểu G(θ, ϕ) thuộc lớp C² trên miền hình cầu và S(0,1) với gốc tọa độ ở, thì cần chú ý rằng nó phải tuân theo chu kỳ 2π theo θ Ta thấy rằng dưới những điều kiện nhất định, các hàm số C có thể được xác định rõ ràng.
Vợi mội C n , tỗn tÔi 2n + 1 nghiằm ởc lêp tuyán tẵnh Gn k (θ, ϕ), k 1,2, ,2n+ 1 Khi â u n,k (r, θ, ϕ) r n Gn k (θ, ϕ), k = 1,2, ,2n+ 1;n= 0,1,2, r − n − 1 Gn k (θ, ϕ), k = 1,2, ,2n+ 1;n= 0,1,2,
PhƯn dữợi Ơy ta x²t b i toĂn Dirichlet trong cĂc miãn hẳnh hồc °c biằt.
Nghiằm cho b i toĂn Dirichlet trản hẳnh trỏn ỡn và 23
Trong không gian hai chiều, miền D được định nghĩa bởi các điểm x ∈ R² với khoảng cách từ gốc tọa độ đến x nhỏ hơn 1, tạo thành hình tròn Các tọa độ trong miền này được biểu diễn dưới dạng x₁ = rcosθ và x₂ = rsinθ, với điều kiện 0 ≤ r < 1 và 0 ≤ θ < 2π Chúng ta sẽ tìm một hàm u sao cho u = g trên biên ∂D, trong đó g là một hàm liên tục với chu kỳ 2π và thuộc lớp C² Trong không gian hai chiều, hàm này có nghĩa là u = u(r, θ) và tuân theo các quy tắc toán học.
Ta s³ xƠy dỹng nghiằm n y thổng qua cĂc h m iãu hỏa r n cos(nθ), r n sin(nθ), n= 0,1,2, m chúng ta  thu ữủc bơng phữỡng phĂp tĂch bián Ta tẳm u dữợi d¤ng u(r, θ) = A 0
X∞ x=1 r n (A n cos(nθ) +B n sin(nθ)) trong õ cĂc hằ số A n , B n cƯn xĂc ành º cho g(θ) = α 0
(α n cos(nθ) +β n sin(nθ)) l chuội Fourier cừa g Hằ số Fourier cừa g ữủc cho bði α n = 1 π
(2.17) Ơy chẵnh l nghiằm cƯn tẳm, vợi iãu kiằn l chuội trản hởi tử v u thuởc loÔi C 2 iãu n y úng náu h m g ∈ C 2 (0,2π) v Ôo h m bêc ba cừa nõ l liản tửc tứng khúc.
Ta cõ thº ữa ra mởt dÔng khĂc cừa nghiằm u Thêt vêy, ta cõ thº viát lÔi (2.17) dữợi dÔng u(r, θ) = 1
(2.18) trong õ ối vợi bĐt ký θ cố àn, h m P ữủc cho bði
H m P ữủc gồi l nhƠn Poisson v l iãu hỏa ối vợi ϕ Dạ d ng nhên thĐy rơng
1 +r 2 −2rcos(θ−ϕ), vẳ vêy u ữủc viát dữợi dÔng u(r, θ) = 1
Cổng thực trản ữủc gồi l tẵch phƠn Poisson.
Phữỡng trẳnh elliptic tờng quĂt
BƠy giớ hÂy xem x²t trữớng hủp tờng quĂt cừa phữỡng trẳnh elliptic, nghắa l
∂x i +cu = f (2.19) trong õ tĐt cÊ i, j ∈ {1,2, , n}, cĂc h m a ij , b i v c nơm trong C 0 (D) ma trên (a ij ) 1 ≤ i,j ≤ n X²t b i toĂn Dirichlet tờng quĂt sau:
Vẵ dử sau cho thĐy ối vợi b i toĂn Dirichlet thuƯn nhĐt cho phữỡng trẳnh Laplace, yảu cƯu f thuởc khổng gian C 0 ( ¯Ω) khổng ừ º Êm bÊo sỹ tỗn tÔi cừa nghiằm.
Vẵ dử 2.2.1 Gồi B(0,1/2) hẳnh trỏn trong R 2 cõ tƠm tÔi gốc bĂn kẵnh 1/2, x²t b i to¡n:
Ta dạ d ng kiºm tra ữủc nghiằm cừa b i toĂn Dirichlet cõ dÔng u(x) x 2 1 −x 2 2 (−ln|x|) 1/2 vợi x ∈ B(0,1/2)\{0}
Ta thĐy f thuởc C 0 ( ¯B(0,1/2)) Tuy nhiản, nghiằm u khổng thuởc vã
∂x 1 ∂x 2 khổng bà giợi hÔn trong bĐt ký vũng lƠn cên n o cừa iºm gốc.
Ta xét sự phát biểu ảnh hưởng và sự tồn tại của bản đồ toàn trong một không gian thích hợp, với các hàm số F và G, tạo thành một tập hợp D và giới hạn của nó Đặc biệt, nếu α ∈ (0,1] và O là một tập hợp trong R^N, thì tồn tại một hàm f thỏa mãn điều kiện Holder với số mũ α trên O, cho phép xây dựng một hàm số c sao cho
|x−y| α < +∞ Vẵ dử 2.2.2 Vợi α ∈ (0,1], h m f(x) =|x| a l mởt h m liản tửc Holder trản R. º chựng minh iãu n y, ta ch¿ cƯn ch¿ ra rơng
Vẳ α ∈ (0,1], dạ thĐy rơng f ′ (t) ≤ 0 trản R + cho nản f l h m giÊm trản
R + Vẳ f(0) = 0 v f liản tửc tợi t = 0, ta suy ra f(t) ≤ 0 trản R + 0 Do õ vợi t = |x−y| > 0, ta cõ
Tứ giác suy ra rằng chúng ta cần chứng minh và có thể sử dụng thời gian x và y trong toán học Đặc biệt, trong toán tỷ lực, đường elliptic tồn tại trong D với một hằng số a > 0.
Với L là một toán tử elliptic trên miền D, giả sử D là một tập mở trong R^n với ∂D thuộc lớp C^1 Nếu L là toán tử elliptic đối với một số a > 0 và các hàm số của L nằm trong C^{0,α}(¯D) cho α ∈ (0,1] và c ≥ 0, thì nếu f thuộc C^{0,α}(¯D) và g thuộc C^0(∂D), tồn tại một nghiệm duy nhất u sao cho u thuộc C^{2,α}(D) ∩ C^0(¯D).
Cần chú ý đến các nghiêm ức cho bài toán liên quan đến phương trình đạo hàm riêng trong không gian Để giải quyết bài toán này, ta cần xem xét một tập hợp hợp lệ trong R^n với điều kiện biên thuộc lớp C^{2,α} và α ∈ (0,1] Nếu hàm f thuộc lớp C^{0,α} trên miền đóng ¯D và hàm g thuộc lớp C^{2,α} trên biên ∂D, thì nghiệm duy nhất của bài toán sẽ tồn tại trong không gian đó.
C 2,α ( ¯D) Hỡn nỳa, tỗn tÔi mởt hơng số dữỡng C, ởc lêp vợi dỳ liằu f v g sao cho
Nghiằm yáu v b i toĂn bián phƠn cừa phữỡng trẳnh elliptic 27
CĂc dÔng song tuyán tẵnh trản khổng gian Hilbert 29
ành nghắa 2.3.2 Cho H l mởt khổng gian Hilbert thỹc A map a :
H ìH → R ữủc gồi l dÔng song tuyán tẵnh trản H náu vợi u ∈ H v v ∈ H bĐt ký cĂc m sau l tuyán tẵnh a(u,ã) : v ∈ H 7−→a(u, v) ∈ R a(ã, v) : u ∈ H 7−→a(u, v) ∈ R
A song tuyán tẵnh a trản H ữủc cho l
(3) bà r ng buởc náu cõ C > 0 sao cho u, v ∈ H
(4) H -elliptic (ho°c cữùng chá trản H) vợi hơng số α 0 náu tỗn tÔi a 0 > 0 sao cho a(u, u) ≥ α 0 ∥u∥ 2 H,∀u ∈ H
H biºu thà mởt khổng gian Hilbert thỹc Theo tiảu chuân H ìH.do
Dòng song tuyến tính trên không gian Hilbert có thuộc tính tán rỗng hơn trán H Cho a: H → R là một dòng song tuyến tính Sau đó, bạn cần xác định các bước trán H trong quá trình khảo sát.
Chựng minh GiÊ sỷaữủc giợi hÔn trảnH Sau õ, ối vợi(u, v),(u 0 , z 0 ) ∈
H ìH, ta cõ song tuyán tẵnh v giợi hÔn a sao cho |a(u, v)−a(u 0 , v 0 )| → 0 as (u, v) →(u 0 , v 0 ) Nhữ vêy a liản tửc tÔi mội iºm (u 0 ,v 0 ) ∈ H ìH
Cử thº, a liản tửc ð mực (0,0) ối vợi ε > 0, tỗn tÔi δ > 0 sao cho
Do õ, theo tuyán tẵnh v sỷ dửng bĐt ¯ng thực trản, ta cõ
= 4 δ 2 |a(w, z)| ≤ 4 δ 2 ε (2.29) iãu n y chựng tọ rơng a ữủc giợi hÔn vẳ nõ thọa mÂn vợi C = 4 δ 2 ε.
ành lþ Lax-Milgram
Viằc tẳm nghiằm cừa mởt phữỡng trẳnh Ôo h m riảng vợi mởt số iãu kiằn biản cõ thº ữủc bơng cĂch sỷ dửng cổng thực bián phƠn X²t b i to¡n
Tẳm u ∈ H sao cho a(u, v) = ⟨F, v⟩ H ′ ,H , ∀v ∈ H, (2.30) trong õ H l khổng gian Hilbert, a l dÔng song tuyán tẵnh trản H, v
F ∈ H ′, và ơy ữủc gồi l cổng thực bián ời cừa PTHR ban Ưu v cĂc h m v ∈ H thữớng ữủc gồi l cĂc h m thỷ Dữợi cĂc giÊ thiát phũ hủp cừa a, b i toĂn bián phƠn s³ cõ nghiằm duy nhĐt Ơy l bÊn chĐt cừa Lax-Milgram Theorem ành lỵ 2.3.1 (ành lỵ iºm bĐt ởng Banach) Cho X l mởt khổng gian Banach v f : X → X thọa mÂn.
Đối với mọi u, v thuộc không gian X, bất đẳng thức ∥f(u)−f(v)∥ X ≤ c∥u−v∥ X với c ∈ (0,1) cho thấy sự tồn tại của một điểm duy nhất x ∈ X sao cho f(x) = x Hình ảnh 2.3.2 minh họa cho lý thuyết Lax-Milgram Giả sử a là một dạng bilinear liên tục trên một không gian Hilbert H với F thuộc H′ Nếu a là H-elliptic với một số α nào đó, thì phương trình biến phân cho bài toán (9.10) có nghiệm duy nhất u thuộc H.
Bơng chựng Cho u ∈ H v A u : H 7→R ữủc cho bði
NáuA u ∈ H ′ thẳA u l mởt h m tuyán tẵnh Vẳ al mởt dÔng billinear liản tửc, bà giợi hÔn Do õ, tỗn tÔi mởt số C > 0 sao cho cự u v v ∈ H
Khi õ A u bà giợi hÔn v do õ, A u ∈ H ′ vợi
∥A w ∥ H ′ ≤ C∥u∥H (2.34) trong õ C ởc lêp vợi u. p dửng ành lỵ Riesz cho A u v F ∈ H ′ Tỗn tÔi τ (A u ) v τ(F) ∈
Do õ u ∈ H thọa mÂn a(u, v) =⟨F, v⟩ H ′ ,H , ∀v ∈ H náu v ch¿ náu
B¥y gií x¡c ành ¡nh x¤ Φ : H 7−→ H nh÷ Φ(v) =v −ρ(τ (A v )−τ(F)), ∀v ∈ H trong õ ρ l mởt hơng số ối vợi mởt ρ phũ hủp, Ănh xÔ Φ l mởt sỹ thu hàp, nghắa l tỗn tÔi mởt hơng số 0 < c < 1 sao cho
∥Φ (w 1 )−Φ (w 2 )∥H ≤ c∥w 1 −w 2 ∥H , ∀u 1 , w 2 ∈ H (2.37) Thỹc tá l ρ l mởt ¯ng thực giỳa H, H ′ v H-ellipticity of a, cho
∥v −ρτ (A v )∥ H ≤ c∥v∥H ′ ∀v ∈ H ối vợi mởt số c < 1 Do õ, stnce τ (A w 1 )−τ A w j = τ (A w 1 − v 2 ) ối vợi tĐt cÊ w 1 , w 2 ∈ H, suy ra
[Φ (w 1 )−Φ (w 2 )∥ = ∥w 1 −w 2 −ρτ (A w 1 − w 2 )∥ ≤ c∥w 1 −w 2 ∥. Theo ành lỵ iºm cố ành Banach, tỗn tÔi mởt u ∈ H duy nhĐt sao cho Φ(u) = u, tùc l , u−ρ(τ (A u )−τ(F)) =u Vêy u l nghiằm duy nhĐt Sỷ dửng H-ellipticity of a vợi α 0 khổng ời º l§y α 0 ∥u∥ 2 H ≤ a(u, u) = |⟨F, u⟩H ′ ,H| ≤ ∥F∥H ′ ∥u∥H
Nội dung bài viết đề cập đến việc nghiên cứu tính chất của các hàm số trong không gian Hilbert, cụ thể là biểu diễn Riesz và các tính chất liên quan đến không gian dữ liệu Bài viết cũng khám phá mối quan hệ giữa các hàm số trong không gian Hilbert và các ứng dụng của chúng trong lý thuyết hàm Thêm vào đó, nó nêu rõ vai trò của các hàm số liên tục và các điều kiện cần thiết để đảm bảo tính chính xác trong việc xác định các hàm trong không gian này.
2a(v, v)− ⟨F, v⟩ H ′ ,H ,∀v ∈ H (2.38) thẳ u l mởt nghiằm cừa phữỡng trẳnh bián thiản khi v ch¿ khi u l mởt nghiằm sau.
J(u) = lnf v ∈ H J(v) (2.39) Chựng minh Gồi u l nghiằm cừa phữỡng trẳnh (4.10) Khi õ J(u) ≤
J(v) vợi mồi v ∈ H Vợi mồi v ∈ H, v cõ thº ữủc viát l u+w cho mởt sè w ∈ H Ta câ
2a(w, w) ≥0 vẳ a l mởt dÔng t lằ dữỡng, ối xựng v F l tuyán tẵnh Do õ u thọa mÂn Ngữủc lÔi, giÊ sỷ u l nghiằm cừa (4.19) ối vợi v ∈ H v t∈ R, trản a v F ta cõ
Bản phê, vợi u và v cố ành, l mởt ối cỹc cõ dÔng At 2 + Bt vợi A ≥ 0 Vẳ a thực n y l khổng Ơm vợi mồi t, nản B = 0 tực l a(u, v)−F(v) 0, nản u thọa mÂn Ành lỵ 2.3.4 Náu a l mởt dÔng ối xựng thọa mÂn cĂc giÊ thuyát cừa ành lỵ v J ữủc xĂc ành bði (4.19), thẳ ành lỵ 9.9 cho ta b i toĂn (4.19) thứa nhên mởt nghiằm duy nhĐt u ∈ H.
B i toĂn biản Dirichlet
CĂc trữớng hủp iãu kiằn Dirichlet ỗng nhĐt v khổng ỗng nhĐt cƯn ữủc xỷ lỵ riảng biằt.
−div(A∇u) =f f ∈ D u = 0 trản ∂D (2.40) trong õ A ∈ M(α, β, D)v f ∈ H − 1 (D) Cổng thực bián phƠn nhữ sau:
Cổng thực trản cõ ữủc bơng cĂch nhƠn phữỡng trẳnh Ưu tiản trong (2.40) mởt h m trỡn triằt tiảu trản biản v sau õ tẵch phƠn theo tứng phƯn Sỹ tỗn tÔi v tẵnh duy nhĐt cừa nghiằm ữủc chựng minh bơng cĂch Ăp dửng ành lỵ Lax-Milgram Nghiằm yáu cừa (2.41) ữủc gồi l nghiằm yáu cừa (2.40).
Mởt nghiằm yáu l mởt giÊi phĂp cờ iºn khi tĐt cÊ cĂc dỳ liằu cõ ừ trỡn Thêt vêy, ta cõ mằnh ã sau:
Mằnh ã 2.3.5 Cho∂D thuởc lợpC 1 NáuA ∈ C 1 ( ¯D) n 2 , f ∈ C 0 ( ¯D), v u ∈ C 2 ( ¯D), thẳ u l mởt nghiằm cờ iºn cừa
−div(A(x)∇u(x)) = f(x) t§t c£ x ∈ D u(x) = 0 t§t c£ x ∈ ∂D (2.42) khi v ch¿ khi u l nghiằm cừa (2.41)
Chứng minh rằng hàm u trong H₀¹(D) thỏa mãn phương trình (2.42) Gọi u là một hàm thuộc H₀¹(D) Theo định nghĩa, tồn tại một dãy {v_n} ⊂ D(D) hội tụ đến u trong H₀¹(D) Nhân phương trình trong (2.42) với v_n và tiến hành tách phân theo từng phần ta được kết quả mong muốn.
Cho n → ∞ ta ữủc u l mởt nghiằm cừa (2.41) Ngữủc lÔi, náu u ∈
Tẵch phƠn tứng phƯn, ta ữủc:
Khi mở một nghiệm cửa phương trình (2.42) h.k.n trong D, với hai cửa phương trình đã liên kết, nó sẽ cho ra nghiệm x ∈ D Theo định lý Dirichlet, điều này có thể được chứng minh trong các trường hợp cụ thể.
Chúng tôi chứng minh sự tồn tại duy nhất của nghiệm cho bài toán Lax-Milgram Cụ thể, trong không gian M(α, β, D), với bất kỳ hàm số f ∈ H−1(D), tồn tại một nghiệm duy nhất u ∈ H0^1(D) cho bài toán (2.41) Hơn nữa, u thỏa mãn các điều kiện cần thiết.
Gồi a l dÔng song tuyán tẵnh trản H 0 1 (D)ìH 0 1 (D) cho bði a(u, v) Z
A∇u∇vdx,∀u, v ∈ H 0 1 (D) (2.45) p dửng ành lỵ Lax-Milgram choa, vợi F = f v H = H 0 1 (D) Ró r ng, a(u, v) l mởt dÔng song tuyán tẵnh p dửng bĐt ¯ng thực Cauchy- Schwarz, ta câ
|a(w, v)| ≤ β∥∇w∥L 2 (D)∥∇v∥L 2 (D) = β∥w∥H 0 1 (D)∥v∥H 0 1 (D) (2.46) vợi mồi w v v trong H 0 1 (D) Hỡn nỳa, a(v, v) ≥α∥∇v∥ 2 L 2 (D) = α∥v∥ 2 H 0 1 (D) , ∀v ∈ H 0 1 (D) (2.47)
Do õ, theo ành lỵ LaxMilgram, chúng ta cõ sỹ tỗn tÔi v tẵnh duy nhĐt cừa nghiằm cừa (2.41) cụng nhữ ữợc lữủng (2.43).
Sỡ lữủc vã thuƯn nhĐt hõa phữỡng trẳnh Ôo h m riảng
Phữỡng phĂp khai triºn tiằm cên
= f(x), trong D ⊂ R d , (2.48) u ε = 0, trản ∂D; trong õ a ij (x, y) tuƯn ho n theo bián y vợi chu ký Y = (0,1) d , thọa mÂn tẵnh chĐt sau: ν 1 |ξ| 2 ≤a ij (x, y)ξ i ξ j ≤ ν 2 |ξ| 2 ,∀ξ ∈ R d ,∀x ∈ D,∀y ∈ Y (0< ν 1 ≤ ν 2 ). x 2 x 1 x 2 x 1 ε → 0 y 2 = x 2 ε y 1 = x 1 ε
Hẳnh 2.1: B i toĂn hai kẵch thữợc
Dữợi Ơy ta phĂc hồa v i n²t chẵnh cừa phữỡng phĂp khai triºn tiằm cên: Ta muốn tẳm u ε dữợi dÔng u ε (x) = u 0 (x, x ε) + εu 1 x,x ε
+ trong õ u i (x, y) tuƯn ho n theo bián y.
∂y i y=ε −1 x phữỡng trẳnh (2.48) trð th nh
= f. ỗng nhĐt hằ số theo ε ta cõ: ε − 2 : − ∂
Phữỡng trẳnh (2.50) ữủc gồi l phữỡng trẳnh thuƯn nhĐt hõa.
∥u ε ∥H 0 1 (D) ≤ c∥f∥L 2 (D), (2.51) v u ε ⇀ u 0 trong H 0 1 (D) trong õ u 0 l nghiằm duy nhĐt cừa b i toĂn thuƯn nhĐt hõa
Hởi tử "two-scale"
Năm 1989, Nguyen đã giới thiệu khái niệm "two-scale convergence", mở ra một phương pháp tiếp cận mới cho các vấn đề toán thuần nhất hóa Phương pháp này được Allaire phát triển, cung cấp một khung lý thuyết cho việc nghiên cứu các cấu trúc phức tạp Định nghĩa 2.4.1 đề cập đến dãy hàm u ε thuộc L²(D), được gọi là "two-scale", với hàm u₀ thuộc L²(D), nếu tồn tại một hàm trơn ϕ(x,y) tuần hoàn theo y với chu kỳ Y trong không gian C⁰∞(D;C#∞(Y)), ta có lim ε → 0.
Mằnh ã 2.4.1 (Tẵnh duy nhĐt) Giợi hÔn "two scale" l duy nhĐt.
Chựng minh GiÊ sỷ u, v ∈ L 2 (D ìY) l hai giợi hÔn "two-scale" cừa d¢y u ε ⊂ L 2 (D) Khi â
[u(x, y)−v(x, y)]ϕ(x, y)dydx = 0 vợi mồi ϕ ∈ L 2 (D;C # (Y)) Do õ u = v h.k.n trong D ìY.
Nhên x²t 2.4.1 Náu u ε bà ch°n trong L 2 (D) tực l
∥u ε (x)∥L 2 (D) khi õ ành nghắa trản tữỡng ữỡng vợi ∀φ ∈ C 0 ∞ (D),Φ ∈ C # ∞ (Y) ta cõ limε → 0
Vẵ dử 2.4.1 Cho u ε = u x,x ε trong õ u ∈ L 2 (D ìY) l mởt h m trỡn v Y-tuƯn ho n theo bián y Khi õ u ε 2 − → scale u.
Với u ε = u x, x ε 2 trong không gian L 2 (D ìY), chúng ta có thể xác định một hàm biến đổi theo biến y Đối với mỗi hàm ϕ ∈ L 2 (D;C # (Y)), định nghĩa hàm ψ(x, y, z) := u(x, z)ϕ(x, y) Lưu ý rằng ψ(x, y, z) là một hàm biến đổi theo hai biến thực x và y, cùng với biến z, trong không gian R d.
Do õ hởi tử "two-scale" trũng vợi hởi tử yáu trong L 2 trong trữớng hủp n y.
Nhên x²t 2.4.2 KhĂi niằm hởi tử yáu trong L 2 (D) khổng thº hiằn ữủc tẵnh dao ởng cừa u ε º hiºn thà tẵnh dao ởng cừa bián x ε ta c¦n sû dửng h m thỷ cõ dÔng ϕ x, x ε
Để hiểu rõ về khái niệm "two-scale", chúng ta cần xem xét các yếu tố ảnh hưởng đến sự dao động trong không gian lớn hơn Khi nghiên cứu, việc sử dụng các mô hình toán học phù hợp là rất quan trọng để phân tích các đặc điểm này Khái niệm "two-scale" giúp chúng ta định hình được mối quan hệ giữa các biến và cách chúng tương tác trong các điều kiện khác nhau Việc áp dụng đúng phương pháp sẽ hỗ trợ trong việc tối ưu hóa các kết quả và nâng cao hiệu quả nghiên cứu.
Vẵ dử 2.4.3 trình bày việc khai triển hàm u ε theo biến x, với công thức X∞ i=0 ε i u i x, trong đó x và ε thuộc vào không gian l Các hàm này tuần hoàn theo biến y và có sự biến đổi theo biến thứ hai Khi ε tiến gần đến 0, hàm u ε sẽ thu hẹp quy mô Kết quả này mang ý nghĩa quan trọng trong việc phân tích và ứng dụng của các hàm trong nghiên cứu toán học.
Mằnh ã 2.4.2 ([1]) Tứ dÂy bà ch°n u ε trong L 2 (D) ta cõ thº trẵch ra mởt dÂy con (khổng Ănh số lÔi) hởi tử "two-scale" án mởt h m u 0 ∈ L 2 (D ×Y).
Trong bài viết này, chúng ta xem xét hàm ϕ(x, y) như một tờ hợp tuyến tính của các hàm φ(x) và Φ(y), với φ thuộc C₀ⁿ(D) và Φ thuộc C#ⁿ(Y) Chúng ta có thể tạo ra một tập con các hàm nhị phân sao cho chúng nằm trong L²(D×Y) Để đơn giản, chúng ta gọi tập con này là n, là tập các hàm thị chóp nhịp được Khi ϕ(x, y) được biểu diễn dưới dạng P, chúng ta có thể xác định các hệ số λk cho các hàm φk(x) và Φk(y).
Vợi mội h m thỷ ϕ, Ăp dửng bĐt ¯ng thực Cauchy-Schwarz ta cõ lim sup ε → 0 l ε (ϕ) ≤lim sup ε → 0∥u ε ∥L 2 (D)
Để khống chế các hàm thực thể chấp nhận được trong không gian, chúng ta có thể trích ra một dãy con ε′ → 0 sao cho lε′(ϕ) hội tụ tới một giới hạn hơn với mọi hàm thực thể chấp nhận được ϕ Từ đó, ta thu được một hàm phiếm hàm tuyến tính l(ϕ) và theo (2.53), hàm này có thể được mở rộng liên tục tới một hàm mà chọn trọn trong không gian L²(D) Theo ảnh lý biểu diễn Riesz, tồn tại một hàm u₀ ∈ L²(D) sao cho l(ϕ) = ∫ u₀ϕ.
Tứ õ ta cõ iãu phÊi chựng minh.
Tiáp theo ta x²t bờ ã sau
Bờ ã 2.4.3 GiÊ sỷ f(x, y) l mởt h m Y-tuƯn ho n theo bián y v f ∈ C(D;C # (Y), khi â ta câ limε → 0
Mằnh ã 2.4.4 GiÊ sỷ u ε (x) l mởt dÂy h m trongL 2 (D) hởi tử 2-scale tợi u 0 ∈ L 2 (D ìΠ), khi õ u ε (x) ⇀ u(x) = 1
Trong bài viết này, chúng ta xem xét các điều kiện liên quan đến giới hạn và tính hội tụ của các hàm số trong không gian L² Cụ thể, có một giới hạn dưới cho chuẩn L² của uε khi ε tiến tới 0, cho thấy rằng ∥uε∥L²(D) lớn hơn hoặc bằng ∥u0∥²L²(D × Π), và điều này cũng lớn hơn hoặc bằng ∥u∥²L²(D) Nếu u0(x, y) là hàm liên tục và ∥uε∥L²(D) đạt đến ∥u0∥L²(D × Π), thì sự khác biệt giữa uε(x) và u0(x) tiến tới 0 trong không gian L² Hơn nữa, nếu ∥uε∥H¹(D) bị giới hạn bởi một hằng số C, thì chuỗi {uε} có thể được chọn từ một chuỗi con {uεk} sao cho uε(x) hội tụ yếu về u0²(x).
Chựng minh Do u ε bà ch°n trong H 1 (D) nản tỗn tÔi u 0 (x, y) ∈ L 2 (Dì Π) v v(x, y) ∈ L 2 (D ìΠ) d v mởt dÂy con sao cho u ε ⇀ u 2 0 (x, y) (2.61)
Chú ỵ l cĂc h m ϕ l h m nhên giĂ trà vector NhƠn cÊ hai vả vợi ε v sỷ dửng tẵch phƠn tứng phƯn ta ữủc ε
LĐy tẵch phƠn tứng phƯn ta ữủc:
Tữỡng tỹ, nhữ chựng minh tẵnh chĐt cừa sỹ hởi tử "2-scale" ð trản, chồn h m thỷ φ sao cho divφ(y) = 0 LĐy tẵch phƠn tứng phƯn ta ữủc:
(2.71) LĐy tẵch phƠn tứng phƯn theo bián x ta ữủc
[v(x, y)− ∇u 0 (x)]φ(x)ãϕ(y)dydx = 0, (2.72) vợi mồi φ ∈ C 0 ∞ (D) v Φ ∈ C # ∞ (Π) sao chodivφ = 0 Nhù lÔi rơng phƯn bũ trỹc giao cừa gradient cĂc h m cừa H # 1 (Π) trong L 2 (D) chẵnh l cĂc h m cõ divergence bơng 0,
Do õ, náu R Π gϕ = 0 vợi mồi h m cõ ϕ ∈ C # ∞ (Π) divergece bơng 0 thẳ g = ∇yf vợi mởt f n o õ thuởc L 2 (Π) Do õ v(x, y)− ∇u 0 (x) = ∇yu 1 (x, y).
Phữỡng trẳnh elliptic hai kẵch thữợc
Náuf thuộc không gian L²(D) và theo định lý Lax-Milgram, phương trình (2.74) có nghiệm duy nhất uε trong H₀¹(D) thỏa mãn điều kiện (2.51) Do đó, tồn tại hai hàm u₀(x) thuộc H₀¹(D) và u₁(x, y) thuộc L²(D; H¹(Y)/R), mở ra một dãy con của uε(x) thông qua phương pháp "two-scale" từ u₀(x) và một dãy con của ∇uε.
"two-scale" tợi ∇xu 0 (x) + ∇yu 1 (x, y) Quan sĂt nhỳng giợi hÔn n y ta mong muèn h m u ε câ d¤ng u 0 (x) +εu 1 x,x ε
NhƠn cÊ hai vá cừa (2.74) vợi h m thỷ ϕ 0 (x) +εϕ 1 (x, y) trong õ ϕ 0 (x) ∈ C 0 ∞ (D) v ϕ 1 (x, y) ∈ C 0 ∞ (D;C # ∞ (Y)), ta câ
Cho ε → 0, theo ành nghắa hởi tử "two-scale" ta cõ
Sỷ dửng lêp luên trũ mêt cho thấy phữỡng trẳnh (2.77) phù hợp với mồi (ϕ 0, ϕ 1) thuộc H 0 1 (D) và H 0 1 (D) nằm trong L 2 (D; H # 1 (Y)/R) Điều này chứng tỏ rằng các giả thiết của định lý Lax-Milgram được thỏa mãn với dòng biến phân (2.77).
Ta s³ ch¿ ra cử thº tẵnh coercive cừa dÔng song tuyán tẵnh ð vá trĂi cừa
(2.77) Thêt vêy tẵnh coercive cừa A cho ta
Theo ành lỵ Lax-Milgram, b i toĂn bián phƠn (2.77) tỗn tÔi duy nhĐt nghiằm (u 0 , u 1 ) trong H 0 1 (D)ìH 0 1 (D)ìL 2 (D;H # 1 (Y)/R) nản dÂy u ε v ∇u ε hởi tử "two-scale" tợi u 0 (x) v ∇u 0 (x) + ∇yu 1 (x, y).
LƯn lữủt chồn ϕ 0 = 0, ϕ 1 = 0, Ăp dửng cổng thực cổng thực tẵch phƠn tứng phƯn cho (2.77) ta thu ữủc b i toĂn thuƯn nhĐt hõa sau:
−∇xã R Y A(x, y) (∇u 0 (x) +∇yu 1 (x, y)) = f(x), trong D, y →u 1 (x, y), tu¦n ho n chu ký Y, u = 0, trản ∂D.
Khỷ u 1 v biến y tứ hằ trản bơng cổng thực được thu ữủc phữỡng trẳnh thuĐt nhĐt hõa, tương tự như phữỡng phĂp khai triºn tiằm cên Trong phần còn lại, chúng ta sẽ mở rộng các kết quả của bài toán elliptic hai kích thước lản cho bài toán elliptic một kích thước.
GiÊ sỷ D ⊂ R d l mởt miãn bà ch°n v
A(x₁, y₁, , yₙ) thuộc L∞D, C là ma trận đối xứng trong không gian R^d với d biến A liên tục liên kết với yᵢ trong chu kỳ Y = [0,1]ᵈ cho mọi i = 1, , n Giả sử A và các biến được chọn xác định dữ liệu, có nghĩa tồn tại hằng số γ > 0 sao cho với mọi ξ ∈ R^d, thỏa mãn điều kiện γ|ξ|² ≤ ξᵀA(x, y₁, , yₙ)ξ ≤ (γ - 1)|ξ|² với mọi x ∈ D và yᵢ ∈ Y, i = 1, , n Đối với tham số ε > 0, ta áp dụng toán Dirichlet.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét phương trình vi phân dạng phân bố \( \div A_\epsilon \nabla u_\epsilon = f \) trong miền \( D \) với điều kiện biên \( u_\epsilon = 0 \) trên \( \partial D \), trong đó \( f \) thuộc không gian \( L^2(D) \) Đặc biệt, ma trận \( A_\epsilon \) được xét trong một bối cảnh mà các thành phần \( \epsilon_1, \ldots, \epsilon_n \) của \( \epsilon \) hướng tới 0 khi \( \epsilon \to 0 \), đồng thời thỏa mãn điều kiện giới hạn \( \lim_{\epsilon \to 0} \frac{\epsilon_{i+1}}{\epsilon_i} = 0 \) cho mọi \( i = 1, \ldots, n-1 \) và cho mọi \( x \in D \).
Khi n= 1 , chúng ta trð vã b i toĂn hai kẵch thữợc  x²t ð phƯn trữợc
Trong phƯn cỏn lÔi cừa khõa luên, º khọi mĐt cổng nhưc lÔi, ta luổn giÊ thiát iãu kiằn (2.80) ữủc thọa mÂn.
2.5.1 Hởi tử a kẵch thữợc ành nghắa 2.5.1 Mởt dÂy {u ε } ε ⊂ L 2 (D) hởi tử (n+ 1)-scale án u 0 (x, y 1 , , y n ) ∈ L 2 (D ìY 1 ì ã ã ã ìY n ) náu limε → 0
Y n u 0 (x, y 1 , , y n )ϕ(x, y 1 , , y n )dxdy 1 dy n cho bĐt ký h m ϕ ∈ L 2 (D, C # (Y 1 ì ã ã ã ìY n )). ành lỵ 2.5.1 Tứ mồi dÂy bà ch°n trong L 2 (D), chúng ta cõ thº trẵch xuĐt mởt dÂy con m hởi tử (n + 1), khi ε → 0 , tợi mởt h m u 0 ∈
L 2 (D ìY 1 ì ã ã ã ìY n ). º thiát lêp cổng thực bián phƠn, ta ành nghắa khổng gian V nhữ sau:
V= (ϕ,{ϕ i }) :ϕ ∈ H 0 1 (D), ϕ i ∈ L 2 D ìY 1 ìã ã ãìY i − 1 , H # 1 (Y i )/R ,i = 1, n vợi chuân ba gÔch
||∇y iϕ i ||L 2 (D ì Y 1 ìããã Y i ) (2.82) vợi (ϕ, ϕ 1 , , ϕ i ) ∈ V. ành lỵ 2.5.2 Nghiằm u ε cừa b i toĂn (2.79) hởi tử yáu án mởt h m u trong H 0 1 (D) v gradient ∇u ε (n + 1) hởi tử n+ 1-scale án
∇ y iu i (x, y 1 , , y i ) trong õ (u, u 1 , , u n ) l nghiằm duy nhĐt trong khổng gian V cừa b i toĂn bián phƠn
DÔng song tuyán tẵnh B l liản tửc v bực ("coercive") trong V: nghắa l tỗn tÔi c 1 , c 2 > 0 ởc lêp vợi ε sao cho
Khi n= 1, b i to¡n (2.83) trð th nh
. ành lỵ 2.5.3 GiÊ sỷ rơng nghiằm (u, u 1 , , u n ) cừa b i toĂn (2.83) ừ trỡn, tực l u ∈ C 1 D¯ v u i ∈ C 1 D, C¯ # 1 (Y 1 ì ã ã ã ìY i ) vợi mồi i = 1, , n Khi â, khi ε → 0 ta câ u ε (x)− u(x) + n
Vẵ dử 2.5.1 X²t phữỡng trẳnh hai kẵch thữợc
Phữỡng trẳnh (2.86) cõ nghiằm thuƯn nhĐt u(x) = 3
Vẵ dử 2.5.2 X²t phữỡng trẳnh ba kẵch thữợc mởt chiãu trản (0,1) nhữ sau: d dx
Phữỡng trẳnh thuƯn nhĐt hõa cõ nghiằm thuƯn nhĐt u(x) = 9
Kát luên õng gõp chẵnh cừa luên vôn bao gỗm:
1 Tẳm hiºu v trẳnh b y lÔi nởi dung vã phữỡng trẳnh elliptic v phữỡng phĂp hởi tử a kẵch thữợc º nghiản cựu phữỡng trẳnh elliptic a kẵch thữợc.
2 Chi tiát hõa, l m ró mởt số chựng minh trong b i bĂo [1, 2, 4].
Tuy nhiên, do thời gian thực hiện luôn vô cùng khó khăn và kiến thức còn hạn chế, tôi rất mong nhận được sự góp ý từ quý thầy cô và các bạn để hoàn thiện hơn.
[1] G Allaire (1992), Homogenization and two-scale convergence, SIAM Journal on Mathematical Analysis, 23(6), 14821518.
[2] G Allaire and M Briane (1996), Multiscale convergence and reiter- ated homogenisation, Proceedings of the Royal Society of Edinburgh, 126(2), 297-342.
[3] D Cioranescu, A Damlamian, and G Griso (2008), The periodic unfolding method in homogenization, SIAM Journal on Mathematical Analysis, 40(4), 15851620.
[4] V H Hoang and C Schwab (2005), High-dimensional finite ele- ments for elliptic problems with multiple scales, Multiscale Modeling
[5] U Hornung (1997), Homogenization and Porous Media, Interdisci- plinary Applied Mathematics, Springer, New York.
[6] V Jikov, S Kozlov, and O Oleinik (1994), Homogenization of Dif- ferential Operators and Integral Functionals, Springer, Berlin.
[7] W McLean (2000), Strongly Elliptic Systems and Boundary Integral Equations, Cambridge University Press.
[8] D Cioranescu, D and Donato, P and Roque, M.P (2017), Introduc- tion to Second Order Partial Differential Equations, An: Classical and Variational Solutions, World Scientific Publishing Company.
[9] G Nguetseng (1989), A general convergence result for a functional related to the theory of homogenization, SIAM Journal on Mathe- matical Analysis, 20(3), 608623.
[10] J Wloka (1987), Partial Differential Equations, Cambridge Univer- sity Press.
[11] Bensoussan, A and Lions, J.L and Papanicolau, G.(1978), Asymp- totic Analysis for Periodic Structures, North-Holland Publishing Co
[12] Chipot, M.(2009), Elliptic Equations: An Introductory Course,Birkhauser Basel. ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
BẢN TƯỜNG TRÌNH BỔ SUNG, SỬA CHỮA LUẬN VĂN
Họ và tên học viên: NGÔ THANH VŨ
Ngành: Toán Giải tích Khóa: 37
Tên đề tài luận văn:PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC ĐA KÍCH THƯỚC
Người hướng dẫn khoa học: TS CHỬ VĂN TIỆP
Ngày bảo vệ luận văn: 28/11/2021
Sau khi tiếp thu ý kiến của Hội đồng bảo vệ luận văn họp ngày 28/11/2021, chúng tôi giải trình một số nội dung sau:
1 Những điểm đã bổ sung, sửa chữa:
Phần nội dung, luận văn được chia làm hai chương:
Đã điều chỉnh các điều kiện cho miền D, bao gồm tính đóng, bị chặn và biên Lipschitz trong các không gian hàm tương ứng Bài viết thống nhất sử dụng ký hiệu R^d và đề cập đến thuật ngữ điều kiện biên Dirichlet cùng với vectơ ma trận.
- Đã điều chỉnh lại định lí bất dẳng thức Young phù hợp hơn với nội dung luận văn
- Đã điều chỉnh các kí hiệu Định nghĩa 1.2.1 về Phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp k Chương 2:
- Ví dụ 2.2.2, trang 23, đã được trình bày lời giải.
Phần trích dẫn: Đã trích dẫn tài liệu tham khảo cho các kết quả (định lí, bổ đề,…) không có trong chứng minh luân văn.
2 Những điểm bảo lưu ý kiến, không sửa chữa, điều chỉnh (nếu có) bởi những lý do sau:
……… Đà Nẵng, ngày 28 tháng12 năm 2021
BIÊN BẢN HỌP HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SĨ
1 Tên đề tài: Phương trình eliptic đa kích thước
2 Ngành: Toán giải tích Lớp K37.TGT
3 Theo Quyết định thành lập Hội đồng chấm luận văn thạc sĩ số 2055 /QĐ-ĐHSP ngày 28 tháng 10 năm 2021
4 Ngày họp Hội đồng: ngày 28 tháng 11 năm 2021
5 Danh sách các thành viên Hội đồng:
STT HỌ VÀ TÊN CƯƠNG VỊ TRONG HỘI ĐỒNG
1 TS Lương Quốc Tuyển Chủ tịch
2 TS Tôn Thất Tú Thư ký
3 TS Phạm Quý Mười Phản biện 1
4 PGS.TS Nguyễn Thành Chung Phản biện 2
5 PGS.TS Nguyễn Văn Đức Ủy viên a Thành viên có mặt: 05 b Thành viên vắng mặt: 0
6 Thư ký Hội đồng báo cáo quá trình học tập, nghiên cứu của học viên cao học và đọc lý lịch khoa học (có văn bản kèm theo)
7 Học viên cao học trình bày luận văn
8 Các phản biện đọc nhận xét và nêu câu hỏi (có văn bản kèm theo)
9 Học viên cao học trả lời các câu hỏi của thành viên Hội đồng
10 Hội đồng họp riêng để đánh giá
11 Trưởng ban kiểm phiếu công bố kết quả
12 Kết luận của Hội đồng a) Kết luận chung: ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
Trường ĐHSP-ĐH Đà Nẵng được đề nghị công nhận kết quả bảo vệ và cấp bằng thạc sĩ chuyên ngành Toán Giải tích cho học viên, đồng thời yêu cầu thực hiện chỉnh sửa nội dung liên quan.
- Chỉnh sửa theo góp ý của hội đồng Đặc biệt theo ý kiến của hai phản biện
Sau khi chỉnh sửa, học viên gửi email file PDF luận văn cho phản biện để xác nhận Các ý kiến khác không có Điểm đánh giá được ghi nhận là 8.3, tương đương với "Tám phẩy ba".
13 Tác giả luận văn phát biểu ý kiến
14 Chủ tịch Hội đồng tuyên bố bế mạc
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
BẢN NHẬN XÉT LUẬN VĂN THẠC SĨ
(Dùng cho phản biện) Đề tài: Phương trình Elliptic đa kích thước
Chuyên ngành: Toán giải tích Mã ngành: 8.46.01.02
Họ và tên học viên: Ngô Thanh Vũ
Người nhận xét: Phạm Quý Mười Đơn vị công tác: Trường ĐH Sư Phạm, Đại học Đà Nẵng
I Tính cấp thiết của đề tài
Nhiều bài toán trong khoa học vật liệu là bài toán đa kích thước, và việc tìm nghiệm số cho chúng bằng các phương pháp truyền thống như phần tử hữu hạn hay sai phân hữu hạn thường dẫn đến các bài toán rời rạc lớn và khó giải Một phương pháp thay thế là nghiên cứu mối quan hệ giữa nghiệm của bài toán đa kích thước và bài toán thuần nhất tương ứng, từ đó giải số phương trình thuần nhất để có được nghiệm xấp xỉ cho bài toán đa kích thước Phương pháp này không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn mang lại giá trị thực tiễn trong nghiên cứu.
II Cơ sở khoa học và thực tiễn
Luận văn được chứng minh với các kết quả chặt chẽ và trích dẫn rõ ràng, đảm bảo nội dung phù hợp với tên đề tài Tài liệu tham khảo được chọn lọc kỹ lưỡng, đảm bảo tính chính xác và độ tin cậy cao, qua đó khẳng định tính khoa học và thực tiễn của luận văn.
III Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu hiệu quả cần dựa trên các nguồn tài liệu tham khảo đáng tin cậy, giúp học viên tổng hợp và sắp xếp thông tin một cách hợp lý, đồng thời chứng minh tính quan trọng và sự phù hợp với nội dung nghiên cứu.
IV Kết quả nghiên cứu
Luận văn dài khoảng 50 trang, bao gồm phần mở đầu, nội dung, kết luận và tài liệu tham khảo Nội dung của luận văn được chia thành hai chương chính.
Chương 1: Tác giả trình bày các không gian hàm cơ bản, các khái niệm hội tụ trong không gian hàm, Định lí Lax-Milgram và một số khái niệm, thuật ngữ trong phương trình đạo hàm riêng cấp hai, đặc biệt là phương trình đạo hàm riêng tuyến tính
Chương 2 là nội dung chính của luận văn Trong chương này, học viên tập trung trình bày phương pháp thuần nhất hóa phương trình elliptic đa kích thước Trước hết, luận văn trình bày các kết quả cơ bản về phương trình elliptic và phương pháp chuỗi Fuourier để giải bài toán Dirichlet, Neuman cho phương trình này Sau đó, học viên giới thiệu bài toán đa kích thước (bao gồm bài toán hai kích thước và sau đó là n+1 kích thước) và sự tồn tại, duy nhất nghiệm của bài toán này Để nhận được phương trình thuần nhất, luận văn sử dụng phương pháp khai triển tiệm cận và phương pháp hội tụ đa kích thước (được giới thiệu bởi Nguyetseng và tổng quát hóa bởi Allair)
Xét về tổng thể, luận văn bố cục hợp lí, có giá trị khoa học và thực tiễn Tuy nhiên, luận văn
1 Cần xác định rõ điều kiện cho miền D (tính đóng, bị chặn, biên Lipschitz,….) để đảm bảo sự tồn tại các không gian hàm tương ứng.