Nhóm, nhóm con
a Một tập hợp không rỗng G với luật họp thành trong (a,b) -> a*b sẽ là một nhóm, nếu nó thỏa các tiên dề :
(G2) tồn tại phần tử trung hòa e : e * a = a * e = a , V a e G
(G 3) tồn tại phần tử đối a' : a ' * a = a * a ' = e V a e G
Nhóm G được gọi là nhóm giao hoán hay Abel nếu nó thỏa thêm tiên dề :
Trường hợp là “+” thì e = 0, a’ = - a là “x” thì e = 1, a' = a"1 Để cho đơn giản, từ đây về sau thay vì a* b ta viết ab.
Nếu G chứa một số hữu hạn N các phần tử thì nhóm
Nhóm G được phân loại thành hữu hạn (cấp N) hoặc vô hạn, tùy thuộc vào số lượng phần tử Nếu nhóm vô hạn có các phần tử phụ thuộc vào các tham số liên tục, nó được gọi là nhóm liên tục Từ tiên đề (Gi), ta có thể viết (ab)c = a(bc) = abc, cho thấy tính chất kết hợp của phép nhân Tương tự, tích của n phần tử có thể biểu diễn dưới dạng a1a2 an mà không cần chú ý đến dấu ngoặc, mặc dù phép nhân chỉ được định nghĩa cho hai phần tử ban đầu.
Ta cũng có được dạng lũy thừa : a° = e, a1 = a, , an = aan_1 = a ^ a
Chúng ta sẽ chứng minh rằng (a")"1 = (a_1)n Đầu tiên, điều này rõ ràng đúng với n = 1 Giả sử giả thuyết này đúng với mọi n trong khoảng 1 < n < m, chúng ta sẽ chứng minh nó đúng với n = m + 1 Khi n = m, ta có: am(a - 1)m - (a - 1)m am = e.
Khi đó am+1 (a_1)m+1 = a(am(a- 1)m)a-1 = aea-1 = e
(a_1)m+1 am+1 = a_1 ((a_1)mam)a = a_1a = e đ p cm Như vậy thay vì (a-1)n ta viết luôn a'n Tương tự La cũng chứng minh được : (aia2 an)_1 = a ^ - - a ^ a j 1 a*a‘ = a' + t c) Ta gọi nhóm con của nhóm G là một bộ phận
H c G thóa các tính chất : 1 a, b e H => ab e H
2 a e H => a" 1 e H Nhóm con tầm thường là H = {e}, H = G.
Tập hợp {e, a1, , an, } là một nhóm con của G, được gọi là nhóm chu trình (cyclic) [a] Đối với mỗi tập con không rỗng M thuộc G, ta có thể xây dựng nhóm con của G bằng cách lấy tất cả các tích có thể từ các phần tử của M Nhóm con này được ký hiệu là [M] và được gọi là sinh bỗi M.
D i dàng chứng minh rằng giao của một tập bất kỳ các nhóm con của G cũng là một nhóm con của G.
1 Tập các số thực R là nhóm Abel đối với phép cộng thông thường Tập các số nguyên z là nhóm con của R.
2 Tập hợp Ị r / ĩ Ị là nhóm Abel hữu hạn đối với phép nhân.
Tập hợp các hoán vị của n số tự nhiên tạo thành một nhóm hữu hạn với n! phần tử, thực hiện phép "nhân" các hoán vị theo thứ tự Nhóm này được gọi là nhóm hoán vị hay nhóm đối xứng (Symmetric) và không phải là nhóm Abel khi n > 2.
4 Tập hợp tất cả các ma trận n X n thực, trực giao (tức
Nhóm trực giao O(n) được hình thành từ phép nhân ma trận, đại diện cho nhóm quay trong không gian Euclide thực n chiều Phép quay này là một biến đổi tuyến tính của các vectơ, giữ nguyên môđun của chúng, tức là x a x ’a = 0„p Xp.
Tập hợp \( tín = \{ e, C_n, C_n, \ldots, C_{n-1} \} \) với \( C_n \) là phép quay trong mặt phẳng một góc \( \phi = \frac{2\pi}{n} \) tạo thành một nhóm chu trình hữu hạn, tuần hoàn cấp \( n \) Phần tử nghịch đảo được định nghĩa là \( (C_k) = (C_{n-k}) \), và rõ ràng \( C^n = e \).
6 Nhóm (dz = le, a, b, c, d, f) với e là dơn vị, và phép nhân (kết hợp) được xác dinh qua bảng nhân nhóm sau e a b c d f a e d f b c b f e d c a c d f e a b d c a b f e f b c a e d
Ta thấy ngay các phần tử nghịch đảo tương ứng là a~ 1 = a, b" 1 = b, c” 1 = c, d~ 1 = f, f 1 = d Đây là nhóm hữu hạn cấp 6 , không giao hoán.
Nhóm con bất biến và nhóm thương
Cho nhóm G và nhóm con H thuộc G Tập giH = {gih | g ∈ G, h ∈ H} được gọi là lớp kề trái của G theo nhóm con H, xác định bởi gi.
Xét hai tập hợp g2G và g2H, ta nhận thấy rằng chúng hoàn toàn tách biệt Nếu giả sử có phần tử chung giữa hai tập hợp này, ví dụ gxa¡ = g2a¡ với gia¡ thuộc g2H và g2aj thuộc g2H, thì từ đó suy ra g2 = gia¡ aT1, điều này dẫn đến g2 cũng thuộc giH, trái với giả thiết ban đầu.
Tiếp theo, xét g3 thuộc G nhưng không nằm trong cả giH lẫn g2H, và thiết lập lớp kề trái g3H mà không có phần tử chung với giH hay g2H Quá trình này tiếp tục cho đến khi nhóm G được phân thành nhiều lớp kề trái (theo nhóm con H) không giao nhau, dẫn đến khai thức Lagrange trái của G theo H.
Ta cũng có kết quả tương tự đối với các lớp kề phải
Số lớp kề (trái hay phải) trong khai thức Lagrange của G theo nhóm con H được gọi là chí sổ của H trong G
Từ đây, chúng ta có thể phát biểu định lý Lagrange: Cấp bậc và chỉ số m của mọi nhóm con trong một nhóm hữu hạn G là ước số của cấp bậc N của nhóm G.
G : N = n.m b Các lớp kề trá i và phải nói chung khác nhau
Chúng sẽ trùng nhau dối với phần tử bất kỳ g G G nếu như
H thỏa diều kiện gH = Hg, hay gHg-1 = H, Vg G G Vậy dể các nhóm kề trái và phải theo nhóm con H là trùng nhau thì điều kiện cần và đủ là :
Gag-1 là phần tử liên hợp của nhóm G, trong đó nhóm con H được gọi là nhóm con bất biến, ký hiệu là H^G Đối với nhóm Abel, mọi nhóm con đều được xem là bất biến.
Quan hệ giữa hai phần tử liên hợp a và gag-1 là một quan hệ tương đương, dẫn đến việc phân nhóm G thành các lớp tương đương, được ký hiệu là [a] Rõ ràng, với phần tử e, ta có [e] = e Đối với các nhóm Abel, [a] = a, nghĩa là số lớp tương đương bằng số phần tử (cấp) của nhóm.
Nhóm f^3 được phân thành ba lớp: lớp [e] chứa phần tử e, lớp [c] bao gồm các phần tử la, b, cl, và lớp [d] là {d, fl} với điều kiện b = fe r 1 và a = b cb '\ f = ada-1 Xét tập hợp các phần tử là những lớp kề của nhóm G theo nhóm con bất biến H, giả thiết A được định nghĩa là gH.
B = hH là 2 lớp kề, thì tích AB sẽ là lớp kề
AB = gH.hH = g(Hh)H = g(hH)H =
Nói cách khác, tích AB là luật hợp thành trong của tập các lớp kề {A, B, IA = gH).
Phần tử nghịch đảo A"1 = (g lĩr1 = g_1H là lớp kề, với H là phần tử đơn vị của tập này Điều này cho thấy rằng tập các lớp kề của nhóm G theo nhóm con bất biến H tạo thành một nhóm, được gọi là nhóm thương G/H Tập hợp tất cả các phần tử của nhóm G giao hoán với mọi phần tử e G được gọi là tâm của nhóm G, ký hiệu là c = |c e Gl cg = gc với mọi g thuộc G.
Một nhóm dược được gọi là đan nếu nó không có nhóm con bất biến nào khác ngoài chính nó và các nhóm con bất biến rời rạc Nó được gọi là nửa đơn nếu không tồn tại nhóm con bất biến giao hoán nào, kể cả chính nó.
Đồng cấu, đẳng cấu, tự đẳng c ấ u
a Cho 2 nhóm Gi, Ga và phép ánh xạ f : Gi I—> G2 Nếu f thỏa í(gh) = ílg) f(h) Vg,h e Gi thì ta gọi đó là phép đồng cấu (homomorphism) từ Gi vào
(hay lên) G2 Tập hợp (í(g)lg e Gil 3 f(Gx) gọi là ảnh của nhóm Gi qua phóp đồng cấu f, ảnh này nói chung là một nhóm con của G2.
Từ định nghĩa phép đồng cấu ta suy ra, với ei - đơn vị của Gi : fleig) = flei)flg) = fi(g) => f(ei) = e2 - phần tử đơn vị của G2. flgg-1) = f(g) f(g-1) = ffe,) =* fig-1) = [fig)]-1
Có những phần tử hi thuộc G sao cho f(hi) = e2 Tập hợp tất cả các phần tử hj thỏa mãn điều này được gọi là nhân của pháp đồng cấu f, ký hiệu là ker f = {hi thuộc G | f(hi) = e2}.
Ker f là một nhóm con của Gi, điều này có thể dễ dàng nhận thấy Đối với bất kỳ hi e ker f và g thuộc G Gj, ta có các phương trình: flghxg"1) = flg)flhi) fig"1) = flg)flg_1) = e2.
Nếu ánh xạ ngược lại G2 t—> Gi cũng là đồng cấu, thì ta gọi đó là phép đẳng cấu (isomorphism) Khi đó, hai nhóm Gi và G2 được xem là dẳng cấu với nhau, ký hiệu là Gi - G2.
Các nhóm đẳng cấu có thể được coi là tương đương về cấu trúc, mặc dù bản chất của các phần tử trong từng nhóm là hoàn toàn khác biệt.
Phép đẳng cấu của nhóm G lên chính nó dược gọi là tự đẳng cấu (automorphism).
Để chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để phép đồng cấu f là ker f = le, ta xem xét hai nhóm G1 và G2 cùng với phép đồng cấu f giữa chúng.
Gi lên G2 : flGi) = G2 Khi đó ta sẽ có
Ta không chứng minh định lý này.
Tính trực tiế p
a Cho 2 nhóm Gi, G2 Xét tập G tạo thành bởi các cặp (gi, g2), gi e Gi, g2 e G2 và định nghĩa luật hợp thành trong trong G như sau :
(gl, g2) (hi, h2) = (gi hí, g2 h2) V(gi, g2), (hi, h 2) e G
Phần tử đơn vị trong nhóm G được chọn là (ei, e2), với ei và e2 là phần tử đơn vị tương ứng trong các nhóm Gi và G2 Phần tử nghịch đảo (gi, g2)^-1 được xác định là (gi^-1, g2^-1) Điều này cho thấy G là một nhóm, và nó được gọi là tích trực tiếp của hai nhóm Gi và G2.
Hai nhóm con của G : G'i = Kg!, e2)} và G’2 = {(ei, g2)} có thể đồng nhất tương ứng với Gi và G2 Ta có
(gi, e2) (ei, g2) = (gi, g2) = (elf g2) (gi, e2) tức Gi và G2 giao hoán với nhau.
Các nhóm con Gi là những nhóm con bất biến của G Thật vậy V(gi, g2) € G và (a, e2) e Gi ta có :
Ta hăy chứng tỏ rằng số lớp tương đương của
G = Gi ® G2 được xác định là tích số lớp của Gi và G2 Để hiểu rõ hơn, xét các phần tử (ai, a2) thuộc G, trong đó ai thuộc lớp nhất định của Gi và a2 thuộc lớp nhất định của G2 Rõ ràng rằng tập hợp {(ai, a2)| tạo thành một lớp trong G} cho mọi (gi, g2) thuộc G.
(gi, gs) (ai, a2) (gi, g2)_1 = (g ia ig ĩ1 , g2a2g 21) e lớp đó
Trong trường hợp đặc biệt, khi Gi và G2 là hai nhóm con giao hoán của cùng một nhóm G, phép nhân gi và g2 được hiểu là gig2 > gl, với g2 thuộc G Do đó, chúng ta có thể định nghĩa lại tích trực tiếp trong trường hợp này.
Một nhóm G dược gọi là tích trực tiếp của 2 nhóm con
Gi, G2 khác nhau của nó nếu :
(i) các phần tử của Gi và G2 giao hoán với nhau.
(ii) mọi g e G dều có thể phân tích một cách duy nhất dưới dạng g =? gxg2, g! e Gi, g2 e G2.
Gi và G2 là các nhân tử trực tiếp của G, và chĩ có phần tử chung là đơn vị e.
Ví dụ : Nhóm #6 = Ịe,C6, c |, C g , , c |Ị có thể viết dưới dạng
% = Gl ® G2, với Gi = Ịe, c |,C g Ị và Gi = Ị ì,c |Ị c Tích trực tiếp của 2 ma trận Cho 2 ma trận A cấp n và B cấp m :
Tích trực tiếp c = A ® B là ma trận cấp n.m, có thể viết dưới dạng ma trận khô'i cấp n mà phần tử (ik) là ma trận cấp m aikB.
Chẳng hạn với n = 2, m = 3 ta có :
Rõ ràng các phần tử của A ® B là mọi tích khả dĩ giljfa các phần tử của A và của B, và để chỉ hàng và cột ta dùng 2 chỉ số
(i> Tích trực tiếp 2 ma trận chéo là 1 ma trận chéo, của 2 ma trận đơn vị là 1 ma trận đơn vị.
(ii) Gọi AUi, A(2’ - ma trận cấp n, và BU), B(2) - cấp m, thì
Thật vậy, xột phần tử (ia, kò) ở vế trỏi :
= Ia^ A ^ L Ib'-'b'2ằ ^ [a'” A ô bO’B^’U p củng chớnh là phần tử (ia, kò) ở vế phải.
(iii) Nếu A và B unita thì A ® B cũng unita.
Thật vậy, từ tính chất (ii) ta được ngay (A ® B) ; = A-1 ® B 1 Mặt khác hiển nhiên (Ã ®B)+ = A+ ® B+, và vì A+ = A -\ B+ = B-1 => (A ® B)+ = (A ® B r 1,
Trường hợp các ma trận A và B tương ứng tạo nên 2 nhóm Gi = IA}, G2 = (B) thì tích trực tiếp Gi ® G2 sẽ bao gồm các phần tử (A, B) = A ® B.
Phép biểu diễn nhóm
Nhóm G = {g} và nhóm các toán tử 'ư = {T} hoạt động trong không gian vectơ E Phép đồng cấu từ G vào 'Ư(G) được gọi là biểu diễn của nhóm G trong không gian biểu diễn E.
Dĩ nhiên, Vg, h e G tá có :
Biểu diễn được gọi là tuyển tính nếu nó được diễn tả bởi các toán tử tuyến tính Ta chỉ xét các biểu diễn loại này.
Giả thiết không gian E n chiều xác định bởi hệ vectơ cơ sở {
- 1
Biểu diễn 2 chiều QfìZì có các giá trị xi3) = 2, x f = -1, x(33) = 0 Về vấn đề thứ hai, người ta đã chứng minh rằng mỗi biểu diễn của các nhóm hữu hạn đều tương đương với một biểu diễn unita nào đó.
Biểu diễn ty được gọi là unita nếu mọi D(g) đều unita; khi đó
Chính đây là biểu diễn ta chọn làm “đại diện” cho mỗi lớp biểu diễn tương đương.
Biểu diễn chính quy
Bây giờ ta chọn không gian biểu diễn E của nhóm G là chính không gian dại số nhóm của G :
Không gian E có N chiều, với N là cấp của nhóm G, có hệ vectơ cơ sở gồm N phần tử của G Khi một phần tử của G tác động lên "vectơ" của E, thực chất là thực hiện phép nhân nhóm, tương ứng với một phép hoán vị của N phần tử Điều này tạo ra một phép tự đồng cấu trong không gian N chiều, có thể được biểu diễn bằng ma trận N x N.
Biểu diễn chính quy của nhóm G, ký hiệu là ^RI, thể hiện sự tương ứng giữa các phần tử khác nhau của G với những hoán vị khác nhau Điều này dẫn đến việc các ma trận D(h>.f. feG
Từ đó ta thấy ngay rằng DịRg(h) = 1 khi f = hg, và
TV-p-)fh\ _ 5 „, Thành thử các phần tử chéo của D hiển nhiên là bất khả quy vì là
1 chiều Còn biểu diễn 2 chiều Ç/'(3> cũng bất khả quy vì nghiệm đúng dịnh lý 1
Tất cả các biểu diễn bất khả quy của nhóm ữ'3 đều được thể hiện qua ba biểu diễn nêu trên, vì s’ = s Theo định lý 2, mọi biểu diễn bất khả quy của một nhóm đều có thể được chứa trong biểu diễn chính quy, với số lần xuất hiện tương ứng với số chiều của biểu diễn đó.
Theo kết quả trên, ta có công thức au = — ^ỊTNpXp^Xp^ Sử dụng biểu thức đặc biểu của biểu diễn chính quy, chỉ số “1” đại diện cho lớp Ki = {e} với số Ni = 1 Đồng thời, đặc biểu Xi° (thực) tương ứng với số chiều nụ của biểu diễn.
Từ đây ta còn có thêm định lý Đ ịn h lý 3 (B u rn sỉd e ): ÚfiĩL) _ ^ ®n C0(u)
CM : Ta có nói chung p
Quả vậy, từ định lý 2 :
Vì x(R’(e) = N và x vl|Axxs)v|^Viv) j.i Ở đây ký hiệu (pj, vl|Xrxs) dược gọi là các hệ số
Xây dựng các biểu diễn
Trong các bài toán vật lý, chúng ta thường bắt đầu từ một nhóm biến đổi trong không gian cấu hình Vấn đề quan trọng là xây dựng các biểu diễn của nhóm biến đổi đó để áp dụng vào các tình huống thực tiễn.
Cụ thế cho nhóm G = Igh tác dụng trong không gian (x| như sau :
X —> x' = gx ữ ng với g ta có toán tử Tg tác dụng trong không gian Hilbert E = | vị /( x )1 : V|/ ’ 3 Tgụ/ sao cho
Vị/ ’(x’) 3 TgVỊ/(x’) = Vị/(x) nếu x' = gx
Chẳng hạn với g là phép tịnh tiến x' = X + a, thì Iị/’(x) ta thu được từ Vị/(x) bằng cách tịnh tiến dồ thị Iị/(x) về phía trái một doạn a, tức Vị/’(x) = Vị/(x - a).
Nếu tiếp theo g ta thực hiện thêm biến dổi h : x” = hx' thì :
Thv/(x”) = Th Vị/’(hx’) = Th Tg vy(hgx)
= VJ/’(x’) = lị/(x) hay ThTg Vị/(x”) = \ụ(x) 3 Thg Vị/ (x”) tức ThTg — Thg.
Ngoài ra biến đổi nghịch đảo g-1 tương ứng Tg-1 = (Tg)“1 Tập '£TG) = {Tgig € G} được gọi là biểu diễn toán tử của nhóm G trong không gian Hilbert E Nếu trong
E có xác định hệ vectơ cơ sở {v|/ị} thì ta có biểu diễn ma trận, xác định qua
Tg Vi= j b Để minh họa ta xét cụ thể nhóm G = (e, P1 , với p
- phép phản chiếu không gian (3 chiều) : x’ = Px = - X , X € R3 Trưóc tiên chọn Vị/(x) e E; ta có
Tổ hợp tuyến tính của các vectơ V|/(x) và VỊ/(x) thể hiện mối quan hệ giữa các thành phần trong không gian E Các biểu thức T evt/(ex) và Tcn>(-ex) cho thấy sự tương đương giữa các vectơ, trong khi TpV|/(Px) và TpHí(-x) chỉ ra rằng chúng đều là phần tử của hệ vectơ cơ sở Hai vectơ này, f1( \ự(-x) và 3 Ỉ 2, đóng vai trò quan trọng trong việc xác định cấu trúc của không gian vectơ.
Ta viết lại: Ị T ^ = f\ + 0 f2 ÍTpf1 = 0 f1 + f2 t e = 0fi + f 2 t e = f i + o f 2 hay, viết chung lại :
Ta thấy ngay : p 2 = e, [D(P)]2 = D(e), tức đây là biểu diễn 2 chiều của G.
* Bây giờ nếu chọn V|/(x) là hàm chẵn : VỊ/(-x) = V|/(x), thì ta sẽ chỉ còn 2 hệ thức
TeVị/ = VỊ/ , TpV = Vị/ tức chì có 1 vectơ cơ sô : ta dược biểu diễn 1 chiều :
Da,(e) = 1 , D(1,(P) = 1 Nếu chọn Vị/ là hàm lẻ Vị/(~x) = — VỊ/(x) thì :
Tevị/ = Vịằ , TpVịằ = - VỊ/ và ta dược biểu diễn 1 chiều khác :
Giả sử chúng ta chọn hai hàm f1 chẵn và f2 lẻ, khi đó ta có Tpf1 = f1 và Tpf2 = -f2 Điều này cho phép chúng ta tạo ra một biểu diễn 2 chiều, thực chất là kết hợp hai trường hợp độc lập đã nêu.
Khi chọn hai hàm độc lập tuyến tính không chẵn không lẻ, ta có hệ vectơ cơ sở gồm bốn hàm: f1 = Vị/(x), f2 = vị/(—x), f3 = (x), và f4 = (-x) Từ đó, ta có thể thu được biểu diễn bốn chiều cho hệ thống này.
V 0 D ( p ) J với D(e), D(p) là ma trận 2 x 2 trên kia.
Hai trường hợp sau cùng dược gọi là phép tổng trực tiếp các biểu diễn :
Trường hợp tổng quát cũng được suy ra một cách dễ dàng.
Các nhóm đối xứng vật l ý
o Xét hệ vật lý đặc trưng bởi Hamiltoninn H(q) q = ( r , t ) Nhóm G dược gọi là nhóm đối xứng
(Symmetry group) của hệ vật lý nếu như
H(gq) = H(q) Ưg e G Gọi H(q) VỊ/ (q) = -> -> trục f -ằ• k , rồi quay quanh k một gúc f Kết quả rõ ràng là một phép
— > quay góc (p quanh trục f : gC ựcplg- 1 = c (tp) = c (ẹ) k f g k
Tương tự ta cũng chứng minh dược gS^cplg'1 = s (tp) , g - phép quay. k g k
Nếu g - phép quay gương, thì ta sẽ có gCL( S2n, SíỊn, , S2n_1| , tức là một nhóm chu trình cấp 2n.
Những lũy thừa bậc chẵn lập n ên nhóm con 'tín
Ngoài các phần tử của tín, còn có các phép quay một góc Tt quanh trục thẳng góc với trục cấp n Nhóm này tạo thành hình lăng trụ đều n cạnh trùng với chính nó.
Ngoài các phần tử của hệ thống, còn có những phép chiếu qua các mặt phẳng đi qua trục Cn và các trục c2 Số lớp trong hệ thống này gấp đôi số lớp của các phần tử.
(7) r^nd : gồm các phần tử của cộng th êm n m ặt đối xứng ơd là m ặt phân giác của góc giữa các trục c2 kề nhau.
Nhóm 1z T bao gồm 12 phần tử, trong đó có phép quay trùng với chính nó và các phép quay C3 đi qua đỉnh và điểm giữa mặt đối diện Ngoài ra, nhóm này còn có các phép quay C2 đi qua trung điểm của mỗi cặp cạnh không gập nhau, với 4 phép quay góc 2n/3 và 4 phép quay góc 4rc/3.
3 phép quay góc n , và phân chia làm 4 lớp Từ đây r có 4 biểu diễn bất khả quy với sô" chiều thỏa hệ thức l 2 + l 2 + l 2 + 32 = 12
Nhóm ZTd bao gồm 24 phần tử, được chia thành 5 lớp, với 5 biểu diễn bất khả quy thỏa mãn điều kiện 2 + l2 + 22 + 32 + 32 = 24 Ngoài các phần tử cơ bản, nhóm còn có thêm 6 phép phản chiếu qua các mặt phẳng đi qua 2 đỉnh và điểm giữa của cạnh đối diện, cùng với 2 phép quay gương đối với 3 trục.
Nhóm các phép quay bao gồm tất cả các phép biến hình lập phương trùng với chính nó, với tổng cộng 24 phần tử được phân thành 5 lớp Trong đó, có 1 phép quay đơn vị, 3 phép quay góc 71 quanh các trục đi qua điểm giữa những mặt đối diện, 6 phép quay góc ± 7t/2 cũng quanh các trục đó, 6 phép quay góc 71 quanh các trục đi qua điểm giữa những cạnh đối diện, và 8 phép quay góc 27t/3 quanh các trục đi qua những đỉnh đối diện.
(12) 0 /, = 0 % , gồm 48 ph ần tử, 10 biểu diễn bất khả quy.
Tóm tắ t lại, ta có th ể v iế t bảng đặc biểu tấ t cả các nhóm điểm có ứng dụng thực t ế dưới dạng cô đọng như sau
(D # 4v gồm các lứp : e, c 2 , 2C„, 2ơv, 2ơv'
Ký hiệu CẮC biểu d iễn như nhau
3 PH Â N LOẠI CÁC DAO ĐỘNG BÉ.
Hệ các hạt trong vật rắn thực hiện những dao động nhỏ có thể được mô tả qua bốn dao động độc lập, được xác định bởi các phương trình Những phương trình này liên quan đến tọa độ trực giao và tần số trực giao của hệ, với dấu chỉ đạo hàm theo thời gian t.
Mỗi hệ thống dao động có thể được mô tả bằng cách xác định vị trí cân bằng của các hạt trong cấu hình, từ đó xác định nhóm đối xứng cụ thể Để phân loại các dao động nhỏ, chúng ta cần xây dựng biểu diễn dựa trên các dịch chuyển khỏi vị trí cân bằng của từng hạt, với chỉ số hạt i = 1, , n.
Thành phần Descartes là yếu tố quan trọng trong việc khai triển ( / theo các biểu diễn bất khả quy, từ đó có thể rút ra kết luận về C0M và q'M Để thực hiện khai triển ( / = ^ ® a ( / — 6 t at aKq.
Ta thấy ngay q' phải có chi số R k , q' = q , tức
D(g) biên vectơ cơ sở q_* -> q Nói cách khác, nếu hệ k R k vectơ cơ sở của biểu diễn ẩ*(G) có chứa vectơ q_, thì nó k cũng chứa luôn q _>, R eF.
Tập hợp tất cả những vectơ R k không tương đương (VReF) dược gọi là sao cấp m của ưectơ k trong biểu diễn
—► —► —> —> k 2 = R i k, „ k m = Rm_! k b Trong nhóm không gian G có nhóm con £[_* —ằ ưng với mỗi k i trong sao { k } ta có một nhóm con H_>, ki các nhóm này người ta thấy được là đẳng cấu với nhau.
Biểu diễn bất khả quy của nhóm H_> được ký hiệu là r (,1), cho thấy rằng mỗi biểu diễn bất khả quy &(G) được xác định bởi một tập hợp { k } gồm các k không tương đương và một biểu diễn bất khả quy r (tl) của nhóm H_> liên quan đến các k không tương đương Biểu diễn @(G) được ký hiệu với số chiều biểu diễn n_> = n^.m, trong đó m là số vectơ trong tập hợp { k }.
Việc xác định các biểu diễn r phụ thuộc rất k nhiều yếu tố cụ thể của nhóm G, và ta không xét ở đây.
Trong nghiên cứu các trạng thái điện tử trong tinh thể, hạt nhân của các nguyên tử được xem là nằm tại các nút của mạng Toán tử Hamiltonian của hệ nhiều diện tử trong trường các hạt nhân đó là bất biến đối với nhóm không giam tương ứng Do đó, các hàm riêng của Hamiltonian, tương ứng với cùng một trị riêng, sẽ biến đổi theo biểu diễn bất khả quy (G), và những hàm này có thể được chọn đồng thời là hàm riêng của hệ thống.
^ — > — > ^ rl y • * * 9 rn V j = 1, 2, nM / tương ứng với năng lượng E Ta có : k t a * ( m ) II * (-* -* -> -V\ rl v •> rn ri + a, ,rn + a
Từ đây ta thấy ngay rằng hàm rl>-">rn _ e -i(k R ) VỊ/ (fO ki riằ* ằ1*!!
—> ỵ rc ' —> # „ với R = — / ' r j , sẽ bất biến đôi với phép tịnh tiên. n ù i
V tức (ị) là hàm tuần hoàn.
Như vậy các hàm riêng ta có thể diễn tả qua kj hàm tuan hoàn :
Nếu khai trien (Ị) thành chuỗi theo một hệ đẩy
—> biến thiên tuần hoàn, k là vectơ tựa xung lượng của điện tử.
—► Trị riêng năng lượng E = E( k ) xác đinh dải năng lượng 1 điện tứ
1 NHÓM VÔ HẠN. a Ta đã xét nhóm hữu hạn cấp N
Luật hợp thành trong (bảng nhân nhóm) cho ta ga gb = go tức chỉ số c được xác định qua a, b cho trước (kể cả thứ tự) :
Trong trường hợp nhóm N 00, chúng ta có một nhóm vô hạn rời rạc, nơi các kết quả đã biết về nhóm hữu hạn vẫn áp dụng với những điều chỉnh nhỏ Đặc điểm nổi bật của nhóm rời rạc, dù hữu hạn hay vô hạn, là các phần tử của chúng được đánh số bằng chỉ số tự nhiên Phần tử trung hòa được ký hiệu là Roo, và phần tử nghịch đảo là Rnín = R_m_n Nhìn chung, có hai chỉ số ở đây, và các điểm của đa tạp nhóm được biểu diễn như là nút của mạng hai chiều: c = ộ (a, b).
Ví dụ : Xét nhóm biến đổi Rmn m, n - nguyên Luật hợp thành trong :
Tuy nhiên ta dễ dàng đánh số lại :
Trong trường hợp tham số biến thiên liên tục ga -> g(a), ta có thể xác định nhóm liên tục với vô hạn phần tử Nhóm liên tục này có các phần tử đặc trưng bởi một hoặc nhiều tham số thực, có thể là vô số tham số Hàm g được xem là khả vi theo mọi tham số, và phép nhân nhóm g(ai, a2, ) g(01, (32, ) = g(Ỵi, Ỵ2, ) dẫn đến các hệ thức giữa các tham số.
Trong bài viết này, chúng ta chỉ xem xét trường hợp nhóm có một số hữu hạn r tham số thực, độc lập nhau, hay còn gọi là r tham số cốt yếu Những nhóm này được xác định là các nhóm Lie.
1 Xét tập các phép biến đổi x' = ax , a * 0 Định nghĩa a° = 1 , a _1 = 1/a , tích Y = Pa ta được nhóm 1 tham số, Abel
2 Tập các biến đổi x' = oqx + a 2, a i * 0 là nhóm 2 tham số, không Abel, với định nghĩa và tích Yi = PiCCi , Y 2 = 02 + Pi0t2 •
Nhóm quay trong không gian ba chiều bao gồm các phép quay được biểu diễn bằng ma trận 3x3 có định thức bằng 1, không bao gồm phản chiếu tọa độ Đây là một nhóm Lie với ba tham số cốt yếu, thường được lựa chọn là ba thành phần của vectơ góc quay.
Ta gọi ui tử (hay các sinh) của nhóm quay là 3 toán tử (ma trận)
Dề dàng nghiệm rằng mọi phần tử bất kỳ của nhóm quay đều diễn tả được qua 3 vi tử này bởi hệ thức
Thay vì khảo sát tất cả các phần tử trong nhóm quay, chúng ta chỉ cần xem xét ba vi tử x_1, a_1, a_2 và a_3 là đủ Cụ thể hơn, ta có thể nghiên cứu ba vi tử này trong trường hợp a = 0.
1 ổgCctiAO) i ổai oq=0 g(ax, 0, 0) là ma trận của phép quay một góc a x quanh trục Ox. f l 0 0 ' g ( a i , 0 , 0 ) = 0 COSOii sin aỵ
Từ đây ta được oo
Tương tự như vậy’ ta tính được o o - 1 ' 1 ' 0
Dễ dàng thấy rằng các vi tử Xi, x2 x3thỏa hệ thức giao hoán
[Xu X2J XiX2 - x2x, = iX3 [X2, X3] = i X i , rx3, Xi! = ĨX2 hay, viết chung lại
Sjk] - tenxơ hạng 3 hoàn toàn phản xứng Các hệ số ÌEjU được gọi là các hằng số cấu trúc của nhóm quay.
Tập (Xi, X2, x 3| lập thành đại số Lie của nhóm quay.
3 CÁC B IỂ U D IỄ N BẤ T KHẢ QUY. a Ma trận biểu diễn của nhúm quay g(ai, 0C2, a 3) -ằ D[g(au a 2, a 3)] s D(ơi, a 2, a 3) cũng diễn tả dược dưới dạng.
D(oti, a 2, a 3) được định nghĩa qua biểu diễn Y, với các vi tử tương tự như Xj Hệ thức giao hoán của các vi tử trong biểu diễn Yj cũng được thỏa mãn như Xj.
Phân loại các trạng thái điện tử trong tinh thế
Trong việc xét tinh thể, hạt nhân các nguyên tử được coi là nằm tại các nút của mạng Toán tử Hamiltonian của hệ nhiều diện tử trong trường các hạt nhân đó là bất biến đối với nhóm không giam tương ứng Do đó, các hàm riêng của Hamiltonian, tương ứng với cùng một trị riêng, sẽ biến đổi theo biểu diễn bất khả quy (G) Những hàm này có thể được chọn đồng thời là hàm riêng, và chúng được ký hiệu là.
^ — > — > ^ rl y • * * 9 rn V j = 1, 2, nM / tương ứng với năng lượng E Ta có : k t a * ( m ) II * (-* -* -> -V\ rl v •> rn ri + a, ,rn + a
Từ đây ta thấy ngay rằng hàm rl>-">rn _ e -i(k R ) VỊ/ (fO ki riằ* ằ1*!!
—> ỵ rc ' —> # „ với R = — / ' r j , sẽ bất biến đôi với phép tịnh tiên. n ù i
V tức (ị) là hàm tuần hoàn.
Như vậy các hàm riêng ta có thể diễn tả qua kj hàm tuan hoàn :
Nếu khai trien (Ị) thành chuỗi theo một hệ đẩy
—> biến thiên tuần hoàn, k là vectơ tựa xung lượng của điện tử.
—► Trị riêng năng lượng E = E( k ) xác đinh dải năng lượng 1 điện tứ
Nhóm quay
Cho biểu diễn í$(1,(gi) ni chiều của nhóm Gj và ^ (2)(g2) n2 chiều của G2 Ta sẽ chứng minh là tích trực tiếp
(J n Xgi) ® r# 2>(g2) lập thành biểu diễn ni n2 chiều của tích
Thật vậy theo tính chất của tích trực tiêp các ma trận ta có, với gi, g’i € Gi, g2, g’2 e G2 :
= Da)(gig'i) ® D (g'l, g ’2) = (g lg ’l, g2g'2) Đó là (đpcm ).
Ta có thể chứng minh được rằng :
- Nếu ® (1), {ề m là bất khả quy thì tích ®(1) ữ f2) cũng là biểu diễn bất khả quy của nhóm tích Gi