f(ei) = e2 - phần tử đơn vị G2 flgg-1) = f(g) f(g-1) = ffe,) =* fig-1) = [fig)]-1 Tuy nhiên, có phần tử hi e Gi hi * ei, cho f(hi) = e2 Tập tất phần tử hj ợọi nhân pháp đồng cấu f, ký hiệu ker f = {hi e G ilflh1) = e2| Dễ dàng thấy ker f ^ Gi- Thật vậy, trước tiên ta nghiệm ker f nhóm Gi Tiếp theo, với hi e ker f g - G Gj ta có : flghxg"1) = flg)flhi) fig"1) = flg)flg_1) = e2 Suy ghig- G ker f (đpcm) b Nếu ánh xạ ngược lại G2 t—> Gi dồng cấu ta gọi phép đẳng cấu (isomorphism) nhóm Gi G2 dẳng cấu với : Gi - G2 Các nhóm đẳng cấu với xem (về mặt cấu trúc nhóm), chất phần tử nhóm nói chung hoàn toàn khác Phép đẳng cấu nhóm G lên dược gọi tự đẳng cấu (automorphism) Ta dễ dàng chứng minh điều kiện cần dủ dể f phép đẳng cấu ker f = le} Ta có Đ ịn h lỷ : Cho nhóm Gi, G2 phép dồng cấu f từ Gi lên G2 : flGi) = G2 Khi ta có Ví dụ : Xét tập phép biến đổi x' = ax , a * Định nghĩa a° = , ta nhóm tham số, Abel a _1 = 1/a , tích Y = Pa Tập biến đổi x' = oqx + a 2, * nhóm tham số, khơng Abel, với định nghĩa tích Yi = PiCCi , Y2 = 02 + Pi0t2 • NHĨM QUAY a Đó nhóm phép quay không gian chiều, diễn tả ma trận X có định thức (các phép quay túy, khơng có phản chiếu tọa độ) Đây nhóm Lie với tham số cốt yếu (Xu Ct2 > a mà ta thường chọn thành phần vectơ góc quay (X G = lg(ai, 0t2, a.3)l » e = g(0, 0, 0) Ta gọi ui tử (hay sinh) nhóm quay toán tử (ma trận) Y _ g (a i, a « ) Dề dàng nghiệm phần tử nhóm quay diễn tả qua vi tử hệ thức 84 Vì thay khảo sát tất phần tử (vơ số) nhóm quay, ta có th ể cần xét vi tử đủ b Ta xét cụ thể vi tử ổgCctiAO) i ổai oq=0 x _ ag(a1)a , a ) ôoti a =0 g(ax, 0, 0) ma trận phép quay góc a x quanh trục Ox 0 COSOii sin aỵ V - sin a i cosai fl g ( a i, , ) = ' Từ ta o o Xi i 0 -1 0^ 0j Tương tự vậy’ ta tính o o 2= — a 0 ' -1 ' , x = ị -1 0J k 0 Oì 0 Dễ dàng thấy vi tử Xi, x2 x thỏa hệ thức giao hoán [Xu X2J XiX2 - x 2x, = iX3 [X2, X3] = i X i , rx3, Xi! = ĨX2 hay, viết chung lại [Xj, x k] = i^ e j ki Xị 1=1 85 Sjk] - tenxơ hạng hoàn toàn phản xứng Các hệ số gọi số cấu trúc nhóm quay ÌEjU Tập (Xi, X2, x 3| lập thành đại số Lie nhóm quay CÁC BIỂU D IỄ N BẤT KHẢ QUY a Ma trận biểu diễn nhóm quay g(ai, 0C2, a 3) -» D[g(au a 2, a 3)] s D(ơi, a 2, a 3) diễn tả dược dạng D(oti, a 2, a 3) = exp với Y, - vi tử biểu diễn, định nghĩa thông qua D(ạ1( a 2, a 3) tương tự Xj thông qua g(ai, a 2, a 3) Các vi tử biểu diễn Yj thỏa hệ thức giao hốn Xj Ngồi ra, ta xét biểu diễn unita, tức D-1 = D+, từ suy vi tử Yj dều tự liên hợp : Yj" = Yj b Đế tiện lợi cho việc xây dựng biểu diễn bất khả quy, thay vi tử Yi, Y2, Y3 ta chuyển sang hệ khác : Y = Yx + ĨY2, Y_ = Y1 - iY2 , Y3 = Y3 Hệ thức giao hốn có dạng [Y3, Y+] = Y+, [Y3, Y_] = - Y_, [Y+, Y.] = 2Y3 Chọn khơng gian biểu diễn E có hệ vectơ sở (vm| vectơ riêng Y3 Y3vm = m vm, m thực, vm trực chuẩn Ta có : Y3 (Y+ vm) = (Y+ Y3 + Y+)vm = Y+ (mvm + vm) = (m + 1)(Y+ vm) 86 Y3(Y- vm) = (m —1)(Y_ vm) Các hệ thức có nghĩa (Y+ vm) (Y_ vm) vectơ riêng Y3, với trị riêng tương ứng (m ± 1) Vậy ta viết Y+ vm —ßuj Vra+1 , Y_ vm = (Xm V)m-1 Vấn đề phải xác định giá trị ßm, a m Ta làm sau Trước tiên xét : (Y+ vm , vm+i) ~ ß m ( v m + l >vm+i) = ß m = = (Vm ) Y_ vm+i) —cxm+l (vm, vm) = Ctm+1 Mặt khác, ta hạn chế biểu diễn hữu hạn chiều, nên số m phải có giá trị lớn nhất, ta ký hiệu j Với m < j ta có : Y+ vm = —— Y+(Y_ vm+i) = — a m + l “ ““ (Y_Y+ + 2Yr>) a m + l (a m + ß m + l + (m + l ) ) v m + i = ß m v m + l a m + l Suy ß ^ +1 + 2(m + 1) = ßm Cịn m = j Y+ Vj = => ß j = 2j = ß ? _ Vậy ta thu dược ß |L l * 2(m +l) = ß2 ß'm.2 + 2(m+2) = ß?-l + 2 = ß iu V =■ ßf-, 2Ü + (j -1 ) +