Chương l i M Ộ T S Ố L Ớ P NHÓM QUAN T R Ọ N G §1 NHÓM HỮU HẠN Tiết này dành cho việc trình bày đinh iý Xi lốp về nhóm hữu hạn, một trong những định lý quan trọng nhất của lý thuyết nhóm cổ điển và có[.]
Chương l i M Ộ T S Ố L Ớ P N H Ó M QUAN T R Ọ N G §1 NHĨM HỮU HẠN Tiết dành cho việc trình bày đinh iý Xi-lốp nhóm hữu hạn, định lý quan trọng lý thuyết nhóm cổ điển có nhiều ứng dụng việc nghiên cứu ngành toán học khác Quỹ đạo Người ta nói rằng: nhóm G tác động tập hặp M , cặp phần tử me M , ge G, xác định phần từ rnge M thỏa mãn hai điều kiên ì) (mgi)g2 = m(gig2) li) me = m vói me M , gi,g e G, e phần tử đơn vị G Tập hặp mG = {mg I ge G} đưặc gọi quỹ đạo phần tử m Rõ ràng quỹ đạo hai phần tử thuộc M trùng nhau, không giao nên tập hặp M đưặc phân hoạch thành quỹ đạo khÔỊỊơ W ' T * Địũii ci Giả sử G nhóm hữu hạn p số Áao j t nguyên tố Tồn tại: Đối với lũy thừa p chia hết cấp G, tịn G a a nhóm cấp p a Lông nhau: Nếu p +I chia hết cấp G, mỏi nhóm cấp a G chỊa nhóm cấp p +/ a p đố G Nói riêng, r r p - nhóm cỡn tối đại G, đố nhóm cấp p , p lũy thừa cao p, chia hết cấp G Liên hợp: Tất p- nhóm tối đại G liên hợp với G SỐ lượng: Số lượng p- nhóm tối đại G đồng dư với Ị theo môđun p Chứng minh Tòn tại: Giả sử I G I = ựL (p,ể) = Giả SÙM tập a hặp tất tập có lực lưặng p G Rõ ràng p = 23 J r a lũy thừa lớn p, chia hết \M ị, p " Nếu MÈM , ge G rõ ràng , Mg = {mg I me M} e M G tác động ừẽĩiM Giả sử {Mi, hết cho p r a l bời phép chuyển dịch phải Ms} quỹ đạo mà lực lượng s khơng chia , Hơn nữa, giả sử Gi= { g | g e G , M g = M }, (Ì < i < j) i i Thử nghiỏm trực tiếp Gi nhóm G, Gi lớp liên hợp G theo Gi Chúng ta chứng tỏ nhóm Gi có cấp p a phải tìm Kí hiỏư ị Gi ị- - t, theo định lý Lagrãng, ta có st = ị G I = p7 r a a Bởi lũy thừa cao p chia hết s p ' , nên t chia hết cho p , đặc a biỏt t > p Mặt khác, xe Mi rõ ràng aGi C M Ị , nên I Gi I < Ị Ml I a a hay t < p Do t = p Lòng nhau: Giả sử p a + chia hết I G I , p nhóm cấp p G, & a lớp nhóm liên hợp với p phần tử G Chúng ta có \e\ (Trong ao I V = |G:N (P)I G Y ) chuẩn hóa nhóm p, tức tập hợp tất phần tử g€ G mua mãn điều kiỏn gP = Pg) Nếu I (3\ không chia hết cho p, I NG(P) Ì chia hết cho p a +1 , v theo phần chứng minh N (P)/P tồn nhóm p*/p cấp p Khi p* nhóm phải tìm G Giả sử I (ỉ I chia hết cho p Nhóm p tác động Ổ bói phép liên hợp, lực lượng quỹ đạo chia hết I p I, v ì chúng có a dạng p ' , > Vì có quĩ đạo- phần tử - {P} l ố i chia hết cho p, nên tìm quỹ đạo - phần tử - khác { Q } Nhưng điều có nghĩa p chuẩn hóa Q, PQ p - nhóm (nhớ PQỵ Q = ỸỊ (? n Q) mở rộng p- nhóm nhờ p- nhóm p- nhóm) Áp dụng vào PQ phép tự đẳng cấu G biến Q thành p, ta thu p- nhóm P'P chứa p làm nhóm chuẩn tắc thực Lại theo chứng minh trên, P'P p tìm nhóm p* / p cấp p Khi p* nhóm cần tìm Từ chứng minh suy ràng p- nhóm tối đại nhóm 24 hữu hạn nhóm cấp p , p lũy thừa cao r r p chia hết cấp nhóm r Liên hợp: Giả sử p nhóm cấp p G (đặc biệt, pnhóm tối đại)