Giáo trình lý thuyết xác suất và thống kê toán

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG BỘ MÔN KHOA HỌC TỰ NHIÊN, KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN XÁC SUẤT THỐNG KÊ (TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ) THÁI NGUYÊN- 2020 Mục lục Mục lục i Chương NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT 1.1 Giải tích tổ hợp 1.1.1 Quy tắc cộng quy tắc nhân 1.1.2 Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp 1.2 Biến cố mối quan hệ biến cố 1.2.1 Phép thử biến cố 1.2.2 Các loại biến cố 1.2.3 Mối quan hệ biến cố 1.3 Các định nghĩa xác suất 1.3.1 Định nghĩa xác suất theo quan điểm cổ điển 1.3.2 Định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê 11 1.4 Các cơng thức tính xác suất 13 1.4.1 Xác suất có điều kiện, cơng thức nhân xác suất 13 1.4.2 Công thức cộng xác suất 17 1.4.3 Công thức xác suất tồn phần cơng thức Bayes 19 1.4.4 Công thức Bernoulli 22 1.5 Bài tập chương 25 Chương ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 31 Mục lục ii 2.1 Đại lượng ngẫu nhiên bảng phân phối xác suất 31 2.1.1 Đại lượng ngẫu nhiên phân loại 31 2.1.2 Bảng phân phối xác suất 33 2.2 Hàm phân phối xác suất 35 2.2.1 Định nghĩa hàm phân phối xác suất 35 2.2.2 Các tính chất hàm phân phối xác suất 37 2.2.3 Ý nghĩa hàm phân phối 38 2.3 Hàm mật độ xác suất 39 2.3.1 Định nghĩa hàm mật độ xác suất ví dụ 39 2.3.2 Các tính chất hàm mật độ xác suất 39 2.4 Các tham số đặc trưng 44 2.4.1 Kỳ vọng 44 2.4.2 Phương sai độ lệch tiêu chuẩn 48 2.4.3 Mode 52 2.5 Một số quy luật phân phối xác suất thường gặp 53 2.5.1 Phân phối không – 53 2.5.2 Phân phối nhị thức 54 2.5.3 Phân phối Poisson - P (λ) 56 2.5.4 Phân phối chuẩn 57 2.5.5 Phân phối Student 60 2.6 Một số kiến thức biến ngẫu nhiên nhiều chiều 61 2.6.1 Định nghĩa phân loại 61 2.6.2 Bảng phân phối xác suất 62 2.6.3 Hàm phân phối xác suất 62 2.6.4 Hàm mật độ phân phối xác suất 63 2.6.5 Các đặc trưng số đại lượng ngẫu nhiên chiều 63 2.7 Luật số lớn 66 2.7.1 Bất đẳng thức Markov 66 Mục lục iii 2.7.2 Bất đẳng thức Tchebyshev 67 2.7.3 Định lý Tchebyshev 68 2.7.4 Định lý Bernoulli 68 2.8 Bài tập chương 69 Chương LÝ THUYẾT MẪU VÀ ƯỚC LƯỢNG 79 3.1 Tổng quan lý thuyết mẫu 79 3.1.1 Tổng thể mẫu 79 3.1.2 Các đặc trưng mẫu ngẫu nhiên 83 3.1.3 Thống kê phân phối xác suất thống kê 85 3.1.4 Sắp xếp số liệu 87 3.2 Lý thuyết ước lượng 90 3.2.1 Bài toán ước lượng 90 3.2.2 Các loại ước lượng điểm tiêu chuẩn lựa chọn hàm ước lượng 90 3.3 Các trường hợp ước lượng khoảng 95 3.3.1 Mô tả phương pháp 95 3.3.2 Ước lượng khoảng cho tỷ lệ (xác suất) 103 3.4 Bài tập chương 105 Chương KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT THỐNG KÊ 116 4.1 Bài toán kiểm định giả thiết thống kê 116 4.1.1 Giả thiết thống kê 116 4.1.2 Mức ý nghĩa, miền bác bỏ 117 4.1.3 Sai lầm loại sai lầm loại 118 4.2 Các trường hợp kiểm định giả thiết thống kê 118 4.2.1 So sánh trung bình mẫu với trung bình lý thuyết 118 4.2.2 So sánh tỷ lệ mẫu với tỷ lệ lý thuyết 123 Mục lục iii 4.2.3 So sánh giá trị trung bình 126 4.2.4 So sánh tỷ lệ 129 4.3 Bài tập chương 130 Chương PHÂN TÍCH TƯƠNG QUAN HỒI QUY 143 5.1 Phân tích tương quan 144 5.1.1 Hiệp phương sai biến ngẫu nhiên 144 5.1.2 Hệ số tương quan 145 5.1.3 Hệ số tương quan mẫu 147 5.2 Phân tích hồi quy 152 5.2.1 Mơ hình hồi quy tuyến tính đơn giản tổng thể 152 5.2.2 Phương trình hồi quy mẫu theo phương pháp bình phương tối thiểu 153 5.3 Bài tập chương 155 Phụ lục 161 Tài liệu tham khảo 167 Chương NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT Chương cung cấp kiến thức đại số tổ hợp lý thuyết xác suất Giúp sinh viên hiểu rõ xác suất theo quan điểm cổ điển, quan điểm thống kê quan điểm hình học Ngồi ra, chương xây dựng cơng thức tính xác suất giúp sinh viên giải tốn lý thuyết, toán thực tế cung cấp kiến thức để giải vấn đề chương 1.1 Giải tích tổ hợp 1.1.1 Quy tắc cộng quy tắc nhân Quy tắc cộng: Để hồn thành việc, ta thực nhiều phương án Phương án thứ có m1 cách thực hiện; phương án thứ hai có m2 cách thực hiên, , phương án thứ k có mk cách thực Khi số cách hồn thành cơng việc m1 + m2 + + mk Ví dụ 1.1 Đội tuyển văn nghệ trường đại học X có sinh viên nam sinh viên nữ Hỏi có cách chọn em đội để làm đội trưởng, (biết em làm đội trưởng) Giải Để chọn em làm đội trưởng ta chọn em nam em nữ Áp quy tắc cộng ta có + = 13 (cách) Chương Những khái niệm xác suất Quy tắc nhân: Giả sử công việc hồn thành ta thực liên tiếp k công đoạn Nếu công đoạn thứ có m1 cách thực hiện, cơng đoạn thứ có m2 cách thực hiện, , cơng đoạn thứ k có mk cách thực Khi đó, số cách hồn thành cơng việc m1 m2 mk Ví dụ 1.2 Đội tuyển văn nghệ trường đại học X có sinh viên nam sinh viên nữ Hỏi có cách chọn cặp nam nữ đội để hát song ca ? Giải Để chọn cặp nam nữ đội để hát song ca ta phải thực liên tiếp hai cơng đoạn chọn sinh viên nam chọn sinh viên nữ Áp dụng quy tắc nhân ta có 5.8 = 40 (cách) 1.1.2 Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Định nghĩa 1.3 (Hốn vị) Cho tập A có n phần tử, cách xếp n phần tử tập A vào n vị trí khác gọi hoán vị n phần tử Vậy hai hoán vị khác thứ tự xếp phần tử chúng khác Số hoán vị n phần tử pn = n! = n(n − 1).(n − 2) 2.1 Ví dụ 1.4 Một đội tuyển học sinh giỏi có học sinh có hai bạn A B a Hỏi có cách xếp học sinh đội vào hàng ghế gồm xếp theo hàng ngang cho ghế có học sinh ngồi b Hỏi có cách xếp học sinh đội vào hàng ghế gồm xếp theo hàng ngang cho ghế có học sinh ngồi hai bạn A, B ngối cạnh 1.1 Giải tích tổ hợp Giải a Mỗi cách xếp học sinh đội tuyển vào hàng ghế hoán vị phần tử Vậy số cách xếp 6! = 720 (cách) b • Ghép hai bạn A, B với có cách • Xếp bạn A, B ghép bạn cịn lại vào hàng ghế có 5! = 120 cách Áp dụng quy tắc nhân ta có 2.120 = 240 (cách) Định nghĩa 1.5 (Chỉnh hợp) Cho tập A có n phần tử Mỗi cách chọn k phần tử từ n phần tử A (với < k ≤ n) xếp vào k vị trí khác gọi chỉnh hợp chập k n phần tử A Vậy hai chỉnh hợp chập k n phần tử khác phần tử chúng khác thứ tự xếp phần tử khác Số chỉnh hợp chập k n phần tử tập A Akn = n! = n(n − 1) (n − k + 1) (n − k)! Định nghĩa 1.6 (Tổ hợp) Cho tập A có n phần tử, tập có k phần tử tập A (với ≤ k ≤ n) gọi tổ hợp chập k n phần tử Mỗi cách chọn k phần tử từ n phần tử tập A cho ta tập có k phần tử tập A Do tổ hợp chập k n phần tử cách chọn k phần tử từ n phần tử tập A Số tổ hợp chập k n phần tử n! Cnk = k!(n − k)! Tính chất Cnk • Cnk = Cnn−k , ∀0 ≤ k ≤ n; k, n ∈ Z k−1 k , ∀1 ≤ k ≤ n − 1; k, n ∈ Z • Cnk = Cn−1 + Cn−1 Ví dụ 1.7 Một lơ hàng gồm sản phẩm Từ lơ hàng lấy lúc sản phẩm Hỏi có cách lấy ? Chương Những khái niệm xác suất Giải Mỗi cách lấy đồng thời sản phẩm từ sản phẩm tổ hợp chập phần tử Vậy số cách lấy C83 = 8! = 56 3!(8 − 3)! Ví dụ 1.8 Một lơ linh kiện điện tử có 100 linh kiện tốt 10 linh kiện bị hỏng Người ta lấy đồng thời linh kiện lơ hàng để kiểm tra a Hỏi có cách lấy cho khơng có linh kiện bị hỏng ? b Hỏi có cách lấy cho có linh kiện bị hỏng linh kiện tốt ? c Hỏi có cách lấy cho có linh kiện tốt ? Giải a Số cách lấy linh kiện lô hàng cho khơng có linh kiện bị hỏng C100 = 161700 cách b Số cách lấy linh kiện lơ hàng cho có linh kiện bị hỏng 3 linh kiện tốt C110 − C100 − C10 = 54000 cách c Số cách lấy linh kiện lô hàng cho có linh kiện tốt 3 C110 − C10 = 215700 cách 1.2 1.2.1 Biến cố mối quan hệ biến cố Phép thử biến cố Định nghĩa 1.9 Việc thực nhóm điều kiện để quan sát tượng có xảy hay khơng gọi thực phép thử Các kết xảy phép thử gọi biến cố (sự kiện) • Phép thử ngẫu nhiên phép thử mà kết qủa khơng thể dự báo trước • Tập hợp tất kết có phép thử gọi khơng gian mẫu phép thử thường kí hiệu Ω Ví dụ 1.10 Sản xuất sản phẩm thực phép thử Kết sản phẩm sản xuất đạt tiêu chuẩn hay không đạt tiêu chuẩn biến cố 1.2 Biến cố mối quan hệ biến cố Tung đồng xu thực phép thử Hiện tượng đồng xu xuất mặt sấp hay xuất mặt ngửa biến cố Trong phép thử ta có Ω = {S, N } Gieo xúc sắc thực phép thử Hiện tượng xúc sắc xuất mặt chấm; xúc sắc xuất mặt chấm; xúc sắc xuất mặt có số chấm lớn 6; xúc sắc xuất mặt có số chấm nhỏ biến cố Trong phép thử ta có Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 1.2.2 Các loại biến cố Một biến cố xảy phép thử gắn liền với thực Trong thực tế xảy loại biến cố sau đây: • Biến cố ngẫu nhiên: Là biến cố xảy khơng xảy phép thử thực Các biến cố ngẫu nhiên thường ký hiệu A, B, C, A1 , A2 , B1 , B2 • Biến cố chắn: Là biến cố xảy phép thử thực hiện, ký hiệu Ω U • Biến cố không thể: Là biến cố không xảy phép thử thực hiện, ký hiệu ∅ V • Biến cố sơ cấp: Là biến cố khơng thể phân tích Ví dụ 1.11 Xét phép thử: Gieo xúc sắc lần Khi Biến cố A:" Con xúc sắc xuất mặt có số chấm chẵn" biến cố ngẫu nhiên Các kết phép thử {2, 4, 6} làm biến cố A xảy gọi kết thận lợi biến cố A Biến cố B: "Con xúc sắc xuất mặt có số chấm số tự nhiên nhỏ 7" biến cố chắn Biến cố C "Con xúc sắc xuất mặt có số chấm lớn 7" biến cố Nếu gọi Ai biến cố: "con xúc xắc xuất mặt i chấm (i = 1, , 6) " 5.2 Phân tích hồi quy 153 tố không nghiên cứu) tới Y εi xem biến ngẫu nhiên độc lập, có phân phối chuẩn với trung bình khơng, phương sai Một cách tổng qt mơ hình hồi quy tuyến tính đơn giản tổng thể thể mối liên hệ tuyến tính Y X y = α + βx + ε Trước tiên ta xét mối liên hệ tiêu, số liệu quan sát tiêu gợi ý xác lập đường thẳng để mô tả mối liên hệ ta xác định phương trình đường thẳng Ngược lại, ta phải sử dụng phương trình khác hay phương pháp phân tích khác để đưa số liệu có dạng tuyến tính (tuyến tính hố) Trong thực tế ta khơng thể xác định cách xác số phương trình hồi quy tuyến tính tổng thể mà ước lượng chúng từ giá trị quan sát 5.2.2 Phương trình hồi quy mẫu theo phương pháp bình phương tối thiểu Giả sử quan sát biến ngẫu nhiên X Y ta thu mẫu cỡ n: (x1 , y1 ) ; (x2 , y2 ) ; (x3 , y3 ) ; ; (xn , yn ) Ta tìm giá trị a, b để ước lượng cho số α, β Do điểm đồ thị quan sát không nằm đường thẳng nên ta thực theo cách sau: Kẻ nhiều đường thẳng xuyên qua điểm quan sát ta chọn đường thẳng mô tả tốt xu hướng liên hệ X Y Phương pháp dùng để xác định đường thẳng phương pháp bình phương tối thiểu Phương pháp tìm đường thẳng làm cực tiểu hoá tổng độ lệch bình phương tung độ điểm quan sát đường thẳng Một đường thẳng xem “thích hợp nhất“ tổng phương giá trị thực tế yi với giá trị yi nhỏ Tức là: với Chương Phân tích tương quan hồi quy 154 đường thẳng yi = a + bxi + ei ta cần xác định hệ số a, b thoả mãn: n n i=1 n i=1 i=1 Từ đó, ta tính được: n n (xi − x) (yi − y) b= i=1 n (yi − a − bxi )2 → (yi − yi )2 = e2i = xi yi − nxy = (xi − x)2 i=1 i=1 n = x2i − n(x)2 xy − xy sY ; = rXY sX sX i=1 a = y − bx Đường hồi quy tìm là: y = a + bx Ví dụ 5.9 Khảo sát ngẫu nhiên 30 khách hàng nữ siêu thị ta thu số liệu mức thu nhập hộ trung bình/tháng (X-triệu đồng) số hàng mua ngồi dự định tháng (Y ) sau: STT xi yi STT xi yi STT xi yi 11 21 4,5 3,5 12 22 3,5 13 23 4 14 24 4,5 5 6,5 15 2 25 6,5 16 3 26 7 17 27 18 28 4,2 19 3,5 29 10 3,5 20 4 30 4,4 a Xác định hệ số tương quan mẫu X Y b Xác định đường hồi quy tuyến tính thực nghiệm Y X (nếu có) Giải a Hệ số tương quan mẫu đượng tính theo cơng thức: rxy = x.y − x.y sX sY 5.3 Bài tập chương 155 Từ số liệu cho ta dễ dàng tính được: 30 1 xi yi = 487, = 16, 253; xy = 30 i=1 30 x= n 30 i=1 1 xi = 139, = 4, 653; y = 30 n 30 yi = i=1 728 − 4, 5632 = 1, 6166; sY = 30 Thay số ta được: sX = rxy = 93 = 3, 1; 30 349 − 3, 12 = 1, 4224 30 x.y − x.y 16, 253 − 4, 653.3, = = 0, 795 sX sY 1, 6166.1, 4224 Do hệ số tương quan 0.795> 0.7 nên mối tương quan mức thu nhập hộ trung bình/tháng số hàng mua ngồi dự định tháng mối tương quan tuyến tính chặt b Đường hồi quy tuyến tính thực nghiệm xác định từ cơng thức y = a + bx, với hệ số: b = rXY sY 7, 79 = 0, 795 = 0, 6995; sX 8, 85 a = 3, − 0, 6995.4, 653 = −0, 1548 Vậy đường hồi quy tuyến tính thực nghiệm cần tìm y = −0.1548 + 0.6995x Chú ý: Hệ số tương quan đo mức độ liên hệ tuyến tính hai biến ngẫu nhiên X Y Để đo mức độ phụ thuộc hàm phải dùng đến khái niệm tỷ số tương quan Y theo X ηY2 /X tương tự tỷ số tương quan X theo Y ηX/Y 5.3 Bài tập chương Bài 5.1 Quan sát mẫu công nghiệp với dấu hiệu quan sát X : Đường kính (cm), Y : Chiều cao (m) Ta có số liệu quan sát cho bảng 156 Chương Phân tích tương quan hồi quy sau: a Tính hệ số tương quan X Y b Lập phương trình tương quan tuyến tính Y theo X Bài 5.2 Quan sát mẫu thấy có X(%) có chiều cao Y (m) a Tính hệ số tương quan X Y b Lập phương trình tương quan tuyến tính Y theo X Bài 5.3 Với 10 cặp quan sát X Y sau: X 80 82 79 60 65 92 90 81 70 68 Y 110 111 102 87 92 112 110 100 81 92 5.3 Bài tập chương 157 Trong X vịng bụng Y chiều dài (cả hai đo cm) cửa hàng may đo đo khách hàng để cắt quần a Tìm hệ số tương quan lập phương trình tương quan tuyến tính Y theo X b Một quần có vịng bụng 82.5cm chiều dài cỡ bao nhiêu? Bài 5.4 Đo chiều cao Y (cm) đường kính X (cm) loại ta có bảng kết sau: X 6 10 10 Y 28 28 24 30 60 30 32 42 43 49 a Tìm hệ số tương quan lập phương trình tương quan tuyến tính Y theo X b Cho X = 5, 5cm Dự đoán chiều cao Y Bài 5.5 Đo chiều cao Y (cm) đường kính X (cm) loại ta có bảng kết sau: X 6 10 10 Y 28 28 24 30 60 30 32 42 43 49 a Tìm hệ số tương quan lập phương trình tương quan tuyến tính X theo Y b Cho Y = 29 cm Dự đốn đường kính X Bài 5.6 X (đơn vị: kg) Y (đơn vị: cm) hai tiêu loại sản phẩm Điều tra mẫu ta có bảng số liệu sau: a Viết cơng thức tính hệ số tương quan mẫu rXY b Tìm hàm hồi quy tuyến tính mẫu Y theo X Chương Phân tích tương quan hồi quy 158 Bài 5.7 Cho bảng quan sát X Y sau: Y 32 29 26 23 20 17 14 11 X 11 15 19 23 27 31 35 a Tìm hệ số tương quan X Y b Tìm đường hồi quy bình phương trung bình tuyến tính thực nghiệm Y theo X Bài 5.8 Cho bảng quan sát X Y sau: X 11 13 15 17 Y 11 16 21 26 31 36 41 46 a Tìm hệ số tương quan X Y b Tìm đường hồi quy bình phương trung bình tuyến tính thực nghiệm Y theo X Bài 5.9 Sản lượng khai thác than công ty than ghi lại qua năm: Năm X 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 Sản lượng Y 60 61 64 65 66 66 69 70 72 5.3 Bài tập chương 159 a Tính hệ số tương quan mẫu X Y b Tìm đường hồi quy bình phương trung bình tuyến tính Y theo X Hãy dự đoán số than khai thác vào năm 2012 Bài 5.10 Khảo sát tương quan X Y ta có số liệu X -5 -3 12 18 Y 15 20 26 38 a Tính hệ số tương quan mẫu X Y b.Tìm đường hồi quy bình phương trung bình tuyến tính Y theo X Bài 5.11 Hai đại lượng ngẫu nhiên X Y có mối liên hệ cho bảng sau: a Tính hệ số tương quan mẫu X Y b.Tìm đường hồi quy bình phương trung bình tuyến tính Y theo X 160 Tài liệu tham khảo Chương Phân tích tương quan hồi quy Phụ lục 162 Phụ lục Phụ lục 163 164 Phụ lục Phụ lục 165 166 Phụ lục Tài liệu tham khảo [1] Đậu Thế Cấp, Xác suất Thống kê – Lý thuyết tập, NXB Giáo dục, 2006 [2] Đào Hữu Hồ, Xác suất thống kê, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2008 [3] Tống Đình Quỳ , Giáo trình xác suất thống kê, NXB Bách khoa Hà Nội, 2015 [4] Nguyễn Cao Văn, Trần Thái Ninh, Giáo trình lý thuyết xác suất thống kê toán , NXB Thống kê, 2005 [5] F.M.Dekking, A modern introduction to Probability and Statistics, Springer Publication, 2005 ... phạm vi giáo trình, ta khơng đề cập đến định nghĩa Nguyên lý xác suất lớn xác suất nhỏ • Nếu biến cố có xác suất nhỏ thực tế cho phép thử biến cố khơng xảy • Nếu biến cố ngẫu nhiên có xác suất gần... NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT Chương cung cấp kiến thức đại số tổ hợp lý thuyết xác suất Giúp sinh viên hiểu rõ xác suất theo quan điểm cổ điển, quan điểm thống kê quan điểm hình học Ngồi... định nghĩa xác suất 1.3.1 Định nghĩa xác suất theo quan điểm cổ điển 1.3.2 Định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê 11 1.4 Các cơng thức tính xác suất