Đang tải... (xem toàn văn)
Chương 4 M Ộ T SỐ L Ớ P NGÔN NGỮ NHÓM Các ngôn ngữ nhóm được A v Aniximov khảo sát đầu tiên vào năm 197] [5] Theo s Eìilenberg I 17| ngôn ngữ L có vị nhóm cú pháp //(//) dẳng càu với một vị nhóm s khi[.]
Chương M Ộ T SỐ L Ớ P NGÔN NGỮ NHĨM C c n g n ngữ n h ó m A v A n i x i m o v khảo sát v o năm 197] [ ] Theo s ilenberg I 17| n g n ngữ L c ó vị n h ó m cú p h p //(//) dẳng càu với vị nhóm s chi tồn t i toàn cấu (Ọ : X —» s tập rơi rạc / / s cho L =,1 đ n n h , t r o n g đ ó A h ữ u h n , n ê n (V : \ A m ộ i p h é p t h ố c ủ a Á m ộ t vị n h ó m c o n n h ó m h ữ u h n A), n ê n V (.4) m ộ t n h ó m ( n N h v ậ y 7'(.4) ( g m tất c c p h é p t h ế ợ, Vì u(L) — 7'(/4) n ê n / y ( L ) m ộ i n h ó m h ữ u han đ ó / li n õ n n g ữ n h ó m c h í n h 1.6 Mệnh đề l ỉu (lây ('Ai.) nại? Ỉ n en X ììi>ơn ngữ = (A, X ít., Ổ, A ') đốn nhận nhóm qui L ơtơmcìl hữu qui hạn liu Chứiiq h ữ u Ỉ'(A) G i ả su L n s n ngũ ' n h ó m c h í n h q u i K h i đ ó minh han Hơn n h ó m c o n /\ l ẽ n c h í n h Nói í/' NỊÍỊH G nhóm hữu hữu hạn han, Cj - bao A mà //(/.) — T(A) nên g m c c song n h riêng, với m ọ i X X a e A lai giả sử cho ờ\ : /ì - > ,4 t o n n h /Hí/, t m t nên với m ọ i v) = a ' v đ o đ ó ố\ đ ầ y đ ủ hữu hạn đầy đủ Ta chứng m i n h / n g n ngũ ' n h ó m c h í n h q u i T h ậ t v ậ y , d o CŨ{L) h ữ u h n / n g n từ .1 tửn Đảo / / ( / ) n h ó m co(L) ngũ q u i Lái.) n ó n ( , \ ) h ữ u h n đ ó A h ữ u cũ ng hạn hữu hạn nên M '/'(TI) — / / ( / ) 128 Chương M ặ t k h c từ t í n h đ ầ y đ ủ c ủ a õ u Một số lóp Ú)(L) suy ngơn ngữ nhóm v i m ọ i It e X*, : A —> A toàn ánh đ ó m ộ t song n h (từ A lên n ó ) N h T(A) vị n h ó m n h ó m hữu hạn Cj đ ó 7'(/A) A n h ó m hữu hạn, suy ju(L) n h ó m hữu hạn V ậ y L n g ô n ngữ n h ó m c h í n h q u i 1.7 M ệ n h đ ề Ngôn ngữ L Xia L sinh văn phạm Chứng minh Điều kiện cẩn ngôn G i ả sử L c h í n h qui đ o n nhận ô t ô m t ngữ nhóm túy bên cz X úiỊS) - qui klìi phải n g ô n n g ữ n h ó m {A, X, (3(1, ổ, A ') hữu hạn tách Ta xây dựng văn p h m G n h sau G - (N, X, p, ờ), N = A, cr= ể(„ c c qui tắc thuộc p 1) ể,• —> V í / a,, a' 2) a —> A ể e /4, V e X s a o cho (ịa r X) = a'ị e /A ' T h ế Ì) R õ ràng a, chạy khắp /V, L n g ô n n g ữ n h ó m với m ọ i X X, S song n h từ /4 lên c h í n h n ó Do đ ó { a'ị \ x nên ị li, í 2) Tồn a e A cho â(ạ, A ) G A ': hiển nhiên Do đó, tồn a e N cho í/ —> A N h vậy, túy bên p h ả i Ta h ã y chểng m i n h Lị (ớ) = tểc văn phạm xây dựng n h sinh L G i ả sử li € L(G), đ ó • N ế u tí = A J - I = Ị z ơ"= = với p, - > * íí Hai t r n g hợp x ả y ra: =>* í/ t n t i Z| «,/?IV, M ^ v , /7,, c/, G r* = ( N u X)*) Z Ẩ cho L(G), Ly thuyết ngơn I =1 ngư nhóm -ì = "í 129 iPi |V ì A í v i /', , - > í / ; , [ (Ta -I- ký = "í -Ì Ví !»•/ I h i ệ u /?,, í/, t h a y c h o aỊ T h ế z dị) = li = k A , nên từ đ ắ n g t h ứ c c u ố i c ù n g đ ị n h n g h ĩ a vị n h ó m tự d o , ta c ó : » lị t = Ẩ = Ú)(L) c h o /í, với /» í/,, £ /V ; = \ ' * v ị n h ó m tự d o s i n h bới N u X với N n X = , n ê n từ đ ắ n g t h ứ c đ ầ u ta p h i c ó : / í , = I'l = A , P\ = £/„ sử A nên a u u e A ' z = A Theo h X ã y dụng p, ta ph i có z = = = z - li nên / í = A ứ e A' nên ph i cáu = A í/, * tl A , t h ế t h ì (/, = V ị t / , v i V, e X í/, e -2 = 2, = với /?,, í/, e N ; A p, " V'j,v = (lị V = N u /•' = V| y\Ci\ nên từ Chương 130 Mót số lớp ngơn ngữ nhóm Hoặc q = y a, với V, X, í/, /V t h ế t 2 I y = - ỉ = l3 - > í/,, v„ ^ Suy li = x = = z Zị íỹ(ữ„, k V|) = í/,; ? / - V Ị Í / Ị í/,, V, e v » = Vị V - đ ó z V s u y ổ ( đ = (Ạ/ u X ) Do đ ó ố / , = A = v,y, A A = y\y M í / , —> > ' « P i —> Ợ3 = A Do đ ó Nếu q - l € A; ft, í/, e N ; N n X = V ì = A p - v y ; v h ) - = P\ = Vị í / , 6/2 = / , e nên /4 ' v ì V , v ) = i ^ c / j y , ) = / í v ậ y (í e o L(G) (í = A',.,v ,V v i V, e xụ - ì., 2 » A, mà Ả Ả") v ổ(ứf , A'|) = , t) À",í/ A' Í/, í/, ị —> V í/ í = ỉ V| /~ T h ế nên => Á y / ị cr nên V Ị Í / Ị nên V, => \ A ;/ ị k Ả ==> /í, Do ; Đ/c /í => nai li nên ;/ơ A Vịí/J A : \ Ị A í/,, A í"/,, —> v A i/ , v ì í/, HỊCI, , -> xa k l '"'í-À li A A —> A =>* í/ hay /í € / , ( ( / ) Váy L(íy) c Ấ.7V/Í L(G) í/íí: G i ả sử / sinh bới vãn phạm G = (/V, X, p, túy bôn p h ả i Ta x â y dựng ô t ô m t sau: = A', / i ) Chương 132 Theo ì ì) ta c ó lì' chay khắp Ạ/ chuyển trạng * li Một số lớp ngơn ngữ v = ổ Ta ) = L(B) n g c lai Giả sử li e X pib , li) e B' /í = A T h ế {) ị = ỉ» v i p(b ,A) A.b A n A A A e B ' nên 6() —> A u D o cr =>*», tức li e Nếu íí = v,.v, A',„ L(G) đát p ( ố „ X,) = ố, ( /X/?,, vo = /?, /Xốt.,, -V ) = /? Ắ suy T h ế /?„ —> X\bỊ bị -» xb ử; -» A í; e B' ( v ì /?(/>„ li) e B ') d Vì /; Ví/, -ị/;, Ị n ê n /?, chứng m i n h nhóm hàm L(G) Ly thuyết ngơn ngữ nhóm -V,.v, li nen h ! = k - \ t /í / í /5 Xịh A , Xị Xị b _ị.A ị t ,.1", => »/? , fe , - > v A - -Vị — X ị bị ///; nên 133 = > = ; A —> Ắ =y A í/ li A A = /? í/, Do đ ó a t V ậ y li e L(G) /í T đ ó L(B) c L ( ) Ta chứng m i n h L ( G ) d / - ( / i ) G i ả sử ơ" =>* í í , n ế u // = A từ -í I " í = -iPí V - I A -I với -* » í / i I = A A ) e ổ ' v đ ó M = A e / ( ) v„ với m ọ i V, e X, ( T =>*», nên —> l ị => z : -> => z = u k G i ả sử ÍT = z, = í / , / V , = /?„ z với /?,/?„£ H| = V| /V, = A v = »,(/,1-, r,e V* = (N ,, = wu, M') = /?„H' nên = /? V ậ y ọo tồn cấu ỏ t m t Khi đó, giả sử X e X t h ế thì: với m ọ i ác A (I - / t n b e /ỉ s a o cho = í / , mà túy b ê n phai, n ê n tồn t i b 'e B ': ọ (b \.\) = lì (nghĩa b '—>\b) hay b '.X = b Suy (b ') v = ỹK^) Giả ờ\: sử ') = Thế Li ' (>'(t/' .v) = a hay í/ VT, = ứ, suy A —> toàn n h MỂt k h c , r/? toàn ánh từ ổ lên /4, n ê n cardfi > card4 Vì fi hữu hạn nên A hữu hạn Do ỂO(L) = (/4, X s V ậ y H Ai VA L , với V e A*, L = (p \H)) ( t í , v) e = W/ S N h / n g ô n ngữ c h í n h qui n ê n A*/ H/ hữu hạn, tức X Ị '.tỉ, hữu han Ị i ề u n y k é o theo Lu n g ô n ngữ c h í n h q u i c ô lập Theo chứng m i n h t r ê n , /.„ ngơn ngữ n h ó m nên /,(> n g ô n ngữ n h ó m lập c h í n h q u i Ị ị n h lý chứng m i n h 2.2 M ệ n h đ ề Giả sứ L nẹôn ngữ nhóm qui X , m cấp vị nhóm củ pháp ju(L) vá n sơ trạnq thái ơtơmút tơi tiếu đốn nhận ngơn nqíí í Khi dó i) X tì = {[u] e //(/-.) Ị u e L(| /à mộ/ /?/ỉớw CƠM fỉỉ í/ e L(i í5(í/„, /í) = G toàn cấu nên tớn t i li e X* cho (-/?(//) toàn ánh từ X o vào Ả' M ặ t khác (xw^ Ê L o Jfvy e với V, V e X*) (ộơ(jcw_y) e ỉ! r/X.vrv) / / , với m ọ i X , V X L =
B LỊ ngơn hét cho cấp cấu ngơn q u(L ) lị/ : A —> B vù / , nqữ nhóm hết cho cấp ngữ ? niịơn /?ẹí? qui //{Lị) A —> B loàn cấu nên \A\ > \B\ mà Lị \A\ hữu hạn, suy hữu hạn d ó Lỵ n g ô n n ẹ ữ c h í n h q u i M ặ t k h c , /., n g n ngữ qui với m ọ i X e minh p : x X*, ta c ó ổ : A > A t o n n h Ta p h ả i nên chứng R —> B t o n n h T h ậ t v ậ y , g i ả sử b C- B đ ó